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Polinomios de Taylor de funciones de dos variables - Matemáticas


A principios de este semestre, vimos cómo aproximar una función (f (x, y) ) por una función lineal, es decir, por su plano tangente. La ecuación del plano tangente resulta ser el (1 ^ { text {st}} ) - grado del Polinomio de Taylor de (f ) en ((x, y) ), ya que la ecuación de la recta tangente era la (1 ^ { text {st}} ) - grado Polinomio de Taylor de una función (f (x) ).

Ahora veremos cómo mejorar esta aproximación de (f (x, y) ) usando una función cuadrática: el polinomio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - grado para (f ) en ((x, y) ).

Revisión de polinomios de Taylor para una función de una variable

¿Te acuerdas de los polinomios de Taylor de Calculus II?

Definición: polinomios de Taylor para una función de una variable, (y = f (x) )

Si (f ) tiene (n ) derivadas en (x = c ), entonces el polinomio,

[P_n (x) = f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' '(c)} {2!} (X - c) ^ 2 + cdots + frac {f ^ {(n)} (c)} {n!} (xc) ^ n ]

se llama el (n ^ { text {th}} ) - grado Polinomio de Taylor para (f ) en (c ).

Ahora una función de una variable (f (x) ) se puede aproximar para (x ) cerca de (c ) usando su (1 ^ { text {st}} ) - grado polinomio de Taylor (es decir , usando la ecuación de su linea tangente en el punto ((c, f (c) )). Este (1 ^ { text {st}} ) - grado Polinomio de Taylor también se llama aproximación lineal de (f (x) ) para (x ) cerca de (c ).

Es decir:

[f (x) approx f (c) + f '(c) (x - c) ]

Nota

Recuerde que la primera derivada de este polinomio de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - grado en (x = c ) es igual a la primera derivada de (f ) en (x = C). Es decir:

Dado que (P_1 (x) = f (c) + f '(c) (x - c) ),

[P_1 '(c) = f' (c) nonumber ]

Una mejor aproximación de (f (x) ) para (x ) cerca de (c ) es la aproximación cuadrática (es decir, el (2 ^ { text {nd}} ) - polinomio de Taylor de (f ) en (x = c )):

[f (x) approx f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' '(c)} {2} (x - c) ^ 2 ]

Nota

Recuerda que tanto la primera como la segunda derivada del polinomio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) grado de (f ) en (x = c ) son las mismas que las de (f ) en (x = c ). Es decir:

Dado que (P_2 (x) = f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' '(c)} {2} (x - c) ^ 2 ),

[P_2 '(c) = f' (c) quad text {y} quad P_2 '' (c) = f '' (c) nonumber ]

Polinomios de Taylor de primer y segundo grado para funciones de dos variables

Los polinomios de Taylor funcionan de la misma manera para funciones de dos variables. (¡Hay más de cada derivada!)

Definición: polinomio de Taylor de primer grado de una función de dos variables, (f (x, y) )

Para una función de dos variables (f (x, y) ) cuyos primeros parciales existen en el punto ((a, b) ), el (1 ^ { text {st}} ) - polinomio de Taylor de grado de (f ) para ((x, y) ) cerca del punto ((a, b) ) es:

[f (x, y) approx L (x, y) = f (a, b) + f_x (a, b) (x - a) + f_y (a, b) (y - b) ]

(L (x, y) ) también se llama lineal (o plano de la tangente) aproximación de (f ) para ((x, y) ) cerca del punto ((a, b) ).

Tenga en cuenta que esto es solo la ecuación del plano tangente de la función (f ).

¡También tenga en cuenta que las primeras derivadas parciales de esta función polinomial son (f_x ) y (f_y )!

Podemos obtener una aproximación aún mejor de (f ) para ((x, y) ) cerca del punto ((a, b) ) usando el aproximación cuadrática de (f ) para ((x, y) ) cerca del punto ((a, b) ). Este es solo otro nombre para el polinomio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) grados de (f ).

Definición: Polinomio de Taylor de segundo grado de una función de dos variables, (f (x, y) )

Para una función de dos variables (f (x, y) ) cuyo primer y segundo parciales existen en el punto ((a, b) ), el (2 ^ { text {nd}} ) - polinomio de Taylor de grado de (f ) para ((x, y) ) cerca del punto ((a, b) ) es:

[f (x, y) approx Q (x, y) = f (a, b) + f_x (a, b) (x - a) + f_y (a, b) (y - b) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} { 2} (yb) ^ 2 label {tp2} ]

Si ya hemos determinado (L (x, y) ), podemos simplificar esta fórmula como:

[f (x, y) approx Q (x, y) = L (x, y) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} {2} (yb) ^ 2 ]

Nota: Dado que ambos parciales mixtos son iguales, se combinan para formar el término medio. Originalmente había cuatro términos para los segundos parciales, todos divididos por 2.

Observe que la potencia en el factor ((x - a) ) corresponde al número de veces que se toma el parcial con respecto a (x ) y la potencia en el factor (y - b ) corresponde a la número de veces que se toma el parcial con respecto a (y ). Por ejemplo, en el término con (f_ {xx} (a, b) ), tienes el factor ((xa) ^ 2 ), ya que el parcial se toma con respecto a (x ) dos veces, y en el término con (f_ {xy} (a, b) ), tienes los factores ((xa) ) y ((yb) ) (ambos elevados a la primera potencia), ya que el se toma con respecto a (x ) una vez y con respecto a (y ) una vez.

¡También tenga en cuenta que tanto la primera como la segunda derivada parcial de esta función polinomial son las mismas que las de la función (f )!

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar polinomios de Taylor de primer y segundo grado

Determine las aproximaciones polinomiales de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - y (2 ^ { text {nd}} ) - grados, (L (x, y) ) & (Q (x, y) ), para las siguientes funciones de (x ) y (y ) cerca del punto dado.

una. (f (x, y) = sin 2x + cos y ) para ((x, y) ) cerca del punto ((0, 0) )

B. (f (x, y) = xe ^ y + 1 ) para ((x, y) ) cerca del punto ((1, 0) )

Solución

una. Para determinar la aproximación lineal del polinomio de Taylor de primer grado, (L (x, y) ), primero calculamos las derivadas parciales de (f ).

[f_x (x, y) = 2 cos 2x quad text {y} quad f_y (x, y) = - sin y nonumber ]

Luego, evaluando estos parciales y la función en sí en el punto ((0,0) ) tenemos:

[ begin {align *} f (0,0) & = sin 2 (0) + cos 0 = 1 f_x (0,0) & = 2 cos 2 (0) = 2 f_y (0,0) & = - sin 0 = 0 end {align *} nonumber ]

Ahora,

[ begin {align *} L (x, y) & = f (0,0) + f_x (0,0) (x - 0) + f_y (0,0) (y - 0)
& = 1 + 2x end {align *} ]

Vea la gráfica de esta función y su aproximación lineal (el polinomio de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - grado) en la Figura ( PageIndex {1} ).

Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de (f (x, y) = sin 2x + cos y ) y su (1 ^ { text {st}} ) - grado polinomio de Taylor, (L (x, y) = 1 + 2x )

Para determinar la aproximación polinomial (cuadrática) de segundo grado de Taylor, (Q (x, y) ), necesitamos los segundos parciales de (f ):

[ begin {align *} f_ {xx} (x, y) & = -4 sin 2x f_ {xy} (x, y) & = 0 f_ {yy} (x, y) & = - cos y end {alinear *} ]

Evaluando estos segundos parciales en el punto ((0,0) ):

[ begin {align *} f_ {xx} (0,0) & = -4 sin 2 (0) = 0 f_ {xy} (0,0) & = 0 f_ {yy} ( 0,0) & = - cos 0 = -1 end {align *} ]

Luego,

[ begin {align *} Q (x, y) & = L (x, y) + frac {f_ {xx} (0,0)} {2} (x-0) ^ 2 + f_ {xy } (0,0) (x-0) (y-0) + frac {f_ {yy} (0,0)} {2} (y-0) ^ 2
& = 1 + 2x + frac {0} {2} x ^ 2 + (0) xy + frac {-1} {2} y ^ 2
& = 1 + 2x - frac {y ^ 2} {2} end {align *} ]

Vea la gráfica de la función (f ) junto con su aproximación cuadrática (el polinomio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - grados) en la Figura ( PageIndex {2} ).

Figura ( PageIndex {2} ): Gráfico de (f (x, y) = sin 2x + cos y ) y su (2 ^ { text {nd}} ) - polinomio de Taylor de grado, (Q (x, y) = 1 + 2x - frac {y ^ 2} {2} )

B. Para determinar la aproximación lineal del polinomio de Taylor de primer grado, (L (x, y) ), primero calculamos las derivadas parciales de (f (x, y) = xe ^ y + 1 ).

[f_x (x, y) = e ^ y quad text {y} quad f_y (x, y) = xe ^ y nonumber ]

Luego, evaluando estos parciales y la función en sí en el punto ((1,0) ) tenemos:

[ begin {align *} f (1,0) & = (1) e ^ 0 + 1 = 2 f_x (1,0) & = e ^ 0 = 1 f_y (1,0) & = (1) e ^ 0 = 1 end {align *} nonumber ]

Ahora,

[ begin {align *} L (x, y) & = f (1,0) + f_x (1,0) (x - 1) + f_y (1,0) (y - 0)
& = 2 + 1 (x - 1) + 1y
& = 1 + x + y end {align *} ]

Vea la gráfica de esta función y su aproximación lineal (el polinomio de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - grado) en la Figura ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico de (f (x, y) = xe ^ y + 1 ) y su (1 ^ { text {st}} ) - polinomio de Taylor de grado, (L (x, y) = 1 + x + y )

Para determinar la aproximación polinomial (cuadrática) de segundo grado de Taylor, (Q (x, y) ), necesitamos los segundos parciales de (f ):

[ begin {align *} f_ {xx} (x, y) & = 0 f_ {xy} (x, y) & = e ^ y f_ {yy} (x, y) & = xe ^ y end {align *} ]

Evaluando estos segundos parciales en el punto ((1,0) ):

[ begin {align *} f_ {xx} (1,0) & = 0 f_ {xy} (1,0) & = e ^ 0 = 1 f_ {yy} (1,0) & = (1) e ^ 0 = 1 end {align *} ]

Luego,

[ begin {align *} Q (x, y) & = L (x, y) + frac {f_ {xx} (1,0)} {2} (x-1) ^ 2 + f_ {xy } (1,0) (x-1) (y-0) + frac {f_ {yy} (1,0)} {2} (y-0) ^ 2
& = 1 + x + y + frac {0} {2} (x-1) ^ 2 + (1) (x-1) y + frac {1} {2} y ^ 2
& = 1 + x + y + xy -y + frac {y ^ 2} {2}
& = 1 + x + xy + frac {y ^ 2} {2} end {align *} ]

Vea la gráfica de la función (f ) junto con su aproximación cuadrática (el polinomio de Taylor de (2 ^ { text {nd}} ) - grados) en la Figura ( PageIndex {4} ).

Figura ( PageIndex {4} ): Gráfico de (f (x, y) = xe ^ y + 1 ) y su (2 ^ { text {nd}} ) - polinomio de Taylor de grado, (L (x, y) = 1 + x + xy + frac {y ^ 2} {2} )

Polinomios de Taylor de grado superior de una función de dos variables

Para calcular el polinomio de Taylor de grado (n ) para funciones de dos variables más allá del segundo grado, necesitamos calcular el patrón que permite que todos los parciales del polinomio sean iguales a los parciales de la función que se aproximan en el punto ((a, b) ), hasta el grado dado. Es decir, para (P_3 (x, y) ) necesitaremos que su primer, segundo y tercer parciales coincidan con los de (f (x, y) ) en el punto ((a, b) ). Para (P_10 (x, y) ) necesitaríamos todos sus parciales hasta el décimo para que coincidan con los de (f (x, y) ) en el punto ((a, b) ).

Si resuelve este patrón, nos da la siguiente fórmula interesante para el polinomio de Taylor de (n ^ { text {th}} ) - grados de (f (x, y) ), asumiendo que todos estos parciales existen .

Definición: (n ^ { text {th}} ) - grado del polinomio de Taylor para una función de dos variables

Para una función de dos variables (f (x, y) ) cuyos parciales existen todos para los (n ^ { text {th}} ) parciales en el punto ((a, b) ), el (n ^ { text {th}} ) - polinomio de Taylor de grado de (f ) para ((x, y) ) cerca del punto ((a, b) ) es:

[P_n (x, y) = sum_ {i = 0} ^ n sum_ {j = 0} ^ {n - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a, b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j label {tpn} ]

Verifiquemos esta fórmula para el polinomio de Taylor de segundo grado. (Dejaremos que usted lo verifique para el polinomio de Taylor de primer grado).

Para (n = 2 ), tenemos:

[P_2 (x, y) = sum_ {i = 0} ^ 2 sum_ {j = 0} ^ {2 - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a, b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j ]

Dado que (i ) comenzará en (0 ) y continuará aumentando hasta (2 ), mientras que el valor de (j ) comenzará en (0 ) y aumentará a (2- i ) para cada valor de (i ), veríamos los siguientes valores para (i ) y (j ):

[ begin {align *} i = 0, && j = 0 i = 0, && j = 1 i = 0, && j = 2 i = 1, && j = 0 i = 1, && j = 1 i = 2, && j = 0 end {align *} ]

Entonces por la fórmula:

[ begin {align *} P_2 (x, y) & = frac {f (a, b)} {0! 0!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 0 + frac {f_y (a, b)} {0! 1!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 1 + frac {f_ {yy} (a, b)} {0! 2!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 2 + frac {f_x (a, b)} {1! 0!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 0 + frac {f_ {xy} (a, b)} {1! 1!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 1 + frac {f_ {xx} (a, b)} {2! 0!} (Xa) ^ 2 (yb) ^ 0
& = f (a, b) + f_y (a, b) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} {2} (yb) ^ 2 + f_x (a, b) (xa) + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2
& = f (a, b) + f_x (a, b) (xa) + f_y (a, b) (yb) + frac {f_ {xx} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a, b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a, b)} {2} (yb) ^ 2 end {align *} ]

Esta ecuación es la misma que la Ecuación ref {tp2} anterior.

Tenga en cuenta que (P_2 (x, y) ) es la notación más formal para el polinomio de Taylor de segundo grado (Q (x, y) ).

Ejercicio ( PageIndex {1} ): encontrar un polinomio de Taylor de tercer grado para una función de dos variables

Ahora intente encontrar los nuevos términos que necesitaría para encontrar (P_3 (x, y) ) y use esta nueva fórmula para calcular el polinomio de Taylor de tercer grado para una de las funciones en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) sobre. Verifique su resultado utilizando un gráfico de funciones 3D como CalcPlot3D.

Respuesta

Como acaba de encontrar, las únicas combinaciones nuevas de (i ) y (j ) serían:

[ begin {align *} i = 0, && j = 3 i = 1, && j = 2 i = 2, && j = 1 i = 3, && j = 0 end {align *} ]

Tenga en cuenta que estos pares incluyen todas las combinaciones posibles de (i ) y (j ) que se pueden sumar a (3 ). Es decir, estos pares corresponden a todos los posibles términos de tercer grado que podríamos tener para una función de dos variables (x ) y (y ), recordando que (i ) representa el grado de (x ) y (j ) representa el grado de (y ) en cada término. Si el punto ((a, b) ) fuera ((0,0) ), los factores variables de estos términos serían (y ^ 3 ), (xy ^ 2 ), (x ^ 2y ) y (x ^ 3 ), respectivamente.

Entonces por la Ecuación ref {tpn}:

[P_3 (x, y) = P_2 (x, y) + frac {f_ {yyy} (a, b)} {0! 3!} (Xa) ^ 0 (yb) ^ 3 + frac {f_ {xyy} (a, b)} {1! 2!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 2 + frac {f_ {xxy} (a, b)} {2! 1!} (xa) ^ 2 (yb) ^ 1 + frac {f_ {xxx} (a, b)} {3! 0!} (xa) ^ 3 (yb) ^ 0 ]

Simplificando, [P_3 (x, y) = P_2 (x, y) + frac {f_ {yyy} (a, b)} {6} (yb) ^ 3 + frac {f_ {xyy} (a, b)} {2} (xa) (yb) ^ 2 + frac {f_ {xxy} (a, b)} {2} (xa) ^ 2 (yb) + frac {f_ {xxx} (a, b)} {6} (xa) ^ 3 ]

Colaboradores

  • Paul Seeburger (Monroe Community College)

Ejercicios:

13.7: Polinomios de Taylor de funciones de dos variables

En los ejercicios 1 - 8, encuentre la aproximación lineal (L (x, y) ) y la aproximación cuadrática (Q (x, y) ) de cada función en el punto indicado. Estos son los polinomios de Taylor de (1 ^ { text {st}} ) - y (2 ^ { text {nd}} ) - grados de estas funciones en estos puntos. Utilice un graficador 3D como CalcPlot3D para verificar que cada aproximación lineal es tangente a la superficie dada en el punto dado y que cada aproximación cuadrática no solo es tangente a la superficie en el punto dado, sino que también comparte la misma concavidad que la superficie en este punto. punto.

1) (f (x, y) = x sqrt {y}, quad P (1,4) )

Respuesta:
(L (x, y) = 2x + frac {1} {4} y − 1 )
(Q (x, y) = -1 + 2x + frac {1} {4} y + frac {1} {4} (x-1) (y - 4) - frac {1} {64 } (y-4) ^ 2 )

2) (f (x, y) = e ^ x cos y; quad P (0,0) )

3) (f (x, y) = arctan (x + 2y), quad P (1,0) )

Respuesta:
(L (x, y) = frac {1} {4} π− frac {1} {2} + frac {1} {2} x + y )
(Q (x, y) = frac {1} {4} π− frac {3} {4} + x + 2y - frac {x ^ 2} {4} - xy - y ^ 2 )

4) (f (x, y) = sqrt {20 − x ^ 2−7y ^ 2}, quad P (2,1) )

5) (f (x, y) = x ^ 2y + y ^ 2, quad P (1,3) )

Respuesta:
(L (x, y) = 12 + 6 (x-1) + 7 (y - 3) = -15 + 6x + 7y )
(Q (x, y) = - 15 + 6x + 7y + 3 (x - 1) ^ 2 + 2 (x-1) (y - 3) + (y-3) ^ 2 )

6) (f (x, y) = cos x cos 3y, quad P (0,0) )

7) (f (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2 + 1), quad P (0,0) )

Respuesta:
(L (x, y) = 0 )
(Q (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 )

8) (f (x, y) = sqrt {2x - y}, quad P (1, -2) )

9) Verifique que la fórmula para polinomios de Taylor de grado superior funcione para el polinomio de Taylor de primer grado (L (x, y) = P_1 (x, y) ). Por conveniencia, la fórmula se proporciona a continuación.
[P_n (x, y) = sum_ {i = 0} ^ n sum_ {j = 0} ^ {n - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a, b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j nonumber ]

10) Determine los nuevos términos que se sumarían a (P_3 (x, y) ) (que encontró en el ejercicio 13.7.1) para formar (P_4 (x, y) ) y determine el Taylor de cuarto grado polinomio para una de las funciones que hemos considerado y graficarlo junto con el gráfico de superficie de la función correspondiente en un graficador 3D como CalcPlot3D para verificar que sigue encajando mejor en la superficie.

Colaboradores

  • Paul Seeburger (Monroe Community College)
  • Los ejercicios 1-4 se adaptaron de los problemas proporcionados en la sección sobre planos tangentes y diferenciales del libro de texto OpenStax Calculus 3.

Polinomios de Taylor de funciones de dos variables - Matemáticas

Las series de Taylor son polinomios que se aproximan a funciones.

Para funciones de dos variables, las series de Taylor dependen de la primera, segunda, etc. derivadas parciales en algún punto (X0, y0).

Dejar PAG1(x, y) representar la aproximación de Taylor de primer orden para una función de dos variables f (x, y). La ecuación para la aproximación de primer orden es PAG1(x, y) = f (x0, y0) + (x - x0)FX(X0, y0) + (y - y0)Fy(X0, y0). Ya estamos bastante familiarizados con esta ecuación, ya que define un plano tangente.

En general, el norteAproximación de taylor de orden para una función f (x, y) es el polinomio que tiene el mismo norteth y derivadas parciales inferiores como la función f (x, y) en el punto (X0, y0).

Esta es una demostración que muestra el paraboloide tangente a un punto en una superficie (x, y, f (x, y)), como ilustración de la aproximación de Taylor de segundo orden en dos dimensiones. Nos expandimos f (x, y) como una serie de Taylor en torno al hotspot Cy elimine todos los términos del pedido 3 o mas alto. Para ver que esto no es más que una aproximación de la superficie, miramos las superficies que son la función gráfica de una función. f (x, y) con grado 3. Tenga en cuenta que para grados f = 2 o menos, la aproximación de Taylor de segundo orden es exacta.

Todo el material con copyright & copy2004 de Thomas Banchoff. Reservados todos los derechos.


Matemáticas 8Cálculo en una y varias variables

Este curso es una secuela de Math 3 y proporciona una introducción a las series y funciones de Taylor de varias variables. El primer tercio del curso está dedicado a la aproximación de funciones mediante polinomios de Taylor y a la representación de funciones mediante series de Taylor. El segundo tercio del curso presenta funciones con valores vectoriales. Comienza con el estudio de la geometría vectorial, ecuaciones de líneas y planos y curvas espaciales. El último tercio del curso está dedicado al estudio del cálculo diferencial de funciones de varias variables.

"Cálculo", de James Stewart, octava edición, ISBN: 978-1-285-74062-1

Habrá dos exámenes parciales y un examen final acumulativo. Los exámenes se programan de la siguiente manera:

Parcial I Miércoles 19 de abril, 4: 30-6: 30 Wilder 111
Parcial II Jueves 11 de mayo, 4: 30-6: 30 Wilder 111
Examen final Jueves 1 de junio, 11: 30-2: 30 Moore B03

Si tiene un conflicto con uno de los exámenes parciales debido a una observancia religiosa, una actividad extracurricular programada como un juego o una actuación [no práctica], un laboratorio programado para otro curso o un compromiso similar, consulte a su instructor lo antes posible.

Política de tareas y ensp

1.) WEBWORK: Las asignaciones de Webwork en línea se pueden encontrar en la página de WeBWorK de esta clase. Las asignaciones vencen cada Lunes, miércoles y viernes a las 10 a. M. a menos que se anuncie lo contrario. El sistema WeBWorK no aceptará envíos tardíos a menos que haya hecho arreglos con su instructor. Su instructor puede ajustar su fecha límite individual en una tarea en particular en caso de enfermedad o emergencia familiar. Los exámenes, etc. de otros cursos no se consideran una razón válida para solicitar una extensión. Por favor, planifique con anticipación.

2.) Tarea escrita: Las asignaciones de tareas escritas se asignarán semanalmente y se publicarán en la página de tareas. La tarea se asignará cada miércoles y se entregará el el próximo miércoles en clase. No se aceptarán tareas tardías excepto en casos de enfermedad prolongada. Se eliminará la calificación más baja de la tarea. Para la tarea el Principio de honor se aplica a continuación.

Los grados

La calificación del curso se basará en las calificaciones del examen de mitad de período, las tareas escritas y en línea y el examen final de la siguiente manera:

Tutorial

Nuestra asistente de enseñanza graduada, Elizabeth Tripp impartirá tutoriales Martes, jueves y domingos de 7: 00-9: 00pm en 105 Kemeny, centrándose en responder a sus preguntas sobre la tarea y el material de la clase. Para obtener el máximo beneficio, le recomendamos encarecidamente que intente todos los problemas de la tarea con anticipación y que venga con sus preguntas al tutorial. Los tutoriales están abiertos a todos los estudiantes de Math 8. No necesitas cita previa.

Otra ayuda externa

  • Horas de oficina: No dude en reunirse con nosotros durante el horario de oficina (o con cita previa) si tiene preguntas sobre problemas con las tareas o cualquier otro aspecto del curso.
  • Tutoría entre iguales: El Tutor Clearinghouse del Academic Skills Center ofrece tutoría individual entre compañeros. El grupo de estudio de Matemáticas 8 se encuentra con TBA.

El principio de honor

La integridad académica es el núcleo de nuestra misión como matemáticos y educadores, y nos lo tomamos muy en serio.
Se permite y fomenta la cooperación en la tarea, pero debe escribir su tarea en sus propias palabras, reflejando su propia comprensión. Por favor reconozca a los colaboradores al comienzo de cada tarea.
En los exámenes, no puede dar ni recibir ayuda de nadie. Los exámenes de este curso son a libro cerrado y no se permiten notas, calculadoras u otros dispositivos electrónicos.
Puede encontrar más información aquí: Principio de honor.

Observancias religiosas

Algunos estudiantes pueden desear participar en las celebraciones religiosas que ocurren durante este período académico. Si tiene una observancia religiosa que entra en conflicto con su participación en el curso, reúnase con su instructor antes del final de la segunda semana del trimestre para discutir las adaptaciones apropiadas.
Un calendario de fiestas religiosas se puede encontrar aquí: Fiestas religiosas.

Discapacidades

Se anima a los estudiantes con discapacidades que puedan necesitar ajustes y servicios académicos relacionados con la discapacidad para este curso a que vean a su instructor en privado tan pronto como sea posible. Los estudiantes que requieran ajustes y servicios académicos relacionados con la discapacidad deben consultar la oficina de Servicios de Accesibilidad para Estudiantes (Carson Hall, Suite 125, 646-9900). Una vez que SAS ha autorizado los servicios, los estudiantes deben mostrar el formulario de consentimiento y servicios de SAS firmado originalmente y / o una carta con membrete de SAS a su profesor. Como primer paso, si los estudiantes tienen preguntas sobre si califican para recibir ajustes y servicios académicos, deben comunicarse con la oficina de SAS. Todas las consultas y discusiones serán confidenciales.
Para obtener más información, consulte Servicios de accesibilidad para estudiantes.


Fórmula E 2020 Yakarta

Considere una función de valor real uniforme de dos variables, digamos fx y, donde xey son números reales, por lo que f es una función del plano a la línea. Si la expansión se conoce como serie de maclaurin.

Serie de Taylor para funciones de dos variables

La serie taylor o más general de una función sobre un punto hasta el orden se puede encontrar usando seriesf x y el término de una serie taylor de una función se puede calcular en el wolframio.

Ejemplo de fórmula de expansión de la serie de Taylor para dos variables. Compensación entre el objetivo y la varianza de sesgo ¿por qué queremos contener dos componentes en el objetivo? Cambios difeomórficos de coordenadas tanto en el origen como en el destino. El espacio de todas estas funciones suaves es actuado por el grupo de difeomorfismos del plano y los difeomorfismos de la línea, es decir.

Si el resultado de nhst es significativo, la magnitud de la diferencia entre los dos grupos puede expresarse simplemente en términos de la diferencia entre las medias de los dos grupos. Cuando se comparan dos grupos independientes de una variable continua, se suele utilizar la prueba t de Student. Clasificación en geometría diferencial.

En la teoría de la probabilidad, se dice que una distribución es estable si una combinación lineal de dos variables aleatorias independientes con esta distribución tiene la misma distribución hasta los parámetros de ubicación y escala. Tamaño del efecto de Cohens d para la diferencia de medias. Se dice que una variable aleatoria es estable si su distribución es estable.

La optimización de la pérdida de entrenamiento fomenta que los modelos predictivos se ajusten bien a los datos de entrenamiento al menos para acercarlo a los datos de entrenamiento que, con suerte, están cerca de la distribución subyacente. La familia de distribución estable también se conoce a veces como la distribución estable alfa de recaudación después de paul levy. El teorema de Taylors, descubierto por primera vez por Gregory, establece que cualquier función que satisfaga ciertas condiciones puede expresarse como una serie de Taylor.

Polinomios de Taylor de una función de dos variables

Serie de Taylor Serie S de Taylor para dos variables Ejemplos de la serie de Taylor

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Funciones de polinomios de Taylor de dos variables

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Teorema de Taylor S para la función de dos variables

Regla de la cadena de derivadas totales y parciales

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Wikipedia del teorema de Taylor S

Taylor Series El chico de los métodos numéricos

¿Cómo encuentro el polinomio de Taylor de multivariable?

Wikipedia del teorema de Taylor S

Estoy tomando una expansión de la serie Taylor de una función F X I

Estoy tomando una expansión de la serie Taylor de una función F X I

Serie Taylor de Wolfram Mathworld

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Wikipedia del teorema de Taylor S

Video de ejemplos de fórmulas de definición de la serie Maclaurin

Ejemplos de polinomios cuadráticos de Taylor

Video de ejemplos de fórmulas de definición de la serie Maclaurin

Ejemplo resuelto que reconoce la función de la serie de Taylor

Polinomios de Taylor multivariables

Precisión de la serie de Taylor The Numerical Methods Guy

Ejemplo 2 de la serie de Taylor y Maclaurin

Tutorial de la serie Taylor por Chris Tralie

Wikipedia del teorema de Taylor S

Taylor Maclaurin Series Fórmula Video de introducción Khan Academy

Ejemplo 1 de la serie de Taylor y Maclaurin

Serie Taylor de Wolfram Mathworld

Definición de Taylor Series Chegg Com

Wikipedia del teorema de Taylor S

Prueba de la fórmula de expansión de la serie Taylor Maclaurin

Métodos de simulación de primer orden modificados

Introducción al teorema de Taylor S para funciones multivariables

Taylor Maclaurin Series Fórmula Video de introducción Khan Academy

Expansiones de funciones exponenciales de la serie de Taylor

Método de Taylor S para resolver O D E S

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Manipulación de la serie Taylor Brilliant Math Science Science

Taylor Series El chico de los métodos numéricos

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Encontrar una expansión de la serie Maclaurin Otro ejemplo 1

Video de ejemplos de fórmulas de definición de la serie Maclaurin

Serie Taylor en Python Python para ingenieros de pregrado

Taylor Series El chico de los métodos numéricos

Visualización de aproximaciones de la serie Taylor Video Khan Academy

Video de pasos de la serie Maclaurin para Ln 1 X

Stpm Más matemáticas T 7 2 Serie de Taylor

Video de ejemplos de fórmulas de definición de la serie Maclaurin

Ejemplo resuelto Polinomio de Taylor de función derivada

Serie de Taylor Resolución de series de Taylor con análisis complejo de series geométricas 8

¿Qué es la actualización de Lagrange Error Bound 2017?

Expansión de la serie Taylor en cálculo de variaciones

Taylor Series El chico de los métodos numéricos

Tutorial de la serie Taylor por Chris Tralie

Serie de códigos de expansión de Taylor con Matlab

Visualización de aproximaciones de la serie de Taylor

Preguntas sobre matemáticas de ingeniería de la serie Taylor Mclaurin

Serie de tutores de matemáticas Serie de funciones teóricas

Definición de Maclaurin Series Chegg Com

Uso de marcos web para aplicaciones científicas

Taylor Series Matlab Simulink

Video de ejemplos de fórmulas de definición de la serie Taylor

Dos series y ejemplos de Taylor variable

Video de ejemplos de fórmulas de definición de la serie Maclaurin

Taylor Series El chico de los métodos numéricos

Serie de tutores de matemáticas Serie de funciones teóricas

Pdf Método de la serie Taylor para resolver Fredholm lineal

Coeficiente de ejemplo resuelto en el video del polinomio de Taylor

Tutorial 5 6 Optimización de funciones Búsqueda de línea Taylor

Ap Calculus Bc Revisión Lagrange Error Bound Magoosh High

Serie de tutores de matemáticas Serie de funciones teóricas

Ejemplo resuelto de estimación de Eˣ con límite de error de Lagrange

Serie Fourier de Wolfram Mathworld

La serie Taylor Danilo Roccatano

Serie Taylor en 1 y 2 variables

Métodos numéricos Notas de clase Odas

Tutorial de la serie Taylor por Chris Tralie

Linealización de la dinámica y el control de ecuaciones diferenciales

Serie de Taylor para funciones de una variable compleja


Polinomios de Taylor + funciones de dos variables

Este es un tutorial básico sobre cómo calcular un polinomio de Taylor para una función de dos variables. Las ideas se aplican para aproximar una raíz cuadrada difícil. Estos conceptos se ven en las matemáticas universitarias.

Conferencias del curso
Tutorial de Derivadas Parciales + PDE

Este es un tutorial básico sobre cómo calcular derivadas parciales. Las ideas se aplican para mostrar que ciertas funciones satisfacen una famosa ecuación diferencial parcial, conocida como ecuación de onda. Tales ideas se ven en las matemáticas universitarias.

Regla de la cadena + derivadas parciales

Este video muestra cómo calcular derivadas parciales mediante la regla de la cadena. Estas ideas se ven en el primer año de la universidad.

Polinomios de Taylor + funciones de dos variables

Este es un tutorial básico sobre cómo calcular un polinomio de Taylor para una función de dos variables. Las ideas se aplican para aproximar una raíz cuadrada difícil. Estos conceptos se ven en las matemáticas universitarias.

Derivadas parciales + Estimación de errores

Explique el cálculo de la estimación de errores con derivadas parciales mediante un ejemplo sencillo. Tales ideas se ven en las matemáticas universitarias.

Diferenciar bajo signos integrales: regla de Leibniz

Esta presentación muestra cómo diferenciar bajo signos integrales vía. Regla de Leibniz. Se discuten muchos ejemplos para ilustrar las ideas. También se da una prueba del caso más básico de la regla de Leibniz. Tales ideas son importantes en matemáticas aplicadas e ingeniería, por ejemplo, en las transformadas de Laplace.

Cómo encontrar y clasificar puntos críticos de funciones

Este video muestra cómo calcular y clasificar los puntos críticos de funciones de dos variables. Las ideas involucran derivadas de primer y segundo orden y se ven en las matemáticas universitarias.

Encontrar puntos críticos de funciones

Este es un ejemplo que ilustra cómo encontrar y clasificar los puntos críticos de funciones de dos variables. Estas ideas se basan en la prueba de la segunda derivada y se ven en las matemáticas universitarias.

Método de los multiplicadores de Lagrange

Discuto un ejemplo básico de maximizar / minimizar una función sujeta a una restricción. El enfoque implica el método de los multiplicadores de Lagrange.

Multiplicadores de Lagrange: un ejemplo

Un ejemplo de revisión básico que muestra cómo usar los multiplicadores de Lagrange para maximizar / minimizar una función que está sujeta a una restricción.

Multiplicadores de Lagrange: 2 restricciones

Este video muestra cómo aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange a un problema máximo / mínimo. Tales ideas se ven en las matemáticas universitarias.

Funciones vectoriales de un tutorial de variable

Introducción al cálculo de funciones vectoriales de una variable. Se discuten algunos problemas simples, incluida la diferenciación, la integración y cómo determinar la curva asociada con una función (en este ejemplo, una hélice). Estas funciones se pueden utilizar para describir curvas y movimientos en el espacio.

Gradiente de una función

Un tutorial básico sobre el campo degradado de una función. Mostramos cómo calcular el gradiente, su significado geométrico y cómo se usa al calcular la derivada direccional. El gradiente es una propiedad básica del cálculo vectorial.

Divergencia de campos vectoriales

Una conferencia básica que discute la divergencia de un campo vectorial. Muestro cómo calcular la divergencia y presento una explicación geométrica de lo que representa la divergencia. Se discuten varios ejemplos. Estas ideas tienen aplicaciones importantes en el flujo de fluidos y se ven en el cálculo vectorial.

Rizo de campos vectoriales

Una introducción básica a la curvatura de un campo vectorial. Discuto cómo calcular el rizo y algunas interpretaciones geométricas. Estas ideas son importantes en el flujo de fluidos y se ven en el cálculo vectorial.

Integrales de línea

Una introducción básica sobre cómo integrar sobre curvas (integrales de línea). Se discuten varios ejemplos que involucran funciones escalares y campos vectoriales. Tales ideas encuentran aplicaciones importantes en ingeniería y física.

Ejemplos de integrales Div, Curl + Line

Ejemplos básicos de integrales de divergencia, rizo y línea a partir del cálculo vectorial. Los ejemplos se discuten y resuelven como una pregunta de tipo revisión.

Flujo en el avión. Integrales de línea

Una introducción sobre cómo calcular el flujo mediante integrales de línea. Se discuten varios métodos mediante ejemplos. Estas ideas tienen aplicaciones importantes para el flujo de fluidos y se ven en el cálculo de vectores.

Ejemplos de integrales de curvatura, gradiente y línea

Pregunta de revisión sobre integrales de curvatura, graduación y línea. Demuestro que un campo vectorial dado es irritación y luego determino su función potencial. Las ideas se aplican para calcular una integral de línea mediante el teorema fundamental de las integrales de línea.

Integral Doble Simple

Este video muestra cómo integrar sobre rectángulos. The ideas use double integrals and are seen in university mathematics.

Tutorial - Double Integrals

A tutorial on the basics of setting up and evaluating double integrals. We show how to sketch regions of integration, their description, and how to reverse the order of integration.

Reverse The Order In Double Integrals

This video shows how to reverse the order of integration in double integrals. Such ideas can simplify the calculations and are seen in university mathematics.

Double Integrals + Area

This video shows how to use double integrals to compute areas of shapes and regions. Such ideas are seen in university mathematics.

Polar Coordinates and Double Integrals

How to apply polar coordinates in double integrals for those wanting to review their understanding.

Double Integrals & Polar Co-Ordinates

This video shows how to cast and evaluate double integrals in polar co-ordinates. Such ideas are seen in university mathematics.

Centroid and Double Integrals

A basic example of how to calculate the centroid of a region via double integrals. Such problems are seen in university mathematics.

Center of Mass + Double Integrals

A basic tutorial on how to determine the center of mass of a thin plate. The technique involves a double integral of the density function and is a common problem in applied mathematics, physics and engineering.

Linear, First-Order Differential Equations

A basic introduction on how to solve linear, first-order differential equations. The study of such equations is motivated by their applications to modelling.

Homogeneous First Order Ordinary Differential Equation

I discuss and solve a "homogeneous" first order ordinary differential equation. The method involves a substitution. Such an example is seen in 1st and 2nd year university mathematics.

How to Solve 2nd Order Differential Equations

A basic introduction / revision of how to solve 2nd order homogeneous ordinary differential equations with constant coefficients. Several examples are presented and some applications to vibrating systems are discussed.

Nonhomogeneous 2nd-Order Differential Equations

A basic lecture showing how to solve nonhomogeneous second-order ordinary differential equations with constant coefficients. The approach illustrated uses the method of undetermined coefficients. I present several examples and show why the method works.

Variation of Constants / Parameters

A basic illustration of how to apply the variation of constants / parameters method to solve second order differential equations.

Intro to Laplace Transform + How to Calculate Them

This is a basic introduction to the Laplace transform and how to calculate it. Such ideas are seen in university mathematics.

First Shifting Theorem of Laplace Transforms

This video shows how to apply the First shifting theorem of Laplace transforms. Several examples are presented to illustrate how to take the Laplace transform and inverse Laplace transform and are seen in university mathematics.

Second Shifting Theorem: Laplace Transforms

This video shows how to apply the second shifting theorem of Laplace transforms. Several examples are presented to illustrate how to use the concepts. Such ideas are seen in university mathematics.

Laplace Transforms + Differential Equations

How to solve differential equations by the method of Laplace transforms. Such ideas are seen in university mathematics.

Intro to Fourier Series & How to Calculate Them

This is a basic introduction to Fourier series and how to calculate them. An example is presented that illustrates the computations involved. Such ideas are seen in university mathematics.

Fourier Series: Odd & Even Functions

How to compute Fourier series of odd and even functions. Several examples are discussed to highlight the ideas.

Fourier Series Review

A review of Fourier series. Several examples are discussed to illustrate the ideas.

Fourier Series & Differential Equations

This video shows how to solve differential equations via Fourier series. A simple example is presented illustrating the ideas, which are seen in university mathematics.

Heat Equation Derivation

Derive the heat equation in one dimension. This famous PDE is one of the basic equations from applied mathematics, physics and engineering. This presentation is an introduction to the heat equation.

Heat Equation: Separation of Variables

How solve the heat equation via separation of variables. Such ideas are seen in university mathematics, physics and engineering courses.

Heat Equation + Fourier Series

How to solve the heat equation via separation of variables and Fourier series.

Wave Equation + Fourier Series + Separation of Variables

How to solve the wave equation via Fourier series and separation of variables. Such ideas are have important applications in science, engineering and physics.


Taylor's Series of a Polynomial

Download the video from iTunes U or the Internet Archive.

PROFESSOR: Welcome back to recitation. In this video what I'd like us to do is practice Taylor series. So I want us to write the Taylor series for the following function, f of x equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 2x plus 1. So why don't you pause the video, take some time to work on that, and then I'll come back and show you what I get.

All right, welcome back. Well, we want to find the Taylor series for this polynomial f of x equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 2x plus 1. So what I'm going to do is I'm just going to write down Taylor's-- or the expression we have for the sum, for the Taylor series in general and then I'm going to start computing what I need and I'm going to see what I get. So what do I need to remember? Well let's remind ourselves what the formula is. We should get f of x is equal to the sum from n equals 0 to infinity of the nth derivative of f at 0 over n factorial times x to the n. So that's what we want.

So what I obviously need to start doing is figuring out derivatives of f at 0. And so what I'm going to do is I'm just going to make myself a little table. So let's see, we're going to say f 0 at 0, f 1 at 0, f 2 at 0, f 3 at 0, f 4 at 0. And I'm getting tired of writing, so I'm going to stop there. OK, so let's take the function-- the zeroth derivative of f is just the function itself, so let's come back here. What is the function if I evaluate it at x equals 0? 0, 0, 0, 1. I get 1.

Está bien. What is the first derivative? So I'm going to write out the first derivative and then I'm going to say I'm evaluating it at x equals 0. So the first derivative looks like it's 9 x squared plus 8 x minus 2. So I'm gonna write this down. 9 x squared plus 8 x minus 2. Evaluate it at x equals 0. 0, 0. I get negative 2.

All right, well, let me take the second derivative. OK let's see what I get here. I get 18x plus 8. And I'm going to evaluate that at x equals 0. This is just a way to write, I'm going to evaluate what's here at x equal this number, so if you haven't seen that before. So I get 8. OK and then the third derivative is 18, oh just 18. Evaluate it at x equals 0. I get 18. And then the fourth derivative. What's the derivative of a constant function? It's 0. What do you think the fifth derivative is evaluated at 0? Looks like it'll be 0. You take the sixth derivative. Looks like everything bigger than 3-- so the nth derivative at 0 is equal to 0 for n bigger than 3.

So it looks like we should only have 4 terms in this. So that maybe seems a little weird, but let's keep going and see what happens. Let's start plugging things in. So again, let's remember the formula. I'm going to walk over here to the right and I'm going to start using that formula and using these numbers that I have and writing it out. So the first term is going to be the function evaluated at 0 divided by 0 factorial times 1. 0 factorial is 1, so it's just going to be the function evaluated at 0 times 1. The function evaluated at 0, we said was 1, so that's the first term in the Taylor series.

OK what's the next term? The next term, remember, is the first derivative evaluated at 0 divided by 1 factorial, which is still 1, times x. So the first derivative, if I come back over here, evaluated at 0, I get negative 2. So I'm going to get minus 2x. The next term, so I had zeroth derivative, first derivative, now I'm at the second derivative. Now it's getting confusing. I'm going to start writing the things above. The second derivative evaluated at 0 divided by 2 factorial times x squared. That's what I should have here.

Let's come over here. Second derivative evaluated at 0 was 8. So it's going to be 8 over 2, 'cause 2 factorial is 2, x squared. So it's going to be plus 4 x squared. And then I have to have the third derivative evaluated at 0 divided by 3 factorial times x cubed. What's 3 factorial? 3 factorial is 6. What was the third derivative evaluated at 0? It was 18. 18 divided by 6 is 3. So I get plus 3 x cubed. And all the other terms were 0, so I'll just stop writing them.

OK now if you watched the video all the way through here, at some point maybe you said "Christine, this is madness." Well why is it madness? Because what is this? Well this is the function again, right? It's exactly what we started with. The order is opposite of what it was before 'cause now the powers go up instead of down, but it's the same polynomial.

OK we talked about this briefly, I think, when we were doing some quadratic approximations. And I mentioned way back that quadratic approximations of polynomials at x equals 0 are just the polynomials again. This is the exact same kind of thing happening. Because what is the Taylor series? It's just better and better approximations as n gets larger and larger. So if I wanted to have a fourth order approximation of this function f of x at x equals 0, I would get the same function back.

That's really the idea of what's happening here. So maybe you saw the sort of trick in this question, and when you saw this problem you laughed at me and you said, "Well I'm just going to write down the function again and I'll be done." Maybe you didn't see that right away, and if you didn't see that right away that's OK. I bet you're in good company. And it's totally fine because now you've seen this. You've seen how it works out. And you know, hey, now any time I see a polynomial and I want to do the Taylor series for this polynomial, I just have to write down the polynomial again.

So that was the main goal of this video. It took us a long time to get there, but I think we got it. So the answer to the ultimate answer to the question of write the Taylor series of this function, it's just this function again. All right, that's where I'll stop.


Taylor Polynomials of Functions of Two Variables - Mathematics

Indeterminate Quotient Form

May be the most natural indeterminate form is the quotient of two small numbers or . Equivalently another natural indeterminate form is the quotient of two large numbers or . In both cases, it is very easy to convince oneself that nothing can be said, in other words we have no conclusion. It is very common to see students claiming . We hope this page will convince some that it is not the case.

Hôpital's Rule: Though this rule was named after Hôpital, it is Bernoulli who did discover it in the early 1690s. This rule answers partially the problem stated above. Indeed, let f ( x ) and g ( x ) be two functions defined around the point a such that

Next we take the ratio function . Do any needed algebra and then find its limit. Hôpital's rule states that if

then you can use Hôpital's rule for the ratio function , by looking for

In other words, there is no limit where to stop.

Clearly we are in full swing to use Hôpital's rule. We have

Hence we can use Hôpital's rule. Since and , we have

So it is clear that we need to use Hôpital's rule another time. But since we proved in the example above

Remark. The above examples have a wonderful implication. Indeed, the first example implies that when then . The second example implies that when then .

Answer. Set and . We have f (0) = g (0) = 0. So we have all assumptions satisfied to use Hôpital's rule. We have

So we use Hôpital's rule again. Set and . Then we have

In fact another use of Hôpital's rule makes the functions involved even more complicated. So what do we do in this case? A partial answer is given but the use of Taylor Polynomials.

Taylor Polynomial's Technique. First recall the assumptions of the original problem: let f ( x ) and g ( x ) be two functions defined around the point a such that

Using Taylor Polynomials, we get around a (that is )

where n and m are natural numbers. Since f ( a ) = g ( a ) =0, we get

But we may have the next derivatives also equal to 0 at a . Hence we are sure that there exist two natural numbers N and M such that

when . This clearly implies

So the job is over. Indeed, it is now clear that the limit

is not a problem and depends on the natural numbers N and M .

Before we do any example showing the power behind this technique, recall that one may use all the properties of Taylor Polynomials.

Answer. First we consider the basic functions which generate the functions involved in this limit, that is and . Next we write the Taylor Polynomials of these functions

Note that if more terms are needed, we will come back and put the next terms. Using properties of Taylor Polynomials, we get

One should appreciate the beauty and power behind this technique in comparing the above calculations with the ones done under Hôpital's rule.

Summary. If you go back to the above example, the calculations suggest the following steps to follow when using Taylor Polynomials 1 write down the basic functions involved in the limit 2 write down Taylor Polynomials of the basic functions 3 make the appropriate substitutions into the Taylor Polynomials as well as any needed algebraic manipulations 4 put the stuff together and make any necessary algebraic canceling.

So we can use Hôpital's rule but we will use Taylor polynomial's technique instead. The basic functions involved are and . Taylor Polynomials of these functions are


COMPLEX VARIABLES

Time: Monday and Thursday, 2:00 to 3:50 PM.
Room: Carnegie 113
Instructor: Gregor Kovacic
Office: 420 Amos Eaton
Phone: 276-6908
E-mail: kovacg at rpi dot edu
Office Hours: Click here.

Topics

--> Complex Number System: Complex numbers, addition, multiplication, division, geometric interpretation in the complex plane, complex conjugate, absolute value, polar representation, de Moivre fromula, roots of unity, triangle inequality, geometric progression.

Analytic Functions: Derivatives of functions of a complex variable, analytic functions, Cauchy-Riemann equations, conjugate harmonic functions, power series, elementary analytic functions, exponential and trigonometric functions, complex logarithm, general complex power function, branches of multi-valued functions.

Complex Integration: Line integrals along curves in the complex plane, Cauchy's theorem, Cauchy's integral formula, derivatives of analytic functions, Morera's theorem, Liouville's theorem on bounded analytic functions, fundamental theorem of algebra, maximum modulus theorem.

Series Expansions: Taylor series of a function analytic in a circle, uniqueness theorem, Laurent series of a function analytic in an annulus, uniform convergence, integration of uniformly-convergent series, multiplication and division of power series, isolated singular points of analytic functions, poles and residues, essential singularities.

Evaluation of Definite Integrals Using Residues: Improper integrals of rational functions, rational function times a trigonometric function, Jordan's lemma, rational expressions of trigonomeric functions, integrals with indentations, Cauchy principal value, integrands containing general powers, keyhole contours.

Partial Fraction and Infinite Product Expansions: Meromorphic functions, partial fraction expansion via residue theory, expansion of the tangent and cotangent, entire functions, infinite product, expansion of the sine and cosine.

Fourier and Laplace Transforms: Fourier transform and its inverse, exponential decay and analyticity region of the Fourier transform, Laplace transform and its inverse, canlculation of Fourier and Laplace transforms and their inverses using residues, applications to differential and difference equations.

Solution of Differential Equation Using Power Series: Taylor series solutions around ordinary points, regular singular points, indicial equation, logarithmic solutions.

Conformal Mappings: Preservations of angles by analytic functions, mapping by elementary functions, linear fractional transformations, mappings by the sine function, mappings by the square roots of polynomials, conformal transformations of harmonic functions and their boundary values, applications to two-dimensional temperature distributions, electrostatics, and fluid flow, velocity potential and stream function, flows around cylinders and airfoils, Schwarz-Christoffel transformations and applications in fluids and electrostatics.


Derivatives of Polynomials

Polynomials are some of the simplest functions we use. We need to know the derivatives of polynomials such as x 4 +3 x , 8 x 2 +3 x +6, and 2. Let's start with the easiest of these, the function y = f ( x )= c , where c is any constant, such as 2, 15.4, or one million and four (10 6 +4). It turns out that the derivative of any constant function is zero. This makes sense if you think about the derivative as the slope of a tangent line. To use the definition of a derivative, with f ( x )= c ,

For completeness, now consider y = f ( x )= x . This is the equation of a straight line with slope 1, and we expect to find this from the definition of the derivative. We are not disappointed:

  • It may be tempting to ``cancel'' the term `` dx '' in the intermediate step. This is valid, but only in this simple case.
  • It will never be as easy as this again, although it won't be much harder.

Before going to the most general case, consider y = f ( x )= x 2 . This is the most basic parabola, as shown. The derivative of f ( x ) may still be found from basic algebra:

This tells us exactly what we expect the derivative is zero at x =0, has the same sign as x , and becomes steeper (more negative or positive) as x becomes more negative or positive.

An interesting result of finding this derivative is that the slope of the secant line is the slope of the function at the midpoint of the interval. Specifically,

(In the figure shown, x = -1 and h = 3, so ( x + h /2) = +1/2.
Please note that parabolic functions are the solo functions (aside from linear or constant functions) for which this is always true.

From here, we can and should consider y = f ( x )= x n for any positive integer n . There are many ways to do this, with varying degrees of formality.

To start, consider that for n a positive integer, the binomial theorem allows us to express f ( x + h ) as

(In the above, there will always be no more than n +1 nonzero terms.) Then, algebra again gives us

This very convenient form is seen to reproduce the above results for n =1, n =2 and even n =0, which is the case c =1.
The above result could be found from an inductive process, using the product rule, but the inductive step is similar to that which allows extension of the binomial theorem to all positive integers, and adds little to this presentation.

The extension from f ( x )= x n to arbitrary polynomials (only finite order will be considered here) needs only two straightforward, perhaps even obvious results:

  • The derivative of the sum of two function is the sum of the derivatives.
  • The derivative of a function multiplied by a constant is the derivative of the fuctnion multiplied by the same constant.

In symbols, these results are

In the above, c is a constant, and differentiability of the functions at the desired points is assumed.

Combining all of these results, we can see that for the coefficients ak all constants,


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