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3.9: Sustituciones en integrales múltiples - Matemáticas


Esta sección analiza la traslación de una gráfica del plano (xy ) cartesiano al plano (uv ) cartesiano y define el jacobiano.

Introducción

Como se observó en otras secciones sobre coordenadas polares, algunas integraciones de funciones en el espacio xyz se integran más fácilmente al traducirlas a diferentes sistemas de coordenadas. Estas sustituciones pueden hacer que sea más fácil trabajar con el integrando y / o los límites de integración, como lo hizo la sustitución "U" para integrales simples. En esta sección, trasladaremos funciones del plano de coordenadas cartesiano x-y-z al plano de coordenadas cartesiano u-v-w para facilitar la resolución de algunas integraciones.

Un componente clave de esta traducción se llama determinante jacobiano, o simplemente jacobiano., que mide cuánto cambia el volumen en un punto determinado cuando se transforma de un sistema de coordenadas a otro.

Es importante tener en cuenta que, aunque estamos cambiando el sistema de coordenadas en el que graficamos nuestra función, la teoría detrás de las integrales múltiples no ha cambiado. Los límites de integración aún crean el dominio bajo la curva, y la integración nos ayudará a encontrar el volumen de la figura creada por la función original y el dominio.

Discusión teórica con elaboración descriptiva

Para cualquier función dada (f (x, y) ), podemos definir xey como una función de otras variables (g (u, v) ). Para hacer esto, primero encontramos (u ) y (v ) como una función de (x ) y (y ) que permitirá un integrando más fácil. Luego, resuelve (x ) y (y ) para traducir la función de modo que (x = g (u, v) text {y} y = h (u, v) ). Esto traduce la región are de R en el plano x-y a D en el plano u-v.

Recuerda:

[I = iint_R f (x, y) dA ]

Entonces debemos encontrar (dA ):

(dA ) cambia de (dxdy ) a (| J (u, v) | dudv ). Cada cambio en u ( ( Delta u )) y cambio en v ( ( Delta v )) crea paralelogramos que son áreas pequeñas ( Delta A ) o dA. Podemos encontrar el área de cada uno de estos paralelogramos (P) tomando el producto cruzado de los dos vectores que lo crean ( ( Delta u text {y} Delta v )).

[ text {Área de P} = begin {vmatrix} vec {V_1} times vec {V_2} end {vmatrix} = J (u, v) ]

[ begin {align *} J (u, v) & = begin {vmatrix} dfrac { Partical x} { Partical u} & dfrac { Partical X} { Partical v} dfrac { y parcial} { u parcial} & dfrac { y parcial} { v parcial} end {vmatriz} & = dfrac { parcial x} { parcial u} dfrac { parcial y } { parciales v} - dfrac { parciales y} { parciales u} dfrac { parciales x} { parciales v} & = dfrac { parciales (x, y)} { parciales ( u, v)} end {align *} ]

(| J (u, v) | ) representa el área del paralelogramo y es el determinante de la matriz jacobiana, que se muestra arriba. El jacobiano mide cuánto está cambiando la transformación de la región (R ) a la región (G ). Por lo tanto, la traslación de la integración de (f (x, y) ) está representada por

[ iint_R f (x, y) dx dy = iint_G f (g (u, v), h (u, v)) | J (u, v) | du dv. ]

Lo mismo se puede aplicar para integrales triples, donde las traducciones están representadas por

[x = g (u, v, w), ; y = h (u, v, w), ; z = k (u, v, w) ]

[ begin {align *} J (u, v, w) & = dfrac { partial (x, y, z)} { partial (u, v, w)} & = begin {vmatrix } dfrac { parciales x} { parciales u} & dfrac { parciales x} { parciales v} & dfrac { parciales x} { parciales w} dfrac { parciales y} { u} parcial & dfrac { y parcial} { v parcial} & dfrac { y parcial} { w parcial} dfrac { z parcial} { u parcial} & dfrac { z parcial } { parcial v} & dfrac { parcial z} { parcial w} end {vmatriz} & = dfrac { parcial x} { parcial u} begin {vmatriz} dfrac { parcial y} { parciales v} & dfrac { parciales y} { parciales w} dfrac { parciales z} { parciales v} & dfrac { parciales z} { parciales w} end { vmatriz} - dfrac { parcial x} { parcial v} begin {vmatriz} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial w} dfrac { parcial z} { parcial u} & dfrac { parcial z} { parcial w} end {vmatriz} + dfrac { parcial x} { parcial w} begin {vmatriz} dfrac { parcial y} { u parcial} & dfrac { y parcial} { v parcial} dfrac { z parcial} { u parcial} & dfrac { z parcial} { v parcial} end { vmatrix} & = df rac { parcial x} { parcial u} izquierda ( dfrac { parcial y} { parcial v} cdot dfrac { parcial z} { parcial w} - dfrac { parcial z} { parcial v} cdot dfrac { parcial y} { parcial w} derecha) - dfrac { parcial x} { parcial v} izquierda ( dfrac { parcial y} { parcial u} cdot dfrac { parcial z} { parcial w} - dfrac { parcial z} { parcial u} cdot dfrac { parcial y} { parcial w} derecha) + dfrac { parcial x} { w parcial} izquierda ( dfrac { y parcial} { u parcial} cdot dfrac { z parcial} { v parcial} - dfrac { z parcial} { u parcial} cdot dfrac { y parcial} { v parcial} derecha) end {alinear *} ]

Este método para obtener el jacobiano se llama expansión cofactor.

Aunque la introducción se centró principalmente en traducir una función cartesiana a un sistema de coordenadas cartesiano diferente, el concepto de jacobiano también se puede utilizar para explicar cómo funcionan las traducciones a coordenadas polares.

Para coordenadas cilíndricas

[x = r text {cos} theta, y = r text {sin} theta, z = z ]

Por lo tanto:

[J (u, v, w) = begin {vmatrix} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} & dfrac { parcial x} { parcial w} dfrac { y parcial} { u parcial} & dfrac { y parcial} { v parcial} & dfrac { y parcial} { parcial w} dfrac { z} parcial { u parcial} & dfrac { z parcial} { v parcial} & dfrac { z parcial} { w parcial} end {vmatrix} = begin {vmatrix} text {cos} theta & -r text {sin} theta & 0 text {sin} & r text {cos} theta & 0 0 & 0 & 1 end {vmatrix} ]

[ iiint_D F (x, y, z) dx dy dz = iiint_G H (r, theta, z) | r | dr d theta dz ]

Para coordenadas esféricas

[J ( rho, phi, theta) = begin {vmatrix} dfrac { Partical x} { Partical rho} & dfrac { Partical X} { Partical phi} & dfrac { parcial x} { parcial theta} dfrac { parcial y} { parcial rho} & dfrac { parcial y} { parcial phi} & dfrac { parcial y} { parcial theta} dfrac { parcial z} { parcial rho} & dfrac { parcial z} { parcial phi} & dfrac { parcial z} { parcial theta} end {vmatrix } = rho ^ 2 text {sin} phi ]

[ iiint_D F (x, y, z) dx dy dz = iiint_G H ( rho, phi, theta) | rho ^ 2 text {sin} phi | d rho d phi d theta ]

Por lo tanto, (dx , dy , dz ) se convierte en (rd , rd , theta ) en coordenadas cilíndricas y ( rho ^ 2 text {sin} phi d rho d phi d theta ) en coordenadas esféricas.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Usa la siguiente transformación para evaluar la integral.

[u = dfrac {y} {x} text {y} v = xy ]

[ iint_R dfrac {y} {x} dA ]

[ text {Donde R está limitado por:} 1 le u le 2 text {y} 1 le v le 2 ]

Solución

Primero encuentra (x ) y (y ) como funciones de (u ) y (v ):

(u = dfrac {y} {x} ) (v = xy )

(y = xu ) ( rightarrow ) (x = dfrac {v} {y} )

(x = dfrac {v} {xu} )

(x ^ 2 = dfrac {v} {u} )

(x = sqrt { dfrac {v} {u}} )

(y = xu )

(y = left ( sqrt { dfrac {v} {u}} right) u )

(y = sqrt {vu} )

(x = g (u, v) = sqrt { dfrac {v} {u}} text {y} y = h (u, v) = sqrt {vu} )

Usando (x = g (u, v) text {y} y = h (u, v) ), encuentra el integrando en términos de (u text {y} v ):

[ dfrac {y} {x} = dfrac { sqrt {vu}} { sqrt { dfrac {v} {u}}} = u ]

Y (dA ) cambia de (dx dy ) a ( left | J (u, v) right | du dv ). El jacobiano es igual a:

[J (u, v) = begin {vmatrix} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} dfrac { parcial y} { u} parcial & dfrac { y parcial} { v parcial} end {matriz v} = dfrac { x parcial} { u parcial} dfrac { y parcial} { v parcial} - dfrac { parcial y} { parcial u} dfrac { parcial x} { parcial v} ]

[ dfrac { partial x} { partial u} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {3} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} dfrac { partial x} { partial v} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} dfrac { y parcial} { parcial u} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} dfrac { y parcial} { parcial v} = dfrac {1} {2} u ^ { dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} ]

[ begin {align *} J (u, v) & = begin {vmatrix} dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {3} {2}} v ^ { dfrac {1 } {2}} & dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} & dfrac {1} {2} u ^ { dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} end {vmatrix} & = left (- dfrac {1} {4} u ^ {- 1} - dfrac {1} {4} u ^ {- 1 } right) & = dfrac {1} {2u} end {align *} ]

Por lo tanto, evalúe:

[ begin {align *} & int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 u left ( dfrac {1} {2u} right) du dv & = int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 dfrac {1} {2} du dv & = int_1 ^ 2 left. dfrac {1} {2} u right | _1 ^ 2 dv & = int_1 ^ 2 1 - dfrac {1} {2} dv & = left. dfrac {1} {2} v right | _1 ^ 2 & = 1 - dfrac {1} {2} = dfrac {1} {2} end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Usa la siguiente transformación para evaluar la integral.

[u = x- dfrac {1} {2} y text {y} v = y ]

[ int_0 ^ { dfrac {1} {2}} int _ { dfrac {y} {2}} ^ { dfrac {y + 4} {2}} y ^ 3 (2x-y) e ^ {{2x-y} ^ 2} dx dy ]

Solución

Primero resuelve para (x ) y (y ):

(u = x- dfrac {1} {2} y ) (v = y )

(u = x- dfrac {1} {2} v ) (y = v )

(x = u + dfrac {1} {2} v ).

Luego sustituye (x ) y (y ) por (g (u, v) ) y (h (u, v) ):

El integrando:

[y ^ 3 (2x-y) e ^ {{2x-y} ^ 2} rightarrow v ^ 3 [2 (u + dfrac {1} {2} v) - v] e ^ {{ [2 (u + dfrac {1} {2} v) - v]} ^ 2} ]

[= v ^ 3 (2u) e ^ {{2u} ^ 2} ]

[= (2uv ^ 3) e ^ {4u ^ 2} ]

La transformación también cambia los límites de la integración

( begin {align *} x & = dfrac {y + 4} {2} rightarrow u + dfrac {1} {2} v = dfrac {v +4} {2} [ 4pt] & = dfrac {y} {4} rightarrow u + dfrac {v} {2} = dfrac {v} {2} end {align *} ]

(u = dfrac {4} {2} )

(u = 0 )

(u = 2 )

Y (dx dy ) cambia a ( left | J (u, v) right | du dv ). El jacobiano es igual a:

[J (u, v) = begin {vmatrix} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} dfrac { parcial y} { u} parcial & dfrac { y parcial} { u parcial} end {matriz v} = dfrac { x parcial} { u parcial} dfrac { y parcial} { v parcial} - dfrac { parcial y} { parcial u} dfrac { parcial x} { parcial v} ]

[= begin {vmatrix} 1 & 5 0 & 1 end {vmatrix} = 1 ]

Por lo tanto,

[ begin {align *} iint_R f (x, y) dx dy & = iint_G f (g (u, v), h (u, v)) | J (u, v) | du dv & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} int_0 ^ 2 2uv ^ 3 e ^ {4u ^ 2} (1) dv du & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} left. dfrac {ue ^ {4u ^ 2} v ^ 4} {2} right | _0 ^ 2 du & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} 8ue ^ {4u ^ 2} du & = left. e ^ {4u ^ 2} right | _0 ^ { dfrac {1} {2}} & = e-1 end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentra la masa de un objeto delimitado por

(1 le x le 2, 0 le xy le 1, 0 le z le 2 )

con una densidad que se puede describir con la fórmula (x ^ 2 y + 2xyz ) usando la transformación (u = x, v = xy, w = 3z ).

Solución

Configure la integral en coordenadas cartesianas:

[ int_1 ^ 2 int_0 ^ { dfrac {1} {x}} int_0 ^ 2 x ^ 2y + 2xyz dzdydx. ]

Para aplicar la sustitución, primero resuelve (x ) y (y ) usando las transformaciones dadas:

[u = x qquad v = xy qquad w = 3z ]

[x = u qquad y = dfrac {v} {x} qquad z = dfrac {w} {3} ]

[y = dfrac {v} {u}. ]

Luego haga las sustituciones apropiadas dentro del integrando:

[x ^ 2 y + 2xyz rightarrow u ^ 2 left ( dfrac {v} {u} right) + 2u left ( dfrac {v} {u} right) left ( dfrac {w } {3} right) rightarrow uv + dfrac {2vw} {3}. ]

A continuación, busque los nuevos límites de la región que queremos integrar:

(1 le x le 2 rightarrow 1 le u le 2 )

(0 le xy le 1 rightarrow 0 le v le 1 )

(0 le z le 2 rightarrow 0 le dfrac {w} {3} le 2 rightarrow 0 le w le 6 ).

Para completar la transformación, busque el jacobiano:

[ begin {align *} J (u, v, w) & = dfrac { partial (x, y, z)} { partial (u, v, w)} = begin {vmatrix} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} & dfrac { parcial x} { parcial w} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { y parcial} { v parcial} & dfrac { y parcial} { w parcial} dfrac { z parcial} { u parcial} & dfrac { z parcial} { parcial v} & dfrac { parcial z} { parcial w} end {vmatrix} & = begin {vmatrix} 1 & 0 & 0 - dfrac {v} {u ^ 2} & dfrac {1} {u} & 0 0 & 0 & dfrac {1} {3} end {vmatrix} & = dfrac {1} {3u}. end {alinear *} ]

Observe que el jacobiano de una matriz triangular inferior (los valores sobre la diagonal son todos cero) es la multiplicación de las entradas diagonales. Puede confirmar esto con la expansión del cofactor.

Usando todas nuestras transformaciones calculadas, podemos calcular la nueva integral:

[ begin {align *} text {Mass} & = int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 left (uv + dfrac {2vw} {3} right) dfrac {1} {3u } dudvdw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 v + dfrac {2vw} {3u} dudvdw & = dfrac {1} {2 } int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 left. vu + dfrac {2vw} {3} ln | u | right | _1 ^ 2 dvdw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 v + dfrac {2vw} {3} ln2 dvdw & = dfrac {1 } {3} int_0 ^ 6 left. dfrac {v ^ 2} {2} + dfrac {2w ln2} {3} left ( dfrac {v ^ 2} {2} right) right | _0 ^ 1 dw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 dfrac {1} {2} + dfrac {w ln2} {3} dw & = dfrac {1} {3} left [ dfrac { 1} {2} w + dfrac {w ^ 2 ln2} {6} right] _0 ^ 6 & = dfrac {1} {3} left [3 + 6 ln2 right] & = 1 + 2 ln2. end {alinear *} ]


Cálculo temprano trascendental: cálculo integral y multivariable para ciencias sociales

No hace falta decir que la mayoría de los problemas de integración que encontraremos no serán tan simples. Es decir, necesitaremos más que las reglas básicas de integración que hemos visto. Aquí hay un ejemplo un poco más complicado: Buscar

Este no es un derivado "simple", pero un pequeño pensamiento revela que debe haber venido de una aplicación de la regla de la cadena. Multiplicado en el "exterior" es (2x text <,> ) que es la derivada de la función "interior" ( ds x ^ 2 text <.> ) Verificando:

Para resumir: si sospechamos que una función dada es la derivada de otra a través de la regla de la cadena, dejamos que (u ) denote un candidato probable para la función interna, luego traduzca la función dada para que esté escrita completamente en términos de (u text <,> ) sin (x ) restante en la expresión. Si podemos integrar esta nueva función de (u text <,> ) entonces la antiderivada de la función original se obtiene reemplazando (u ) por la expresión equivalente en (x text <.> ) Este El resultado nos lleva al siguiente teorema.

Teorema 2.1. Regla de sustitución para integrales indefinidas.

Si (u = g (x) ) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo (I ) y (f ) es continuo en (I text <,> ) entonces

Podemos describir dos métodos sobre cómo se puede desarrollar la regla de sustitución en un proceso de integración.

Método 1: Incluso en casos simples, es posible que prefiera utilizar este procedimiento mecánico, ya que a menudo ayuda a evitar errores tontos. Por ejemplo, considere nuevamente este simple problema:

Sea ( ds u = x ^ 2 text <,> ) luego (du / dx = 2x ) o (du = 2x , dx text <.> ) Ya que tenemos exactamente (2x , dx ) en la integral original, podemos reemplazarla por (du text <:> )

Método 2: Esta no es la única forma de hacer álgebra y, por lo general, hay muchos caminos para la respuesta correcta. Por ejemplo, desde (du / dx = 2x text <,> ) tenemos que (dx = du / 2x text <,> ) y entonces la integral se convierte

Directriz para la regla de sustitución.

con (f ) continuo y (g ) diferenciable, los siguientes pasos describen el para integrar (I text <.> )

Sea (u = g (x) text <,> ) que es típicamente la función interna de la composición de la función en el integrando.

Escribe la integral (I ) únicamente en términos de (u ) usando cualquiera de los métodos:

use la sustitución (u = g (x) ) y (du = g '(x) dx text <> ) o

reemplace (dx ) con (du / g '(x) ) y cancele (g' (x) text <.> )

Integrar con respecto a (u text <.> )

Reemplaza (u ) por (g (x) ) para escribir el resultado en términos de (x ) solamente.

Independientemente de cómo se desarrolle la regla de sustitución en el proceso de solución, la parte importante es que debe eliminar todas las instancias de la variable original, a menudo (x text <,> ) durante el proceso y luego escribir su resultado en términos del original variable (x text <.> )

A veces, el integrando debe reorganizarse para ver si la regla de sustitución es una posible técnica de integración.

Si un primero la sustitución no funcionó, luego intente simplificar o reorganizar el integrando para ver si un diferente se puede utilizar la sustitución.

Como pauta general para la regla de sustitución, buscamos el adentro función (u ) para ser

el radicando debajo de una raíz: p. ej.,

la base en una potencia con un exponente real: por ejemplo,

el exponente en una potencia con una base real: por ejemplo,

el denominador en una fracción: por ejemplo,

Sin embargo, a veces (u ) puede ser algo diferente a lo sugerido anteriormente, así que tenga la mente abierta sobre este proceso.

Ejemplo 2.2. Regla de sustitución.

Evalúe ( ds int (ax + b) ^ n , dx text <,> ) asumiendo que (a, b ) son constantes, (a not = 0 text <,> ) y (n ) es un número entero positivo.

Dejamos (u = ax + b ) entonces (du = a , dx ) o (dx = du / a text <.> ) Entonces

Ejemplo 2.3. Regla de sustitución.

Evalúe ( ds int sin (ax + b) , dx text <,> ) asumiendo que (a ) y (b ) son constantes y (a not = 0 text < .> )

De nuevo, dejamos (u = ax + b ) entonces (du = a , dx ) o (dx = du / a text <.> ) Entonces

Ejemplo 2.4. Sustitución en denominador.

Evalúe la siguiente integral: ( ds int frac <2y> < sqrt <1-4y ^ 2 >> , dy text <.> )

En el numerador tenemos (2y

dy text <,> ) por lo que reescribir el diferencial da:

Ejemplo 2.5. Sustitución en Base.

Evalúa la siguiente integral: ( ds int cos x ( sin x) ^ 5 , dx text <.> )

En esta pregunta dejaremos (u = sin x text <.> ) Entonces,

Por tanto, la integral se convierte en:

Ejemplo 2.6. Sustitución.

Evalúa la siguiente integral: ( ds int frac < cos ( sqrt x)> < sqrt x> , dx text <.> )

Reescribiendo el diferencial obtenemos:

Ejemplo 2.7. Sustitución.

Evalúa la siguiente integral: ( ds int 2x ^ 3 sqrt, dx text <.> )

Este problema es un poco diferente a los anteriores. Tiene sentido dejar:

Hacer esta sustitución da:

Esto es un problema porque nuestras integrales no pueden contener una mezcla de dos variables. Por lo general, esto significa que elegimos nuestro (u ) incorrectamente. Sin embargo, en este caso podemos eliminar las (x ) restantes de nuestra integral usando:

Ahora procedemos simplificando el integrando y notando que nos quedamos con funciones de potencia, que se integran fácilmente.


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Utilice la sustitución de u para evaluar la integral.

Dado que estamos tratando con una integral definida, necesitamos usar la ecuación. u = sin. para encontrar límites de integración en términos de. u. en vez de . X.

La sustitución en U en integrales definidas es como la sustitución en integrales indefinidas, excepto que, dado que se cambia la variable, también se deben cambiar los límites de integración.

Sustituyendo de nuevo en la integral (incluidos nuestros límites de integración), obtenemos


Integre lo siguiente con respecto ax

= & # xa0 ∫ cot x / log (sen x) & # xa0 dx & # xa0

Diferenciar con respecto a "x"

cot x / log (sen x) & # xa0 dx & # xa0 = & # xa0 & # xa0 ∫du / u

Integre lo siguiente con respecto ax

= & # xa0 ∫ [ cosec x / log (tan (x / 2))] & # xa0 dx & # xa0

Integre lo siguiente con respecto ax

= & # xa0 ∫ [ sin 2x / (a ​​2 & # xa0 + b 2 & # xa0sin 2 x)] & # xa0 dx & # xa0

∫ [ sen 2x / (a ​​2 & # xa0 + b 2 & # xa0sin 2 x)] & # xa0 dx & # xa0 = & # xa0 & # xa0 ∫ (du / b 2) / u

& # xa0 = & # xa0 & # xa0 (1 / b 2) log u + c

& # xa0 = & # xa0 & # xa0 (1 / b 2) registro ( a 2 & # xa0 + b 2 & # xa0sin 2 x) & # xa0 + c

Integre lo siguiente con respecto ax

= & # xa0 ∫ [ sen -1 x / √ (1 - x 2)] & # xa0 dx & # xa0

∫ [ sen -1 x / √ (1 - x 2)] & # xa0 dx & # xa0 = & # xa0 & # xa0 ∫ u du

& # xa0 = & # xa0 ( sin -1 x) 2/2 + c

Integre lo siguiente con respecto ax

& # xa0 = & # xa0 2 [( ∫u du) - 2 & # xa0 ∫ du + & # xa0 ∫ (1 / u) du]

= & # xa0 2 [u 2/2 - 2u + log u] + c

= & # xa0 (1 + & # xa0 √x) 2 & # xa0 - 4 (1 + & # xa0 √x) & # xa0 + 2log & # xa0 (1 + & # xa0 √x) + c

Integre lo siguiente con respecto ax

= & # xa0 ∫ [ 1 / (x log x log (log x))] & # xa0 dx & # xa0

∫ [ 1 / (x log x log (log x))] & # xa0 dx = & # xa0 1 / (x logx) (log (logx))] & # xa0 dx & # xa0

Después de haber repasado todo lo anterior, esperamos que los estudiantes hayan entendido "Cómo evaluar integrales mediante sustitución".

Aparte de lo que se proporciona en "Cómo evaluar integrales mediante sustitución", & # xa0, si necesita cualquier otra cosa en matemáticas, utilice nuestra búsqueda personalizada de Google aquí.

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10 respuestas 10

La "regla de la cadena" para la integración es la integración por sustitución.

Entonces, en su caso, tenemos $ f (x) = x ^ 5 $ y $ varphi (t) = 2t + 3 $:

$ int (2t + 3) ^ 5 text t = int <1 over 2> left ((2t + 3) ^ 5 cdot2 right) text t = <1 sobre 2> int x ^ 5 text x = <1 sobre 12> x ^ 6 + C = <1 sobre 12> (2t + 3) ^ 6 + C $

Si conocemos la integral de cada una de las dos funciones, no se sigue que podamos calcular la integral de su compuesto a partir de esa información.

Ejemplo
$ int e ^ <-x> dx = -e ^ <-x> + C int x ^ 2 dx = frac <3> + C $ pero $ int e ^ <- x ^ 2> dx = frac < sqrt < pi >> <2> mathrm(x) + C $ no es una función elemental.

Supongo que estás preguntando cómo hacer la integral.

Luego reemplaza $ u $ con el $ 2x + 3 $ original para obtener

Si desea ver cómo se relaciona esto con la regla de la cadena, tome la derivada de su respuesta y debería obtener la función "dentro" de la integral original.

Usando la regla de la cadena obtenemos

Perdón por llegar tarde aquí, pero creo que las otras (excelentes) respuestas pierden un punto clave. No existe un equivalente directo y todopoderoso de la regla de la cadena diferencial en la integración. La existencia de la regla de la cadena para la diferenciación es esencialmente lo que hace que la diferenciación funcione para una clase tan amplia de funciones, porque siempre se puede reducir la complejidad. La ausencia de un equivalente para la integración es lo que hace de la integración un mundo de técnicas y trucos.

El punto clave del que hablo, por tanto, es que casi no se pueden integrar funciones! Dada una función de cualquier complejidad, las posibilidades de que su antiderivada sea una función elemental son muy pequeñas.

Esto es profundamente contrario a las expectativas que crea al aprender la integración, pero eso se debe a que las lecciones se centran en las funciones que lata integrar, que afortunadamente se superponen estrechamente con el tipo de funciones elementales que habría aprendido en esa etapa: trig, exp, polinomios, inversos. No se centran en la ausencia de técnicas sobre funciones no integrables, porque no hay mucho que decir y eso deja la impresión de que tener una antiderivada elemental es la norma. Y cuando lo piensas, la técnica clave en la integración es detectar cómo convertir lo que tienes en el resultado de una diferenciación, para que puedas ejecutarlo al revés.

Afortunadamente, muchas de las funciones integrables son comunes y útiles, por lo que no es una batalla perdida. Y la mina de los trucos analíticos es bastante profunda. Y cuando eso se acaba, existen métodos aproximados y numéricos - series de Taylor, regla de Simpson y similares, o, como decimos hoy en día, "computadoras" - para resolver cualquier cosa definida. O simplemente le damos al resultado un nombre agradable (por ejemplo, erf) y lo dejamos así.


¿Cómo hacer una sustitución en U? Explicado fácilmente con 11 ejemplos poderosos

En nuestra lección anterior, Teorema fundamental del cálculo, exploramos las propiedades de la integración, cómo evaluar una integral definida (FTC # 1) y también cómo tomar una derivada de una integral (FTC # 2).

En esta lección, aprenderemos la sustitución en U, también conocida como integración por sustitución o simplemente u-sub para abreviar.

Notación de función compuesta

La sustitución en U es una técnica que usamos cuando el integrando es una función compuesta.

¿Qué es una función compuesta de nuevo?

Bueno, la composición de funciones es aplicar una función a los resultados de otra.

Ok, pero ¿cómo nos ayuda eso con la integración?

Bueno, lo primero que tendremos que hacer es reconocer que se nos pide que integremos un producto de una función y su derivada, y toma la forma de una función compuesta. Esta idea ahora debería resultarte familiar & # 8230

¿Recuerdas cuando estudiamos la regla de la cadena mientras tomábamos derivadas?

Bueno, ¡U-Sub no es más que el reverso de la regla de la cadena!

Necesitaremos hacer un cambio de variables.

Según las notas de Paul & # 8217s Online, la esencia de la regla de sustitución es tomar una integral en términos de X y transformarla o cambiarla en términos de U.

Identificación del cambio de variables para la sustitución en U

Bueno, la clave es encontrar la función exterior y la función interior, donde la función exterior es la derivada de la función interior.

Luego haremos una sustitución adecuada que simplificará nuestro integrando para que podamos integrar, como se ilustra en tres sencillos pasos a continuación:

Tenga en cuenta que no importa qué técnica usemos, el objetivo es siempre el mismo & # 8230

& # 8230¡Estamos encontrando la antiderivada del integrando!

Juntos veremos 11 ejemplos de integración por sustitución de integrales indefinidas y definidas.


"El camino difícil" para ir a esta integral múltiple se ve de la siguiente manera:

La integral más interna tiene el valor $ sqrtPS La siguiente integral con la que nos enfrentamos es $ I (x): = int_0 ^ < sqrt> sqrt dy . $ Durante la integración $ x $ es constante. "Sustitución trigonométrica" ​​significa aquí que de alguna manera deberíamos usar $ 1- sin ^ 2 t equiv cos ^ 2 t $ para deshacernos de la raíz cuadrada. Por lo tanto sustituimos $ y: = sqrt sin t , quad dy = sqrt cos t dt qquad (0 leq t leq < pi over2>) , $ y $ I (x) $ se convierte en $ I (x) = (r ^ 2-x ^ 2) int_0 ^ < pi / 2> cos ^ 2 t dt . $ Ahora usa la regla "$ cos ^ 2 ( omega t) $ o $ sin ^ 2 ( omega t) $ integrada sobre un número entero de períodos trimestrales da la mitad de la longitud del intervalo de integración "y obtiene $ I (x) = < pi over4> (r ^ 2-x ^ 2) $.

Queda por calcular la integral más externa: $ < rm vol> (B_r) = 8 int_0 ^ r I (x) dx = 2 pi int_0 ^ r (r ^ 2-x ^ 2) dx = 2 pi (r ^ 2x-) Bigr | _0 ^ r = <4 pi over3> r ^ 3 . $


Usar variables en definiciones de pasos

La sintaxis de enlace se puede utilizar para cambiar dinámicamente los valores de la configuración del paso de implementación. Si las variables tienen un alcance, esto hace que sea realmente fácil modificar la configuración de un paso de implementación según el entorno de destino.

La mayoría de los campos de texto que admiten la vinculación a variables tendrán un botón de inserción de variable:

Para configuraciones que admiten variables pero que no son texto (como menús desplegables o casillas de verificación), se muestra un botón para alternar los modos de expresión personalizados:


Para simplificar las cosas, asumiremos que la variable original es X. Naturalmente, los mismos pasos funcionarán para cualquier variable de integración.

Integrales indefinidas Integrales definidas
1 Definir tu por su cambio de variables. (Por lo general tu será la función interna en una función compuesta).
2 Diferenciar tu encontrar duy resolver para dx.
3 Sustituye en el integrando y simplifica.
4 (Nada que hacer) Utilice la sustitución para cambiar los límites de integración. Tenga cuidado de no invertir el orden. Ejemplo: si tu = 3 & # x2212XLuego se convierte en.
5 Si X todavía ocurre en cualquier parte del integrando, tome su definición de tu del paso 1, resuelva para X en términos de tu, sustituir en el integrando y simplificar.
6 Integrar.
7 Sustituir de nuevo por tu, para que tu respuesta sea en términos de X. Evaluar con tu en la parte superior e inferior nuevo límites y restar. No es necesario convertir de tu de regreso X.

Algoritmos

Cuando usa IgnoreAnalyticConstraints, int aplica estas reglas:

Iniciar sesión(a) + registro (B) = registro (a·B) para todos los valores de a y B. En particular, la siguiente igualdad es válida para todos los valores de a, B, y C:

Iniciar sesión(a B ) = B·Iniciar sesión(a) para todos los valores de a y B. En particular, la siguiente igualdad es válida para todos los valores de a, B, y C:

Si F y gramo son funciones matemáticas estándar y F(gramo(X)) = X para todos los números positivos pequeños, entonces F(gramo(X)) = X se supone que es válido para todos los valores complejos X. En particular:


Ver el vídeo: Integral Doble Cambio de Variable. Jacobiano #2. LARSON (Septiembre 2021).