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4.8: Teorema de Green en el plano


El teorema de Green nos permite convertir la integral de línea en una integral doble sobre la región encerrada por (C ). La discusión se da en términos de campos de velocidad de los flujos de fluidos (un fluido es un líquido o un gas) porque son fáciles de visualizar. Sin embargo, el teorema de Green se aplica a cualquier campo vectorial, independientemente de cualquier interpretación particular del campo, siempre que se satisfagan los supuestos del teorema. Introducimos dos nuevas ideas para el teorema de Green: divergencia y densidad de circulación alrededor de un eje perpendicular al plano.

Divergencia

Suponga que (F (x, y) = M (x, y) hat { textbf {i}} + N (x, y) hat { text {j}} ), es el campo de velocidad de un fluido que fluye en el plano y que las primeras derivadas parciales de (M ) y (N ) son continuas en cada punto de una región (R ).

Sea ((x, y) ) un punto en (R ) y sea (A ) un pequeño rectángulo con una esquina en ((x, y) ) que, junto con su interior, se encuentra enteramente en (R ). Los lados del rectángulo, paralelos a los ejes de coordenadas, tienen longitudes de ( Delta x ) y ( Delta y ). Suponga que los componentes (M ) y (N ) no cambian de signo en una pequeña región que contiene el rectángulo (A ). La velocidad a la que el fluido sale del rectángulo a través del borde inferior es aproximadamente

[F (x, y) = M (x, y) hat { textbf {i}} + N (x, y) hat { textbf {j}} ]

Esta es la componente escalar de la velocidad en ((x, y) ) en la dirección de la normal hacia afuera multiplicada por la longitud del segmento. Si la velocidad está en metros por segundo, por ejemplo, el caudal será en metros por segundo multiplicado por metros o metros cuadrados por segundo. Las velocidades a las que el fluido cruza los otros tres lados en las direcciones de sus normales exteriores se pueden estimar de manera similar. Los caudales pueden ser positivos o negativos dependiendo de los signos de los componentes de (F ). Aproximamos la tasa de flujo neta a través del límite rectangular de (A ) sumando las tasas de flujo a través de los cuatro bordes según lo definido por los siguientes productos escalares.

  • Arriba: [F (x, y + Delta y) cdot ( hat { textbf {j}}) Delta x = -N (x, y + Delta y) Delta x ]
  • Abajo: [F (x, y) cdot (- hat { textbf {j}}) Delta x = -N (x, y) Delta x ]
  • Derecha: [F (x + Delta x, y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta y = M (x + Delta x, y) Delta y ]
  • Izquierda: [F (x, y) cdot (- hat { textbf {i}}) Delta y = -M (x, y) Delta y ]

Sumar pares opuestos da

  • Arriba y abajo: [(N (x, y + Delta y) -N (x, y)) cdot ( Delta x) ]
  • Derecha e izquierda: [(M (x + Delta x, y) -M (x, y)) cdot ( Delta y) ]

La suma de estas dos últimas ecuaciones da el efecto neto de las tasas de flujo, o el Flujo a través del límite del rectángulo. Ahora dividimos por (xy ) para estimar el flujo total por unidad de área o densidad de flujo para el rectángulo: Finalmente, dejamos que (J_ {lx} ) y (J_ {ly} ) se acerquen a cero para definir el densidad de flujo de (F ) en el punto ((x, y) ). En matemáticas, llamamos densidad de flujo a la divergencia de (F ). El símbolo para ello es div (F ), pronunciado "divergencia de (F ) 'o" div (F ) ".

La divergencia (densidad de flujo) de un campo vectorial (F = text {el punto} (x, y) ) es

[divF = dfrac { parcial M} { parcial x} + dfrac { parcial N} { parcial x}. ]

Girar alrededor de un eje: el componente k de Curl

La segunda idea que necesitamos para el Teorema de Green tiene que ver con medir cómo una rueda de paletas flotante, con eje perpendicular al plano, gira en un punto de un fluido que fluye en una región plana. Esta idea da una idea de cómo circula el fluido alrededor de ejes ubicados en diferentes puntos y perpendiculares a la región. Los físicos a veces se refieren a esto como la densidad de circulación de un campo vectorial (F ) en un punto. Para obtenerlo, volvemos al campo de velocidad.

[F (x, y) = M (x, y) hat { textbf {i}} + N (x, y) hat { textbf {j}} ]

y considere el rectángulo (A ) en la figura 16.29 (donde asumimos que ambos componentes de (F ) son positivos).

La tasa de circulación de (F ) alrededor del límite de (A ) es la suma de las tasas de flujo a lo largo de los lados en la dirección tangencial. Para el borde inferior, el caudal es aproximadamente

[F (x, y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta x = -M (x, y) Delta x ]

Este es el componente escalar de la velocidad (F (x, y) ) en la dirección de la tangente ( hat { textbf {i}} ) multiplicado por la longitud del segmento. Los caudales pueden ser positivos o negativos dependiendo de los componentes de (F ). Aproximamos la tasa de circulación neta alrededor del límite rectangular de (A ) sumando las tasas de flujo a lo largo de los cuatro bordes según lo determinado por los siguientes productos escalares.

  • Arriba: [F (x, y + Delta y) cdot (-i) Delta x = -M (x, y + Delta y) Delta x ]
  • Abajo: [F (x, y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta x = M (x, y) Delta x ]
  • Derecha: [F (x + Delta x, y) cdot ( hat { textbf {j}}) Delta y = N (x + Delta x, y) Delta y ]
  • Izquierda: [F (x, y) cdot (- hat { textbf {j}} Delta y = - N (x, y) Delta y ]
  • Arriba y abajo: [- (M (x, y + Delta y) -M (x, y)) cdot ( Delta x) ]
  • Derecha e izquierda: [(N (x + Delta x, y) -N (x, y)) cdot ( Delta y) ]

Al sumar estas dos últimas ecuaciones se obtiene la circulación neta en relación con la orientación en sentido antihorario, y dividir por JlxJly da una estimación de la densidad de circulación para el rectángulo:

Circulación alrededor del área de rectángulo

Dejamos que (J_ {lx} ) y (J_ {ly} ) se acerquen a cero para definir la densidad de circulación de (F ) en el punto ((x, y) ).

Si vemos una rotación en sentido antihorario mirando hacia abajo en el plano xy desde la punta del vector unitario ( hat { textbf {k}} ), entonces la densidad de circulación es positiva (figura 16.30). El valor de la densidad de circulación es el ( hat { textbf {k}} ) - componente de un campo vectorial de circulación más general que abordamos en la sección 16.7, llamado rizo del campo vectorial (F ). Para el teorema de Green, solo necesitamos este componente ( hat { textbf {k}} ).

La densidad de circulación de un campo vectorial (F = M hat { textbf {i}} + N hat { textbf {j}} ) en el punto ((x, y) ) es la expresión escalar

[ dfrac { parcial M} { parcial x} - dfrac { parcial N} { parcial x} ]

Teorema ( PageIndex {1} ): Teorema de Green (forma flujo-divergencia)

Sea (C ) una curva cerrada simple, suave por partes que encierra una región (R ) en el plano. Sea (F = M hat { textbf {i}} + N hat { textbf {j}} ) un campo vectorial con (M ) y (N ) con primeras derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene (R ). Entonces el flujo hacia afuera de (F ) a través de (C ) es igual a la integral doble de (div F ) sobre la región (R ) encerrada por (C ).

[ oint_C F cdot nds = oint_CMdy-Ndx = iint_ {R} ^ {} left ( dfrac { parcial M} { parcial x} + dfrac { parcial N} { parcial x} right) dx , dy ]

Teorema ( PageIndex {2} ): Teorema de Green (forma de divergencia de flujo)

Sea (C ) una curva cerrada simple, suave a trozos que encierra una región (R ) en el plano. Entonces, la circulación en sentido antihorario de (F ) alrededor de (C ) es igual a la integral doble de ((curl F) cdot k ) sobre (R ).

[ oint_C F cdot Tds = oint_CMdy + Ndx = iint_ {R} ^ {} left ( dfrac { parcial N} { parcial x} - dfrac { parcial M} { parcial x} right) dx , dy ]


Entonces el problema pide evaluar la integral a lo largo de un contorno de la función (e ^ x) * cos (y) * dx- (e ^ x) * sin (y) * dy, donde el contorno C es una línea discontinua de A = (ln (2), 0) a D = (0,1) a B = (-ln (2), 0).

Sé que el teorema establece que la integral de un campo vectorial punteado en una pequeña porción dl del contorno es igual a la integral doble de la componente normal (en este caso la componente z) de la curva del campo vectorial. Entonces ∫V (punto) dl sobre un contorno cerrado = ∫∫ (parcial con respecto a x del componente y del campo vectorial - parcial con respecto a y del componente x del campo vectorial) dσ sobre el área σ .


Teorema de Green



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Teorema de Green
Este video da el teorema de Green y lo usa para calcular el valor de una integral de línea

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4.8: Teorema de Green en el plano

y otras 4 personas se unieron hace un minuto.

Aquí $ P = x ^ 2 - y $ y $ Q = 2y ^ 2 + x $

A lo largo del arco ADB $ y = x ^ 2 $ - & gt dy = 2xdx

$ int limits_> (Pdx + Qdy) = int límites_ <0> ^ <2> (x ^ 2 - x ^ 2) + (2x4 + x) 2xdx $ $ por lo tanto int límites_> (Pdx + Qdy) = int limits_ <0> ^ <2> 0 + (4x ^ 5 + 2x ^ 2) dx $ $ por lo tanto int limits_> (Pdx + Qdy) = bigg [ frac <4x ^ 6> <6> + frac <2x ^ 3> <3> bigg] _ <0> ^ <2> $ $ por lo tanto int límites_> (Pdx + Qdy) = frac <128> <3> + frac <16> <3> = frac <144> <3> $

$ por lo tanto int límites_> Pdx + Qdy = int límites_ <2> ^ <0> (x ^ 2 - 4) dx $ $ por lo tanto int límites_> Pdx + Qdy = bigg [ frac <3> - 4x bigg] _ <2> ^ <0> $ $ por lo tanto int límites_> Pdx + Qdy = frac <-8> <3> + 8 $ $ por lo tanto int límites_> Pdx + Qdy = frac <16> <3> $

$ int limits_ Pdx + Qdy = int limits_ <4> ^ <0> 2y ^ 2 dy = bigg [ frac <2y ^ 3> <3> bigg] _ <4> ^ <0> $ $ = frac < -2 * 64> <3> $ $ = frac <-128> <3> $ $ por lo tanto $ Total es decir $ int límites_ Pdx + Qdy = frac <144> <3> + frac <16> <3> - frac <128> <3> = frac <32> <3> $

Ahora los límites exteriores se extenderán de 0 a 2 en dirección horizontal, por lo que x - & gt 0 a 2

El límite superior es la ecuación lineal, es decir, J = 4

Y el límite inferior es la curva de la parábola, es decir, $ y = x ^ 2 $

$ por lo tanto int int bigg ( frac < parcial Q> < parcial x> - frac < parcial P> < parcial y> bigg) dxdy = int límites_ <0> ^ <2 > int limites_ <4> (1 + 1) dxdy $ $ por lo tanto int límites_ <0> ^ <2> [2y] _^ <4> dx = int limits_ <0> ^ <2> 2 (4 - x ^ 2) dx $ $ = bigg [4x - frac<3> bigg] _ <0> ^ <2> $ $ = 2 bigg [8 - frac <8> <3> bigg] $ $ = 2 * frac <16> <3> $ $ = frac <32> <3> $


Cálculos de áreas en el plano usando el teorema de Green & # 039s

Una herramienta muy poderosa en cálculo integral es el teorema de Green. Consideremos un campo vectorial $ F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)) $, $ C $ es una curva cerrada en el plano y $ S $ la superficie interior delimitada por el curva.

Entonces: $$ int_C F dr = iint_S big (Q_x-P_y big) dx dy $$

La aplicación en el cálculo de áreas es la siguiente. Pensaremos que dicho campo es $ Q_x-P_y = 1 $. Entonces el término de la derecha es solo el área del recinto $ S $. Por lo tanto, podremos calcularlo haciendo una integral de línea en el borde del cerramiento.

Hay muchos campos que satisfacen la propiedad $ Q_x-P_y = 1 $, pero los más utilizados son:

Por ejemplo, vamos a calcular el área delimitada por la curva paramétrica: $$ alpha ( theta) = (3 sin (2 theta) cdot cos ( theta), 3 sin (2 theta) ) cdot sin ( theta)) $$

Ahora tomamos el campo vectorial $ F (x, y) = (0, x) $ e integramos el campo a lo largo de la curva $ alpha ( theta) $. Calculemos: $$ alpha '( theta) = (6 cos (2 theta) cdot cos ( theta) -3 sin (2 theta) cdot sin ( theta), 6 cos (2 theta) cdot sin ( theta) -3 sin (2 theta) cdot cos ( theta)) $$

$$ begin exto= & iint_D 1 dx dy = int_C F dr = int_0 ^ < frac < pi> <2>> F ( alpha (t)) cdot alpha '(t) dt = & int_0 ^ < frac < pi> <2>> (0,3 sin (2t) cdot sin (t)) cdot (6 cos (2t) cdot cos (t) - 3 sin (2t) cdot sin (t), & quad quad quad quad 6 cos (2t) cdot sin (t) -3 sin (2t) cdot cos ( t)) dt = & int_0 ^ < frac < pi> <2>> 3 sin (2t) cos (t) cdot (6 cos (2t) cdot sin (t) -3 sin (2t) cdot cos (t)) dt = & 18 int_0 ^ < frac < pi> <2>> cos (t) cos (2t) sin (t ) sin (2t) dt + 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos ^ 2 (2t) dt = & 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos (2t) dt + 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) Big ( dfrac <1+ cos ^ 2 (2t)> <2> Big) dt = & dfrac <9> <2> Big [ dfrac<3>)Big]_0^ <2>> + dfrac <9> <2> int_0 ^ < frac < pi> <2>> dfrac <1- cos (4t)> <2> dt + dfrac <9> <2> int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos (2t) dt = & dfrac <9> <8> cdot pi end$$

Problemas resueltos de cálculo de áreas en el plano usando el teorema de Green


Introducción a la teoría de Ramsey: notas de clase para el curso de pregrado

Un color 7 que evita la distancia 1 en cada color:

Una coloración en 7 de una teselación del plano por hexágonos regulares, con un diámetro ligeramente menor que uno. Observe que cada hexágono está rodeado por hexágonos de un color diferente.

Definición 6.4.3.

La menor cantidad de colores suficiente para colorear el plano de tal manera que ningún color se dé cuenta de todas las distancias se llama y se denota por ( chi_p text <.> )

Observación 6.4.4.

El límite inferior: (4 leq chi_p text <.> ) (Establecido por Dmitry E. Raiskii en 1970. Esta prueba es de Alexei Merkov de 1997.)

Prueba .

Suponga que hay una coloración tridimensional del avión.

No hay dos puntos coloreados ( color< mbox> ) a la distancia ( color text <> )

No hay dos puntos coloreados ( color< mbox> ) a la distancia ( color text <> )

No hay dos puntos coloreados ( color< mbox> ) a la distancia ( color text <.> )

Sea un sistema de coordenadas cartesiano en ( mathbb^ 2 ).

Construimos tres ejes de Moser como en la Figura 6.4.5:

Considere 18 vectores, cada uno de ellos con su punto inicial en el origen y el punto terminal siendo un vértice en uno de los tres ejes de Moser.

Aquí los puntos terminales de los vectores ( color< vec_1, vec_2, ldots, vec_6> ) pertenecen al eje de Moser con todos los bordes de longitud (r text <,> ) los puntos terminales de los vectores ( color< vec_7, vec_8, ldots, vec_ <12>> ) pertenecen al eje de Mosers con todos los bordes de longitud (b text <,> ) y los puntos terminales de los vectores ( color< vec_ <13>, vec_ <14>, ldots, vec_ <18>> ) pertenecen al eje de Moser con todos los bordes de longitud (g text <.> ) Ver Figura 6.4.6.


4.8: Teorema de Green en el plano

Teorema 1 (Tilings regulares). Hay un mosaico regular de tipo p ^ q para todo p, q & gt = 3. En particular,

  1. las teselaciones regulares del plano euclidiano son: 3 ^ 6, 4 ^ 4 y 6 ^ 3
  2. los mosaicos regulares de la esfera (sólidos platónicos) son: 3 ^ 3, 3 ^ 4, 3 ^ 5, 4 ^ 3 y 5 ^ 3
  3. los mosaicos regulares del plano hiperbólico son: p ^ q donde 1 / p + 1 / q & lt 1/2.

Teorema 2 (Kepler). Hay 8 teselaciones semirregulares del plano euclidiano: 3.12 ^ 2, 4.6.12, 4.8 ^ 2, 3.4.6.4, 3.6.3.6, 3 ^ 4.6, 3 ^ 3.4 ^ 2 y 3 ^ 2.4.3.4.

  • los sólidos de Arquímedes: 3.6 ^ 2, 4.6 ^ 2, 5.6 ^ 2, 3.8 ^ 2, 3.10 ^ 2, 3.4.3.4, 3.5.3.5, 3.4 ^ 3, 3 ^ 4.4, 3 ^ 4.5, 4.6.8, 4.6. 10 y 3.4.5.4
  • los prismas: 4 ^ 2.m, para m = 3 o m & gt 4,
  • los anti-prismas: 3 ^ 3.n, para n & gt 3.
  1. 4 ^ 2.6 (prisma con m = 6)
  2. 3.6^2
  3. 4.6^2
  4. 5.6^2
  5. 3.8^2
  6. 3.10^2
  7. 3.4.3.4
  8. 3.5.3.5
  9. 3 ^ 3.6 (anti-prisma con m = 6)
  10. 3.4^3
  11. 3^4.4
  12. 3^4.5
  13. 4.6.8
  14. 4.6.10
  15. 3.4.5.4
  1. eliminar todos los tipos de vértices excepto los enumerados
  2. construye realmente los mosaicos enumerados.

El proceso de eliminación utiliza el hecho de que la medida de un ángulo de vértice de un p-gon regular es

    igual a Pi - (2 * Pi / p) en el plano euclidiano

Porque los ángulos en cualquier vértice de un mosaico suman 2 * Pi, p_1.p_2. . . p_q es un mosaico semi-regular solo si (después de un poco de simplificación)

    en el plano euclidiano: 1 / p_1 + 1 / p_2 +. . . + 1 / p_q = (q-2) / 2

Además de los tipos de vértices dados por Kepler, los siguientes tipos satisfacen la primera ecuación anterior pero no pueden extenderse más allá de un pequeño parche de mosaicos para dar un mosaico completo del plano euclidiano: 3.7.42, 3.8.24, 3.9.18 3.10.15, 4.5.20, 5 ^ 2.10, 3 ^ 2.6 ^ 2, 3 ^ 2.4.12, 3.4.3.12 y 3.4 ^ 2.6.

De manera similar, los siguientes tipos de vértices satisfacen la segunda ecuación anterior pero no conducen a inclinaciones de la esfera: 3 ^ 2.n (n & gt 3), 5 ^ 2.n (n = 3,4,6,7,8,9 ), 3.7 ^ 2, 3.9 ^ 2, 3 ^ 2.4.n (4 & lt = n & lt = 11), 3 ^ 2.5.n (5 & lt = n & lt = 7), 3.4 ^ 2.5, 3.4.3.n ( 5 & ​​lt = n & lt = 11), 3.5.3.n (n = 6,7).

Eliminación por paridad

Lema 1 (Lema de paridad). Sea T un mosaico semi-regular.

    Suponga que p es impar y que, dentro de la reflexión, el par adyacente de mosaicos x.p ocurre en el tipo de vértice de T solo como parte del triple de mosaicos consecutivos x.p.y y el par p.y ocurre en T solo como parte del triple x.p.y. Entonces x = y.

Una verificación muestra que (1) elimina todos los tipos de vértices potenciales enumerados anteriormente con la excepción de 3 ^ 2.4.12 que es eliminado por (2).

Para obtener más resultados de paridad relacionados con los tipos de vértices de teselaciones semirregulares, consulte [Z] o [W].

Existencia de mosaicos derivados

  1. el mosaico regular dual q ^ p
  2. p.2q.2q y 2p.2p.q
  3. 4.2p.2q
  4. p.q.p.q
  5. 4.p.4.q
  6. 3 ^ 2.p.3.q
  7. 3.p.3.p.3. (Q / 2), para q & gt = 6 yq par.

Construcciones

El teorema 4 es, en sí mismo, una consecuencia de un resultado mucho más general.

  1. hay un mosaico del plano que usa solo este k-gon en el que los mosaicos adyacentes son reflejos entre sí a través de su borde compartido
  2. el k-gon tiene un incentro.

Prueba: La primera condición implica que todos los ángulos en un solo vértice son reflejos entre sí. Si p_i mosaicos se encuentran en el i-ésimo vértice, entonces el ángulo entre los bordes consecutivos es 2 * Pi / p_i, donde 1 & lt = i & lt = q.

Si conectamos los incentros de los polígonos adyacentes alrededor del i-ésimo vértice, se forma un p_i-gon. Cada borde de este p_i-gon se compone de dos radios congruentes colineales de los incírculos de q-gons adyacentes. Entonces el p_i-gon es equilátero. Dado que los ángulos de vértice del p_i-gon también son congruentes (reflejándose uno en el siguiente a través de los bordes adyacentes del q-gon) el p_i-gon es en realidad regular. Por lo tanto, en cada incentro del mosaico original hemos construido una secuencia de polígonos regulares p_1.p_2. . . p_q. La secuencia es la misma en todos los incentros, ya que adyacentes en q-gons se reflejan entre sí a través de bordes compartidos. Entonces hemos construido el mosaico deseado.

Ejemplo. Un mosaico de reflexión (verde) del plano hiperbólico usando 'cometas' con ángulos Pi / 6, Pi / 2, 2 * Pi / 5 y Pi / 2. Estas cometas tienen círculos inscritos en ellos (rojo). Los centros de estos círculos son los vértices de un mosaico semirregular 6.4.5.4 (negro).

1. Existencia del doble q ^ p.
Dado que un p-gon regular tiene un incentro y dado que hay q mosaicos en todos los p vértices del p-gon, el mosaico p ^ q satisface las hipótesis del Teorema 5. Esto prueba que existe el mosaico regular dual q ^ p.

Ejemplo. El mosaico regular 5 ^ 4 del plano hiperbólico en negro y su mosaico regular dual p ^ q = 4 ^ 5 en verde. Los vértices del mosaico dual se encuentran en el centro de los 5 gones originales.

2. Existencia de p.2q.2q.
Divida cada ficha de p ^ q en p triángulos isósceles congruentes conectando el centro del p-gon con cada uno de sus vértices. Dado que cada triángulo tiene un incentro, esto produce un mosaico triangular del plano. Dado que los reflejos en todos los bordes de estos triángulos son, de hecho, simetrías del p ^ q original, también son simetrías del mosaico del triángulo. Por lo tanto, el mosaico del triángulo satisface las condiciones del teorema 5. Dado que el ángulo de la cumbre del triángulo (en el centro del p-gon) es 2 * Pi / p y los ángulos de la base son Pi / q = 2 * Pi / 2q, obtenemos un p.2q.2q. La aplicación de este resultado al mosaico dual q ^ p produce un 2p.2p.q.

Ejemplo. Una triangulación, en negro, del mosaico p ^ q = 4 ^ 5, en verde, del plano hiperbólico. Los triángulos isósceles tienen ángulos Pi / 4, Pi / 4 y Pi / 5. Tenga en cuenta que todos los triángulos tienen incentros.

Los triángulos, ahora en verde, tienen círculos encerrados, aquí en rojo. Los centros de conexión de estos círculos producen el mosaico semi-regular 2p.2p.q = 8.8.5 del plano hiperbólico, en negro. Tenga en cuenta que los triángulos se reflejan uno dentro del otro a través de sus bordes y que todos estos reflejos son simetrías del 4 ^ 5 original.

3. Existencia de 4.2p.2q.
Subdivida cada p-gon del mosaico original en triángulos 2p conectando el centro del p-gon a cada uno de sus vértices y al punto medio de cada uno de sus bordes. Los triángulos dentro de un p-gon se transforman sucesivamente entre sí mediante reflejos a través de los bordes que emanan del centro del p-gon. El uso de reflejos en los bordes originales del p-gon nos permite transformar los triángulos de cualquier p-gon en cualquier otro. Por tanto, se satisfacen las condiciones del teorema 5. Dado que los ángulos del triángulo son Pi / 2, Pi / p y Pi / q, obtenemos un 4.2p.2q.

Ejemplo. Comenzando con el mosaico p ^ q = 5 ^ 4 del plano hiperbólico, en verde, formamos una triangulación, que consta de todos los bordes negros y verdes, por triángulos rectángulos con ángulos Pi / 2, Pi / 5 y Pi / 4. . Los vértices de los triángulos son los centros y vértices de los p-gons originales, así como los puntos medios de cada una de las aristas.

Pero todos los triángulos, ahora en verde, tienen círculos encerrados (en rojo). Los centros de conexión de estos círculos producen el mosaico semi-regular 4.2p.2q = 4.10.8 del plano hiperbólico, aquí en negro.

4. Existencia de p.q.p.q.
Forme un mosaico por rombos utilizando solo los segmentos desde los centros de p ^ q hasta los vértices de p ^ q. Los rombos adyacentes son reflejos entre sí a través de los bordes que comparten. Cada rombo tiene un incentro en la intersección de sus diagonales. Dado que los ángulos del rombo son alternativamente 2 * Pi / py 2 * Pi / q, obtenemos un p.q.p.q.

Ejemplo. El mosaico verde p ^ q = 5 ^ 4 del plano hiperbólico y su mosaico asociado por rombos. Cada rombo tiene ángulos 2 * Pi / 5, Pi / 2, 2 * Pi / 5 y Pi / 2).

Cada rombo verde tiene un círculo (rojo) con el centro en la intersección de sus diagonales. La conexión de estos centros produce el p.q.p.q = 5.4.5.4 mosaico semirregular (negro) del plano hiperbólico.

5. Existencia de 4.p.4.q.
Si superponemos el mosaico dual q ^ p sobre el mosaico p ^ q, se crea un mosaico por cometas con ángulos PI / 2, 2 * PI / p, PI / 2 y 2 * PI / q. Cada cometa tiene un incentro (en la intersección de sus cuatro bisectrices angulares) y así obtenemos un 4.p.4.q.

Ejemplo. Un mosaico regular p ^ q = 3 ^ 7, en verde, del plano hiperbólico con su mosaico dual q ^ p = 7 ^ 3, en negro. Juntos, estos mosaicos forman 'cometas' con ángulos Pi / 2, 2 * Pi / 3, Pi / 2 y 2 * pi / 7.

Cada cometa (en verde) tiene un círculo (rojo) con el centro en la intersección de sus bisectrices de ángulo. La conexión de estos centros crea el 4.p.4.q = 4.3.4.7 mosaico semirregular (negro) del plano hiperbólico.

6. Existencia de 3.3.p.3.q.
Forme pentágonos irregulares con un ángulo 2 * PI / p en el centro del p-gon, 2 * PI / 3 en el punto interior 'apropiado' X del p ^ q, 2 * PI / q en un vértice del p ^ q, y luego ángulos consecutivos de 2 * PI / 3 en la imagen de X bajo una rotación de 2 * PI / q alrededor del vértice y la imagen de X bajo una rotación de -2 * PI / p alrededor del centro. Nota: Estos pentágonos no se reflejan entre sí a través de sus bordes compartidos. Más bien, las rotaciones de 2 * Pi / p alrededor del centro de cada p-gon del p ^ q original y las rotaciones de 2 * p / q alrededor de cada vértice de los p-gons son simetrías de este mosaico pentagonal. Por lo tanto, el mosaico pentagonal es "suficientemente simétrico" para que se aplique una versión modificada del Teorema 5.

Ejemplo. Un mosaico de pentágonos irregulares (en negro) con ángulos 2 * Pi / 3, 2 * Pi / 3, 2 * Pi / 5, 2 * Pi / 3, Pi / 2 y 2 * Pi / 3. Las simetrías rotacionales del mosaico regular p ^ q = 5 ^ 4 subyacente (verde) se utilizan para enlosar el plano con estos pentágonos.

Cada pentágono (en verde) tiene un círculo (en rojo). Los centros de conexión de estos crean el mosaico semi-regular 3 ^ 2.p.3.q = 3 ^ 2.5.3.4 del plano hiperbólico, aquí en negro.

7. Existencia de 3.p.3.p.3.q / 2.
Forme hexágonos irregulares usando un vértice Y del p ^ q, un punto apropiado X en un borde del p ^ q que contiene Y, el centro del p-gon O, la imagen X 'de X bajo una rotación de 2 * PI / p alrededor de O. El resto del hexágono se obtiene reflejando a través del borde que contiene Y y X '. Las simetrías de este mosaico hexagonal incluyen rotaciones de 2 * Pi / p sobre los centros de los p-gons originales y reflejos a través de los bordes de los p-gons. La demostración del teorema 5 se puede adaptar a esta situación.

Ejemplo. Un mosaico de hexágonos irregulares (en negro) con ángulos 2 * Pi / 3, Pi / 3, 2 * Pi / 3, Pi / 2, 2 * Pi / 3 y 2 * Pi / 5 basado en el p ^ q subyacente = 4 ^ 6 mosaico (en verde) del plano hiperbólico. El mosaico hexagonal se puede girar alrededor del centro de cualquier 4 gón y reflejarse a través del borde de cualquier 4 gón.

Cada hexágono (en verde) tiene un círculo (rojo). Los centros de conexión de estos crean el mosaico semirregular 3.p.3.p.3.q / 2 = 3.4.3.4.3.3 del plano hiperbólico, aquí en negro.

Usando el Teorema 4 y la existencia de los mosaicos regulares del plano euclidiano y la esfera en el Teorema 1, obtenemos la mayoría de los mosaicos semi-regulares en el plano euclidiano y en la esfera enumerados en los Teoremas 2 y 3. Estos se muestran en el tabla siguiente, junto con algunas inclinaciones hiperbólicas repetitivas. Para completar la demostración de los teoremas 2 y 3, tenga en cuenta que el mosaico semirregular de 5 valencia restante en el plano euclidiano es 3 ^ 3.4 ^ 2. Se construye fácilmente a mano utilizando bandas paralelas alternas de triángulos y cuadrados equiláteros. De manera similar, los prismas 4 ^ 2.n en la esfera se construyen usando una banda de n 4-gones cubiertos arriba y abajo por un n-gon y los antiprismas 3 ^ 3.n se forman tomando una banda de 2 * n triángulos equiláteros y nuevamente rematando con n-gons.

Aunque no hemos delineado cómo producir los mosaicos regulares en el Teorema 1, usando (1) del Teorema 4, vemos que en el plano euclidiano el mosaico hexagonal 6 ^ 3 es dual al mosaico triangular 3 ^ 6 y en la esfera la El octaedro 3 ^ 4 es dual con el cubo 4 ^ 3 y el dodecaedro 5 ^ 3 es dual con el icosaedro 3 ^ 5. Entonces podemos salirnos con la construcción del mosaico cuadrado 4 ^ 4 y el mosaico triangular 3 ^ 6 en el plano euclidiano y el tetraedro 3 ^ 3, el cubo 4 ^ 3 y el icosaedro 3 ^ 5 en la esfera.

Por supuesto, los teoremas 4 y 5 también se aplican al plano hiperbólico. Para una discusión más detallada, consulte 4. Resultados hiperbólicos. Para fuentes adicionales de material, consulte la sección Referencias.


A: Suponga que R es un anillo conmutativo y que a es un elemento distinto de cero de R. Divisores cero Un elemento a de a.

P: Matemáticas discretas. Teoría de grafos

R: La afirmación dada no es cierta. El ejemplo de contador se muestra a continuación.

P: Pregunta incluida en la imagen

A: Considere la integral dada,

P: Encuentre una representación en serie de potencias para la función. (Centre su representación de la serie de potencias en x =.

R: Considere la función dada.

R: Responderemos la primera pregunta ya que no se especificó la exacta.

R: De acuerdo con la pregunta dada, supongamos que a pertenece al anillo R. S = Es necesario demostrar eso.

R: Se nos da que f (x) = (3x + 2) / 5. Necesitamos encontrar f-1 (x). Para encontrar la inversa de la función.

P: 7.1 Ejemplo: ¿Está definida la función fwell? Sabemos que Q representa el conjunto de todos los números racionales.

R: Para que un sistema esté bien definido: para cualquier entrada, la salida de la función debe determinarse de forma única.


Integrales de trayectoria en el plano, integrales dobles y teorema de verdes en Maxima

En una publicación anterior describí el paquete Maxima MATH214 para usar en mi clase de cálculo multivariable. He publicado ejemplos con aplicaciones al teorema de Gauss y al teorema de Stokes.

Aquí tomamos la rutina de la doble integración integrar2 () y la integral de trayectoria 2D integrarPathv2 () para dar una vuelta con un ejemplo del teorema de Green & # 8217s de Stewart & # 8217s Calculus Concepts and Contexts:

Y, por supuesto, las coordenadas polares también son buenas:

Las dos funciones utilizadas anteriormente están incluidas en el paquete MATH214, pero también las enumero a continuación.


4.8: Teorema de Green en el plano

Podemos graficar cualquier número complejo en un plano como un par ordenado, como se muestra en la figura 2.2. Un plano complejo (o diagrama de Argand) es cualquier gráfico 2D en el que el eje horizontal es la parte real y el eje vertical es la parte imaginaria de un número o función compleja. Por ejemplo, el número tiene coordenadas en el plano complejo, mientras que el número tiene coordenadas.

El trazado como el punto en el plano complejo se puede ver como un trazado en coordenadas cartesianas o rectilíneas. También podemos expresar números complejos en términos de coordenadas polares como un par ordenado, donde es la distancia desde el origen al número que se traza y es el ángulo del número con respecto al eje de coordenadas reales positivas (la línea definida por y) . (Vea la figura 2.2.)

Usando geometría elemental, es rápido para mostrar que la conversión de coordenadas rectangulares a polares se logra mediante las fórmulas

donde denota la arcotangente de (el ángulo en radianes cuya tangente es), teniendo en cuenta el cuadrante del vector. Tomaremos el rango a (aunque podríamos elegir cualquier intervalo de longitud en radianes, como 0 a, etc.).

En Matlab y Octave, atan2 (y, x) realiza la función arcangente `` sensible al cuadrante ''. Por otro lado, atan (y / x), al igual que la notación matemática más tradicional, no `` conoce '' el cuadrante de, por lo que asigna toda la línea real al intervalo. Como ejemplo específico, el ángulo del vector (en el cuadrante I) tiene la misma tangente que el ángulo de (en el cuadrante III). De manera similar, (cuadrante II) produce la misma tangente que (cuadrante IV).

La fórmula para convertir coordenadas rectangulares en radio, se sigue inmediatamente del teorema de Pitágoras, mientras que la se sigue de la definición de la función tangente en sí.

De manera similar, la conversión de coordenadas polares a rectangulares es simplemente

Estos se derivan inmediatamente de las definiciones de coseno y seno, respectivamente.


Ver el vídeo: TEOREMA STOKES. CALCULO VECTORIAL. PROBLEMA RESUELTO Mistercinco (Septiembre 2021).