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4.7: Integrales de superficie - Matemáticas


Hasta este punto hemos estado integrando líneas unidimensionales, dominios bidimensionales y encontrando el volumen de objetos tridimensionales. En esta sección integraremos sobre superficies, o formas bidimensionales sentadas en un mundo tridimensional. Estas integrales se pueden aplicar a situaciones del mundo real, como encontrar la fuerza hacia arriba en un paracaídas abierto.

Introducción

En la última sección, aprendimos cómo encontrar el área de superficie para superficies paramétricas. Cortamos la región en el plano ultravioleta en rectángulos diminutos y sumamos el área de los correspondientes paralelogramos diminutos en el plano xy. El área de estos paralelogramos fue

[ Delta A = left | r_u times r_v right | Delta u Delta v ]

Si pensamos que la superficie tiene densidad variable (f (x, y, z) ), entonces la masa de este paralelogramo será

[ Delta M = f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) || r_u times r_v || Delta u Delta v ]

y sumando todas estas masas y tomando el límite cuando los tamaños de los rectángulos se acercan a cero, da la definición de la integral de superficie.

Para calcular la integral de una superficie, ampliamos la idea de una integral de línea para integrar sobre una curva. Aunque las superficies pueden fluctuar hacia arriba y hacia abajo en un plano, al tomar el área de secciones cuadradas lo suficientemente pequeñas, podemos esencialmente ignorar las fluctuaciones y tratarlo como un rectángulo plano. Con el tiempo, el área de la superficie se puede calcular con éxito tomando secciones lo suficientemente pequeñas, muy similar a lo que aprendió con las sumas de Reimann anteriormente. La integral de la superficie se puede calcular de tres formas, dependiendo de cómo se defina la superficie. Los tres son válidos y se pueden usar indistintamente, pero dependiendo de cómo se describan las superficies, una integral será más fácil de resolver que las otras. Las integrales de los métodos anteriores suelen ser imposibles o muy difíciles de resolver analíticamente, pero se pueden resolver fácilmente numéricamente.

Integral de superficie: definición paramétrica

Para una superficie lisa (S ) definida paramétricamente como (r (u, v) = f (u, v) hat { textbf {i}} + g (u, v) hat { textbf {j}} + h (u, v) hat { textbf {k}}, (u, v) in R ), y una función continua (G (x, y, z) ) definida en (S ), la integral de superficie de (G ) sobre (S ) viene dada por la integral doble sobre (R ):

[ iint_ {S} G (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} G (f (u, v), g (u, v), h (u, v)) | r_ {u} veces r_ {v} | , du , dv. ]

Integral de superficie: definición implícita

Para una superficie (S ) dada implícitamente por (F (x, y, z) = c ), donde (F ) es una función continuamente diferenciable, con (S ) por encima de su región de sombra cerrada y acotada (R ) en la coordenada plano debajo de él, la integral de superficie de la función continua (G ) sobre (S ) está dada por la integral doble (R ),

[ iint_ {S} G (x, y, z) d sigma = iint_ {R} G (x, y, z) frac {| nabla F |} {| nabla F cdot p | } dA, ]

donde (p ) es un vector unitario normal a (R ) y ( nabla F cdot p neq 0 ).

Integral de superficie: Definición explícita

Para una superficie (S ) dada explícitamente como la gráfica de (z = f (x, y) ), donde (f ) es una función continuamente diferenciable sobre una región (R ) en el plano (xy ) -, entonces la parametrización

[{ textbf {r}} (u, v) = u hat { textbf {i}} + v hat { textbf {j}} + f (u, v) hat { textbf {k }} ]

tiene la propiedad que

[ left | textbf {r} _u times textbf {r} _v right | = sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} ]

Entonces, la integral de superficie de la función continua (G ) sobre (S ) está dada por la integral doble sobre (R ),

[ iint_ {S} G (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} G (x, y, f (x, y)) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} , dx , dy ].

Llamamos a una superficie lisa (S ) orientable o de dos caras si es posible definir un campo ( textbf {n} ) de vectores normales unitarios en (S ) que varíe continuamente con la posición. Todas las partes de una superficie orientable son orientables. Las esferas y otras superficies lisas cerradas en el espacio son orientables. En general, elegimos ( textbf {n} ) en una superficie cerrada para apuntar hacia afuera.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Integra la función (H (x, y, z) = 2xy + z ) sobre el plano (x + y + z = 2 ).

Solución

Primero, dibujemos el avión.

A continuación, observe que se puede manipular la ecuación del plano. Por tanto, podemos ponerlo en la forma explícita (z = 2 - x - y ). Esto nos da la integral

[ iint_ {S} H (x, y, z) , d sigma = iint_ {R} H (x, y, z) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} , dA. sin número]

Tome las derivadas parciales de (x ) y (y ) de la superficie. En este caso, (f_x = -1 ) y (f_y = -1 ). Sustituye estos valores en la integral junto con (H (x, y, z) ) con (z = 2 - x - y ) para obtener la integral

[ iint_ {R} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2} + 1} , dA. sin número]

Para determinar los límites de la integral, necesitamos comprimir la superficie a 2 dimensiones, o mirar su "región de sombra". La idea es imaginarse mirando el gráfico anterior desde arriba, hacia abajo del eje (z ). Por lo tanto, estará mirando el plano (xy ) y la superficie se verá como el triángulo delimitado por el eje (x ) -, el eje (y ) - y la ecuación (y = 2 - X ). Esto produce la integral

[ int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2 } + 1} , dy , dx. Nonumber ]

Ahora podemos resolver esta integral como cualquier otra integral doble.

[ begin {align *} & sqrt {3} int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} 2xy + 2 - x - y , dy , dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} left [xy ^ 2 + 2y - xy - frac {y ^ {2}} {2} right] _ {0} ^ {2 - x } dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x (2-x) ^ 2 - x (2-x) - frac {(2-x) ^ {2}} { 2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} 4x - 4x ^ {2} + x ^ {3} - 2x + x ^ {2} - 2 + 2x - frac { x ^ {2}} {2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x ^ {3} - frac {7x ^ {2}} {2} + 4x - 2 dx & = izquierda. sqrt {3} left ( frac {x ^ 4} {4} - frac {7x ^ 3} {6} + 2x ^ 2 - 2x right) right | _0 ^ 2 & = sqrt {3} left (16 - frac {56} {6} right). end {alinear *} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encontrar

[ iint_S f (x, y, z) , dS nonumber ]

donde (S ) es la superficie

[r (u, v) = u hat { textbf {i}} + u2 hat { textbf {j}} + (u + v) hat { textbf {k}} nonumber ]

con (0 le u le 2 ) y (1 le v le 4 ) y (f (x, y, z) = x + 2z ).

Solución

Encontramos las derivadas parciales

[ textbf {r} _u = hat { textbf {i}} + (2u) hat { textbf {j}} + hat { textbf {k}} nonumber ]

[ textbf {r} _v = hat { textbf {k}} nonumber ]

y toma el producto cruzado

[ begin {align *} || r_u times r_v || & = begin {vmatrix} hat { textbf {i}} & hat { textbf {j}} & hat { textbf {k}} [4pt] 1 & 2u & 1 [4pt] 0 & 0 & 1 end {vmatrix} [4pt] & = || 2u hat { textbf {i}} - hat { textbf {j}} || [4pt] & = sqrt {1 + 4u ^ 2}. end {alinear *} ]

Tenemos

[ begin {align *} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) & = x (u, v) + 2z (u, v) [4pt ] & = u +2 (u + v) [4pt] & = 3u + v. end {align *} ]

Encontramos

[ int_3 ^ 4 int_2 ^ 6 (3u + 2v) sqrt {1 + 4u ^ 2} , dv , du. nonumber ]

Aunque esta integral es posible, su solución es bastante complicada. Puede verificar que la integral de superficie se evalúe como ( approx 525.27 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encontrar

[ iint_S f (x, y, z) , dS nonumber ]

donde (S ) es la parte del paraboloide

[z = x ^ 2 + y ^ 2 nonumber ]

que se encuentra dentro del cilindro

[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 nonumber ]

y

[f (x, y, z) = z. nonumber ]

Solución

Tenemos

[ sqrt {1 + g_x ^ 2 + g_y ^ 2} = sqrt {1 + 4x ^ 2 + 4y ^ 2} nonumber ]

y

[f (x, y, z) = z = x ^ 2 + y ^ 2. sin número]

En este punto, debería estar pensando: "Esto parece un trabajo para las coordenadas polares". Y obtenemos

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 r ^ 2 sqrt {1 + 4r ^ 2} , r , dr , d theta. nonumber ]

Dejar

(u = 1 + 4r ^ 2 ) y (du = 8r , dr ) con (r ^ 2 = dfrac {1} {4} u - dfrac {1} {4} )

y la sustitucion nos da

[ dfrac {1} {32} int_0 ^ {2pi} int_0 ^ 5 (u-1) u ^ {1/2} , dr , d theta = dfrac {1} {32} int_0 ^ {2 pi} left [ dfrac {2} {5} u ^ {5/2} - dfrac {2} {3} u ^ {3/2} right] _1 ^ 5 , d theta approx 2.98 nonumber ]

Superficies Orientadas

Hemos visto cómo se puede orientar una región (R ) con curva límite (C ). Viajando a lo largo de (C ), miramos para ver si la región está a la derecha oa la izquierda. Desafortunadamente, esta definición no no voluntad de trabajo para superficies en tres dimensiones. La idea de derecha e izquierda no está bien definida. De hecho, no todas las superficies se pueden orientar. Decimos que una superficie es orientable si se puede definir un vector normal unitario en la superficie de manera que varíe continuamente sobre la superficie. A continuación se muestra un ejemplo de una superficie no orientable (denominada Franja de Möbius). Puede ver que no hay frente ni detrás de esta superficie.

Una tira de Möbius hecha con un trozo de papel y cinta adhesiva. Si una hormiga se arrastrara a lo largo de esta tira, volvería a su punto de partida habiendo atravesado toda la longitud de la tira (en ambos lados del papel original) sin siquiera cruzar un borde. (CC-SA-BY; David Benbennick)


4.7: Integrales de superficie - Matemáticas

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En esta sección usamos propiedades de integrales definidas para calcularlas e interpretarlas.

Propiedades de las integrales definidas

Comenzamos con algunas propiedades básicas de integrales definidas, muchas de las cuales son familiares por nuestro estudio de derivadas y sus propiedades básicas.

Recuerde que si en un intervalo, entonces la integral definida,, da el área bajo la curva y si está en un intervalo, entonces la integral definida,, da -1 veces el área por encima de la curva. Consideremos ahora la situación en la que el integrando cambia de signo en el intervalo. La clave para manejar esta situación es utilizar la siguiente propiedad.

Aplicamos esta proposición en los siguientes ejemplos.

Por aditividad, podemos escribir Siguiente, podemos determinar las integrales definidas en el lado derecho de la ecuación anterior relacionándolas con el área. En el intervalo y así En el intervalo y así Ahora, por la aditividad de la integral definida,

Dado que la integral definida está relacionada con el área, existen situaciones en las que el cálculo de estas integrales se puede facilitar al observar un patrón de simetría en una región. Para ayudarnos en nuestra discusión, tendremos que recordar la idea de funciones pares e impares.

Este resultado es especialmente importante para funciones impares, ya que el cálculo de integrales definidas en este caso se vuelve trivial. Incluso para funciones, la ventaja de este resultado es menos significativa. Nos permite trabajar con el número en lugar del número negativo, simplificando así cualquier aritmética asociada con el Teorema fundamental del cálculo.

Tenga en cuenta que en los dos últimos ejemplos, insertar el valor cero dio cero. Esto no es una coincidencia. Una función par siempre tiene una anti-derivada impar y las funciones impares deben pasar por el origen.
Ahora veamos algunos ejemplos de funciones impares.


Usando el teorema de la divergencia

La teorema de divergencia solo aplica para cerrado superficies S. Sin embargo, a veces podemos calcular una integral de flujo en una superficie que no está cerrada siendo un poco furtiva. TENGA EN CUENTA que esta NO siempre es una forma eficaz de proceder. Sin embargo, a veces lo es, y este es un buen ejemplo tanto del teorema de divergencia como de una integral de flujo, así que lo analizaremos como está.

Ejemplo
Encuentra el flujo del campo vectorial F = x y I + y z j + x z k a través de la superficie z = 4 - X 2 - y 2, para z & gt = 3.

Solución
La superficie se muestra en la figura de la derecha. Debido a que esta no es una superficie cerrada, no podemos usar el teorema de divergencia para evaluar la integral de flujo. Sin embargo, si tuviéramos una superficie cerrada, por ejemplo, la segunda figura a la derecha (que incluye una superficie inferior, la sección amarilla de un plano) podríamos. Consideraremos esto a continuación.

El teorema de la divergencia dice

donde la superficie S es la superficie que queremos más la superficie inferior (amarilla). Entonces, podemos encontrar la integral de flujo que queremos encontrando el lado derecho del teorema de divergencia y luego restando la integral de flujo sobre la superficie inferior. Esto nos da una buena práctica tanto para aplicar el teorema de divergencia como para encontrar una integral de superficie, así que lo haremos.

El teorema de la divergencia parte de la integral: Aquí div F = y + z + X. Tenga en cuenta que aquí estamos evaluando la divergencia en todo el volumen cerrado, por lo que hipocresía evaluarlo en la superficie. Haciendo la integral en coordenadas cilíndricas, obtenemos

El flujo a través del límite inferior: tenga en cuenta que aquí tenemos una parametrización muy fácil de la superficie, r = & ltX, y, 3 & gt. El vector normal norte = & lt0, 0, -1 & gt (porque queremos un exterior normal), y dS = dx dy. Así en la superficie F = F = x y I + y z j + 3 X k, y la integral de superficie se convierte en

Poniendo todo junto: aquí, las cosas salieron bien. Usando el teorema de la divergencia, obtenemos que el valor del flujo a través de la superficie superior e inferior juntas es 5 Pi / 3, y el cálculo del flujo para la superficie inferior da cero, de modo que el flujo justo a través de la superficie superior también es 5 Pi / 3.

(¿Cómo se generaron las cifras aquí? En Maple, con esta hoja de trabajo de Maple).


4.7: Integrales de superficie - Matemáticas

La tarea aquí es similar a la de la última sección, pero ahora el vector w buscado es normal a la superficie en lugar de tangente a una línea. Aquí hay una forma muy fácil de encontrar w a partir de una ecuación y una forma un poco más complicada de encontrarla a partir de una representación paramétrica de la superficie.
Supongamos que primero queremos escribir nuestra integral como una integral sobre las variables xey, esto sucede cuando xey son los parámetros de la superficie que está definida por z - g (x, y) = 0. Es útil a veces cuando el La superficie está definida por una ecuación, digamos, h (x, y, z) = 0, en lugar de por una parametrización.
En este caso, el vector w debe ser normal a la superficie y su componente z debe tener magnitud 1.
(Esto es obviamente cierto cuando la superficie es paralela al plano x - y cuando se inclina la superficie, su área relativa a dxdy aumenta precisamente a medida que lo hace la longitud de este vector). Si buscamos la normal que apunta & quot hacia arriba & quot, elegimos la z el componente sea 1, de lo contrario, lo convertiremos en -1.
Podemos encontrar el vector normal que apunta hacia arriba w tomando el gradiente de la ecuación definitoria:

en el caso más general, h (x, y, z) = 0, obtenemos

Si parametrizamos la superficie mediante los parámetros u y v y escribimos la integral de superficie como una integral dudv, entonces la componente z de w (orientada hacia arriba) debería ser el jacobiano de la transformación bidimensional de x, y a u, v, a saber .

De manera similar (como sigue por simetría entre las coordenadas), la magnitud de las componentes xey de w son los jacobianos correspondientes. Para obtener el signo relativo de los coeficientes xey, debes permutar cíclicamente x y y z al formar los objetos de arriba y usar los signos relativos obtenidos entre ellos. El signo general de w depende de la normal que desee (hacia arriba o hacia abajo).


Eso no es verdad. Probablemente haya respuestas más cortas que las siguientes. Sea $ K $ un campo y denote un cierre separable por $ K ^ < text> $. Sea $ n & gt1 $ un número entero.

Definición . Una variedad de Severi-Brauer de más de $ K $ de dimensión relativa $ n-1 $ es un esquema de $ K $ adecuado y suave cuya base cambia a $ K ^ < text> $ es isomorfo al espacio proyectivo de dimensión $ n-1 $ sobre $ K ^ < text>$ .

Existe una biyección natural entre el conjunto de $ K $ -las clases de isomorfismo de las variedades de Severi-Brauer sobre $ K $ de dimensión relativa $ n-1 $ y el subconjunto de $ text
(K) [n] $ de esos ed. $ n $ elementos de torsión en el grupo Brauer de $ K $ cuyo orden índice divide $ n $. En particular, el elemento de identidad en este subconjunto corresponde a la clase de isomorfismo del espacio proyectivo, es decir, la clase de isomorfismo de cualquier variedad de Severi-Brauer sobre $ K $ de dimensión relativa $ n-1 $ que tiene un punto racional $ K $ .

Para una extensión de campo finito y separable $ L / K $ de grado $ d $, hay homomorfismos de grupo de restricción y corestricción, $ text
(K) a texto
(L), texto
(L) a texto
(K), $ cuya composición es el mapa & quotmultiplication by $ d $ & quot.

Finalmente, para cada extensión finita de $ mathbb_p $, la teoría de campos de clases locales da un isomorfismo natural, $ text_K: texto
(K) a mathbb/ mathbb, $ ed. y el índice de cada elemento es igual al orden de ese elemento.

Ahora sea $ K $ una extensión finita de $ mathbb_p $, y sea $ X_K $ una variedad de Severi-Brauer de más de $ K $ de dimensión relativa $ n-1 $ cuya imagen en $ text
(K) [n] $ es un generador para este grupo cíclico de orden $ n $. Por los homomorfismos de restricción-corestricción, para una extensión de campo finito $ L / K $, el cambio base de $ X_K $ sobre $ L $ tiene un punto racional de $ L $ sólo si el grado $ d $ de la extensión de campo es divisible por $ n $.

Por otro lado, si $ X_K $ tiene un modelo plano adecuado sobre el anillo de números enteros de $ K $ cuya fibra especial tiene un lugar liso no vacío un componente irreducible que es geométricamente integral, luego según las estimaciones de Lang-Weil junto con el Lema de Hensel, para cada entero suficientemente grande $ d $, hay una extensión de campo no ramificado $ L / K $ de grado $ d $ tal que el cambio base tiene un $ L $ -racional punto. Por lo tanto, no existe un modelo plano adecuado de $ X_K $ sobre el anillo de números enteros de $ K $.

En particular, para el entero $ n = 3 $, existe un esquema de Severi-Brauer sobre $ mathbb_p $ de dimensión relativa $ n-1 = 2 $ que no tiene un modelo plano adecuado sobre $ mathbb_p $ (ed. . . . con un componente irreducible que es geométricamente integral!).


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Integrales definidas

es una partición de $ [a, b] $ con $ N $ subintervalos y los valores $ x_i ^ * en [x_, x_i] $ elegido en cada subintervalo es arbitrario.

La fórmula en la definición no es muy intuitiva y casi imposible de usar en la práctica, pero la idea básica es simple:

El valor de la integral definida representa el área (neta) bajo la curva de la gráfica de $ y = f (x) $ en el intervalo $ [a, b] $. El término "neto" significa que el área por encima del eje $ x $ es positiva y el área debajo del eje $ x $ cuenta como área negativa. Por ejemplo, podemos visualizar la integral:

$ int _ < pi / 2> ^ <3 pi / 2> left ( sin (0.2 x) + sin (2x) + 1 right) dx $

En nuestros cursos de introducción al cálculo, nos enfocamos en integrales que podemos resolver exactamente mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, como

$ int_0 ^ < pi / 2> cos (x) , dx = sin ( pi / 2) - sin (0) = 1 $

Sin embargo, la mayoría de las integrales definidas son imposibles de resolver con exactitud. Por ejemplo, la famosa función de error en probabilidad

es una integral definida para la que no existe una fórmula explícita.

La idea detrás de la integración numérica es usar formas geométricas simples para aproximar el área bajo la curva $ y = f (x) $ para estimar integrales definidas. En esta sección, exploramos los métodos más simples de integración numérica: sumas de Riemann, la regla del trapezoide y la regla de Simpson.


Notas de clase en matemáticas

Editores en jefe: Morel, Jean-Michel, Teissier, Bernard
Editores de serie: Baur, K., Brion, M., Figalli, A., Huber, A., Khoshnevisan, D., Kontoyiannis, I., Kunoth, A., Szekelyhidi, L., Mézard, A., Podolskij, M., Serfaty, S., Vezzosi, G., Wienhard, A.

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Esta serie informa sobre nuevos desarrollos en todas las áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, de forma rápida, informal y de alto nivel. Los textos matemáticos que analizan nuevos desarrollos en modelado y simulación numérica son bienvenidos. El tipo de material considerado para publicación incluye:


1. Monografías de investigación
2. Conferencias sobre un nuevo campo o presentaciones de un nuevo ángulo en un campo clásico.
3. Escuelas de verano y cursos intensivos sobre temas de investigación actual.

Los textos que están agotados pero que aún tienen demanda también se pueden considerar si pertenecen a estas categorías. La puntualidad de un manuscrito es a veces más importante que su forma, que puede ser preliminar o provisional.

Los títulos de esta serie están indexados por Scopus, Web of Science, Mathematical Reviews y zbMATH.


4.7: Integrales de superficie - Matemáticas

Sección 10: Integrales de superficie

A continuación, aprendemos cómo realizar integrales de superficie, en las que integra una función sobre una superficie tridimensional. . . . (para leer el resto de este artículo, inicie sesión a continuación).

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Ver el vídeo: Integrales dobles: área de superficie sobre un círculo usando coordenadas polares básico (Septiembre 2021).