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1.3: Volumen por conchas cilíndricas - Matemáticas


Conchas cilíndricas

Considere rotar la región entre la curva

[y = x ^ 2, nonumber ]

la línea

[x = 2, nonumber ]

y el eje x sobre el eje y.

Si en lugar de tomar una sección transversal perpendicular al eje y, tomamos una sección transversal perpendicular al eje x y la giramos alrededor del eje y, obtenemos un cilindro. Recuerde que el área de un cilindro está dada por:

[A = 2 pi r h nonumber ]

donde (r ) es el radio del cilindro y (h ) es la altura del cilindro. Podemos ver que el radio es la coordenada x del punto de la curva y la altura es la coordenada y de la curva. Por eso

[A (x) = 2 pi xy = 2 pi x (x ^ 2). sin número]

Por tanto, el volumen viene dado por

[ begin {align *} text {Volumen} & = 2 pi int_ {0} ^ {1} x ^ 3 dx & = dfrac { pi} {2}. end {alinear *} ]

Ejemplo 1

Encuentre el volumen de revolución de la región limitada por las curvas

  • (y = x ^ 2 + 2 )
  • (y = x + 4 )
  • y el eje y

sobre el eje y.

Solución

Dibujamos la imagen con una sección transversal perpendicular al eje x.

El radio del cilindro es (x ) y la altura es la diferencia de las coordenadas (y ):

[h = (x + 4) - (x ^ 2 + 2). sin número]

Resolvemos para (b ).

[ begin {align *} (x + 4) & = (x ^ 2 + 2) x ^ 2-x-2 & = 0 (x-2) (x + 1) & = 0 end {alinear *} ]

De modo que (b = 2 ). Por tanto, el volumen es igual a

[ begin {align *} 2 pi int_ {0} ^ {2} big [(x + 4) - (x ^ 2 + 2) big] dx & = 2 pi int_ {0} ^ {2} (x ^ 2 + 2x-x ^ 3) dx & = 2 pi left ( dfrac {x ^ 3} {3} + x ^ 2- dfrac {x ^ 4} {4 } right] _ {0} ^ {2} & = 2 pi Big ( dfrac {8} {3} +4 -4 Big) & = dfrac {16 pi} {3 }. end {align *} ]

Ejercicios

  1. (y = x ^ 2-3x + 2 ), (y = 0 ) sobre el eje y
  2. (y = x ^ 2-7x + 6 ), (y = 0 ) sobre el eje y
  3. (x = 1-y ^ 2 ), (x = 0 ) (primer cuadrante) sobre el eje x
  4. (y = x sqrt {1 + x ^ 3} ), (y = 0 ), (x = 2 ) sobre el eje y
  5. ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) sobre el eje y
  6. (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 ) sobre el eje x
  7. (y = x ^ 2-2x + 1 ), (y = 1 ) sobre la línea (x = 3 )

Use conchas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por curvas = 4 -

A veces, encontrar el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de disco o arandela es difícil o imposible.

Por ejemplo, considere el sólido obtenido al rotar la región delimitada por la línea

Sólido obtenido al rotar la región delimitada por la curva cúbica y = x ^ 2-x ^ 3 alrededor del eje y.

La sección transversal del sólido de revolución es una arandela. Sin embargo, para usar el método de la lavadora, necesitamos convertir la función

En tales casos, podemos usar un método diferente para encontrar el volumen llamado método de conchas cilíndricas. Este método considera al sólido como una serie de casquillos cilíndricos concéntricos que envuelven el eje de revolución.

Con los métodos de disco o arandela, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo a los ejes de revolución. Con el método de carcasa, integramos a lo largo del eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución.


1.3: Descripción de la deformación en el sistema de coordenadas cilíndricas

  • Contribuido por Tomasz Wierzbicki
  • Profesor (Ingeniería Mecánica) en el Instituto de Tecnología de Massachusetts
  • Obtenido de MIT OpenCourseWare

En esta sección, las relaciones tensión-desplazamiento se derivarán en el sistema de coordenadas cilíndrico ((r, theta, z) ).

El sistema de coordenadas polares es un caso especial con (z = 0 ). Las componentes del vector de desplazamiento son (, u_z > ). Hay dos formas de derivar las ecuaciones cinemáticas. Dado que la deformación es un tensor, se puede aplicar la regla de transformación de una coordenada a la otra. Este enfoque se sigue, por ejemplo, en las páginas 125-128 del libro sobre & ldquoA First Course in Continuum Mechanics & rdquo por Y.C. Fung. O bien, la expresión para cada componente del tensor de deformación se puede derivar de la geometría. El último enfoque se adopta aquí. Los componentes diagonales (normales) ( epsilon_), ( epsilon _ < theta theta> ) y ( epsilon_) representan el cambio de longitud de un elemento infinitesimal. Los componentes no diagonales (cortantes) describen el cambio de ángulos.

Figura ( PageIndex <1> ): Sistema de coordenadas rectangular y cilíndrico. Figura ( PageIndex <2> ): Cambio de longitud en la dirección radial.

La deformación radial se debe únicamente a la presencia del gradiente de desplazamiento en la dirección (r ) -

La deformación circunferencial tiene dos componentes

El primer componente es el cambio de longitud debido al desplazamiento radial y el segundo componente es el cambio de longitud debido al desplazamiento circunferencial.

De la Figura ( ( PageIndex <3> )) los componentes ( epsilon _ < theta theta> ^ <(1)> ) y ( epsilon _ < theta theta> ^ <(2)> ) se calculan como

Figura ( PageIndex <3> ): dos modos de deformación responsables de la deformación circunferencial (aro).

El componente circunferencial total (aro) del tensor de deformación es

Los componentes de deformación en la dirección (z ) - son los mismos que en el sistema de coordenadas rectangular

La deformación cortante ( epsilon_) describe un cambio en el ángulo recto.

Figura ( PageIndex <4> ): Construcción que explica el cambio de ángulos debido al desplazamiento radial y circunferencial.

De la Figura ( ( PageIndex <4> )) la deformación cortante sobre el () avión es

Sobre el () plano, el ( epsilon_) la cizalladura se desarrolla a partir de los respectivos gradientes, consulte la Figura ( ( PageIndex <5> )).

Figura ( PageIndex <5> ): Los cambios de ángulos son () avión.

De la construcción en la Figura ( ( PageIndex <4> )), el componente ( epsilon_) es

Finalmente, una imagen similar es válida en la (tangente) () avión

Figura ( PageIndex <6> ): Visualización del componente de deformación ( epsilon _ < theta z> ).

El componente ( epsilon _ < theta z> ) del tensor de deformación es la mitad del cambio de ángulos, es decir,

Para resumir la derivación, los seis componentes del tensor de deformación infinitesimal en el sistema de coordenadas cilíndricas son

Se obtienen considerables simplificaciones en el caso de la simetría axial (simetría rotacional para la cual (u_ < theta> = 0 ) y ( frac < parcial> < parcial theta> [,] = 0 )

La aplicación de las relaciones geométricas anteriores para la carga axi-simétrica de placas circulares y carcasas cilíndricas se dará en los capítulos siguientes.


Volúmenes por método de conchas cilíndricas


Consideremos el problema de encontrar el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje (x ) - o paralelo al eje (x ) - la región, donde se encuentra la idea central del método de las capas cilíndricas para encontrar volúmenes. Si cortamos perpendicularmente al eje (y ), obtenemos un cilindro. Pero para calcular el radio interior y el radio exterior de la arandela, tendríamos que resolver la ecuación cúbica para (x ) en términos de (y ). En este caso, se está utilizando el método de las carcasas cilíndricas para encontrar el volumen, que es más fácil de usar en tal caso. Podemos ver una cáscara cilíndrica con radio interior, radio exterior y altura. Su volumen se calcula restando el volumen del cilindro interior del volumen del cilindro exterior.

Ejemplo resuelto de encontrar un volumen mediante el método de conchas cilíndricas

El diagrama muestra la gráfica de ( displaystyle f (x) = frac <1 + x ^ 2> ).

El área delimitada por (y = f (x) ), la línea (x = 1 ) y el eje (x ) - se rotan alrededor de la línea (x = 1 ) para formar un volumen sólido . Utilice el método de las carcasas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido.

(empezar Displaystyle require
delta V & amp = pi Big [(1-x + delta x) ^ 2 & # 8211 (1-x) ^ 2 Big] times y
& amp = pi Big [(1-x) ^ 2 + 2 (1-x) delta x + ( delta x) ^ 2 - (1-x) ^ 2 Big] times y
& amp = pi Big [2 (1-x) delta x Big] times frac <1 + x ^ 2> & amp color ( delta x) ^ 2 approx 0
& amp = 2 pi Big [ frac <1 + x ^ 2> Grande] delta x
& amp = 2 pi Big [ frac <1 & # 8211 (1 + x ^ 2) + x> <1 + x ^ 2> Big] delta x
& amp = 2 pi Big [ frac <1> <1 + x ^ 2> & # 8211 1 + frac <1 + x ^ 2> Grande] delta x
V & amp = 2 pi int_ <0> ^ <1> Big [ frac <1> <1 + x ^ 2> & # 8211 1 + frac <1 + x ^ 2> Big] dx
& amp = 2 pi Big [ tan ^ <-1> x & # 8211 x + frac <1> <2> log_e (1 + x ^ 2) Big] _ <0> ^ <1>
& amp = 2 pi Big ( frac < pi> <4> & # 8211 1 + frac <1> <2> log_e <2> Big)
final \ )


Rebanar esferas

La semana pasada vimos cómo calcular el área de un círculo a partir de los primeros principios. ¿Y las esferas?

Para calcular el volumen de una esfera, muestre & # 8217s que un hemisferio (con radio (r )) tiene el mismo volumen que el jarrón que se muestra en la figura siguiente, formado al tallar un cono del cilindro circular con radio y altura (r ). ¿Por qué esta forma? Aquí & # 8217s por qué: si cortamos estos dos sólidos a cualquier altura (h ) (entre 0 y (r )), las áreas de las dos rebanadas coinciden. De hecho, el segmento, generalmente llamado sección transversal—De la esfera es un círculo de radio ( sqrt), que tiene un área ( pi (r ^ 2-h ^ 2) ). De manera similar, la sección transversal del jarrón es un círculo de radio (r ) con un círculo de radio (h ) recortado, por lo que su área es ( pi r ^ 2- pi h ^ 2 ), como reclamado.

Cuando se corta en un plano horizontal a cualquier altura (h ), el hemisferio y el jarrón tienen áreas de sección transversal iguales. (Se muestra aquí para (h = 0.4 cdot r ).) Según el principio de Cavalieri, esto implica que tienen volúmenes iguales.

Si imaginamos que el hemisferio y el jarrón están hechos de muchos granos diminutos de arena, entonces simplemente mostramos, intuitivamente, que los dos sólidos tienen la misma cantidad de granos de arena en cada capa. Por lo tanto, debe haber la misma cantidad de granos en total, es decir, los volúmenes deben coincidir. Esta intuición es exactamente correcta:

Principio de Cavalieri & # 8217s: dos formas cualesquiera que tengan áreas de sección transversal horizontales coincidentes también tienen el mismo volumen.

Así que los volúmenes son iguales, y todo lo que queda es calcular el volumen del jarrón. ¡Pero podemos hacer esto! Recuerda que el cono tiene volumen ( frac <1> <3> ( text) ( exto) = frac <1> <3> pi r ^ 3 ) (mejor aún, ¡demuestre esto también! Sugerencia: use el Principio de Cavalieri & # 8217s nuevamente para compararlo con una pirámide triangular). Asimismo, el cilindro tiene volumen (( text) ( exto) = pi r ^ 3 ), por lo que el jarrón (y el hemisferio) tienen un volumen ( pi r ^ 3 & # 8211 frac <1> <3> pi r ^ 3 = frac <2> <3 > pi r ^ 3 ). El volumen de toda la esfera es entonces ( frac <4> <3> pi r ^ 3 ). ¡Éxito!

La siguiente visualización ilustra lo que hemos mostrado, a saber, $ text + texto = texto. $ Los & # 8220granos de arena & # 8221 en el hemisferio están siendo desplazados horizontalmente por el cono punzante, y al final hemos llenado exactamente el cilindro.

Al clavar un cono en un hemisferio hecho de "partículas de arena" que se mueven horizontalmente, se llena exactamente un cilindro.


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Sólidos de revolución y el método Shell

Brevemente, un sólido de revolución es el sólido formado al girar una región plana alrededor de un eje fijo.

Definimos sólidos de revolución en un artículo anterior, AP Calculus Review: Disk and Washer Methods. Por lo tanto, es posible que desee leer antes de continuar.

Conchas, conchas y más conchas & # 8230

Suponga que necesita encontrar el volumen de un sólido de revolución. Primero tenemos que decidir cómo cortar el sólido. Si quisieras cortar perpendicular al eje de revolución, entonces obtendría losas que parecen cilindros delgados (discos) o cilindros sin círculos (lavadoras). sin embargo, el Método Shell requiere un tipo diferente de rebanado.

Imagina que tu sólido está hecho de masa para galletas. Y tienes un juego de cortadores de galletas circulares de varios tamaños. Comenzando con el cortador de galletas más pequeño y avanzando hacia los más grandes, deje que & # 8217s corte la masa en anillos concéntricos.

Asegurándose de cortar en la misma dirección que el eje de revolución, obtendrá un grupo de anidados conchas, u objetos cilíndricos huecos delgados.

Aproximación del volumen

Ahora echemos un vistazo más de cerca a un solo caparazón.

Siempre que el grosor sea lo suficientemente pequeño, el volumen de la carcasa puede ser aproximado por la fórmula:

Tenga en cuenta que el volumen es simplemente la circunferencia (2 & pir) veces la altura (h) veces el espesor (w). De hecho, puede pensar en cortar la cáscara a lo largo de su altura y & # 8220 desenrollarla & # 8221 para producir una losa rectangular delgada. Entonces el volumen es simplemente largo &veces altura &veces ancho como en cualquier sólido rectangular.

Ahora suponga que tenemos un sólido de revolución con la región generadora como el área bajo una función y = F(X) Entre X = a y X = B. Y supongamos que el y-eje como su eje de simetría. (Este es el caso más sencillo).

F(X) = X 2 + 1, entre 2 y 6, giraban alrededor del y-axis, generando un sólido de revolución usando el método de capa & # 8221 width = & # 8221300 & # 8243 height = & # 8221300 & # 8243 wp-image-12021 & # 8243 />

Imagínese lo que le sucede a una delgada franja vertical de la región cuando gira alrededor de la y-eje. Debido a que el eje también es vertical, la tira barrerá una carcasa cilíndrica. Además, tenemos la siguiente información sobre cada shell:

  • Su radio es r = X (distancia de un punto típico al yeje).
  • La altura es h = y = F(X).
  • Su grosor es un pequeño cambio en X, que etiquetamos como & DeltaX o dx.

Por lo tanto, el volumen aproximado de un caparazón típico es:

Integración

Pero recuerde, eso & # 8217 es solo un shell. El sólido consta de conchas que se cortaron en varias posiciones. Xk a lo largo de X-eje. Así que debemos sumarlos para obtener el volumen aproximado de todo el sólido.

Finalmente, después de tomar el límite como norte & rarr & infin (de modo que tengamos infinitas conchas para completar el sólido), obtenemos la fórmula exacta.

Ejemplo 1

Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región bajo F(X) = X 2 + 1, donde 2 & le X & le 6, alrededor del y-eje.

Solución

Puede ser útil dibujar una figura. Afortunadamente, esto es exactamente lo que se muestra en la figura de arriba.

Primero identifique las dimensiones de un caparazón típico.

Además, utilizamos a = 2 y B = 6 porque tenemos 2 & le X & le 6.

Ahora configure la integral del Método Shell y evalúe para encontrar el volumen.

Por tanto, el volumen es igual a 672 & pi unidades cúbicas.


Recuerde que un cilindro oblicuo es uno que 'se inclina', donde el centro superior no está sobre el punto central de la base. En la figura anterior, marque "permitir oblicuo" y arrastre el punto naranja superior hacia los lados para ver un cilindro oblicuo.

Resulta que la fórmula del volumen funciona igual para estos. Sin embargo, debe utilizar la altura perpendicular en la fórmula. Esta es la línea vertical a la izquierda en la figura de arriba. Para ilustrar esto, marque 'Altura de congelación'. Mientras arrastra la parte superior del cilindro hacia la izquierda y hacia la derecha, observe el cálculo del volumen y observe que el volumen nunca cambia.


Prueba de derivación de volumen de cono

Para derivar el volumen de una fórmula de cono, el método más simple es usar el cálculo de integración. El principio matemático es cortar discos pequeños, sombreados en amarillo, de grosor delta y y radio x. Si tuviéramos que cortar muchos discos del mismo grosor y sumar su volumen, obtendríamos un volumen aproximado del cono.

La derivación generalmente comienza tomando uno de esos discos de espesor delta y, a una distancia y del vértice de un cono circular recto. El radio del disco es x, sin embargo, habrá un pequeño error, sombreado en rojo, debido al grosor delta y. A medida que el grosor se reduce a cero, también lo hace el error.

Triángulos proporcionales: Como puede ver, hay dos triángulos rectángulos sombreados en amarillo. Sus lados son proporcionales, lo que es útil para construir las expresiones que se muestran a continuación.

Dado que los lados son proporcionales, podemos escribirlos así. No está sucediendo nada sorprendente o complicado aquí, como puede ver. No se requiere una mayor explicación, ya que la clave es notar los triángulos proporcionales.

Aquí, simplemente estoy reorganizando la expresión para dar x, que es el radio del disco. En esta etapa, es posible que haya descubierto que esta expresión será útil en otra fórmula para calcular el volumen de un disco.

Aquí, estoy usando la fórmula estándar para calcular el volumen de un disco. El volumen de un disco es el mismo que el volumen de un cilindro de poca altura. En este caso, el disco tiene un radio xy una altura delta y. Delta y es solo otra forma de decir que es una distancia muy pequeña.

La sustitución de la ecuación del radio encontrada anteriormente en la ecuación estándar del volumen de un disco nos da esta expresión.

Aquí acabamos de expandir el término de potencia, con álgebra simple.

En esta etapa, el principio de integración implica sumar el volumen de los discos para darnos el volumen del cono. El símbolo de suma simplemente significa que si sumamos el volumen de todos esos discos entre y = cero e y = h, entonces deberíamos obtener un valor aproximado del volumen de un cono. Este sigue siendo un valor aproximado debido al error causado por el grosor del delta del disco. El diagrama animado de arriba muestra esto mostrando muchos discos cortados en varios puntos a lo largo del eje y.

Cuando delta y se acerca a cero, también lo hace el error y, por lo tanto, reemplazamos el delta y por dy y realizamos una operación de integración definida. Todo lo que hemos hecho es reemplazar el símbolo de suma con el operador integral. Normalmente dejo PI detrás de la integral, ya que es un término constante en toda la expresión y lo mantiene fuera del camino. Aquí estamos integrando con respecto ay por supuesto.

Después de integrar y, el resultado está entre corchetes grandes. Esto hace que los matemáticos parezcan inteligentes, pero solo significa que realizarás la misma operación dos veces. Una vez con y = h, y luego nuevamente con y = 0.

Aquí están los dos términos expandidos y dentro de sus propios corchetes. Cuando calcula el volumen por integración, siempre resta el contenido del segundo paréntesis con el contenido del primero.

El contenido del segundo corchete se convierte en cero porque y = 0 y todo lo que hay se multiplica por cero. Además, h² anula h³ dejando una h libre.

Eliminando todos los términos innecesarios y simplificando, se reduce a este término familiar para el volumen. Ésta es la prueba más simple que el Sr. Smith me enseñó alrededor de 1986 en Carshalton College. Fue el mejor maestro que tuve.


HOJA DE TRABAJO DE VOLUMEN DE FORMAS 3D CON RESPUESTAS

(1) & # xa0 Se cava un pozo de 14 m de profundidad con un diámetro interior de 10 m y la tierra extraída se distribuye uniformemente alrededor del pozo para formar un terraplén de 5 m de ancho. Encuentre la altura del terraplén. & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0

(2) & # xa0 Un vaso cilíndrico con un diámetro de 20 cm tiene agua hasta una altura de 9 cm. Se sumerge completamente un pequeño metal cilíndrico de 5 cm de radio y 4 cm de altura. Calcular la subida del agua en el vaso. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

(3) & # xa0 Si la circunferencia de una pieza cónica de madera es de 484 cm, calcule su volumen cuando su altura sea de 105 cm. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

(4) & # xa0 & # xa0 Un recipiente cónico está completamente lleno de gasolina. El radio es de 10 my la altura es de 15 m. Si el contenedor puede liberar la gasolina a través de su fondo a razón de 25 pies cúbicos. metro por minuto, en cuántos minutos se vaciará el recipiente. Redondea tu respuesta al minuto más cercano. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

(5) & # xa0 Un triángulo rectángulo cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm gira alrededor de los lados que contienen el ángulo recto de dos formas. Encuentre la diferencia en los volúmenes de los dos sólidos así formados. & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0

(6) & # xa0 Los volúmenes de dos conos del mismo radio de base son 3600 cm 3 & # xa0 y 5040 cm 3. Calcula la razón de las alturas. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

(7) & # xa0 & # xa0 Si la razón de los radios de dos esferas es 4: 7, calcule la razón de sus volúmenes. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

(8) & # xa0 Una esfera sólida y un hemisferio sólido tienen el mismo área de superficie total. Demuestre que la razón de su volumen es & # xa03 & # xa0 √ 3: 4. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

(9) & # xa0 Las áreas de superficie exterior e interior de una capa esférica de cobre son 576 π c m 2 & # xa0 y & # xa0 324 π & # xa0cm 2 & # xa0 respectivamente. Encuentra el volumen del material necesario para hacer la concha. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

(10) & # xa0 Un recipiente abierto en la parte superior tiene la forma de un tronco de cono de 16 cm de altura con radios de sus extremos inferior y superior de 8 cm y 20 cm respectivamente. Encuentre el costo de la leche que puede llenar completamente un recipiente a razón de & # xa0 ₹ 40 por litro. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solución

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