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8.0: Introducción a las funciones periódicas - Matemáticas


Cada día, el sol sale en dirección este, se acerca a una altura máxima relativa al ecuador celeste y se pone en dirección oeste. El ecuador celeste es una línea imaginaria que divide el universo visible en dos mitades de la misma manera que el ecuador de la Tierra es una línea imaginaria que divide el planeta en dos mitades. El camino exacto que parece seguir el sol depende de la ubicación exacta en la Tierra, pero cada ubicación observa un patrón predecible a lo largo del tiempo.

El patrón del movimiento del sol a lo largo de un año es una función periódica. Crear una representación visual de una función periódica en forma de gráfico puede ayudarnos a analizar las propiedades de la función. En este capítulo, investigaremos gráficas de seno, coseno y otras funciones trigonométricas.


Función de Mathieu

donde a < displaystyle a> y q < displaystyle q> son parámetros. Fueron presentados por primera vez por Émile Léonard Mathieu, quien los encontró mientras estudiaba parches de tambor elípticos vibrantes. [1] [2] Tienen aplicaciones en muchos campos de las ciencias físicas, como la óptica, la mecánica cuántica y la relatividad general. Suelen ocurrir en problemas que involucran movimiento periódico, o en el análisis de problemas de valores de frontera de ecuaciones diferenciales parciales que poseen simetría elíptica. [3]


Contenido

Si bien las ondas viajeras periódicas se conocen como soluciones de la ecuación de onda desde el siglo XVIII, su estudio en sistemas no lineales comenzó en la década de 1970. Un artículo de investigación inicial clave fue el de Nancy Kopell y Lou Howard [1], que demostró varios resultados fundamentales sobre las ondas viajeras periódicas en las ecuaciones de reacción-difusión. A esto siguió una importante actividad de investigación durante los años setenta y principios de los ochenta. Luego hubo un período de inactividad, antes de que el interés en las ondas viajeras periódicas fuera renovado por el trabajo matemático sobre su generación, [11] [12] y por su detección en ecología, en conjuntos de datos espacio-temporales sobre poblaciones cíclicas. [13] [14] Desde mediados de la década de 2000, la investigación sobre ondas viajeras periódicas se ha beneficiado de nuevos métodos computacionales para estudiar su estabilidad y estabilidad absoluta. [15] [16]

La existencia de ondas viajeras periódicas generalmente depende de los valores de los parámetros en una ecuación matemática. Si existe una solución de onda viajera periódica, entonces normalmente existe una familia de tales soluciones, con diferentes velocidades de onda. Para las ecuaciones diferenciales parciales, las ondas viajeras periódicas ocurren típicamente para un rango continuo de velocidades de onda. [1]

Una cuestión importante es si una onda viajera periódica es estable o inestable como solución del sistema matemático original. Para las ecuaciones diferenciales parciales, es típico que la familia de ondas se subdivida en partes estables e inestables. [1] [17] [18] Para las ondas viajeras periódicas inestables, una cuestión subsidiaria importante es si son absoluta o convectivamente inestables, lo que significa que hay o no modos lineales de crecimiento estacionarios. [19] Este problema solo se ha resuelto para algunas ecuaciones diferenciales parciales. [2] [15] [16]

En la actualidad, están bien establecidos varios mecanismos de generación periódica de ondas viajeras. Éstas incluyen:

  • Heterogeneidad: el ruido espacial en los valores de los parámetros puede generar una serie de bandas de ondas viajeras periódicas. [20] Esto es importante en aplicaciones de reacciones químicas oscilatorias, donde las impurezas pueden causar patrones objetivo u ondas espirales, que son generalizaciones bidimensionales de ondas viajeras periódicas. Este proceso proporcionó la motivación para gran parte del trabajo sobre ondas viajeras periódicas en los años setenta y principios de los ochenta. La heterogeneidad del paisaje también se ha propuesto como una causa de las ondas viajeras periódicas que se observan en la ecología. [21]
  • Invasiones, que pueden dejar una onda viajera periódica a su paso. [11] [12] [22] Esto es importante en el sistema Taylor-Couette en presencia de flujo continuo, [23] en sistemas químicos como la reacción de Belousov-Zhabotinsky [24] [25] y en sistemas depredador-presa en ecología. [26] [27]

En todos estos casos, una pregunta clave es qué miembro de la familia de ondas viajeras periódicas se selecciona. Para la mayoría de los sistemas matemáticos, esto sigue siendo un problema abierto.

Es común que para algunos valores de parámetros, las ondas viajeras periódicas que surgen de un mecanismo de generación de ondas sean inestables. En tales casos, la solución suele evolucionar hacia un caos espacio-temporal. [11] [27] Por lo tanto, la solución implica una transición espacio-temporal al caos a través de la onda viajera periódica.

Hay dos sistemas matemáticos particulares que sirven como prototipos de ondas viajeras periódicas y que han sido fundamentales para el desarrollo de la comprensión y la teoría matemáticas. Estas son las ecuaciones de reacción-difusión de la clase "lambda-omega" [1]

(r=(tu 2 +v 2) 1/2) y la compleja ecuación de Ginzburg-Landau. [2]

(A es de valor complejo). Tenga en cuenta que estos sistemas son iguales si λ (r)=1-r 2, ω (r)=-C r 2 y B= 0. Ambos sistemas se pueden simplificar reescribiendo las ecuaciones en términos de amplitud (r o |A|) y la fase (arctan (v/tu) o arg A). Una vez que las ecuaciones se han reescrito de esta manera, es fácil ver que las soluciones con amplitud constante son ondas viajeras periódicas, siendo la fase una función lineal del espacio y el tiempo. Por lo tanto, tu y v, o Re (A) y yo soy(A), son funciones sinusoidales del espacio y el tiempo.

Estas soluciones exactas para las familias de ondas viajeras periódicas permiten una gran cantidad de estudios analíticos adicionales. Se pueden encontrar las condiciones exactas para la estabilidad de las ondas viajeras periódicas, [1] [2] y la condición para la estabilidad absoluta se puede reducir a la solución de un polinomio simple. [15] [16] También se han obtenido soluciones exactas para el problema de selección de ondas generadas por invasiones [22] [33] y por condiciones de frontera cero de Dirichlet. [34] [35] En el último caso, para la ecuación compleja de Ginzburg-Landau, la solución general es un agujero estacionario de Nozaki-Bekki. [34] [36]

Gran parte del trabajo sobre ondas viajeras periódicas en la compleja ecuación de Ginzburg-Landau se encuentra en la literatura de física, donde generalmente se las conoce como ondas planas.

Para la mayoría de las ecuaciones matemáticas, el cálculo analítico de las soluciones periódicas de ondas viajeras no es posible y, por lo tanto, es necesario realizar cálculos numéricos. Para ecuaciones diferenciales parciales, denote por X y t las variables (unidimensionales) de espacio y tiempo, respectivamente. Entonces las ondas viajeras periódicas son funciones de la variable de onda viajera z=X-C t. La sustitución de esta forma de solución en las ecuaciones diferenciales parciales da un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias conocido como ecuaciones de onda viajera. Las ondas viajeras periódicas corresponden a los ciclos límite de estas ecuaciones, y esto proporciona la base para los cálculos numéricos. El enfoque computacional estándar es la continuación numérica de las ecuaciones de ondas viajeras. Primero se realiza una continuación de un estado estable para localizar un punto de bifurcación de Hopf. Este es el punto de partida para una rama (familia) de soluciones periódicas de ondas viajeras, que se puede seguir mediante una continuación numérica. En algunos casos (inusuales) ambos puntos finales de una rama (familia) de soluciones de ondas viajeras periódicas son soluciones homoclínicas, [37] en cuyo caso se debe usar un punto de partida externo, como una solución numérica de las ecuaciones diferenciales parciales.

La estabilidad de las ondas viajeras periódicas también se puede calcular numéricamente, calculando el espectro. Esto se ve facilitado por el hecho de que el espectro de las soluciones periódicas de ondas viajeras de ecuaciones diferenciales parciales consiste enteramente en espectro esencial. [38] Los posibles enfoques numéricos incluyen el método de Hill [39] y la continuación numérica del espectro. [15] Una ventaja del último enfoque es que se puede ampliar para calcular los límites en el espacio de parámetros entre ondas estables e inestables [40]

Software: El paquete de software gratuito de código abierto Wavetrain http://www.ma.hw.ac.uk/wavetrain está diseñado para el estudio numérico de ondas viajeras periódicas. [41] Utilizando la continuación numérica, Wavetrain puede calcular la forma y la estabilidad de las soluciones periódicas de ondas viajeras de ecuaciones diferenciales parciales y las regiones del espacio de parámetros en las que existen ondas y en las que son estables.

Ejemplos de fenómenos que se asemejan a ondas viajeras periódicas que se han encontrado empíricamente incluyen los siguientes.


2. Muestreo

2.a. Teorema de Shannon & # 8217s

Sea u (t) una función que representa una señal continua. Consideramos un muestreo periódico definido por: tk = kTe (1) uk = u (tk) (2)

donde k es un número entero. Te es el período de muestreo. fe = 1 / Te es la frecuencia de muestreo.

El teorema de Shannon & # 8217 ([1]) se refiere a señales cuyo espectro tiene una frecuencia máxima fmax, que se denominan señales de banda limitada. Por ejemplo, si u (t) es un polinomio trigonométrico, la frecuencia máxima es la del mayor armónico.

Teorema de Shannon & # 8217s: para que la señal se pueda reconstruir completamente a partir de las muestras, es necesario y suficiente que: fe> 2fmax (3)

La frecuencia de muestreo debe ser estrictamente mayor que el doble de la mayor frecuencia presente en el espectro de la señal continua (condición de Nyquist-Shannon). Si esta condición es verdadera, entonces: u (t) = ∑k = -∞ + ∞uksinct-kTeTe (4)

donde la función del seno cardinal está definida por: sinc (x) = sin (πx) πx (5)

Esta relación muestra que la señal se puede reconstruir a partir de las muestras, lo que significa que toda la información presente en la señal original se retiene en las muestras. Más adelante veremos cómo se lleva a cabo en la práctica la operación de reconstrucción.

La mitad de la frecuencia de muestreo se denomina frecuencia de Nyquist fn y, por tanto, la condición de Nyquist-Shannon se escribe fmax & ltfn.

Cuando no se verifica la condición, se dice que hay submuestreo. Hablamos de sobremuestreo cuando la frecuencia de Nyquist es mucho mayor que fmax.

2.b. Función sinusoidal

Para ilustrar el teorema de Shannon # 8217, consideremos primero el caso de una función sinusoidal. Definimos una función de período 1:

La frecuencia máxima es obviamente fmax = 1. Realizaremos dos muestras de esta función. El primero con una frecuencia grande frente a 1, para dibujar la sinusoide, el segundo con una frecuencia menor pero respetando la condición de Nyquist-Shannon (mayor que 2)

figure (figsize = (12,4)) plot (t2, x2, "r") xlabel ("t") ylabel ("u") grid () import numpy.fft tfd = numpy.fft.fft (x2) f = numpy.arange (0, N2) * 1.0 / T figure (figsize = (10,5)) stem (f, numpy.absolute (tfd) / N2 ) xlabel ('f') ylabel ('A') grid ()

Ahora puede aumentar la frecuencia de muestreo agregando ceros entre estas dos partes. El intervalo de frecuencia entre dos puntos vecinos sigue siendo 1 / T. La nueva frecuencia de muestreo se calcula a partir del número total de puntos.

x3 = numpy.fft.ifft (tfd3) t3 = numpy.arange (0, N3) * 1.0 / fe3 figure (figsize = (10,4)) plot (t3, x3) xlabel ('t') ylabel ('x3 ') red()

2.c. Señal periodique

Una función periódica se descompone en una suma de funciones sinusoidales (serie de Fourier). A continuación se muestra un ejemplo con 3 armónicos, de orden 1,3 y 5:

La frecuencia más grande del espectro de la señal es la del quinto armónico. Por tanto, para cumplir con la condición de Nyquist-Shannon, es necesaria una frecuencia de muestreo superior a 10. Se muestrean 40 períodos con una frecuencia de 12,345. La frecuencia de muestreo se elige no un múltiplo de la de la señal, como ocurre con mayor frecuencia en la realidad.

tfd = numpy.fft.fft (x2) f = numpy.arange (0, N2) * 1.0 / T figure (figsize = (10,5)) stem (f, numpy.absolute (tfd) / N2) xlabel (' f ') ylabel (' A ') cuadrícula ()

El alias de banda se produce cuando no se cumple la condición de Nyquist-Shannon. A continuación, se muestra un ejemplo de una onda sinusoidal submuestreada:

tfd = numpy.fft.fft (x2) f = numpy.arange (0, N2) * 1.0 / T figure (figsize = (10,5)) stem (f, numpy.absolute (tfd) / N2) xlabel (' f ') ylabel (' A ') cuadrícula ()

Lo anterior muestra que la reducción de resolución debe evitarse por completo. En el caso de la conversión de analógico a digital, por ejemplo al digitalizar sonido, la frecuencia máxima fmax de la señal puede ser bastante grande, mientras que la frecuencia de muestreo fe está limitada por la velocidad de trabajo del circuito electrónico de digitalización.

Si la frecuencia de muestreo máxima practicable es inferior a 2fmax, una solución consiste en realizar un filtrado paso bajo analógico de la señal antes de su digitalización, para eliminar de su espectro las frecuencias superiores a fe / 2. Este tipo de filtro es llamado filtro anti-aliasing. Idealmente, un filtro anti-aliasing debería tener una ganancia de 1 en la banda de paso [0, fe / 2], cero afuera. La siguiente figura muestra el diagrama de bloques del dispositivo de digitalización que comprende el filtro anti-aliasing y el convertidor analógico-digital:

3. Reconstrucción

3.a. Filtro de suavizado analógico

La reconstrucción de la señal tiene lugar durante la conversión de digital a analógico, por ejemplo, en un reproductor de CD de audio. El objetivo es reconstruir una señal continua (analógica) lo más cercana posible a la señal cuyo espectro es el de la banda [0, fe / 2]. Veamos esto en el ejemplo de una sinusoide de período 1, que muestreamos a una frecuencia mayor que 2.

tfd = numpy.fft.fft (x2) f = numpy.arange (0, N2) * 1.0 / T figure (figsize = (10,5)) stem (f, numpy.absolute (tfd) / N2) xlabel (' f ') ylabel (' A ') cuadrícula () def echantBloqueur (x, fe, n): N = x.size y = numpy.zeros (0) t = numpy.arange (0, N * n) * 1.0 / (fe * n) para k en el rango (N) : y = numpy.concatenar ((y, numpy.ones (n) * x [k])) return (t, y) n = 10 N3 = N2 * n fe3 = fe2 * n (t, x3) = echantBloqueur ( x2, fe2, n) figura (figsize = (12,4)) plot (t, x3) xlabel ('t') eje ([0,10, -1,1]) cuadrícula () import scipy.signal P = 10 h = scipy.signal.firwin (numtaps = 2 * P + 1, cutoff = [0.5 / n], nyq = 0.5, window = 'hann')

P es el índice de truncamiento de la respuesta al impulso, que debe aumentarse para que el filtro sea más selectivo.

Aquí está el resultado del filtrado:

La técnica anterior, que consiste en utilizar un filtro de suavizado analógico para reconstruir la señal, es difícil de implementar, especialmente cuando la frecuencia de Nyquist es apenas mayor que fmax. Al igual que con el filtro anti-aliasing, nos enfrentamos a la dificultad de producir un filtro analógico muy selectivo sin distorsión en la banda de paso.

Otra solución es aumentar la frecuencia de muestreo para realizar un suavizado digital, antes de la conversión de digital a analógico. El filtro de suavizado analógico es mucho más sencillo de producir porque la frecuencia de Nyquist es más alta. El filtro de suavizado digital se denomina filtro de interpolación. Se trata de un filtro de paso bajo cuya frecuencia de corte es la mitad de la frecuencia de muestreo antes de la multiplicación. La realización de un filtro de paso bajo digital muy selectivo no presenta ninguna dificultad. Esto es exactamente lo que hicimos en el ejemplo anterior, donde la frecuencia de muestreo se incrementó en un factor de 10 antes de aplicar el filtrado de paso bajo digital.

El filtro de interpolación realiza así la convolución expresada por la fórmula de Shannon & # 8217s (4), convolución entre las muestras y un seno cardinal. En la práctica, la reconstrucción es imperfecta porque el seno cardinal debe truncarse para obtener una respuesta de impulso finita.

Esta técnica se utiliza en reproductores de CD de audio, donde la frecuencia base de 44 kHz se incrementa en un factor de 4 antes de aplicar el filtro de interpolación digital (paso bajo de 22 kHz). Dado que la nueva frecuencia DAC es de 176 kHz, la frecuencia de Nyquist (88 kHz) es mucho mayor que fmax = 20 kHz, lo que permite utilizar un filtro simple de primer orden para el suavizado analógico. La siguiente figura muestra el diagrama de bloques de la cadena completa:


Periodos y grupos

Los elementos de la tabla periódica están organizados en períodos (filas) y grupos (columnas). El número atómico aumenta a medida que avanza por una fila o un período.

Las filas de elementos se denominan períodos. El número de período de un elemento significa el nivel de energía no excitado más alto para un electrón en ese elemento. El número de elementos en un período aumenta a medida que avanza en la tabla periódica porque hay más subniveles por nivel a medida que aumenta el nivel de energía del átomo.

Las columnas de elementos ayudan a definir los grupos de elementos. Los elementos dentro de un grupo comparten varias propiedades comunes. Los grupos son elementos que tienen la misma disposición de electrones externos. Los electrones externos se denominan electrones de valencia. Debido a que tienen el mismo número de electrones de valencia, los elementos de un grupo comparten propiedades químicas similares. Los números romanos enumerados encima de cada grupo son el número habitual de electrones de valencia. Por ejemplo, un elemento de grupo VA tendrá 5 electrones de valencia.


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8.0: Introducción a las funciones periódicas - Matemáticas

Introducción a la función cotangente

Definición de la función cotangente

La función cotangente es una función matemática antigua. Fue mencionado en 1620 por E. Gunter, quien inventó la notación de "cotangenos". Posteriormente J. Keill (1726) y L. Euler (1748) utilizaron esta función y su notación en sus investigaciones.

La definición clásica de la función cotangente para argumentos reales es: `` la cotangente de un ángulo en un triángulo rectángulo '' es la razón entre la longitud del cateto adyacente y la longitud del cateto opuesto. '' Esta descripción de es válida para cuando el triángulo es no degenerado. Este enfoque de la cotangente se puede expandir a valores reales arbitrarios de si se considera el punto arbitrario en el plano cartesiano, & # 8208 y se define como la relación asumiendo que & # 945 es el valor del ángulo entre la dirección positiva de el eje & # 8208 y la dirección desde el origen hasta el punto.

La comparación de la definición de cotangente con las definiciones de las funciones seno y coseno muestra que la siguiente fórmula también se puede utilizar como una definición de la función cotangente:

Un vistazo rápido a la función cotangente

Aquí hay un gráfico de la función cotangente para valores reales de su argumento.

Representación a través de funciones más generales

La función cotangente se puede representar utilizando funciones matemáticas más generales. Como la razón de las funciones coseno y seno que son casos particulares de las funciones hipergeométricas generalizadas, de Bessel, Struve y Mathieu, la función cotangente también se puede representar como razones de esas funciones especiales. Pero estas representaciones no son muy útiles. Es más útil escribir la función cotangente como casos particulares de una función especial. Eso se puede hacer usando funciones elípticas de Jacobi doblemente periódicas que degeneran en la función cotangente cuando su segundo parámetro es igual a o.

Definición de la función cotangente para un argumento complejo

En el plano complejo & # 8208, la función se define usando yo la función exponencial en los puntos y mediante la fórmula:

En los puntos, donde tiene ceros, el denominador de la última fórmula es igual a cero y tiene singularidades (polos de primer orden).

Aquí hay dos gráficos que muestran las partes real e imaginaria de la función cotangente sobre el plano complejo.

Las propiedades y fórmulas más conocidas de la función cotangente

Los estudiantes generalmente aprenden la siguiente tabla básica de valores de la función cotangente para puntos especiales del círculo:

Para valores reales de argumento, los valores de son reales.

En los puntos, los valores de son algebraicos. En varios casos, pueden ser números enteros, 0 o 1:

Los valores de se pueden expresar usando solo raíces cuadradas si y es un producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos <3, 5, 17, 257, & # 8230>.

La función es una función analítica que se define en todo el plano complejo y no tiene cortes ni puntos de ramificación. Tiene un conjunto infinito de puntos singulares:

(a) son los polos simples con residuos. (b) es un punto singular esencial.

Es una función periódica con el período real:

La función es una función impar con simetría especular:

La primera derivada de tiene representaciones simples usando la función o la función:

La derivada de tiene representaciones mucho más complicadas que las derivadas simbólicas para y:

donde está el símbolo delta de Kronecker: y.

Ecuación diferencial ordinaria

La función satisface la siguiente ecuación diferencial no lineal de primer orden:

La función tiene una expansión de la serie de Laurent simple en el origen que converge para todos los valores finitos con:

donde están los números de Bernoulli.

La función tiene una representación integral bien conocida a través de la siguiente integral definida a lo largo de la parte positiva del eje real:

Representaciones de fracción continua

La función tiene la siguiente representación simple de fracción continua:

Las integrales indefinidas de expresiones que contienen la función cotangente a veces se pueden expresar usando funciones elementales. Sin embargo, con frecuencia se necesitan funciones especiales para expresar los resultados incluso cuando los integrandos tienen una forma simple (si pueden evaluarse en forma cerrada). Aquí hay unos ejemplos:

Las integrales definidas que contienen la función cotangente son a veces simples. Por ejemplo, la famosa constante catalana se puede definir como el valor de la siguiente integral:

Esta constante también aparece en la siguiente integral:

Se pueden usar algunas funciones especiales para evaluar integrales definidas más complicadas. Por ejemplo, para expresar la siguiente integral, se necesita la función hipergeométrica de Gauss:

La siguiente suma finita que contiene una función cotangente se puede expresar en términos de una función cotangente:

Otras sumas finitas que contienen una función cotangente se pueden expresar en términos de una función polinomial:

La siguiente suma infinita que contiene la función cotangente tiene un valor muy simple:

El siguiente producto finito de la cotangente tiene un valor muy simple:

La cotangente de una suma se puede representar mediante la regla: `` la cotangente de una suma es igual al producto de las cotangentes menos uno dividido por la suma de las cotangentes ''. Una regla similar es válida para la cotangente de la diferencia:

En el caso de múltiples argumentos,,, & # 8230, la función se puede representar como la razón de las sumas finitas que contienen potencias de cotangentes:

La cotangente de un medio & # 8208angle se puede representar usando dos funciones trigonométricas mediante las siguientes fórmulas simples:

La función seno en la última fórmula se puede reemplazar por la función coseno. Pero conduce a una representación más complicada que es válida en alguna franja vertical:

Para que esta fórmula sea correcta para todos los complejos, se necesita un prefactor complicado:

donde contiene el paso unitario, la parte real, la parte imaginaria, el piso y las funciones redondas.

Sumas de dos funciones directas

La suma de dos funciones cotangentes se puede describir mediante la regla: `` la suma de las cotangentes es igual al seno de la suma multiplicada por las cosecantes ''. Una regla similar es válida para la diferencia de dos cotangentes:

Productos que involucran la función directa

El producto de dos cotangentes y el producto de la cotangente y la tangente tienen las siguientes representaciones:

La desigualdad más famosa para la función cotangente es la siguiente:

Relaciones con su función inversa

Existen relaciones simples entre la función y su función inversa:

La segunda fórmula es válida al menos en la franja vertical. Fuera de esta franja, una relación mucho más complicada (que contiene el paso unitario, la parte real y las funciones de piso) contiene:

Representaciones a través de otras funciones trigonométricas

Las funciones cotangente y tangente están conectadas por una fórmula muy simple que contiene la función lineal en el siguiente argumento:

La función cotangente también se puede representar utilizando otras funciones trigonométricas mediante las siguientes fórmulas:

Representaciones mediante funciones hiperbólicas

La función cotangente tiene representaciones usando las funciones hiperbólicas:

La función cotangente se utiliza en todas las matemáticas, las ciencias exactas y la ingeniería.


Principales problemas de diseño

Husrev T. Sencar,. Ali N. Akansu, en Fundamentos y aplicaciones de ocultación de datos, 2004

7.2.1 Autocorrelación para restaurar la señal recortada

Deje una señal periódica V ser obtenido combinando norte réplicas de la señal W de longitud T1 (Figura 7-1). V se recorta arbitrariamente, VC, y la señal resultante se vuelve a muestrear por el factor 1 / τ = T2/T1, VCR. Luego, T2 es el tamaño del remuestreo W. Dejar norte ser un número entero grande Tmi ser la cantidad de señal (número de coeficientes) recortada de V, dónde Tmi & lt T1, y L = Nuevo Testamento2Tmi/ τ sea la longitud de VCR. El factor de remuestreo también se puede definir como 1 / τ = L/(Nuevo Testamento1Tmi). La autocorrelación R V C R V C R (m) de VCR se calcula como

Para recuperarse W, la señal recortada remuestreada VCR de tamaño Nuevo Testamento2Te/ τ debe restaurarse a la señal recortada VC con tamaño Nuevo Testamento1Tmi remuestreando con el factor τ. La función de autocorrelación de VCR se utiliza para estimar 1 / τ dependiendo de la información sobre V disponible para el extractor (es decir, tamaño de V, tamaño de W). También se verá que el patrón de pico de autocorrelación proporciona información sobre la naturaleza de los cultivos incluso cuando los cultivos ocurren en múltiples posiciones (tenga en cuenta que si dos o más muestras consecutivas en V se recortan, se considerarán un solo cultivo). Se supone que la cantidad total de señal recortada es mucho menor que el tamaño de V, T e ≪ n T 1. La justificación de esta suposición es que en un escenario de ataque típico, debido a limitaciones de percepción, el atacante no puede realizar cambios radicales en el tamaño de la señal. V. Por lo tanto, todas las copias de W no se puede recortar fatalmente al mismo tiempo. En consecuencia, en la función de autocorrelación correspondiente de VCR los picos observados en T2 los cambios del origen, R V C R V C R (± i T 2), donde i ∈ Z -, serán relativamente más fuertes en comparación con otros picos, independientemente del número de cultivos. Dado que T1 es conocido en el extractor, el factor de remuestreo se puede encontrar midiendo T2 a través de distancias entre los picos dominantes en la función de autocorrelación y calculando T2/ T1. Alternativamente, si el tamaño de V antes del cultivo, Nuevo Testamento1, se conoce más que el tamaño de W, 1 / τ se puede calcular utilizando las ubicaciones relativas de los picos de la función de autocorrelación.

Considerando el caso de un solo cultivo de cantidad Tmi, la función de autocorrelación de la señal VCR indicará la presencia de dos componentes periódicos con el mismo período, T2 = T11 / τ. El primer componente se identifica por picos en T2 cambios del origen. El segundo, por otro lado, genera picos en el cambio de T2 Tmi1 / τ con respecto al desplazamiento cero y en T2 turnos a partir de entonces. En otras palabras, el primer componente se debe a copias remuestreadas de la señal. W en VCR, y el segundo se debe al recorte. En la autocorrelación, en cada T2Tmi 1/ τ turno siguiendo un T2 shift, el período de señal incompleto coincide con una copia de sí mismo y genera un pico. Los picos correspondientes al último componente son más débiles en la intensidad de la señal en comparación con el primero debido a la incompleta W. Por lo tanto, aparte del pico en el cambio cero, cada pico en T2 los cambios (con respecto al cambio cero) va acompañado de un pico debido a la W (asumiendo norte es lo suficientemente grande). La distancia D entre el pico en kT2, knorte, y (k − 1)T2 + T2Tmi1 / τ se calcula como

Poder medir Tmi/τ y T2, el factor de remuestreo τ se calcula como τ = Nuevo Testamento2/Nuevo Testamento1 o τ = T2/ T1 basado en la disponibilidad de Nuevo Testamento1 o T1. Entonces la cantidad total de cultivo Tmi se calcula usando la ecuación. (7,13). También debe tenerse en cuenta que, dado cualquiera de Nuevo Testamento1 o T1, se puede determinar utilizando τ y T2.

Ahora consideraremos el caso de doble cultivo donde Tmi1 y Tmi2 son las cantidades de las muestras recortadas que no se superponen (Tmi1 y Tmi2 referirse a cultivos de W en diferentes ubicaciones) desde V con Tmi1 + Tmi2 & lt T1. La función de autocorrelación de VCR puede tener hasta cuatro picos en cada T2 intervalo que son (k − 1)T2, knorte, lejos del cambio cero. Estos picos pueden aparecer en kT2 − (Tmi1 + Tmi2) / τ, kT2 − (Tmi1) / τ, kT2Tmi2/ τ, y kT2. El último se debe a copias remuestreadas de W y tiene el valor de correlación más alto. Otros se deben a copias recortadas y remuestreadas de W y tienen fortalezas menores. Si no hay cultivos presentes en el primer y último período de W, para relativamente grande norte y T1, la distancia, D, entre el primer y el último pico en cualquier T2 el intervalo se mide como (Tmi2 + Tmi1) / τ. Similar al caso de un solo cultivo, Nuevo Testamento2 y 1/τ = Nuevo Testamento2/Nuevo Testamento1 en consecuencia se calculan.

Para más cultivos seguidos de remuestreo, se aplica una analogía similar. Si Tmi1, …, Tem son las cantidades de las señales recortadas que no se superponen y Tmi1 +⋯–Tem & lt T1, puede haber, como máximo, 2metro picos en cada turno en función de cómo la señal V se recorta (es decir, el número de cultivos en cada período de W, la ubicación de un cultivo en el período W, la vecindad de los períodos cosechados). Estos cultivos pueden producir picos de correlación a 2 metro ubicaciones en un T2 turno (asumiendo que cada cultivo no se superpone con los demás y considerando que el primer y el último período no se recortan). Las ubicaciones de los picos correspondientes en la función de autocorrelación están en k T 2 - ∑ j = 1 j = m T ej / τ, k T 2 - ∑ j = 1, j ≠ ij = m T ej / τ para ∀ i, k T 2 - ∑ j = 1, j ≠ i, lj = m T ej / τ para ∀ i, l tal que Il, …, kT2Tmij/τ para ∀ j, y en kT2. Entonces, la distancia D entre el primer y el último picos en un T2 shift se puede utilizar para estimar la cantidad total de borrado.

Cuando el primer y último período de la señal V se recortan, es posible que la función de autocorrelación no genere un pico en kT2 − (Tmi1 + ⋯ + Tem) / τ. Por tanto, la distancia D, medido entre el primer y el último pico a una T2 desplazamiento de la función de autocorrelación, no indica Tmi/ τ. Sin embargo, como se explicará en la Sección 7.2.3, d aún puede medirse usando características de autocorrelación cíclica para tales cultivos. Además, si ambos T1 y Nuevo Testamento1 se conocen en el extractor, la cantidad de cultivo, Tmi, también se puede determinar midiendo D y 1 / τ usando la Ec. (7,13).


Convergencia de la serie de Fourier

Definición. La función f (x) definida en [a, b], se dice que es continua por partes si y solo si, existe una partición de [a, b] tal que (1) f (x) es continua en [a, b] excepto puede ser para los puntos xi, (2) el límite derecho y el límite izquierdo de f (x) en los puntos xi existen. Diremos que f (x) es uniforme por partes si y solo si f (x) y sus derivadas son continuas por partes.

Recuerde que es una partición de [a, b] si

Todos los resultados conocidos sobre la suma, el producto y el cociente son válidos para funciones suaves por partes. Excepto por el teorema fundamental del cálculo que necesita ser modificado. De hecho, hemos dejado que f (x) sea una función suave a trozos en el intervalo abierto a & lt x & lt b. No hay ninguna razón para que f (x) y f '(x) se definan en los puntos finales ay b. Pero si denotamos el límite izquierdo y el límite derecho de f (x) en un punto x 0 por

el teorema fundamental del cálculo se traduce en

Antes de establecer el resultado fundamental de la convergencia de las series de Fourier, necesitamos algunos resultados intermedios.

Observación. Recuerde que nuestro problema inicial es aproximar una función globalmente (en un intervalo versus aproximaciones de Taylor que son locales). En este contexto, la aproximación de f (x) se realizará mediante los polinomios de Fourier

Estos polinomios de Fourier se denominarán sumas parciales de Fourier.

El resultado fundamental de la convergencia de las series de Fourier, debido a Dirichlet, establece:

Teorema. Sea f (x) una función, que es dos veces diferenciable, tal que f (x), f '(x) y f' '(x) son continuas por partes en el intervalo. Entonces, para cualquiera, la secuencia de sumas parciales de Fourier converge a, como tiende a hacerlo n.

Recuerde que la notación f (x +) (resp. F (x -)) representan el límite derecho y el límite izquierdo, respectivamente, de f en el punto x. Asociamos af la nueva función S (f) definida por

La conclusión del teorema anterior se traduce en

Esta función satisface los supuestos del teorema principal. Antes, usamos la conclusión de Thoerem, encontremos su serie de Fourier. Tenemos


Sprites de Plymouth

Para colocar una imagen en la pantalla, usamos sprites.

To create a new sprite call Sprite, then set the image using SetImage, e.g.

You can also set the image while creating the sprite by supplying it to the constructor e.g.

The default placement of a new sprite is at the top left corner of the screen (at 0,0). To change the position call SetX and SetY, e.g.

If there are multiple sprites it us useful to decide which sprite should be shown above other. This is controlled using the Z component, the sprite with higher the Z is drawn on top.

To set X, Y and Z in one call you can use SetPosition

SetOpacity can make sprites transparent (the default opacity is solid 1) or even invisible when set to 0 , e.g.

It is also possible to get the X/Y/Z/Opcaity/Image properties of a sprite.