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3.2: Graficar ecuaciones lineales en dos variables - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular
  • Grafica una ecuación lineal trazando puntos
  • Grafica líneas verticales y horizontales
  • Encuentra las intersecciones en x y en y
  • Grafica una línea usando las intersecciones

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Evalúa (5x − 4 ) cuando (x = −1 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Evalúa (3x − 2y ) cuando (x = 4, y = −3 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Resuelva para (y: 8−3y = 20 ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Trazar puntos en un sistema de coordenadas rectangular

Al igual que los mapas usan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, un sistema de cuadrícula se usa en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. El sistema de coordenadas rectangulares también se llama xy-plano o el "plano de coordenadas".

El sistema de coordenadas rectangular está formado por dos rectas numéricas que se cruzan, una horizontal y otra vertical. La recta numérica horizontal se llama X-eje. La recta numérica vertical se llama y-eje. Estos ejes dividen un plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se identifican con números romanos, comenzando en la esquina superior derecha y avanzando en sentido antihorario. Ver Figura.

En el sistema de coordenadas rectangulares, cada punto está representado por un par ordenado. El primer número del par ordenado es el X-coordinado del punto, y el segundo número es el y-coordinado del punto. La frase "par ordenado" significa que el orden es importante.

PAR ORDENADO

Un par ordenado, (x, y) (x, y) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es el X-coordinar. El segundo número es el y-coordinar.

¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto, ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado es ((0,0) ). El punto ((0,0) ) tiene un nombre especial. Se llama el origen.

EL ORIGEN

El punto ((0,0) ) se llama origen. Es el punto donde el X-eje y y-eje se cruza.

Usamos las coordenadas para ubicar un punto en el xy-avión. Grafiquemos el punto ((1,3) ) como ejemplo. Primero, ubique 1 en el X-eje y dibuje ligeramente una línea vertical a través de (x = 1 ). Luego, ubique 3 en el y-eje y dibuje una línea horizontal a través de y = 3.y = 3. Ahora, encuentre el punto donde estas dos líneas se unen, ese es el punto con coordenadas ((1,3) ). Ver Figura.

Observe que la línea vertical que pasa por (x = 1 ) y la línea horizontal que pasa por (y = 3 ) no forman parte de la gráfica. Los usamos para ayudarnos a ubicar el punto ((1,3) ).

Cuando una de las coordenadas es cero, el punto se encuentra en uno de los ejes. En Figura el punto ((0,4) ) está en el y-eje y el punto ((- 2,0) ) está en el X-eje.

Figura ( PageIndex {3} )

PUNTOS SOBRE LOS EJES

Puntos con un y-coordinada igual a 0 están en el X-eje y tienen coordenadas ((a, 0) ).

Puntos con un X-coordinada igual a 0 están en el y-eje y tienen coordenadas ((0, b) ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:

Ⓐ ((- 5,4 )) ⓑ ((- 3, −4) ) ⓒ ((2, −3) ) ⓓ ((0, −1) ) ⓔ ((3) , dfrac {5} {2}) ).

Respuesta

El primer número del par de coordenadas es el X-coordinado, y el segundo número es el y-coordinar. Para trazar cada punto, dibuje una línea vertical a través del X-coordinada y una línea horizontal a través de la y-coordinar. Su intersección es el punto.

Ⓐ Dado que (x = −5 ), el punto está a la izquierda de la y-eje. Además, dado que (y = 4 ), el punto está por encima del X-eje. El punto ((- 5,4) ) está en el cuadrante II.

Ⓑ Dado que (x = −3 ), el punto está a la izquierda de la y-eje. Además, como (y = −4 ), el punto está por debajo del X-eje. El punto ((- 3, −4) ) está en el cuadrante III.

Ⓒ Dado que (x = 2 ), el punto está a la derecha de la y-eje. Dado que (y = −3 ), el punto está por debajo del X-eje. El punto ((2, −3) ) está en el cuadrante IV.

Ⓓ Dado que (x = 0 ), el punto cuyas coordenadas son ((0, −1) ) está en el y-eje.

Ⓔ Dado que (x = 3 ), el punto está a la derecha de la y-eje. Dado que (y = dfrac {5} {2}) ), el punto está por encima del X-eje. (Puede ser útil escribir ( dfrac {5} {2}) ) como un número mixto o decimal.) El punto ((3, dfrac {5} {2}) ) está en el cuadrante I .

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Trace cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:

Ⓐ ((- 2,1) ) ⓑ ((- 3, −1) ) ⓒ ((4, −4) ) ⓓ ((- 4,4) ) ⓔ ((- 4, dfrac {3} {2}) )

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Trace cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:

Ⓐ ((- 4,1) ) ⓑ ((- 2,3) ) ⓒ ((2, −5) ) ⓓ ((- 2,5) ) ⓔ ((- 3 , dfrac {5} {2}) )

Respuesta

Los signos del X-coordinar y y-coordinar afectan la ubicación de los puntos. Es posible que haya notado algunos patrones al graficar los puntos en el ejemplo anterior. Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de esta manera:

CUADRANTES

Cuadrante ICuadrante IICuadrante IIICuadrante IV
((x, y) ) ((x, y) ) ((x, y) ) ((x, y) )
((+,+))((−,+))((−,−))((+,−))

Hasta ahora, todas las ecuaciones que ha resuelto eran ecuaciones con una sola variable. En casi todos los casos, cuando resolvió la ecuación, obtuvo exactamente una solución. Pero las ecuaciones pueden tener más de una variable. Las ecuaciones con dos variables pueden tener la forma (Ax + By = C ). Una ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en dos variables.

ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación de la forma (Ax + By = C ), donde A y B no son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables.

Aquí hay un ejemplo de una ecuación lineal en dos variables, X y y.

La ecuación (y = −3x + 5 ) también es una ecuación lineal. Pero no parece tener la forma (Ax + By = C ). Podemos usar la propiedad de la suma de la igualdad y reescribirla en forma (Ax + By = C ).

[ begin {array} {ll} {} & {y} & = & {- 3x + 5} { text {Agregar a ambos lados.}} & {y + 3x} & = & {3x + 5 + 3x} { text {Simplify.}} & {Y + 3x} & = & {5} { text {Use la propiedad conmutativa para ponerlo en}} & {} & {} & { } {Ax + By = C text {form.}} & {3x + y} & = & {5} end {array} nonumber ]

Al reescribir (y = −3x + 5 ) como (3x + y = 5 ), podemos ver fácilmente que es una ecuación lineal en dos variables porque tiene la forma (Ax + By = C ). Cuando una ecuación tiene la forma (Ax + By = C ), decimos que está en forma estándar de una ecuación lineal.

FORMA ESTÁNDAR DE ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe (Ax + By = C ).

La mayoría de la gente prefiere tener A, B, y C ser enteros y (A geq 0 ) al escribir una ecuación lineal en forma estándar, aunque no es estrictamente necesario.

Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Por cada número que se sustituye por X hay un correspondiente y valor. Este par de valores es un solución a la ecuación lineal y está representado por el par ordenado ((x, y) ). Cuando sustituimos estos valores de X y y en la ecuación, el resultado es un enunciado verdadero, porque el valor del lado izquierdo es igual al valor del lado derecho.

Solución DE UNA ECUACIÓN LINEAL EN DOS VARIABLES

Un par ordenado ((x, y) ) es un solución de la ecuación lineal (Ax + By = C ), si la ecuación es un enunciado verdadero cuando el X- y y-valores del par ordenado se sustituyen en la ecuación.

Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Podemos graficar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangular. Los puntos se alinearán perfectamente en línea recta. Conectamos los puntos con una línea recta para obtener la gráfica de la ecuación. Colocamos flechas en los extremos de cada lado de la línea para indicar que la línea continúa en ambas direcciones.

Un gráfico es una representación visual de todas las soluciones de la ecuación. Es un ejemplo del dicho: "Una imagen vale más que mil palabras". La linea te muestra todas las soluciones de esa ecuación. Cada punto de la recta es una solución de la ecuación. Y cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama gráfica de la ecuación. Puntos no en la linea no hay soluciones!

GRÁFICO DE UNA ECUACIÓN LINEAL

La gráfica de una ecuación lineal (Ax + By = C ) es una línea recta.

  • Cada punto de la recta es una solución de la ecuación.
  • Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.

Se muestra la gráfica de (y = 2x − 3 ).

Para cada par ordenado, decida:

Ⓐ ¿El par ordenado es una solución a la ecuación?

Ⓑ ¿Está el punto en la línea?

A: ((0, −3) ) B: (((3,3) ) C: ((2, −3) ) D: ((- 1, −5) )

Respuesta

Sustituir el X- y y-valores en la ecuación para comprobar si el par ordenado es una solución a la ecuación.

Ⓑ Grafica los puntos ((0, −3) ), ((3,3) ), ((2, −3) ) y ((- 1, −5) ).

Los puntos ((0,3) ), ((3, −3) ) y ((- 1, −5) ) están en la línea (y = 2x − 3 ), y el punto ((2, −3) ) no está en la línea.
Los puntos que son soluciones de (y = 2x − 3 ) están en la línea, pero el punto que no es una solución no está en la línea.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Usa la gráfica de (y = 3x − 1 ). Para cada par ordenado, decida:

Ⓐ ¿El par ordenado es una solución a la ecuación?
Ⓑ ¿Está el punto en la línea?

A ((0, −1) ) B ((2,5) )

Respuesta

Ⓐ si ⓑ si

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Usa la gráfica de (y = 3x − 1 ). Para cada par ordenado, decida:

Ⓐ ¿El par ordenado es una solución a la ecuación?
Ⓑ ¿Está el punto en la línea?

A ((3, −1) ) B ((- 1, −4) )

Respuesta

Ⓐ no ⓑ si

Graficar una ecuación lineal trazando puntos

Hay varios métodos que se pueden utilizar para graficar una ecuación lineal. El primer método que usaremos se llama trazado de puntos o método de trazado de puntos. Encontramos tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación y luego los trazamos en un sistema de coordenadas rectangular. Al conectar estos puntos en una línea, tenemos la gráfica de la ecuación lineal.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Cómo graficar una ecuación lineal trazando puntos

Grafica la ecuación (y = 2x + 1 ) trazando puntos.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Grafica la ecuación trazando puntos: (y = 2x − 3 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Grafica la ecuación trazando puntos: (y = −2x + 4 ).

Respuesta

Los pasos a seguir al graficar una ecuación lineal trazando puntos se resumen aquí.

GRÁFICA UNA ECUACIÓN LINEAL MEDIANTE PUNTOS DE TRAZADO

  1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Organízalos en una mesa.
  2. Trace los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Compruebe que los puntos estén alineados. Si no es así, revise cuidadosamente su trabajo.
  3. Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extienda la línea para llenar la cuadrícula y coloque flechas en ambos extremos de la línea.

Es cierto que solo se necesitan dos puntos para determinar una línea, pero es una buena costumbre utilizar tres puntos. Si solo traza dos puntos y uno de ellos es incorrecto, aún puede dibujar una línea, pero no representará las soluciones de la ecuación. Será la línea incorrecta.

Si usa tres puntos y uno es incorrecto, los puntos no se alinearán. Esto le indica que algo está mal y que debe verificar su trabajo. Mire la diferencia entre estas ilustraciones.

Cuando una ecuación incluye una fracción como el coeficiente de x, aún podemos sustituir cualquier número por X. Pero la aritmética es más fácil si hacemos elecciones "buenas" para los valores de X. De esta forma evitaremos las respuestas fraccionarias, que son difíciles de graficar con precisión.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Grafica la ecuación: (y = frac {1} {2} x + 3 ).

Respuesta

Encuentra tres puntos que sean soluciones a la ecuación. Dado que esta ecuación tiene la fracción ( dfrac {1} {2} ) como coeficiente de X, elegiremos valores de X con cuidado. Usaremos cero como una opción y múltiplos de 2 para las otras opciones. ¿Por qué los múltiplos de dos son una buena elección para los valores de X? Al elegir múltiplos de 2, la multiplicación por ( dfrac {1} {2} ) se simplifica a un número entero

Los puntos se muestran en Mesa.

(y = frac {1} {2} x + 3 )
Xy ((x, y) )
03((0,3))
24((2,4))
45((4,5))

Trace los puntos, compruebe que estén alineados y dibuje la línea.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Grafica la ecuación: (y = frac {1} {3} x − 1 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Grafica la ecuación: (y = frac {1} {4} x + 2 ).

Respuesta

Graficar líneas verticales y horizontales

Algunas ecuaciones lineales tienen solo una variable. Pueden tener solo X y no y, o solo y sin un X. Esto cambia la forma en que hacemos una tabla de valores para obtener los puntos a graficar.

Consideremos la ecuación (x = −3 ). Esta ecuación tiene solo una variable, X. La ecuación dice que X es siempre igual a (- 3 ), por lo que su valor no depende de y. No importa cuál sea el valor de y, El valor de X es siempre (- 3 ).

Entonces, para hacer una tabla de valores, escriba (- 3 ) para todos los X-valores. Luego elija cualquier valor para y. Desde X no depende de y, puede elegir los números que desee. Pero para ajustar los puntos en nuestro gráfico de coordenadas, usaremos 1, 2 y 3 para el y-coordenadas. Ver Mesa.

(x = −3 )
Xy ((x, y) )
(−3)1((−3,1))
(−3)2((−3,2))
((−3,))3((−3,3))

Trace los puntos de la tabla y conéctelos con una línea recta. Observe que hemos graficado un linea vertical.

¿Y si la ecuación tiene y pero no X? Grafiquemos la ecuación (y = 4 ). Esta vez el y-el valor es una constante, por lo que en esta ecuación, y no depende de X. Complete 4 para todos los y'pecado Mesa y luego elija cualquier valor para X. Usaremos 0, 2 y 4 para el X-coordenadas.

(y = 4 )
Xy ((x, y) )
04((0,4))
24((2,4))
44((4,4))

En esta figura, hemos graficado un linea horizontal pasando por el y-eje en 4.

LÍNEAS VERTICALES Y HORIZONTALES

A linea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma (x = a ).

La línea pasa por el X-eje en ((a, 0) ).

A linea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma (y = b ).

La línea pasa por el y-eje en ((0, b) ).

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Gráfico: ⓐ (x = 2 ) ⓑ (y = −1 ).

Respuesta

Ⓐ La ecuación tiene una sola variable, X, y X siempre es igual a 2. Creamos una tabla donde X es siempre 2 y luego ingrese cualquier valor para y. El gráfico es una línea vertical que pasa por el X-eje en 2.

x = 2x = 2
Xy(x, y) (x, y)
21(2,1)(2,1)
22(2,2)(2,2)
23(2,3)(2,3)

Ⓑ De manera similar, la ecuación y = −1y = −1 tiene solo una variable, y. El valor de y es constante. Todos los pares ordenados en la siguiente tabla tienen el mismo y-coordinar. El gráfico es una línea horizontal que pasa por el y-eje en −1. − 1.

(y = −1 )
Xy ((x, y) )
0(−1)((0,−1))
3(−1)((3,−1))
(−3)(−1)((−3,−1))

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Grafica las ecuaciones: ⓐ (x = 5 ) ⓑ (y = −4 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Grafica las ecuaciones: ⓐ (x = −2 ) ⓑ (y = 3 ).

Respuesta

¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones (y = 4x ) y (y = 4 )?

La ecuación (y = 4x ) tiene tanto X y y. El valor de y depende del valor de X, entonces el y-Coordinar cambios según el valor de X. La ecuación (y = 4 ) tiene solo una variable. El valor de y es constante, no depende del valor de X, entonces el y-coordinate es siempre 4.

Observe, en la gráfica, la ecuación (y = 4x ) da una línea inclinada, mientras que (y = 4 ) da una línea horizontal.

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Grafica (y = −3x ) y (y = −3 ) en el mismo sistema de coordenadas rectangular.

Respuesta

Observamos que la primera ecuación tiene la variable X, mientras que el segundo no lo hace. Hacemos una tabla de puntos para cada ecuación y luego graficamos las líneas. Se muestran los dos gráficos.

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Grafica las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangular: (y = −4x ) y (y = −4 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Grafica las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: (y = 3 ) y (y = 3x ).

Respuesta

Encontrar X- y y-intercepciones

Cada ecuación lineal se puede representar mediante una línea única que muestra todas las soluciones de la ecuación. Hemos visto que al graficar una línea trazando puntos, puedes usar tres soluciones para graficar. Esto significa que dos personas que grafican la línea pueden usar diferentes conjuntos de tres puntos.

A primera vista, es posible que sus dos líneas no parezcan ser iguales, ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se hizo correctamente, las líneas deberían ser exactamente iguales. Una forma de reconocer que de hecho son la misma línea es mirar dónde la línea cruza la línea. X-eje y el y-eje. Estos puntos se denominan intersecciones de una línea.

INTERCEPTOS DE UNA LÍNEA

Los puntos donde una línea cruza el X-eje y el y-ejes se denominan intersecciones de la línea.

Veamos los gráficos de las líneas.

Primero, observe dónde cada una de estas líneas cruza el X-eje. Ver Mesa.

Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el y-eje.

FiguraLa linea cruza
la X-eje en:
Par ordenado
para este punto
La linea cruza
la y-eje en:
Par ordenado
para este punto
Figura (a)3((3,0))6((0,6))
Figura (b)4((4,0))−3−3((0,−3))
Figura (c)5((5,0))−5−5((0,5))
Figura (d)0((0,0))0((0,0))
Figura generala ((a, 0) )B ((0, b) )

¿Ves un patrón?

Para cada línea, el y-coordinada del punto donde la línea cruza el X-eje es cero. El punto donde la línea cruza el X-eje tiene la forma (a, 0) (a, 0) y se llama X-intersección de la línea. La X-intercepción ocurre cuando y es cero.

En cada línea, el X-Coordenada del punto donde la línea cruza el y-eje es cero. El punto donde la línea cruza el y-eje tiene la forma (0, b) (0, b) y se llama intersección con el eje y de la línea. La y-intercepción ocurre cuando X es cero.

-INTERCEPTO DE LÍNEA

La X-intercepto es el punto (a, 0) (a, 0) donde la línea cruza el X-eje.

La y-intercepto es el punto (0, b) (0, b) donde la línea cruza el y-eje.

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Encuentra el X- y y-intercepciones en cada gráfico mostrado.

Respuesta

Ⓐ La gráfica cruza el X-eje en el punto ((4,0) ). La X-la intersección es ((4,0) ).
El gráfico cruza el y-eje en el punto ((0,2) ). La y-intercepto es ((0,2) ).

Ⓑ La gráfica cruza el X-eje en el punto ((2,0) ). La X-intercepto es ((2,0) ).
El gráfico cruza el y-eje en el punto ((0, −6) ). La y-intercepto es ((0, −6) ).

Ⓒ La gráfica cruza el X-eje en el punto ((- 5,0) ). La X-intercepto es ((- 5,0) ).
El gráfico cruza el y-eje en el punto ((0, −5) ). La y-intercepto es ((0, −5) ).

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Encuentra el X- y y-intercepciones en el gráfico.

Respuesta

X-intercepción: ((2,0) ),
y-intercepción: ((0, −2) )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Encuentra el X- y y-intercepciones en el gráfico.

Respuesta

X-intercepción: ((3,0) ),
y-intercepción: ((0,2) )

Reconociendo que el X-intercepción ocurre cuando y es cero y que el y-intercepción ocurre cuando X es cero, nos da un método para encontrar las intersecciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar el X-interceptar, dejar (y = 0 ) y resolver para X. Para encontrar el y-interceptar, dejar (x = 0 ) y resolver para y.

-INTERCEPTOS DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

Usa la ecuación de la recta. Encontrar:

  • la X-intercepción de la línea, sea (y = 0 ) y resuelva para X.
  • la y-intercepción de la línea, sea (x = 0 ) y resuelva para y.

Encuentra las intersecciones: (3x + y = 12 ).

Respuesta

X-intercepción: ((4,0) ),
y-intercepción: ((0,12) )

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Encuentra las intersecciones: (x + 4y = 8 ).

Respuesta

X-intercepción: ((8,0) ),
y-intercepción: ((0,2) )

Graficar una línea usando las intersecciones

Para graficar una ecuación lineal trazando puntos, necesitas encontrar tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Puedes usar el X- y y- intercepta como dos de tus tres puntos. Encuentre las intersecciones y luego busque un tercer punto para garantizar la precisión. Asegúrese de que los puntos estén alineados, luego dibuje la línea. Este método suele ser la forma más rápida de graficar una línea.

EJEMPLO ( PageIndex {22} ): Cómo graficar una línea usando las intersecciones

Grafica (- x + 2y = 6 ) usando las intersecciones.

Respuesta

EJEMPLO ( PageIndex {23} )

Grafica usando las intersecciones: (x – 2y = 4 ).

Respuesta

EJEMPLO ( PageIndex {24} )

Grafica usando las intersecciones: (- x + 3y = 6 ).

Respuesta

Los pasos para graficar una ecuación lineal usando las intersecciones se resumen aquí.

GRAFICA UNA ECUACIÓN LINEAL UTILIZANDO LAS INTERCEPTOS

  1. Encuentra el X- y y-intercepciones de la línea.
    • Deje y = 0y = 0 y resuelva para X.
    • Deje x = 0x = 0 y resuelva para y.
  2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
  3. Trace los tres puntos y verifique que estén alineados.
  4. Dibujar la línea.

EJEMPLO ( PageIndex {25} )

Grafica (4x − 3y = 12 ) usando las intersecciones.

Respuesta

Encuentra las intersecciones y un tercer punto.

Enumeramos los puntos en la tabla y mostramos el gráfico.

(4x − 3y = 12 )
Xy ((x, y) )
30((3,0))
0(−4)((0,−4))
64((6,4))

EJEMPLO ( PageIndex {26} )

Grafica usando las intersecciones: (5x − 2y = 10 ).

Respuesta

EJEMPLO ( PageIndex {27} )

Grafica usando las intersecciones: (3x − 4y = 12 ).

Respuesta

Cuando la línea pasa por el origen, el X-intercepción y el y-intercepto son el mismo punto.

EJEMPLO ( PageIndex {28} )

Grafica (y = 5x ) usando las intersecciones.

Respuesta

Esta línea tiene solo una intersección. Es el punto ((0,0) ).
Para garantizar la precisión, necesitamos trazar tres puntos. Desde el X- y y-las intersecciones son el mismo punto, necesitamos dos más puntos para graficar la línea.

Los tres puntos resultantes se resumen en la tabla.

(y = 5x )
Xy ((x, y) )
00((0,0))
15((1,5))
(−1)(−5)((−1,−5))

Trace los tres puntos, compruebe que estén alineados y dibuje la línea.

EJEMPLO ( PageIndex {29} )

Grafica usando las intersecciones: (y = 4x ).

Respuesta

EJEMPLO ( PageIndex {30} )

Grafica las intersecciones: (y = −x ).

Respuesta

Conceptos clave

  • Puntos en los ejes
    • Puntos con un y-coordinada igual a (0 ) están en el X-eje y tienen coordenadas ((a, 0) ).
    • Puntos con un X-coordinada igual a (0 ) están en el y-eje y tienen coordenadas ((0, b) ).
  • Cuadrante
    Cuadrante ICuadrante IICuadrante IIICuadrante IV
    ((x, y) ) ((x, y) ) ((x, y) ) ((x, y) )
    ((+,+))((-,+))((-,-))((+,-))

  • Gráfico de una ecuación lineal: La gráfica de una ecuación lineal (Ax + By = C ) es una línea recta.
    Cada punto de la recta es una solución de la ecuación.
    Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
  • Cómo graficar una ecuación lineal trazando puntos.
    1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Extienda la línea para llenar la cuadrícula y coloque flechas en ambos extremos de la línea.
  • X-interceptar y y-intercepción de una línea
    • La X-intercepto es el punto ((a, 0) ) donde la línea cruza el X-eje.
    • La y-intercepto es el punto ((0, b) ) donde la línea cruza el y-eje.

  • Encuentra el X- y y-intercepciones de la ecuación de una línea
    • Usa la ecuación de la recta. Encontrar:
      la X-intercepción de la línea, sea (y = 0 ) y resuelva para X.
      la y-intercepción de la línea, sea (x = 0 ) y resuelva para y.
  • Cómo graficar una ecuación lineal usando las intersecciones.
    1. Encuentra el X- y y-intercepciones de la línea.
      Sea (y = 0 ) y resuelva para X.
      Deje (x = 0 ) y resuelva para y.
    2. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
    3. Trace los tres puntos y verifique que estén alineados.
    4. Dibujar la línea

Glosario

linea horizontal
Una línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma y = b.y = b. La línea pasa por el y-eje en (0, b). (0, b).
intersecciones de una línea
Los puntos donde una línea cruza el X-eje y el y-Ejes se denominan intersecciones de la línea.
ecuación lineal
Una ecuación de la forma Ax + By = C, Ax + By = C, donde A y B no son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables.
par ordenado
Un par ordenado, (x, y) (x, y) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El segundo número es el y-coordinar.
origen
El punto (0,0) (0,0) se llama origen. Es el punto donde el X-eje y y-eje se cruza.
solución de una ecuación lineal en dos variables
Un par ordenado (x, y) (x, y) es una solución de la ecuación lineal Ax + By = C, Ax + By = C, si la ecuación es un enunciado verdadero cuando X- y y-valores del par ordenado se sustituyen en la ecuación.
forma estándar de una ecuación lineal
Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe Ax + By = C.Ax + By = C.
linea vertical
Una línea vertical es la gráfica de una ecuación de la forma x = a.x = a. La línea pasa por el X-eje en (a, 0).

3.2: Graficar ecuaciones lineales en dos variables - Matemáticas

En esta sección, revisamos una técnica completamente algebraica para resolver sistemas, el método de sustitución Un medio de resolver un sistema lineal resolviendo una de las variables y sustituyendo el resultado en la otra ecuación. . La idea es resolver una ecuación para una de las variables y sustituir el resultado en la otra ecuación. Después de realizar este paso de sustitución, nos queda una única ecuación con una variable, que se puede resolver usando álgebra.

Ejemplo 1

Resuelve cualquier variable en cualquier ecuación. Si elige la primera ecuación, puede aislar y en un solo paso.

Sustituye la expresión - 2 x - 3 por la variable y en el otro ecuación.

Esto nos deja una ecuación equivalente con una variable, que se puede resolver utilizando las técnicas aprendidas hasta este punto. Resuelve para la variable restante.

3 x - 2 (- 2 x - 3) = - 8 3 x + 4 x + 6 = - 8 7 x + 6 = - 8 7 x = - 14 x = - 2

Reemplazo inverso Una vez que se encuentra un valor para una variable, reemplácelo nuevamente en una de las ecuaciones originales, o su equivalente, para determinar el valor correspondiente de la otra variable. para encontrar la otra coordenada. Sustituir X = −2 en cualquiera de las ecuaciones originales o sus equivalentes. Por lo general, usamos la ecuación equivalente que encontramos al aislar una variable en el primer paso.

y = - 2 x - 3 = - 2 (- 2) - 3 = 4 - 3 = 1

Recuerde presentar la solución como un par ordenado: (- 2, 1). Verifique que estas coordenadas resuelvan ambas ecuaciones del sistema original:

2 x + y = - 3 2 (- 2) + (1) = - 3 - 4 + 1 = - 3 - 3 = - 3 ✓

3 x - 2 y = - 8 3 (- 2) - 2 (1) = - 8 - 6 - 2 = - 8 - 8 = - 8 ✓

La gráfica de este sistema lineal es la siguiente:

El método de sustitución para resolver sistemas es un método completamente algebraico. Por lo tanto, no es necesario graficar las líneas.

Ejemplo 2

No importa qué variable elijamos aislar primero. En este caso, comience resolviendo para X en la primera ecuación.

3 x - 5 y = 9 3 x = 5 y + 9 x = 5 y + 9 3 x = 5 3 y + 3

A continuación, sustituya en la segunda ecuación y resuelva para y.

4 (5 3 y + 3) + 2 y = - 1 20 3 y + 12 + 2 y = - 1 26 3 y = - 13 y = - 13 (3 26) y = - 3 2

Reemplazar en la ecuación utilizada en el paso de sustitución:

x = 5 3 y + 3 = 5 3 (- 3 2) + 3 = - 5 2 + 3 = 1 2

¡Prueba esto! Resolver por sustitución: <5 x - 4 y = 3 x + 2 y = 2.

Como sabemos, no todos los sistemas lineales tienen una sola solución de par ordenado. A continuación, exploramos qué sucede cuando se usa el método de sustitución para resolver un sistema dependiente.

Ejemplo 3

Dado que la primera ecuación tiene un término con coeficiente 1, elegimos resolverlo primero.

A continuación, sustituya esta expresión por y en la segunda ecuación.

10 x - 2 y = 2 10 x - 2 (5 x - 1) = 2 10 x - 10 x + 2 = 2 2 = 2 T r u e

Este proceso condujo a una declaración verdadera, por lo tanto, la ecuación es una identidad y cualquier número real es una solución. Esto indica que el sistema es dependiente. Las soluciones simultáneas toman la forma (x, m x + b), o en este caso, (x, 5 x - 1), donde X es cualquier número real.

Para comprender mejor el ejemplo anterior, vuelva a escribir ambas ecuaciones en forma pendiente-intersección y grafíquelas en el mismo conjunto de ejes.

Podemos ver que ambas ecuaciones representan la misma línea y, por lo tanto, el sistema es dependiente. Ahora explore lo que sucede al resolver un sistema inconsistente usando el método de sustitución.

Ejemplo 4

Resolver y en la primera ecuación.

- 7 x + 3 y = 3-7 x + 3 y = 3 3 y = 7 x + 3 y = 7 x + 3 3 y = 7 3 x + 1

Sustituye en la segunda ecuación y resuelve.

14 x - 6 y = - 16 14 x - 6 (7 3 x + 1) = - 16 14 x - 6 2 ⋅ 7 3 1 x - 6 = - 16 14 x - 14 x - 6 = - 16 - 6 = - 16 Falsa

Resolver conduce a una declaración falsa. Esto indica que la ecuación es una contradicción. No hay solucion para X y por lo tanto no hay solución para el sistema.

Una declaración falsa indica que el sistema es inconsistente, o en términos geométricos, que las líneas son paralelas y no se cruzan. Para ilustrar esto, determine la forma pendiente-intersección de cada línea y grafíquelas en el mismo conjunto de ejes.

En forma pendiente-intersección, es fácil ver que las dos líneas tienen la misma pendiente pero diferentes y-intercepciones.

¡Prueba esto! Resolver por sustitución: <2 x - 5 y = 3 4 x - 10 y = 6.


Pregunta 1. Forme el par de ecuaciones lineales en los siguientes problemas y encuentre sus soluciones gráficamente.

Solución:
Sea xey el número de niñas y niños de la clase, respectivamente.
Según las condiciones dadas, tenemos:
x + y = 10
x & # 8211 y = 4
x + y = 10 ⇒ x = 10 & # 8211 y
Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

x & # 8211 y = 4 ⇒ x = 4 + y
Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

La representación gráfica es la siguiente:

En el gráfico, se puede observar que las dos líneas se cruzan en el punto (7, 3).
Entonces, x = 7 e y = 3.
Así, el número de niñas y niños en la clase es de 7 y 3 respectivamente.

Sea el costo de un lápiz y un bolígrafo Rs x y Rs y respectivamente.
Según las condiciones dadas, tenemos:
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46

Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:


Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

La representación gráfica es la siguiente:

En el gráfico, se puede observar que las dos líneas se cruzan en el punto (3, 5).
Entonces, x = 3 e y = 5.
Por lo tanto, el costo de un lápiz y un bolígrafo son Rs 3 y Rs 5 respectivamente.

Perspectiva conceptual: lea la pregunta con atención y examine cuáles son las incógnitas. Represente las condiciones dadas con la ayuda de ecuaciones tomando las cantidades desconocidas como variables. También indique cuidadosamente las variables ya que la solución completa se basa en ella. En el papel cuadriculado, marque los puntos con precisión y prolijidad con un lápiz afilado. Además, tome al menos tres puntos que satisfagan las dos ecuaciones para obtener la línea recta correcta de la ecuación. Dado que unir dos puntos cualesquiera da una línea recta y si uno de los puntos se calcula incorrectamente dará una línea incorrecta y tomar el tercer punto dará una línea correcta. El punto donde las dos líneas rectas se intersecarán dará los valores de las dos variables, es decir, la solución de las dos ecuaciones lineales. Indique el punto de solución.

Pregunta 2. Al comparar las proporciones a1/a2 , B1/B2 y C1/C2, averigüe si las líneas que representan los siguientes pares de ecuaciones lineales se intersecan en un punto, son paralelas o coincidentes.
(I) 5x & # 8211 4y + 8 = 0, 7x + 6y & # 8211 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0, 18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6X – 3y + 10 = 0 , 2Xy + 9 = 0

Solución:
(I) 5x & # 8211 4y + 8 = 0
7x + 6y & # 8211 9 = 0
Comparando estas ecuaciones con un1x + b1y + c1 = 0 y una2x + b2y + c2 = 0,
obtenemos:

Desde , el par de ecuaciones dadas se cruzan exactamente en un punto.

(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
Comparando estas ecuaciones con un1x + b1y + c1 = 0 y una2x + b2y + c2 = 0, obtenemos:

Desde , el par de ecuaciones dadas son coincidentes.

(iii) 6X – 3y + 10 = 0
2Xy + 9 = 0
Comparando estas ecuaciones con un1x + b1y + c1 = 0 y una2x + b2y + c2 = 0, obtenemos:

Desde , el par de ecuaciones dadas son paralelas entre sí.

Perspectiva conceptual: para responder a estas preguntas, recuerde la condición para que el par de ecuaciones lineales se intersequen, sean paralelas o coincidentes. Además, mientras escribe los coeficientes, no olvide tomar los signos.

Pregunta 3. Al comparar las proporciones ( frac < _ <1 >> < _ <1 >> = frac < _ <2 >> < _ <2 >> = frac < _ <3 >> < _ <3 >> ) averigüe si el siguiente par de ecuaciones lineales son consistentes o inconsistentes.
(I) 3X + 2y = 5 2X – 3y = 7
(ii) 2X – 3y = 8 4X – 6y = 9
(iii) 3/2X + 5/3y = 7 9X – 10y = 14
(iv) 5X – 3y = 11 – 10X + 6y = –22
(v) 4/3X + 2y =8 2X + 3y = 12


Desde , el par de ecuaciones dadas tiene solo una solución.
Por tanto, el par de ecuaciones lineales es consistente.

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es inconsistente.

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es consistente.

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es consistente.

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es consistente.

Perspectiva conceptual: si un par de ecuaciones lineales tiene una o más de una solución, se dice que son consistentes y si no tienen solución, se dice que son inconsistentes. Entonces, para identificar la consistencia de un par de ecuaciones dado, aplique las condiciones que involucran los coeficientes del par de ecuaciones dado. En caso de que se tracen dos ecuaciones lineales consistentes, se intersecarán o se superpondrán entre sí.

Pregunta 4. ¿Cuáles de los siguientes pares de ecuaciones lineales son consistentes / inconsistentes? Si es consistente, obtenga la solución gráficamente:
(I) X + y = 5, 2X + 2y = 10
(ii) Xy = 8, 3X – 3y = 16
(iii) 2X + y – 6 = 0, 4X – 2y – 4 = 0
(iv) 2X – 2y – 2 = 0, 4X – 4y – 5 = 0

Solución:

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es consistente.
Ahora, x + y = 5 ⇒ x = 5 & # 8211 y
Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:


Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

Así, la representación gráfica es la siguiente:

En la gráfica se puede observar que las dos líneas coinciden. Por tanto, el par de ecuaciones dadas tiene infinitas soluciones.
Sea x = k, luego y = 5 & # 8211 k. Entonces, el par ordenado (k, 5 & # 8211 k), donde k es una constante, será la solución del par dado de ecuaciones lineales.

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es inconsistente.

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es consistente.
Ahora, 2x + y & # 8211 6 = 0 ⇒ y = 6 & # 8211 2x
Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:


Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

Así, la representación gráfica es la siguiente:

En el gráfico, se puede observar que las dos líneas se cruzan en el punto (2, 2). Por tanto, la solución del par de ecuaciones dado es (2, 2).

Por tanto, el par de ecuaciones lineales es inconsistente.

Perspectiva conceptual: si un par de ecuaciones lineales tiene una o más de una solución, se dice que son consistentes y si no tienen solución, se dice que son inconsistentes. La gráfica de cada ecuación se puede trazar tomando al menos tres pares ordenados que son las soluciones de las ecuaciones. El punto donde ambas líneas se cruzan será la solución del par de ecuaciones dado. Recuerde que dos líneas superpuestas se cruzan entre sí en un número infinito de puntos. Indique la solución explícitamente.

Pregunta 5. La mitad del perímetro de un jardín rectangular, cuya longitud es 4 m más que su ancho, es de 36 m. Encuentra las dimensiones del jardín.

Deje que el ancho y el largo del jardín rectangular sean xey respectivamente.
Según las condiciones dadas,
y & # 8211 x = 4
y + x = 36
y & # 8211 x = 4 ⇒ y = x + 4
Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

y + x = 36
Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

Así, la representación gráfica es la siguiente:

En el gráfico, se puede observar que las dos líneas se cruzan en el punto (16, 20). Entonces, x = 16 e y = 20.
Por lo tanto, la longitud y el ancho del jardín rectangular es de 20 my 16 m respectivamente.

Perspectiva conceptual: aquí es necesario encontrar las dimensiones del jardín rectangular. Dado que los lados opuestos del rectángulo son iguales, la longitud y el ancho se pueden tomar como variables. Aplicando las condiciones dadas en el problema se pueden obtener dos ecuaciones lineales en las 2 variables. Ahora, para representar gráficamente las ecuaciones obtenidas, tome los valores de las variables solo como números enteros, porque entonces será más fácil representar los valores en la gráfica. El punto donde las dos ecuaciones se cruzan dará las dimensiones requeridas. Indique las dimensiones de largo y ancho a partir de los valores de las variables.

Pregunta 6. Dada la ecuación lineal 2X + 3y - 8 = 0, escribe otra ecuación lineal en dos variables de manera que la representación geométrica del par así formado sea:
(I) líneas secantes
(ii) lineas paralelas
(iii) líneas coincidentes

Solución:
(I) Para las dos líneas a1x + b1x + c1 = 0 y una2x + b2x + c2 = 0, para intersecar, debemos tener

Entonces, la otra ecuación lineal puede ser 5x + 6y & # 8211 16 = 0

(ii) Para las dos líneas a1x + b1x + c1 = 0 y una2x + b2x + c2 = 0, para ser paralelo, debemos tener

Entonces, la otra ecuación lineal puede ser 6x + 9y + 24 = 0,

(iii) Para las dos líneas a1x + b1x + c1 = 0 y una2x + b2x + c2 = 0 para ser coincidente, debemos tener

Entonces, la otra ecuación lineal puede ser 8x + 12y & # 8211 32 = 0,

Perspectiva conceptual: para responder a este tipo de problemas, recuerde las condiciones para que dos líneas se intersequen, sean paralelas y coincidan. Este problema tendrá múltiples respuestas, ya que puede haber muchas ecuaciones que satisfagan las condiciones requeridas.

Pregunta 7. Dibuja las gráficas de las ecuaciones. X - y + 1 = 0 y 3X + 2y - 12 = 0. Determina las coordenadas de los vértices del triángulo formado por estas líneas y la X-eje y sombrear la región triangular.

Solución:
x & # 8211 y + 1 = 0 ⇒ x = y & # 8211 1
Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:


Se pueden escribir tres soluciones de esta ecuación en una tabla de la siguiente manera:

Ahora, estas ecuaciones se pueden dibujar en un gráfico. El triángulo formado por las dos líneas y el eje x se puede mostrar mediante la parte sombreada como:

En la gráfica se puede observar que las coordenadas de los vértices del triángulo así formado son (2, 3), (-1, 0) y (4, 0).

Perspectiva conceptual: para encontrar las coordenadas de los vértices del triángulo así formado, encuentre los puntos donde las dos líneas se cruzan con el eje x y también donde las dos líneas se cruzan entre sí. Tenga en cuenta aquí que se toman las coordenadas de la intersección de las líneas con el eje x y no con el eje y, esto se debe a que la pregunta dice encontrar el triángulo formado por las dos líneas y el eje x.

Esperamos que las soluciones NCERT para matemáticas de clase 10, capítulo 3, par de ecuaciones lineales en dos variables, ejemplo 3.2, le ayuden. Si tiene alguna consulta sobre las soluciones NCERT para matemáticas de clase 10, capítulo 3, par de ecuaciones lineales en dos variables, ejemplo 3.2, deje un comentario a continuación y nos comunicaremos con usted lo antes posible.


Notas del par 3 de ecuaciones lineales en dos variables | Clase 10ma Matemáticas

Ecuación lineal en dos variables: Una ecuación en forma de ax + by + c = 0 donde xey son variables y a, b, c son números reales (a & # 88000, b & # 88000) se llama ecuación lineal en dos variables.
Ejemplo: (i) 3x + 4y + 4 = 0
(ii) 2/3 x + y = 0

Par de ecuaciones lineales en dos variables: Dos ecuaciones lineales en las mismas dos variables se llaman un par de ecuaciones lineales en dos variables. La forma general de un par de ecuaciones lineales es:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
donde un1, B1, C1, a2, B 2, C2 son números reales y ninguno de ellos es igual a cero.
Ejemplo: (i) 3x + 4y + 6 = 0
x + 2y + 3 = 0

Un par de ecuaciones lineales en dos variables se pueden representar y resolver mediante:

La gráfica de un par de ecuaciones lineales en dos variables está representada por dos líneas.

(i) Si las líneas se cruzan en un punto, entonces ese punto da la solución única de los dos

ecuaciones. En este caso, el par de ecuaciones es consistente.

(ii) Si las líneas coinciden, entonces hay infinitas soluciones & # 8212 cada punto en el

la línea es una solución. En este caso, el par de ecuaciones es dependiente (consistente).

(iii) Si las rectas son paralelas, entonces el par de ecuaciones no tiene solución. En este caso, el

par de ecuaciones es inconsistente.

Métodos algebraicos: hemos discutido los siguientes métodos para encontrar la (s) solución (es)

de un par de ecuaciones lineales:

(iii) Método de multiplicación cruzada

Hay varias situaciones que pueden representarse matemáticamente mediante dos ecuaciones.
que no son lineales para empezar. Pero los modificamos para que se reduzcan a un par de
ecuaciones lineales.


COMPARACIÓN DE COEFICIENTES DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES Y RESOLUCIÓN

Entonces, el sistema de ecuaciones tendrá infinitas soluciones.

Para dibujar la gráfica, encontremos las intersecciones en x e y.

Ambas ecuaciones representan la misma línea.

Esto coincide exactamente con la condición

Entonces, tiene una solución única.

Graficar la primera ecuación y # xa0,

Graficar la ecuación 2 nd & # xa0,

Las líneas anteriores se cruzan en el punto (2, 2). Entonces, la solución es x & # xa0 = & # xa0 2 e y & # xa0 = & # xa0 2.

Esto coincide exactamente con la condición

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Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

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Soluciones NCERT para matemáticas de clase 10 Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables

Soluciones NCERT para la clase 10 de matemáticas, Capítulo 3 Descargar PDF - El nombre del tercer capítulo es "Par de ecuaciones lineales en dos variables". El capítulo 3 de soluciones matemáticas de NCERT Clase 10 es un capítulo importante de Álgebra. En el capítulo 3 de matemáticas de la clase 10 de soluciones NCERT, los estudiantes aprenderán a resolver la ecuación lineal con dos variables. Las soluciones NCERT del capítulo 3 de matemáticas de la clase 10 contienen las respuestas de todas las preguntas del ejercicio NCERT. Las soluciones del capítulo 3 de matemáticas de la clase 10 de NCERT son útiles para conocer las respuestas a las preguntas formuladas en el libro de matemáticas de la clase 10 de NCERT. Aparte de esto, al pasar por las soluciones NCERT para el capítulo 3 de matemáticas de la clase 10, llegarán a conocer varios métodos para resolver preguntas.
Las soluciones NCERT para la clase 10 también están disponibles para otras materias.

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Relación lineal

Una relación lineal describe una relación entre dos variables distintas & # 8211 xey en forma de línea recta en un gráfico. Cuando se presenta una relación lineal a través de una ecuación, el valor de y se deriva del valor de x, lo que refleja su correlación.

Las relaciones lineales se aplican en situaciones del día a día, donde un factor depende de otro, como un aumento en el precio de los bienes, bajando su demanda. En cualquier caso, solo considera hasta dos variables para obtener un resultado.

Conclusiones clave
  • Una relación lineal es aquella en la que dos variables tienen una conexión directa, lo que significa que si se cambia el valor de x, y también debe cambiar en la misma proporción.
  • Es un método estadístico para obtener una línea recta o valores correlacionados para dos variables a través de una gráfica o fórmula matemática.
  • El número de variables consideradas en una ecuación lineal nunca excede de dos.
  • La correlación de dos variables en la vida cotidiana se puede entender utilizando este concepto.

¿Qué es la relación lineal?

Describe mejor la relación entre dos variables (independientes y dependientes) comúnmente representadas por x e y. En el campo de la estadística, es uno de los conceptos más sencillos de entender.

Para una relación lineal, las variables deben dar una línea recta en un gráfico cada vez que se juntan los valores de xey. Con este método, es posible comprender cómo la variación entre dos factores puede afectar el resultado y cómo se relacionan entre sí.

Tomemos un ejemplo del mundo real de una tienda de comestibles, donde su presupuesto es la variable independiente y los artículos que deben almacenarse son la variable dependiente. Considere el presupuesto de $ 2,000 y los artículos comestibles son 12 marcas de bocadillos ($ 1 a $ 2 por paquete), 12 marcas de bebidas frías ($ 2 a $ 4 por botella), 5 marcas de cereales ($ 5- $ 7 por paquete) y 40 marcas de cuidado personal ( $ 3- $ 30 por producto). Debido a las restricciones presupuestarias y los precios variables, comprar más de uno requerirá comprar menos del otro.

Ecuación de relación lineal con gráfico

Ya sea gráfica o matemáticamente, el valor de y depende de x, lo que da una línea recta en la gráfica. Aquí hay una fórmula rápida para comprender la correlación lineal entre variables.

En la fórmula, m denota la pendiente. Mientras que b es la intersección con el eje Y o el punto en el gráfico que cruza el eje y con la coordenada x siendo cero. Si se dan los valores de m, x y b, se puede obtener fácilmente el valor de y. Lo mismo se puede trazar gráficamente para mostrar la relación lineal. Entendamos el proceso cuando los valores para las variables xey se asumen de la siguiente manera en la siguiente suma:

Para calcular m, comience por encontrar el patrón de diferencia entre los valores de xey y luego póngalos como una fracción.

Poniendo los valores de los valores xey en la ecuación anterior,

El siguiente paso es encontrar el número hipotético (b) que se agregará o restará en la fórmula para obtener el valor de y. Como tal,

Del mismo modo, calculando el resto de puntos obtenemos el siguiente gráfico.

Un gráfico de relación lineal se verá así:

Función / ecuación lineal

Permítanos mostrarle una explicación detallada de una función o ecuación lineal. Cuando se traza en un gráfico, generará una línea recta. Una ecuación lineal puede ocurrir en dos formas & # 8211 pendiente-intersección y forma estándar.

Forma pendiente-intersección

Es una de las funciones lineales más reconocibles en matemáticas y se calcula en el plano x-y de la siguiente manera:

Aquí, m es la pendiente, b es la intersección con el eje y, y x, y son dos variables. La intersección con el eje Y ocurre cuando la línea resultante en el gráfico cruza el eje y en un valor. En este caso, la variable x debe ser igual a 0 en el punto de la intersección con el eje y.

Asimismo, una pendiente representa qué tan empinada es la línea y cómo describir la relación entre las variables. El cálculo de dos puntos diferentes para dos variables, es decir, x1, x2 e y1, y2, proporcionará la pendiente m.

Forma estándar / general

Es otra forma de la función lineal que es eficaz para comprender escenarios con dos entradas (y sin salidas) y se puede derivar como:

Nuevamente, xey son dos variables, mientras que A, B y C son constantes en esta ecuación. Sin embargo, es posible llegar a la intersección de la pendiente utilizando la forma estándar.

Y = -Bx / A + C / A, que esencialmente tiene la forma de Y = mx + b

Después de poner los valores en la ecuación anterior, se puede hacer un gráfico lineal usando la forma de intersección de pendiente.

Ejemplos de

Ejemplos de relaciones lineales están en todas partes, como convertir grados Celsius a Fahrenheit, determinar un presupuesto y calcular tasas variables. Recientemente, un estudio de Bloomberg Economics dirigido por economistas estableció una correlación lineal entre las estrictas medidas de bloqueo y la producción económica en varios países. Explicaron cómo la contención moderada y el distanciamiento social leve podrían impulsar la economía.

Un ejemplo práctico de una ecuación lineal podría ser cocinar una pizza casera. Aquí, dos variables son el número de personas a las que se servirá (variable constante o independiente) y los ingredientes de la pizza (variable dependiente). Supongamos que hay una receta de pizza para cuatro, pero solo hay dos personas para consumirla. Para acomodar a dos personas, reducir la cantidad de ingredientes a la mitad equivaldría a la mitad de la producción.

Relación lineal frente a no lineal

Aunque las relaciones lineales y no lineales describen las relaciones entre dos variables, ambas difieren en su representación gráfica y en cómo se correlacionan las variables.

Representación grafica

Una relación lineal siempre debe producir una línea recta en un gráfico para representar las relaciones entre dos variables. Por otro lado, una relación no lineal puede crear una línea curva en el gráfico con el mismo propósito.

Cambio en Variables

En una relación lineal, un cambio en la variable independiente cambiará la variable dependiente. Pero este no es el caso de una relación no lineal, ya que cualquier cambio en cualquiera de las variables no afectará a la otra.

Áreas de aplicación

Una relación lineal describe mejor situaciones en las que las variables son interdependientes, como el ejercicio y la pérdida de peso. Aquí, hacer ejercicio x veces al día reducirá significativamente una y cantidad de peso.

No existe una asociación lineal entre variables en una relación no lineal, como la eficacia de un fármaco y la duración de la dosis.Esto se debe a que podría haber varios factores que influyen en la eficacia del fármaco, como por ejemplo:

  • ¿Si el paciente tomó los medicamentos a tiempo?
  • ¿Se tomó con el debido procedimiento?
  • ¿El paciente visitó al médico para el control periódico sugerido en la receta?

Por tanto, la eficacia del fármaco estará determinada por varios factores y no solo por la duración de la dosis, lo que la convierte en una relación no lineal. Se han realizado muchos estudios para juzgar la viabilidad de estudiar situaciones desde la perspectiva de la correlación lineal. Este estudio de Harvard se ha centrado en algunas áreas problemáticas a este respecto. También ha hablado de cuántas situaciones son inevitablemente no lineales.

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Esta guía completa de la relación lineal discutió las ecuaciones, ejemplos y diferencias de la relación no lineal, junto con conclusiones clave. Para obtener más información sobre su uso en finanzas, lea los siguientes artículos & # 8211


3.2: Graficar ecuaciones lineales en dos variables - Matemáticas

Graficar sistemas de ecuaciones lineales

· Resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando.

· Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente o inconsistente.

· Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es dependiente o independiente.

· Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones.

· Resolver problemas de aplicación graficando un sistema de ecuaciones.

Recuerda que una ecuación lineal se grafica como una línea, lo que indica que todos los puntos de la línea son soluciones a esa ecuación lineal. Hay un número infinito de soluciones. Si tienes un sistema de ecuaciones lineales, la solución del sistema es el valor que hace que todas las ecuaciones sean verdaderas. Para dos variables y dos ecuaciones, este es el punto donde las dos gráficas se cruzan. Las coordenadas de este punto serán la solución para las dos variables en las dos ecuaciones.

La solución para un sistema de ecuaciones es el valor o valores que son verdaderos para todas ecuaciones en el sistema. Las gráficas de ecuaciones dentro de un sistema pueden decirle cuántas soluciones existen para ese sistema. Mira las imágenes de abajo. Cada uno muestra dos líneas que forman un sistema de ecuaciones.

Si las gráficas de las ecuaciones se cruzan, entonces hay una solución que es verdadera para ambas ecuaciones.

Si las gráficas de las ecuaciones no se cruzan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no hay soluciones que sean verdaderas para ambas ecuaciones.

Si las gráficas de las ecuaciones son las mismas, entonces hay un número infinito de soluciones que son verdaderas para ambas ecuaciones.

Cuando las líneas se cruzan, el punto de intersección es el único punto que las dos gráficas tienen en común. Entonces, las coordenadas de ese punto son la solución para las dos variables utilizadas en las ecuaciones. Cuando las líneas son paralelas, no hay soluciones y, a veces, las dos ecuaciones se graficarán como la misma línea, en cuyo caso tenemos un número infinito de soluciones.

A veces se utilizan algunos términos especiales para describir este tipo de sistemas.

Los siguientes términos se refieren a cuántas soluciones tiene el sistema.

o Cuando un sistema tiene una solución (las gráficas de las ecuaciones se intersecan una vez), el sistema es un sistema consistente de ecuaciones lineales y las ecuaciones son independientes.

o Cuando un sistema no tiene solución (las gráficas de las ecuaciones no se cruzan en absoluto), el sistema es un sistema inconsistente de ecuaciones lineales y las ecuaciones son independientes.

o Si las líneas son iguales (las gráficas se cruzan en todos los puntos), el sistema es un sistema consistente de ecuaciones lineales y las ecuaciones son dependientes. Es decir, cualquier solución de una ecuación también debe ser una solución de la otra, por lo que las ecuaciones depender el uno del otro.

Los siguientes términos se refieren a si el sistema tiene alguna solución.

o El sistema es un sistema consistente de ecuaciones lineales cuando tiene soluciones.

o El sistema es un sistema inconsistente de ecuaciones lineales cuando no tiene soluciones.

Podemos resumir esto de la siguiente manera:

o Un sistema con una o más soluciones es consistente.

o Un sistema sin soluciones es inconsistente.

o Si las rectas son diferentes, las ecuaciones son ecuaciones lineales independientes.

o Si las rectas son iguales, las ecuaciones son ecuaciones lineales dependientes.

Usando la gráfica de y = X y X + 2y = 6, que se muestra a continuación, determine cuántas soluciones tiene el sistema. Luego, clasifique el sistema como consistente o inconsistente y las ecuaciones como dependientes o independientes.

Las líneas se cruzan en un punto. Entonces, las dos líneas tienen solo un punto en común, solo hay una solución para el sistema.

Debido a que las rectas no son iguales, las ecuaciones son independientes.

Debido a que solo hay una solución, este sistema es consistente.

El sistema es consistente y las ecuaciones son independientes.

Usando la gráfica de y = 3.5X + 0,25 y 14X – 4y = -4.5, que se muestra a continuación, determine cuántas soluciones tiene el sistema. Luego, clasifique el sistema como consistente o inconsistente y las ecuaciones como dependientes o independientes.

Las líneas son paralelas, lo que significa que no se cruzan. No hay soluciones para el sistema.

Las rectas no son iguales, las ecuaciones son independientes.

No hay soluciones. Por lo tanto, este sistema es inconsistente.

El sistema es inconsistente y las ecuaciones son independientes.

¿Cuál de las siguientes representa dependiente ecuaciones y consistente sistemas?

Incorrecto. Las dos rectas de este sistema tienen la misma pendiente, pero valores diferentes para B. Esto significa que las líneas son paralelas. Las líneas no se cruzan, por lo que no hay soluciones y el sistema es inconsistente. Debido a que las rectas no son iguales, las ecuaciones son independientes. La respuesta correcta es c.

Incorrecto. Las dos líneas de este sistema tienen diferentes pendientes y diferentes valores para B. Esto significa que las líneas se cruzan en un punto. Dado que existe una solución, este sistema es consistente. Y como las rectas no son iguales, las ecuaciones son independientes. La respuesta correcta es c.

Correcto. Las dos líneas de este sistema son iguales y se pueden reescribir. Dado que hay muchas soluciones, este sistema es consistente. Las rectas son idénticas, por lo que las ecuaciones son dependientes.

Incorrecto. Las dos líneas de este sistema tienen pendientes diferentes y el mismo valor para B. Esto significa que las líneas se cruzan en un punto: el y-interceptar. Recuerde que las rectas que se cruzan tienen una solución y, por lo tanto, el sistema es consistente. Debido a que las rectas no son iguales, las ecuaciones son independientes. La respuesta correcta es c.

En el gráfico anterior, puede ver que hay una solución para el sistema y = X y X + 2y = 6. La solución parece ser (2, 2). Sin embargo, debe verificar una respuesta que haya leído en un gráfico para asegurarse de que no sea realmente (2.001, 2.001) o (1.9943, 1.9943).

Una forma de verificar que el punto existe en ambas líneas es sustituir el X- y y-valores del par ordenado en la ecuación de cada línea. Si la sustitución da como resultado un enunciado verdadero, ¡entonces tienes la solución correcta!

¿Es (2, 2) una solución del sistema y = X y X + 2y = 6?

(2, 2) es una solución de y = X.

(2, 2) es una solución de X + 2y = 6.

Dado que la solución del sistema debe ser una solución para todas las ecuaciones en el sistema, verifique el punto en cada ecuación. Sustituye 2 por X y 2 para y en cada ecuación.

(2, 2) es una solución al sistema.

Dado que (2, 2) es una solución de cada una de las ecuaciones del sistema, (2, 2) es una solución del sistema.

Is (3, 9) una solución del sistema y = 3X y 2Xy = 6?

(3, 9) es una solución de y = 3X.

(3, 9) es no una solución de 2Xy = 6.

Dado que la solución del sistema debe ser una solución para todas las ecuaciones en el sistema, verifique el punto en cada ecuación. Sustituye 3 por X y 9 para y en cada ecuación.

(3, 9) no es una solución para el sistema.

Dado que (3, 9) no es una solución de una de las ecuaciones del sistema, no puede ser una solución del sistema.

¿Es (−2, 4) una solución del sistema y = 2X y 3X + 2y = 1?

(-2, 4) no es una solución de y = 2X.

(- 2, 4) no es una solución de 3X + 2y = 1.

Dado que la solución del sistema debe ser una solución para todas las ecuaciones en el sistema, verifique el punto en cada ecuación. Sustituye −2 por X y 4 para y en cada ecuación.

(−2, 4) no es una solución para el sistema.

Dado que (-2, 4) no es una solución para ninguna de las ecuaciones del sistema, (-2, 4) no es una solución del sistema.

Recuerde que para ser una solución al sistema de ecuaciones, el valor del punto debe ser una solución para ambas ecuaciones. Una vez que encuentre una ecuación para la cual el punto es falso, habrá determinado que no es una solución para el sistema.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el sistema 2Xy = −3 y y = 4X – 1?

A) (2, 7) es una solución de una ecuación pero no de la otra, por lo que es una solución del sistema

B) (2, 7) es una solución de una ecuación pero no de la otra, por lo que es no una solución del sistema

C) (2, 7) es una solución de ambas ecuaciones, por lo que es una solución del sistema

D) (2, 7) es no una solución de cualquiera de las ecuaciones, por lo que es no una solución al sistema

A) (2, 7) es una solución de una ecuación pero no de la otra, por lo que es una solución del sistema

Incorrecto. Si el punto fuera una solución de una ecuación pero no de la otra, entonces es no una solución del sistema. De hecho, el punto (2, 7) es una solución de ambas ecuaciones, por lo que es una solución del sistema. Las dos líneas no son idénticas, por lo que es la única solución.

B) (2, 7) es una solución de una ecuación pero no de la otra, por lo que es no una solución del sistema

Incorrecto. El punto (2, 7) es una solución de ambas ecuaciones, por lo que es una solución del sistema. Las dos líneas no son idénticas, por lo que es la única solución.

C) (2, 7) es una solución de ambas ecuaciones, por lo que es una solución del sistema

Correcto. Sustituyendo 2 por X y 7 para y da afirmaciones verdaderas en ambas ecuaciones, por lo que el punto es una solución para ambas ecuaciones. Eso significa que es una solución para el sistema. Las dos líneas no son idénticas, por lo que es la única solución.

D) (2, 7) es no una solución de cualquier ecuación, por lo que es no una solución al sistema

Incorrecto. Sustituyendo 2 por X y 7 para y da afirmaciones verdaderas en ambas ecuaciones, por lo que el punto está en ambas líneas. Esto significa que es una solución para ambas ecuaciones. También es la única solución al sistema.

Graficar como método de solución

Puedes resolver un sistema gráficamente. Sin embargo, es importante recordar que debe verificar la solución, ya que podría no ser precisa.

Encuentra todas las soluciones al sistema yX = 1 y y + X = 3.

Primero, grafica ambas ecuaciones en los mismos ejes.

Las dos líneas se cruzan una vez. Eso significa que solo hay una solución para el sistema.

El punto de intersección parece ser (1, 2).

Lea el punto del gráfico con la mayor precisión posible.

(1, 2) es una solución de y - x = 1.

(1, 2) es una solución de y + X = 3.

Verifique los valores en ambas ecuaciones. Sustituye 1 por X y 2 para y. (1, 2) es una solución.

(1, 2) es la solución del sistema y - x = 1 y

Dado que (1, 2) es una solución para cada una de las ecuaciones del sistema, es la solución del sistema.

¿Cuántas soluciones tiene el sistema y = 2X + 1

y -4X + 2y = 2 tienen?

Primero, grafica ambas ecuaciones en los mismos ejes.

Las dos ecuaciones se grafican como la misma línea. Entonces, cada punto de esa línea es una solución para el sistema de ecuaciones.

El sistema y = 2X + 1 y −4X + 2y = 2 tiene un número infinito de soluciones.

¿Qué punto es la solución al sistema? Xy = −1 y 2Xy = - 4? El sistema está representado correctamente a continuación.

Incorrecto. Sustituyendo (- 1, 2) en cada ecuación, encuentra que es una solución para 2Xy = - 4, pero no para Xy = - 1. Esto significa que no puede ser una solución para el sistema. La respuesta correcta es (- 3, - 2).

Incorrecto. Sustituyendo (- 4, - 3) en cada ecuación, encuentra que es una solución para Xy = - 1, pero no para 2Xy = - 4. Esto significa que no puede ser una solución para el sistema. La respuesta correcta es (- 3, - 2).

Correcto. Sustituir (- 3, - 2) en cada ecuación muestra que este punto es una solución para ambas ecuaciones, por lo que es la solución para el sistema.

Incorrecto. Sustituyendo (- 1, - 1) en cada ecuación, encuentra que no es una solución para 2Xy = - 4, ni para Xy = - 1. Esto significa que no puede ser una solución para el sistema. La respuesta correcta es (- 3, - 2).

Graficar un contexto del mundo real

Graficar un sistema de ecuaciones para un contexto del mundo real puede ser valioso para visualizar el problema. Veamos un par de ejemplos.

En el partido de baloncesto de ayer, Cheryl anotó 17 puntos con una combinación de canastas de 2 y 3 puntos. El número de tiros de 2 puntos que hizo fue uno más que el número de tiros de 3 puntos que hizo. ¿Cuántos de cada tipo de canasta anotó?

X = el número de tiros de 2 puntos realizados

y = el número de tiros de 3 puntos realizados

Asigne variables a las dos incógnitas: el número de cada tipo de disparos.

2X = el puntos de cestas de 2 puntos

3y = el puntos de cestas de 3 puntos

Calcule cuántos puntos se obtienen con cada uno de los dos tipos de tiros.

El número de puntos que Cheryl anotó (17) =

los puntos de canastas de 2 puntos + los puntos de canastas de 3 puntos.

Escribe una ecuación usando la información dada en el problema.

El número de cestas de 2 puntos (X) = 1 + el número de cestas de 3 puntos (y)

Escribe una segunda ecuación usando información adicional dada en el problema.

Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones con dos variables.

Grafica ambas ecuaciones en los mismos ejes.

Las dos líneas se cruzan, por lo que solo tienen un punto en común. Eso significa que solo hay una solución para el sistema.

El punto de intersección parece ser (4, 3).

Lee el punto de intersección en la gráfica.

Verifique (4, 3) en cada ecuación para ver si es una solución al sistema de ecuaciones.

(4, 3) es una solución a la ecuación.

Cheryl hizo 4 canastas de dos puntos y 3 canastas de tres puntos.

Andrés estaba tratando de decidir cuál de los dos planes de telefonía móvil debería comprar. Un plan, TalkALot, cobraba una tarifa fija de $ 15 por mes por minutos ilimitados. Otro plan, FriendFone, cobraba una tarifa mensual de $ 5 además de cobrar 20 ¢ por minuto por las llamadas.

Para examinar la diferencia de planes, hizo un gráfico:

Si planea hablar por teléfono durante unos 70 minutos al mes, ¿qué plan debería comprar?

Mira la gráfica. TalkALot se representa como y = 15, mientras que FriendFone se representa como

El número de minutos aparece en la X-eje. Cuándo X = 70, TalkALot cuesta $ 15, mientras que FriendFone cuesta alrededor de $ 19.

Andrés debería comprar el plan TalkALot.

Dado que TalkALot cuesta menos en 70 minutos, Andrés debería comprar ese plan.

Tenga en cuenta que si la estimación hubiera sido incorrecta, se podría haber realizado una nueva estimación. Volver a graficar para acercar el área donde se cruzan las líneas ayudaría a hacer una mejor estimación.

Paco y Lisel gastaron $ 30 yendo al cine anoche. Paco gastó $ 8 más que Lisel.

Si PAG = la cantidad que gastó Paco, y L = la cantidad que gastó Lisel, ¿qué sistema de ecuaciones puedes usar para calcular cuánto gastó cada uno de ellos?

Incorrecto. PAG + 8 = L dice: "Lisel gastó $ 8 más que Paco". El sistema correcto es:

Correcto. La cantidad total gastada (PAG + L) es 30, por lo que una ecuación debe ser PAG + L = 30. Paco gastó 8 dólares más que Lisel, así que L + 8 te dará la cantidad que gastó Paco. Esto se puede reescribir PAG = L + 8.

Incorrecto. PAG + 30 = L dice: "Lisel gastó $ 30 más que Paco". El sistema correcto es:

Incorrecto. L + 30 = PAG dice: "Paco gastó $ 30 más que Lisel". El sistema correcto es:

Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones lineales que tienen las mismas variables. Puede graficar las ecuaciones como un sistema para averiguar si el sistema no tiene soluciones (representadas por líneas paralelas), una solución (representada por líneas que se cruzan) o un número infinito de soluciones (representadas por dos líneas superpuestas). Si bien graficar sistemas de ecuaciones es una técnica útil, confiar en gráficos para identificar un punto específico de intersección no siempre es una forma precisa de encontrar una solución precisa para un sistema de ecuaciones.


¿Puede un sistema de dos ecuaciones lineales tener exactamente dos soluciones?

No. Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables puede tener cero, una o infinitas soluciones.

Explicación:

Podemos pensar en la geometría.

Una ecuación lineal tiene un gráfico como una línea (recta).

Dado un sistema de dos ecuaciones lineales, hay tres posibilidades.

Las posibilidades son:
dos lineas paralelas
p.ej. # <(y = 3x + 1), (y = 3x-2):> # (misma pendiente, diferentes intersecciones)

dos (distintas) líneas que se cruzan - es decir, dos líneas diferentes que se encuentran en un punto. Dos líneas rectas no pueden encontrarse en dos puntos. Dos puntos determinan una y solo una línea (no dos líneas).
p.ej. # <(y = 3x + 1), (y = 5x-2):> # (diferentes pendientes)

Las ecuaciones tienen la misma línea que sus gráficas.
Si dos lineas hacer tienen dos puntos en común, entonces "las líneas coinciden" (lo que realmente significa "sólo hay una línea"). En este caso decimos "las dos líneas son iguales".
Esta extraña frase no es exclusiva de las matemáticas. He tenido estudiantes en el pasado que podían decirles a sus amigos en inglés común: "Dos de mis profesores son la misma persona". Lo que, por supuesto, realmente significa que solo hay un profesor, pero hay dos descripciones de ese profesor: mi profesor de matemáticas y mi profesor de filosofía.


Ejemplo B:

Si y varía directamente como x, y (y = 24 ) cuando (x = 16 ), encuentre y cuando (x = 12 ).

Plan de ataque:

Cuando dos cantidades varían directamente, su relación es siempre la misma. Crearemos dos razones, las igualaremos entre sí y luego resolveremos la cantidad que falta.

Paso a paso:

Los números dados forman una razón que podemos escribir como ( frac): ( frac <24> <16> )

Para encontrar y cuando (x = 12 ) configuramos otra razón: ( frac<12>)

Resolver:

Por definición, ambas proporciones son iguales:

Multiplica cada lado por 12 para resolver y:

Resultado:

¿Tiene ahora un conocimiento básico de la variación directa? Si aún necesita más ayuda, intente buscar en nuestro sitio web (en la parte superior de la página) una pregunta más específica o explore nuestras otras lecciones de álgebra. A veces, es útil que alguien más explique un tema (¡una nueva perspectiva!), Por lo que también puede estar interesado en otra lección sobre variación directa, como esta página que proporciona ejemplos que resuelven la variación directa.


Ver el vídeo: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ: Η εξίσωση xν = α Θεωρία u0026 Ασκήσεις (Septiembre 2021).