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2.8: Resolver desigualdades de valor absoluto - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Resolver ecuaciones de valor absoluto
  • Resolver desigualdades de valor absoluto con "menor que"
  • Resolver desigualdades de valor absoluto con "mayor que"
  • Resuelve aplicaciones con valor absoluto

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Evalúe: (- | 7 | ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Complete (<,>, <,>, ) o (= ) para cada uno de los siguientes pares de números.
    Ⓐ (| −8 | text {___} - | −8 | ) ⓑ (12 text {___} - | −12 | ) ⓒ (| −6 | text {___} - 6 ) Ⓓ (- (- 15) text {___} - | −15 | )
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Simplifica: (14−2 | 8−3 (4−1) | ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Resolver ecuaciones de valor absoluto

Mientras nos preparamos para resolver ecuaciones de valor absoluto, revisamos nuestra definición de valor absoluto.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica.

El valor absoluto de un número norte se escribe como (| n | ) y (| n | geq 0 ) para todos los números.

Los valores absolutos son siempre mayores o iguales a cero.

Aprendimos que tanto un número como su opuesto están a la misma distancia del cero en la recta numérica. Dado que tienen la misma distancia desde cero, tienen el mismo valor absoluto. Por ejemplo:

  • (- 5 ) está a 5 unidades de 0, entonces (| −5 | = 5 ).
  • (5 ) está a 5 unidades de 0, entonces (| 5 | = 5 ).

La figura ( PageIndex {1} ) ilustra esta idea.

Para la ecuación | x | = 5, | x | = 5, buscamos todos los números que hacen que este enunciado sea verdadero. Buscamos los números cuya distancia desde cero es 5. Acabamos de ver que tanto 5 como −5−5 son cinco unidades de cero en la recta numérica. Son las soluciones de la ecuación.

( begin {array} {ll} { text {If}} & {| x | = 5} { text {entonces}} & {x = −5 text {o} x = 5} end {matriz} )

La solución se puede simplificar a una sola declaración escribiendo (x = pm 5 ). Esto se lee, "X es igual a 5 ”positivo o negativo.

Podemos generalizar esto a la siguiente propiedad para ecuaciones de valor absoluto.

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO

Para cualquier expresión algebraica, tu, y cualquier número real positivo, a,

[ begin {array} {ll} { text {if}} & {| u | = a} { text {luego}} & {u = −a text {o} u = a} nonumber end {matriz} ]

Recuerde que un valor absoluto no puede ser un número negativo.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Resolver:

  1. (| x | = 8 )
  2. (| y | = −6 )
  3. (| z | = 0 )
Solución a

( begin {array} {ll} {} & {| x | = 8} { text {Escribe las ecuaciones equivalentes.}} & {x = −8 text {o} x = 8} {} & {x = pm 8} end {matriz} )

Solución b

( begin {array} {ll} {} & {| y | = −6} {} & { text {Sin solución}} end {array} )
Dado que un valor absoluto es siempre positivo, no hay soluciones para esta ecuación.

Solución c

( begin {array} {ll} {} & {| z | = 0} { text {Escribe las ecuaciones equivalentes.}} & {z = −0 text {o} z = 0} { text {Since} −0 = 0,} & {z = 0} end {array} )
Ambas ecuaciones nos dicen que z = 0z = 0, por lo que solo hay una solución.

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

Resolver:

  1. (| x | = 2 )
  2. (| y | = −4 )
  3. (| z | = 0 )
Responde una

( pm 2 )

Respuesta b

sin solución

Respuesta c

0

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

Resolver:

  1. (| x | = 11 )
  2. (| y | = −5 )
  3. (| z | = 0 )
Responde una

( pm 11 )

Respuesta b

sin solución

Respuesta c

0

Para resolver un ecuación de valor absoluto, primero aislamos la expresión de valor absoluto usando los mismos procedimientos que usamos para resolver ecuaciones lineales. Una vez que aislamos la expresión de valor absoluto, la reescribimos como las dos ecuaciones equivalentes.

Cómo resolver ecuaciones de valor absoluto

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Resuelve (| 5x − 4 | −3 = 8 ).

Solución

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

Resuelve: (| 3x − 5 | −1 = 6 ).

Respuesta

(x = 4, espacio x = - frac {2} {3} )

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

Resuelve: (| 4x − 3 | −5 = 2 ).

Respuesta

(x = −1, espacio x = frac {5} {2} )

Los pasos para resolver una ecuación de valor absoluto se resumen aquí.

RESOLVER ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO.

  1. Aislar la expresión de valor absoluto.
  2. Escribe las ecuaciones equivalentes.
  3. Resuelve cada ecuación.
  4. Revise cada solución.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Resuelve (2 | x − 7 | + 5 = 9 ).

Solución
(2 | x − 7 | + 5 = 9 )
Aislar la expresión de valor absoluto. (2 | x − 7 | = 4 )
(| x − 7 | = 2 )
Escribe las ecuaciones equivalentes. (x − 7 = −2 ) o (x − 7 = 2 )
Resuelve cada ecuación. (x = 5 ) o (x = 9 )
Cheque:

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Resuelve: (3 | x − 4 | −4 = 8 ).

Respuesta

(x = 8, espacio x = 0 )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Resuelve: (2 | x − 5 | + 3 = 9 ).

Respuesta

(x = 8, espacio x = 2 )

Recuerde, ¡un valor absoluto siempre es positivo!

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Resuelve: (| frac {2} {3} x − 4 | + 11 = 3 ).

Solución

( begin {array} {ll} {} & {| frac {2} {3} x − 4 | = −8} { text {Aislar el término de valor absoluto.}} & {| frac {2} {3} x − 4 | = −8} { text {Un valor absoluto no puede ser negativo.}} & { Text {Sin solución}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Resuelve: (| frac {3} {4} x − 5 | + 9 = 4 ).

Respuesta

Sin solución

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Resuelve: (| frac {5} {6} x + 3 | + 8 = 6 ).

Respuesta

Sin solución

Algunas de nuestras ecuaciones de valor absoluto podrían tener la forma (| u | = | v | ) donde tu y v son expresiones algebraicas. Por ejemplo, (| x − 3 | = | 2x + 1 | ).

¿Cómo los solucionaríamos? Si dos expresiones algebraicas son iguales en valor absoluto, entonces son iguales entre sí o negativas entre sí. La propiedad de las ecuaciones de valor absoluto dice que para cualquier expresión algebraica, tuy un número real positivo, a, si (| u | = a ), entonces (u = −a ) o (u = a ).

Esto nos dice que

( begin {matriz} {llll}
{ text {if}} & {| u | = | v |} & {} & {}
{ text {luego}} & {| u | = v} & { text {o}} & {| u | = −v}
{ text {y así}} & {u = v text {o} u = −v} & { text {o}} & {u = −v text {o} u = - (- v )}
end {matriz} )

Esto nos lleva a la siguiente propiedad para ecuaciones con dos valores absolutos.

ECUACIONES CON DOS VALORES ABSOLUTOS

Para cualquier expresión algebraica, tu y v,

[ begin {array} {ll} { text {if}} & {| u | = | v |} { text {luego}} & {u = −v text {o} u = v } nonumber end {matriz} ]

Cuando tomamos el opuesto de una cantidad, debemos tener cuidado con los signos y agregar paréntesis donde sea necesario.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Resuelve: (| 5x − 1 | = | 2x + 3 | ).

Solución

( begin {array} {ll} {} & {} & {| 5x − 1 | = | 2x + 3 |} & {} {} & {} & {} & {} { text {Escribe las ecuaciones equivalentes.}} & {5x − 1 = - (2x + 3)} & { text {o}} & {5x − 1 = 2x + 3} {} & {5x − 1 = - 2x − 3} & { text {o}} & {3x − 1 = 3} { text {Resuelve cada ecuación.}} & {7x − 1 = −3} & {} & {3x = 4} {} & {7x = −2} & {} & {x = 43} {} & {x = −27} & { text {o}} & {x = 43} { text {Check.}} & {} & {} & {} { text {Te dejamos el cheque.}} & {} & {} & {} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Resuelve: (| 7x − 3 | = | 3x + 7 | ).

Respuesta

(x = - frac {2} {5}, espacio x = frac {5} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Resuelve: (| 6x − 5 | = | 3x + 4 | ).

Respuesta

(x = 3, x = 19 )

Resuelva las desigualdades de valor absoluto con "menor que"

Veamos ahora qué sucede cuando tenemos un desigualdad de valor absoluto. Todo lo que hemos aprendido sobre la solución de desigualdades aún se mantiene, pero debemos considerar cómo el valor absoluto impacta nuestro trabajo. De nuevo, veremos nuestra definición de valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica. Para la ecuación (| x | = 5 ), vimos que tanto 5 como (- 5 ) son cinco unidades desde cero en la recta numérica. Son las soluciones de la ecuación.

[ begin {array} {lll} {} & {| x | = 5} & {} {x = −5} & { text {o}} & {x = 5} nonumber end {array} ]

¿Qué pasa con la desigualdad (| x | leq 5 )? ¿Dónde están los números cuya distancia es menor o igual a 5? Sabemos que (- 5 ) y 5 son ambos cinco unidades desde cero. Todos los números entre (- 5 ) y 5 son menores que cinco unidades desde cero (Figura ( PageIndex {2} )).

De una manera más general, podemos ver que si (| u | leq a ), entonces (- a leq u leq a ) (Figura ( PageIndex {3} )).

Este resultado se resume aquí.

DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO CON (<) O ( leq )

Para cualquier expresión algebraica, tu, y cualquier número real positivo, a,

[ text {si} quad | u |

Después de resolver una desigualdad, a menudo es útil verificar algunos puntos para ver si la solución tiene sentido. La gráfica de la solución divide la recta numérica en tres secciones. Elija un valor en cada sección y sustitúyalo en la desigualdad original para ver si hace que la desigualdad sea verdadera o no. Si bien esta no es una verificación completa, a menudo ayuda a verificar la solución.

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Resuelve (| x | <7 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Solución
Escribe la desigualdad equivalente.
Grafica la solución.
Escribe la solución usando notación de intervalo.

Cheque:

Para verificar, marque un valor en cada sección de la recta numérica que muestra la solución. Elija números como −8, −8, 1 y 9.

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (| x | <9 ).

Respuesta

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (| x | <1 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Resuelve (| 5x − 6 | leq 4 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Solución
Paso 1. Aislar la expresión de valor absoluto.
Está aislado.
(| 5x − 6 | leq 4 )
Paso 2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente. (- 4 leq 5x − 6 leq 4 )
Paso 3. Resuelve la desigualdad compuesta. (2 leq 5x leq 10 )
( frac {2} {5} leq x leq 2 )
Paso 4. Grafica la solución.
Paso 5. Escribe la solución usando notación de intervalo. ([ frac {2} {5}, 2] )
Cheque:
El cheque se lo deja a usted.

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

Resuelve (| 2x − 1 | leq 5 ). Grafique la solución y escriba la solución en notación de intervalo:

Respuesta

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

Resuelve (| 4x − 5 | leq 3 ). Grafique la solución y escriba la solución en notación de intervalo:

Respuesta

RESOLVER DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO CON (<) O ( leq )

  1. Aislar la expresión de valor absoluto.
  2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.

    [ begin {array} {lll} {| u |

  3. Resuelve la desigualdad compuesta.
  4. Grafica la solución
  5. Escribe la solución usando notación de intervalo.

Resuelva las desigualdades de valor absoluto con "mayor que"

¿Qué sucede con las desigualdades de valor absoluto que tienen "mayor que"? De nuevo, veremos nuestra definición de valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica.

Comenzamos con la desigualdad (| x | leq 5 ). Vimos que los números cuya distancia es menor o igual a cinco desde cero en la recta numérica eran (- 5 ) y 5 y todos los números entre (- 5 ) y 5 (Figura ( PageIndex {4 } )).

Ahora queremos ver la desigualdad (| x | geq 5 ). ¿Dónde están los números cuya distancia desde cero es mayor o igual a cinco?

Nuevamente, tanto (- 5 ) como 5 están a cinco unidades de cero y, por lo tanto, se incluyen en la solución. Los números cuya distancia desde cero es mayor que cinco unidades serían menores que (- 5 ) y mayores que 5 en la recta numérica (Figura ( PageIndex {5} )).

De una manera más general, podemos ver que si (| u | geq a ), entonces (u leq −a ) o (u leq a ). Ver Figura.

Este resultado se resume aquí.

DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO CON (> ) O ( geq )

Para cualquier expresión algebraica, tu, y cualquier número real positivo, a,

[ begin {array} {lll} { text {if}} & { quad | u |> a,} & { quad text {luego} u <−a text {o} u> a} { text {if}} & { quad | u | geq a,} & { quad text {luego} u leq −a text {o} u geq a} nonumber end {array} ]

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Resuelve (| x |> 4 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Solución
(| x |> 4 )
Escribe la desigualdad equivalente. (x <−4 ) o (x> 4 )
Grafica la solución.
Escribe la solución usando notación de intervalo. ((- inf, −4) cup (4, inf) )
Cheque:

Para verificar, marque un valor en cada sección de la recta numérica que muestra la solución. Elija números como −6, −6, 0 y 7.

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

Resuelve (| x |> 2 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

Resuelve (| x |> 1 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {25} )

Resuelve (| 2x − 3 | geq 5 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Solución
(| 2x − 3 | geq 5 )
Paso 1. Aislar la expresión de valor absoluto. Está aislado.
Paso 2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente. (2x − 3 leq −5 ) o (2x − 3 geq 5 )
Paso 3. Resuelve la desigualdad compuesta. (2x leq −2 ) o (2x geq 8 )
(x leq −1 ) o (x geq 4 )
Paso 4. Grafica la solución.
Paso 5. Escribe la solución usando notación de intervalo. ((- inf, −1] cup [4, inf) )
Cheque:
El cheque se lo deja a usted.

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

Resuelve (| 4x − 3 | geq 5 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

Resuelve (| 3x − 4 | geq 2 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

Respuesta

RESUELVA LAS DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO CON (> ) O ( geq ).

  1. Aislar la expresión de valor absoluto.
  2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.

    [ begin {array} {lll}
    {| u | > a} & { quad text {es equivalente a}} & {u <−a quad text {o} quad u> a}
    {| u | geq a} & { quad text {es equivalente a}} & {u leq −a quad text {o} quad u geq a}
    {| u | > a} & { quad text {es equivalente a}} & {u <−a quad text {o} quad u> a}
    {| u | geq a} & { quad text {es equivalente a}} & {u leq −a quad text {o} quad u geq a}
    nonumber end {matriz} ]

  3. Resuelve la desigualdad compuesta.
  4. Grafica la solución
  5. Escribe la solución usando notación de intervalo.

Resuelva aplicaciones con valor absoluto

Las desigualdades de valor absoluto se utilizan a menudo en el proceso de fabricación. Un artículo debe fabricarse con especificaciones casi perfectas. Por lo general, hay una cierta tolerancia de la diferencia con las especificaciones permitidas. Si la diferencia con las especificaciones excede la tolerancia, el artículo se rechaza.

[| text {real-ideal} | leq text {tolerancia} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {28} )

El diámetro ideal de una varilla necesaria para una máquina es de 60 mm. El diámetro real puede variar del diámetro ideal en (0.075 ) mm. ¿Qué rango de diámetros será aceptable para el cliente sin provocar el rechazo de la varilla?

Solución

( begin {array} {ll} {} & { text {Let} x = text {la medida real}} { text {Usa una desigualdad de valor absoluto para expresar esta situación.}} & {| text {real-ideal} | leq text {tolerancia}} {} & {| x − 60 | leq 0.075} { text {Reescribir como una desigualdad compuesta.}} & {- 0.075 leq x − 60 leq 0.075} { text {Resuelve la desigualdad.}} & {59.925 leq x leq 60.075} { text {Responde la pregunta.}} & { text {El diámetro de la varilla puede estar entre}} {} & {59.925 mm text {y} 60.075 mm.} end {array} )

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

El diámetro ideal de una varilla necesaria para una máquina es de 80 mm. El diámetro real puede variar del diámetro ideal en 0,009 mm. ¿Qué rango de diámetros será aceptable para el cliente sin provocar el rechazo de la varilla?

Respuesta

El diámetro de la varilla puede oscilar entre 79,991 y 80,009 mm.

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

El diámetro ideal de una varilla necesaria para una máquina es de 75 mm. El diámetro real puede variar del diámetro ideal en 0,05 mm. ¿Qué rango de diámetros será aceptable para el cliente sin provocar el rechazo de la varilla?

Respuesta

El diámetro de la varilla puede oscilar entre 74,95 y 75,05 mm.

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver ecuaciones y desigualdades lineales de valor absoluto.

  • Resolver ecuaciones lineales de valor absoluto y desigualdades

Conceptos clave

  • Valor absoluto
    El valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica.
    El valor absoluto de un número norte se escribe como (| n | ) y (| n | geq 0 ) para todos los números.
    Los valores absolutos son siempre mayores o iguales a cero.
  • Ecuaciones de valor absoluto
    Para cualquier expresión algebraica, tu, y cualquier número real positivo, a,
    ( begin {array} {ll} { text {if}} & { quad | u | = a} { text {luego}} & { quad u = −a text {o} u = a} end {matriz} )
    Recuerde que un valor absoluto no puede ser un número negativo.
  • Cómo resolver ecuaciones de valor absoluto
    1. Aislar la expresión de valor absoluto.
    2. Escribe las ecuaciones equivalentes.
    3. Resuelve cada ecuación.
    4. Revise cada solución.
  • Ecuaciones con dos valores absolutos
    Para cualquier expresión algebraica, tu y v,
    ( begin {array} {ll} { text {if}} & { quad | u | = | v |} { text {luego}} & { quad u = −v text {o } u = v} end {matriz} )
  • Desigualdades de valor absoluto con (<) o ( leq )
    Para cualquier expresión algebraica, tu, y cualquier número real positivo, a,
    ( begin {array} {llll} { text {if}} & { quad | u | = a} & { quad text {luego}} & {- a
  • Cómo resolver desigualdades de valor absoluto con (<) o ( leq )
    1. Aislar la expresión de valor absoluto.
    2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.
      ( begin {array} {lll} {| u |
    3. Resuelve la desigualdad compuesta.
    4. Grafica la solución
    5. Escribe la solución usando notación de intervalo
  • Desigualdades de valor absoluto con (> ) o ( geq )
    Para cualquier expresión algebraica, tu, y cualquier número real positivo, a,
    ( begin {array} {lll} { text {if}} & { quad | u |> a,} & { text {luego} u <−a text {o} u> a} { text {si}} & { quad | u | geq a,} & { text {luego} u leq −a text {o} u geq a} end {matriz} )
  • Cómo resolver desigualdades de valor absoluto con (> ) o ( geq )
    1. Aislar la expresión de valor absoluto.
    2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.
      ( begin {array} {lll} {| u |> a} & { quad text {es equivalente a}} & { quad u <−a text {o} u> a} {| u | geq a} & { quad text {es equivalente a}} & { quad u leq −a text {o} u geq a} end {array} )
    3. Resuelve la desigualdad compuesta.
    4. Grafica la solución
    5. Escribe la solución usando notación de intervalo