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8.3: Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Sumar expresiones racionales con un denominador común
  • Restar expresiones racionales con un denominador común
  • Sumar y restar expresiones racionales cuyos denominadores son opuestos

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

Si pasa por alto un problema, vuelva a la sección enumerada y revise el material.

  1. Suma: ( frac {y} {3} + frac {9} {3} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 1.7.1.
  2. Restar: ( frac {10} {x} - frac {2} {x} ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.7.7.
  3. Factoriza completamente: (8n ^ 5−20n ^ 3 ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 7.5.1.
  4. Factoriza completamente: (45a ^ 3−5ab ^ 2 ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 7.5.10.

Agregar expresiones racionales con un denominador común

¿Cuál es el primer paso que da cuando suma fracciones numéricas? Comprueba si tienen un denominador común. Si es así, suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. Si no tienen un denominador común, busque uno antes de sumar.

Lo mismo ocurre con las expresiones racionales. Para agregar expresiones racionales, deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, sumas los numeradores y colocas la suma sobre el denominador común.

Definición: ADICIÓN DE EXPRESIÓN RACIONAL

Si p, qyr son polinomios donde (r ne 0 ), entonces

( frac {p} {r} + frac {q} {r} = frac {p + q} {r} )

Para sumar expresiones racionales con un denominador común, sume los numeradores y coloque la suma sobre el denominador común.

Primero agregaremos dos fracciones numéricas, para recordarnos cómo se hace esto.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Suma: ( frac {5} {18} + frac {7} {18} ).

Respuesta
( frac {5} {18} + frac {7} {18} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {5 + 7} {18} )
Agrega el numerador. ( frac {12} {18} )
Factoriza el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes. ( frac {6 · 2} {6 · 3} )
Simplificar. ( frac {2} {3} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Suma: ( frac {7} {16} + frac {5} {16} ).

Respuesta

( frac {3} {4} )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Suma: ( frac {3} {10} + frac {1} {10} ).

Respuesta

( frac {2} {5} )

Recuerde, no permitimos valores que hagan que el denominador sea cero. ¿Qué valor de yy debería excluirse en el siguiente ejemplo?

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Suma: ( frac {3y} {4y − 3} + frac {7} {4y − 3} ).

Respuesta
( frac {3y} {4y − 3} + frac {7} {4y − 3} ).
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {3y + 7} {4y − 3} )
El numerador y el denominador no se pueden factorizar. La fracción está simplificada.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Suma: ( frac {5x} {2x + 3} + frac {2} {2x + 3} ).

Respuesta

( frac {5x + 2} {2x + 3} ).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Sumar: ( frac {x} {x − 2} + frac {1} {x − 2} ).

Respuesta

( frac {x + 1} {x − 2} )

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Suma: ( frac {7x + 12} {x + 3} + frac {x ^ 2} {x + 3} ).

Respuesta
( frac {7x + 12} {x + 3} + frac {x ^ 2} {x + 3} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {7x + 12 + x ^ 2} {x + 3} )
Escribe los grados en orden descendente. ( frac {x ^ 2 + 7x + 12} {x + 3} )
Factoriza el numerador. ( frac {(x + 3) (x + 4)} {x + 3} )
Simplificar.x + 4

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Suma: ( frac {9x + 14} {x + 7} + frac {x ^ 2} {x + 7} ).

Respuesta

x + 2

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Suma: ( frac {x ^ 2 + 8x} {x + 5} + frac {15} {x + 5} ).

Respuesta

x + 3

Restar expresiones racionales con un denominador común

Para restar expresiones racionales, también deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común.

Definición: RESTA DE EXPRESIÓN RACIONAL

Si p, qyr son polinomios donde (r ne 0 )

( frac {p} {r} - frac {q} {r} = frac {p − q} {r} )

Para restar expresiones racionales, reste los numeradores y coloque la diferencia sobre el denominador común.

Siempre simplificamos las expresiones racionales. Asegúrese de factorizar, si es posible, después de restar los numeradores para que pueda identificar cualquier factor común.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Restar: ( frac {n ^ 2} {n − 10} - frac {100} {n − 10} ).

Respuesta
( frac {n ^ 2} {n − 10} - frac {100} {n − 10} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {n ^ 2−100} {n − 10} )
Factoriza el numerador. ( frac {(n − 10) (n + 10)} {n − 10} )
Simplificar.n + 10

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Restar: ( frac {x ^ 2} {x + 3} - frac {9} {x + 3} ).

Respuesta

x − 3

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Restar: ( frac {4x ^ 2} {2x − 5} - frac {25} {2x − 5} ).

Respuesta

2x + 5

¡Cuidado con los signos al restar un binomio!

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Resta: ( frac {y ^ 2} {y − 6} - frac {2y + 24} {y − 6} ).

Respuesta
( frac {y ^ 2} {y − 6} - frac {2y + 24} {y − 6} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {y ^ 2− (2y + 24)} {y − 6} )
Distribuya el signo en el numerador. ( frac {y ^ 2−2y − 24} {y − 6} )
Factoriza el numerador. ( frac {(y − 6) (y + 4)} {y − 6} )
Simplificar.y + 4

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Restar: ( frac {n ^ 2} {n − 4} - frac {n + 12} {n − 4} ).

Respuesta

n + 3

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Resta: ( frac {y ^ 2} {y − 1} - frac {9y − 8} {y − 1} ).

Respuesta

y − 8

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Restar: ( frac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x-18} - frac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x-18} ).

Respuesta
( frac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} - frac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {5x ^ 2−7x + 3− (4x ^ 2 + x − 9)} {x ^ 2−3x + 18} )
Distribuya el signo en el numerador. ( frac {5x ^ 2−7x + 3−4x ^ 2 − x + 9} {x ^ 2−3x + 18} )
Combina términos semejantes. ( frac {x ^ 2−8x + 12} {x ^ 2−3x + 18} )
Factoriza el numerador y el denominador. ( frac {(x − 2) (x − 6)} {(x + 3) (x − 6)} )
Simplificar. ( frac {x − 2} {x + 3} )

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Restar: ( frac {4x ^ 2−11x + 8} {x ^ 2−3x + 2} - frac {3x ^ 2 + x − 3} {x ^ 2−3x + 2} ).

Respuesta

( frac {x − 11} {x − 2} )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Restar: ( frac {6x ^ 2 − x + 20} {x ^ 2−81} - frac {5x ^ 2 + 11x − 7} {x ^ 2−81} ).

Respuesta

( frac {x − 3} {x + 9} )

Sumar y restar expresiones racionales cuyos denominadores son opuestos

Cuando los denominadores de dos expresiones racionales son opuestos, es fácil obtener un denominador común. Solo tenemos que multiplicar una de las fracciones por ( frac {−1} {- 1} )

Veamos cómo funciona esto.

Multiplica la segunda fracción por ( frac {−1} {- 1} ).
Los denominadores son los mismos.
Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Sumar: ( frac {8x − 15} {2x − 5} + frac {2x} {5−2x} ).

Respuesta

3

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Sumar: ( frac {6y ^ 2 + 7y − 10} {4y − 7} + frac {2y ^ 2 + 2y + 11} {7−4y} ).

Respuesta

y + 3

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Restar: ( frac {y ^ 2−5y} {y ^ 2−4} - frac {6y − 6} {4 − y ^ 2} ).

Respuesta

( frac {y + 3} {y + 2} )

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Restar: ( frac {2n ^ 2 + 8n − 1} {n ^ 2−1} - frac {n ^ 2−7n − 1} {1 − n ^ 2} ).

Respuesta

( frac {3n − 2} {n − 1} )

Conceptos clave

  • Suma de expresiones racionales
    • Si p, qyr son polinomios donde (r ne 0 ), entonces

      ( frac {p} {r} + frac {q} {r} = frac {p + q} {r} )

    • Para sumar expresiones racionales con un denominador común, sume los numeradores y coloque la suma sobre el denominador común.
  • Resta de expresiones racionales
    • Si p, qyr son polinomios donde (r ne 0 )

      ( frac {p} {r} - frac {q} {r} = frac {p − q} {r} )

    • Para restar expresiones racionales, reste los numeradores y coloque la diferencia sobre el denominador común.

8.3: Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común - Matemáticas

Los temas que se tratan aquí son errores que los estudiantes a menudo cometen al hacer álgebra, y no solo errores que normalmente se cometen en una clase de álgebra. ¡He visto cada uno de estos errores cometidos por estudiantes en todos los niveles de clases, desde clases de álgebra hasta clases de matemáticas de nivel superior! De hecho, algunos de los ejemplos de esta sección provendrán de cálculo.

Si no ha tenido cálculo, puede ignorar estos ejemplos. En todos los casos en los que he dado ejemplos, he tratado de incluir ejemplos de una clase de álgebra, así como el ejemplo de ocasiones de cursos de nivel superior como Cálculo.

Estoy convencido de que muchos de los errores que se dan aquí se deben a que las personas se vuelven perezosas o tienen prisa y no prestan atención a lo que están haciendo. ¡Al reducir la velocidad, prestar atención a lo que está haciendo y prestar atención a la notación adecuada, puede evitar la gran mayoría de estos errores!

División por cero

Todo el mundo sabe que ( frac <0> <2> = 0 ) el problema es que demasiadas personas también dicen que ( frac <2> <0> = 0 ) o ( frac <2> <0> = 2 )! ¡Recuerda que la división por cero no está definida! Simplemente no puedes dividir por cero, ¡así que no lo hagas!

Este es un muy buen ejemplo de los tipos de estragos que pueden surgir cuando se divide por cero. Vea si puede encontrar el error que cometí en el trabajo a continuación.

  1. (a = b ) Comenzaremos a asumir que esto es cierto.
  2. (ab = ) Multiplica ambos lados por a.
  3. (ab - = - ) Restar () de ambos lados.
  4. (b left ( right) = left ( derecha izquierda( right) ) Factoriza ambos lados.
  5. (b = a + b ) Divide ambos lados entre (a - b ).
  6. (b = 2b ) Recuerde que comenzamos asumiendo (a = b ).
  7. (1 = 2 ) Divide ambos lados entre B.

¡Así que logramos demostrar que 1 = 2! Ahora, sabemos que eso no es cierto tan claramente que cometimos un error en alguna parte. ¿Puedes ver dónde se cometió el error?

El error fue en el paso 5. Recuerde que comenzamos con el supuesto (a = b ). Sin embargo, si esto es cierto, ¡tenemos (a - b = 0 )! Entonces, ¡en el paso 5 realmente estamos dividiendo por cero!

Ese simple error nos llevó a algo que sabíamos que no era cierto, sin embargo, en la mayoría de los casos, su respuesta obviamente no será incorrecta. No siempre estará claro que está dividiendo por cero, como fue el caso en este ejemplo. Tienes que estar atento a este tipo de cosas.

¡Recuerde que NO PUEDE dividir por cero!

Paréntesis malo / perdido / supuesto

Este es probablemente el error que encuentro más frustrante. Hay un par de errores que la gente suele cometer aquí.

El primer error es que las personas se vuelven perezosas y deciden que no se necesitan paréntesis en ciertos pasos o que pueden recordar que se supone que los paréntesis deben estar allí. Por supuesto, el problema aquí es que a menudo tienden a olvidarse de ellos en el siguiente paso.

El otro error es que los estudiantes a veces no comprenden cuán importantes son realmente los paréntesis. Esto se ve a menudo en errores cometidos en exponenciación, como muestran mis primeros ejemplos.

¡Tenga en cuenta la diferencia muy importante entre estos dos! Cuando trabaje con exponentes, recuerde que solo la cantidad inmediatamente a la izquierda del exponente obtiene el exponente. Entonces, en el caso incorrecto, el X es la cantidad inmediatamente a la izquierda del exponente, por lo que estamos elevando al cuadrado solo el X mientras que el 4 no está al cuadrado. En el caso correcto, el paréntesis está inmediatamente a la izquierda del exponente, por lo que esto significa que todo lo que está dentro del paréntesis debe estar al cuadrado.

En este caso, se requieren paréntesis para asegurarnos de que cuadramos todo, no solo el X, ¡así que no los olvide!

Éste es similar al anterior, pero tiene una sutileza que ocasiona problemas en ocasiones. Recuerda que solo la cantidad a la izquierda del exponente obtiene el exponente. Entonces, en el caso incorrecto, SOLAMENTE el 3 está a la izquierda del exponente y, por lo tanto, ¡SOLO el 3 se eleva al cuadrado!

Mucha gente sabe que técnicamente se supone que deben cuadrar -3, pero se vuelven perezosos y no escriben el paréntesis con la premisa de que los recordarán cuando llegue el momento de evaluarlo. Sin embargo, es sorprendente cuántas de estas personas se olvidan rápidamente del paréntesis y escriben -9 de todos modos.

¡Tenga cuidado y observe la diferencia entre los dos! En el primer caso, puse paréntesis alrededor de (4x - 5 ) y en el segundo no lo hice. Ya que estamos restando un polinomio, ¡debemos asegurarnos de restar TODO el polinomio! La única forma de asegurarnos de que lo hacemos correctamente es ponerlo entre paréntesis.

Una vez más, este es uno de esos errores que la gente sabe que técnicamente el paréntesis debería estar ahí, pero no los pone y olvida rápidamente que estaban ahí y hace la resta de forma incorrecta.

Esto vuelve al mismo error en los dos primeros. Si solo la cantidad a la izquierda del exponente obtiene el exponente. Entonces, el caso incorrecto es realmente (7<2> >> = 7 sqrt x ) y esta claramente NO es la raíz original.

Tenga en cuenta el uso del paréntesis. El problema establece que es -3 veces la integral ENTERA, no solo el primer término de la integral (como se hace en el ejemplo incorrecto).

Distribución inadecuada

¡Tenga cuidado al usar la propiedad de distribución! Hay dos errores principales con los que me encuentro con regularidad.

¡Asegúrate de distribuir el 4 hasta el final del paréntesis! Con demasiada frecuencia, la gente simplemente multiplica el primer término por 4 e ignora el segundo término. Esto es especialmente cierto cuando el segundo término es solo un número. Por alguna razón, si el segundo término contiene variables, los estudiantes recordarán hacer la distribución correctamente la mayoría de las veces.

Recuerde que la exponenciación debe realizarse ANTES de distribuir cualquier coeficiente entre paréntesis.

Supuestos aditivos

No sabía cómo llamar a esto, pero es un error que cometen muchos estudiantes. Aquí está la suposición. Dado que (2 left ( right) = 2x + 2y ) entonces todo funciona así. Sin embargo, aquí hay una lista completa en la que esto no funciona.

[< izquierda ( right) ^ 2> ne + ] [ sqrt ne sqrt x + sqrt y ] [ frac <1> <> ne frac <1> + frac <1>] [ cos left ( right) ne cos x + cos y ]

No es difícil convencerse a sí mismo de que alguno de estos no es cierto. ¡Simplemente elija un par de números y conéctelos! Por ejemplo,

Encontrará el conjunto ocasional de números para los que funcionará una de estas reglas, pero no funcionan para casi ningún par de números elegidos al azar.

Tenga en cuenta que hay muchos más ejemplos en los que esto aditivo la suposición no funciona de lo que he enumerado aquí. Simplemente escribí los que veo con más frecuencia. Además, algunos de los que enumeré podrían hacerse más generales. Por ejemplo,

Cancelación de errores

Estos errores se dividen en dos categorías. Simplificar expresiones racionales y resolver ecuaciones. Veamos primero la simplificación de expresiones racionales.

Observe que para cancelar (x ) del denominador, primero factoricé un (x ) del numerador. Solo puede cancelar algo si se multiplica por el numerador y denominador ENTERO, o si ES el numerador o denominador completo (como en el caso del denominador en nuestro ejemplo).

Compare esto con el siguiente ejemplo que contiene un error muy común que cometen los estudiantes.

Demasiados estudiantes intentan simplificar esto como,

En otras palabras, cancelan la (x ) en el denominador contra solo una de las (x ) en el numerador (es decir. cancele (x ) solo del primer término o solo del segundo término). ESTO NO SE PUEDE HACER. Para hacer esta cancelación, DEBE tener un (x ) en ambos términos.

Para convencerse de que este tipo de cancelación no es cierto, considere el siguiente ejemplo numérico.

Esto se puede hacer fácilmente simplemente haciendo la aritmética de la siguiente manera

Sin embargo, hagamos una cancelación incorrecta similar al ejemplo anterior. Primero cancelaremos los dos en el denominador en el ocho en el numerador. Esto NO ES CORRECTO, pero refleja la cancelación que se realizó incorrectamente en el ejemplo anterior. Esto da,

¡Claramente estos dos no son lo mismo! ¡Así que debes tener cuidado con la cancelación!

Ahora, echemos un vistazo rápido a la cancelación de errores relacionados con la resolución de ecuaciones.

Demasiados estudiantes se acostumbran a cancelar (es decir, simplificar) cosas para hacerles la vida más fácil. Entonces, el mayor error al resolver este tipo de ecuación es cancelar una (x ) de ambos lados para obtener,

[2x = 1 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = frac <1> <2> ]

Si bien (x = frac <1> <2> ) es una solución, hay otra solución que nos hemos perdido. ¿Puedes ver lo que es? Eche un vistazo al siguiente ejemplo para ver qué es.

Esta es la forma correcta de resolver esta ecuación. Primero ponga todo de un lado y luego factorice!

De esto podemos ver que,

[x = 0 hspace <0.5in> mbox hspace <0.5in> 2x - 1 = 0 ]

En el segundo caso obtenemos (x = frac <1> <2> ) que obtuvimos en el primer intento, pero del primer caso también obtenemos (x = 0 ) que no obtuvimos en el primer intento. Claramente, (x = 0 ) funcionará en la ecuación y también lo es una solución.

Perdimos (x = 0 ) en el primer intento porque intentamos hacernos la vida más fácil "simplificando" la ecuación antes de resolverla. Si bien un poco de simplificación es algo bueno y necesario, NUNCA debe dividir un término como lo hicimos en el primer intento al resolverlo. Si hace esto, PERDERÁ las soluciones.

Uso adecuado de la raíz cuadrada

Parece haber una gran idea errónea sobre el uso de raíces cuadradas. Los estudiantes parecen tener la idea errónea de que

Sin embargo, esto no es correcto. ¡Las raíces cuadradas son SIEMPRE positivas o cero! Entonces el valor correcto es

¡Este es el ÚNICO valor de la raíz cuadrada! Si queremos el -4, hacemos lo siguiente

[- sqrt <16> = - left (< sqrt <16>> right) = - left (4 right) = - 4 ]

¡Observe que usé paréntesis solo para señalar cómo aparecía el signo menos! En general, se omiten los dos pasos del medio. Entonces, si queremos el valor negativo, ¡tenemos que poner el signo menos!

Supongo que este error surge porque también se les pide que resuelvan cosas como ( = 16 ). Claramente, la respuesta a esto es (x = pm , 4 ) y, a menudo, se resolverán "sacando la raíz cuadrada" de ambos lados. Sin embargo, falta un paso. Aquí está la técnica de solución adecuada para este problema.

Tenga en cuenta que ( pm ) aparece en el segundo paso antes de que encontremos el valor de la raíz cuadrada. No aparece como parte de sacar la raíz cuadrada.

Siento que debo señalar que muchos instructores (incluyéndome a mí en ocasiones) no ayudan en las cosas, ya que a menudo omiten el segundo paso y, al hacerlo, parecen implicar que el ( pm ) aparece porque de la raíz cuadrada.

Por lo tanto, recuerde que las raíces cuadradas SIEMPRE devuelven una respuesta positiva o cero. Si desea un negativo, deberá ponerlo en un signo menos ANTES de sacar la raíz cuadrada.

Fracciones ambiguas

Este es más un problema de notación que un problema de álgebra. Decidí ponerlo aquí porque muchos estudiantes salen de las clases de álgebra sin entender este punto. En realidad, hay tres tipos de notación "mala" que la gente suele utilizar con fracciones que pueden provocar errores en el trabajo.

La primera es usar una "/" para denotar una fracción, por ejemplo, 2/3. En este caso, realmente no hay problema con el uso de una "/", pero ¿qué pasa con 2/3 (x )? Puede ser cualquiera de las dos siguientes fracciones.

¡No queda claro a partir de 2/3 (x ) cuál de estos dos debería ser! Usted, como estudiante, puede saber cuál de los dos pretendía que fuera, pero un evaluador no lo sabrá. Además, si bien puede saber cuál de los dos pretendía que fuera cuando lo escribió, ¿sabrá cuál de los dos es cuando vuelva a analizar el problema cuando estudie?

Solo debe usar una “/” para las fracciones cuando sea claro y obvio para todos, no solo para usted, cómo se debe interpretar la fracción.

El siguiente problema de notación que veo con bastante frecuencia es que la gente escribe,

De esto no queda claro si (x ) pertenece al denominador o la fracción o no. Los estudiantes suelen escribir fracciones como esta y, por lo general, quieren decir que (x ) no debería estar en el denominador. A simple vista, el problema es que a menudo parece que debería estar en el denominador y el estudiante simplemente no dibujó la barra de fracciones lo suficiente.

Si desea que (x ) esté en el denominador, escríbalo de esa manera, ( frac <2> <<3x>> ), es decir. asegúrese de dibujar la barra de fracción sobre el denominador COMPLETO. Si no tiene la intención de que esté en el denominador, ¡no deje ninguna duda! Escríbalo como ( frac <2> <3> x ).

El problema de notación final que veo se remonta al uso de una "/" para denotar una fracción, pero en realidad es un problema de paréntesis. Esto involucra fracciones como

A menudo, los estudiantes que usan "/" para denotar fracciones escribirán esta fracción como

Estos estudiantes saben que están escribiendo la fracción original. Sin embargo, casi cualquier otra persona verá lo siguiente

Definitivamente NO es la fracción original. Entonces, si DEBE usar “/” para denotar fracciones, use paréntesis para dejar en claro cuál es el numerador y cuál es el denominador. Entonces, deberías escribirlo como


Hojas de trabajo y actividades de matemáticas CCSS de 4to grado

Las hojas de trabajo de matemáticas básicas comunes de cuarto grado con respuestas están disponibles en línea de forma gratuita en formato imprimible y descargable (PDF) para enseñar, practicar o aprender matemáticas. El plan de estudios K-4 incluye los temas de grupos anteriores bajo los dominios CCSS operaciones y pensamiento algebraico 4.OA, números y operaciones en base diez 4.NBT, números y operaciones - fracciones 4.NF, medición y datos 4.MD y geometría 4 .GRAMO. Consulte los encabezados del clúster y los estándares de contenido para 4.OA.A, 4.OA.B, 4.OA.C, 4.NBT.A, 4.NBT.B, 4.NF.A, 4.NF.B, 4.NF.C, 4.MD.B, 4.MD.A, 4.MD.C y 4.GA para seleccionar la hoja de trabajo matemática básica común para el grado 4.

Todas las hojas de trabajo de matemáticas básicas comunes para 4to grado provistas con la clave de respuestas correspondiente que contiene cálculos paso a paso o trabajo completo con pasos para cada ejercicio en la hoja de trabajo. Las actividades clave incluidas en las hojas de trabajo de matemáticas básicas comunes de cuarto grado (preguntas y respuestas) para aumentar la capacidad del estudiante para aplicar las matemáticas en problemas del mundo real, la comprensión conceptual, la fluidez en los procedimientos, las habilidades para resolver problemas, evaluar críticamente el razonamiento o preparar a los estudiantes para aprender. Las matemáticas básicas comunes de cuarto grado de la mejor manera también están disponibles en formatos imprimibles y descargables (PDF y PNG).


Actividades y hojas de trabajo de matemáticas de CCSS de quinto grado

Las hojas de trabajo de matemáticas básicas comunes de quinto grado con respuestas están disponibles en línea de forma gratuita en formato imprimible y descargable (PDF) para enseñar, practicar o aprender matemáticas. El plan de estudios K-5 incluye los temas de grupos anteriores bajo los dominios CCSS operaciones y pensamiento algebraico 5.OA, números y operaciones en base diez 5.NBT, números y operaciones - fracciones 5.NF, medidas y datos 5.MD y geometría 5 .GRAMO. Consulte los encabezados del grupo y los estándares de contenido para 5.OA.A, 5.OA.B, 5.NBT.A, 5.NBT.B, 5.NF.A, 5.NF.B, 5.MD.A, 5.MD.B, 5.MD.C, 5.GA y 5.GB para seleccionar la hoja de trabajo matemática básica común prevista para el quinto grado.

Todas las hojas de trabajo de matemáticas básicas comunes para el quinto grado provistas con la clave de respuestas correspondiente que contiene el cálculo paso a paso o el trabajo completo con los pasos para cada ejercicio en la hoja de trabajo. Las actividades clave incluidas en las hojas de trabajo de matemáticas básicas comunes de quinto grado (preguntas y respuestas) para aumentar la capacidad del estudiante para aplicar las matemáticas en problemas del mundo real, comprensión conceptual, fluidez en los procedimientos, habilidades para resolver problemas, evaluar críticamente el razonamiento o preparar a los estudiantes para aprender. Las matemáticas básicas comunes de quinto grado de la mejor manera también están disponibles en formatos imprimibles y descargables (PDF y PNG).


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Use variables para representar números y escribir expresiones al resolver un mundo real o

Vocabulario esencial Análisis de tareas Actividades de aprendizaje / evaluaciones Recursos

 Sustituir por una variable.

 Usar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o del mundo real. Comprender que una variable puede representar un número desconocido o, según el propósito en cuestión, cualquier número en un conjunto específico.

Actividades de danza o texto (Q)

o Podría usarse mejor en correlación con 6.EE.8

o Proporciona escenario y requiere estudiantes para escribir

expresiones / desigualdades. También requiere que los estudiantes expliquen porciones de juegos de solución para desigualdades.

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Dominio: Expresiones y Ecuaciones Cluster: Razonar y resolver ecuaciones y desigualdades de una variable.


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