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10.3: Usar propiedades de multiplicación de exponentes (Parte 2)


Simplificar expresiones usando el producto a una propiedad de potencia

Ahora veremos una expresión que contiene un producto elevado a una potencia. Busque un patrón.

(2x)3
¿Qué significa esto?2x • 2x • 2x
Agrupamos los factores similares juntos.2 • 2 • 2 • x • x • x
¿Cuántos factores de 2 y de x?23 • X3
Note que cada factor fue elevado al poder.(2x)3 es 23 • X3
Nosotros escribimos:$$ begin {split} & (2x) ^ {3} & 2 ^ {3} cdot x ^ {3} end {split} $$

El exponente se aplica a cada uno de los factores. Esto conduce al producto a una propiedad de potencia para exponentes.

Definición: propiedad de los exponentes del producto a una potencia

Si a y b son números reales y m es un número entero, entonces

[(ab) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} etiqueta {10.2.27} ]

Para elevar un producto a una potencia, eleva cada factor a esa potencia.

Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad:

[ begin {split} (2 cdot 3) ^ {2} & stackrel {?} {=} 2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} 6 ^ {2} & stackrel {? } {=} 4 cdot 9 36 & stackrel {?} {=} 36 ; checkmark end {split} ]

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

Simplificar: (−11x)2.

Solución

Usar el poder de una propiedad del producto, (ab)metro = ametro Bmetro.$$ (- 11) ^ { textcolor {rojo} {2}} x ^ { textcolor {rojo} {2}} etiqueta {10.2.28} $$
Simplificar.$$ 121x ^ {2} etiqueta {10.2.29} $$

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

Simplificar: (−14x)2.

Respuesta

196x2

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

Simplificar: (−12a)2.

Respuesta

144a2

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

Simplificar: (3xy)3.

Solución

Eleva cada factor a la tercera potencia.$$ 3 ^ { textcolor {rojo} {3}} x ^ { textcolor {rojo} {3}} y ^ { textcolor {rojo} {3}} etiqueta {10.2.30} $$
Simplificar.$$ 27x ^ {3} y ^ {3} etiqueta {10.2.31} $$

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

Simplificar: (−4xy)4.

Respuesta

256x4y4

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

Simplificar: (6xy)3.

Respuesta

216x3y3

Simplifique las expresiones aplicando varias propiedades

Ahora tenemos tres propiedades para multiplicar expresiones con exponentes. Vamos a resumirlos y luego haremos algunos ejemplos que usan más de una de las propiedades.

Definición: propiedades de los exponentes

Si a, b son números reales ym, n son números enteros, entonces

Propiedad del productoametro • anorte = am + n
Propiedad de energía(ametro)norte = am • n
Producto a una propiedad de potencia(ab)metro = ametroBmetro

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

Simplificar: (x2)6(X5)4.

Solución

Utilice la propiedad de potencia.X12 • X20
Suma los exponentes.X32

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

Simplificar: (x4)3(X7)4.

Respuesta

X40

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

Simplificar: (y9)2(y8)3.

Respuesta

y42

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

Simplificar: (−7x3y4)2.

Solución

Lleva cada factor a la segunda potencia.(−7)2(X3)2(y4)2
Utilice la propiedad de potencia.49x6y8

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

Simplificar: (−8x4y7)3.

Respuesta

-512x12y21

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

Simplificar: (−3a5B6)4.

Respuesta

81a20B24

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

Simplificar: (6n)2(4n3).

Solución

Sube 6n a la segunda potencia.62norte2 • 4n3
Simplificar.36n2 • 4n3
Utilice la propiedad conmutativa.36 • 4 • n2 • n3
Multiplica las constantes y suma los exponentes.144n5

Observe que en el primer monomio, el exponente estaba fuera del paréntesis y se aplicó a ambos factores en el interior. En el segundo monomio, el exponente estaba entre paréntesis, por lo que solo se aplicaba a la n.

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

Simplificar: (7n)2 (2n12).

Respuesta

98n14

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

Simplificar: (4m)2(3m3).

Respuesta

Los 48m5

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

Simplificar: (3p2q)4(2pq2)3.

Solución

Utilice el poder de la propiedad de un producto.34(pag2)4q4 • 23pag3(q2)3
Utilice la propiedad de potencia.81p8q4 • 8p3q6
Utilice la propiedad conmutativa.81 • 8 • p8 • pag3 • q4 • q6
Multiplica las constantes y suma los exponentes de cada variable.648p11q10

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

Simplificar: (u3v2)5(4uv4)3.

Respuesta

64u18v22

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

Simplificar: (5x2y3)2(3xy4)3.

Respuesta

675x7y18

Multiplicar monomios

Dado que un monomio es una expresión algebraica, podemos usar las propiedades para simplificar expresiones con exponentes para multiplicar los monomios.

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

Multiplicar: (4x2) (- 5 veces3).

Solución

Utilice la propiedad conmutativa para reordenar los factores.4 • (−5) • x2 • X3
Multiplicar.−20x5

Ejercicio ( PageIndex {31} ):

Multiplicar: (7x7) (- 8x4).

Respuesta

-56x11

Ejercicio ( PageIndex {32} ):

Multiplicar: (−9y4) (- 6 años5).

Respuesta

54 años9

Ejemplo ( PageIndex {17} ):

Multiplica: ( left ( dfrac {3} {4} c ^ {3} d right) ) (12cd2).

Solución

Utilice la propiedad conmutativa para reordenar los factores. ( dfrac {3} {4} ) • 12 • c3 • c • d • d2
Multiplicar.9c4D3

Ejercicio ( PageIndex {33} ):

Multiplica: ( left ( dfrac {4} {5} m ^ {4} n ^ {3} d right) ) (15mn3).

Respuesta

12m5norte6

Ejercicio ( PageIndex {34} ):

Multiplica: ( left ( dfrac {2} {3} p ^ {5} q d right) ) (18p6q7).

Respuesta

12p11q8

La práctica hace la perfección

Simplificar expresiones con exponentes

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión con exponentes.

  1. 45
  2. 103
  3. ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {2} )
  4. ( left ( dfrac {3} {5} right) ^ {2} )
  5. (0.2)3
  6. (0.4)3
  7. (−5)4
  8. (−3)5
  9. −54
  10. −35
  11. −104
  12. −26
  13. (- left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} )
  14. (- left ( dfrac {1} {4} right) ^ {4} )
  15. −0.52
  16. −0.14

Simplificar expresiones usando la propiedad del producto de los exponentes

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad del producto de los exponentes.

  1. X3 • X6
  2. metro4 • m2
  3. a • a4
  4. y12 • y
  5. 35 • 39
  6. 510 • 56
  7. z • z2 • z3
  8. a • a3 • a5
  9. Xa • X2
  10. ypag • y3
  11. ya • yB
  12. Xpag • Xq

Simplificar expresiones usando la propiedad de potencia de los exponentes

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad de potencia de los exponentes.

  1. (u4)2
  2. (X2)7
  3. (y5)4
  4. (a3)2
  5. (102)6
  6. (28)3
  7. (X15)6
  8. (y12)8
  9. (X2)y
  10. (y3)X
  11. (5X)y
  12. (7a)B

Simplificar expresiones usando el producto a una propiedad de potencia

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad Producto a potencia.

  1. (5a)2
  2. (7x)2
  3. (−6 m)3
  4. (−9n)3
  5. (4rs)2
  6. (5ab)3
  7. (4xyz)4
  8. (−5abc)3

Simplifique las expresiones aplicando varias propiedades

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión.

  1. (X2)4 • (X3)2
  2. (y4)3 • (y5)2
  3. (a2)6 • (a3)8
  4. (B7)5 • (B2)6
  5. (3 veces)2(5 veces)
  6. (2 años)3 (6 años)
  7. (5a)2(2a)3
  8. (4b)2(3b)3
  9. (2m6)3
  10. (3 años2)4
  11. (10 veces2y)3
  12. (2mn4)5
  13. (−2a3B2)4
  14. (−10u2v4)3
  15. ( left ( dfrac {2} {3} x ^ {2} y right) ^ {3} )
  16. ( left ( dfrac {7} {9} p q ^ {4} right) ^ {2} )
  17. (8a3)2(2a)4
  18. (5r2)3(3r)2
  19. (10p4)3(5p6)2
  20. (4 veces3)3(2x5)4
  21. ( left ( dfrac {1} {2} x ^ {2} y ^ {3} right) ^ {4} ) (4x5y3)2
  22. ( left ( dfrac {1} {3} m ^ {3} n ^ {2} right) ^ {4} ) (9m8norte3)2
  23. (3m2norte)2(2mn5)4
  24. (2pq4)3(5p6q)2

Multiplicar monomios

En los siguientes ejercicios, multiplica los siguientes monomios.

  1. (12 veces2) (- 5 veces4)
  2. (−10 años3) (7 años2)
  3. (−8u6) (- 9u)
  4. (−6c4) (- 12c)
  5. ( left ( dfrac {1} {5} r ^ {8} right) ) (20r3)
  6. ( left ( dfrac {1} {4} a ^ {5} right) ) (36a2)
  7. (4a3b) (9a2B6)
  8. (6m4norte3) (7 millones5)
  9. ( left ( dfrac {4} {7} x y ^ {2} right) ) (14xy3)
  10. ( left ( dfrac {5} {8} u ^ {3} v right) ^ {3} ) (24u5v)
  11. ( left ( dfrac {2} {3} x ^ {2} y right) left ( dfrac {3} {4} x y ^ {2} right) )
  12. ( left ( dfrac {3} {5} m ^ {3} n ^ {2} right) left ( dfrac {5} {9} m ^ {2} n ^ {3} right) )

Matemáticas cotidianas

  1. Correo electrónico Janet envía por correo electrónico un chiste a seis de sus amigos y les dice que se lo reenvíen a seis de sus amigos, que lo reenvíen a seis de sus amigos, etc. La cantidad de personas que reciben el correo electrónico en la segunda ronda es 62, en la tercera ronda son 63, como se muestra en la tabla. ¿Cuántas personas recibirán el correo electrónico en la octava ronda? Simplifique la expresión para mostrar la cantidad de personas que reciben el correo electrónico.
RedondoNúmero de personas
16
262
363
8?
  1. Salario El jefe de Raúl le da un aumento del 5% cada año en su cumpleaños. Esto significa que cada año, el salario de Raúl es 1.05 veces el salario del año pasado. Si su salario original era de $ 40 000, su salario después de 1 año era de $ 40 000 (1,05), después de 2 años era de $ 40 000 (1,05)2, después de 3 años fue de $ 40,000 (1.05)3, como se muestra en la tabla siguiente. ¿Cuál será el salario de Raúl después de 10 años? Simplifique la expresión para mostrar el salario de Raúl en dólares.
AñoSalario
1$40,000(1.05)
2$40,000(1.05)2
3$40,000(1.05)3
10?

Ejercicios de escritura

  1. Usa la propiedad del producto para exponentes para explicar por qué x • x = x2.
  2. Explica por qué −53 = (−5)3 pero −54 ≠ (−5)4.
  3. Jorge piensa que ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {2} ) es 1. ¿Qué hay de malo en su razonamiento?
  4. Explica por qué x3 • X5 es x8, y no x15.

Autochequeo

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?


Ver el vídeo: Propiedades de la multiplicación de números enteros, curso de números enteros (Septiembre 2021).