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4.13: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 2) - Matemáticas


Resolver ecuaciones con un coeficiente de fracción

Cuando tenemos una ecuación con un coeficiente de fracción, podemos usar la propiedad de igualdad de la multiplicación para hacer que el coeficiente sea igual a (1 ). Por ejemplo, en la ecuación:

[ dfrac {3} {4} x = 24 nonumber ]

El coeficiente de (x ) es ( dfrac {3} {4} ). Para resolver (x ), necesitamos que su coeficiente sea (1 ). Dado que el producto de un número y su recíproco es (1 ), nuestra estrategia aquí será aislar (x ) multiplicando por el recíproco de ( dfrac {3} {4} ). Haremos esto en Example ( PageIndex {1} ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): resolver

Resuelve: ( dfrac {3} {4} x = 24 ).

Solución

Multiplica ambos lados por el recíproco del coeficiente. ( textcolor {rojo} { dfrac {4} {3}} cdot dfrac {3} {4} x = textcolor {rojo} { dfrac {4} {3}} cdot 24 )
Simplificar. (1x = dfrac {4} {3} cdot dfrac {24} {1} )
Multiplicar. (x = 32 )

Cheque:

Sustituye x = 32. ( dfrac {3} {4} cdot 32 stackrel {?} {=} 24 )
Reescribe 32 como una fracción. ( dfrac {3} {4} cdot dfrac {32} {1} stackrel {?} {=} 24 )
Multiplicar. La ecuación es verdadera. (24 = 24 ; marca de verificación )

Observe que en la ecuación ( dfrac {3} {4} x = 24 ), podríamos haber dividido ambos lados por ( dfrac {3} {4} ) para obtener (x ) por sí mismo. Dividir es lo mismo que multiplicar por el recíproco, por lo que obtendríamos el mismo resultado. Pero la mayoría de la gente está de acuerdo en que multiplicar por recíproco es más fácil.

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Resuelve: ( dfrac {2} {5} n = 14 ).

Respuesta

(35)

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Resuelve: ( dfrac {5} {6} y = 15 ).

Respuesta

(18)

Ejemplo ( PageIndex {9} ): resolver

Resuelve: (- dfrac {3} {8} w = 72 ).

Solución

El coeficiente es una fracción negativa. Recuerda que un número y su recíproco tienen el mismo signo, por lo que el recíproco del coeficiente también debe ser negativo.

Multiplica ambos lados por el recíproco de (- dfrac {3} {8} ). ( textcolor {rojo} {- dfrac {8} {3}} left (- dfrac {3} {8} w right) = left ( textcolor {rojo} {- dfrac {8} {3}} derecha) 72 )
Simplificar; los recíprocos se multiplican por uno. (1w = - dfrac {8} {3} cdot dfrac {72} {1} )
Multiplicar. (w = -192 )

Cheque:

Sea w = −192. (- dfrac {3} {8} (-192) stackrel {?} {=} 72 )
Multiplicar. Comprueba. (72 = 72 ; marca de verificación )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Resuelve: (- dfrac {4} {7} a = 52 ).

Respuesta

(-91)

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Resuelve: (- dfrac {7} {9} w = 84 ).

Respuesta

(-108)

Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

Ahora hemos cubierto las cuatro propiedades de la igualdad: resta, suma, división y multiplicación. Los enumeraremos todos juntos aquí para facilitar la referencia.

Tabla ( PageIndex {2} )
Propiedad de la resta de la igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a - c = b - c.Propiedad de suma de la igualdad: Para cualquier número real a, b y c, si a = b, entonces a + c = b + c.
Propiedad de la división de la igualdad: Para cualquier número a, byc, donde c ≠ 0 si a = b, entonces ( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {c} ).Propiedad multiplicativa de la igualdad: Para cualquier número real a, byc si a = b, entonces ac = bc.

Cuando sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, todavía tienes igualdad. En los siguientes ejemplos, traduciremos oraciones en ecuaciones y luego resolveremos las ecuaciones. Puede resultar útil revisar la tabla de traducción en Evaluar, simplificar y traducir expresiones.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): resolver

Traducir y resolver: (n ) dividido por (6 ) es (- 24 ).

Solución

Traducir.
Multiplica ambos lados por 6. ( textcolor {rojo} {6} cdot dfrac {n} {6} = textcolor {rojo} {6} (-24) )
Simplificar. (n = -144 )
Cheque:¿Es −144 dividido por 6 igual a −24?
Traducir. ( dfrac {-144} {6} stackrel {?} {=} -24 )
Simplificar. Comprueba. (- 24 = -24 ; marca de verificación )

Ejercicio ( PageIndex {19} )

Traducir y resolver: (n ) dividido por (7 ) es igual a (- 21 ).

Respuesta

( dfrac {n} {7} = -21 ); (n = -147 )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Traducir y resolver: (n ) dividido por (8 ) es igual a (- 56 ).

Respuesta

( dfrac {n} {8} = -56 ); (n = -448 )

Ejemplo ( PageIndex {11} ): resolver

Traducir y resolver: El cociente de (q ) y (- 5 ) es (70 ).

Solución

Traducir.
Multiplica ambos lados por −5. ( textcolor {rojo} {- 5} left ( dfrac {q} {- 5} right) = textcolor {rojo} {- 5} (70) )
Simplificar. (q = -350 )
Cheque:¿Es el cociente de −350 y −5 igual a 70?
Traducir. ( dfrac {-350} {- 5} stackrel {?} {=} 70 )
Simplificar. Comprueba. (70 = 70 ; marca de verificación )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Traducir y resolver: El cociente de (q ) y (- 8 ) es (72 ).

Respuesta

( dfrac {q} {- 8} = 72 ); (q = -576 )

Ejercicio ( PageIndex {22} )

Traducir y resolver: El cociente de (p ) y (- 9 ) es (81 ).

Respuesta

( dfrac {p} {- 9} = 81 ); (p = -729 )

Ejemplo ( PageIndex {12} ): resolver

Traducir y resolver: dos tercios de (f ) es (18 ).

Solución

Traducir.
Multiplica ambos lados por ( dfrac {3} {2} ). ( textcolor {rojo} { dfrac {3} {2}} cdot dfrac {2} {3} f = textcolor {rojo} { dfrac {3} {2}} cdot 18 )
Simplificar. (f = 27 )
Cheque:¿Son dos tercios de 27 iguales a 18?
Traducir. ( dfrac {2} {3} (27) stackrel {?} {=} 18 )
Simplificar. Comprueba. (18 = 18 ; marca de verificación )

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Traducir y resolver: dos quintos de (f ) es (16 ).

Respuesta

( dfrac {2} {5} f = 16 ); (f = 40 )

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Traducir y resolver: tres cuartos de (f ) es (21 ).

Respuesta

( dfrac {3} {4} f = 21 ); (f = 28 )

Ejemplo ( PageIndex {13} ): resolver

Traducir y resolver: El cociente de (m ) y ( dfrac {5} {6} ) es ( dfrac {3} {4} ).

Solución

Traducir. ( dfrac {m} { dfrac {5} {6}} = dfrac {3} {4} )
Multiplica ambos lados por (frac {5} {6} ) para aislar m. ( dfrac {5} {6} left ( dfrac {m} { dfrac {5} {6}} right) = dfrac {5} {6} left ( dfrac {3} {4 }derecho) )
Simplificar. (m = dfrac {5 cdot 3} {6 cdot 4} )
Elimina factores comunes y multiplica. (m = dfrac {5} {8} )

Cheque:

¿Es el cociente de ( dfrac {5} {8} ) y ( dfrac {5} {6} ) igual a ( dfrac {3} {4} )? ( dfrac { dfrac {5} {8}} { dfrac {5} {6}} stackrel {?} {=} dfrac {3} {4} )
Reescribe como división. ( dfrac {5} {8} div dfrac {5} {6} stackrel {?} {=} dfrac {3} {4} )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. ( dfrac {5} {8} cdot dfrac {6} {5} stackrel {?} {=} dfrac {3} {4} )
Simplificar. ( dfrac {3} {4} = dfrac {3} {4} ; marca de verificación )

Nuestra solución comprueba.

Ejercicio ( PageIndex {25} )

Traduce y resuelve. El cociente de (n ) y ( dfrac {2} {3} ) es ( dfrac {5} {12} ).

Respuesta

( dfrac {n} { dfrac {2} {3}} = dfrac {5} {12} ); (n = dfrac {5} {18} )

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Traduce y resuelve. El cociente de (c ) y ( dfrac {3} {8} ) es ( dfrac {4} {9} ).

Respuesta

( dfrac {c} { dfrac {3} {8}} = dfrac {4} {9} ); (c = dfrac {1} {6} )

Ejemplo ( PageIndex {14} ): resolver

Traducir y resolver: La suma de tres octavos y (x ) es tres y medio.

Solución

Traducir.
Usa la propiedad de igualdad de la resta para restar ( dfrac {3} {8} ) de ambos lados. ( dfrac {3} {8} + x - dfrac {3} {8} = 3 dfrac {1} {2} - dfrac {3} {8} )
Combina los términos semejantes en el lado izquierdo. (x = 3 dfrac {1} {2} - dfrac {3} {8} )
Convierte un número mixto en una fracción impropia. (x = 3 dfrac {1} {2} - dfrac {3} {8} )
Convierta a fracciones equivalentes con LCD de 8. (x = dfrac {7} {2} - dfrac {3} {8} )
Sustraer. (x = dfrac {25} {8} )
Escribe como un número mixto. (x = 3 dfrac {1} {8} )

Escribimos la respuesta como un número mixto porque el problema original usó un número mixto. Verificar: ¿Es la suma de tres octavos y (3 dfrac {1} {8} ) igual a tres y medio?

Agregar. (3 dfrac {4} {8} stackrel {?} {=} 3 dfrac {1} {2} )
Simplificar. (3 dfrac {1} {2} = 3 dfrac {1} {2} )

La solución se comprueba.

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Traducir y resolver: la suma de cinco octavos y (x ) es un cuarto.

Respuesta

( dfrac {5} {8} + x = dfrac {1} {4} ); (x = - dfrac {3} {8} )

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Traducir y resolver: la diferencia de uno y tres cuartos y (x ) es cinco sextos.

Respuesta

(1 dfrac {3} {4} - x = dfrac {5} {6} ); (x = dfrac {11} {12} )

La práctica hace la perfección

Determinar si una fracción es una solución de una ecuación

En los siguientes ejercicios, determina si cada número es una solución de la ecuación dada.

  1. x - ( dfrac {2} {5} ) = ( dfrac {1} {10} ):
    1. x = 1
    2. x = ( dfrac {1} {2} )
    3. x = (- dfrac {1} {2} )
  2. y - ( dfrac {1} {2} ) = ( dfrac {5} {12} ):
    1. y = 1
    2. y = ( dfrac {3} {4} )
    3. y = (- dfrac {3} {4} )
  3. h + ( dfrac {3} {4} ) = ( dfrac {2} {5} ):
    1. h = 1
    2. h = ( dfrac {7} {20} )
    3. h = (- dfrac {7} {20} )
  4. k + ( dfrac {2} {5} ) = ( dfrac {5} {6} ):
    1. k = 1
    2. k = ( dfrac {13} {30} )
    3. k = (- dfrac {13} {30} )

Resolver ecuaciones con fracciones usando las propiedades de igualdad de suma, resta y división

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. y + ( dfrac {1} {3} ) = ( dfrac {4} {3} )
  2. m + ( dfrac {3} {8} ) = ( dfrac {7} {8} )
  3. f + ( dfrac {9} {10} ) = ( dfrac {2} {5} )
  4. h + ( dfrac {5} {6} ) = ( dfrac {1} {6} )
  5. a - ( dfrac {5} {8} ) = (- dfrac {7} {8} )
  6. c - ( dfrac {1} {4} ) = (- dfrac {5} {4} )
  7. x - ( izquierda (- dfrac {3} {20} derecha) ) = (- dfrac {11} {20} )
  8. z - ( izquierda (- dfrac {5} {12} derecha) ) = (- dfrac {7} {12} )
  9. n - ( dfrac {1} {6} ) = ( dfrac {3} {4} )
  10. p - ( dfrac {3} {10} ) = ( dfrac {5} {8} )
  11. s + ( izquierda (- dfrac {1} {2} derecha) ) = (- dfrac {8} {9} )
  12. k + ( left (- dfrac {1} {3} right) ) = (- dfrac {4} {5} )
  13. 5j = 17
  14. 7k = 18
  15. −4w = 26
  16. −9v = 33

Resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad de igualdad de la multiplicación

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. ( dfrac {f} {4} ) = −20
  2. ( dfrac {b} {3} ) = −9
  3. ( dfrac {y} {7} ) = −21
  4. ( dfrac {x} {8} ) = −32
  5. ( dfrac {p} {- 5} ) = −40
  6. ( dfrac {q} {- 4} ) = −40
  7. ( dfrac {r} {- 12} ) = −6
  8. ( dfrac {s} {- 15} ) = −3
  9. −x = 23
  10. −y = 42
  11. −h = (- dfrac {5} {12} )
  12. −k = (- dfrac {17} {20} )
  13. ( dfrac {4} {5} ) n = 20
  14. ( dfrac {3} {10} ) p = 30
  15. ( dfrac {3} {8} ) q = −48
  16. ( dfrac {5} {2} ) m = −40
  17. (- dfrac {2} {9} ) a = 16
  18. (- dfrac {3} {7} ) b = 9
  19. (- dfrac {6} {11} ) u = −24
  20. (- dfrac {5} {12} ) v = −15

Práctica Mixta

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. 3x = 0
  2. 8y = 0
  3. 4f = ( dfrac {4} {5} )
  4. 7g = ( dfrac {7} {9} )
  5. p + ( dfrac {2} {3} ) = ( dfrac {1} {12} )
  6. q + ( dfrac {5} {6} ) = ( dfrac {1} {12} )
  7. ( dfrac {7} {8} ) m = ( dfrac {1} {10} )
  8. ( dfrac {1} {4} ) n = ( dfrac {7} {10} )
  9. (- dfrac {2} {5} ) = x + ( dfrac {3} {4} )
  10. (- dfrac {2} {3} ) = y + ( dfrac {3} {8} )
  11. ( dfrac {11} {20} ) = −f
  12. ( dfrac {8} {15} ) = −d

Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

En los siguientes ejercicios, traduzca a una ecuación algebraica y resuelva.

  1. n dividido por ocho es −16.
  2. n dividido por seis es −24.
  3. m dividido por −9 es −7.
  4. m dividido por −7 es −8.
  5. El cociente de f y −3 es −18.
  6. El cociente de f y −4 es −20.
  7. El cociente de gy doce es 8.
  8. El cociente de gy nueve es 14.
  9. Tres cuartos de q son 12.
  10. Dos quintos de q son 20.
  11. Siete décimas de p es −63.
  12. Cuatro novenos de p es −28.
  13. m dividido por 4 es igual a menos 6.
  14. El cociente de hy 2 es 43.
  15. Tres cuartos de z es lo mismo que 15.
  16. El cociente de ay ( dfrac {2} {3} ) es ( dfrac {3} {4} ).
  17. La suma de cinco sextos y x es ( dfrac {1} {2} ).
  18. La suma de tres cuartos y x es ( dfrac {1} {8} ).
  19. La diferencia de y y un cuarto es (- dfrac {1} {8} ).
  20. La diferencia de y y un tercio es (- dfrac {1} {6} ).

Matemáticas cotidianas

  1. Compras Teresa compró un par de zapatos en oferta por $ 48. El precio de venta fue ( dfrac {2} {3} ) del precio regular. Encuentra el precio regular de los zapatos resolviendo la ecuación ( dfrac {2} {3} ) p = 48
  2. Teatro La mesa en la casa de juegos para niños es ( dfrac {3} {5} ) de una mesa para adultos. La mesa de la casa de juegos tiene 18 pulgadas de alto. Encuentra la altura de una mesa de tamaño adulto resolviendo la ecuación ( dfrac {3} {5} ) h = 18.

Ejercicios de escritura

  1. El ejemplo 4.100 describe tres métodos para resolver la ecuación −y = 15. ¿Qué método prefiere? ¿Por qué?
  2. Richard piensa que la solución de la ecuación ( dfrac {3} {4} ) x = 24 es 16. Explica por qué Richard está equivocado.

Autochequeo

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?


Números enteros y propiedades

Enteros y evaluación de expresiones

  • 16 reglas de divisibilidad
  • 17 factores y primas
  • 18 Factorización prima
  • 19 Múltiplos y mínimo común múltiplo
  • 20 Máximo común divisor
  • 21 Introducción a las fracciones
  • 22 fracciones equivalentes (parte I)
  • 23 Reducción de fracciones a los términos más bajos
  • 24 fracciones equivalentes (parte II)
  • 25 fracciones impropias y números mixtos
  • 26 Comparación de fracciones propias
  • 27 Problemas verbales de comparación de fracciones
  • 28 Sumar y restar fracciones semejantes
  • 29 Sumar y restar fracciones diferentes
  • 30 Sumar números mixtos
  • 31 Restar números mixtos
  • 32 multiplicar fracciones
  • 33 Multiplicar números mixtos
  • 34 División de fracciones
  • 35 División de números mixtos
  • 36 Sumar y restar fracciones
  • 37 Multiplicar y dividir fracciones
  • 38 Entender los decimales
  • 39 Convertir decimales a fracciones
  • 40 Convertir fracciones a decimales
  • 41 Comparar decimales
  • 42 redondear decimales
  • 43 Estimación de sumas y diferencias de decimales
  • 44 Problemas verbales de sumar y restar decimales
  • 45 Problemas verbales de multiplicación y división de decimales
  • 46 Potencias de 10
  • 47 Conversión de notación científica a notación estándar
  • 48 Conversión de notación estándar a científica
  • 49 Terminación y repetición de decimales
  • 50 Determinar si un número es racional o irracional

Simplificar expresiones y resolver ecuaciones

  • 51 Combinación de términos semejantes
  • 52 Propiedad distributiva
  • 53 Propiedad distributiva y combinación de términos semejantes
  • 54 Ecuaciones de un paso
  • 55 Ecuaciones de dos pasos
  • 56 ecuaciones con fracciones
  • 57 Ecuaciones que involucran distributiva
  • 58 ecuaciones con variable en ambos lados
  • 59 Ecuaciones con variable en ambos lados y fracciones
  • 60 ecuaciones con variable en ambos lados y distributiva
  • 61 ecuaciones con decimales
  • 62 ecuaciones con decimales y soluciones decimales
  • 63 ecuaciones con soluciones de fracciones
  • 64 ecuaciones literales
  • 65 ecuaciones literales avanzadas

Razón, proporción y porcentaje

  • 66 Introducción a las razones
  • 67 Relaciones iguales
  • 68 Tasa unitaria
  • 69 Introducción a la proporción
  • 70 Resolver proporciones
  • 71 Problemas de palabras de proporciones
  • 72 Entender los porcentajes
  • 73 fracciones y porcentajes
  • 74 decimales y porcentajes
  • 75 por ciento de problemas de palabras
  • 76% de aumento o disminución
  • 77 Descuento
  • 78 Impuesto sobre las ventas
  • 79 Interés

Desigualdades y valor absoluto

Gráficos y transformaciones

Ecuaciones y funciones lineales

  • 106 Reconocimiento de patrones
  • 107 Problemas verbales y construcción de mesas
  • 108 Pendiente como tasa de cambio
  • 109 Pendiente de una línea
  • 110 Uso de la pendiente para representar gráficamente una línea
  • 111 Fórmula de pendiente
  • 112 Forma pendiente-intersección
  • 113 Conversión a forma de pendiente-intersección y representación gráfica
  • 114 Interpretación de gráficos
  • 115 Gráfico principal lineal y transformaciones
  • 116 Escribir ecuaciones de líneas
  • 117 Escribir ecuaciones de rectas usando tablas
  • 118 Variación directa
  • 119 Aplicaciones de variación directa y funciones lineales
  • 120 Escribir ecuaciones de rectas en forma estándar
  • 121 Escribir ecuaciones de rectas usando la fórmula punto-pendiente
  • 122 Escribir ecuaciones de rectas dados dos puntos
  • 123 Escribir ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares

Sistemas de ecuaciones lineales

Exponentes y polinomios

  • 136 Máximo Común Divisor
  • 137 Factorizar el máximo común denominador
  • 138 Factorizar trinomios con constantes positivas
  • 139 Factorizar trinomios con constantes negativas
  • 140 Diferencia de dos cuadrados
  • 141 Factorizar trinomios con coeficientes de adelanto y constantes positivas
  • 142 Factorizar trinomios con coeficientes de adelanto y constantes negativas
  • 143 Factorizar completamente
  • 144 Factorizar por agrupación
  • 145 Ecuaciones polinomiales iniciales
  • 146 Ecuaciones polinomiales intermedias

Expresiones y ecuaciones racionales

Expresiones y ecuaciones radicales

Números imaginarios y complejos

Funciones cuadráticas y gráficas

Pares de ángulos y rectas perpendiculares

Polígonos y líneas paralelas

  • 228 Conversiones de unidades habituales
  • 229 Conversiones de unidades métricas
  • 230 unidades de medida
  • 231 Área de rectángulos y cuadrados
  • 232 Área avanzada de rectángulos y cuadrados
  • 233 Área de paralelogramos
  • 234 Área de triángulos
  • 235 Área de rombos
  • 236 Área de trapezoides
  • 237 Área de polígonos regulares
  • 238 Área y circunferencia de círculos
  • 247 gráficos de barras
  • 248 gráficos de líneas
  • 249 gráficos circulares
  • 250 Diagramas de tallo y hojas y gráficos de frecuencia
  • 251 Histogramas
  • 252 Diagramas de dispersión y tendencias
  • 253 Rango, mediana y moda
  • 254 parcelas de caja y bigotes
  • 255 Media
  • 256 problemas verbales de tendencia central
  • 257 Probabilidad simple
  • 258 Probabilidad experimental
  • 259 Probabilidad de eventos independientes
  • 260 Probabilidad de eventos dependientes
  • 261 Simulaciones
  • 262 Diagramas de árbol y el principio de conteo
  • 263 permutaciones
  • 264 combinaciones

Exponentes negativos y racionales

Funciones compuestas e inversas

Logaritmos y funciones exponenciales

  • 280 Evaluación de logaritmos y forma logarítmica frente a forma exponencial
  • 281 Resolver ecuaciones logarítmicas
  • 282 Propiedades y reglas de logaritmos
  • 283 Evaluación de logaritmos por condensación o expansión
  • 284 Resolver ecuaciones logarítmicas avanzadas
  • 285 Problemas con la calculadora de logaritmos
  • 286 Ecuaciones exponenciales y fórmula de cambio de base
  • 287 Crecimiento exponencial y decadencia
  • 288 Fórmulas de vida media y tiempo de duplicación
  • 289 Logaritmos naturales
  • 290 Resolver ecuaciones en logaritmos naturales con ln y e

4.13: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 2) - Matemáticas

Esta unidad se enfocará en comprender y reconocer el comportamiento de las diferentes familias de funciones, su dominio y rango, y qué cambia cuando se combinan las funciones. Los temas que estaremos discutiendo son:

6. Fracciones parciales y otras funciones racionales

7. Funciones y ecuaciones de valor absoluto

9. Clasificación de funciones según su mapeo

10. Clasificación de funciones según su paridad

11. Operaciones con funciones

13. Transformaciones de funciones

14. Propiedades de los exponentes

15. Funciones y ecuaciones exponenciales

16. Propiedades de los logaritmos

17. Funciones y ecuaciones logarítmicas

18. Funciones trigonométricas

19. Aplicaciones y modelado

En esta lección aprenderá: (Por lo general, se asume que se conoce como NS)

- los conceptos de dominio y rango.

- cómo distinguir una función de una relación utilizando la prueba de la línea vertical.

- Identificar las gráficas, comportamiento final, dominio y rango de funciones lineales.

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos HL de Oxford, páginas 72 - 85

- Ver: lecciones en video de la parte I sobre dominio y rango.

- Ver: Lección en video parte II sobre la prueba de línea vertical

- Investigación: Trabaje en esta investigación con respecto a la función lineal. Soluciones

- Si tiene alguna pregunta en algún momento, hágala en este momento.

- parte III sobre funciones lineales y cuadráticas

Tarea: Cree una cuenta gratuita en inThinking en el enlace del curso Matemáticas AA HL. Vaya a MAA, luego funciones, luego Ecuación de una línea recta y haga las dos pruebas y las cuatro ESQ.

En esta lección aprenderá: (Por lo general, se asume que se conoce como NS)

- comprender la diferencia entre gráfico y boceto.

- para identificar características importantes en la gráfica de una función, como intersecciones en x, intersecciones en y, máximos, mínimos y asíntotas.

- identificar los gráficos, comportamiento final, dominio y rango de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, racionales, radicales y trigonométricas

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos HL de Oxford, páginas 72 - 85

- parte III sobre funciones lineales y cuadráticas

- Investigación: Trabaja en esta investigación con respecto a las gráficas de funciones y la función cuadrática.

- Enviar: Mire la imagen de la Investigación 5, en la página 83. Úsela como inspiración para crear su propio personaje original. Utilice Geogebra o Desmos para crear su propio personaje, jugando con cuadráticas y líneas. Envíe su foto aquí.

- Si tiene alguna pregunta en algún momento, hágala en este momento.

Mensaje de la tarea 3: análisis de las tasas de disminución y aumento de la población de varias especies en peligro de extinción ¿Cuánto tiempo llevará recuperarlos a niveles saludables?

Tarea 4: Elija su propio tema.

Termina los ejercicios sobre funciones cuadráticas.

En esta lección aprenderá:

- determinar el dominio y rango de funciones racionales y radicales.

- encontrar las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales.

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos HL de Oxford, páginas 86 - 90.

- Ver: Video lecciones parte I, parte II, Ejemplos (opcional) parte III.

- Hacer: Análisis y enfoques matemáticos HL de Oxford, Ejercicio 2C (página 89) y Ejercicio 2D (página 90).

3 funciones racionales. ¿Como hiciste?

En esta lección aprenderá:

- determinar el dominio y rango de funciones racionales y radicales.

- interpretar y graficar funciones por partes de forma manual y utilizando tecnología.

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos HL de Oxford, páginas 86 - 90.

- Verificación de tareas: última lección se le pidió que completara las preguntas sobre la aplicación de funciones racionales. ¿Como hiciste? Vea las soluciones aquí.

- Funciones de investigación por partes. Tendrá solo una lección para completar esta investigación.

En esta lección aprenderá:

- clasificar funciones según su mapeo. (Parte I)

- clasificar funciones según su paridad. (Parte II)

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford páginas 102 - 108.

- Hacer: Análisis y enfoques de las matemáticas de Oxford, ejercicio 2K, página 105.

- Hacer: Análisis y enfoques de las matemáticas de Oxford, ejercicio 2L, página 108.

- Enviar: Considere la información que ha aprendido hasta este punto sobre las funciones. Envíe las respuestas a los ejercicios incluidos en el siguiente formulario.

En esta lección aprenderá:

- cómo sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. (Parte I)

- identificar el dominio y rango de funciones resultantes. (Parte I)

- hacer la composición de funciones (Parte II)

- identificar el dominio y rango de una composición. (Parte II)

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford páginas 108-111.

- Ver: lecciones en video Parte I, Parte II, Parte III (ejemplos 1, 2), Parte IV (Ejemplos 3, 4, 5)

- Hacer: Análisis y enfoques de las matemáticas de Oxford, ejercicio 2M, página 111.

- Hacer: Escriba un comentario en el flujo de esta lección dando su propio ejemplo de una función que es la composición de tres funciones, f (g (h (x))) y establezca las funciones individuales f, g y h. (ejemplo: f (g (h (x))) = 1- (x + 1) ^ 2, donde f (x) = 1-x, g (x) = x ^ 2 y h (x) = x +1)

En esta lección aprenderá:

- El concepto de función identidad. (Parte II)

- el concepto de función inversa y cómo encontrarlos. (Parte I)

- el concepto de sí mismo inverso. (Parte II)

- cómo encontrar el dominio y rango de funciones inversas. (Parte III)

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford páginas 112-116.

- Hacer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford, ejercicio 2N, página 116.

- Enviar: Envíe las respuestas a los ejercicios incluidos en el siguiente formulario.

En esta lección aprenderá:

- transformar funciones mediante desplazamientos verticales y horizontales. (Parte I)

- transformar funciones usando aumentos. (Parte II)

- transformar funciones usando reflejos. (Parte II)

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford páginas 117-127.

- Hacer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford, ejercicio 2O, página 118, preguntas 3, 5 y 6.

- Hacer: Análisis y enfoques de las matemáticas de Oxford, ejercicio 2P, página 120, pregunta 2.

- Hacer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford, ejercicio 2Q, página 126, preguntas 1 y 3.

- Hacer: ¡juega este kahoot! (El enlace vence el 15 de mayo) PIN del juego: 05886179

Esta es una lección de práctica. En esta lección, continuará aprendiendo:

- Cómo graficar funciones con múltiples transformaciones

- Cómo escribir la ecuación de una función sometida a múltiples transformaciones

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford páginas 127 - 139.

- Ver: Lecciones en video Parte I (Más ejemplos).

- Hacer: Análisis y enfoques matemáticos de Oxford, ejercicio 2R, página 134, pregunta 2.

- Hacer: Análisis y enfoques de las matemáticas de Oxford, ejercicio 2S, página 139.

- Enviar: Envíe las respuestas a los ejercicios incluidos en el siguiente formulario.

Para esta lección, debe repasar de antemano:

- Propiedades de los exponentes (video de bonificación)

En esta lección aprenderá:

- Cómo resolver ecuaciones con exponenciales algebraicamente. (Parte I)

- Cómo resolver ecuaciones con exponenciales utilizando tecnología. (Parte II)

- Gráficas de funciones exponenciales. (Parte I)

- Leer: Análisis y enfoques de las matemáticas HL de Oxford, páginas 460 - 464

- Leer: Análisis y enfoques matemáticos HL de Oxford, páginas 473 - 475 (476 * Lea solo hasta el cuadro de información amarillo y recomiende hacer la investigación 11 (para comprender el número e), no necesita preocuparse por el texto que sigue este recuadro todavía Y la investigación 12 pregunta 6.)

- Ver: lecciones en video parte I, parte II, bonificación (opcional, ver primero)

- Hacer: Análisis y enfoques de las matemáticas HL de Oxford, ejercicio 7C preguntas 2, 6, 8, página 464.
-Do: Análisis y enfoques matemáticos HL de Oxford, ejercicio 7E preguntas 3, 4, 5, páginas 481-482.

- Hacer: Responder a la pregunta en el aula de la lección correspondiente 19.


Unidad: Manipular y calcular con fracciones

En esta lección veremos lo que sucede cuando multiplicamos una fracción unitaria por un número entero.

Multiplicar fracciones no unitarias con números enteros

En esta lección veremos lo que sucede cuando multiplicamos una fracción no unitaria por un número entero.

Usar modelos de área para multiplicar fracciones

En esta lección veremos cómo podemos usar modelos de área para multiplicar fracciones.

Aplicar decimales y porcentajes a la multiplicación de áreas

En esta lección veremos cómo podemos usar modelos de área para multiplicar decimales

Dividir una fracción por un número entero

En esta lección veremos métodos para dividir una fracción por un número entero.

Modelar fracciones por división (Parte 1)

En esta lección veremos cómo podemos crear un modelo que nos ayude a dividir fracciones.

Modelar fracciones por división (Parte 2)

En esta lección desarrollaremos nuestros modelos para dividir fracciones para buscar patrones y resolver problemas más difíciles.

División de fracciones en contextos mixtos

En esta lección veremos diferentes contextos para dividir fracciones

Sumar y restar fracciones (Parte 1)

En esta lección presentamos el concepto de sumar y restar fracciones.

Sumar y restar fracciones (Parte 2)

En esta lección comenzamos a desarrollar nuestra comprensión de sumar y restar fracciones.

Sumar y restar fracciones (Parte 3)

En esta lección, veremos cómo sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.

Fracciones y distributividad

En esta lección veremos cómo podemos usar las leyes de distribución para resolver problemas con fracciones.


Contenido

La primera parte del papiro de Rhind consta de tablas de referencia y una colección de 21 problemas aritméticos y 20 algebraicos. Los problemas comienzan con expresiones fraccionarias simples, seguidas de la finalización (sekem) problemas y ecuaciones lineales más complicadas (ajá problemas). [3]

A esta tabla le sigue una tabla diminuta mucho más pequeña de expresiones fraccionarias para los números del 1 al 9 divididos por 10. Por ejemplo, la división de 7 entre 10 se registra como:

7 dividido por 10 produce 2/3 + 1/30

Después de estas dos tablas, el papiro registra 91 problemas en total, que los modernos han designado como problemas (o números) 1-87, incluidos otros cuatro elementos que han sido designados como problemas 7B, 59B, 61B y 82B. Los problemas 1 a 7, 7B y 8 a 40 están relacionados con la aritmética y el álgebra elemental.

Los problemas 1 a 6 calculan las divisiones de un cierto número de barras de pan entre 10 hombres y registran el resultado en fracciones unitarias. Los problemas 7–20 muestran cómo multiplicar las expresiones 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 y 1 + 2/3 + 1/3 = 2 por diferentes fracciones. Los problemas 21 a 23 son problemas de terminación, que en notación moderna son simplemente problemas de resta. Los problemas 24 a 34 son problemas ‘‘ ajá ’; son ecuaciones lineales. El problema 32, por ejemplo, corresponde (en notación moderna) a resolver x + 1/3 x + 1/4 x = 2 para x. Los problemas 35 a 38 involucran divisiones del heqat, que es una unidad de volumen del antiguo Egipto. A partir de este punto, una variedad de unidades de medida se vuelven mucho más importantes a lo largo del resto del papiro y, de hecho, una consideración importante en el resto del papiro es el análisis dimensional. Los problemas 39 y 40 calculan la división de panes y usan progresiones aritméticas. [2]

La segunda parte del papiro de Rhind, que son los problemas 41-59, 59B y 60, consiste en problemas de geometría. Peet se refirió a estos problemas como "problemas de medición". [3]

Volúmenes Editar

Los problemas 41 a 46 muestran cómo hallar el volumen de los graneros tanto cilíndricos como rectangulares. En el problema 41, Ahmes calcula el volumen de un granero cilíndrico. Dado el diámetro dy la altura h, el volumen V viene dado por:

El problema 47 es una tabla con igualdades fraccionarias que representan las diez situaciones en las que la cantidad de volumen físico de "100 heqats cuádruples" se divide por cada uno de los múltiplos de diez, de diez a cien. Los cocientes se expresan en términos de fracciones del ojo de Horus, a veces también utilizando una unidad de volumen mucho más pequeña conocida como "ro cuádruple". El cuádruple heqat y el cuádruple ro son unidades de volumen derivadas de los más simples heqat y ro, de manera que estas cuatro unidades de volumen satisfacen las siguientes relaciones: 1 cuádruple heqat = 4 heqat = 1280 ro = 320 cuádruple ro. Por lo tanto,

100/10 cuádruple heqat = 10 cuádruple heqat 100/20 cuádruple heqat = 5 cuádruple heqat 100/30 cuádruple heqat = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) cuádruple heqat + (1 + 2/3) cuádruple ro 100/40 cuádruple heqat = (2 + 1/2) cuádruple heqat 100/50 cuádruple heqat = 2 cuádruple heqat 100/60 cuádruple heqat = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) cuádruple heqat + ( 3 + 1/3) cuádruple ro 100/70 cuádruple heqat = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) cuádruple heqat + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42 ) cuádruple ro 100/80 cuádruple heqat = (1 + 1/4) cuádruple heqat 100/90 cuádruple heqat = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) cuádruple heqat + (1/2 + 1/18 ) cuádruple ro 100/100 cuádruple heqat = 1 cuádruple heqat [2]

Áreas Editar

Los problemas 48 a 55 muestran cómo calcular una variedad de áreas. El problema 48 es notable porque calcula sucintamente el área de un círculo aproximando π. Específicamente, el problema 48 refuerza explícitamente la convención (usada a lo largo de la sección de geometría) de que "el área de un círculo es igual a la del cuadrado que lo circunscribe en la proporción 64/81". De manera equivalente, el papiro se aproxima a π como 256/81, como ya se señaló anteriormente en la explicación del problema 41.

Otros problemas muestran cómo hallar el área de rectángulos, triángulos y trapezoides.

Pirámides Editar

Los últimos seis problemas están relacionados con las pendientes de las pirámides. Un problema seked es informado por: [8]

Si una pirámide tiene 250 codos de altura y el lado de su base 360 ​​codos de largo, ¿cuál es su seked?"

La solución al problema se da como la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura, o la relación entre el desnivel y el desnivel de su cara. En otras palabras, la cantidad encontrada para el seked es la cotangente del ángulo a la base de la pirámide y su cara. [8]

La tercera parte del papiro de Rhind consta del resto de los 91 problemas, que son 61, 61B, 62-82, 82B, 83-84 y "números" 85-87, que son elementos que no son de naturaleza matemática. Esta sección final contiene tablas de datos más complicadas (que con frecuencia involucran fracciones del ojo de Horus), varias pefsu problemas que son problemas algebraicos elementales relacionados con la preparación de alimentos, e incluso un problema divertido (79) que sugiere progresiones geométricas, series geométricas y ciertos problemas y acertijos posteriores de la historia. El problema 79 cita explícitamente, "siete casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 mazorcas de espelta, 16807 hekats". En particular, el problema 79 se refiere a una situación en la que 7 casas contienen cada una siete gatos, que se comen siete ratones, cada uno de los cuales habría comido siete espigas de grano, cada uno de los cuales habría producido siete medidas de grano. La tercera parte del papiro de Rhind es, por tanto, una especie de mezcla, basada en lo que ya se ha presentado. El problema 61 tiene que ver con las multiplicaciones de fracciones. Mientras tanto, el problema 61B da una expresión general para calcular 2/3 de 1 / n, donde n es impar. En notación moderna, la fórmula dada es

The technique given in 61B is closely related to the derivation of the 2/n table.

Problems 62–68 are general problems of an algebraic nature. Problems 69–78 are all pefsu problems in some form or another. They involve computations regarding the strength of bread and beer, with respect to certain raw materials used in their production. [2]

Problem 79 sums five terms in a geometric progression. Its language is strongly suggestive of the more modern riddle and nursery rhyme "As I was going to St Ives". [3] Problems 80 and 81 compute Horus eye fractions of hinu (or heqats). The last four mathematical items, problems 82, 82B and 83–84, compute the amount of feed necessary for various animals, such as fowl and oxen. [2] However, these problems, especially 84, are plagued by pervasive ambiguity, confusion, and simple inaccuracy.

The final three items on the Rhind papyrus are designated as "numbers" 85–87, as opposed to "problems", and they are scattered widely across the papyrus's back side, or verso. They are, respectively, a small phrase which ends the document (and has a few possibilities for translation, given below), a piece of scrap paper unrelated to the body of the document, used to hold it together (yet containing words and Egyptian fractions which are by now familiar to a reader of the document), and a small historical note which is thought to have been written some time after the completion of the body of the papyrus's writing. This note is thought to describe events during the "Hyksos domination", a period of external interruption in ancient Egyptian society which is closely related with its second intermediary period. With these non-mathematical yet historically and philologically intriguing errata, the papyrus's writing comes to an end.

Much of the Rhind Papyrus' material is concerned with Ancient Egyptian units of measurement and especially the dimensional analysis used to convert between them. A concordance of units of measurement used in the papyrus is given in the image.


4th Grade Common Core Unit 4 Math Test: Fractions Part 2

**This test is also included in a year-long math test bundle that includes 6 unit tests, covering all the 4th grade Common Core Math Standards** here: 4th Grade Math Test Bundle: ALL Common Core Standards-6 Units-Entire Year

This Multiple Choice Unit 4 Math Test is aligned with the Common Core Standards, specifically for the Common Core Georgia Performance Standards in Unit 4. You can download my curriculum map for specific standards per unit for free here: 4th Grade Common Core Curriculum Map

This Test is 30 multiple-choice questions that include word problems and common core vocabulary. Give each student the test at the beginning of the unit as the Pretest and then give it again at the end of the unit as the Posttest. This way you can track each student's growth. Each test is provided with a growth chart so students and parents can visually see their growth.

MCC4.NF.4 Apply and extend previous understandings of multiplication to multiply a fraction by a whole number.

MCC4.NF.5 Express a fraction with denominator 10 as an equivalent fraction with denominator 100, and use this technique to add two fractions with respective denominators 10 and 100. For example, express 3/10 as 30/100, and add 3/10 + 4/100 = 34/1001.

MCC4.NF.6 Use decimal notation for fractions with denominators 10 or 100. For example, rewrite 0.62 as 62/100 describe a length as 0.62 meters locate 0.62 on a number line diagram.


The link below will take you to a video I made on solving quadratic equations. Remember this is used to find the x-intercept. Good luck

Hi year 10 students, the following links will have extra tutorials on the topics we will be covering in week 6 and the end of week 5.

The midpoint of a line segment – using formula

Review of the pythagorean Theorem

Finding the distance between two points

Parallel Lines

Perpendicular Lines


The bar model basics with Dr Yeap Ban Har

Maths mastery expert Dr Yeap Ban Har demonstrates how bar models are taught in Singapore-style maths lessons.

Bar modelling and the CPA approach

The bar model method draws on the the Concrete, Pictorial, Abstract (CPA) approach — an essential maths mastery concept. The process begins with pupils exploring problems via concrete objects. Pupils then progress to drawing pictorial diagrams, and then to abstract algorithms and notations (such as the +, -, x and / symbols).

The example below explains how bar modelling moves from concrete maths models to pictorial representations.

As shown, the bar method is primarily pictorial. Pupils will naturally develop from handling concrete objects, to drawing pictorial representations, to creating abstract rectangles to illustrate a problem. With time and practice, pupils will no longer need to draw individual boxes/units. Instead, they will label one long rectangle/bar with a number. At this stage, the bars will be somewhat proportional. So, in the example above, the purple bar representing 12 cookies is longer than the orange bar representing 8 cookies.

The lasting advantages of bar modelling

On one hand, the Singapore maths model method — bar modelling — provides pupils with a powerful tool for solving word problems. However, the lasting power of bar modelling is that once pupils master the approach, they can easily use bar models year after year across many maths topics. For example, bar modelling is an excellent technique (but not the only one!) for tackling ratio problems, volume problems, fractions, and more.

Importantly, bar modelling leads students down the path towards mathematical fluency and number sense. Maths models using concrete or pictorial rectangles allow pupils to understand complex formulas (for example, algebra) on an intuitive, conceptual level. Instead of simply following the steps of any given formula, students will possess a strong understanding of what is actually happening when applying or working with formulas.

The result? A stable, transferable, and solid mathematical framework for approaching abstract concepts. Combined with other essential maths mastery strategies and concepts, bar modelling sets students up for long-term maths success.


Robert L.

My name is Robert L. I have been in the field of education for almost 20 years. I first started out as a substitute teacher in York County. My first full time job was as a seventh grade teacher at Sanford Junior High School. After my first child was born, I decided to work nights at Sanford Community Adult Education and also part time in the field of special education for Sanford Schools. A couple years later I took a position as an adjunct instructor with Southern Maine.

My name is Robert L. I have been in the field of education for almost 20 years. I first started out as a substitute teacher in York County. My first full time job was as a seventh grade teacher at Sanford Junior High School. After my first child was born, I decided to work nights at Sanford Community Adult Education and also part time in the field of special education for Sanford Schools. A couple years later I took a position as an adjunct instructor with Southern Maine Community College. I now teach at York County Community College as well as Portland High School. I love working with both kids and adults. The main way I try to help students succeed is by working neatly and checking all the work by using opposite operations for basic math and substitution for equations. I try to make sure students know that if they can verify that an answer is correct they can build confidence. I hope to help you out in the same way. Thank You!


Getting to Know Fractions Games

Games are a great way to practice skills and have fun. I believe that so much, I made some fraction cards for you and a few ideas on how to use them. And it’s free. That’s the best price, right?

I included an instruction sheet but I wanted to give you a couple of examples of the games in the Freebie that maybe require a little more instruction than is available on one sheet.

(Scroll to the end of this post to grab the download)

Create a Story Using Fraction Cards:

This game is meant for 2-4 people, varying levels will not hinder play. One player draws a card and starts the story. Let’s say I drew 1/4.

I might start the story with “There once was an evil queen who lived in a tall evil tower. Everyday she gathered her subjects. And every day she required 1/4 of them to give up all of their possessions to her, because she is evil. Soon the villagers were poor and starving until one day…

And then another student draws a card and picks up the story putting their fraction in the story somewhere.

Students learn creativity and get a visual of different kinds of fractions, which is really important later when you want them to solve problems with them.

Also, it’s fun! It’s casual and multiple ages/abilities can contribute. Which makes it perfect for families.

Write down the story as it’s being told and read it at the dinner table. Math and language arts, done.

Create Number Sentences:

Several games involve number sentences. By that I mean this: 1/2 + 1/4 = 3/4.

You can limit the operation (addition only) or open it up to any operation, or even a combination of operations.

In the multiplayer game, players draw 5 cards. Their goal is to create a number sentence. I did not include operation signs.

The rest of the cards are put face down in a pile (like Go Fish). These are the mystery cards. Each player takes turns. On their turn a player can:

A. Discard a card and draw a new one (either a mystery card or one someone else has discarded).

B. Lay down a finished number sentence. When a player puts down a number sentence, they read it out loud and get approval from the group, proving it with paper or objects if necessary. The player then draws as many cards as they laid down and play resumes with the next player. (I lay down the cards 1/4, 1/16, 5/16. I would read 1/4 + 1/16 = 5/16 or 5/16 – 1/16 = 1/4).

Assessing Understanding:

With all of the games: encourage students to talk about how they got their answers. Not every time, that would be tedious. But often enough that you can gauge where they are in their understanding and they gain confidence explaining.

A note about the numbers I chose. I only put in the most common fractions (halves, thirds, fourths, eighths, and sixteenths) because those are the ones I find myself using in my baking and measuring. I put the sixteenths on their own sheet so that you wouldn’t have to use them if you didn’t want to.

The instructions have ideas on how to use the cards for the 1st and 3rd step in this article.

I hope you find the games helpful and fun! If all goes well, there will be a few less children (and parents) crying over their fractions homework.

Danielle is a homeschooling mamma of 5. She is committed to making life with young children easier and sharing her passion for math. If you would like to learn more about teaching math to multiple age groups visit Blessedly Busy or follow her on: Facebook, Instagram, Pinterest or Twitter.

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