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3.5: Restar números enteros (Parte 1) - Matemáticas


Habilidades para desarrollar

  • Resta modelo de números enteros
  • Simplifica expresiones con números enteros
  • Evaluar expresiones de variables con números enteros
  • Traducir palabras frases a expresiones algebraicas
  • Restar números enteros en aplicaciones

¡estar preparado!

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: (12 - (8−1) ). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 2.1.8.
  2. Traducir el diferencia de (20) y (- 15 ) en una expresión algebraica. Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.3.11.
  3. Agregar: (- 18 + 7 ). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 3.2.6.

Modelo de resta de números enteros

¿Recuerda la historia de la última sección sobre el niño pequeño y las galletas? Los niños aprenden a restar números a través de sus experiencias cotidianas. Las experiencias de la vida real sirven como modelos para restar números positivos y, en algunos casos, como la temperatura, para sumar números tanto negativos como positivos. Pero es difícil relacionar la resta de números negativos con experiencias de vida comunes. La mayoría de la gente no tiene una comprensión intuitiva de la resta cuando se trata de números negativos. Los profesores de matemáticas utilizan varios modelos diferentes para explicar la resta de números negativos.

Continuaremos usando contadores para modelar la resta. Recuerde, los contadores azules representan números positivos y los contadores rojos representan números negativos.

Quizás cuando eras más joven, leías (5 - 3 ) como cinco quita tres. Cuando usamos contadores, podemos pensar en la resta de la misma manera.

Modelaremos cuatro operaciones de resta usando los números (5 ) y (3 ).

[5-3 qquad −5 - (−3) qquad −5-3 qquad 5 - (−3) nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): modelo

Modelo: (5 - 3 ).

Solución

La diferencia entre (5 ) y (3 ) es (2 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Modele la expresión: (6 - 4 )

Respuesta

(2)

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Modele la expresión: (7 - 4 )

Respuesta

(3)

Ejemplo ( PageIndex {2} ): modelo

Modelo: (- 5 - (−3) ).

Solución

La diferencia entre (- 5 ) y (- 3 ) es (- 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Modele la expresión: (- 6 - (−4) )

Respuesta

(-2)

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Modele la expresión: (- 7 - (−4) )

Respuesta

(-3)

Observe que Example ( PageIndex {1} ) y Example ( PageIndex {2} ) son muy parecidos.

  • Primero, restamos (3 ) positivos de (5 ) positivos para obtener (2 ) positivos.
  • Luego restamos (3 ) negativos de (5 ) negativos para obtener (2 ) negativos.

Cada ejemplo usó contadores de un solo color, y el modelo de resta "para llevar" fue fácil de aplicar.

Figura ( PageIndex {1} )

Ahora veamos qué sucede cuando restamos un número positivo y uno negativo. Necesitaremos usar contadores positivos y negativos y, a veces, también algunos pares neutrales. Agregar un par neutral no cambia el valor.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): modelo

Modelo: (- 5 - 3 ).

Solución

Interpreta la expresión.−5-3 significa −5 quita 3.
Modele el primer número. Empiece con 5 negativos.
Quita el segundo número. Por tanto, debemos eliminar 3 aspectos positivos.
Pero no hay aspectos positivos que quitar. Agrega pares neutrales hasta que tengas 3 positivos.
Ahora quita 3 aspectos positivos.
Cuente el número de fichas que quedan.

La diferencia de (- 5 ) y (3 ) es (- 8 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Modele la expresión: (- 6 - 4 )

Respuesta

(-10)

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Modele la expresión: (- 7 - 4 )

Respuesta

(-11)

Ejemplo ( PageIndex {4} ): modelo

Modelo: (5 - (−3) ).

Solución

Interpreta la expresión.5 - (−3) significa 5 quita −3.
Modele el primer número. Empiece con 5 aspectos positivos.
Quita el segundo número, así que quita 3 negativos.
Pero no hay aspectos negativos que quitar. Agrega pares neutrales hasta que tengas 3 negativos.
Luego quita 3 negativos.
Cuente el número de fichas que quedan.

La diferencia de (5 ) y (- 3 ) es (8 ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Modele la expresión: (6 - (−4) )

Respuesta

(10)

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Modele la expresión: (7 - (−4) )

Respuesta

(11)

Ejemplo ( PageIndex {5} ): modelo

Modele cada resta.

  1. (8 − 2)
  2. (−5 − 4)
  3. (6 − (−6))
  4. (−8 − (−3))

Solución

  1. (8 - 2 ): Esto significa (8 ) quitar (2 ).
  1. (- 5 - 4 ): Esto significa (- 5 ) quitar (4 ).
  1. (6 - (−6) ): Esto significa que (6 ) quita (- 6 ).
  1. (- 8 - (−3) ): Esto significa (- 8 ) quitar (- 3 ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Modele cada resta.

  1. (7 - (-8))
  2. (-7 - (-2))
  3. (4 - 1)
  4. (-6 - 8)
Responde una

Respuesta b

Respuesta c

Respuesta d

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Modele cada resta.

  1. (4 - (-6))
  2. (-8 - (-1))
  3. (7 - 3)
  4. (-4 - 2)
Responde una

Respuesta b

Respuesta c

Respuesta d

Ejemplo ( PageIndex {6} ): modelo

Modele cada expresión de resta:

  1. (2 − 8)
  2. (−3 − (−8))

Solución

    (2 − 8 = −6)

      (−3 − (−8) = 5)

      Ejercicio ( PageIndex {11} )

      Modele cada expresión de resta.

      1. (7 − 9)
      2. (−5 − (−9))
      Responde una

      (-2)

      Respuesta b

      (4)

      Ejercicio ( PageIndex {12} )

      Modele cada expresión de resta.

      1. (4 − 7)
      2. (−7 − (−10))
      Responde una

      (-3)

      Respuesta b

      (3)

      Simplifique expresiones con números enteros

      ¿Ves un patrón? ¿Estás listo para restar números enteros sin contadores? Hagamos dos restas más. Pensaremos en cómo los modelaríamos con contadores, pero en realidad no los usaremos.

      • Resta (- 23 - 7 ). Piensa: Empezamos con (23 ) contadores negativos. Tenemos que restar (7 ) positivos, pero no hay positivos para quitar. Entonces agregamos (7 ) pares neutrales para obtener los (7 ) positivos. Ahora quitamos los (7 ) positivos. Entonces, ¿qué queda? Tenemos los (23 ) negativos originales más (7 ) más negativos del par neutral. El resultado es (30 ) negativos. (- 23 - 7 = −30 ) Observa que para restar (7 ), sumamos (7 ) negativos.
      • Resta (30 - (−12) ). Piense: comenzamos con (30 ) positivos. Tenemos que restar (12 ) negativos, pero no hay negativos para quitar. Entonces agregamos (12 ) pares neutrales a los (30 ) positivos. Ahora quitamos los (12 ) negativos. ¿Lo que queda? Tenemos los (30 ) positivos originales más (12 ) más positivos de los pares neutrales. El resultado es (42 ) positivos. (30 - (−12) = 42 ) Observa que para restar (- 12 ), sumamos (12 ).

      Si bien es posible que no siempre usemos los contadores, especialmente cuando trabajamos con números grandes, practicar con ellos primero nos dio una forma concreta de aplicar el concepto, de modo que podamos visualizar y recordar cómo hacer la resta sin los contadores.

      ¿Ha notado que la resta de números con signo se puede hacer sumando el opuesto? A menudo verá la idea, la propiedad de resta, escrita de la siguiente manera:

      Definición: propiedad de la resta

      [a - b = a + (−b) ]

      Mira estos dos ejemplos.

      Figura ( PageIndex {2} )

      Vemos que (6 - 4 ) da la misma respuesta que (6 + (−4) ).

      Por supuesto, cuando tenemos un problema de resta que solo tiene números positivos, como el primer ejemplo, simplemente hacemos la resta. Ya sabíamos cómo restar (6 - 4 ) hace mucho tiempo. Pero saber que (6 - 4 ) da la misma respuesta que (6 + (−4) ) ayuda cuando restamos números negativos.

      Ejemplo ( PageIndex {7} ): simplificar

      Simplificar:

      1. (13 - 8 ) y (13 + (−8) )
      2. (- 17 - 9 ) y (- 17 + (−9) )

      Solución

        Resta para simplificar.13 − 8 = 5
        Suma para simplificar.13 + (−8) = 5
        Restar 8 de 13 es lo mismo que sumar −8 a 13.
          Resta para simplificar.−17 − 9 = −26
          Suma para simplificar.−17 + (−9) = −26
          Restar 9 de −17 es lo mismo que sumar −9 a −17.

          Ejercicio ( PageIndex {13} )

          Simplifica cada expresión:

          1. (21 - 13 ) y (21 + (−13) )
          2. (- 11 - 7 ) y (- 11 + (−7) )
          Responde una

          (8), (8)

          Respuesta b

          (-18), (-18)

          Ejercicio ( PageIndex {14} )

          Simplifica cada expresión:

          1. (15 - 7 ) y (15 + (−7) )
          2. (- 14 - 8 ) y (- 14 + (−8) )
          Responde una

          (8), (8)

          Respuesta b

          (-22), (-22)

          Ahora mira lo que pasa cuando restamos un negativo.

          Figura ( PageIndex {3} )

          Vemos que (8 - (−5) ) da el mismo resultado que (8 + 5 ). Restar un número negativo es como sumar un positivo.

          Ejemplo ( PageIndex {8} ): simplificar

          Simplificar:

          1. (9 - (−15) ) y (9 + 15 )
          2. (- 7 - (−4) ) y (- 7 + 4 )

          Solución

          1. (9 - (−15) ) y (9 + 15 )
          Resta para simplificar.9 − (−15) = 24
          Suma para simplificar.9 + 15 = 24

          Restar (- 15 ) de (9 ) es lo mismo que sumar (15 ) a (9 ).

          1. (- 7 - (−4) ) y (- 7 + 4 )
          Resta para simplificar.−7 − (−4) = −3
          Suma para simplificar.−7 + 4 = −3

          Restar (- 4 ) de (- 7 ) es lo mismo que sumar (4 ) a (- 7 ).

          Ejercicio ( PageIndex {15} )

          Simplifica cada expresión:

          1. (6 - (−13) ) y (6 + 13 )
          2. (- 5 - (−1) ) y (- 5 + 1 )
          Responde una

          (19), (19)

          Respuesta b

          (-4), (-4)

          Ejercicio ( PageIndex {16} )

          Simplifica cada expresión:

          1. (4 - (−19) ) y (4 + 19 )
          2. (- 4 - (−7) ) y (- 4 + 7 )
          Responde una

          (23), (23)

          Respuesta b

          (3), (3)

          Mire de nuevo los resultados de Ejemplo ( PageIndex {1} ) - Ejemplo ( PageIndex {4} ).

          Tabla ( PageIndex {1} ): resta de enteros
          5 – 3–5 – (–3)
          2–2
          2 positivos2 negativos
          Cuando haya suficientes fichas del color para quitar, reste.
          –5 – 35 – (–3)
          –88
          5 negativos, quiero restar 3 positivos5 positivos, quiero restar 3 negativos
          Necesito pares neutralesNecesito pares neutrales
          Cuando no haya suficientes fichas para quitar, agregue pares neutrales.