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9: Sistemas de ecuaciones y desigualdades


En este capítulo, investigaremos matrices y sus inversas, y varias formas de usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones por sí mismos: lineales y no lineales, y luego fracciones parciales.

  • 9.0: Preludio a los sistemas de ecuaciones y desigualdades
    En este capítulo, investigaremos matrices y sus inversas, y varias formas de usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones por sí mismos: lineales y no lineales, y luego fracciones parciales. No estaremos rompiendo ningún código secreto aquí, pero sentaremos las bases para futuros cursos.
  • 9.1: Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más ecuaciones compuestas por dos o más variables, de modo que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisfaga cada ecuación de forma independiente. Los sistemas de ecuaciones se clasifican como independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución.
  • 9.2: Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    https://math.libretexts.org/TextMaps/Algebra_Textmaps/Map%3A_Elementary_Algebra_(OpenStax)/11%3A_Systems_of_Equations_and_Inequalities/11.3%3A_Systems_of_Linear_Equations%3A_Three
  • 9.3: Sistemas de ecuaciones no lineales y desigualdades: dos variables
    En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de ecuaciones lineales.
  • 9.4: Fracciones parciales
    Descompón una razón de polinomios escribiendo las fracciones parciales. Resuelva despejando las fracciones, expandiendo el lado derecho, recolectando términos semejantes y estableciendo los coeficientes correspondientes iguales entre sí, luego estableciendo y resolviendo un sistema de ecuaciones. La descomposición con factores lineales repetidos debe tener en cuenta los factores del denominador en potencias crecientes. La descomposición con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático.
  • 9.5: Matrices y operaciones con matrices
    Para resolver un sistema de ecuaciones, podemos usar una matriz, que es una matriz rectangular de números. Una fila en una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. Una columna en una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamada elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran entre [] o (), y normalmente se nombran con letras mayúsculas.
  • 9.6: Resolución de sistemas con eliminación gaussiana
    Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma matricial, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, que se convierten en las entradas de la matriz. Usamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, esencialmente reemplazando los signos iguales. Cuando un sistema está escrito de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
  • 9.7: Resolver sistemas con inversos
    Una matriz que tiene un inverso multiplicativo se llama matriz invertible. Solo una matriz cuadrada puede tener un inverso multiplicativo, ya que la reversibilidad es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa. Veremos dos métodos para encontrar la inversa de una matriz de 2 × 2 y un tercer método que se puede usar en matrices de 2 × 2 y 3 × 3.
  • 9.8: Resolución de sistemas con la regla de Cramer
    En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones. Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular área, volumen y otras cantidades. Aquí, usaremos determinantes para revelar si una matriz es invertible usando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si hay una solución para el sistema de ecuaciones. Regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones en dos y tres variables.
  • 9.E: Sistemas de ecuaciones y desigualdades (ejercicios)

¿Cómo resolver sistemas de desigualdades? ¡9 ejemplos asombrosos!

Cuando resolvemos sistemas de desigualdades buscamos la intersección de sus miembros.

Jenn, fundadora de Calcworkshop & reg, más de 15 años de experiencia (maestra con licencia y certificación n. ° 038)

Buscamos la región sombreada común a todos los gráficos. Es la región superpuesta.

Esto significa que seremos graficar sistemas de desigualdades para encontrar el conjunto de soluciones.

Gráfico de dos desigualdades lineales

Primero, transformamos nuestras desigualdades para que estén en forma de pendiente-intersección.

Recuerde, si la desigualdad es menor o mayor que, entonces usamos una línea de puntos al graficar. Y si la desigualdad es menor o igual o mayor o igual que, usaremos una línea continua.

A continuación, sombrearemos la región apropiada para cada desigualdad eligiendo un punto, no en el límite, y veremos si su coordenada satisface la desigualdad.

Finalmente, determinamos nuestro conjunto de soluciones mirando para ver dónde se superponen las gráficas, como afirma Cool Math con precisión.

Pronto estará de acuerdo en que resolver sistemas de desigualdades puede ser divertido y no demasiado difícil.

Por último, exploraremos cómo escribir el sistema de desigualdades lineales cuyo conjunto de soluciones se muestra en la gráfica de la región sombreada.

Repasaremos cómo escribir la ecuación de líneas y la forma de punto-pendiente, y también verificaremos las desigualdades probando pares ordenados.


En esta lección, aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones graficándolos y buscando el punto de intersección. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones por sustitución. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones mediante sumas y restas. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones mediante multiplicación, suma y resta. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a graficar desigualdades básicas. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a resolver desigualdades básicas. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a resolver desigualdades combinadas. Ver la lección

En esta lección, aprenderá a resolver desigualdades combinadas. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a resolver desigualdades que involucran el valor absoluto de una variable. Ver la lección

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En esta lección, aprenderá a graficar desigualdades que contienen dos variables. Ver la lección

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Resolver sistemas de desigualdades y dibujar intervalos en una recta numérica.

La solución a una desigualdad lineal es un intervalo, que también es cierto o sistemas de desigualdades, pero la solución es el intervalo que es común a ambas desigualdades. El procedimiento es el siguiente: resuelve ambas desigualdades y luego busca su intersección, que es la solución al sistema de desigualdades.

Ejemplo 1. Resuelve el sistema de desigualdades lineales.

Resuelve desigualdades individualmente.

La solución de esta desigualdad es el intervalo $ [1, + infty & gt $, que se representa gráficamente:

La solución de la segunda desigualdad:

La solución del sistema de las dos desigualdades dadas es la intersección de $ [1, + infty & gt $ y lt- infty, 4 & gt $, que es $ [1, 4 & gt $.

Ejemplo 2. ¿Qué pasaría si modificamos un poco este sistema? Si tenemos un sistema:

La primera desigualdad es la misma, también lo es su solución: $ [1, + infty & gt $.

Pero la segunda desigualdad cambió, encontremos su solución.

Tenemos el intervalo lt- infty, 0 & gt $. Dibujemos estos dos intervalos.

De la imagen podemos concluir que estos dos intervalos no tienen intersección, lo que significa que este sistema de desigualdades no tiene soluciones.

Ejemplo 3. Resuelve la desigualdad:

Si esto fuera una igualdad, multiplicaríamos la expresión por $ (x + 2) $, sin embargo, no podemos hacer esto aquí. Cuando la desigualdad se multiplica por un número negativo, el signo de desigualdad cambia. Dado que $ (x + 2) $ es positivo para todo $ x $ estrictamente mayor que 2, y negativo para todo $ x $ estrictamente menor que 2. Por eso este problema se considera el sistema de desigualdades. Para resolver esta desigualdad, debemos resolver ambos:

La condición es $ x + 2 & gt 0 $ o $ x & gt-2 $. Estas dos desigualdades forman un sistema de desigualdades. Dibujemos estas soluciones en una recta numérica:

La solución de este caso es el intervalo lt-2, - frac <4> <4> & gt $.

La condición es $ x + 2 & lt 0 $ o $ x & lt-2 $.

La solución de este caso es un conjunto vacío o $ conjunto vacío $.

La solución de nuestra desigualdad inicial es la unión de estos dos intervalos:


Resolución de sistemas de ecuaciones y desigualdades



Una serie de lecciones de álgebra básica gratuitas.

En esta lección aprenderemos

  • sistemas de ecuaciones inconsistentes y dependientes
  • cómo resolver sistemas de ecuaciones usando matrices
  • cómo resolver sistemas de desigualdades graficando

Sistemas consistentes e independientes, sistemas consistentes y dependientes y sistemas inconsistentes

Resolver sistemas usando matrices
Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones que contienen las mismas variables. Resolver sistemas usando matrices es un método para encontrar el punto que es una solución para ambas (o todas) ecuaciones originales. Además de resolver ecuaciones usando matrices, otros métodos para encontrar la solución a sistemas de ecuaciones incluyen gráficas, sustitución y eliminación.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando inversas de matrices
Resuelva un sistema de 2 x 2 usando inversos (encuentre usando determinantes).

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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Soluciones para el Capítulo 9: Sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades

Soluciones para el Capítulo 9: Sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades

  • 9.1: Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.2: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.3: Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.4: Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.5: Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.6: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.7: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.8: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.9: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.10: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.11: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.12: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.13: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.14: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.15: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.16: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.17: Relacione cada sistema de ecuaciones con su gráfica.
  • 9.18: Relaciona cada sistema de ecuaciones con su gráfica.
  • 9.19: Relaciona cada sistema de ecuaciones con su gráfica.
  • 9.20: Relacione cada sistema de ecuaciones con su gráfica.
  • 9.21: En el laboratorio de química, Alexandra necesita hacer una solución de 42 mililitros.
  • 9.22: Un Nissan Sentra obtiene aproximadamente 32 mpg en carretera y 18 mpg.
  • 9.23: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.24: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.25: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.26: Resuelva cada sistema de ecuaciones lineales.
  • 9.27: El número promedio de vuelos en un avión comercial que una persona t.
  • 9.28: Danny y Paula deciden invertir $ 20,000 de sus ahorros. Pusieron.
  • 9.29: Escribe la forma de cada descomposición en fracciones parciales. No lo resuelvas.
  • 9.30: Escribe la forma de cada descomposición de fracciones parciales. No lo resuelvas.
  • 9.31: Escribe la forma de cada descomposición en fracciones parciales. No lo resuelvas.
  • 9.32: Escribe la forma de cada descomposición de fracción parcial. No lo resuelvas.
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  • 9.35: Escribe la forma de cada descomposición en fracciones parciales. No lo resuelvas.
  • 9.36: Escribe la forma de cada descomposición de fracción parcial. No lo resuelvas.
  • 9.37: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.38: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.39: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.40: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.41: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.42: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.43: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.44: Encuentre la descomposición en fracciones parciales para cada función racional.
  • 9.45: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.46: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.47: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.48: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.49: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.50: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.51: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.52: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.53: Grafica cada desigualdad lineal.
  • 9.54: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.55: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.56: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.57: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.58: Representa gráficamente cada desigualdad lineal.
  • 9.59: Minimizar o maximizar la función objetivo sujeta a la restricción.
  • 9.60: Minimizar o maximizar la función objetivo sujeta a la restricción.
  • 9.61: Minimizar o maximizar la función objetivo sujeta a la restricción.
  • 9.62: Minimizar o maximizar la función objetivo sujeta a la restricción.
  • 9.63: Minimizar o maximizar la función objetivo sujeta a la restricción.
  • 9.64: Minimizar o maximizar la función objetivo sujeta a la restricción.
  • 9.65: Si sus costos no pueden exceder los $ 100 y puede dedicar solo 90 horas en total.
  • 9.66: Si sus costos no pueden exceder los $ 300 y puede gastar solo 90 horas pai.
  • 9.67: Use una herramienta gráfica para representar gráficamente las dos ecuaciones 0.4x 0.3y 0.1 y.
  • 9.68: Use una herramienta gráfica para representar gráficamente las dos ecuaciones y. Encuentra el so.
  • 9.69: En los Ejercicios 69 y 70, emplee una calculadora gráfica para resolver el s.
  • 9.70: En los Ejercicios 69 y 70, emplee una calculadora gráfica para resolver el s.
  • 9.71: Aplique una utilidad gráfica a la gráfica y en el mismo rectángulo de visualización.
  • 9.72: Use una utilidad gráfica para graficar y en el mismo rectángulo de visualización. .
  • 9.73: En los Ejercicios 73 y 74, use una herramienta gráfica para graficar cada sistema.
  • 9.74: En los Ejercicios 73 y 74, use una herramienta gráfica para graficar cada sistema.
  • 9.75: Maximizar z 6.2x 1.5y sujeto a: 4x 3y 5.4 2x 4.5y 6.3 3x y 10.7 76
  • 9.76: Minimizar z 1.6x 2.8y sujeto a: y 3.2x 4.8 x 2 y 3.2x 4.8 x 4 2
Libro de texto: Álgebra y trigonometría,
Edición: 3
Autor: James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson
ISBN: 9780840068132

Dado que se han resuelto 76 problemas del capítulo 9: Sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades, más de 67818 estudiantes han visto las soluciones completas paso a paso de este capítulo. El Capítulo 9: Sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades incluye 76 soluciones completas paso a paso. Esta guía de supervivencia de libro de texto fue creada para el libro de texto: Álgebra y trigonometría ,, edición: 3. Esta guía de supervivencia expansiva del libro de texto cubre los siguientes capítulos y sus soluciones. Álgebra y Trigonometría, fue escrito por y está asociado al ISBN: 9780840068132.

Una matriz que representa un sistema de ecuaciones.

Una pantalla gráfica circular de datos categóricos.

Números complejos a + bi y a - bi

Consulte Problema de programación lineal.

Hechos recopilados con fines estadísticos (la forma singular es dato)

Variable que afecta a una variable de respuesta.

Una declaración que compara dos cantidades usando un símbolo de desigualdad.

Cualquier número b para el cual b & lt ƒ (x) para todo x en el dominio de ƒ

Una suma aproximada de Riemann del área bajo una curva ƒ (x) desde x = a hasta x = b usando x1 como el punto final a la izquierda de cada subintervalo

La diagonal desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha de una matriz cuadrada.

Para el segmento de recta con extremos a y b, a + b2

Superficie generada al girar una parábola sobre su eje de simetría.

Si bn = a, entonces b es una raíz enésima de a. Si bn = ay a y b tienen el mismo signo, b es la raíz n-ésima principal de a (ver Radical), p. 508.

El gráfico en tres dimensiones de una ecuación de segundo grado en tres variables.


Álgebra 1

Medición

Exponente

Graficar líneas en el plano de coordenadas

Resolver ecuaciones literales

Prueba de ecuaciones literales Estilo Jeopardy Resuelve ecuaciones básicas, ecuaciones de dos pasos, ecuaciones con variables en ambos lados, ecuaciones de mezcla de suerte y ecuaciones literales.
Resolver ecuaciones con más de una variable Aprenda a resolver ecuaciones con más de una variable jugando a este juego interactivo de ecuaciones.

Desigualdades compuestas

Disparar desigualdades En este juego, se te presentará una desigualdad compuesta. Su trabajo es derribar todos los segmentos, puntos y flechas que no forman parte de la solución.


Curso de Álgebra 1: Unidad 9 - Desigualdades y sistemas de ecuaciones

Lección 1: Resolver sistemas de ecuaciones graficando, parte 1
Lección2: Resolver sistemas de ecuaciones graficando, Parte 2
Lección3: Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución, parte 1
Lección4: Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución, parte 2
Lección5: Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución, Parte 3

Lección6: Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución, parte 4
Lección7: Resolver sistemas de ecuaciones por suma y resta, parte 1
Lección8: Resolver sistemas de ecuaciones por suma y resta, Parte 2
Lección9: Resolver sistemas de ecuaciones multiplicando y sumando restas, Parte 1
Lección10: Resolver sistemas de ecuaciones multiplicando y sumando restas, Parte 2

Lección11: Resolver sistemas de ecuaciones multiplicando y sumando restas, Parte 3
Lección12: Graficar desigualdades básicas, parte 1
Lección13: Graficar desigualdades básicas, parte 2
Lección14: Resolver desigualdades, parte 1
Lección15: Resolver desigualdades, parte 2

Lección16: Resolver desigualdades, parte 3
Lección17: Resolver desigualdades, parte 4
Lección18: Resolver desigualdades combinadas, parte 1
Lección19: Resolver desigualdades combinadas, parte 2
Lección 20: Resolver desigualdades combinadas, parte 3

Lección 21: Resolver desigualdades que involucran valores absolutos, parte 1
Lección 22: Resolver desigualdades que involucran valores absolutos, parte 2
Lección 23: Resolver desigualdades que involucran valores absolutos, Parte 3
Lección 24: Graficar desigualdades en 2 variables, parte 1
Lección 25: Graficar desigualdades en 2 variables, parte 2

Lección 26: Graficar desigualdades en 2 variables, parte 3
Lección 27: Resolver sistemas de desigualdades mediante la representación gráfica, parte 1
Lección 28: Resolver sistemas de desigualdades mediante la representación gráfica, parte 2
Lección 29: Resolver sistemas de desigualdades mediante gráficos, parte 3

Obtenga las hojas de trabajo para este curso y pruebe sus habilidades
Álgebra 1, Unidad 9 Hojas de trabajo


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Cualquiera puede dominar Álgebra 1. Cualquiera. Los conceptos son muy simples, pero muchos estudiantes los encuentran difíciles porque muchas veces se empuja al estudiante hacia temas más complejos antes de dominar los conceptos básicos. Pronto el estudiante se pierde por completo.

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La forma más rápida de aprender álgebra es practicar muchos problemas para desarrollar habilidades. Nuestros cursos brindan exactamente eso y han ayudado a miles de estudiantes a sobresalir en sus estudios.


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empezar 1 & amp = 4 - 3y 3y & amp = 4 - 1 3y & amp = 3 y & amp = frac <3> <3> & amp = 1 end

( dfrac <2> - 2 - dfrac <1> <2> = dfrac <1> <2> left (1 + dfrac <2>derecho))

Tenga en cuenta las restricciones: (a ne 3 a ne -4 ).

Restricciones de nota: (n ne 2 n ne 7 ).

((d + 4) (d - 3) - d = (3d - 2) ^ <2> - 8d (d - 1) )

Resuelve las ecuaciones (y = 3x + 2 ) y (y = 2x + 1 ) simultáneamente.

En el gráfico podemos ver que las líneas se cruzan en (x = - 1 ) y (y = -1 )

Resuelve las ecuaciones (y = -x + 1 ) y (y = -x - 1 ) simultáneamente.

Las rectas son paralelas, por lo tanto, no hay solución para (x ) y (y ).

Resuelve las ecuaciones (y = x + 4 ) y (y = -2x + 1 ) simultáneamente.

En la gráfica podemos ver que las líneas se intersecan en (x = - 1 ) y (y = 3 )

Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:

Suma las dos ecuaciones para eliminar el término (y ) y resuelve para (x ):

Sustituye el valor de (x ) en la segunda ecuación:

empezar 2x - 3y & amp = -4 2 (1) - 3y & amp = -4 3y & amp = 6 y & amp = 2 end

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación:

empezar 10 & amp = 2x + x - 2 10 & amp = 3x - 2 12 & amp = 3x x & amp = 4 end

Sustituye el valor de (x ) de nuevo en la segunda ecuación:

empezar y & amp = x - 2 & amp = 4 - 2 & amp = 2 end

Haz que (y ) sea el sujeto de la primera ecuación:

empezar 17 & amp = 3x - y y & amp = 3x - 17 end

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación:

empezar 7x - 41 & amp = 3y 7x - 41 & amp = 3 (3x - 17) 7x - 41 & amp = 9x - 51 2x & amp = 10 x & amp = 5 end

Sustituye el valor de (x ) de nuevo en la segunda ecuación:

empezar y & amp = 3x - 17 y & amp = 3 (5) - 17 & amp = -2 end

Haz que (x ) sea el sujeto de la primera ecuación:

Sustituye el valor de (x ) en la segunda ecuación:

empezar 7x + 2y & amp = 32 7 left ( frac <32 + 4y> <2> right) + 2y & amp = 32 7 (32 + 4y) +2 (2) y & amp = 32 (2) 224 + 28y + 4y & amp = 64 32 y & amp = -160 por lo tanto y & amp = -5 end

Sustituye el valor de (y ) de nuevo en la primera ecuación:

(7x + 6y = -18 ) y (4x + 12y = 24 )

Multiplica la primera ecuación por 2 para que el coeficiente de (y ) sea el mismo que el de la segunda ecuación:

empezar 7x + 6y & amp = -18 7 (2) x + 6 (2) y & amp = -18 (2) 14x + 12y & amp = -36 end

Reste la segunda ecuación de la primera ecuación:

Sustituye el valor de (x ) en la primera ecuación y resuelve para (y ):

(3x - 4y = -15 ) y (12x + 5y = 66 )

Multiplica la primera ecuación por 4 para que el coeficiente de (x ) sea el mismo que el de la segunda ecuación:

empezar 3x - 4y & amp = -15 3 (4) x-4 (4) y & amp = -15 (4) 12x-16y & amp = -60 end

Reste la segunda ecuación de la primera ecuación:

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación y resuelve para (x ):

Escribe la primera ecuación en términos de (x ):

empezar x - 3y & amp = -22 x & amp = 3y - 22 end

Sustituye el valor de (x ) en la segunda ecuación:

empezar 5x + 2y & amp = -25 5 (3y - 22) + 2y & amp = -25 15y - 110 + 2y & amp = -25 17y & amp = 85 y & amp = 5 end

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación y resuelve para (x ):

empezar x - 3y & amp = -22 x - 3 (5) & amp = -22 x & amp = -22 + 15 & amp = -7 end

(3x + 2y = 46 ) y (15x + 5y = 220 )

Haz que (y ) sea el sujeto de la segunda ecuación:

empezar 15x + 5y & amp = 220 3x + y & amp = 44 y & amp = 44 - 3x end

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación:

empezar 3x + 2y & amp = 46 3x + 2 (44 - 3x) & amp = 46 3x + 88 - 6x & amp = 46 42 & amp = 3x x & amp = 14 end

Sustituye el valor de (x ) en la segunda ecuación:

empezar 3x + y & amp = 44 3 (14) + y & amp = 44 y & amp = 44 - 42 & amp = 2 end

(6x + 3y = -63 ) y (24x + 4y = -212 )

Multiplica la primera ecuación por 4 para que el coeficiente de (x ) sea el mismo que el de la segunda ecuación:

empezar 6x + 3y & amp = -63 6 (4) x - 3 (4) y & amp = -63 (4) 24x + 12y & amp = -252 end

Reste la segunda ecuación de la primera ecuación:

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación y resuelve para (x ):

(5x - 6y = 11 ) y (25x - 3y = 28 )

Multiplica la primera ecuación por 5 para que el coeficiente de (x ) sea el mismo que el de la segunda ecuación:

empezar 5x - 6y & amp = 11 5 (5) x - 6 (5) y & amp = 11 (5) 25x - 30y & amp = 55 end

Reste la segunda ecuación de la primera ecuación:

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación y resuelve para (x ):

empezar 5x - 6y & amp = 11 5x - 6 (-1) & amp = 11 x & amp = frac <11 - 6> <5> & amp = 1 end

Haz que (x ) sea el sujeto de la segunda ecuación:

empezar 2x + 2y & amp = 6 x & amp = 3 - y end

Sustituye el valor de (x ) en la primera ecuación:

empezar -9x + 3y & amp = 4 -9 (3 - y) + 3y & amp = 4 -27 + 9y + 3y & amp = 4 12y & amp = 31 y & amp = frac <31> <12 > end

Sustituye el valor de (y ) en la segunda ecuación y resuelve para (x ):

Por lo tanto (x = frac <5> <12> ) y (y = frac <31> <12> ).

(3x - 7y = -10 ) y (10x + 2 y = -6 )

Haz que (y ) sea el sujeto de la segunda ecuación:

empezar 10x + 2 y & amp = -6 5x + y & amp = -3 y & amp = -3 - 5x end

Sustituye el valor de (y ) en la primera ecuación:

empezar 3x - 7y & amp = -10 3x - 7 (-3 - 5x) & amp = -10 3x + 21 + 35x & amp = -10 38x & amp = -10-21 38x & amp = -31 x & amp = frac <-31> <38> end

Sustituye el valor de (x ) en la segunda ecuación y resuelve para (y ):

Observamos que la segunda ecuación tiene un factor común de 2:

empezar 4y & amp = 2x - 44 2y & amp = x - 22 end

Ahora podemos restar la segunda ecuación de la primera:

No hay solución para este sistema de ecuaciones. Podemos ver esto si graficamos las dos ecuaciones:

En el gráfico vemos que las líneas tienen el mismo gradiente y no se cruzan.

Por tanto, no hay solución.

(2a (a- 1) - 4 + a - b = 0 ) y (2a ^ 2 - a = b + 4 )

Mira la primera ecuación

empezar 2a (a- 1) - 4 + a - b & amp = 0 2a ^ 2 - 2a - 4 + a - b & amp = 0 2a ^ 2 - a & amp = b + 4 end

Tenga en cuenta que esto es lo mismo que la segunda ecuación

(a ) y (b ) pueden ser cualquier número real excepto ( text <0> ).

Mira la segunda ecuación:

empezar x (x + 3) -y & amp = 3x +4 (x-1) x ^ 2 + 3x - y & amp = 3x + 4x - 4 x ^ 2 - 4x + 4 & amp = y y & amp = (x-2) ^ 2 end

Tenga en cuenta que esto es lo mismo que la primera ecuación.

(x ) y (y ) pueden ser cualquier número real excepto ( text <0> ).

Tenga en cuenta que (y neq 0 ) y (y neq -1 )

Haz que (x ) sea el sujeto de la ecuación 1:

empezar frac & amp = 7 x + 1 & amp = 7y x & amp = 7y -1 qquad text end

Haz que (x ) sea el tema de la ecuación 2:

Sustituye la ecuación 3 en la ecuación 4:

empezar 6y + 6 & amp = 7y -1 6 + 1 & amp = 7y - 6y y & amp = 7 end

Sustituye el valor de (y ) en la ecuación 3:

Por lo tanto (x = 48 text y = 7 )

Tenga en cuenta que ((x + 3) ^ 2 ) y ((y - 4) ^ 2 ) son ambos mayores o iguales a cero, por lo tanto, para que la ecuación sea verdadera, ambos deben ser iguales a cero.

empezar (x + 3) ^ 2 = 0 x = -3 (y-4) ^ 2 = 0 y = 4 por lo tanto x = -3 & amp text y = 4 end

Encuentra las soluciones a los siguientes problemas verbales:

( frac <7> <8> ) de un cierto número es ( text <5> ) más que ( frac <1> <3> ) del número. Encuentra el número.

empezar frac <7> <8> x & amp = frac <1> <3> x + 5 21x & amp = 8x + 120 13x & amp = 120 x & amp = frac <120> <13> final

Tres reglas y dos bolígrafos tienen un costo total de ( text, text <21,00> ). Una regla y un bolígrafo tienen un costo total de ( text, text <8,00> ). ¿Cuánto cuesta una regla y cuánto cuesta un bolígrafo?

Sea (r ) el precio de una regla y (p ) el precio de una pluma.

empezar 3r + 2p & amp = 21 r + p & amp = 8 end

De la segunda ecuación: (r = 8 - p )

Sustituye el valor de (r ) en la primera ecuación:

empezar 3 (8 - p) + 2p & amp = 21 24 - 3p + 2p & amp = 21 p & amp = 3 end

Sustituye el valor de (p ) en la segunda ecuación:

empezar r + 3 & amp = 8 r & amp = 5 end

Por lo tanto, cada regla cuesta ( text, text <5> ) y cada bolígrafo cuesta ( text, text <3> ).

Un grupo de amigos está comprando el almuerzo. Aquí hay algunos datos sobre su almuerzo:

  • un perrito caliente cuesta ( text, text <6> ) más que un batido
  • el grupo compra 3 perritos calientes y 2 batidos
  • el costo total del almuerzo es ( text, text <143> )

Sea (h ) el precio de un perrito caliente y (m ) el precio de un batido. De la información dada obtenemos:

empezar h & amp = m + 6 3h + 2m & amp = 143 end

Sustituye la primera ecuación en la segunda ecuación:

empezar 3h + 2m & amp = 143 3 (m + 6) + 2m & amp = 143 3m + 6 (3) + 2m & amp = 143 5m & amp = 143-18 por lo tanto m & amp = frac < 125> <5> & amp = 25 end

Sustituye el valor de (m ) en la primera ecuación:

empezar h & amp = m + 6 & amp = 25 + 6 & amp = 31 end

El precio del perrito caliente es ( text, text <31> ) mientras que un batido cuesta ( text, text <25> ).

Lefu y Monique son amigos. Monique toma el examen de estudios empresariales de Lefu y no le dice cuál es su nota. Ella sabe que a Lefu no le gustan los problemas de palabras, así que decide burlarse de él. Monique dice: & # 8220Tengo ( text <12> ) marcas más que tú y la suma de nuestras dos marcas es igual a ( text <166> ). ¿Cuáles son nuestras marcas? & # 8221

Sea la marca de Lefu (l ) y la marca de Monique sea (m ). Entonces begin m & amp = l + text <12> l + m & amp = text <166> end

Sustituye la primera ecuación en la segunda ecuación y resuelve:

Sustituyendo este valor nuevamente en la primera ecuación se obtiene:

Los estudiantes obtuvieron las siguientes notas: Lefu tiene ( text <77> ) puntos y Monique tiene ( text <89> ) puntos.

Un hombre corre a la parada del autobús y regresa en ( text <15> ) minutos. Su velocidad de camino a la parada de autobús es ( text <5> ) ( text$> ) y su velocidad en el camino de regreso es ( text <4> ) ( text$> ). Calcula la distancia hasta la parada del autobús.

Sea (D ) la distancia a la parada del autobús.

La distancia viene dada por la velocidad por el tiempo. El hombre corre la misma distancia hasta la parada del autobús que desde la parada del autobús. Por lo tanto:

empezar D & amp = s times t D & amp = 5t_ <1> = 4t_ <2> end

Le toma un total de 15 minutos correr de ida y vuelta, por lo que el tiempo total es (t_ <1> + t_ <2> = 15 ). However the speeds are given in kilometers per hour and so we must convert the time to hours. Therefore (t_ <1>+ t_ <2>= ext<0,25>.)

Next we note that (t_ <1>= dfrac<5>) and (t_ <2>= dfrac<4>).

egin frac <5>+ frac <4>& = ext <0,25> 4D + 5D & = ext<0,25>(20) 9D & = 5 D & = frac<5> <9>end

The bus stop is ( ext<0,56>) ( ext) away.

Two trucks are travelling towards each other from factories that are ( ext<175>) ( ext) apart. One truck is travelling at ( ext<82>) ( ext$>) and the other truck at ( ext<93>) ( ext$>). If both trucks started their journey at the same time, how long will they take to pass each other?

Notice that the sum of the distances for the two trucks must be equal to the total distance when the trucks meet: (D_ <1>+ D_ <2>= d_< ext> longrightarrow D_ <1>+ D_ <2>= ext<175> ext< km>).

This question is about distances, speeds and times. The equation connecting these values is [ ext = frac< ext>< ext

You want to know the amount of time needed for the trucks to meet - let the time taken be (t). Then you can write an expression for the distance each of the trucks travels: egin ext quad D_ <1>&= s_ <1>t &= ext<82>t ext quad D_ <2>&= s_ <2>t &= ext<93>t end

Now you have three different equations: you must solve them simultaneously substitution is the easiest choice. egin D_ <1>+ D_ <2>&= ext <175> ( ext<82>t) + ( ext<93>t) &= ext <175> ext<175>t &= ext <175> herefore t &= frac< ext<175>>< ext<175>> &= ext <1>end The trucks will meet after ( ext<1>) hours.

Zanele and Piet skate towards each other on a straight path. They set off ( ext<20>) ( ext) apart. Zanele skates at ( ext<15>) ( ext$>) and Piet at ( ext<10>) ( ext$>). How far will Piet have skated when they reach each other?

Let (x) be the distance that Zanele skates and (20 - x) the distance Piet skates.

Next we note the following information:

Zanele will have skated ( ext<12>) ( ext) and Piet will have skated ( ext<8>) ( ext) when they reach other.

When the price of chocolates is increased by ( ext, ext<10>), we can buy five fewer chocolates for ( ext, ext<300>). What was the price of each chocolate before the price was increased?

Let (x) be the original price of chocolates. The new price of (x) chocolates is ( ext, ext<300>).

egin left(x + 10 ight)left(frac<300> - 5 ight) & = 300 300 - 5x + frac< ext<3𧄀>> - 50 & = 300 -5x + frac< ext<3𧄀>> - 50 & = 0 -5x^ <2>+ ext <3𧄀>- 50x & = 0 x^ <2>+ 10x - 600 & = 0 (x - 20)(x + 30) & = 0 x = 20 & ext < or >x = -30 end

Since price has to be positive the chocolates used to cost ( ext, ext<20>).

A teacher bought ( ext, ext<11 300>) worth of textbooks. The text books were for Science and Mathematics with each of them being sold at ( ext, ext<100>) per book and ( ext, ext<125>) per book respectively. If the teacher bought 97 books in total, how many Science books did she buy?

She bought ( ext<33>) science books.

Thom's mom bought ( ext, ext<91,50>) worth of easter eggs. The easter eggs came in 3 different colours blue, green and yellow. The blue ones cost ( ext, ext<2>) each, green ones ( ext, ext<1,50>) each and yellow ones ( ext, ext<1>) each. She bought three times as many yellow eggs as the green ones and ( ext<72>) eggs in total. How many blue eggs did she buy?

(3) (3) & ext < into >(1) x + y + 3y &= 72 x &= 72 - 4y

Two equivalent fractions both have their numerator as one. The denominator of one fraction is the sum of two and a number, while the other fraction is twice the number less 3. What is the number?

Consider the following literal equations:

egin a - bx &= c -bx &= c - a -frac<1>(-bx) &= (c - a)left( -frac<1> ight) herefore x &= frac, b eq 0 end

Make (m) the subject of the formula: (E = mc^<2>).

Make (f) the subject of the formula: (dfrac<1> + dfrac<1> = dfrac<1>).

Solve for (x) in: (ax - 4a + ab = 4b - bx - b^2 + 4c - cx - bc)

Solve for (b) in (I = frac<1><2>M(a^2 + b^2)) if (a = 4), (M = 8), (I = 320)

Write down the inequality represented by the following:

Solve for (x) and show your answer in interval notation

egin -4 x +1 &> -2(x -15) -4 x +1 &> -2 x +30 -4 x +2 x &> 30 -1 -2 x &> 29 herefore x &< frac<-29> <2>end

Now solve. (Remember to flip the inequality symbol if you multiply or divide by a negative.)

egin 6x+12 &leq -4x-4 6x +4x &leq -4 -12 10x &leq -16 herefore x &leqfrac<-8> <5>end

egin frac<1><4>x + frac<2><3>(x+1) &geq frac<2><5>x +2 15x + 40(x+1) &geq 24x +120 15x + 40 x+40 &geq 24x +120 15x + 40 x -24x &geq 120 - 40 31x &geq 80 herefore x &geq frac<80> <31>end

The interval is: [left[frac<80><31>infty ight)]

(3x -3 > 14 quad ext< or >quad 3x -3 < -2)

[left(-infty frac<1><3> ight) cup left(frac<17><3> infty ight)]

Solve and represent your answer on a number line

egin 2x -3 & < frac<3x -2> <2> 4x - 6 & < 3x- 2 x & < 4 end egin 3(1 - b) - 4 + b & > 7+ b 3 - 3b - 4 +b & > 7 + b -2b & > 8 b & < -4 end egin 1 -5x & > 4(x + 1) - 3 1 - 5x & > 4x + 4 - 3 -9x & > 0 x & < 0 end

Solve for the unknown variable

egin frac<1><2>x - frac<2> &= 0 x^2 - 4 &= 0 (x-2)(x+2) &= 0 herefore x = 2 & ext < or >x = -2 end

egin frac<(b + 1)^2 - 16> &= 1 b^2 + 2b + 1 - 16 &= b + 5 b^2 + b - 20 &= 0 (b - 4)(b + 5) & = 0 herefore b &= 4 end

egin frac&= 2 a^2 + 8a + 7 &= 2a + 14 a^2 + 6a - 7 &= 0 (a - 1)(a + 7) &= 0 herefore a &= 1 end


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