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4.5: Sistemas homogéneos de coeficiente constante II - Matemáticas


Sistemas homogéneos de coeficiente constante II

Vimos en la Sección 4.4 que si una (n veces n ) matriz constante (A ) tiene (n ) valores propios reales ( lambda_1 ), ( lambda_2 ), ( dots ), ( lambda_n ) (que no necesita ser distinto) con vectores propios linealmente independientes asociados ({ bf x} _1 ), ({ bf x} _2 ), ( dots ), ({ bf x} _n ), entonces la solución general de ({ bf y} '= A { bf y} ) es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} = c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} + cdots + c_n { bf x} _n e ^ { lambda_n t}.
end {eqnarray *}

En esta sección consideramos el caso en el que (A ) tiene (n ) autovalores reales, pero no tiene (n ) autovectores linealmente independientes. Se muestra en álgebra lineal que esto ocurre si y solo si (A ) tiene al menos un valor propio de multiplicidad (r> 1 ) tal que el espacio propio asociado tiene una dimensión menor que (r ). En este caso, se dice que (A ) es ( textcolor {azul} { mbox {defectuoso}} ). Dado que está fuera del alcance de este libro dar un análisis completo de sistemas con matrices de coeficientes defectuosas, restringiremos nuestra atención a algunos casos especiales que ocurren comúnmente.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Demuestre que el sistema

begin {ecuación} label {eq: 4.5.1}
{ bf y} '= left [ begin {array} {11} & {-25} 4 & {-9} end {array} right] { bf y}
end {ecuación}

no tiene un conjunto fundamental de soluciones de la forma ( {{ bf x} _1e ^ { lambda_1t}, { bf x} _2e ^ { lambda_2t} } ), donde ( lambda_1 ) y ( lambda_2 ) son valores propios de la matriz de coeficientes (A ) de eqref {eq: 4.5.1} y ({ bf x} _1 ), y ({ bf x} _2 ) son vectores propios asociados linealmente independientes.

Respuesta

El polinomio característico de (A ) es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} {11} - lambda & {-25} 4 & {-9} - lambda end {array} right]
& = & ( lambda-11) ( lambda + 9) +100
& = & lambda ^ 2-2 lambda + 1 = ( lambda-1) ^ 2.
end {eqnarray *}

Por tanto, ( lambda = 1 ) es el único valor propio de (A ). La matriz aumentada del sistema ((A-I) { bf x} = { bf 0} ) es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 10 & -25 & vdots & 0 4 & -10 & vdots $ 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & - displaystyle {5 over 2} & vdots & 0 0 & 0 & vdots & 0 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por tanto, (x_1 = 5x_2 / 2 ) donde (x_2 ) es arbitrario. Por lo tanto, todos los vectores propios de (A ) son múltiplos escalares de ({ bf x} _1 = left [ begin {array} 5 2 end {array} right] ), entonces ( A ) no tiene un conjunto de dos vectores propios linealmente independientes.

Del Ejemplo ((4.5.1) ), sabemos que todos los múltiplos escalares de ({ bf y} _1 = left [ begin {array} 5 2 end {array} right] e ^ t ) son soluciones de eqref {eq: 4.5.1}; sin embargo, para encontrar la solución general debemos encontrar una segunda solución ({ bf y} _2 ) tal que ( {{ bf y} _1, { bf y} _2 } ) sea linealmente independiente. Basado en su recuerdo del procedimiento para resolver una ecuación escalar de coeficiente constante

begin {eqnarray *}
ay '' + por '+ cy = 0
end {eqnarray *}

en el caso de que el polinomio característico tenga una raíz repetida, se puede esperar obtener una segunda solución de eqref {eq: 4.5.1} multiplicando la primera solución por (t ). Sin embargo, esto produce ({ bf y} _2 = left [ begin {array} 5 2 end {array} right] te ^ t ), que no funciona, ya que

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 '= left [ begin {array} 5 2 end {array} right] (te ^ t + e ^ t), quad mbox {while} quad left [ begin {array} 11 & -25 4 & -9 end {array} right] { bf y} _2 = left [ begin {array} 5 2 end {matriz} right] te ^ t.
end {eqnarray *}

El siguiente teorema muestra qué hacer en esta situación.

Teorema ( PageIndex {1} )

Suponga que la matriz (n times n ) (A ) tiene un valor propio ( lambda_1 ) de multiplicidad ( ge2 ) y el espacio propio asociado tiene una dimensión (1; ) es decir, todo ( lambda_1 ) - los vectores propios de (A ) son múltiplos escalares de un vector propio ({ bf x} ). Entonces hay infinitos vectores ({ bf u} ) tales que

begin {ecuación} label {eq: 4.5.2}
(A- lambda_1I) { bf u} = { bf x}.
end {ecuación}

Además, si ({ bf u} ) es uno de esos vectores, entonces

begin {ecuación} label {eq: 4.5.3}
{ bf y} _1 = { bf x} e ^ { lambda_1t} quad mbox {y} quad { bf y} _2 = { bf u} e ^ { lambda_1t} + { bf x } te ^ { lambda_1t}
end {ecuación}

son soluciones linealmente independientes de ({ bf y} '= A { bf y} ).

Prueba

Agregue una prueba aquí y se ocultará automáticamente si tiene una plantilla "Autonum" activa en la página.

Una prueba completa de este teorema está más allá del alcance de este libro. La dificultad está en probar que hay un vector ({ bf u} ) que satisface eqref {eq: 4.5.2}, ya que ( det (A- lambda_1I) = 0 ). Tomaremos esto sin prueba y verificaremos las otras afirmaciones del teorema.

Ya sabemos que ({ bf y} _1 ) en eqref {eq: 4.5.3} es una solución de ({ bf y} '= A { bf y} ). Para ver que ({ bf y} _2 ) también es una solución, calculamos

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2'-A { bf y} _2 & = & lambda_1 { bf u} e ^ { lambda_1t} + { bf x} e ^ { lambda_1t}
+ lambda_1 { bf x} te ^ { lambda_1t} -A { bf u} e ^ { lambda_1t} -A { bf x} te ^ { lambda_1t}
& = & ( lambda_1 { bf u} + { bf x} -A { bf u}) e ^ { lambda_1t} + ( lambda_1 { bf x} -A { bf x}) te ^ { lambda_1t}.
end {eqnarray *}

Dado que (A { bf x} = lambda_1 { bf x} ), esto se puede escribir como

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 '- A { bf y} _2 = - left ((A - lambda_1 l) { bf u} - { bf x} right) e ^ { lambda_1 t},
end {eqnarray *}

y ahora eqref {eq: 4.5.2} implica que ({ bf y} _2 '= A { bf y} _2 ).

Para ver que ({ bf y} _1 ) y ({ bf y} _2 ) son linealmente independientes, suponga que (c_1 ) y (c_2 ) son constantes tales que

begin {ecuación} label {eq: 4.5.4}
c_1 { bf y} _1 + c_2 { bf y} _2 = c_1 { bf x} e ^ { lambda_1t} + c_2 ({ bf u} e ^ { lambda_1t} + { bf x} te ^ { lambda_1t}) = { bf 0}.
end {ecuación}

Debemos demostrar que (c_1 = c_2 = 0 ). Multiplicar eqref {eq: 4.5.4} por (e ^ {- lambda_1t} ) muestra que

begin {ecuación} label {eq: 4.5.5}
c_1 { bf x} + c_2 ({ bf u} + { bf x} t) = { bf 0}.
end {ecuación}

Al diferenciar esto con respecto a (t ), vemos que (c_2 { bf x} = { bf 0} ), lo que implica (c_2 = 0 ), porque ({ bf x} ne { bf 0} ). Sustituyendo (c_2 = 0 ) en eqref {eq: 4.5.5} se obtiene (c_1 { bf x} = { bf 0} ), lo que implica que (c_1 = 0 ), nuevamente porque ({ bf x} ne { bf 0} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Utilice el teorema ((4.5.1) ) para encontrar la solución general del sistema

begin {ecuación} label {eq: 4.5.6}
{ bf y} '= left [ begin {array} {11} & {-25} 4 & {-9} end {array} right] { bf y}
end {ecuación}

considerado en el Ejemplo ((4.5.1) ).

Respuesta

En el Ejemplo ((4.5.1) ) vimos que ( lambda_1 = 1 ) es un valor propio de multiplicidad (2 ) de la matriz de coeficientes (A ) en eqref {eq: 4.5.6 }, y que todos los autovectores de (A ) son múltiplos de

begin {eqnarray *}
{ bf x} = left [ begin {array} 5 2 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} 5 2 end {array} right] e ^ t
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.5.6}. Del teorema ((4.5.1) ), una segunda solución viene dada por ({ bf y} _2 = { bf u} e ^ t + { bf x} te ^ t ), donde (( AI) { bf u} = { bf x} ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 10 & -25 & vdots & 5 4 & -10 & vdots & 2 end {array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & - {5 over 2} & vdots & {1 over 2} 0 & 0 & vdots & 0 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, los componentes de ({ bf u} ) deben satisfacer

begin {eqnarray *}
u_1 - {5 over 2} u_2 = {1 over 2},
end {eqnarray *}

donde (u_2 ) es arbitrario. Elegimos (u_2 = 0 ), de modo que (u_1 = 1/2 ) y

begin {eqnarray *}
{ bf u} = left [ begin {array} {1 over 2} 0 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto,

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} 1 0 end {array} right] {e ^ t over 2} + left [ begin {array} 5 2 end {matriz} right] e ^ t.
end {eqnarray *}

Dado que ({ bf y} _1 ) y ({ bf y} _2 ) son linealmente independientes por el Teorema ((4.5.1) ), forman un conjunto fundamental de soluciones de eqref {eq: 4.5.6}. Por lo tanto, la solución general de eqref {eq: 4.5.6} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 left [ begin {array} 5 2 end {array} right] e ^ t + c_2 left ( left [ begin {array} 1 0 end {matriz} right] {e ^ t over 2} + left [ begin {matriz} 5 2 end {matriz} right] te ^ t right)
end {eqnarray *}

Tenga en cuenta que elegir la constante arbitraria (u_2 ) para que sea distinta de cero es equivalente a sumar un múltiplo escalar de ({ bf y} _1 ) a la segunda solución ({ bf y} _2 ) (Ejercicio ( (4.5E.33) )).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentra la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 4.5.7}
{ bf y} '= left [ begin {array} 3 & 4 & {-10} 2 & 1 & {-2} 2 & 2 & {-5} end {array} right] { bf y}.
end {ecuación}

Respuesta

El polinomio característico de la matriz de coeficientes (A ) en eqref {eq: 4.5.7} es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 3- lambda & 4 & -10 2 & 1- lambda & -2 2 & 2 & -5- lambda end {array} right] = - ( lambda-1) ( lambda + 1) ^ 2.
end {eqnarray *}

Por lo tanto, los valores propios son ( lambda_1 = 1 ) con multiplicidad (1 ) y ( lambda_2 = -1 ) con multiplicidad (2 ).

Los vectores propios asociados con ( lambda_1 = 1 ) deben satisfacer ((A-I) { bf x} = { bf 0} ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 2 & 4 & -10 & vdots & 0 2 & 0 & -2 & vdots & 0 2 & 2 & -6 & vdots & 0 end { array} right]
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & -2 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array } derecho].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, (x_1 = x_3 ) y (x_2 = 2 x_3 ), donde (x_3 ) es arbitrario. Al elegir (x_3 = 1 ) se obtiene el vector propio

begin {eqnarray *}
{ bf x} _1 = left [ begin {array} 1 2 1 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} 1 2 1 end {array} right] e ^ t
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.5.7}.

Los vectores propios asociados con ( lambda_2 = -1 ) satisfacen ((A + I) { bf x} = { bf 0} ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 4 & 4 & -10 & vdots & 0 2 & 2 & -2 & vdots & 0 2 & 2 & -4 & vdots & 0 end { array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 1 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 1 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} derecho].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, (x_3 = 0 ) y (x_1 = -x_2 ), donde (x_2 ) es arbitrario. Al elegir (x_2 = 1 ) se obtiene el vector propio

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

entonces

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right] e ^ {- t}
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.5.7}.

Dado que todos los vectores propios de (A ) asociados con ( lambda_2 = -1 ) son múltiplos de ({ bf x} _2 ), ahora debemos usar el Teorema ((4.5.1) ) para encuentra una tercera solución de eqref {eq: 4.5.7} en la forma

begin {ecuación} label {eq: 4.5.8}
{ bf y} _3 = { bf u} e ^ {- t} + left [ begin {array} {-1} 1 0 end {array} right] te ^ { -t},
end {ecuación}

donde ({ bf u} ) es una solución de ((A + I) { bf u = x} _2 ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 4 & 4 & -10 & vdots & -1 2 & 2 & -2 & vdots & 1 2 & 2 & -4 & vdots & 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 1 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 1 & vdots & {1 over 2} 0 & 0 & 0 & vdots & 0 fin {matriz} derecha].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, (u_3 = 1/2 ) y (u_1 = 1-u_2 ), donde (u_2 ) es arbitrario. Al elegir (u_2 = 0 ) se obtiene

begin {eqnarray *}
{ bf u} = left [ begin {array} 1 0 {1 over 2} end {array} right],
end {eqnarray *}

y sustituyendo esto en eqref {eq: 4.5.8} se obtiene la solución

begin {eqnarray *}
{ bf y} _3 = left [ begin {array} 2 0 1 end {array} right] {e ^ {- t} over 2} + left [ begin { matriz} -1 1 0 end {matriz} derecha] te ^ {- t}
end {eqnarray *}

de eqref {eq: 4.5.7}.

Dado que el Wronskiano de ( {{ bf y} _1, { bf y} _2, { bf y} _3 } ) en (t = 0 ) es

begin {eqnarray *}
left | begin {array} 1 & -1 & 1 2 & 1 & 0 1 & 0 & {1 over 2} end {array} right | = {1 over 2},
end {eqnarray *}

( {{ bf y} _1, { bf y} _2, { bf y} _3 } ) es un conjunto fundamental de soluciones de eqref {eq: 4.5.7}. Por lo tanto, la solución general de eqref {eq: 4.5.7} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 left [ begin {array} 1 2 1 end {array} right] e ^ t + c_2 left [ begin {array} -1 1 0 end {matriz} right] e ^ {- t} + c_3 left ( left [ begin {matriz} 2 0 1 end {matriz} right] { e ^ {- t} over 2} + left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right] e ^ {- t} right).
end {eqnarray *}

Teorema ( PageIndex {2} )

Suponga que la matriz (n times n ) (A ) tiene un valor propio ( lambda_1 ) de multiplicidad ( ge 3 ) y el espacio propio asociado es unidimensional; es decir, todos los vectores propios asociados con ( lambda_1 ) son múltiplos escalares del vector propio ({ bf x}. ) Entonces hay infinitos vectores ({ bf u} ) tales que

begin {ecuación} label {eq: 4.5.9}
(A- lambda_1I) { bf u} = { bf x},
end {ecuación}

y, si ({ bf u} ) es cualquiera de esos vectores, hay infinitos vectores ({ bf v} ) tales que

begin {ecuación} label {eq: 4.5.10}
(A- lambda_1I) { bf v} = { bf u}.
end {ecuación}

Si ({ bf u} ) satisface { rm eqref {eq: 4.5.9}} y ({ bf v} ) satisface eqref {eq: 4.5.10}, entonces

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 & = & { bf x} e ^ { lambda_1t},
{ bf y} _2 & = & { bf u} e ^ { lambda_1t} + { bf x} te ^ { lambda_1t}, mbox {
y }
{ bf y} _3 & = & { bf v} e ^ { lambda_1t} + { bf u} te ^ { lambda_1t} + { bf
x} {t ^ 2e ^ { lambda_1t} over2}
end {eqnarray *}

son soluciones linealmente independientes de ({ bf y} '= A { bf y} ).

Prueba

Agregue una prueba aquí y se ocultará automáticamente si tiene una plantilla "Autonum" activa en la página.

Nuevamente, está fuera del alcance de este libro probar que hay vectores ({ bf u} ) y ({ bf v} ) que satisfacen eqref {eq: 4.5.9} y
eqref {eq: 4.5.10}. El teorema ((4.5.1) ) implica que ({ bf y} _1 ) y ({ bf y} _2 ) son soluciones de ({ bf y} '= A { bf y } ). Te dejamos el resto de la prueba (Ejercicio ((4.5E.34) )).

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Usa el teorema ((4.5.2) ) para encontrar la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 4.5.11}
{ bf y} '= left [ begin {array} 1 & 1 & 1 1 & 3 & {-1} 0 & 2 & 2 end {array} right] { bf y}.
end {ecuación}

Respuesta

El polinomio característico de la matriz de coeficientes (A ) en eqref {eq: 4.5.11} es

begin {eqnarray *}
left | begin {matriz} 1- lambda & 1 & phantom {-} 1 1 & 3- lambda & -1 0 & 2 & - lambda end {matriz} right | = - ( lambda-2) ^ 3.
end {eqnarray *}

Por tanto, ( lambda_1 = 2 ) es un valor propio de multiplicidad (3 ). Los vectores propios asociados satisfacen ((A-2I) { bf x = 0} ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -1 & 1 & 1 & vdots & 0 1 & 1 & -1 & vdots & 0 0 & 2 & 0 & vdots & 0 end {array } derecho],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} derecho].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, (x_1 = x_3 ) y (x_2 = 0 ), por lo que los vectores propios son todos múltiplos escalares de

begin {eqnarray *}
{ bf x} _1 = left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t}
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.5.11}.

Ahora encontramos una segunda solución de eqref {eq: 4.5.11} en la forma

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = { bf u} e ^ {2t} + left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] t e ^ {2t},
end {eqnarray *}

donde ({ bf u} ) satisface ((A-2I) { bf u = x} _1 ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -1 & 1 & 1 & vdots & 1 1 & 1 & -1 & vdots & 0 0 & 2 & 0 & vdots & 1 end {array } derecho],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & - {1 over 2} 0 & 1 & 0 & vdots & {1 over 2} 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} right].
end {eqnarray *}

Dejando (u_3 = 0 ) produce (u_1 = -1 / 2 ) y (u_2 = 1/2 ); por eso,

begin {eqnarray *}
{ bf u} = {1 over 2} left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right]
end {eqnarray *}

y

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right] {e ^ {2t} over 2} + left [ begin { matriz} 1 0 1 end {matriz} derecha] te ^ {2t}
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.5.11}.

Ahora encontramos una tercera solución de eqref {eq: 4.5.11} en la forma

begin {eqnarray *}
{ bf y} _3 = { bf v} e ^ {2t} + left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right] {te ^ {2t} over 2} + left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] {t ^ 2 e ^ {2t} over 2}
end {eqnarray *}

donde ({ bf v} ) satisface ((A-2I) { bf v} = { bf u} ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -1 & 1 & 1 & vdots & - {1 over 2} 1 & 1 & -1 & vdots & {1 over 2} 0 & 2 & 0 & vdots & 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & {1 over 2} 0 & 1 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {matriz} right].
end {eqnarray *}

Dejando (v_3 = 0 ) produce (v_1 = 1/2 ) y (v_2 = 0 ); por eso,

begin {eqnarray *}
{ bf v} = {1 over 2} left [ begin {array} 1 0 0 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto

begin {eqnarray *}
{ bf y} _3 = left [ begin {array} 1 0 0 end {array} right] {e ^ {2t} over 2} + left [ begin {array } -1 1 0 end {matriz} right] {te ^ {2t} over 2} + left [ begin {array} 1 0 1 end { array} right] {t ^ 2 e ^ {2t} over 2}
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.5.11}. Dado que ({ bf y} _1 ), ({ bf y} _2 ) y ({ bf y} _3 ) son linealmente independientes por el Teorema ((4.5.2) ), forman un conjunto fundamental de soluciones de eqref {eq: 4.5.11}. Por lo tanto, la solución general de eqref {eq: 4.5.11} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} & = & c_1 left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t} + c_2 left ( left [ begin { matriz} {-1} 1 0 end {matriz} right] {e ^ {2t} over2} + left [ begin {matriz} 1 0 1 end {array} right] te ^ {2t} right)
&& + c_3 left ( left [ begin {array} 1 0 0 end {array} right] {e ^ {2t} over2} + left [ begin {array} {-1} 1 0 end {matriz} right] {te ^ {2t} over2} + left [ begin {array} 1 0 1 end {matriz } right] {t ^ 2e ^ {2t} over2} right).
end {eqnarray *}

Teorema ( PageIndex {3} )

Suponga que la matriz (n times n ) (A ) tiene un valor propio ( lambda_1 ) de multiplicidad ( ge 3 ) y el espacio propio asociado es bidimensional; es decir, todos los autovectores de (A ) asociados con ( lambda_1 ) son combinaciones lineales de dos autovectores linealmente independientes ({ bf x} _1 ) y ({ bf x} _2 ). Entonces hay constantes ( alpha ) y ( beta ) (no ambas cero) tales que si

begin {ecuación} label {eq: 4.5.12}
{ bf x} _3 = alpha { bf x} _1 + beta { bf x} _2,
end {ecuación}

entonces hay infinitos vectores ({ bf u} ) tales que

begin {ecuación} label {eq: 4.5.13}
(A- lambda_1I) { bf u} = { bf x} _3.
end {ecuación}

Si ({ bf u} ) satisface eqref {eq: 4.5.13}, entonces

begin {eqnarray}
{ bf y} _1 & = & { bf x} _1 e ^ { lambda_1t}, nonumber
{ bf y} _2 & = & { bf x} _2e ^ { lambda_1t}, mbox {y} nonumber
{ bf y} _3 & = & { bf u} e ^ { lambda_1t} + { bf x} _3te ^ { lambda_1t} label {eq: 4.5.14},
end {eqnarray}

son soluciones linealmente independientes de ({ bf y} '= A { bf y}. )

Prueba

Omitimos la demostración de este teorema.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Utilice el teorema ((4.5.3) ) para encontrar la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 4.5.15}
{ bf y} '= left [ begin {array} 0 & 0 & 1 {-1} & 1 & 1 {-1} & 0 & 2 end {array} right] { bf y}.
end {ecuación}

Respuesta

El polinomio característico de la matriz de coeficientes (A ) en eqref {eq: 4.5.15} es

begin {eqnarray *}
left | begin {matriz} - lambda & 0 & 1 -1 & 1- lambda & 1 -1 & 0 & 2- lambda end {matriz} right | = - ( lambda-1) ^ 3.
end {eqnarray *}

Por tanto, ( lambda_1 = 1 ) es un valor propio de multiplicidad (3 ). Los vectores propios asociados satisfacen ((A-I) { bf x = 0} ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -1 & 0 & 1 & vdots & 0 -1 & 0 & 1 & vdots & 0 -1 & 0 & 1 & vdots & 0 end { array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} derecho].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, (x_1 = x_3 ) y (x_2 ) es arbitrario, por lo que los vectores propios son de la forma

begin {eqnarray *}
{ bf x} _1 = left [ begin {array} x_3 x_2 x_3 end {array} right] = x_3 left [ begin {array} 1 0 1 end {matriz} right] + x_2 left [ begin {matriz} 0 1 0 end {matriz} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, los vectores

begin {ecuación} label {eq: 4.5.16}
{ bf x} _1 = left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] quad mbox {y} quad { bf x} _2 = left [ begin {array} 0 1 0 end {array} right]
end {ecuación}

forman una base para el espacio propio, y

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ t quad mbox {y} quad { bf y} _2 = left [ begin {array} 0 1 0 end {array} right] e ^ t
end {eqnarray *}

son soluciones linealmente independientes de eqref {eq: 4.5.15}.

Para encontrar una tercera solución linealmente independiente de eqref {eq: 4.5.15}, debemos encontrar las constantes ( alpha ) y ( beta ) (no ambas cero) tales que el sistema

begin {ecuación} label {eq: 4.5.17}
(A-I) { bf u} = alpha { bf x} _1 + beta { bf x} _2
end {ecuación}

tiene una solución ({ bf u} ). La matriz aumentada de este sistema es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -1 & 0 & 1 & vdots & alpha -1 & 0 & 1 & vdots & beta -1 & 0 & 1 & vdots & alpha end {matriz} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {ecuación} label {eq: 4.5.18}
left [ begin {array} {rrrcr} 1 & 0 & - 1 & vdots & - alpha 0 & 0 & 0
& vdots & beta- alpha 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array}
derecho].
end {ecuación}

Por lo tanto, eqref {eq: 4.5.17} tiene una solución si y solo si ( beta = alpha ), donde ( alpha ) es arbitrario. Si ( alpha = beta = 1 ) entonces eqref {eq: 4.5.12} y eqref {eq: 4.5.16} rinden

begin {eqnarray *}
{ bf x} _3 = { bf x} _1 + { bf x} _2 = left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] + left [ begin {array} 0 1 0 end {array} right] = left [ begin {array} 1 1 1 end {array} right],
end {eqnarray *}

y la matriz aumentada eqref {eq: 4.5.18} se convierte en

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & -1 0 & 0 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array } derecho].
end {eqnarray *}

Esto implica que (u_1 = -1 + u_3 ), mientras que (u_2 ) y (u_3 ) son arbitrarios. Al elegir (u_2 = u_3 = 0 ) se obtiene

begin {eqnarray *}
{ bf u} = left [ begin {array} -1 0 0 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por tanto, eqref {eq: 4.5.14} implica que

begin {eqnarray *}
{ bf y} _3 = { bf u} e ^ t + { bf x} _3 te ^ t = left [ begin {array} -1 0 0 end {array} derecha] e ^ t + izquierda [ begin {matriz} 1 1 1 end {matriz} derecha] te ^ t
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.5.15}. Dado que ({ bf y} _1 ), ({ bf y} _2 ) y ({ bf y} _3 ) son linealmente independientes por el Teorema ((4.5.3) ), Forme un conjunto fundamental de soluciones para eqref {eq: 4.5.15}. Por lo tanto, la solución general de eqref {eq: 4.5.15} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ t + c_2 left [ begin {array} 0 1 0 end {matriz} right] e ^ t + c_3 left ( left [ begin {matriz} -1 0 0 end {matriz} right] e ^ t + left [ begin {array} 1 1 1 end {array} right] e ^ t right)
end {eqnarray *}

Propiedades geométricas de soluciones cuando (n = 2 )

Ahora consideraremos las propiedades geométricas de las soluciones de un sistema de coeficientes constantes (2 times2 )

begin {ecuación} label {eq: 4.5.19}
left [ begin {array} {y_1 '} {y_2'} end {array} right] = left [ begin {array} {cc} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} y a_ {22}
end {matriz} right] left [ begin {matriz} {y_1} {y_2} end {matriz} right]
end {ecuación}

bajo los supuestos de esta sección; es decir, cuando la matriz

begin {eqnarray *}
A = left [ begin {array} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {array} right]
end {eqnarray *}

tiene un valor propio repetido ( lambda_1 ) y el espacio propio asociado es unidimensional. En este caso, sabemos por el teorema ((4.5.1) ) que la solución general de eqref {eq: 4.5.19} es

begin {ecuación} label {eq: 4.5.20}
{ bf y} = c_1 { bf x} e ^ { lambda_1t} + c_2 ({ bf u} e ^ { lambda_1t} + { bf
x} te ^ { lambda_1t}),
end {ecuación}

donde ({ bf x} ) es un vector propio de (A ) y ({ bf u} ) es cualquiera de las infinitas soluciones de

begin {ecuación} label {eq: 4.5.21}
(A- lambda_1I) { bf u} = { bf x}.
end {ecuación}

Suponemos que ( lambda_1 ne0 ).

Figura (4.5.1 )

Medios planos positivos y negativos

Sea (L ) la línea que pasa por el origen paralelo a ({ bf x} ). Por ( textcolor {azul} { mbox {media línea}} ) de (L ) nos referimos a cualquiera de los rayos obtenidos al eliminar el origen de (L ). La ecuación eqref {eq: 4.5.20} es una ecuación paramétrica de la media línea de (L ) en la dirección de ({ bf x} ) si (c_1> 0 ), o de la media línea de | (L ) en la dirección de (- { bf x} ) si (c_1 <0 ). El origen es la trayectoria de la solución trivial ({ bf y} equiv { bf 0} ).

De ahora en adelante, asumimos que (c_2 ne0 ). En este caso, la trayectoria de eqref {eq: 4.5.20} no puede intersecar (L ), ya que cada punto de (L ) está en una trayectoria obtenida estableciendo (c_2 = 0 ). Por lo tanto, la trayectoria de eqref {eq: 4.5.20} debe estar completamente en uno de los semiplanos abiertos delimitados por (L ), pero no contiene ningún punto en (L ). Dado que el punto inicial ((y_1 (0), y_2 (0)) ) definido por ({ bf y} (0) = c_1 { bf x} _1 + c_2 { bf u} ) está en la trayectoria, podemos determinar qué semiplano contiene la trayectoria a partir del signo de (c_2 ), como se muestra en la Figura (4.5.1 ). Por conveniencia, llamaremos al semiplano donde (c_2> 0 ) el ( textcolor {azul} { mbox {semiplano positivo}} ). De manera similar, el medio plano donde (c_2 <0 ) es el ( textcolor {azul} { mbox {medio plano negativo}} ). Debe convencerse a sí mismo (ejercicio ((4.5E.35) )) de que aunque hay infinitos vectores ({ bf u} ) que satisfacen eqref {eq: 4.5.21}, todos definen el mismos semiplanos positivos y negativos. En las figuras, simplemente considere ({ bf u} ) como una flecha que apunta al semiplano positivo, ya que no intentamos darle a ({ bf u} ) su longitud o dirección adecuadas en comparación con ({ bf x} ). Para nuestros propósitos aquí, solo la orientación relativa de ({ bf x} ) y ({ bf u} ) es importante; es decir, si el semiplano positivo está a la derecha de un observador que mira en la dirección de ({ bf x} ) (como en las Figuras (4.5.2 ) y (4.5.5 )), oa la izquierda del observador (como en las Figuras (4.5.3 ) y (4.5.4 )).

Al multiplicar eqref {eq: 4.5.20} por (e ^ {- lambda_1t} ) se obtiene

begin {eqnarray *}
e ^ {- lambda_1 t} { bf y} (t) = c_1 { bf x} + c_2 { bf u} + c_2 t { bf x}.
end {eqnarray *}

Dado que el último término de la derecha es dominante cuando (| t | ) es grande, esto proporciona la siguiente información sobre la dirección de ({ bf y} (t) ):

(a) A lo largo de trayectorias en el semiplano positivo ( (c_2> 0 )), la dirección de ({ bf y} (t) ) se acerca a la dirección de ({ bf x} ) como (t to infty ) y la dirección de (- { bf x} ) como (t to- infty ).

(b) A lo largo de trayectorias en el semiplano negativo ( (c_2 <0 )), la dirección de ({ bf y} (t) ) se acerca a la dirección de (- { bf x} ) como (t to infty ) y la dirección de ({ bf x} ) como (t to- infty ).

Desde

begin {eqnarray *}
lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = infty quad mbox {y} quad lim_ {t to- infty} { bf y} (t) = { bf 0} quad mbox {if} quad lambda_1> 0,
end {eqnarray *}

o

begin {eqnarray *}
lim_ {t- to infty} | { bf y} (t) | = infty quad mbox {y} quad lim_ {t to infty} { bf y} (t) = { bf 0} quad mbox {if} quad lambda_1 <0,
end {eqnarray *}

hay cuatro patrones posibles para las trayectorias de eqref {eq: 4.5.19}, dependiendo de los signos de (c_2 ) y ( lambda_1 ).
Las figuras (4.5.2 ) a (4.5.5 ) ilustran estos patrones y revelan el siguiente principio:

Si ( lambda_1 ) y (c_2 ) tienen el mismo signo, entonces la dirección de la trayectoria se aproxima a la dirección de (- { bf x} ) como ( | { bf y} | to0 ) y la dirección de ({ bf x} ) como ( | { bf y} | to infty ) Si ( lambda_1 ) y (c_2 ) tienen signos opuestos entonces la dirección de la trayectoria se aproxima a la dirección de ({ bf x} ) como ( | { bf y} | to0 ) y la dirección de (- { bf x} ) como ( | { bf y} | to infty ).

Figura (4.5.2 )

Valor propio positivo; movimiento lejos del origen

Valor propio positivo; movimiento lejos del origen

Valor propio negativo; movimiento hacia el origen


Figura (4.5.5 )

Valor propio negativo; movimiento hacia el origen


4.5: Sistemas homogéneos de coeficiente constante II - Matemáticas

En esta sección examinaremos el último caso de las ecuaciones diferenciales de segundo orden de coeficiente constante, lineal y homogéneo. En este caso queremos soluciones para

donde las soluciones a la ecuación característica

Sin embargo, esto conduce a un problema. Recuerde que las soluciones son

Éstas son la misma solución y NO serán "suficientemente agradables" para formar una solución general. ¡Prometemos que finalmente definiremos "suficientemente agradable"! Entonces, podemos usar la primera solución, pero necesitaremos una segunda solución.

Antes de encontrar esta segunda solución, hagamos un pequeño viaje. La razón del viaje lateral quedará clara eventualmente. De la fórmula cuadrática sabemos que las raíces de la ecuación característica son,

En este caso, dado que tenemos raíces dobles debemos tener

Esta es la única forma en que podemos obtener raíces dobles y en este caso las raíces serán

Entonces, la única solución que tenemos es

Para encontrar una segunda solución utilizaremos el hecho de que una constante multiplicada por una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución. Si esto es cierto entonces quizás tendremos suerte y lo siguiente también será una solución

con una elección adecuada de (v (t) ). Para determinar si esto de hecho se puede hacer, conectemos esto de nuevo a la ecuación diferencial y veamos qué obtenemos. Primero necesitaremos un par de derivados.

Dejamos caer la parte ( left (t right) ) en la (v ) para simplificar un poco las cosas para la escritura de las derivadas. Ahora, inserte estos en la ecuación diferencial.

Podemos factorizar una exponencial de todos los términos, así que hagámoslo. También recopilaremos todos los coeficientes de (v ) y sus derivadas.

Ahora, como estamos trabajando con una raíz doble, sabemos que el segundo término será cero. Además, las exponenciales nunca son cero. Por tanto, ( eqref) será una solución a la ecuación diferencial siempre que (v (t) ) sea una función que satisfaga la siguiente ecuación diferencial.

Podemos eliminar (a ) porque sabemos que no puede ser cero. ¡Si lo fuera, no tendríamos una ecuación diferencial de segundo orden! Entonces, ahora podemos determinar la forma más general posible que es permisible para (v (t) ).

En realidad, esto es más complicado de lo que necesitamos y, de hecho, podemos eliminar ambas constantes de esto. Para ver por qué esto es así, sigamos adelante y usemos esto para obtener la segunda solución. Las dos soluciones son entonces

Eventualmente podrá demostrar que estas dos soluciones son "lo suficientemente agradables" para formar una solución general. La solución general sería entonces la siguiente.

Observe que reorganizamos un poco las cosas. Ahora, (c ), (k ), (c_ <1> ) y (c_ <2> ) son todas constantes desconocidas, por lo que cualquier combinación de ellas también será constantes desconocidas. En particular, (c_ <1> + c_ <2> k ) y (c_ <2> c ) son constantes desconocidas, así que las reescribiremos de la siguiente manera.

Entonces, si volvemos a la forma más general para (v (t) ) podemos tomar (c = 1 ) y (k = 0 ) y llegaremos a la misma solución general.

Recapitulemos. Si las raíces de la ecuación característica son (r_ <1> = r_ <2> = r ), entonces la solución general es

Ahora, trabajemos con un par de ejemplos.

La ecuación característica y sus raíces son.

La solución general y su derivada son

¡No olvides la regla del producto el segundo término! Conectando las condiciones iniciales da el siguiente sistema.

[empezar12 & = y left (0 right) = - 3 & = y ' left (0 right) = 2 + final]

Este sistema se resuelve fácilmente para obtener (c_ <1> = 12 ) y (c_ <2> = -27 ). La solución real para el IVP es entonces.

La ecuación característica y sus raíces son.

La solución general y su derivada son

¡No olvides la regla del producto el segundo término! Conectando las condiciones iniciales da el siguiente sistema.

Este sistema se resuelve fácilmente para obtener (c_ <1> = 3 ) y (c_ <2> = -6 ). La solución real para el IVP es entonces.

La ecuación característica y sus raíces son.

La solución general y su derivada son

Si se introducen las condiciones iniciales, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones.


4.5: Sistemas homogéneos de coeficiente constante II - Matemáticas

Coordinador de curso: Dr. Trent Mattner

Horario del curso

El calendario completo de todas las actividades de este curso se puede acceder desde Course Planner.

Resultados del aprendizaje del curso
  1. Derivar modelos matemáticos de sistemas físicos.
  2. Presentar soluciones matemáticas de manera concisa e informativa.
  3. Reconocer las EDO que se pueden resolver analíticamente y aplicar métodos de solución adecuados.
  4. Resuelva EDO más difíciles utilizando series de potencias.
  5. Conozca las propiedades clave de algunas funciones especiales.
  6. Expresar funciones usando la serie de Fourier.
  7. Resuelva ciertas EDO y PDE utilizando transformadas de Fourier y Laplace.
  8. Resuelva problemas numéricamente a través de la transformada rápida de Fourier usando Matlab.
  9. Resolver PDE estándar (ecuaciones de olas y calor) usando métodos apropiados.
  10. Evaluar y representar soluciones de ecuaciones diferenciales usando Matlab.
Atributos de los graduados universitarios

Este curso brindará a los estudiantes la oportunidad de desarrollar los atributos de posgrado que se especifican a continuación:

  • informado e infundido por la investigación de vanguardia, andamios a lo largo de su programa de estudios
  • adquirido a partir de la interacción personal con educadores activos de investigación, desde el año 1
  • acreditado o validado según estándares nacionales o internacionales (para programas relevantes)
  • impregnado de métodos de investigación y rigor
  • basado en evidencia empírica y el enfoque científico para el desarrollo del conocimiento
  • demostrado a través de una evaluación adecuada y relevante
Recursos necesarios
Recursos recomendados
Aprender en línea

Este curso utiliza MyUni extensa y exclusivamente para proporcionar recursos electrónicos, como notas del curso, preguntas de tareas y tutoriales, y soluciones trabajadas. Los estudiantes deben hacer un uso adecuado de estos recursos. Se puede acceder a MyUni aquí: https://myuni.adelaide.edu.au/

Este curso también hace uso de un software de evaluación en línea para matemáticas llamado Mobius, que usamos para proporcionar a los estudiantes retroalimentación formativa instantánea. Se proporcionarán más detalles sobre el uso de Mobius en MyUni.

También se les recuerda a los estudiantes que deben revisar su correo electrónico de la Universidad a diario. A veces, se puede enviar información importante y urgente por correo electrónico y se espera que los estudiantes la hayan leído. Cualquier problema para acceder o administrar las cuentas de correo electrónico de los estudiantes debe dirigirse a Servicios de Tecnología.

Modos de aprendizaje y enseñanza de amplificador
Carga de trabajo

La siguiente información se proporciona como una guía para ayudar a los estudiantes a participar adecuadamente con los requisitos del curso.

Actividad Cantidad Horas de carga de trabajo
Videos de conferencias 68
Tutoriales 11 22
Prueba de mitad de semestre 1 9
Tareas escritas 5 24
Asignaciones en línea 11 33
TOTALES 156
Resumen de actividades de aprendizaje
Calendario
Semana 1 Ecuaciones diferenciales y aplicaciones
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), campos direccionales
EDO separables, lineales y exactas de primer orden, sustitución
Semana 2 Existencia y singularidad de soluciones de EDO de primer orden.
EDO homogéneas, superposición, independencia lineal, Wronskian
Reducción de orden, EDO homogéneas de coeficiente constante
Semana 3 Modelado de sistemas masa-resorte-salpicadero, oscilaciones libres
EDO no homogéneo, método de coeficientes indeterminados
Oscilaciones forzadas, circuitos eléctricos.
Semana 4 Variación de parámetros
Sistemas de EDO y aplicaciones de primer orden
Sistemas lineales homogéneos de coeficiente constante de EDO
Semana 5 EDO homogéneas de coeficiente variable, ecuación de Euler-Cauchy, método de series de potencias
Puntos ordinarios y singulares, ecuación de Legendre
Método de Frobenius, ecuación de Bessel
Semana 6 Funciones de Bessel
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace inversa, fracciones parciales, desplazamiento s
Semana 7 Transformada de Laplace de derivadas, aplicación a EDO
Circunvolución
Función de paso unitario, cambio de t, función delta de Dirac
Semana 8 series de Fourier
Forma compleja de la serie de Fourier, espectro de energía, convergencia
Serie de seno y coseno de Fourier, expansiones de medio rango
Semana 9 Ecuaciones diferenciales parciales (PDE), ecuación de onda, solución D & rsquoAlembert & rsquos
Separación de variables en 1D
Separación de variables en 2D
Semana 10 Ecuación de calor
Ecuación de Laplace
Solución de transformada de Laplace de PDE
Semana 11 Transformada de Fourier, integral de Fourier, transformadas de seno y coseno de Fourier
Solución de transformada de Fourier de PDE
Transformada discreta de Fourier
Semana 12 Transformada rápida de Fourier

  1. La evaluación debe fomentar y reforzar el aprendizaje.
  2. La evaluación debe permitir juicios sólidos y justos sobre el desempeño de los estudiantes.
  3. Las prácticas de evaluación deben ser justas y equitativas para los estudiantes y brindarles la oportunidad de demostrar lo que han aprendido.
  4. La evaluación debe mantener los estándares académicos.
Resumen de la evaluación
Evaluación
Tarea Tipo Ponderación Los resultados del aprendizaje
Tareas escritas Formativo y sumativo 17.5 % Todas
Tareas de Mobius (en línea) Formativo y Sumativo 17.5 % Todos excepto 2
Prueba de mitad de semestre Sumativo 15 % 1,2,3,4,5
Examen Sumativo 50 % Todas
Requisitos relacionados con la evaluación

Se requiere una puntuación total de al menos el 50% para aprobar el curso.

Detalle de la evaluación

Las asignaciones escritas vencen cada quince días. La primera tarea escrita se publicará en la semana 2 y se entregará en la semana 4.

Las asignaciones de Mobius (en línea) vencen todas las semanas. La primera tarea de Mobius se lanzará en la semana 2 y se entregará en la semana 4.

La prueba de mitad de semestre se llevará a cabo en la Semana 8. Se proporcionarán más detalles, incluidas las fechas, horas y lugares de la prueba, por correo electrónico y MyUni.

Sumisión
Calificación del curso

Las calificaciones por su desempeño en este curso se otorgarán de acuerdo con el siguiente esquema:

M10 (Esquema de calificaciones de trabajos de curso)
Calificación Marcos Descripción
F NS No fallar ninguna presentación
F 1-49 Fallar
PAG 50-64 Aprobar
C 65-74 Crédito
D 75-84 Distinción
HD 85-100 Alta distinción
CN Continuo
NFE Sin examen formal
RP Resultado pendiente

Se pueden obtener más detalles de las calificaciones / resultados en Exámenes.

Hay descriptores de grado disponibles que brindan una guía general del estándar de trabajo que se espera en cada nivel de grado. Más información en Evaluación de programas de trabajo de curso.

Los resultados finales de este curso estarán disponibles a través de Access Adelaide.

La Universidad otorga una alta prioridad a los enfoques de aprendizaje y enseñanza que mejoran la experiencia del estudiante. Se busca la retroalimentación de los estudiantes de diversas formas, incluido el compromiso continuo con el personal, el uso de foros de discusión en línea y el uso de encuestas sobre la experiencia del estudiante en el aprendizaje y la enseñanza (SELT), así como encuestas de GOS y revisiones de programas.

Los SELT son una fuente importante de información para informar la práctica docente individual, las decisiones sobre las tareas docentes y el diseño del plan de estudios de cursos y programas. Permiten a la Universidad evaluar la eficacia con la que sus entornos de aprendizaje y prácticas de enseñanza facilitan la participación de los estudiantes y los resultados del aprendizaje. Según la Política SELT actual (http://www.adelaide.edu.au/policies/101/), los SELT de los cursos son obligatorios y deben realizarse al final de cada término / semestre / trimestre para cada curso que se ofrece. Los comentarios sobre los problemas planteados a través de las encuestas SELT del curso están disponibles para los estudiantes matriculados a través de varios recursos (por ejemplo, MyUni). Además, se encuentran disponibles datos SELT del curso agregados.

Esta sección contiene enlaces a políticas y directrices relevantes relacionadas con la evaluación: todas las políticas de la universidad.

Se recuerda a los estudiantes que para mantener la integridad académica de todos los programas y cursos, la universidad tiene un enfoque de tolerancia cero para los estudiantes que ofrecen dinero o bienes o servicios de valor significativo a cualquier miembro del personal que esté involucrado en su enseñanza o evaluación. Los estudiantes que ofrezcan a los profesores, tutores o personal profesional algo más que una pequeña muestra de agradecimiento es totalmente inaceptable, en cualquier circunstancia. Los miembros del personal están obligados a informar todos estos incidentes a su supervisor / gerente, quien los derivará para que se tomen medidas según los procedimientos disciplinarios de los estudiantes de la universidad.

La Universidad de Adelaida se compromete a realizar revisiones periódicas de los cursos y programas que ofrece a los estudiantes. Por lo tanto, la Universidad de Adelaida se reserva el derecho de suspender o modificar programas y cursos sin previo aviso. Lea la información importante contenida en el descargo de responsabilidad.


Ecuaciones homogéneas de coeficiente constante: raíces reales

Descarga el video de iTunes U o del Archivo de Internet.

PROFESOR: Hola a todos. Bienvenido de nuevo. Así que hoy, vamos a echar un vistazo a las ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, y específicamente, el caso en el que tenemos raíces reales. Y comenzaremos el problema mirando la ecuación x punto punto más 8x punto más 7x igual a 0.

Y se nos pide que encontremos la solución general a esta ecuación diferencial. Y luego también tenemos la pregunta, ¿todas las soluciones van a 0 cuando t va al infinito? Y luego, para la parte B, veremos solo la ecuación diferencial y el punto es igual a k * y negativo. Entonces, esta es la misma ecuación que hemos visto en recitaciones anteriores.

Y solo vamos a mostrar que podemos usar este método para resolver esta ecuación diferencial y obtener el mismo resultado. Y finalmente, nos preguntan, o nos dicen que tenemos ocho raíces en una ecuación diferencial de octavo orden, 4 negativo, 3 negativo, 2 negativo, 1 negativo, 0, 1, 2 y 3. Y nosotros Se les pregunta cuál es la solución general. Entonces, ¿por qué no se toma un momento y trata de resolver estos problemas? Volveré en un minuto.

Hola a todos. Bienvenido de nuevo. Bien, entonces se nos pide que encontremos la solución general ax doble punto más 8x punto más 7x igual a 0. Y vemos que esta es una ecuación diferencial, es lineal y tiene coeficientes constantes. Y siempre que tengamos una ecuación diferencial que sea lineal con coeficientes constantes, una de las formas estándar de generar la solución es buscar lo que a veces los matemáticos llaman un ansatz, pero es intentar una solución de la forma x es igual a una constante multiplicada por e para la mierda

Y si sustituimos una solución n de esta forma, vemos que tomar la segunda derivada de esta función baja dos s. Una derivada tira hacia abajo una s. Aquí no tenemos derivados. Y también tenemos, en cada término, un factor de c multiplicado por e elevado a s * t. Y queremos que sea 0.

Así que específicamente, ce to the s * t no puede ser 0 para todo el tiempo. Entonces, la única forma en que esto puede ser válido es si s al cuadrado más 8s más 7 es igual a 0. Entonces, lo que esto significa es que si elegimos s para resolver este polinomio, entonces x es igual a c e y s * t será la solución. Y esta será la solución para cualquier constante c.

Bien, entonces, ¿cuáles son las raíces de esta ecuación algebraica? Bueno, podemos factorizarlo. Las raíces serán negativas 7 y negativas 1. Y observe cómo todo este proceso ha convertido una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más simple. Entonces, si podemos resolver la ecuación algebraica, entonces podemos resolver la ecuación diferencial.

Bien, entonces la solución general. Bueno, acabamos de demostrar que podemos tomar cualquier constante e elevado a s * t, siempre que s sea igual a menos 1 o menos 7. Entonces, la solución general será alguna constante, c_1, multiplicada por e elevado t, más c_2, puede ser una constante diferente, e al menos 7t.

Observe cómo hay dos constantes en la solución final. Y la razón por la que hay dos constantes es porque comenzamos con una ecuación diferencial de segundo orden. Entonces, en cierto sentido, para cada orden de la ecuación diferencial, siempre tenemos una constante. Es casi como si cada vez que nos integramos tuviéramos una constante de integración. Entonces, al final del día, tenemos dos constantes en nuestra solución general.

Como parte de la parte A, también se nos pide cualquier solución a esta ecuación diferencial, ¿la solución va a 0 cuando t va al infinito? Bueno, la solución general tiene esta forma. Entonces, para cualquier constante c_1 y c_2, la solución es c_1 e elevado a menos t más c_2 e elevado a menos 7t.

Y vemos que no importa lo que sean c_1 y c_2, este término, cuando t va al infinito, se multiplica por e al menos t, que va a 0. Y el segundo término también va a 0. Entonces, cuando t va al infinito , tanto e al menos t ye al menos 7t ambos van a 0. De modo que eso significa que cualquier constante multiplicada por e elevado a menos t más cualquier constante multiplicada por e elevado a menos 7t también debe ir a 0. Por lo tanto, x de t va a 0 cuando t va al infinito.

está bien. Para la parte B, tenemos la ecuación diferencial y el punto es igual a k * y negativo. Y esta es la ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes. Y usaremos el mismo truco.

Dejamos que y es igual ac por e elevado a s * t. Y vemos que la ecuación característica en este caso, no es un polinomio. Es solo s, s es igual a k negativo. Así que obtenemos y es igual ac e a la negativa k * t es la solución general.

Y esto es exactamente lo que teníamos en recitaciones anteriores, cuando usamos, por ejemplo, factores integradores para resolver esta misma ecuación diferencial. Entonces, esto solo muestra que podemos usar el mismo método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

está bien. Ahora, por último, tenemos ocho raíces para una ecuación diferencial de octavo orden. Ecuaciones diferenciales de octavo orden con coeficientes constantes. Así que volveré a escribir las raíces. Entonces, nos dicen que las raíces son 4 negativo, 3 negativo, 2 negativo, 1 negativo, 0, 1, 2 y 3.Y en general, la solución de una ecuación diferencial de octavo orden cuyas raíces del polinomio característico son negativas de 4 a 3, la solución general, x de t, será una constante c_1 por e elevado a la potencia de la primera raíz, que será menos 4t, más c_2 e al menos 3t.

Y, por supuesto, tomamos diferentes constantes para cada término. c_3 e al menos 2t, más c_4 e al menos t, más c_5. Y ahora, para este término, debería ser e elevado a 0t, pero e elevado a 0t es solo 1. Entonces, la raíz cero solo nos dará una constante c_5. Y tenemos c_6 a la t, más c_7 e a la 2t. Y luego más c_8 e al 3t.

Entonces la solución tiene ocho términos y ocho constantes. Y solo por diversión, podemos preguntarnos, ¿todas las soluciones a esta ecuación diferencial van a 0 cuando t va al infinito? Y la respuesta es no. De hecho, aunque cada término con una raíz negativa va a cero cuando t va al infinito, hay tres términos que van al infinito positivo cuando t va al infinito, y hay un término que permanece constante. Entonces, en general, a medida que t crece, llega al infinito, estos términos se volverán muy grandes y no necesariamente irán a 0. Bueno, nunca irán a 0.


Ecuaciones homogéneas de coeficiente constante: cualquier raíz

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PROFESOR: Bienvenido de nuevo. Entonces, en esta sesión, cubriremos ecuaciones de coeficientes constantes homogéneas para cualquier raíz. Entonces, se nos dice que asumamos que z de t es igual a exponencial menos 3t por el coseno más i del seno t. Y asumir que este número complejo es una solución a esta ecuación diferencial, que es de segundo orden con coeficientes constantes m, byk, que son reales, y de esta suposición dar dos soluciones reales a esta ecuación.

En la segunda parte, se nos pide que encontremos una solución general para esta otra ecuación diferencial, que tiene la misma forma que la que se vio en la parte a, con ahora los valores reales de b es igual a 6, m es igual a 1 y k es igual a 10. Y luego se nos pregunta si este sistema que sería capturado por esta ecuación diferencial está sobreamortiguado o subamortiguado.

En la última parte cambiamos de marcha y se nos da una serie de raíces, ocho raíces en un polinomio de octavo grado, y se nos pide que anotemos la solución general para ese polinomio. Tenga en cuenta que aquí tenemos raíces repetidas, que es básicamente donde está el truco. Entonces, ¿por qué no se toma unos minutos y regresaremos para resolver estos problemas?

Bienvenido de nuevo. Entonces, para la primera parte, se nos da un número complejo claramente dividido en su parte real y su parte imaginaria. Entonces esta es la parte imaginaria de z, y esta es la parte real de z. Ahora, la ecuación diferencial que se nos da es valor constante: ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea. Entonces no hay un lado derecho. Entonces, claramente puede ver que si un número complejo que se puede escribir como parte real más una parte imaginaria es una solución para esta ecuación, entonces ambos lados independientemente también son soluciones para esta ecuación.

Entonces, al darnos este número complejo, en realidad se nos dan dos tipos de soluciones que luego podemos escribir como dos soluciones linealmente independientes. Entonces, la solución general de esta ecuación diferencial se puede escribir en la forma de: un coeficiente constante es indeterminado, menos 3t cos t más otro coeficiente constante menos 3t seno de t. Donde básicamente, estamos introduciendo una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes que se tomaron del número complejo original que nos dieron.

Entonces, para la segunda parte ahora, se nos pide que encontremos una solución general para la EDO. Simplemente reescribiremos aquí por ahora. Entonces, de nuevo, coeficiente constante, ecuación homogénea. Y solo se nos pide que encontremos una solución general. Así que aprendimos de las notas de la clase que podemos usar el método del polinomio característico para resolver esta ecuación.

Y el polinomio característico aquí tendrá esta forma. Y básicamente, solo necesitamos encontrar las raíces de este polinomio característico para poder luego expresar las soluciones de esta ecuación de coeficiente constante homogénea en términos de función, exponencial a cualquier raíz que encontremos.

Así que solo quiero escribir el discriminante de este polinomio. entonces que tenemos aqui? ¿Cuál fue la pregunta de nuevo? Entonces se nos pide que encontremos el discriminante para esta ecuación. Entonces b al cuadrado menos 40, que es básicamente menos 4. Entonces tenemos un discriminante que es negativo. Y las raíces de nuestro polinomio aquí simplemente serán. la raíz del valor absoluto del discriminante con el número complejo i fuera, porque teníamos un discriminante negativo.

Entonces, estas dos soluciones, más o menos, nos dicen que tendremos oscilaciones como soluciones para esta ecuación diferencial, y que también serán oscilaciones amortiguadas, porque tenemos la primera: la parte real del número. siendo negativo.

Así que permítanme escribir el par de soluciones que tendríamos. Tendremos esto que sale de la parte real, coseno. Pondré que la raíz de 4 es solo 2. Y entonces tenemos el coseno t, que es uno. 6/2, por supuesto, es solo 3.

Así que aquí cambié directamente a escribirlos en coseno y seno, en las formas. Pero también podríamos haberlo mantenido en forma compleja si estuviéramos resolviendo la ecuación en un espacio complejo. Y luego tendríamos exponenciales complejos aquí con las frecuencias omega, frecuencia angular 1.

Entonces esta es la ecuación homogénea, la solución homogénea para esta ecuación diferencial de coeficiente constante homogénea. Ahora, ¿qué vemos? Podemos ver que es exactamente la misma forma que la solución que teníamos anteriormente.

Entonces, la pregunta aquí es ¿este oscilador está sobreamortiguado o subamortiguado? Y como vemos aquí, tendremos oscilaciones que serán amortiguadas por un factor previo de exponencial decreciente menos 3t para ambos casos. Entonces esto está decayendo. Así que definitivamente hay amortiguación. Y podemos ver eso aquí, porque teníamos un valor positivo para b, que es el término de amortiguación en el sistema de oscilador.

Pero todavía hay oscilaciones, porque teníamos un discriminante que era negativo, que introducía números complejos, por lo tanto, cosenos y senos, básicamente, oscilaciones. Por lo tanto, estamos en el caso de una respuesta subamortiguada, un sistema subamortiguado. El discriminante fue negativo.

Entonces, para la última parte de este problema, ahora dejamos esta ecuación diferencial, que era de segundo orden, y pasamos a ecuaciones diferenciales de orden superior de octavo orden. Y nos dan ocho raíces. 4 menos 5i.

Tenemos la raíz de 3, que es real, que se repite tres veces, y una raíz de 4 más o menos 5i, que se repite dos veces. Entonces vimos antes cuando tenemos raíces repetidas, eso significa que tendríamos, digamos, en una ecuación diferencial de segundo orden. Tendríamos en este caso un discriminante que sería igual a 0. Y necesitaríamos introducir un tipo diferente de solución, porque en lugar de introducir una exponencial de más r * t, exponencial menos r * t, ahora no tener el menos r * t. Entonces necesitamos buscar otro tipo de solución. Y multiplicaremos la exponencial por t.

Entonces, un tipo de solución para esta raíz única que saldría sería solo 2t. Para la primera raíz triplicada, sería un 3t. Para el segundo, tendríamos t 3t. Para el tercero, tenemos que ir a un orden superior, 3t.

Ahora tenemos raíces complejas, por lo que nos da soluciones de la misma forma que encontramos en las preguntas ay b. Así que los voy a escribir aquí, donde ahora tenemos e ^ (4t) coseno 5t más e ^ (4t) seno 5t. Y para la raíz repetida, es el mismo juego. Aunque estamos en raíces complejas, es la misma idea, necesitamos multiplicarlo todo por t.

Entonces, estas son las familias de soluciones linealmente independientes que saldrían de estas raíces. Entonces, ahora la solución general es simplemente la combinación lineal de todas estas funciones linealmente independientes. Entonces, presentaremos diferentes constantes. c_5, c_6, c_7 y c_8. Y tenemos ocho coeficientes indeterminados con los que lidiar, porque serían ocho raíces de un polinomio de octavo orden. Entonces, si tuviéramos que resolver un problema de valor inicial como ese, necesitaríamos ocho tipos diferentes de condiciones iniciales para determinar los valores de estas constantes.

Entonces, para resumir, usamos el método del polinomio característico para resolver estos problemas introduciendo ecuaciones de orden superior que las ecuaciones diferenciales de primer orden que vimos antes. Y lo que es importante recordar es que los diferentes tipos de soluciones que se obtienen dependen de las raíces del polinomio característico y del seno del discriminante. Entonces, si las raíces son reales o puramente imaginarias o números imaginarios darán tres tipos de comportamiento: el comportamiento críticamente amortiguado si es real, entonces será un comportamiento sobreamortiguado y si las raíces son complejas, entonces será un comportamiento infraamortiguado.

Ahora, cuando se nos dan diferentes tipos de raíces, con raíces repetidas, también es importante saber cómo construir las soluciones. Y eso es mediante la introducción de nuevos tipos de funciones en las que multiplicamos por polinomio en t frente a la exponencial. Así que termina la sesión de hoy.


18 MATDIP41 MATEMÁTICAS ADICIONALES - II Notas

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Universidad
Universidad Tecnológica Visvesvaraya, Belagavi
Nombre de la sucursal
Común a todas las ramas
Nombre del tema
MATEMÁTICAS ADICIONALES - II
Código de asunto
18MATDIP41
Semestre
4to semestre
Esquema de examen
Esquema 2018

Temas importantes Temas cubiertos

Álgebra lineal, métodos numéricos: diferencias finitas. Interpolación / extrapolación usando las fórmulas de diferencia hacia adelante y hacia atrás de Newton (solo declaraciones) -problemas. EDO de orden superior: ecuaciones diferenciales lineales de ecuaciones de segundo y orden superior con coeficientes constantes.

EDO de orden superior, ecuaciones homogéneas / no homogéneas. Ecuaciones diferenciales parciales (PDE's): - Formación de PDE's por eliminación de constantes y funciones arbitrarias. Solución de PDE no homogénea por integración directa y probabilidad.

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M-1 M-2 M-3 M-4 M-5 y Soluciones

Resumen

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Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de orden superior con coeficientes constantes

dónde (,, ldots,) son constantes que pueden ser reales o complejas.

Usando el operador diferencial lineal (L left (D right), ) esta ecuación se puede representar como

[L left (D right) y left (x right) = 0, ]

Para cada operador diferencial con coeficientes constantes, podemos introducir el polinomio característico

se llama ecuación característica de la ecuación diferencial.

Según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado (n ) tiene exactamente (n ) raíces, contando multiplicidad. En este caso, las raíces pueden ser tanto reales como complejas (incluso si todos los coeficientes de (,, ldots,) Son reales).

Consideremos con más detalle los diferentes casos de las raíces de la ecuación característica y las fórmulas correspondientes para la solución general de ecuaciones diferenciales.

Caso (1. ) Todas las raíces de la ecuación característica son reales y distintas

Suponemos que la ecuación característica (L left ( lambda right) = 0 ) tiene (n ) raíces (< lambda _1>, < lambda _2>, ldots, < lambda _n> . ) En este caso, la solución general de la ecuación diferencial se escribe de forma simple:

dónde (,, ldots,) son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

Caso (2. ) Las raíces de la ecuación característica son reales y múltiples

Deje que la ecuación característica (L left ( lambda right) = 0 ) de grado (n ) tenga (m ) raíces (< lambda _1>, < lambda _2>, ldots, < lambda _m>, ) cuya multiplicidad, respectivamente, es igual a (,, ldots,. ) Está claro que se cumple la siguiente condición:

Entonces, la solución general de las ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes tiene la forma

Se ve que la fórmula de la solución general tiene exactamente () términos correspondientes a cada raíz (< lambda _i> ) de multiplicidad (. ) Estos términos se forman multiplicando (x ) hasta cierto grado por la función exponencial (x >>. ) El grado de (x ) varía en el rango de (0 ) a ( & # 8211 1, ) donde () es la multiplicidad de la raíz (< lambda _i>. )

Caso (3. ) Las raíces de la ecuación característica son complejas y distintas

Si los coeficientes de la ecuación diferencial son números reales, las raíces complejas de la ecuación característica se presentarán en forma de pares conjugados de números complejos:

En este caso, la solución general se escribe como

Caso (4. ) Las raíces de la ecuación característica son complejas y múltiples

Aquí, cada par de raíces conjugadas complejas ( alpha pm i beta ) de multiplicidad (k ) produce (2k ) soluciones particulares:

Luego, la parte de la solución general de la ecuación diferencial correspondiente a un par dado de raíces conjugadas complejas se construye de la siguiente manera:

En general, cuando la ecuación característica tiene raíces tanto reales como complejas de multiplicidad arbitraria, la solución general se construye como la suma de las soluciones anteriores de la forma (1-4. )


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Ecuaciones diferenciales con teoría (18.034)

Ravi Vakil, Departamento de Matemáticas Rm. 2-271, [email protected]

LAS CALIFICACIONES DEL EXAMEN FINAL Y DEL CURSO ESTÁN DISPONIBLES AQUÍ.

Recuerde llenar una tarjeta con los distintos bits de información que solicité e inscríbase para conocerme. (Solo pregunte si no tiene idea de qué se trata). Si se perdió la primera recitación y clase, asegúrese de enviarme un correo electrónico.

Conferencias: Lunes, miércoles, viernes 1-2 en 2-146.

Recitaciones: Lunes, miércoles 10-11 en 2-146. Si hay algo que le gustaría escuchar en la recitación, envíe sugerencias por correo electrónico (idealmente con dos días de anticipación, pero incluso el día anterior estaría bien).

Horas de oficina: Miércoles 11-12 ya otra hora de la semana. También puedes verme después de la mayoría de las recitaciones y clases.

Texto: Boyce y DiPrima, Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera, Sexta Edición. Debería estar disponible en Quantum Books. Si desea ver algo más, puede consultar el libro de M. Braun Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Para un punto de vista más hermoso y avanzado (ruso), vea Arnol'd's Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Calificación: Los conjuntos de problemas valdrán un total de 100, los dos exámenes parciales (10 de marzo y 14 de abril) valdrán 100 cada uno y el examen final valdrá 200.

Conjuntos de problemas: Los mejores 7 contarán (de un estimado de 10, los viernes en clase) acordamos que no se aceptarán lates por ningún motivo. Siéntase libre de pensar en los problemas en grupos (se fomenta la colaboración), pero debe redactar las soluciones por su cuenta y dar crédito por una idea a la persona que pensó en ella. (No perderá puntos por hacerlo).

Aquí está el Conjunto de problemas 1 (en formatos dvi, postscript y pdf, el último probablemente funcionará para usted).

Aquí está el Conjunto de problemas 2 (dvi, ps, pdf), menos las cifras del último problema.

Aquí está el Conjunto de problemas 3 (dvi, ps, pdf), menos la cifra del último problema.

Aquí está la Serie de problemas 5 (dvi, ps, pdf), que vence el 17 de marzo. En el problema 2, cambie las x por t.

Aquí está el Conjunto de problemas 6 (dvi, ps, pdf), que se entregará el 31 de marzo.

Este es el Conjunto de problemas 7 (dvi, ps, pdf), que se vence el 7 de abril.

Aquí está el Conjunto de problemas 8 (dvi, ps, pdf), que se vence el 21 de abril.

Aquí está el Conjunto de problemas 9 (dvi, ps, pdf), que se vence el 28 de abril.

Aquí está el Conjunto de problemas 10 (dvi, ps, pdf), que se vence el 5 de mayo.

Aquí está el Conjunto de problemas 11 (dvi, ps, pdf), que consta de problemas de práctica con transformada de Laplace, que no debe entregarse.

Las copias impresas (con figuras) están disponibles en el tablón de anuncios al lado de la puerta de mi oficina.

Parciales: Habrá dos exámenes parciales.

Aquí hay algunos problemas de práctica para el parcial 1, incluido un plan de estudios de los temas que hemos cubierto (dvi, ps, pdf). Aquí están las respuestas para la práctica de mitad de período 1.

Aquí está el examen parcial 1 (dvi, ps, pdf). Aquí hay bocetos de soluciones (dvi, ps, pdf).

Aquí hay algunos problemas de práctica para Midterm 2, incluido un plan de estudios de los temas que hemos cubierto (dvi, ps, pdf). (Se agregó una pregunta sobre vectores propios el 12 de abril). Aquí están las respuestas para la práctica de mitad de período 2.

Aquí está el Parcial 2 (dvi, ps, pdf). Aquí hay bocetos de soluciones (dvi, ps, pdf).

Examen final: Aquí hay problemas de práctica para la final (dvi, ps, pdf).

Aquí hay (bocetos de) soluciones (menos figuras) a los problemas de práctica para el final (dvi, ps, pdf).

Programa de estudios

Un programa de estudios (que cubre lo que hemos hecho) aparecerá aquí, probablemente con un lapso de tiempo de algunos días. Las referencias son al texto.

Casarse. 2 de febrero (Recitación). Recurrencias, un análogo discreto de ecuaciones diferenciales.

Casarse. 2 de febrero. Definiciones: EDO, PDE, orden, solución, EDO lineal. Campo de dirección. Resolviendo y '= 6t + 4, y' / y = 1. Capítulo 1.

Vie. 4 de febrero. Factores de integración para EDO lineales de primer orden. Existencia y singularidad de soluciones en ese caso. Ecuaciones separables. Secciones 2.1-2.3.

Lun. 7 de febrero (Rec). Problemas con los diferenciales. El problema de la braquistocrona. Vista previa de la ecuación autónoma.

Lun. 7 de febrero. Curvas integrales. El teorema de existencia y unicidad. Ejemplos que muestran patologías: y '= -t / y, y' = y ^ 2, y '= y, y' = y ^ (1/3). Sección 2.4. Ecuaciones autónomas (hechas rápidamente, asegúrese de comprender la línea de fase, los equilibrios estables, los equilibrios inestables). Sección 2.6.

Casarse. 7 de febrero (Rec). Tres problemas: la ecuación logística (ecuación de Verhulst, ver p. 70 # 18), ecuaciones lineales (p. 31 # 26), ecuaciones de Bernoulli (p. 33).

Casarse. 9 de febrero. Ecuaciones exactas, sección 2.8. La suficiencia de condición necesaria "cerrada" en un rectángulo (o simplemente conjunto conectado). Donde falla la suficiencia en un aparato no simplemente conectado.

Vie. 11 de febrero. Continuación de las ecuaciones exactas. El ejemplo (-y + xy ') / (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx arctan (y / x). Vencimiento del conjunto de problemas 1

Lun. 14 de febrero (Rec). Ecuaciones homogéneas (Sección 2.9): y '= f (x, y) donde f (x, y) es una función puramente de y / x, es decir, puede escribirse F (y / x) y luego sustituir v = y / x. Trayectorias ortogonales, p. Ej. a familias x ^ 2 + y ^ 2 = c ^ 2, (x-c) ^ 2 + y ^ 2 = c ^ 2, x ^ 2-xy + y ^ 2 = c ^ 2 (problemas 2.10.36-38).

Lun. 14 de febrero. Soluciones para EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes. El modelo de juguete: recurrencias. El polinomio característico.

Casarse. 16 de febrero (Rec). Álgebra lineal. Números complejos.

Casarse. 16 de febrero. El caso en el que el polinomio característico tiene raíces reales distintas. Raíces repetidas (sin prueba). Raíces complejas (con prueba). Secciones 3.1, 3.2, 4.2.

Vie. 18 de febrero. Introducción a los operadores lineales (y ecuaciones lineales con coeficientes constantes). Entrega de la serie de problemas 2.

Mar. 22 de febrero (Rec). Resolviendo y '' '- 2y' '- y' + 2y = 0 (con condiciones iniciales) "inductivamente". (Trabajando a través de la prueba que se dará en clase).

Mar. 22 de febrero. Prueba de existencia y unicidad de soluciones a ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Casarse. 23 de febrero (Rec). PS2 # 7: ¿Cuándo es exacta una ecuación diferencial en una región R? Aparte de las funciones delta, distribuciones, integración de Lebesgue, etc.

Casarse. 23 de febrero. Resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes p (D) y = f (x): (i) encuentre soluciones ap (D) y = 0, (ii) encuentre uno solución ap (D) y = f (x) (adivinando = el método de coeficientes indeterminados, Sección 3.6), y (iii) sume las respuestas a (i) y (ii). Un truco útil para adivinar bien: si g (x) es un polinomio de grado d, entonces (Da) g (x) e ^ (bx) = h (x) e ^ (bx), donde deg h = deg g -1 si a = b, y grados h = grados g en caso contrario. Hicimos esto cuando f (x) era exponencial, exponencial multiplicado por un polinomio y exponencial multiplicado por un polinomio multiplicado por un término trigonométrico. Esto se discute en BD4.3 ver también 4.1 y 4.2.

Vie. 25 de febrero. Fecha límite de la serie de problemas 3. Aplicar nuestra máquina general a ecuaciones lineales de segundo orden (Sección 3.8).

Lun. 28 de febrero (Rec). Comportamiento cuantitativo y cualitativo de y "+ 4y '+ ay = 0 (jugando con constante de resorte) cuando i) a = 0, y (0) = - 3, y' (0) = 16. ii) a = 3, y (0) = 1, y '(0) = - 5. Iii) a = 4, y (0) = 2, y' (0) = - 3. Iv) a = 5, y (0) = 0, y '(0) = 1.

Lun. 28 de febrero. Análisis adicional de m y "+ gamma y '+ k y = 0 cuando gamma es muy pequeño (BD3.9). La amortiguación disminuye la frecuencia. Vibraciones forzadas: m y" + ky = F_0 cos wt (sin amortiguación). Si w <> root (k / m) = w_0, entonces la solución general es R cos (w_0 t - delta) + (F_0 / (m (w_0 ^ 2-w ^ 2))) cos wt. Si y (0) = y '(0) = 0, obtenga latidos si w y w_0 están muy cerca: y = (F / (m (w_0 ^ 2 - w ^ 2))) (cos wt - cos w_0 t) . cos a - cos b = 2 sin ((a + b) / 2) sin ((a-b) / 2).

Casarse. 1 de marzo (Rec). Golpea (BD3.9). Simplifica el pecado en - sin bt. Comportamiento cualitativo de cos t + épsilon sen t. Luces estroboscópicas. Frecuencia y música.

Casarse. Mar. 1. Resonancia: m y "+ ky = F_0 cos wt, w = raíz (k / m). Sumando amortiguamiento: m y" + gamma y '+ k y = F_0 cos wt. La amplitud cae y hay un retraso de fase (un poco más de 0 si w es menor que w_0, o un poco menos de 180 si w es mayor que w_0). BD3.9.

Vie. 3. Vibraciones fored con amortiguación, BD 3.9. Entrega de la serie de problemas 4. Practique la mitad del período 1 (y el plan de estudios para la mitad del período), consulte más arriba para obtenerlo en esta página.

Lun. 6 de marzo (Rec). Varias preguntas, incluida una introducción al Wronskian.

Lun. 6 de marzo. Ecuaciones de segundo orden sin coeficientes constantes. Introducción al Wronskian. BD3.2 y 3.3.

Casarse. 8 de marzo (Rec). Teorema de Abel. Práctica de Wronskian.

Casarse. 8 de marzo. BD Sección 3.3, incluido el teorema de Abel. Aplicación: usar el Wronskian para encontrar una solución a una ecuación homogénea de orden 2 dada otra.

Vie. 10 de marzo. Primera mitad de período (en clase).

Lun. 13 de marzo (Rec). Hallar W (af + bg, cf + dg) dado W (f, g), donde a, b, c, d son constantes. Usar el wronskiano para encontrar una solución a una ecuación homogénea de orden 2 dada otra. Usando "variación de parámetros" para resolver el siguiente problema: (BD Ex. 4.1.26) dada una solución y_1 a y '' '+ p_1 y' '+ p_2 y' + p_3 y = 0, encuentre una ecuación de segundo orden desde donde puede encontrar el resto de las soluciones.

Lun. 13 de marzo. Variación de parámetros, BD3.7.

Casarse. 15 de marzo (Rec). Variación de parámetros: generalizando hacia abajo (a ecuaciones de primer orden).

Casarse. 15 de marzo. Variación de parámetros para ecuaciones de orden superior, BD4.4.

Vie. 17 de marzo. Fecha límite de la serie de problemas 5. Ecuaciones diferenciales y física.

Lun. 27 de marzo (Rec). Teoremas de existencia y unicidad y topología.

Lun. 27 de marzo. Filosofía de la prueba del teorema de existencia y unicidad para las ecuaciones de primer orden (BD2.11). El teorema del mapeo de contracciones.

Casarse. 29 de marzo (Rec). Más sobre topología y teoremas de existencia: teoremas y aplicaciones de punto fijo.

Casarse. 29 de marzo. Uso del teorema del mapeo de contracciones para calcular cosas como la raíz (2). Comenzando la demostración del Teorema de Existencia y Unicidad: traduciendo la ecuación en forma integral Picard itera.

Vie. 31 de marzo. Continuando con la demostración del Teorema de Existencia y Unicidad: la condición de Lipschitz y las constantes de Lipschitz. Entrega de la serie de problemas 6.

Lun. 3 de abril (Rec). El teorema de existencia y unicidad aplicado a z '= z: la función exponencial e ^ x existe.

Lun. 3 de abril. Finalización de la demostración del teorema de existencia y unicidad.

Casarse. 5 de abril (Rec). Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, p. Ej. x '= y, y' = - x. Retrato de fase, campos de dirección. Practica dibujar.

Casarse. 5 de abril. Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (7.1). Declaraciones de existencia y unicidad (Teo. 7.1.1, 7.1.2). Introducción relámpago al álgebra lineal (7.2, 7.3).

Vie. 7 de abril. Fecha límite de la serie de problemas 7. Análisis cualitativo de sistemas de ecuaciones. Conferencista invitado (Prof. Marcolli).

Lun. 10 de abril (Rec). Más ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales de primer orden.

Lun. Abril 10. Teoría básica de sistemas de ecuaciones lineales de primer orden (7.4). Principio de superposición (7.4.1). Wronskian. Conjunto fundamental de soluciones. Estudio inicial de sistemas con coeficientes constantes.

Casarse. 12 de abril (Rec). Revisión de Wronskians. Calcular potencias de matrices con autovalores distintos.

Casarse. 12 de abril. Revisión de mitad de período. Cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales con (i) autovalores distintos, (ii) autovalores repetidos. Un folleto sobre los retratos de Phase en dos dimensiones (por el Prof. Miller) está disponible fuera de mi oficina.

Vie. 14 de abril. Segunda mitad de período (en clase).

Casarse. 19 de abril (Rec). Leyes de conservación.

Casarse. 19 de abril. Resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con autovalores complejos.

Vie. 21 de abril. Fecha límite de la serie de problemas 8. Mtarices fundamentales, BD 7.8. Introducción a la serie Power, BD 5.1.

Lun. 24 de abril (Rec). Leyes de conservación y i ^ i. Diversión con series de poder.

Lun. 24 de abril. Continuación de la serie Power.

Casarse. 26 de abril (Rec). Continuó la serie Diversión con poder.

Casarse. 26 de abril. Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, BD 5.2-5.3.

Vie. 28 de abril. Ideas iniciales sobre qué hacer cerca de un punto singular regular, BD 5.4. Lista de problemas 9 pendiente.

Lun. 1 de mayo (Rec). Racionalidad e irracionalidad, algebraicidad y trascendencia. Por qué root (2), ey pi son irracionales. Algunos comentarios sobre por qué e es trascendental.

Lun. 1 de mayo. Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, BD 5.4-5.7.

Casarse. 3 de mayo (Rec). La función gamma. (1/2)! = raíz (pi) / 2. Qué series de potencia te dicen sobre la combinatoria.

Casarse. 3 de mayo. La transformada de Laplace.

Vie. 5 de mayo. La transformada de Laplace (hasta 6,4). Plazo de entrega de la serie de problemas 10.

Lun. 8 de mayo. Conferencia invitada (Prof. Marcolli). La función delta y las funciones de impulso (6.5). Comentarios sobre la teoría de distribuciones y funciones generalizadas.


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El método de aniquiladores a partir de ODE de coeficiente constante es interesante. Si $ L = P (D) in mathbb[D] $ donde $ D = d / dt $ y $ deg (P) = n $ entonces $ L [y] = 0 $ define un $ n $ -ésimo orden homogéneo ODA. En este caso, $ Ann (L) $ es un subespacio de dimensión finita del espacio de dimensión infinita de funciones suaves en $ mathbbPS Entonces, una cosa interesante es que los aniquiladores dan un formalismo para caracterizar los conjuntos de soluciones en relación con la estructura de un operador. Esto por sí solo no es muy interesante, el método de aniquiladores típicamente se refiere al siguiente toque matemático: dado un no homogéneo $ n $ -ésimo orden EDO $ L [y] = g $ podemos aplicar el método de aniquiladores si existe $ A in mathbb[D] $ con $ deg (A) = k $ para los cuales $ A [g] = 0 $. Entonces, $ AL [y] = A [g] = 0 $. Según la teoría de las EDO, existe una solución fundamental establecida para $ AL [y] = 0 $ digamos $ y_1, y_2, dots, y_n, y_, puntos, y_PS Además, sin pérdida de generalidad podemos suponer que $ y_1, y_2, dots, y_n $ es un conjunto de soluciones fundamentales de $ L [y] = 0 $ ya que las soluciones de $ L [y] = 0 $ también son soluciones de $ AL [y] = 0 $. De hecho, podemos argumentar que $ y = displaystyle sum_^ c_jy_j $ sirve como la solución general de $ L [y] = g $.

Por ejemplo, $ y '' - y = e ^ t $ tiene $ L = D ^ 2-1 $ y $ A = D-1 $ da $ A [e ^ t] = 0 $. Tenga en cuenta que $ AL = (D-1) (D ^ 2-1) = (D + 1) (D-1) ^ 2 $ por lo tanto $ AL [y] = 0 $ tiene la solución $ y = c_1e ^ <- t > + c_2e ^ t + c_3te ^ t $. Observe que $ L [y] = e ^ t $ da $ (D ^ 2-1) (c_1e ^ <-t> + c_2e ^ t + c_3te ^ t) = e ^ t $ por tanto $ c_3D ^ 2 [te ^ t ] - c_3te ^ t = e ^ t $ o $ c_3 (te ^ t + 2e ^ t) - c_3te ^ t = e ^ t $ en consecuencia, $ 2c_3e ^ t = e ^ t $ y encontramos $ c_3 = frac <1> <2> $ así $ y = c_1e ^ <-t> + c_2e ^ t + frac <1> <2> te ^ t $ es la solución general de $ y '' - y = e ^ t $

Observe que el problema no homogéneo puede verse como un problema de álgebra lineal de dimensión finita ya que $ ann (AL) $ es un espacio vectorial $ (n + k) $ -dimensional según la teoría de la existencia y unicidad para las EDO de coeficientes constantes. Creo que esto se elimina bastante de la matemática de matriz directa. Por supuesto, elija una base y podremos volver a la matriz.

Más allá de esto, el concepto de aniquiladores juega un papel importante en el estudio de formas diferenciales y subvariedades integrales. Pero, es posible que esté buscando un tipo de ejemplo muy diferente, así que me detendré aquí.


Ver el vídeo: Homogeneous Systems of Linear Equations - Intro to EigenvalueEigenvector Method (Septiembre 2021).