# Capítulo 1: Límites - Matemáticas

## Limites

Dos problemas clave llevaron a la formulación inicial del cálculo:

1. el problema de la tangente, o cómo determinar la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto, y
2. el problema del área, o cómo determinar el área bajo una curva.

El concepto de límite o proceso limitante, esencial para la comprensión del cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaron un proceso de limitación para obtener cada vez mejores aproximaciones de áreas de círculos. Sin embargo, la definición formal de límite, tal como la conocemos y entendemos hoy, no apareció hasta finales del siglo XIX. Por lo tanto, comenzamos nuestra búsqueda para comprender los límites, como lo hicieron nuestros antepasados ​​matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo.

## Capítulo 1: Límites - Matemáticas

Podemos usar la definición épsilon-delta de un límite para confirmar alguna "expectativa" que podríamos tener para el valor que alguna expresión "debería haber tenido" cuando una de sus variables toma algún valor - si no fuera por algún molesto numerador y denominador convirtiéndose en cero, o algún problema similar sucediendo en el momento equivocado.

Sin embargo, antes de tratar con expresiones más problemáticas, veamos cómo se desarrolla esta definición en una situación más dócil.

De hecho, centrémonos primero en una parte de esta definición. La definición épsilon-delta funciona un poco como un desafío / respuesta. Para un $epsilon gt 0$ dado, tenemos el desafío de encontrar un $delta gt 0$ que satisfaga los criterios dados.

Considere la función $f (x) = 4x + 1$. Claramente, en $x = 3$ esta función toma el valor de $4 (3) -1 = 11$. Aquí no hay nada que "haga estallar" las cosas en una forma indeterminada. La realidad y nuestras expectativas están totalmente de acuerdo.

Como tal, esperamos con razón

Si esto es cierto, entonces deberíamos poder elegir cualquier $epsilon gt 0$, digamos $epsilon = 0.01$, y encontrar algunos $delta gt 0$ correspondientes donde siempre que lt | x - 3 | lt delta $, podemos estar seguros de que$ | f (x) - 11 | lt 0,01 $. Pongamos eso a prueba. Comenzando con la última expresión, reemplacemos$ f (x) $con$ (4x-1) $: Lo anterior deja en claro que$ | f (x) -11 | $permanece cuatro veces el tamaño de$ | x-3 | $. (Por supuesto, esto no es sorprendente, ya que$ f (x) $era una función lineal con pendiente$ 4 $). Sin embargo, lo que esto significa es que si queremos mantener$ | f (x) -11 | lt 0.01 $, necesitaremos mantener$ | x-3 | $cuatro veces más pequeño. Por lo tanto, si tomamos$ delta $como cualquier valor menor que .0025$, entonces $| f (x) - 11 | lt 0.01 quad textrm 0 lt | x - 3 | lt delta$

El cálculo anterior sugiere lo que podríamos hacer para cualquier otro valor de $epsilon$: simplemente usamos un valor $delta$ un cuarto del tamaño del $epsilon$ en cuestión para asegurar la desigualdad necesaria para establecer el límite .

Aquí nuevamente, lo que necesitamos para decir $lim_ (4x-1) = 11$ es que para cualquier $epsilon gt 0$, podemos encontrar un $delta gt 0$ tal que si lt | x - 3 | lt delta $, luego$ | f (x) - 11 | lt epsilon $. Entonces, dejando$ delta = epsilon / 4 $, siempre que lt | x - 3 | lt delta$ tenemos

$begin | x-3 | & lt & epsilon / 4 4 | x-3 | & lt & epsilon | 4x-12 | & lt & epsilon | (4x-1) - 11 | & lt & epsilon | f (x) - 11 | & lt & epsilon end$

Como tal, definitivamente podemos decir como consecuencia de la definición épsilon-delta de un límite que

La expresión $4x-1$ en el último ejemplo era lineal y conducía a un $delta$ que podía usarse en la definición, que en realidad era una función muy simple de $epsilon$. Esta es más la excepción que la regla. Como tal, veamos un ejemplo un poco más complicado.

Supongamos que deseamos mostrar que $lim_ x ^ 2 = 4$

De acuerdo con la definición, tendremos que demostrar que para cualquier $epsilon gt 0$, podemos encontrar un $delta gt 0$ tal que $| x ^ 2 - 4 | lt epsilon quad textrm quad 0 lt | x-2 | lt delta$

De manera equivalente, siempre que lt | x-2 | lt delta $, queremos En este punto, es posible que desee intentar elegir$ delta = epsilon / | x + 2 | $, pero debemos tener cuidado. Esta expresión involucra$ x $, y$ delta $solo debería depender del valor de$ epsilon $, según la definición. Recuerde que$ delta $crea una banda alrededor de$ c = 2 $, por lo que cuando se elige$ x $de esta banda (con la posible excepción de$ x = c $), esperamos mantener$ f (x) $dentro de$ epsilon $del valor límite$ 4 $. Consideremos una banda$ delta $fija de aproximadamente$ c = 2 $, digamos donde$ delta = 1 $. Dentro de esta banda, solo consideramos los valores$ x $en el intervalo$ (1,3) $. Tenga en cuenta en particular lo que sucede con la expresión$ displaystyle < frac < epsilon> <| x + 2 | >> $al final de este intervalo:$ x = 1 $y$ x = 3 $. Llevando esta idea un poco más lejos, podemos decir lo siguiente para cualquier$ x $en esta banda donde$ | x-2 | lt 1 $,$ frac < epsilon> <5> lt frac < epsilon> <| x + 2 |> $Así que aquí está el truco: escojamos$ delta $para que sea el menor de$ 1 $y$ epsilon / 5 $. De esta manera,$ delta $no depende de ningún$ x $específico, y solo de$ epsilon $. Además, considere los dos casos de$ epsilon $que ahora pueden resultar: Si$ epsilon / 5 gt 1 $, entonces tomamos$ delta = 1 $y observamos que siempre que lt | x-2 | lt delta$, $| x-2 | lt 1 lt epsilon / 5 lt frac < epsilon> <| x + 2 |>$

Si $epsilon / 5 le 1$, entonces tomamos $delta = epsilon / 5$ y observamos que siempre que lt | x-2 | lt delta $,$ | x-2 | lt epsilon / 5 le 1 quad textrm quad | x-2 | lt epsilon / 5 lt frac < epsilon> <| x + 2 |> $Recuerda que$ displaystyle <| x-2 | lt frac < epsilon> <| x + 2 | >> $era equivalente a$ | x ^ 2 - 4 | lt epsilon $por nuestro argumento anterior. Por lo tanto, hemos demostrado que para cualquier$ epsilon gt 0 $, podemos encontrar un$ delta gt 0 $(es decir, el valor mínimo en$ <1, epsilon / 5 > $) de modo que$ | x ^ 2-4 | lt epsilon quad textrm quad 0 lt | x-2 | lt delta $Habiendo satisfecho la definición épsilon-delta de un límite, podemos decir con confianza$ lim_ x ^ 2 = 4 $¡Uf! Fue mucho trabajo establecer nuestra expectativa para el valor de$ x ^ 2 $cuando$ x = 2 $. Al igual que la función lineal que consideramos anteriormente, no había nada extraño que le sucedería a$ x ^ 2 $al intentar evaluar esta expresión en$ x = 2 $. Sin forma indeterminada u otros resultados de problemas. Entonces, ¿por qué funciona todo esto? Y Señor, ayúdanos si algo raro hizo ¡suceder! El uso de la definición épsilon-delta para establecer límites puede ser claramente complicado y complicado. Sin embargo, es la base sobre la que construimos la noción de límites y, en consecuencia, no se puede ignorar por completo. Sin embargo, puede mantenerse un tanto oculto a la vista. Uno podría estar preocupado por lo que sucede cuando se observan valores límite de expresiones más complicadas: expresiones que son combinaciones (por ejemplo, sumas, diferencias, productos, cocientes, etc.) de expresiones más simples, como la expresión lineal que examinamos y otras expresiones primitivas. (por ejemplo,$ n ^$potencias, senos, logs, exponenciales, etc). Por ejemplo, si encontrar un valor límite de$ x ^ 2 $nos dio dolor, ¡imagínese tratando de encontrar un valor límite para la expresión$ x ^ 2 - 5x ^ 3 + sin pi x $! resultados sencillos sobre cómo encontrar límites de funciones simples (como el$ 4x-1 $lineal con el que comenzamos, o$ x ^ 2 $, o$ sin x $, etc.), y cómo encontrar límites de combinaciones de expresiones (por ejemplo, sumas, diferencias, productos, etc.) a partir de los valores límite de sus partes individuales. Una vez que se hayan probado estos resultados, podemos centrar nuestra atención en su aplicación para encontrar valores limitantes en lugar de siempre "volver al pozo" de la definición épsilon-delta para probar las cosas "desde cero". Como verá pronto, la aplicación de estos resultados para encontrar valores límite será sustancialmente más fácil que usar la definición épsilon-delta, pero no pierda de vista el hecho de que estos resultados empleados solo funcionan porque de la definición épsilon-delta. No podemos simplemente decir: "¡Oh, hemos encontrado una manera más fácil: esa técnica épsilon-delta fue un desperdicio!" No funciona así. Ambas ideas son cruciales a su manera. Curiosamente, esta técnica de realizar alguna tarea de una manera muy complicada inicialmente, solo para luego probar propiedades útiles sobre funciones simples y combinaciones de funciones que nos permitirán evitar en gran medida el método más complicado, será un tema recurrente a lo largo de nuestro estudio del cálculo. pero más sobre eso más adelante. ## No todo el mundo está sujeto a los límites de ingresos del Capítulo 7 Excepción para la deuda de no consumo. Si más del 50% de su deuda se considera deuda de no consumo, queda automáticamente exento del cálculo de la prueba de medios. La deuda de no consumo también se denomina deuda comercial porque se contrae con un motivo comercial o de lucro. Si no está seguro de tener una deuda comercial, considere hablar con un abogado especializado en bancarrotas sobre su situación y los tipos de deudas que tiene. Excepción para miembros del servicio y veteranos que califiquen. Los veteranos discapacitados, los reservistas llamados al servicio activo y los miembros de la guardia nacional no tienen que contar la compensación relacionada con su servicio como parte de la prueba de medios de la quiebra. Esta protección se amplió recientemente cuando el Congreso aprobó la Ley HAVEN. [1] Cualquiera que califique para una de estas excepciones a los límites de ingresos por bancarrota debe presentar el Formulario Oficial 122A-1Supp en lugar de su formulario de prueba de medios de bancarrota. Este formulario, titulado Declaración de exención de presunción de abuso según la sección 707 (b) (2), le permite al tribunal de quiebras saber que usted no está sujeto a los límites de ingresos. ## Repaso: ¿Cómo se derivan los objetivos de aprendizaje? Los criterios enumerados anteriormente señalan que los objetivos de aprendizaje se derivan de los estándares. Pero, ¿qué significa eso realmente? (Nota: Es importante indicar al principio que la creación de objetivos de aprendizaje no es un trabajo sencillo. Le recomendamos que lea todo el Capítulo 1 de Líderes de su propio aprendizaje y, sobre todo, que tenga paciencia con el proceso y encuentre la manera de obtener comentarios de sus colegas sobre sus objetivos de aprendizaje). En Líderes de su propio aprendizaje Promovemos la práctica de anidar objetivos de aprendizaje diarios o de apoyo dentro de objetivos de aprendizaje a largo plazo. Los objetivos de aprendizaje a largo plazo se derivan de los estándares (p. Ej., Estándares básicos comunes, estatales, locales, del distrito), que se pueden agrupar para enfocar la instrucción y la evaluación. Convertir los estándares agrupados en objetivos de aprendizaje a largo plazo hace que el lenguaje de los estándares sea claro para los estudiantes y les ayuda a comprender hacia dónde se dirigen con su aprendizaje durante un período de días o semanas. Los objetivos de apoyo, que a menudo se dividen en objetivos de aprendizaje diarios, se derivan de objetivos a largo plazo y se convierten en el ancla de la instrucción diaria. Los objetivos de apoyo "anidan" dentro de los objetivos a largo plazo y se crean al dividir los objetivos a largo plazo en partes manejables que guiarán el aprendizaje de sus estudiantes en el día a día. Examine las dos figuras siguientes del Capítulo 1 de Líderes de su propio aprendizaje y considere las siguientes preguntas: • ¿Qué observa acerca de la relación entre los estándares y el objetivo a largo plazo en la Figura 1.1? • ¿Qué observa acerca de la relación entre el objetivo a largo plazo y los objetivos de apoyo en la Figura 1.2? • Nombre un objetivo de apoyo adicional que podría anidarse debajo del objetivo a largo plazo en la Figura 1.2. • Si un colega le ofreció “Puedo completar mi anotador mientras veo un documental sobre el río Platte” como un objetivo adicional para la Figura 1.2, ¿cómo podría ayudarlo a revisar este objetivo utilizando los criterios mencionados anteriormente para fortalecerlo? Figura 1.1 de la página 34 de Líderes de su propio aprendizaje Figura 1.2 de la página 36 de Líderes de su propio aprendizaje ## Capítulo 1: Límites - Matemáticas Para mí, parece un mecanismo de afrontamiento saludable. ¿Qué hicieron exactamente Post [POS] y Turing [TUR] en 1936 que no habían hecho antes Gödel [GOD] [GOD34] (1931-34) e Church [CHU] (1935)? Hay una diferencia aparentemente menor cuyo significado surgió solo más tarde. Muchas de las secuencias de instrucciones de Gödel & # x27 eran series de multiplicaciones de contenidos de almacenamiento codificados con números por enteros. A Gödel no le importó que la complejidad computacional de tales multiplicaciones tiende a aumentar con el tamaño del almacenamiento. De manera similar, Church también ignoró la complejidad espacio-temporal de las instrucciones básicas en sus algoritmos. Turing y Post, sin embargo, adoptaron una visión tradicional, reduccionista, minimalista y binaria de la computación, al igual que Konrad Zuse (1936). [ZU36] Sus modelos de máquina solo permitían instrucciones elementales muy simples con complejidad constante, como el primer modelo de máquina binaria de Leibniz (1679). [L79] [LA14] [HO66] Emil Post No explotaron esto en ese entonces; por ejemplo, en 1936, Turing usó su modelo (bastante ineficiente) solo para reformular los resultados de Gödel y Church en los límites de computabilidad. Más tarde, sin embargo, la simplicidad de estas máquinas las convirtió en una herramienta conveniente para los estudios teóricos de la complejidad. Más concretamente, tiene (fácil) acceso al trabajo original porque está escrito en alemán. Cuando comencé mi doctorado, me recibieron con un correo electrónico con los nombres de todos los demás doctores a partir del mismo año, cc & # x27d. Así que vi los nombres de todos (en Office 360, puede ver los nombres adjuntos a las direcciones de correo electrónico) y creo que había dos o tres nombres anglosajones reconocibles en unos 80 nombres. Así que sospecho que es más que el inglés se utilice como lengua franca para estudiantes e investigadores de todo el mundo, que que los estudiantes e investigadores sean predominantemente hablantes nativos de inglés. Yo, por ejemplo, no soy un hablante nativo de inglés :) 10 minutos cada uno) que cuenta la historia de la indecidibilidad y el teorema de incompletitud: Una cosa que me gustaría ver en un video complementario sería una explicación de por qué Las máquinas de Turing representan la computación. Ese video (como muchos otros) repasa el por qué, y solo habla de lo que pueden & # x2Fcan & # x27t hacer después de que ya hayamos decidido usarlos. El papel de Turing & # x27s 1936 & quotOn Computable Numbers & quot ofrece un buen filosófico justificación de su modelo, que (de mi lectura) se reduce a lo siguiente: - Los matemáticos pueden hacer su trabajo dentro de un volumen finito de espacio (su cerebro, o una habitación, o toda la Tierra si queremos ser conservadores). Además, podrían (en principio) hacer su trabajo utilizando solo comunicación escrita, en hojas de papel estándar, cada una de las cuales también tiene un volumen finito. - Los volúmenes finitos solo pueden tener un número finito de estados distinguibles (tener un número infinito de estados requeriría que fueran infinitesimalmente similares y, por lo tanto, indistinguibles entre sí dentro de un período de tiempo finito) - Por lo tanto, podemos etiquetar cada estado distinguible de un cerebro con un número e igualmente para cada hoja de papel distinguible (al menos en principio) - Dado que ambos son finitos, el comportamiento de cualquier matemático podría (en principio) describirse completamente mediante una tabla que detalle cómo un estado (cerebro + papel) conduce a otro. - Dada dicha tabla, el contenido real de los estados (por ejemplo, las funciones de onda de protones particulares, el potencial eléctrico de sinapsis particulares, la colocación de moléculas de tinta, etc.) es irrelevante para el comportamiento, solo las transiciones de un estado numerado a otro. importar - Por lo tanto, podríamos (en principio) construir una máquina con el mismo número de estados que una de estas tablas, y las mismas transiciones entre los estados, y reproduciría exactamente el comportamiento del matemático. Ésta es la justificación filosófica de por qué Una máquina (de Turing) puede calcular cualquier cosa que un humano pueda (de hecho, el mismo argumento muestra que una máquina de Turing puede reproducir el comportamiento de alguna sistema físico). Sin embargo, este sigue siendo un experimento mental de "principio de principio" bastante ambiguo sobre números inimaginablemente enormes. Turing se las arregló para llevarlo más lejos. Por simplicidad asumimos que todos los artículos están ordenados en una & quottape & quot; secuencial, llamaremos & # x27ll los estados distinguibles de los papeles & quotsymbols & quot y los del matemático & # x2Fmachine & quotstates & quot: - Una cosa que puede hacer un matemático es leer una cinta con una de estas tablas escritas, seguida de una secuencia de números que representan los símbolos de otra cinta, y emular lo que haría la máquina descrita cuando se le diera la cinta descrita (es decir, podrían realizar un seguimiento del estado actual y la posición de la cinta, y buscar las transiciones en la tabla para ver qué sucedería) - Dado que un matemático puede emular cualquier tabla dada (en principio), también puede hacerlo una máquina. Esta sería una "máquina universal", capaz de emular cualquier otra. (El video habla de una máquina así, en la prueba de que el problema de la detención es indecidible) Entonces la pregunta es: ¿cuán insondablemente complicada tendría que ser una máquina tan universal? - Estas tablas y cintas de transición pueden ser muy grandes y pueden contener números muy grandes, pero podemos escríbelos usando solo un pequeño alfabeto de símbolos, p. ej. & quotIniciar tabla & quot, & quot nueva fila & quot, & quot; el dígito 7 & quot, etc. - Leer una secuencia de tales símbolos y emular la máquina descrita puede resultar complicado. Turing describió una máquina universal "U", pero lo hizo de una manera bastante indirecta, que también resultó tener algunos errores y flagrantes ineficiencias. Más tarde, Davies trabajó con ellos y terminó con una máquina explícita que usa solo 147 estados y 295 símbolos. Por lo tanto, podemos usar una máquina con solo unos pocos cientos de estados para reproducir exactamente el comportamiento de alguna matemático (o cualquier sistema físico), siempre y cuando & # x27s se le dé una descripción apropiada (es decir, & quotsoftware & quot). El trabajo posterior ha encontrado máquinas de Turing universales con solo 4 estados y 6 símbolos. Una razón por la que Turing & # x27s justificación porque su modelo es importante, más que solo proponer el modelo y ver qué pasa (como en el video), es que Alonzo Church tenía ya propuso un modelo de cálculo (llamado Cálculo Lambda), pero no tenía tal justificación. El mismo Gödel despedido Lambda Calculus, proponiendo su propio sistema (Funciones recursivas generales) como una mejor alternativa. Cuando Church demostró que eran equivalentes, Gödel lo tomó como una razón para descartar su propio sistema también! Sin embargo, el argumento de Turing & # x27s hizo convencer a Gödel de que se había encontrado un límite fundamental en la computación. Turing demostró que sus máquinas también son equivalentes al cálculo lambda y, por lo tanto, las funciones recursivas generales todas de estos modelos propuestos resultaron ser & # x27correct & # x27, pero solo Turing pudo explicar por qué. Personalmente, considero que esta reducción del comportamiento físico a las tablas de transición y luego a las máquinas, es la principal razón para preocuparse por las máquinas de Turing. Probar la indecidibilidad del problema de la detención también fue un gran logro del artículo de Turing & # x27s 1936 (como se muestra en ese video), pero eso también se puede explicar (yo diría más fácilmente) usando otros sistemas como Lambda Calculus. Sin En la justificación de Turing & # x27 de su modelo, la indecidibilidad se presenta simplemente como un defecto. Seguro que las máquinas de Turing pueden estar (distantemente) relacionadas con nuestras computadoras portátiles y teléfonos, pero si encontramos una mejor modelo sin este & # x27 error de indecidibilidad & # x27 que podríamos hacer mejor portátiles y teléfonos! El argumento de Turing & # x27s muestra que no hay mejor modelo (solo equivalentes, como Lambda Calculus). No creo que siga esta afirmación. No creo que un argumento como este pueda funcionar sin profundizar más en la descripción razonable de un & quot; sistema físico & quot. Si solo usa las matemáticas que empleamos para describir sistemas físicos sin reservas, es posible construir "sistemas físicos" que exhiban un comportamiento no computable. Por ejemplo, puede tener condiciones iniciales computables y continuas para la ecuación de onda que produce una solución que no es computable. Consulte: https: & # x2F & # x2Fen.wikipedia.org & # x2Fwiki & # x2FComputability_in_Analysis_and_. Creo que es importante enfatizar que Turing expuso sus argumentos con respecto a & quot; procedimiento eficaz & quot; (que veo que mencionas en una publicación diferente). No creo que la sustitución de & quot; procedimiento efectivo & quot por & quot; sistema físico & quot esté justificada. Gracias, ese es un buen ejemplo con el que no me había encontrado antes (o al menos no había pasado demasiado tiempo estudiando). Es posible que tenga que refinar el lenguaje que uso en el futuro, aunque una mirada superficial parece para ser compatible con mi propio entendimiento (mi modelo mental es más o menos: "si encontráramos un oráculo vacilante, no tendríamos forma de saberlo con certeza") & gt Creo que es & # x27 importante enfatizar que Turing expuso sus argumentos con respecto al & citar procedimiento efectivo & quot (que veo que mencionas en una publicación diferente). No creo que esté justificada la sustitución de & quot; procedimiento eficaz & quot por & quot; sistema físico & quot. Sí, Turing no dijo tanto (al menos en su artículo de 1936). Básicamente, estaba abstrayendo & # x27 lo que sea que una persona pueda estar haciendo & # x27, de una manera increíblemente general. Desde entonces, otros han tomado esta idea y la han aplicado de manera más amplia. Otra advertencia útil es que las máquinas de Turing se enmarcan como funciones (parciales) sobre los números naturales. Es un gran salto desde allí a un & quot; sistema físico & quot. Un ejemplo obvio es que no importa cuán hábilmente programemos una máquina de Turing, no puede lavar los platos aunque sí puede simular el lavado de platos con precisión arbitraria, y podría lavar platos controlando los actuadores Si decidimos adjuntar algunos (pero incluso eso tendría problemas de limitaciones de tiempo, por ejemplo, si el cálculo de la primera instrucción tomó tanto tiempo que el agua se había evaporado). Si una región finita puede tener o no un número infinito de estados (contables o no) es irrelevante, solo podemos distinguir finitos muchos en tiempo finito. El hecho de que dos estados sean indistinguibles significa que darán lugar al mismo comportamiento de salida (por ejemplo, de un matemático en una habitación, que lleva a cabo algún procedimiento). No estoy seguro de que podamos decir esta parte aunque creamos que es verdad. Quiero decir, tal vez ahora podamos, ya que no tenemos teorías más profundas que las teorías de campo cuántico, y podemos postular que toda la realidad física se reduce a QFT y GR y simular todo QFT computacionalmente, ya sea con computadoras cuánticas (en tiempo real) o clásicas (no en tiempo real + necesita un generador de números aleatorios). Pero el we & # x27d todavía tenemos límites computacionales por los que podemos medir los observables y qué tan grande de cálculos podemos ejecutar (piense en el tamaño de la computadora limitado por la densidad del agujero negro para un ejemplo burdo, aunque supongo que un agujero negro podría usarse como una computadora cuántica Entonces, digo que la velocidad de la luz es el otro límite principal, ya hemos perdido la información para ejecutar ciertos cálculos en las profundidades del espacio). Y volver a centrarnos en el requisito del generador de números aleatorios para que el clásico simule cuántica. En principio, nada fundamentalmente aleatorio puede simularse clásicamente. Sin embargo, se necesita aleatoriedad para describir la capa más básica de la realidad. No puedo obtener la verdadera aleatoriedad de la música clásica, pase lo que pase. El escenario de Turing & # x27s se aplica esencialmente a una persona en una habitación, con una cantidad ilimitada de papel (¡esto podría ser una cinta móvil que se extienda a través de las paredes para evitar que la habitación se llene de papel!). Sin embargo, el mismo argumento funciona si reemplazamos a la persona con cualquier otro sistema físico (por ejemplo, algún dispositivo mecánico o algún experimento de física) y reemplazamos la habitación con cualquier región finita del espacio (por ejemplo, la Vía Láctea). No recuerdo que el propio Turing haya hecho este argumento (y mucho menos en su artículo de 1936), pero se conoce como la & quot; tesis física de la Iglesia-Turing & quot https: & # x2F & # x2Fen.wikipedia.org & # x2Fwiki & # x2FChurch% E2% 80 % 93Turing_thesis # V. (la tesis de Church-Turing es el argumento de que todos los & # x27 métodos de cálculo eficaces & # x27 pueden ser llevados a cabo por una máquina de Turing) En cuanto a sus puntos sobre física cuántica, etc., eso es ciertamente cierto, y es por qué la tesis de Church-Turing no es un teorema (y no puede serlo, ya que nunca podemos saber si algún modelo particular de la realidad es correcto). Sin embargo, ciertamente es un ley física, similar a nada que se mueva más rápido que la luz, etc., es decir, es empíricamente cierto, teóricamente sólido, y no tenemos una mejor explicación por el momento. Quizás su origen en las matemáticas, donde es un ciudadano de segunda clase en comparación con los teoremas demostrables, impidió que la tesis de Church-Turing obtuviera el reconocimiento que merece, por ejemplo, de los físicos. Creo que la computación cuántica es una teoría más rica y poderosa. En esencia, BQP es un superconjunto de BPP en su enlace. Creo que esto sucede con todo tipo de objetos matemáticos. El álgebra no conmutativa es mucho más rica que el álgebra conmutativa. También hay cosas no conmutativas más interesantes que las deformaciones de los objetos clásicos. Es el caso conmutativo clásico que es el límite extraño. Es interesante considerar P = NP como una ley física, aunque ciertamente es más tenue que la tesis de Church-Turing, etc. ¿Puede desarrollar lo siguiente? No lo sigo del todo ... & gt tener un número infinito de estados requeriría que fueran infinitesimalmente similares y, por lo tanto, indistinguibles entre sí dentro de una cantidad de tiempo finita Consideremos los estados que solo contienen un solo electrón, en algún lugar de la habitación (no me preocupo por los efectos cuánticos, pero haríamos lo mismo solo en el espacio de Hilbert en lugar del espacio 3D). La región es finita, por lo que las coordenadas de este electrón están limitadas: si los límites están en, digamos, 0 y 100 en cada eje, entonces poner el electrón en la posición (101, 0, 0) sería el mismo estado que el vacío. uno con el que comenzamos (ya que el electrón está fuera de la región que nos importa, y no hay nada más). Ahora digamos & # x27s que hacemos alguna medición de la posición de este electrón & # x27s, que solo es precisa para las coordenadas de números enteros. Eso nos da 100 ^ 3 = 1,000,000 distinguible estados con un solo electrón. Podríamos imaginar todo tipo de estados diferentes & # x27in entre & # x27, pero no pueden & # x27t afectar esa medición debido a su resolución limitada. Si aumentamos la resolución de nuestra medición en 10, obtenemos 10 ^ 3 veces más estados distinguibles, otro factor de 10 da 10 ^ 3 veces más estados nuevamente y así sucesivamente. Sin embargo, sin importar de cuán finamente podemos resolver la posición del electrón, solo podemos distinguir entre un número finito de estados. Cualquier diferencia más fina que ese límite es irrelevante para la medición y, por lo tanto, para cualquier comportamiento que dependa de esa medición. Si nosotros podría resolver entre infinitas posiciones para el electrón, lo que requeriría distinguir entre estados que están infinitesimalmente cercanos, es decir, en una cuadrícula infinitamente fina, esto requeriría distinguir entre dos números cuyos decimales solo difieren después de infinitamente muchos dígitos. Esto no parece una capacidad razonable. El mismo principio se aplica cuando tenemos dos electrones en la habitación, o billones, o cualquier combinación de electrones, protones, fotones, etc. en cualquier disposición que queramos. Algo similar sucede cuando también alcanzamos números realmente grandes, p. Ej. tratando de poner tantas partículas en la región como podamos: en algún momento el relativo la diferencia entre, digamos, un googolplex y cinco partículas frente a un googolplex y seis partículas se vuelve demasiado pequeña para distinguirla. Habrá finalmente ser un límite. (Esto es como el problema de resolución, pero en lugar de agregar lugares decimales a la derecha de cada número, estamos agregando factores de 10 a su izquierda) Una forma de solucionar este problema de resolución limitada es evitar una & # x27measurement & # x27 explícita, y en su lugar tener la región en sí se comportan de manera diferente para diferentes estados. Un buen ejemplo es caótico comportamiento, donde pequeños cambios en un estado inicial crecerán exponencialmente hasta que esas diferencias finalmente se vuelvan distinguibles. Sin embargo, los estados infinitesimalmente similares descritos anteriormente permanecerán infinitesimalmente cercanos durante todos los períodos de tiempo finitos para poder distinguirlos, tendríamos que esperar un tiempo. infinito cantidad de tiempo. Entonces, dejando de lado a Plank y todas las cosas experimentales, incluso a nivel filosófico, hay problemas para pensar en el espacio como continuo. Porque aquello con lo que medimos el espacio es necesariamente discreto y los marcos de tiempo en los que medimos son necesariamente finitos. Entonces, incluso si el espacio fuera continuo, dos "estados" que son infinitesimalmente similares podrían considerarse idénticos para TODOS los propósitos prácticos. Como analogía mucho menos formal, es similar a cómo la gente se queja de que el audio digital en general tiene una calidad más baja que la analógica, solo desde un punto de vista discreto frente a continuo. Cuando en realidad no hay límite para la calidad de una representación digital (si quisiéramos, podríamos almacenar un gigabyte por muestra, o un petabyte, o lo que sea). Sin embargo, siempre podemos trazar la línea en algún lugar, más allá del cual no hay distinciones significativas. De hecho, solo necesitamos 2 símbolos, p. Ej. 0 y 1. Esto se debe a que cualquier conjunto de símbolos se puede reemplazar por un conjunto de números, y esos números se pueden escribir en binario (con un ancho fijo, para evitar la necesidad de & # x27spacers & # x27). Esto puede requerir muchos más estados de máquina, ya que esos estados permiten que la máquina & # x27recuerde & # x27 los bits que & # x27s ha leído hasta ahora (por ejemplo, si usamos 8 bits a la vez, entonces necesitamos suficientes estados para & quot; recordar & quot lo que los primeros 7 bits eran como leemos el 8). Para un cálculo como pi, podemos usar la cinta para (a) escribir los dígitos (o bits) de pi y (b) realizar un seguimiento de las variables intermedias necesarias para el cálculo. Un método sencillo para realizar un seguimiento de las variables intermedias es almacenarlas en orden en la cinta, donde cada variable es una secuencia de 1 símbolo, separada por 0 símbolos. Por ejemplo, una cinta como: 111010010 representa cuatro variables con valores 3, 1, 0 y 1 (el número de unos que vemos antes de llegar a un 0). En realidad, esto corresponde a la aritmética de Peano, si usamos los símbolos S y Z como SSSZSZZSZ. Un algoritmo que escupe dígitos de pi para siempre (por ejemplo, http: & # x2F & # x2Fwww.cs.ox.ac.uk & # x2Fpeople & # x2Fjeremy.gibbons & # x2Fpublications & # x2Fsp.) Podría funcionar moviendo su sección & # x27variables & # x27 más y más a la derecha, permitiendo que los dígitos de pi se acumulen, p. ej. Si el pi infinito abstracto "existe" es tema de debate metafísico :) Si quiere decir que pi no puede & # x27t escribirse como un número con precisión infinita usando notación de valor posicional (a diferencia de una notación más útil como Python), entonces estoy de acuerdo en que solo se puede observar un prefijo finito. Dicho esto, uno puede realizar toda la aritmética usando ese sistema y representar cualquier propiedad de los números que podría representarse de otra manera. ¿En serio? Lo mido exactamente como 200 bytes (sin contar la sangría de 4 espacios que requiere HackerNews, y sin incluir una nueva línea al final) & gt y, lo que es más importante, una cantidad infinita de tiempo para producir pi con precisión infinita Puedo verlo ahora mismo, con infinita precisión. Si se tarda una cantidad infinita de tiempo en aparecer, comuníquese con su ISP) ## Cómo estimar valores límite con gráficos Los límites unilaterales son los mismos, por lo que el límite existe. Respuesta:$ displaystyle lim limits_ f (x) aproximadamente 5 $##### Ejemplo 2 Usa la gráfica para estimar$ displaystyle lim limits_ f (x) $Examine el límite desde la izquierda. Examine el límite desde la derecha. The one-sided limits are the same, so the limit exists. Answer:$displaystylelimlimits_f(x) approx 2$##### Ejemplo 3 Use the graph to evaluate$displaystylelimlimits_ f(x)\$

Examine the limit from the left and from the right.

Examine the one-sided limits.

The limit from the left is not the same as the limit from the right.

Answer: The limit does not exist.

### Problemas de práctica

Use the graph below to estimate the value of the limits in questions 1--5.

## Chapter 1: Limits - Mathematics

Here we will discuss some important limits that everyone should be aware of. They are very useful in many branches of science.

Example: Show using the Logarithmic function that

Answer: We will make use of the integral while the Hôpital Rule would have done a cleaner job. We have

For , we have , which is equivalent to . Por eso,

Therefore, putting the stuff together, we arrive at

as n goes to and , the Pinching Theorem gives

The difficulty in this example was that both the numerator and denominator grow when n gets large. But, what this conclusion shows is that n grows more powerfully than .

As a direct application of the above limit, we get the next one:

Clearly, we have (from above)

The next limit is extremely important and I urge the reader to be aware of it all the time.

Answer: There are many ways to see this. We will choose one that involves a calculus technique. Let us note that it is equivalent to show that

Do not worry about the domain of , since for large n , the expression will be a positive number (close to 1). Consider the function

and f (0) = 1. Using the definition of the derivative of , we see that f ( x ) is continuous at 0, that is, . Hence, for any sequence which converges to 0, we have

Clearly we have . Therefore, we have

The next example, is interesting because it deals with the new notion of series.

Answer: There are many ways to handle this sequence. Let us use calculus techniques again. Consider the function

## Chapter 1: Limits - Mathematics

" The tutorials on your website are awesome! I understand Math so much more because of them. It's the main reason why I'm doing so well "
Student, Burnaby School District 41

Welcome to BCMath.ca

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Are you preparing for a math test but don't know what or how to study? Then you walk into a math exam thinking you know everything but feeling disappointed when you get your results back? Our online Math exams are designed to help students overcome these challenges. At BCMath.ca, we are developing practice quizzes and assignments to help students to objectively assess their own learning. Students can take an online math quiz for free and then review their results. In addition, we can have your results emailed to you or your teachers to better assess your learning. To access these practice quizzes, just click below:

How to Prepare for a Math Exam

1. Do your homework. Do them right after class when the lesson is still fresh in your head.

2. Rewrite your notes. Rewrite them in your own words to personalize it.

3. Review your Math notes atleast two to three times a week. It is better to study a little bit everyday than to cram a lot in one day.

4. Practice writing exams in a quiet place for one hour each week. Get into the habit of writing exams.

5. Understand what the learning outcomes are for each section. Find out what you are supposed to know.

## Wolfram Web Resources

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## Discrete Mathematics Questions and Answers – Functions

This set of Discrete Mathematics Multiple Choice Questions & Answers (MCQs) focuses on “Functions”.

1. A function is said to be ______________ if and only if f(a) = f(b) implies that a = b for all a and b in the domain of f.
a) One-to-many
b) One-to-one
c) Many-to-many
d) Many-to-one

2. The function f(x)=x+1 from the set of integers to itself is onto. Is it True or False?
a) True
b) False

3. The value of ⌊1/2.⌊5/2⌋ ⌋ is ______________
a) 1
b) 2
c) 3
d) 0.5

4. Which of the following function f: Z X Z → Z is not onto?
a) f(a, b) = a + b
b) f(a, b) = a
c) f(a, b) = |b|
d) f(a, b) = a – b

5. The domain of the function that assign to each pair of integers the maximum of these two integers is ___________
a) N
b) Z
c) Z +
d) Z + X Z +

6. Let f and g be the function from the set of integers to itself, defined by f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3x + 4. Then the composition of f and g is ____________
a) 6x + 9
b) 6x + 7
c) 6x + 6
d) 6x + 8

7. __________ bytes are required to encode 2000 bits of data.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 8

8. The inverse of function f(x) = x 3 + 2 is ____________
a) f -1 (y) = (y – 2) 1/2
b) f -1 (y) = (y – 2) 1/3
c) f -1 (y) = (y) 1/3
d) f -1 (y) = (y – 2)