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5.7: Coordenadas cilíndricas y esféricas - Matemáticas


El sistema de coordenadas cartesianas proporciona una forma sencilla de describir la ubicación de puntos en el espacio. De manera similar, las coordenadas esféricas son útiles para tratar problemas relacionados con esferas, como encontrar el volumen de estructuras abovedadas.

Coordenadas cilíndricas

Cuando expandimos el sistema de coordenadas cartesiano tradicional de dos dimensiones a tres, simplemente agregamos un nuevo eje para modelar la tercera dimensión. Comenzando con las coordenadas polares, podemos seguir este mismo proceso para crear un nuevo sistema de coordenadas tridimensional, llamado sistema de coordenadas cilíndrico. De esta manera, las coordenadas cilíndricas proporcionan una extensión natural de las coordenadas polares a tres dimensiones.

Definición: el sistema de coordenadas cilíndricas

En el sistema de coordenadas cilíndrico, un punto en el espacio (Figura ( PageIndex {1} )) está representado por el triple ordenado ((r, θ, z) ), donde

  • ((r, θ) ) son las coordenadas polares de la proyección del punto en el plano (xy ) -
  • (z ) es el habitual (z ) -coordinar en el sistema de coordenadas cartesianas

En el plano (xy ) -, el triángulo rectángulo que se muestra en la Figura proporciona la clave para la transformación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, o rectangulares.

Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas

Las coordenadas rectangulares ((x, y, z) ) y las coordenadas cilíndricas ((r, θ, z) ) de un punto están relacionadas de la siguiente manera:

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares.

  • (x = r cos θ )
  • (y = r sin θ )
  • (z = z )

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas.

  1. (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )
  2. ( tan θ = frac {y} {x} )
  3. (z = z )

Como cuando discutimos la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares en dos dimensiones, debe notarse que la ecuación ( tan θ = frac {y} {x} ) tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, si restringimos (θ ) a valores entre (0 ) y (2π ), entonces podemos encontrar una solución única basada en el cuadrante del plano (xy ) en el que el punto original ((x, y, z) ) se encuentra. Tenga en cuenta que si (x = 0 ), entonces el valor de (θ ) es ( frac {π} {2}, frac {3π} {2}, ) o (0 ) , dependiendo del valor de (y ).

Observe que estas ecuaciones se derivan de las propiedades de los triángulos rectángulos. Para hacer esto fácil de ver, considere el punto (P ) en el (xy ) - plano con coordenadas rectangulares ((x, y, 0) ) y con coordenadas cilíndricas ((r, θ, 0) ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Consideremos las diferencias entre las coordenadas rectangulares y cilíndricas al observar las superficies generadas cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Si (c ) es una constante, entonces en coordenadas rectangulares, las superficies de la forma (x = c, y = c, ) o (z = c ) son todas planas. Los planos de estas formas son paralelos al plano (yz ) -, el plano (xz ) - y el plano (xy ) -, respectivamente. Cuando convertimos a coordenadas cilíndricas, la coordenada (z ) - no cambia. Por lo tanto, en coordenadas cilíndricas, las superficies de la forma (z = c ) son planos paralelos al plano (xy ) -. Ahora, pensemos en superficies de la forma (r = c ). Los puntos de estas superficies están a una distancia fija del eje (z ). En otras palabras, estas superficies son cilindros circulares verticales. Por último, ¿qué pasa con (θ = c )? Los puntos en una superficie de la forma (θ = c ) están en un ángulo fijo desde el eje (x ) -, lo que nos da un semiplano que comienza en el eje (z ) - (Figuras ( PageIndex {3} ) y ( PageIndex {4} )).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares

Trace el punto con coordenadas cilíndricas ((4 frac {2π} {3}, - 2) ) y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares.

Solución

La conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares requiere una aplicación simple de las ecuaciones enumeradas en la Nota:

[ begin {align *} x & = r cos θ = 4 cos frac {2π} {3} = - 2 [5pt] y & = r sin θ = 4 sin frac {2π} { 3} = 2 sqrt {3} [5pt] z & = - 2 end {align *}. ]

El punto con coordenadas cilíndricas ((4, frac {2π} {3}, - 2) ) tiene coordenadas rectangulares ((- 2,2 sqrt {3}, - 2) ) (Figura ( PageIndex {5} )).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

El punto (R ) tiene coordenadas cilíndricas ((5, frac {π} {6}, 4) ). Grafica (R ) y describe su ubicación en el espacio usando coordenadas rectangulares o cartesianas.

Insinuación

Los dos primeros componentes coinciden con las coordenadas polares del punto en el plano (xy ).

Respuesta

Las coordenadas rectangulares del punto son (( frac {5 sqrt {3}} {2}, frac {5} {2}, 4). )

Si este proceso le parece familiar, es por una buena razón. Este es exactamente el mismo proceso que seguimos en Introducción a las ecuaciones paramétricas y las coordenadas polares para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares bidimensionales.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Conversión de coordenadas rectangulares a cilíndricas

Convierta las coordenadas rectangulares ((1, −3,5) ) a coordenadas cilíndricas.

Solución

Utilice el segundo conjunto de ecuaciones de Note para trasladar de coordenadas rectangulares a cilíndricas:

[ begin {align *} r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 [5pt] r & = ± sqrt {1 ^ 2 + (- 3) ^ 2} [5pt] & = ± sqrt {10}. end {alinear *} ]

Elegimos la raíz cuadrada positiva, entonces (r = sqrt {10} ). Ahora, aplicamos la fórmula para encontrar (θ ). En este caso, (y ) es negativo y (x ) es positivo, lo que significa que debemos seleccionar el valor de (θ ) entre ( frac {3π} {2} ) y (2π ):

[ begin {align *} tan θ & = frac {y} {x} = frac {−3} {1} [5pt] θ & = arctan (−3) ≈5.03 , texto {rad.} end {align *} ]

En este caso, el z-Las coordenadas son las mismas en coordenadas rectangulares y cilíndricas:

[z = 5. sin número]

El punto con coordenadas rectangulares ((1, −3,5) ) tiene coordenadas cilíndricas aproximadamente iguales a (( sqrt {10}, 5.03,5). )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Convierta el punto ((- 8,8, −7) ) de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas.

Insinuación

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) y ( tan θ = frac {y} {x} )

Respuesta

(8 sqrt {2}, frac {3π} {4}, - 7) )

El uso de coordenadas cilíndricas es común en campos como la física. Los físicos que estudian las cargas eléctricas y los condensadores utilizados para almacenar estas cargas han descubierto que estos sistemas a veces tienen una simetría cilíndrica. Estos sistemas tienen ecuaciones de modelado complicadas en el sistema de coordenadas cartesianas, lo que los hace difíciles de describir y analizar. Las ecuaciones a menudo se pueden expresar en términos más simples utilizando coordenadas cilíndricas. Por ejemplo, el cilindro descrito por la ecuación (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) en el sistema cartesiano se puede representar mediante la ecuación cilíndrica (r = 5 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Identificación de superficies en el sistema de coordenadas cilíndricas

Describe las superficies con las ecuaciones cilíndricas dadas.

  1. (θ = frac {π} {4} )
  2. (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 )
  3. (z = r )

Solución

una. Cuando el ángulo (θ ) se mantiene constante mientras que (r ) y (z ) pueden variar, el resultado es un semiplano (Figura ( PageIndex {6} )).

B. Sustituye (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) en la ecuación (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) para expresar la forma rectangular de la ecuación: (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ). Esta ecuación describe una esfera centrada en el origen con radio 3 (Figura ( PageIndex {7} )).

C. Para describir la superficie definida por la ecuación (z = r ), es útil examinar trazos paralelos al plano (xy ) -. Por ejemplo, la traza en el plano (z = 1 ) es el círculo (r = 1 ), la traza en el plano (z = 3 ) es el círculo (r = 3 ), y así sucesivamente. Cada trazo es un círculo. A medida que aumenta el valor de (z ), el radio del círculo también aumenta. La superficie resultante es un cono (Figura ( PageIndex {8} )).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Describe la superficie con la ecuación cilíndrica (r = 6 ).

Insinuación

Los componentes (θ ) y (z ) de los puntos en la superficie pueden tomar cualquier valor.

Respuesta

Esta superficie es un cilindro de radio (6 ).

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas cartesianas, la ubicación de un punto en el espacio se describe mediante un triple ordenado en el que cada coordenada representa una distancia. En el sistema de coordenadas cilíndrico, la ubicación de un punto en el espacio se describe usando dos distancias ((r ) y (z) ) y una medida de ángulo ((θ) ). En el sistema de coordenadas esféricas, nuevamente usamos un triple ordenado para describir la ubicación de un punto en el espacio. En este caso, el triple describe una distancia y dos ángulos. Las coordenadas esféricas facilitan la descripción de una esfera, al igual que las coordenadas cilíndricas facilitan la descripción de un cilindro. Las líneas de cuadrícula para coordenadas esféricas se basan en medidas de ángulos, como las de coordenadas polares.

Definición: sistema de coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas, un punto (P ) en el espacio (Figura) está representado por el triple ordenado ((ρ, θ, φ) ) donde

  • (ρ ) (la letra griega rho) es la distancia entre (P ) y el origen ((ρ ≠ 0); )
  • (θ ) es el mismo ángulo que se usa para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas;
  • (φ ) (la letra griega phi) es el ángulo formado por el eje positivo (z ) y el segmento de línea ( bar {OP} ), donde (O ) es el origen y ( 0≤φ≤π. )

Por convención, el origen se representa como ((0,0,0) ) en coordenadas esféricas.

CÓMO: Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares

Las coordenadas rectangulares ((x, y, z) ), las coordenadas cilíndricas ((r, θ, z), ) y las coordenadas esféricas ((ρ, θ, φ) ) de un punto se relacionan de la siguiente manera:

Convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares.

  • (x = ρ sin φ cos θ )
  • (y = ρ sin φ sin θ )
  • (z = ρ cos φ )

Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

  • (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
  • ( tan θ = frac {y} {x} )
  • (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}). )

Convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares.

  • (r = ρ sin φ )
  • (θ = θ )
  • (z = ρ cos φ )

Convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas.

  • (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} )
  • (θ = θ )
  • (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}) )

Las fórmulas para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares pueden parecer complejas, pero son aplicaciones sencillas de trigonometría. Mirando la Figura, es fácil ver que (r = ρ sin φ ). Entonces, mirando el triángulo en el plano (xy ) - con r como su hipotenusa, tenemos (x = r cos θ = ρ sin φ cos θ ). La derivación de la fórmula para (y ) es similar. La figura también muestra que (ρ ^ 2 = r ^ 2 + z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) y (z = ρ cos φ ). Resolviendo esta última ecuación para (φ ) y luego sustituyendo (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} ) (de la primera ecuación) se obtiene (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}) ). Además, tenga en cuenta que, como antes, debemos tener cuidado al usar la fórmula ( tan θ = frac {y} {x} ) para elegir el valor correcto de (θ ).

Como hicimos con las coordenadas cilíndricas, consideremos las superficies que se generan cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Sea (c ) una constante y considere superficies de la forma (ρ = c ). Los puntos de estas superficies están a una distancia fija del origen y forman una esfera. La coordenada (θ ) en el sistema de coordenadas esféricas es la misma que en el sistema de coordenadas cilíndrico, por lo que las superficies de la forma (θ = c ) son semiplanos, como antes. Por último, considere superficies de la forma (φ = 0 ). Los puntos en estas superficies están en un ángulo fijo desde el eje (z ) - y forman un semicono (Figura ( PageIndex {11} )).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Conversión de coordenadas esféricas

Trace el punto con coordenadas esféricas ((8, frac {π} {3}, frac {π} {6}) ) y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares y cilíndricas.

Solución

Utilice las ecuaciones en Nota para traducir entre coordenadas esféricas y cilíndricas (Figura ( PageIndex {12} )):

[ begin {align *} x & = ρ sin φ cos θ [5pt] & = 8 sin ( frac {π} {6}) cos ( frac {π} {3}) [5pt] & = 8 ( frac {1} {2}) frac {1} {2} [5pt] & = 2 [5pt] y & = ρ sin φ sin θ [5pt] & = 8 sin ( frac {π} {6}) sin ( frac {π} {3}) [5pt] & = 8 ( frac {1} {2}) frac { sqrt {3}} {2} [5pt] & = 2 sqrt {3} [5pt] z & = ρ cos φ [5pt] & = 8 cos ( frac {π } {6}) [5pt] & = 8 ( frac { sqrt {3}} {2}) [5pt] & = 4 sqrt {3} end {align *} ]

El punto con coordenadas esféricas ((8, frac {π} {3}, frac {π} {6}) ) tiene coordenadas rectangulares ((2,2 sqrt {3}, 4 sqrt {3 }). )

Encontrar los valores en coordenadas cilíndricas es igualmente sencillo:

[ begin {align *} r = ρsinφ [5pt] & = 8sin frac {π} {6} = 4 end {align *} ]

[θ = θ nonumber ]

[ begin {align *} z = ρ cos φ [5pt] & = 8 cos frac {π} {6} [5pt] & = 4 sqrt {3}. end {align *} ]

Por tanto, las coordenadas cilíndricas del punto son ((4, frac {π} {3}, 4 sqrt {3}) ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Trace el punto con coordenadas esféricas ((2, - frac {5π} {6}, frac {π} {6}) ) y describa su ubicación en coordenadas rectangulares y cilíndricas.

Insinuación

Convertir las coordenadas primero puede ayudar a encontrar la ubicación del punto en el espacio más fácilmente.

Respuesta

Cartesiano: ((- frac { sqrt {3}} {2}, - frac {1} {2}, sqrt {3}), ) cilíndrico: ((1, - frac {5π } {6}, sqrt {3}) )

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Conversión de coordenadas rectangulares

Convierta las coordenadas rectangulares ((- 1,1, sqrt {6}) ) a coordenadas esféricas y cilíndricas.

Solución

Empiece por convertir de coordenadas rectangulares a esféricas:

(ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = (- 1) ^ 2 + 1 ^ 2 + ( sqrt {6}) ^ 2 = 8 ) (tanθ = frac {1 } {- 1} )

(ρ = 2 sqrt {2} ) (θ = arctan (−1) = frac {3π} {4} ).

Como ((x, y) = (- 1,1) ), entonces la elección correcta para θ es ( frac {3π} {4} ).

En realidad, hay dos formas de identificar (φ ). Podemos usar la ecuación (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) ). Sin embargo, un enfoque más simple es usar la ecuación (z = ρ cos φ. ) Sabemos que (z = sqrt {6} ) y (ρ = 2 sqrt {2} ), entonces

( sqrt {6} = 2 sqrt {2} cos φ, ) entonces cos (φ = frac { sqrt {6}} {2 sqrt {2}} = frac { sqrt {3}} {2} )

y por lo tanto (φ = frac {π} {6} ). Las coordenadas esféricas del punto son ((2 sqrt {2}, frac {3π} {4}, frac {π} {6}). )

Para encontrar las coordenadas cilíndricas del punto, solo necesitamos encontrar r:

(r = ρ sin φ = 2 sqrt {2} sin ( frac {π} {6}) = sqrt {2}. )

Las coordenadas cilíndricas del punto son (( sqrt {2}, frac {3π} {4}, sqrt {6}) ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Identificación de superficies en el sistema de coordenadas esféricas

Describe las superficies con las ecuaciones esféricas dadas.

  1. (θ = frac {π} {3} )
  2. (φ = frac {5π} {6} )
  3. (ρ = 6 )
  4. (ρ = sin θsinφ )

Solución

una. La variable (θ ) representa la medida del mismo ángulo en los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico. Los puntos con coordenadas ((ρ, frac {π} {3}, φ) ) se encuentran en el plano que forma el ángulo (θ = frac {π} {3} ) con el positivo (x ) -eje. Como (ρ> 0 ), la superficie descrita por la ecuación (θ = frac {π} {3} ) es el semiplano que se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ).

B. La ecuación (φ = frac {5π} {6} ) describe todos los puntos en el sistema de coordenadas esféricas que se encuentran en una línea desde el origen que forma un ángulo que mide ( frac {5π} {6} ) rad con el eje (z ) positivo. Estos puntos forman un semicono (Figura). Debido a que solo hay un valor para (φ ) que se mide desde el eje (z ) positivo, no obtenemos el cono completo (con dos piezas).

Para encontrar la ecuación en coordenadas rectangulares, usa la ecuación (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}). )

( frac {5π} {6} = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) )

( cos frac {5π} {6} = frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

(- frac { sqrt {3}} {2} = frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

( frac {3} {4} = frac {z ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

( frac {3x ^ 2} {4} + frac {3y ^ 2} {4} + frac {3z ^ 2} {4} = z ^ 2 )

( frac {3x ^ 2} {4} + frac {3y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {4} = 0. )

Esta es la ecuación de un cono centrado en el eje (z ) -.

C. La ecuación (ρ = 6 ) describe el conjunto de todos los puntos (6 ) unidades alejados del origen: una esfera con radio (6 ) (Figura ( PageIndex {15} )).

D. Para identificar esta superficie, convierta la ecuación de coordenadas esféricas a rectangulares, usando las ecuaciones (y = ρsinφ sin θ ) y (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2: )

(ρ = sin θsinφ )

(ρ ^ 2 = ρ sin θ sin φ ) Multiplica ambos lados de la ecuación por (ρ ).

(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = y ) Sustituye variables rectangulares usando las ecuaciones anteriores.

(x ^ 2 + y ^ 2 − y + z ^ 2 = 0 ) Resta (y ) de ambos lados de la ecuación.

(x ^ 2 + y ^ 2 − y + frac {1} {4} + z ^ 2 = frac {1} {4} ) Completa el cuadrado.

(x ^ 2 + (y− frac {1} {2}) ^ 2 + z ^ 2 = frac {1} {4} ). Reescribe los términos del medio como un cuadrado perfecto.

La ecuación describe una esfera centrada en el punto ((0, frac {1} {2}, 0) ) con radio ( frac {1} {2} ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Describe las superficies definidas por las siguientes ecuaciones.

  1. (ρ = 13 )
  2. (θ = frac {2π} {3} )
  3. (φ = frac {π} {4} )
Insinuación

Piense en lo que representa cada componente y lo que significa mantener ese componente constante.

Responde una

Este es el conjunto de todas las unidades de puntos (13 ) desde el origen. Este conjunto forma una esfera con radio (13 ).

Respuesta b

Este conjunto de puntos forma un semiplano. El ángulo entre el semiplano y el eje positivo (x ) - es (θ = frac {2π} {3}. )

Respuesta c

Sea (P ) un punto en esta superficie. El vector de posición de este punto forma un ángulo de (φ = frac {π} {4} ) con el eje (z ) positivo, lo que significa que los puntos más cercanos al origen están más cerca del eje. Estos puntos forman un semicono.

Las coordenadas esféricas son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría alrededor de un punto, como el volumen del espacio dentro de un estadio abovedado o la velocidad del viento en la atmósfera de un planeta. Una esfera que tiene la ecuación cartesiana (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = c ^ 2 ) tiene la ecuación simple (ρ = c ) en coordenadas esféricas.

En geografía, la latitud y la longitud se utilizan para describir ubicaciones en la superficie de la Tierra, como se muestra en la Figura. Aunque la forma de la Tierra no es una esfera perfecta, usamos coordenadas esféricas para comunicar la ubicación de los puntos en la Tierra. Supongamos que la Tierra tiene la forma de una esfera de radio (4000 ) mi. Expresamos las medidas de los ángulos en grados en lugar de radianes porque la latitud y la longitud se miden en grados.

Deje que el centro de la Tierra sea el centro de la esfera, con el rayo desde el centro a través del Polo Norte representando el eje positivo (z ). El primer meridiano representa el rastro de la superficie cuando se cruza con el plano (xz ). El ecuador es la traza de la esfera que cruza el plano (xy ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Conversión de latitud y longitud en coordenadas esféricas

La latitud de Columbus, Ohio, es (40 ° ) N y la longitud es (83 ° ) W, lo que significa que Columbus está (40 ° ) al norte del ecuador. Imagine un rayo desde el centro de la Tierra a través de Colón y un rayo desde el centro de la Tierra a través del ecuador directamente al sur de Colón. La medida del ángulo formado por los rayos es (40 ° ). De la misma manera, midiendo desde el primer meridiano, Colón se encuentra (83 ° ) al oeste. Expresa la ubicación de Colón en coordenadas esféricas.

Solución

El radio de la Tierra es (4000 ) mi, entonces (ρ = 4000 ). La intersección del primer meridiano y el ecuador se encuentra en el eje positivo (x ) -. El movimiento hacia el oeste se describe entonces con medidas de ángulos negativos, lo que muestra que (θ = −83 ° ), ya que Colón se encuentra (40 ° ) al norte del ecuador, se encuentra (50 ° ) al sur del Polo Norte, entonces (φ = 50 ° ). En coordenadas esféricas, Colón se encuentra en el punto ((4000, −83 °, 50 °). )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Sydney, Australia, se encuentra en (34 ° S ) y (151 ° E. ) Express, la ubicación de Sydney en coordenadas esféricas.

Insinuación

Como Sydney se encuentra al sur del ecuador, necesitamos sumar (90 ° ) para encontrar el ángulo medido desde el eje positivo (z ) -.

Respuesta

((4000,151°,124°))

Las coordenadas cilíndricas y esféricas nos dan la flexibilidad de seleccionar un sistema de coordenadas apropiado para el problema en cuestión. Una elección cuidadosa del sistema de coordenadas puede hacer que un problema sea mucho más fácil de resolver, mientras que una mala elección puede llevar a cálculos innecesariamente complejos. En el siguiente ejemplo, examinamos varios problemas diferentes y discutimos cómo seleccionar el mejor sistema de coordenadas para cada uno.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Elección del mejor sistema de coordenadas

En cada una de las siguientes situaciones, determinamos qué sistema de coordenadas es el más apropiado y describimos cómo orientaríamos los ejes de coordenadas. Podría haber más de una respuesta correcta sobre cómo deben orientarse los ejes, pero seleccionamos una orientación que tenga sentido en el contexto del problema. Nota: No hay suficiente información para configurar o resolver estos problemas; simplemente seleccionamos el sistema de coordenadas (Figura ( PageIndex {17} )).

  1. Encuentra el centro de gravedad de una bola de boliche.
  2. Determine la velocidad de un submarino sometido a una corriente oceánica.
  3. Calcula la presión en un tanque de agua cónico.
  4. Encuentre el volumen de petróleo que fluye a través de una tubería.
  5. Determina la cantidad de cuero necesaria para hacer una pelota de fútbol.

Solución

  1. Claramente, una bola de boliche es una esfera, por lo que las coordenadas esféricas probablemente funcionarían mejor aquí. El origen debe ubicarse en el centro físico del balón. No hay una elección obvia sobre cómo deben orientarse los ejes (x ) -, (y ) - y (z ) -. Las bolas de boliche normalmente tienen un bloque de peso en el centro. Una opción posible es alinear el eje (z ) - con el eje de simetría del bloque de peso.
  2. Un submarino generalmente se mueve en línea recta. No existe una simetría rotacional o esférica que se aplique en esta situación, por lo que las coordenadas rectangulares son una buena opción. El eje (z ) - probablemente debería apuntar hacia arriba. Los ejes (x ) - y (y ) - podrían alinearse para apuntar al este y al norte, respectivamente. El origen debe ser una ubicación física conveniente, como la posición de partida del submarino o la ubicación de un puerto en particular.
  3. Un cono tiene varios tipos de simetría. En coordenadas cilíndricas, un cono se puede representar mediante la ecuación (z = kr, ) donde (k ) es una constante. En coordenadas esféricas, hemos visto que las superficies de la forma (φ = c ) son semiconos. Por último, en coordenadas rectangulares, los conos elípticos son superficies cuádricas y se pueden representar mediante ecuaciones de la forma (z ^ 2 = frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2 }. ) En este caso, podríamos elegir cualquiera de los tres. Sin embargo, la ecuación de la superficie es más complicada en coordenadas rectangulares que en los otros dos sistemas, por lo que quizás deseemos evitar esa elección. Además, estamos hablando de un tanque de agua, y la profundidad del agua podría entrar en juego en algún momento de nuestros cálculos, por lo que sería bueno tener un componente que represente la altura y la profundidad directamente. Según este razonamiento, las coordenadas cilíndricas podrían ser la mejor opción. Elija el eje (z ) - para alinearlo con el eje del cono. La orientación de los otros dos ejes es arbitraria. El origen debe ser el punto inferior del cono.
  4. Una tubería es un cilindro, por lo que las coordenadas cilíndricas serían la mejor opción. En este caso, sin embargo, probablemente elegiríamos orientar nuestro eje (z ) - con el eje central de la tubería. El eje (x ) - podría elegirse para apuntar directamente hacia abajo o hacia alguna otra dirección lógica. El origen debe elegirse basándose en el enunciado del problema. Tenga en cuenta que esto pone (z )-eje en orientación horizontal, que es un poco diferente a lo que solemos hacer. Puede tener sentido elegir una orientación inusual para los ejes si tiene sentido para el problema.
  5. Una pelota de fútbol tiene simetría de rotación alrededor de un eje central, por lo que las coordenadas cilíndricas funcionarían mejor. El eje (z ) - debe alinearse con el eje de la pelota. El origen podría ser el centro de la pelota o quizás uno de los extremos. La posición del eje (x ) - es arbitraria.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

¿Qué sistema de coordenadas es el más apropiado para crear un mapa de estrellas, visto desde la Tierra (ver la siguiente figura)?

¿Cómo debemos orientar los ejes de coordenadas?

Insinuación

¿Qué tipos de simetría están presentes en esta situación?

Respuesta

Coordenadas esféricas con el origen ubicado en el centro de la Tierra, el eje (z ) alineado con el Polo Norte y el eje (x ) alineado con el meridiano principal

Conceptos clave

  • En el sistema de coordenadas cilíndrico, un punto en el espacio está representado por el triple ordenado ((r, θ, z), ) donde ((r, θ) ) representa las coordenadas polares de la proyección del punto en ( xy ) - plano y z representa la proyección del punto sobre el eje (z ) -.
  • Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas, use las ecuaciones (x = r cos θ, y = r sin θ, ) y (z = z. )
  • Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas, use las ecuaciones (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, tan θ = frac {y} {x}, ) y (z = z. )
  • En el sistema de coordenadas esféricas, un punto (P ) en el espacio está representado por el triple ordenado ((ρ, θ, φ) ), donde (ρ ) es la distancia entre (P ) y el origen ((ρ ≠ 0), θ ) es el mismo ángulo que se usa para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas, y (φ ) es el ángulo formado por el eje (z ) positivo y segmento lineal ( bar {OP} ), donde (O ) es el origen y (0≤φ≤π. )
  • Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas, use las ecuaciones (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, ) y (z = ρ cos φ. )
  • Para convertir un punto de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, use las ecuaciones (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, tan θ = frac {y} {x}, ) y (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) ).
  • Para convertir un punto de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas, use las ecuaciones (r = ρ sin φ, θ = θ, ) y (z = ρ cos φ. )
  • Para convertir un punto de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas, use las ecuaciones (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}, θ = θ, ) y (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}). )

Glosario

sistema de coordenadas cilíndrico
una forma de describir una ubicación en el espacio con un triple ordenado ((r, θ, z), ) donde ((r, θ) ) representa las coordenadas polares de la proyección del punto en (xy ) - avión, y z representa la proyección del punto en el eje (z ) -
sistema de coordenadas esféricas
una forma de describir una ubicación en el espacio con un triple ordenado ((ρ, θ, φ), ) donde (ρ ) es la distancia entre (P ) y el origen ((ρ ≠ 0), θ ) es el mismo ángulo que se usa para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas, y (φ ) es el ángulo formado por el eje (z ) positivo y el segmento de recta ( bar {OP} ), donde (O ) es el origen y (0≤φ≤π )

Norte-esfera

En matemáticas, un norte -esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a un estándar norte -esfera, que es el conjunto de puntos en (norte + 1) -espacio euclidiano dimensional que se sitúa a una distancia constante r de un punto fijo, llamado centrar. Es la generalización de una esfera ordinaria en el espacio tridimensional ordinario. El "radio" de una esfera es la distancia constante de sus puntos al centro. Cuando la esfera tiene unidad de radio, es habitual llamarla la unidad norte -esfera o simplemente la norte -esfera para ser breve. En términos de la norma estándar, el norte -esfera se define como

y un norte -esfera de radio r se puede definir como

La dimensión de norte -esfera es n, y no debe confundirse con la dimensión (norte + 1) del espacio euclidiano en el que está incrustado naturalmente. Un norte -esfera es la superficie o límite de una (norte + 1) -bola dimensional.

  • el par de puntos en los extremos de un segmento de línea (unidimensional) es una esfera 0,
  • un círculo, que es la circunferencia unidimensional de un disco (bidimensional), es una esfera 1,
  • la superficie bidimensional de una bola tridimensional es una esfera bidimensional, a menudo llamada simplemente esfera,
  • el límite tridimensional de una bola de cuatro dimensiones (cuatro dimensiones) es una esfera de tres,
  • la norte - El límite unidimensional de una bola n (n-dimensional) es una (norte - 1) -esfera.

Para norte ≥ 2, el norte -las esferas que son variedades diferenciales se pueden caracterizar (hasta un difeomorfismo) como las simplemente conectadas norte -variedades dimensionales de curvatura positiva constante. La norte -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos norte -espacios euclidianos dimensionales juntos, identificando el límite de un norte -cubo con una punta, o (inductivamente) formando la suspensión de un (norte - 1) -esfera. La esfera 1 es la variedad 1 que es un círculo, que no está simplemente conectado. La esfera 0 es la variedad 0 que consta de dos puntos, que ni siquiera está conectado.


Tengo una pregunta sobre la mecánica de ecuaciones de los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico.
.
Mi pregunta es, ¿cuál es el significado físico de [tex] ddot r - r dot theta ^ 2 [/ tex] si r no cambia. Pensé que el sistema de coordenadas se movía con el objeto que estás midiendo, y si es así ... ¿cómo puede haber una aceleración en la dirección de [tex] hat e_r [/ tex] si [tex] dot r = ddot r = 0 [/ tex]

Estos sistemas de coordenadas cilíndricos y esféricos no se mueven junto con el cuerpo: son estables, al igual que el sistema de coordenadas cartesiano. Configura el sistema con sus ejes y describe el movimiento del cuerpo con respecto a los ejes fijos del sistema. El cuerpo puede tener aceleración en cualquier dirección, x, y, z. De la misma manera, puede tener aceleración a lo largo de los círculos, rodeando el eje z de un sistema cilíndrico, y también normal a estos círculos en dirección radial, y también a lo largo del eje z. ¡Trate de describir la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta, usando coordenadas polares!
Es posible que los haya mezclado con el sistema de coordenadas que se mueve junto con el cuerpo y cambia los ejes de coordenadas de acuerdo con su órbita. En ese sistema, un eje es paralelo al vector de velocidad y el otro es normal a la velocidad en el plano de movimiento, y el tercer eje es normal al plano. En ese sistema, la aceleración tiene una componente tangencial, la derivada del tiempo de la velocidad, y una componente radial, la aceleración centrípeta, v ^ 2 / R, donde R es el radio de la curvatura. Acaba de resolver este problema aquí en el Foro.


5.7: Coordenadas cilíndricas y esféricas - Matemáticas

El sistema de coordenadas cartesiano habitual puede resultar bastante difícil de utilizar en determinadas situaciones. Algunas de las situaciones más comunes en las que las coordenadas cartesianas son difíciles de emplear involucran aquellas en las que existe simetría circular, cilíndrica o esférica. Para estas situaciones, a menudo es más conveniente utilizar un sistema de coordenadas diferente.

En coordenadas polares, un punto en el plano está determinado por su distancia r desde el origen y el ángulo theta (en radianes) entre la línea desde el origen hasta el punto y el eje x (ver la figura siguiente).

Es común representar el punto por un par ordenado (r, theta). Usando trigonometría estándar podemos encontrar conversiones de coordenadas cartesianas a polares

y de coordenadas polares a cartesianas

El punto con coordenadas rectangulares (-1,0) tiene coordenadas polares (1, pi) mientras que el punto con coordenadas rectangulares (3, -4) tiene coordenadas polares (5, -0,927).

Tenga en cuenta que un punto no tiene una representación polar única. Los puntos

son equivalentes para cualquier número entero n.

Las curvas r = constante y theta = constante son un círculo y un medio rayo, respectivamente.

Las coordenadas cilíndricas se obtienen reemplazando las coordenadas xey por las coordenadas polares ry theta (y dejando la coordenada z sin cambios).

Así, tenemos las siguientes relaciones entre coordenadas cartesianas y cilíndricas:

De cilíndrico a cartesiano:

De cartesiano a cilíndrico:

Como ejemplo, el punto (3,4, -1) en coordenadas cartesianas tendría coordenadas polares de (5,0.927, -1). Se pueden realizar conversiones similares para funciones. Usando la primera fila de conversiones, la función

en coordenadas cartesianas tendría una representación de coordenadas cilíndricas de

Las coordenadas cilíndricas son más convenientes cuando existe algún tipo de simetría cilíndrica. Las superficies r = constante, theta = constante yz = constante son un cilindro, un plano vertical y un plano horizontal, respectivamente.

The coordinates used in spherical coordinates are rho , theta , and phi . Rho is the distance from the origin to the point. Theta is the same as the angle used in polar coordinates. Phi is the angle between the z -axis and the line connecting the origin and the point.

The following are the relations between Cartesian and spherical coordinates:

From spherical to Cartesian:

From Cartesian to spherical:

Relations between cylindrical and spherical coordinates also exist:

From spherical to cylindrical:

From cylindrical to spherical:

The point (5,0,0) in Cartesian coordinates has spherical coordinates of (5,0,1.57). The surfaces pho =constant, theta =constant, and phi =constant are a sphere, a vertical plane, and a cone (or horizontal plane), respectively. Spherical coordinates are of course very useful when any type of spherical symmetry is present.

Example: Many physical situations have spherical symmetry. The gravitational field of a single body and the electric field of a point charge exhibit spherical symmetry. Formulas used in these situations almost always involve r, theta , and phi and not x , y , and z .

It should be noted that formulas for objects like the gradient, curl, and divergence have a different form in different coordinate systems. Always be careful to use the proper formula when dealing with these objects.


In this study we have developed a flexible and efficient numerical scheme for the simulation of three–dimensional incompressible flows in spherical coordinates. The main idea, inspired by a similar strategy as [1] for cylindrical coordinates, consists of a change of variables combined with a discretization on a staggered mesh and the special treatment of few discrete terms that remove the singularities of the Navier–Stokes equations at the sphere centre and along the polar axis. This new method alleviates also the time step restrictions introduced by the discretization around the polar axis while it still suffers from strong limitations if convection at the sphere centre dominates the flow.

The scheme is second–order accurate in space and is verified and validated by computing numerical examples that are compared with similar results produced by other codes or available from the literature.

The method can cope with flows evolving in the whole sphere, in a spherical shell and in a sector without any change and, thanks to the flexibility of finite–differences, it can employ generic mesh stretching (in two of the three directions) and complex boundary conditions.


Polar, Spherical and Geographic Coordinates

While researching for the new VL math library the topic of polar, spherical and geographic coordinates came up. After reading several articles it was clear that there is a common confusion about the angle convention, orientation and naming.

This blog post starts from the official definition in math textbooks and derives the correct implementations in a left-handed coordinate system with y-axis up like the one in DirectX.

Polar and spherical coordinate systems do the same job as the good old cartesian coordinate system you always hated at school. It describes every point on a plane or in space in relation to an origin O by a vector. But instead of 3 perpendicular directions xyz it uses the distance from the origin and angles to identify a position.

Conventions

In the following descriptions the angle units are degree and the cartesian coordinate systems and drawings are the ones you would find in math textbooks.

In 2d the definition is straightforward. A position is defined by the distance to the origin and one angle. We just need the:

For practical reasons mathematicians place the origin at the same position as it is in the cartesian system and the reference direction is the positive x-axis:

Then the conversion from a cartesian vector (x, y) of a position PAG to polar coordinates (radius, angle) is:

Here a positive angular velocity moves the position counter-clockwise on a circle:

Note that many 2d computer graphics coordinate systems have the y-axis pointing downwards so that everything is flipped upside down. In that case, using the same calculations as above, a positive angular velocity moves the position clockwise.

To get the same behavior in a 2d cartesian system with y-axis down the calculations would be:

To define a point in space by spherical coordinates the distance to the origin O as well as two angles are required. The confusion starts here since many conventions for the notation and the order of the angles exist. This page lists most of them:http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

But let's step back and have a look at what we need to define spherical coordinates. We will see that regardless of the notation the actual formula for the calculation is the same:

  • the origin O
  • for one angle we need a directed axis which defines the poles (like north and south pole of the earth), this angle is often called polar angle, zenith angle, colatitude, inclination or elevation
  • for the other angle we need a reference direction in the equatorial plane, this angle is called azimuthal angle

The origin is also the same as the one of the cartesian system. Traditionally mathematicians choose the z-axis as the polar axis and the xy-plane as the equatorial plane with reference direction as the positive x-axis:

The conversion formulas are then:

As you can see in the drawing, if polar angle is 0 the vector points toward the positive z-axis and the azimuthal angle has no effect because it only rolls the vector around the z-axis.

Positive polar velocity moves the point away from the pole at positive z towards positive x.
Positive azimuthal velocity moves the point from positive x towards positive y.

The drawing uses a right-handed system with z-axis up which is common in math textbooks. As in the 2d case it looks different depending on orientation of the xyz-axis of the cartesian coordinate system in which the position will be displayed.

Geographic Coordinates

The definition of the spherical coordinates has two drawbacks. First the polar angle has to have a value other than 0° (or 180°) to allow the azimuthal value to have an effect. Second the geographic system of latitude and longitude does not match with the two angles.

In order to match the spherical angles to latitude and longitude the polar angle needs to have a value of 90°. Then the position vector points towards the positive x-axis in the equatorial plane which matches a latitude of 0° and a longitude of 0°.

The angular directions of latitude and longitude are the same. So the conversion is quite simple:

With trigonometric substitutions a direct conversion between geographic and cartesian coordinates can be derived:

Implementation for VL

VL assumes that the user works in a left-handed cartesian coordinate system with the y-axis up which is commonly used with DirectX. This means that all the above images and directions would be somehow rotated and flipped when used in such a coordinate system. But that's of course not what we want. The north pole of a sphere should still be up and the angular directions of the angles should also be the same as above.

The conversion of a vector between the systems is not very complicated:

The simplest solution would be to convert the vector before or after the calculation, but we can also apply the conversion to the formulas. Then we get for the spherical coordinates:


Example 1: Conversion Between Cylindrical and Rectangular Coordinates

Plot the point with cylindrical coordinates (2, 2π/3, 1) and find its rectangular coordinates.

The given problem is a conversion from cylindrical coordinates to rectangular coordinates. First, plot the given cylindrical coordinates or the triple points in the 3D-plane as shown in the figure below. Next, substitute the given values in the mentioned formulas for cylindrical to rectangular coordinates.

Recall that the dimensional space is represented by the ordered triple (r, θ, z) whereas r = 2, θ = 2π/3, and z = 1.


5.7: Cylindrical and Spherical Coordinates - Mathematics

A Partial Differential Equation which can be written in a Scalar version

where is the Laplacian. When , the Helmholtz differential equation reduces to Laplace's Equation. When , the equation becomes the space part of the diffusion equation .

If Helmholtz's equation is separable in a 3-D coordinate system, then Morse and Feshbach (1953, pp. 509-510) show that

Such a coordinate system obeys the Robertson Condition, which means that the Stäckel Determinant is of the form

Eisenhart, L. P. ``Separable Systems in Euclidean 3-Space.'' Physical Review 45 , 427-428, 1934.

Eisenhart, L. P. ``Separable Systems of Stäckel.'' Ann. Math. 35 , 284-305, 1934.

Eisenhart, L. P. ``Potentials for Which Schroedinger Equations Are Separable.'' Phys. Rev. 74 , 87-89, 1948.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 125-126 and 509-510, 1953.


5.7: Cylindrical and Spherical Coordinates - Mathematics

Simple program:
Enter a set of points.
Enter a set of coordinates for each point.
The program interpolates and creates a spline.
It then computes the volume integral of this spline, revolved around the axis of the circle.
This does not compute a line integral for the polynomial created by the data set.
Reason: in order to compute a correct volume integral a correct cylindrical coordinates infinitesimal area element is used in the integral, and this means multiplying the argument of the integral by the radius coordinate variable, which in effect means increasing the degree of the polynomial from polyfit.
Test the example before by hand, the integral of X^2 multiplied by X over a radius, revolved by 2*pi.
INTEGRAL = ( x^2 ) * ( X dX d THETA )
The infinitesimal area element is dS = X * dX * dTHETA.
Remember that the interval of the function inside the integral is from X = 0 to X = 5, THETA from 0 to 2 pi.


3d integration: cylindrical coordinates

A nice example of setting up integrals in cylindrical coordinates:

Find the mass of a 2 meter diameter, 4 meter long cylinder with rounded out ends, if the ends are rounded out in the shape of spheres of diameter 2 meters and the density of the cylinder is equal to 5 minus the distance along its length (in kg/m 3 ).

Let's think about the cylinder on end, as shown in figure 1 to the right. This is reproduced in figure 2 below that, with the sides of the cylinder rendered only as wireframes so that the spherical missing parts at either end are easier to see.

How can we describe this region? The outside of the cylinder is obviously given by a circle of radius one, or

The top and bottom of the region are given by spheres of radius one centered at the origin (0,0,0) and a point 4 meters up the z axis, (0,0,4). But this isn't that hard -- we know the equation of a sphere of radius r centered at the point (X 0 ,y 0 ,z 0 ) is just

So the spheres at the top and bottom of the cylinder are just

respectivamente. Solving for z in either case, and noticing that the for the top sphere we need the bottom half of the sphere, and so take the negative sign when taking the square root, we get

Now, setting up the integral is straightforward. Let's pick our outer variables in the triple integral to be r y theta. To determine the limits on these variables, we look at the projection of the figure into the xy-plane, which is just a circle of radius one. So the limits on r y theta are just 0 <= r <= 1 and 0 <= theta <= 2 pi.

Then to determine the limits for the innermost integral, z, we look at each point (r, theta) and determine what range of values for z we are interested in. In this case, for any (r, theta) the smallest value of z that we want to consider is one that is on the bottom sphere. Then we want to consider all values of z between this and the top sphere. So the limits on z están

dónde X 2 + y 2 is of course equal to r 2. Then the full integral is, filling in the density D = 5 - z,

Evaluating this, we get 8 pi (in kg).

Why did we use cylindrical coordinates here? (Other than because the title was "cylindrical coordinates", of course.) The region in the xy-plane over which we're integrating is nicely defined with polar coordinates, and the limits on the domain in the remaining (z) direction are nice (at least, relatively nice) functions of r y theta. So cylindrical coordinates are a good choice. Note that spherical coordinates would not be as nice for this problem. Check that you can see why not (what boundary(ies) isn't (aren't) nicely described by spherical coordinates?).

(How were the figures here generated? In Maple, with this maple worksheet.)


Ver el vídeo: Coordenadas Cilindricas y Esfericas - Calculo Integral - Mi Profesor de Matematicas - Video 064 (Septiembre 2021).