Artículos

4.4: Sistemas homogéneos de coeficiente constante I


Sistemas homogéneos de coeficiente constante I

Ahora comenzaremos nuestro estudio del sistema homogéneo.

begin {ecuación} label {eq: 4.4.1}
{ bf y} '= A { bf y},
end {ecuación}

donde (A ) es una (n veces n ) matriz constante. Dado que (A ) es continua en ((- infty, infty) ), el teorema ((4.2.1) ) implica que todas las soluciones de eqref {eq: 4.4.1} están definidas en ((- infty, infty) ). Por lo tanto, cuando hablamos de soluciones de ({ bf y} '= A { bf y} ), nos referiremos a soluciones en ((- infty, infty) ).

En esta sección asumimos que todos los autovalores de (A ) son reales y que (A ) tiene un conjunto de (n ) autovectores linealmente independientes. En las dos secciones siguientes consideramos los casos en los que algunos de los valores propios de (A ) son complejos, o donde (A ) no tiene (n ) vectores propios linealmente independientes.

En el Ejemplo ((4.3.2) ) mostramos que las funciones vectoriales

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} -e ^ {2t} 2e ^ {2t} end {array} right] quad mbox {y} quad { bf y} _2 = left [ begin {array} -e ^ {- t} e ^ {- t} end {array} right]
end {eqnarray *}

Formar un conjunto fundamental de soluciones del sistema.

begin {ecuación} label {eq: 4.4.2}
{ bf y} '= left [ begin {array} {-4} & {-3} 6 & 5 end {array} right] { bf y},
end {ecuación}

pero no mostramos cómo obtuvimos ({ bf y} _1 ) y ({ bf y} _2 ) en primer lugar. Para ver cómo se pueden obtener estas soluciones, escribimos eqref {eq: 4.4.2} como

begin {ecuación} label {eq: 4.4.3}
begin {array} {ccc}
y_1 '& = & - 4y_1-3y_2 y_2' & = & phantom {-} 6y_1 + 5y_2 end {matriz}
end {ecuación}

y busca soluciones de la forma

begin {ecuación} label {eq: 4.4.4}
y_1 = x_1e ^ { lambda t} quad mbox {y} quad y_2 = x_2e ^ { lambda t},
end {ecuación}

donde (x_1 ), (x_2 ) y ( lambda ) son constantes por determinar. Diferenciar los rendimientos de eqref {eq: 4.4.4}

begin {eqnarray *}
y_1 '= lambda x_1e ^ { lambda t} quad mbox {y} quad y_2' = lambda x_2e ^ { lambda t}.
end {eqnarray *}

Sustituyendo esto y eqref {eq: 4.4.4} en eqref {eq: 4.4.3} y cancelando el factor común (e ^ { lambda t} ) se obtiene

begin {eqnarray *}
begin {matriz} {ccc} -4x_1-3x_2 & = & lambda x_1
6 x_1 + 5x_2 & = & lambda x_2. End {matriz}
end {eqnarray *}

Para un ( lambda ) dado, este es un sistema algebraico homogéneo, ya que puede reescribirse como

begin {ecuación} label {eq: 4.4.5}
begin {matriz} {rcl} (-4- lambda) x_1-3 x_2 & = & 0
6 x_1 + (5- lambda) x_2 & = & 0. end {matriz}
end {ecuación}

La solución trivial (x_1 = x_2 = 0 ) de este sistema no es útil, ya que corresponde a la solución trivial (y_1 equiv y_2 equiv0 ) de eqref {eq: 4.4.3}, que puede ser parte de un conjunto fundamental de soluciones de eqref {eq: 4.4.2}. Por lo tanto, consideramos solo aquellos valores de ( lambda ) para los cuales eqref {eq: 4.4.5} tiene soluciones no triviales. Estos son los valores de ( lambda ) para los cuales el determinante de eqref {eq: 4.4.5} es cero; es decir,

begin {eqnarray *}
left | begin {array} {cc} -4- lambda & -3 6 & 5- lambda end {array} right | & = &
(-4- lambda) (5- lambda) +18 & = & lambda ^ 2- lambda-2
& = & ( lambda-2) ( lambda + 1) = 0,
end {eqnarray *}

que tiene las soluciones ( lambda_1 = 2 ) y ( lambda_2 = -1 ).

Tomando ( lambda = 2 ) en eqref {eq: 4.4.5} se obtiene

begin {eqnarray *}
-6 x_1-3 x_2 & = & 0
6 x_1 + 3 x_2 & = & 0,
end {eqnarray *}

lo que implica que (x_1 = -x_2 / 2 ), donde (x_2 ) se puede elegir arbitrariamente. Al elegir (x_2 = 2 ) se obtiene la solución (y_1 = -e ^ {2t} ),
(y_2 = 2e ^ {2t} ) de eqref {eq: 4.4.3}. Podemos escribir esta solución en forma vectorial como

begin {ecuación} label {eq: 4.4.6}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} -1 { phantom {-} 2} e ^ {2t} end {array} right].
end {ecuación}

Tomando ( lambda = -1 ) en eqref {eq: 4.4.5} se obtiene el sistema

begin {eqnarray *}
-3 x_1-3 x_2 & = & 0
phantom {-} 6 x_1 + 6 x_2 & = & 0,
end {eqnarray *}

entonces (x_1 = -x_2 ). Tomando | (x_2 = 1 ) aquí se obtiene la solución (y_1 = -e ^ {- t} ), (y_2 = e ^ {- t} ) de eqref {eq: 4.4.3}. Podemos escribir esta solución en forma vectorial como

begin {ecuación} label {eq: 4.4.7}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 { phantom {-} 1} e ^ {- t} end {array} right].
end {ecuación}

En eqref {eq: 4.4.6} y eqref {eq: 4.4.7} los coeficientes constantes en los argumentos de las funciones exponenciales son los valores propios de la matriz de coeficientes en eqref {eq: 4.4.2}, y el los coeficientes vectoriales de las funciones exponenciales son vectores propios asociados. Esto ilustra el siguiente teorema.

Teorema ( PageIndex {1} )

Suponga que la matriz constante (n times n ) (A ) tiene (n ) valores propios reales ( lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n ) (que no necesitan ser distintos) con vectores propios asociados linealmente independientes ({ bf x} _1, { bf x} _2, ldots, { bf x} _n ). Entonces las funciones

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t}, , { bf y} _2 = { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t}, , dots, , { bf y} _n = { bf x} _n e ^ { lambda_n t}
end {eqnarray *}

formar un conjunto fundamental de soluciones de ({ bf y} '= A { bf y}; ) es decir, la solución general de este sistema es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} + c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} + cdots + c_n { bf x} _n e ^ { lambda_n t}.
end {eqnarray *}

Prueba

Diferenciar ({ bf y} _i = { bf x} _ie ^ { lambda_it} ) y recordar que (A { bf x} _i = lambda_i { bf x} _i ) produce

begin {eqnarray *}
{ bf y} _i '= lambda_i { bf x} _i e ^ { lambda_i t} = A { bf x} _i e ^ { lambda_i t} = A { bf y} _i.
end {eqnarray *}

Esto muestra que ({ bf y} _i ) es una solución de ({ bf y} '= A { bf y} ).

El Wronskiano de ( {{ bf y} _1, { bf y} _2, ldots, { bf y} _n } ) es

begin {eqnarray *}
left | begin {matriz} x_ {11} e ^ { lambda_1 t} & x_ {12} e ^ { lambda_2 t} & cdots & x_ {1n} e ^ { lambda_n t} x_ {21 } e ^ { lambda_1 t} & x_ {22} e ^ { lambda_2 t} & cdots & x_ {2n} e ^ { lambda_n t} vdots & vdots & ddots & vdots x_ {n1} e ^ { lambda_1 t} & x_ {n2} e ^ { lambda_2 t} & cdots & x_ {nn} e ^ { lambda x_n} end {matriz} right | = e ^ { lambda_1 t} e ^ { lambda_2 t} cdots e ^ { lambda_n t} left | begin {array} x_ {11} & x_ {12} & cdots & x_ {1n} x_ {21} & x_ {22} & cdots & x_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots x_ {n1} & x_ {n2} & cdots & x_ {nn} end {array} right |.
end {eqnarray *}

Dado que las columnas del determinante de la derecha son ({ bf x} _1 ), ({ bf x} _2 ), ( dots ), ({ bf x} _n ), que se supone que son linealmente independientes, el determinante es distinto de cero. Por lo tanto, el teorema ((4.3.3) ) implica que ( {{ bf y} _1, { bf y} _2, ldots, { bf y} _n } ) es un conjunto fundamental de soluciones de ({ bf y} '= A { bf y} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

(a) Encuentre la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 4.4.8}
{ bf y} '= left [ begin {array} 2 & 4 4 & 2 end {array} right] { bf y}.
end {ecuación}

(b) Resuelva el problema del valor inicial

begin {ecuación} label {eq: 4.4.9}
{ bf y} '= left [ begin {array} 2 & 4 4 & 2 end {array} right] { bf y}, quad { bf y} (0) = left [ begin {array} 5 - 1 end {array} right].
end {ecuación}

Respuesta

(a) El polinomio característico de la matriz de coeficientes (A ) en eqref {eq: 4.4.8} es

begin {eqnarray *}
left | begin {array} {cc} 2- lambda & 4 4 & 2- lambda end {array} right |
& = & ( lambda-2) ^ 2-16
& = & ( lambda-2-4) ( lambda-2 + 4)
& = & ( lambda-6) ( lambda + 2).
end {eqnarray *}

Por tanto, ( lambda_1 = 6 ) y ( lambda_2 = -2 ) son valores propios de (A ). Para obtener los vectores propios, debemos resolver el sistema

begin {ecuación} label {eq: 4.4.10}
left [ begin {array} {cc} 2- lambda & 4 4 & 2- lambda end {array} right]
left [ begin {array} {c} x_1 x_2 end {array} right] =
left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right]
end {ecuación}

con ( lambda = 6 ) y ( lambda = -2 ). Al configurar ( lambda = 6 ) en eqref {eq: 4.4.10} se obtiene

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -4 & 4 4 & -4 end {array} right] left [ begin {array} x_1 x_2 end {array} right] = left [ begin {array} 0 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

lo que implica que (x_1 = x_2 ). Tomando (x_2 = 1 ) se obtiene el vector propio

begin {eqnarray *}
{ bf x} _1 = left [ begin {array} 1 1 end {array} right],
end {eqnarray *}

entonces

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} 1 1 end {array} right] e ^ {6t}
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.4.8}. Al establecer ( lambda = -2 ) en eqref {eq: 4.4.10} se obtiene

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 4 & 4 4 & 4 end {array} right] left [ begin {array} x_1 x_2 end {array} right] = izquierda [ begin {array} 0 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

lo que implica que (x_1 = -x_2 ). Tomando (x_2 = 1 ) se obtiene el vector propio

begin {eqnarray *}
{ bf x} _2 = left [ begin {array} -1 1 end {array} right],
end {eqnarray *}

entonces

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 1 end {array} right] e ^ {- 2t}
end {eqnarray *}

es una solución de eqref {eq: 4.4.8}. Del teorema ((4.4.1) ), la solución general de eqref {eq: 4.4.8} es

begin {ecuación} label {eq: 4.4.11}
{ bf y} = c_1 { bf y} _1 + c_2 { bf y} _2 = c_1 left [ begin {array} {r} 1 1 end {array} right] e ^ {6t } + c_2 left [ begin {array} {r} -1 1
end {matriz} right] e ^ {- 2t}.
end {ecuación}

(b) Para satisfacer la condición inicial en eqref {eq: 4.4.9}, debemos elegir (c_1 ) y (c_2 ) en eqref {eq: 4.4.11} de modo que

begin {eqnarray *}
c_1 left [ begin {array} 1 1 end {array} right] + c_2 left [ begin {array} -1 1 end {array} right] = izquierda [ begin {matriz} 5 -1 end {matriz} derecha].
end {eqnarray *}

Esto es equivalente al sistema

begin {eqnarray *}
c_1-c_2 & = & phantom {-} 5
c_1 + c_2 & = & - 1,
end {eqnarray *}

entonces (c_1 = 2, c_2 = -3 ). Por lo tanto, la solución de eqref {eq: 4.4.9} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = 2 left [ begin {array} 1 1 end {array} right] e ^ {6t} -3 left [ begin {array} -1 1 end {matriz} right] e ^ {- 2t},
end {eqnarray *}

o, en términos de componentes,

begin {eqnarray *}
y_1 = 2e ^ {6t} + 3e ^ {- 2t}, quad y_2 = 2e ^ {6t} - 3e ^ {- 2t}.
end {eqnarray *}

Ejemplo ( PageIndex {2} )

(a) Encuentre la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 4.4.12}
{ bf y} '= left [ begin {array} {rrr} 3 & -1 & -1 - 2 & 3 & 2 4 & -1 & -2 end {array} right] { bf y}.
end {ecuación}

(b) Resuelva el problema del valor inicial

begin {ecuación} label {eq: 4.4.13}
{ bf y} '= left [ begin {array} {rrr} 3 & -1 & -1 - 2 & 3 &
2 4 y -1 y -2 end {matriz}
right] { bf y}, quad { bf y} (0) = left [ begin {array} {r} 2
-1 8 end {matriz} derecha].
end {ecuación}

Respuesta

(a) El polinomio característico de la matriz de coeficientes (A ) en eqref {eq: 4.4.12} es

begin {eqnarray *}
left | begin {matriz} 3- lambda & -1 & -1 -2 & 3- lambda & 2 4 & -1 & -2- lambda end {matriz} right | = - ( lambda-2) ( lambda-3) ( lambda + 1).
end {eqnarray *}

Por lo tanto, los valores propios de (A ) son ( lambda_1 = 2 ), ( lambda_2 = 3 ) y ( lambda_3 = -1 ). Para encontrar los vectores propios, debemos resolver el sistema

begin {ecuación} label {eq: 4.4.14}
left [ begin {array} {ccc} 3- lambda & -1 & -1 - 2 & 3- lambda & 2 4 & -1 & -2- lambda end {array} right] left [ begin {matriz} {c} x_1 x_2 x_3 end {matriz} right] = left [ begin {array} {r} 0 0 0 end {matriz} right]
end {ecuación}

con ( lambda = 2 ), (3 ), (- 1 ). Con ( lambda = 2 ), la matriz aumentada de eqref {eq: 4.4.14} es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & -1 & -1 & vdots & 0 -2 & 1 & 2 & vdots & 0 4 & -1 & -4 & vdots & 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} derecho].
end {eqnarray *}

Por tanto, (x_1 = x_3 ) y (x_2 = 0 ). Tomando (x_3 = 1 ) rinde

begin {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t}
end {eqnarray *}

como una solución de eqref {eq: 4.4.12}. Con ( lambda = 3 ), la matriz aumentada de eqref {eq: 4.4.14} es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 0 & -1 & -1 & vdots & 0 -2 & 0 & 2 & vdots & 0 4 & -1 & -5 & vdots & 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & 1 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} derecho].
end {eqnarray *}

Por tanto, (x_1 = x_3 ) y (x_2 = -x_3 ). Tomando (x_3 = 1 ) rinde

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} 1 -1 1 end {array} right] e ^ {3t}
end {eqnarray *}

como una solución de eqref {eq: 4.4.12}. Con ( lambda = -1 ), la matriz aumentada de eqref {eq: 4.4.14} es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 4 & -1 & -1 & vdots & 0 - 2 & 4 & 2 & vdots & 0 4 & -1 & -1 & vdots & 0 end {array} right],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & - {1 over 7} & vdots & 0 0 & 1 & {3 over 7} & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} right].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, (x_1 = x_3 / 7 ) y (x_2 = -3x_3 / 7 ). Tomando (x_3 = 7 ) rinde

begin {eqnarray *}
{ bf y} _3 = left [ begin {array} 1 -3 7 end {array} right] e ^ {- t}
end {eqnarray *}

como una solución de eqref {eq: 4.4.12}. Por el teorema ((4.4.1) ), la solución general de eqref {eq: 4.4.12} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 left [ begin {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t} + c_2 left [ begin {array} 1 -1 1 end {matriz} right] e ^ {3t} + c_3 left [ begin {matriz} 1 -3 7 end {matriz} right] e ^ {-t},
end {eqnarray *}

que también se puede escribir como

begin {ecuación} label {eq: 4.4.15}
{ bf y} = left [ begin {array} {crc} e ^ {2t} & e ^ {3t} & e ^ {- t}
0 & -e ^ {3t} &
-3e ^ {- t} e ^ {2t} & e ^ {3t} & phantom {-} 7e ^ {- t} end {matriz}
right] left [ begin {array} {c} c_1 c_2 c_3 end {array} right].
end {ecuación}

(b) Para satisfacer la condición inicial en eqref {eq: 4.4.13} debemos elegir (c_1 ), (c_2 ), (c_3 ) en eqref {eq: 4.4.15} de modo que

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 1 & 1 & 7 end {array} right] left [ begin {array} c_1 c_2 c_3 end {matriz} derecha] = izquierda [ begin {matriz} 2 -1 8 end {matriz} derecha].
end {eqnarray *}

Resolver este sistema produce (c_1 = 3 ), (c_2 = -2 ), (c_3 = 1 ). Por tanto, la solución de eqref {eq: 4.4.13} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} & = & left [ begin {array} {ccc} e ^ {2t} & e ^ {3t} &
e ^ {- t} 0 & -e ^ {3t}
& -3e ^ {- t} e ^ {2t} & e ^ {3t} & 7e ^ {- t} end {matriz}
derecho]
left [ begin {array} {r} 3 - 2 1 end {array} right]
& = & 3 left [ begin {array} {r} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t} -2
left [ begin {array} {r} 1 - 1 1 end {array} right]
e ^ {3t} + left [ begin {array} {r} 1 - 3 7 end {array}
right] e ^ {- t}.
end {eqnarray *}

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentra la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 4.4.16}
{ bf y} '= left [ begin {array} {rrr} -3 & 2 & 2
2&-3&2\2&2&-3
end {matriz} right] { bf y}.
end {ecuación}

Respuesta

El polinomio característico de la matriz de coeficientes (A ) en eqref {eq: 4.4.16} es

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -3- ​​ lambda & 2 & 2 2 & -3- lambda & 2 2 & 2 & -3- lambda end {array} right] = - ( lambda-1) ( lambda + 5) ^ 2.
end {eqnarray *}

Por tanto, ( lambda_1 = 1 ) es un valor propio de multiplicidad (1 ), mientras que ( lambda_2 = -5 ) es un valor propio de multiplicidad (2 ). Los vectores propios asociados con ( lambda_1 = 1 ) son soluciones del sistema con matriz aumentada

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -4 & 2 & 2 & vdots & 0 2 & -4 & 2 vdots & 0 2 & 2 & -4 & vdots & 0 end {array } derecho],
end {eqnarray *}

que es una fila equivalente a

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & -1 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array } derecho].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, (x_1 = x_2 = x_3 ), y elegimos (x_3 = 1 ) para obtener la solución

begin {ecuación} label {eq: 4.4.17}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} {r} 1 1 1 end {array} right] e ^ t
end {ecuación}

de eqref {eq: 4.4.16}. Los vectores propios asociados con ( lambda_2 = -5 ) son soluciones del sistema con matriz aumentada

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} 2 & 2 & 2 & vdots & 0 2 & 2 & 2 & vdots & 0 2 & 2 & 2 & vdots & 0 end {array} derecho].
end {eqnarray *}

Por lo tanto, los componentes de estos vectores propios solo necesitan satisfacer la condición única

begin {eqnarray *}
x_1 + x_2 + x_3 = 0.
end {eqnarray *}

Como solo hay una ecuación aquí, podemos elegir (x_2 ) y (x_3 ) arbitrariamente. Obtenemos un vector propio eligiendo (x_2 = 0 ) y (x_3 = 1 ), y otro eligiendo (x_2 = 1 ) y (x_3 = 0 ). En ambos casos (x_1 = -1 ). Por lo tanto

begin {eqnarray *}
left [ begin {array} -1 0 1 end {array} right] quad mbox {y} quad left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right]
end {eqnarray *}

son vectores propios linealmente independientes asociados con ( lambda_2 = -5 ), y las soluciones correspondientes de eqref {eq: 4.4.16} son

begin {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 0 1 end {array} right] e ^ {- 5t} quad mbox {y} quad { bf y} _3 = left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right] e ^ {- 5t}.
end {eqnarray *}

Debido a esto y a eqref {eq: 4.4.17}, el teorema ((4.4.1) ) implica que la solución general de eqref {eq: 4.4.16} es

begin {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 left [ begin {array} 1 1 1 end {array} right] e ^ t + c_2 left [ begin {array} -1 0 1 end {matriz} right] e ^ {- 5t} + c_3 left [ begin {array} -1 1 0 end {matriz} right] e ^ { -5t}.
end {eqnarray *}

Propiedades geométricas de soluciones cuando (n = 2 )

Ahora consideraremos las propiedades geométricas de las soluciones de un sistema de coeficientes constantes (2 times 2 )

begin {ecuación} label {eq: 4.4.18}
left [ begin {array} {y_1 '} {y_2'} end {array} right] = left [ begin {array} {cc} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} y a_ {22}
end {matriz} right] left [ begin {matriz} {y_1} {y_2} end {matriz} right].
end {ecuación}

Es conveniente pensar en un plano " (y_1 ) - (y_2 )", donde un punto se identifica por coordenadas rectangulares ((y_1, y_2) ). Si ({ bf y} = displaystyle { left [ begin {array} {y_1} {y_2} end {array} right]} ) es una solución no constante de eqref {eq: 4.4.18}, entonces el punto ((y_1 (t), y_2 (t)) ) se mueve a lo largo de una curva (C ) en el plano (y_1 ) - (y_2 ) cuando (t ) varía de ( - infty ) a ( infty ). Llamamos (C ) el ( textcolor {blue} { mbox {trayectoria}} ) de ({ bf y} ). (Nosotros también digamos que (C ) es una trayectoria del sistema eqref {eq: 4.4.18}.) Es importante notar que (C ) es la trayectoria de infinitas soluciones de eqref {eq: 4.4. 18}, ya que si ( tau ) es cualquier número real, entonces ({ bf y} (t- tau) ) es una solución de eqref {eq: 4.4.18} (Ejercicio (( 4.4E.28) ) parte (b)), y ((y_1 (t- tau), y_2 (t- tau)) ) también se mueve a lo largo de (C ) a medida que (t ) varía desde (- infty ) a ( infty ). Además, el ejercicio ((4.4E.28) ) parte (c) implica que las distintas trayectorias de eqref {eq: 4.4.18} no pueden I ntersect, y que dos soluciones ({ bf y} _1 ) y ({ bf y} _2 ) de eqref {eq: 4.4.18} tienen la misma trayectoria si y solo si ({ bf y} _2 (t) = { bf y} _1 (t- tau) ) para algunos ( tau ).

Del ejercicio ((4.4E.28) ) parte (a), una trayectoria de una solución no trivial de eqref {eq: 4.4.18} no puede contener ((0,0) ), que definimos ser la trayectoria de la solución trivial ({ bf y} equiv0 ). De manera más general, si ({ bf y} = displaystyle { left [ begin {array} {k_1} {k_2} end {array} right]} ne { bf 0} ) es una solución constante de eqref {eq: 4.4.18} (que podría ocurrir si cero es un valor propio de la matriz de eqref {eq: 4.4.18}), definimos la trayectoria de ({ bf y } ) para ser el único punto ((k_1, k_2) ).

Para ser específicos, esta es la pregunta: ¿Cómo se ven las trayectorias y cómo se atraviesan? En esta sección responderemos a esta pregunta, asumiendo que la matriz

begin {eqnarray *}
A = left [ begin {array} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {array} right]
end {eqnarray *}

de eqref {eq: 4.4.18} tiene valores propios reales ( lambda_1 ) y ( lambda_2 ) con vectores propios linealmente independientes asociados ({ bf x} _1 ) y ({ bf x} _2 ). Entonces, la solución general de eqref {eq: 4.4.18} es

begin {ecuación} label {eq: 4.4.19}
{ bf y} = c_1 { bf x} _1
e ^ { lambda_1 t} + c_2 { bf x} _2e ^ { lambda_2 t}.
end {ecuación}

Consideraremos otras situaciones en las próximas dos secciones.

Te dejamos a ti (Ejercicio ((4.4E.35) )) clasificar las trayectorias de eqref {eq: 4.4.18} si cero es un valor propio de (A ). Limitaremos nuestra atención aquí al caso en el que ambos valores propios son distintos de cero. En este caso, la situación más simple es donde ( lambda_1 = lambda_2 ne0 ), entonces eqref {eq: 4.4.19} se convierte en

begin {eqnarray *}
{ bf y} = (c_1 { bf x} _1 + c_2 { bf x} _2) e ^ { lambda_1 t}.
end {eqnarray *}

Dado que ({ bf x} _1 ) y ({ bf x} _2 ) son linealmente independientes, un vector arbitrario ({ bf x} ) se puede escribir como ({ bf x} = c_1 { bf x} _1 + c_2 { bf x} _2 ). Por lo tanto, la solución general de eqref {eq: 4.4.18} se puede escribir como ({ bf y} = { bf x} e ^ { lambda_1 t} ) donde ({ bf x} ) es un vector (2 ) - arbitrario, y las trayectorias de soluciones no triviales de eqref {eq: 4.4.18} son medias líneas a través (pero sin incluir) el origen. La dirección del movimiento está alejada del origen si ( lambda_1> 0 ) (Figura (4.4.1 )), hacia él si ( lambda_1 <0 ) (Figura (4.4.2 )) . (En estas figuras y en las siguientes, una flecha que atraviesa un punto indica la dirección del movimiento a lo largo de la trayectoria a través del punto).

Figura (4.4.1 )

Trayectorias de un sistema (2 times 2 ) con un positivo repetido

Figura (4.4.2 )

Trayectorias de un sistema (2 times 2 ) con un negativo repetido

Ahora suponga ( lambda_2> lambda_1 ), y dejemos que (L_1 ) y (L_2 ) denoten las líneas que pasan por el origen paralelo a ({ bf x} _1 ) y ({ bf x} _2 ), respectivamente. Por media línea de (L_1 ) (o (L_2 )), nos referimos a cualquiera de los rayos obtenidos al eliminar el origen de (L_1 ) (o (L_2 )).

Dejando (c_2 = 0 ) en eqref {eq: 4.4.19} se obtiene ({ bf y} = c_1 { bf x} _1e ^ { lambda_1 t} ). Si (c_1 ne0 ), la trayectoria definida por esta solución es una media línea de (L_1 ). La dirección del movimiento se aleja del origen si ( lambda_1> 0 ), hacia el origen si ( lambda_1 <0 ). De manera similar, la trayectoria de ({ bf y} = c_2 { bf x} _2e ^ { lambda_2 t} ) con (c_2 ne0 ) es una media línea de (L_2 ).

De ahora en adelante, asumimos que (c_1 ) y (c_2 ) en eqref {eq: 4.4.19} son ambos distintos de cero. En este caso, la trayectoria de eqref {eq: 4.4.19} no puede intersecar (L_1 ) o (L_2 ), ya que cada punto de estas líneas está en la trayectoria de una solución para la cual ( c_1 = 0 ) o (c_2 = 0 ). (Recuerde: ¡las trayectorias distintas no pueden cruzarse!). Por lo tanto, la trayectoria de eqref {eq: 4.4.19} debe estar completamente en uno de los cuatro sectores abiertos delimitados por (L_1 ) y (L_2 ), pero no en ningún punto de (L_1 ) o (L_2 ). Desde el punto inicial ((y_1 (0), y_2 (0)) ) definido por

begin {eqnarray *}
{ bf y} (0) = c_1 { bf x} _1 + c_2 { bf x} _2
end {eqnarray *}

está en la trayectoria, podemos determinar qué sector contiene la trayectoria a partir de los signos de (c_1 ) y (c_2 ), como se muestra en la Figura (4.4.3 ).

La dirección de ({ bf y} (t) ) en eqref {eq: 4.4.19} es la misma que la de

begin {ecuación} label {eq: 4.4.20}
e ^ {- lambda_2 t} { bf y} (t) =
c_1 { bf x} _1e ^ {- ( lambda_2- lambda_1) t} + c_2 { bf x} _2
end {ecuación}

y de

begin {ecuación} label {eq: 4.4.21}
e ^ {- lambda_1 t} { bf y} (t) = c_1 { bf
x} _1 + c_2 { bf x} _2e ^ {( lambda_2- lambda_1) t}.
end {ecuación}

Dado que el lado derecho de eqref {eq: 4.4.20} se aproxima a (c_2 { bf x} _2 ) como (t a infty ), la trayectoria es asintóticamente paralela a (L_2 ) como (t a infty ). Dado que el lado derecho de eqref {eq: 4.4.21} se acerca a (c_1 { bf x} _1 ) como (t to- infty ), la trayectoria es asintóticamente paralela a (L_1 ) como (t a- infty ).

La forma y la dirección de recorrido de la trayectoria de eqref {eq: 4.4.19} dependen de si ( lambda_1 ) y ( lambda_2 ) son ambos positivos, ambos negativos o de signo opuesto. Ahora analizaremos estos tres casos.

En adelante ( | { bf u} | ) denota la longitud del vector ({ bf u} ).

Figura (4.4.3 )

Cuatro sectores abiertos delimitados por (L_1 ) y (L_2 )

Figura (4.4.4 )

Dos valores propios positivos; movimiento lejos del origen

Caso 1: ( lambda_2> lambda_1> 0 )

La figura (4.4.4 ) muestra algunas trayectorias típicas. En este caso, ( lim_ {t to- infty} | { bf y} (t) | = 0 ), por lo que la trayectoria no solo es asintóticamente paralela a (L_1 ) como ( t to- infty ), pero en realidad es asintóticamente tangente a (L_1 ) en el origen. Por otro lado, ( lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = infty ) y

begin {eqnarray *}
lim_ {t to infty} left | { bf y} (t) -c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} right | = lim_ {t to infty} | c_1 { bf x_1} e ^ { lambda_1 t} | = infty,
end {eqnarray *}

entonces, aunque la trayectoria es asintóticamente paralela a (L_2 ) como (t a infty ), no es asintóticamente tangente a (L_2 ). La dirección del movimiento a lo largo de cada trayectoria se aleja del origen.

Caso 2: (0> lambda_2> lambda_1 )

La figura (4.4.5 ) muestra algunas trayectorias típicas. En este caso, ( lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = 0 ), por lo que la trayectoria es asintóticamente tangente a (L_2 ) en el origen como ( t a infty ). Por otro lado, ( lim_ {t to- infty} | { bf y} (t) | = infty ) y

begin {eqnarray *}
lim_ {t to- infty} left | { bf y} (t) -c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} right | = lim_ {t to- infty} | c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} | = infty,
end {eqnarray *}

entonces, aunque la trayectoria es asintóticamente paralela a (L_1 ) como (t to- infty ), no es asintóticamente tangente a ella. La dirección del movimiento a lo largo de cada trayectoria es hacia el origen.

Figura (4.4.5 )

Dos valores propios negativos; movimiento hacia el origen

Figura (4.4.6 )

Autovalores de diferentes signos

Caso 3: ( lambda_2> 0> lambda_1 )

La figura (4.4.6 ) muestra algunas trayectorias típicas. En este caso,

begin {eqnarray *}
lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = infty quad mbox {y} quad lim {| t to infty} left | { bf y} (t) -c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} right | = lim_ {t to infty} | c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} | = 0,
end {eqnarray *}

entonces la trayectoria es asintóticamente tangente a (L_2 ) como (t a infty ). Similar,

begin {eqnarray *}
lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = infty quad mbox {y} quad lim_ {t to infty} left | { bf y} (t) -c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} right | = lim_ {t to infty} | c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} | = 0,
end {eqnarray *}

entonces la trayectoria es asintóticamente tangente a (L_1 ) como (t a- infty ). La dirección del movimiento es hacia el origen en (L_1 ) y alejada del origen en (L_2 ). La dirección del movimiento a lo largo de cualquier otra trayectoria se aleja de (L_1 ), hacia (L_2 ).


Ver el vídeo: Sistema homogéneo de ecuaciones (Septiembre 2021).