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4.2E: Ejercicios - Matemáticas


Cálculo de curvas paramétricas

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para los siguientes ejercicios, cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa una línea. Sin eliminar el parámetro, encuentre la pendiente de cada línea.

1) ( Displaystyle x = 3 + t, y = 1 − t )

2) ( Displaystyle x = 8 + 2t, y = 1 )

3) ( Displaystyle x = 4−3t, y = −2 + 6t )

4) ( displaystyle x = −5t + 7, y = 3t − 1 )

Respuesta

Solución 2: 0,

Solución 4: ( displaystyle frac {−3} {5} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Para los siguientes ejercicios, determine la pendiente de la recta tangente, luego encuentre la ecuación de la recta tangente en el valor dado del parámetro.

5) ( displaystyle x = 3sint, y = 3cost, t = frac {π} {4} )

6) ( displaystyle x = costo, y = 8sint, t = frac {π} {2} )

7) ( Displaystyle x = 2t, y = t ^ 3, t = −1 )

8) ( Displaystyle x = t + frac {1} {t}, y = t− frac {1} {t}, t = 1 )

9) ( Displaystyle x = sqrt {t}, y = 2t, t = 4 )

Respuesta

Solución 6: ( displaystyle Pendiente = 0; y = 8. ),

Solución 8: la pendiente no está definida; ( Displaystyle x = 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Para los siguientes ejercicios, encuentre todos los puntos de la curva que tengan la pendiente dada.

10) ( displaystyle x = 4cost, y = 4sint, ) pendiente = 0.5

11) ( displaystyle x = 2cost, y = 8sint, pendiente = −1 )

12) ( Displaystyle x = t + frac {1} {t}, y = t− frac {1} {t}, pendiente = 1 )

13) ( displaystyle x = 2 + sqrt {t}, y = 2−4t, pendiente = 0 )

Respuesta

Solución 10: ( displaystyle t = arctan (−2); ( frac {4} { sqrt {5}}, frac {−8} { sqrt {5}}) ),

Solución 12: No hay puntos posibles; expresión indefinida.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Para los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas para el parámetro t dado.

14) ( Displaystyle x = e ^ { sqrt {t}}, y = 1 − lnt ^ 2, t = 1 )

15) ( displaystyle x = tlnt, y = sin ^ 2t, t = frac {π} {4} )

16) ( displaystyle x = e ^ t, y = (t − 1) ^ 2, en (1,1) )

17) Para ( displaystyle x = sin (2t), y = 2sint ) donde ( displaystyle 0≤t <2π. ) Encuentra todos los valores de t en los que existe una línea tangente horizontal.

18) Para ( displaystyle x = sin (2t), y = 2sint ) donde ( displaystyle 0≤t <2π ). Encuentre todos los valores de t en los que existe una recta tangente vertical.

19) Encuentra todos los puntos en la curva ( displaystyle x = 4cos (t), y = 4sin (t) ) que tengan la pendiente de ( displaystyle frac {1} {2} ).

20) Encuentra ( displaystyle frac {dy} {dx} ) para ( displaystyle x = sin (t), y = cos (t) ).

21) Encuentra la ecuación de la recta tangente a ( displaystyle x = sin (t), y = cos (t) ) en ( displaystyle t = frac {π} {4} ).

22) Para la curva ( displaystyle x = 4t, y = 3t − 2, ) encuentra la pendiente y la concavidad de la curva en ( displaystyle t = 3 ).

23) Para la curva paramétrica cuya ecuación es ( displaystyle x = 4cosθ, y = 4sinθ ), encuentra la pendiente y la concavidad de la curva en ( displaystyle θ = frac {π} {4} ).

24) Encuentra la pendiente y la concavidad de la curva cuya ecuación es ( displaystyle x = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθ ) en ( displaystyle θ = frac {π} {6} ).

25) Encuentra todos los puntos de la curva ( displaystyle x = t + 4, y = t ^ 3−3t ) en los que hay tangentes verticales y horizontales.

26) Encuentra todos los puntos de la curva ( displaystyle x = secθ, y = tanθ ) en los que existen tangentes horizontales y verticales.

Respuesta

Solución 14: ( displaystyle y = - ( frac {2} {e}) x + 3 ),

Solución 16: ( displaystyle y = 2x − 7 ),

Solución 18: ( displaystyle frac {π} {4}, frac {5π} {4}, frac {3π} {4}, frac {7π} {4} ),

Solución 20: ( displaystyle frac {dy} {dx} = - tan (t) ),

Solución 22: ( displaystyle frac {dy} {dx} = frac {3} {4} ) y ( displaystyle frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 0 ), por lo que la curva no es cóncava hacia arriba ni hacia abajo en ( displaystyle t = 3 ). Por lo tanto, la gráfica es lineal y tiene una pendiente constante pero no concavidad.

Solución 24: ( displaystyle frac {dy} {dx} = 4, frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = - 6 sqrt {3}; ) la curva es cóncava hacia abajo en ( Displaystyle θ = frac {π} {6} ).

Solución 26: Sin tangentes horizontales. Tangentes verticales en ( displaystyle (1,0), (- 1,0) ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Para los siguientes ejercicios, encuentra ( displaystyle d ^ 2y / dx ^ 2 ).

27) ( displaystyle x = t ^ 4−1, y = t − t ^ 2 )

28) ( displaystyle x = sin (πt), y = cos (πt) )

29) ( Displaystyle x = e ^ {- t}, y = te ^ {2t} )

Respuesta

Solución 28: ( displaystyle −sec ^ 3 (πt) )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Para los siguientes ejercicios, busque puntos en la curva en los que la línea tangente sea horizontal o vertical.

30) ( displaystyle x = t (t ^ 2−3), y = 3 (t ^ 2−3) )

31) ( Displaystyle x = frac {3t} {1 + t ^ 3}, y = frac {3t ^ 2} {1 + t ^ 3} )

Respuesta

Solución 30: Horizontal ( displaystyle (0, −9) ); vertical ( displaystyle (± 2, −6). )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Para los siguientes ejercicios, encuentre ( displaystyle dy / dx ) en el valor del parámetro.

32) ( displaystyle x = costo, y = sint, t = frac {3π} {4} )

33) ( Displaystyle x = sqrt {t}, y = 2t + 4, t = 9 )

34) ( displaystyle x = 4cos (2πs), y = 3sin (2πs), s = - frac {1} {4} )

Respuesta

Solución 32: 1,

Solución 34: 0

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Para los siguientes ejercicios, encuentra ( displaystyle d ^ 2y / dx ^ 2 ) en el punto dado sin eliminar el parámetro.

35) ( Displaystyle x = frac {1} {2} t ^ 2, y = frac {1} {3} t ^ 3, t = 2 )

36) ( Displaystyle x = sqrt {t}, y = 2t + 4, t = 1 )

37) Encuentra t intervalos en los que la curva ( displaystyle x = 3t ^ 2, y = t ^ 3 − t ) sea cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

38) Determina la concavidad de la curva ( displaystyle x = 2t + lnt, y = 2t − lnt ).

39) Dibuja y encuentra el área debajo de un arco de la cicloide ( displaystyle x = r (θ − sinθ), y = r (1 − cosθ) ).

40) Encuentra el área delimitada por la curva ( displaystyle x = cost, y = e ^ t, 0≤t≤ frac {π} {2} ) y las líneas ( displaystyle y = 1 ) y ( Displaystyle x = 0 ).

41) Encuentra el área encerrada por la elipse ( displaystyle x = acosθ, y = bsinθ, 0≤θ <2π. )

42) Calcula el área de la región delimitada por ( displaystyle x = 2sin ^ 2θ, y = 2sin ^ 2θtanθ ), para ( displaystyle 0≤θ≤ frac {π} {2} ).

Respuesta

Solución 36: 4,

Solución 38: cóncavo hacia arriba en ( displaystyle t> 0 ),

Solución 40: 1,

Solución 42: ( displaystyle frac {3π} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de las regiones delimitadas por las curvas paramétricas y los valores indicados del parámetro.

43) ( displaystyle x = 2cotθ, y = 2sin ^ 2θ, 0≤θ≤π )

44) [T] ( displaystyle x = 2acost − acos (2t), y = 2asint − asin (2t), 0≤t <2π )

45) [T] ( displaystyle x = asin (2t), y = bsin (t), 0≤t <2π ) (el "reloj de arena")

46) [T] ( displaystyle x = 2acost − asin (2t), y = bsint, 0≤t <2π ) (la "lágrima")

Respuesta

Solución 44: ( displaystyle 6πa ^ 2 ),

Solución 46: ( displaystyle 2πab )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Para los siguientes ejercicios, encuentre la longitud del arco de la curva en el intervalo indicado del parámetro.

47) ( displaystyle x = 4t + 3, y = 3t − 2,0≤t≤2 )

48) ( Displaystyle x = frac {1} {3} t ^ 3, y = frac {1} {2} t ^ 2,0≤t≤1 )

49) ( displaystyle x = cos (2t), y = sin (2t), 0≤t≤ frac {π} {2} )

50) ( displaystyle x = 1 + t ^ 2, y = (1 + t) ^ 3,0≤t≤1 )

51) ( displaystyle x = e ^ tcost, y = e ^ tsint, 0≤t≤ frac {π} {2} ) (expresa la respuesta como un decimal redondeado a tres lugares)

52) ( displaystyle x = acos ^ 3θ, y = asin ^ 3θ ) en el intervalo ( displaystyle [0,2π) ) (el hipocicloide)

53) Calcula la longitud de un arco de la cicloide ( displaystyle x = 4 (t − sint), y = 4 (1 − cost). )

54) Encuentra la distancia recorrida por una partícula con la posición ( displaystyle (x, y) ) como t varía en el intervalo de tiempo dado: ( displaystyle x = sin ^ 2t, y = cos ^ 2t, 0≤t≤3π ).

55) Calcula la longitud de un arco de la cicloide ( displaystyle x = θ − sinθ, y = 1 − cosθ ).

56) Muestra que la longitud total de la elipse ( displaystyle x = 4sinθ, y = 3cosθ ) es ( displaystyle L = 16∫ ^ {π / 2} _0 sqrt {1 − e ^ 2sin ^ 2θ} dθ ), donde ( displaystyle e = frac {c} {a} ) y ( displaystyle c = sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} ).

57) Calcula la longitud de la curva ( displaystyle x = e ^ t − t, y = 4e ^ {t / 2}, - 8≤t≤3. )

Respuesta

Soluton 48: ( displaystyle frac {1} {3} (2 sqrt {2} −1) ),

Solución 50: 7.075,

Solución 52: ( displaystyle 6a ),

Solución 54: ( displaystyle 6 sqrt {2} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Para los siguientes ejercicios, encuentre el área de la superficie obtenida al rotar la curva dada sobre el eje x.

58) ( displaystyle x = t ^ 3, y = t ^ 2,0≤t≤1 )

59) ( Displaystyle x = acos ^ 3θ, y = asin ^ 3θ, 0≤θ≤ frac {π} {2} )

60) [T] Usa un CAS para encontrar el área de la superficie generada al rotar ( displaystyle x = t + t ^ 3, y = t− frac {1} {t ^ 2}, 1≤t≤2 ) sobre el eje x. (Responda con tres decimales).

61) Calcula el área de la superficie obtenida al girar ( displaystyle x = 3t ^ 2, y = 2t ^ 3,0≤t≤5 ) sobre el eje y.

62) Calcula el área de la superficie generada al girar ( displaystyle x = t ^ 2, y = 2t, 0≤t≤4 ) sobre el eje x.

63) Encuentra el área de superficie generada al girar ( displaystyle x = t ^ 2, y = 2t ^ 2,0≤t≤1 ) alrededor del eje y.

Respuesta

Solución 58: ( displaystyle frac {2π (247 sqrt {13} +64)} {1215} ),

Solución 60: 59.101,

Solución 62: ( displaystyle frac {8π} {3} (17 sqrt {17} −1) )


4.2E: Ejercicios - Matemáticas

Encuentra la derivada de segundo orden de la siguiente función

Pregunta 1 (i). x 3 + tanx

Consideremos

f (x) = x 3 + tanx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

f '(x) = 3x 2 + seg 2 x



Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

f & # 8221 (x) = 6x + 2 (secx) (secx.tanx)

f & # 8221 (x) = 6x + 2seg 2 x.tanx

Pregunta 1 (ii). pecado (logx)

Consideremos

y = sin (logx)

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = cos (logx) × (1 / x)

(dy / dx) = cos (logx) / x

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = d / dx [cos (logx) / x]

=

= - [sin (logx) + cos (logx)] / x 2

Pregunta 1 (iii). log (sinx)

Consideremos

y = log (senx)

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,



(dy / dx) = (1 / senx) × (cosx)

(dy / dx) = cotx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = -cosec 2 x

Pregunta 1 (iv). e x sin5x

Consideremos

y = e x sen5x

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = e x sin5x + 5e x cos5x

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = e x sin5x + 5e x cos5x + 5 (e x cos5x & # 8211 5e x sin5x)

d 2 y / dx 2 = -24e x sen5x + 10e x cos5x

d 2 y / dx 2 = 2e x (5cos5x y # 8211 12sinx)

Pregunta 1 (v). e 6x cos3x

Consideremos

y = e 6x cos3x

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = 6e 6x cos3x & # 8211 3e 6x sin3x

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = 6 (6e 6x cos3x & # 8211 3e 6x sin3x) & # 8211 3 (6e 6x sin3x + 3e 6x cos3x)



d 2 y / dx 2 = 36e 6x cos3x & # 8211 18e 6x sin3x & # 8211 18e 6x sin3x & # 8211 9e 6x cos3x

d 2 y / dx 2 = 27e 6x cos3x & # 8211 36e 6x sin3x

d 2 y / dx 2 = 9e 6x (3cos3x & # 8211 4sin3x)

Pregunta 1 (vi). x 3 logx

Consideremos

y = x 3 logx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = logx.3x 2 + x 3 (1 / x)

(dy / dx) = logx.3x 2 + x 2

(dy / dx) = x 2 (1 + 3logx)

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = (1 + 3logx) .2x + x 2 (3 / x)

d 2 y / dx 2 = 2x + 6xlogx + 3x

d 2 y / dx 2 = x (5 + 6logx)

Pregunta 1 (vii). bronceado -1 x

Consideremos

y = tan -1 x

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = 1 / (1 + x 2)

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = (-1) (1 + x 2) -2 .2x

Pregunta 1 (viii). x.cosx

Consideremos

y = x.cosx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = cosx + x (-sinx)

(dy / dx) = cosx & # 8211 xsinx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,



d 2 y / dx 2 = -sinx & # 8211 (sinx + xcosx)

d 2 y / dx 2 = -2sinx & # 8211 xcosx

d 2 y / dx 2 = - (xcosx + 2sinx)

Pregunta 1 (ix). log (logx)

Consideremos

y = log (logx)

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = (1 / logx) × (1 / x)

(dy / dx) = 1 / xlogx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = (-1) (xlogx) -2. [(d / dx) xlogx]

d 2 y / dx 2 = (-1) (xlogx) -2 [logx + x. (1 / x)]

d 2 y / dx 2 = (-1) (xlogx) -2. (logx + 1)

Pregunta 2. Si y = e -x .cosx, demuestre que d 2 y / dx 2 = 2e -x .sinx.

Consideremos

y = e -x .cosx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = -e -x .cosx & # 8211 e -x .sinx



Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = - (- e -x .cosx & # 8211 e -x .sinx) & # 8211 (-e -x .sinx + e -x .cosx)

d 2 y / dx 2 = e -x .cosx & # 8211 e -x .cosx + e -x .sinx + e -x .sinx

d 2 y / dx 2 = 2e -x. sinx

Por lo tanto probado

Pregunta 3. Si y = x + tanx, demuestre que cos 2 x (d 2 y / dx 2) & # 8211 2y + 2x = 0.

Consideremos

y = x + tanx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = 1 + seg 2 x

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = 0 + (2secx) (secx.tanx)

d 2 y / dx 2 = 2 seg 2 x.tanx

Al multiplicar ambos lados por cos 2 x

cos 2 x (d 2 y / dx 2) = 2tanx

cos 2 x (d 2 y / dx 2) = 2 (y & # 8211 x) [desde, tanx = y & # 8211 x]

cos 2 x (d 2 y / dx 2) & # 8211 2y + 2x = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 4. Si y = x 3 logx, demuestre que (d 4 y / dx 4) = (6 / x).

Consideremos

y = x 3 logx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = logx.3x 2 + x 3 (1 / x)

(dy / dx) = logx.3x 2 + x 2

(dy / dx) = x 2 (1 + 3logx)

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = (1 + 3logx) .2x + x 2 (3 / x)

d 2 y / dx2 = 2x + 6xlogx + 3x

d 2 y / dx 2 = 5x + 6xlogx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 3 y / dx 3 = 5 + 6 [logx + (x / x)]

d 3 y / dx 3 = 11 + 6logx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 4 y / dx 4 = (6 / x)

Por lo tanto probado

Pregunta 5. Si y = log (senx), demuestre que (d 3 y / dx 3) = 2cosx.cosec 3 x.

Consideremos

y = log (senx)

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = (1 / senx) × (cosx)



(dy / dx) = cotx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = -cosec 2 x

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 3 y / dx 3 = -2cosecx. (- cosesx.cotx)

d 3 y / dx 3 = 2cosec 2 x.cotx

d 3 y / dx 3 = 2cosec 2 x. (cosx / senx)

d 3 y / dx 3 = cosx.cosec 3 x

Por lo tanto probado

Pregunta 6. Si y = 2sinx + 3cosx, demuestre que (d 2 y / dx 2) + y = 0.

Consideremos

y = 2sinx + 3cosx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = 2cosx & # 8211 3sinx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = -2sinx & # 8211 3cosx

d 2 y / dx 2 = - (2sinx + 3cosx)

d 2 y / dx 2 = -y

d 2 y / dx 2 + y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 7. Si y = (logx / x), demuestre que (d 2 y / dx 2) = (2logx & # 8211 3) / x 3

Consideremos

y = (logx / x)

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = (1 & # 8211 logx) / x 2

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = [-x & # 8211 2x (1 & # 8211 logx)] / x 4

d 2 y / dx 2 = (2xlogx & # 8211 3x) / x 4



d 2 y / dx 2 = (2logx & # 8211 3) / x 3

d2y / dx2 + y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 8. Si x = a secθ, y = b tanθ, demuestre que (d 2 y / dx 2) = -b 4 / a 2 y 3

Tenemos,

x = a secθ y y = b tanθ

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = un segundoθ.tanθ, (dy / dθ) = segundo segundo 2 θ

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = (b seg 2 θ) / (a ​​segθ.tanθ)

(dy / dx) = (b / a) .cosecθ

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

(d 2 y / dx 2) = (b / a). (- cosecθ.cotθ). (dθ / dx)

(d 2 y / dx 2) = - (b / a). (cosecθ.cotθ). (1 / a secθ.tanθ)

(d 2 y / dx 2) = & # 8211 (b / a 2). (cotθ). (1 / tan 2 θ)

d 2 y / dx 2 = - (b / a 2). (1 / tan 3 θ)

d 2 y / dx 2 = - (b / a 2 tan 3 θ). (b 3 / b 3)

d 2 y / dx 2 = - (b 4 / a 2 y 3)

Por lo tanto probado

Pregunta 9. Si x = a (costo + tsint) e y = a (sint & # 8211 tcost), demuestre que d 2 y / dx 2 = sec 3 t / en 0 & lt t & lt π / 2.

Tenemos,

x = a (costo + tsint) y y = a (sint & # 8211 tcost)

Al diferenciar ambos lados w.r.t t,

(dx / dt) = a (-sint + sint + tcost), (dy / dt) = a (costo & # 8211 costo + tsint)

(dx / dt) = al costo, (dy / dt) = atsint

(dy / dx) = (dy / dt) × (dt / dx)

(dy / dx) = atsint × [1 / atcost]

(dy / dx) = tant

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

(d 2 y / dx 2) = seg 2 x. (dt / dx)

(d 2 y / dx 2) = seg2x. [1 / al costo]

(d 2 y / dx 2) = seg 3 x / en

Por lo tanto probado

Pregunta 10. Si y = e x cosx, demuestre que d 2 y / dx 2 = 2e x cos (x + π / 2).

Tenemos,

y = e x cosx

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = e x cosx & # 8211 e x senx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = (e x cosx & # 8211 e x sinx) & # 8211 (e x sinx + e x cosx)

d 2 y / dx 2 = e x cosx & # 8211 e x cosx & # 8211 e x sinx & # 8211 e x sinx

d 2 y / dx 2 = -2e x senx

d 2 y / dx 2 = 2e x cos (x + π / 2)

Pregunta 11. Si x = a cosθ, y = b sinθ, demuestre que (d 2 y / dx 2) = -b 4 / a 2 y 3

Tenemos,

x = a cosθ y y = b sinθ

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = -a sinθ, (dy / dθ) = b cosθ

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = (b cosθ) / (- a sinθ)



(dy / dx) = - (b / a) .cotθ

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

(d 2 y / dx 2) = - (b / a). (- cosec 2 θ). (dθ / dx)

(d 2 y / dx 2) = (b / a). (cosec 2 θ). (1 / -a sinθ)

(d 2 y / dx 2) = (b / a). (cosec 2 θ). (1 / -a sinθ)

d 2 y / dx 2 = - (b / a 2). (1 / sin 3 θ)

d 2 y / dx 2 = - (b / a 2 sin 3 θ). (b 3 / b 3)

d 2 y / dx2 = - (b 4 / a 2 y 3) (ya que y = a sinθ)

Por lo tanto probado

Pregunta 12. Si x = a (1 & # 8211 cos 3 θ), y = a sin 3 θ, demuestre que (d 2 y / dx 2) = 32 / 27a, en θ = π / 6.

Tenemos,

x = a (1 & # 8211 cos 3 θ) y y = a sin 3 θ

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = a (3cos 2 θ.sinθ), (dy / dθ) = a 3sin 2 θcosθ

(dx / dθ) = 3acos 2 θ.sinθ, (dy / dθ) = 3asin 2 θ.cosθ

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = (3asin 2 θ.cosθ) × (3acos 2 θ.sinθ)

(dy / dx) = tan 2 θ / tanθ

(dy / dx) = tanθ

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

(d 2 y / dx 2) = seg 2 θ (dθ / dx)

(d 2 y / dx 2) = seg 2 θ. [1 / 3acos 2 θ.sinθ]

(d 2 y / dx 2) = seg 4 θ / 3asinθ

En θ = π / 6

d 2 y / dx 2 = sec 4 (π / 6) / 3asin (π / 6)

d 2 y / dx 2 = 32 / 27a

Por lo tanto probado

Pregunta 13. Si x = a (θ + sinθ), y = a (1 + cosθ), demuestre que (d 2 y / dx 2) = - (a / y 2).

Tenemos,

x = a (θ + sinθ) y y = a (1 + cosθ)

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = a (1 + cosθ), (dy / dθ) = -asinθ

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = [-asinθ] × [a (1 + cosθ)]

(dy / dx) = -sinθ / (1 + cosθ)

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,



(d 2 y / dx 2) = - (1 + cosθ) / a (1 + cosθ) 3

(d 2 y / dx 2) = -1 / a (1 + cosθ) 2

(d 2 y / dx 2) = - [1 / a (1 + cosθ) 2] (a / a)

d2y / dx2 = -a / y 2

Por lo tanto probado

Pregunta 14. Si x = a (θ & # 8211 sinθ), y = a (1 + cosθ), encuentre (d 2 y / dx 2).

Tenemos,

x = a (θ & # 8211 sinθ) y y = a (1 + cosθ)

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = a (1 & # 8211 cosθ), (dy / dθ) = -asinθ

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = [-asinθ] × [a (1 & # 8211 cosθ)]

(dy / dx) = -sinθ / (1 & # 8211 cosθ)

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

(d 2 y / dx 2) = 1 / a (1 & # 8211 cosθ) 2



d 2 y / dx 2 = (1 / 4a) [cosec 4 (θ / 2)]

Pregunta 15. Si x = a (1 & # 8211 cosθ), y = a (θ + sinθ), demuestre que (d 2 y / dx 2) = -1 / a en θ = π / 2.

Tenemos,

x = a (1 & # 8211 cosθ) y y = a (θ + sinθ)

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = a (sinθ), (dy / dθ) = a (1 + cosθ)

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = [a (1 + cosθ)] × [asinθ)]

(dy / dx) = (1 + cosθ) / sinθ

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = (-sin 2 θ & # 8211 cosθ & # 8211 cos 2 θ) / asin 3 θ

d 2 y / dx 2 = - (sen 2 θ + cosθ + cos 2 θ) / asin 3 θ

En θ = π / 2,

d 2 y / dx 2 = - (1 + 0) / a

d 2 y / dx 2 = - (1 / a)

Por lo tanto probado

Pregunta 16. Si x = a (1 + cosθ), y = a (θ + sinθ), demuestre que (d 2 y / dx 2) = -1 / a en θ = π / 2.

Tenemos,

x = a (1 + cosθ) y y = a (θ + sinθ)

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = a (-sinθ), (dy / dθ) = a (1 + cosθ)

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = [a (1 + cosθ)] × [-asinθ)]

(dy / dx) = - (1 + cosθ) / sinθ

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,



d 2 y / dx 2 = (-sin 2 θ & # 8211 cosθ & # 8211 cos 2 θ) / asin 3 θ

d 2 y / dx 2 = - (sen 2 θ + cosθ + cos 2 θ) / asin 3 θ

En θ = π / 2,

d 2 y / dx 2 = - (1 + 0) / a

d 2 y / dx 2 = - (1 / a)

Por lo tanto probado

Pregunta 17. Si x = cosθ, y = sen 3 θ, demuestre que y (d 2 y / dx 2) + (dy / dx) 2 = 3sin 2 θ (5cos 2 θ & # 8211 1).

Tenemos,

x = cosθ y y = sin 3 θ

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

(dx / dθ) = -sinθ, (dy / dθ) = 3sin 2 θ.cosθ

(dy / dx) = (dy / dθ) × (dθ / dx)

(dy / dx) = [3sin 2 θ.cosθ] × [-sinθ]

(dy / dx) = -3sinθ.cosθ

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = -3 [sinθ (-sinθ) + cosθ.cosθ] (dθ / dx)

d 2 y / dx 2 = (3sin 2 θ & # 8211 3cos 2 θ) / - sinθ

d 2 y / dx 2 = - (3sin 2 θ & # 8211 3cos 2 θ) / senθ

L.H.S,

y (d 2 y / dx 2) + (dy / dx) 2 = -sin 3 θ [(3sin 2 θ & # 8211 3cos 2 θ) / senθ] + (-3sinθ.cosθ) 2

= 3sin 2 θ.cos 2 θ & # 8211 3sin 4 θ + 9sin 2 θ.cos 2 θ

= 12sin 2 θ.cos 2 θ & # 8211 3sin 4 θ

= 3sin 2 θ (4cos 2 θ & # 8211 sin 2 θ)

= 3sin 2 θ (4cos 2 θ & # 8211 sen 2 θ & # 8211 cos 2 θ + cos 2 θ)

= 3sin 2 θ [5cos 2 θ & # 8211 (sin 2 θ + cos 2 θ)]

= 3sin 2 θ (5cos 2 θ & # 8211 1)

= R.H.S

L.H.S = R.H.S

Por lo tanto probado

Pregunta 18. Si y = sin (sinx), demuestre que (d 2 y / dx 2) + tanx. (Dy / dx) + ycos 2 x = 0

Tenemos,

y = sin (sinx)

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(dy / dx) = cos (senx) .cosx

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = -sin (senx) .cosx.cosx & # 8211 cos (senx) .sinx

d 2 y / dx 2 = -sin (senx) .cos 2 x & # 8211 cos (senx) .sinx

d 2 y / dx 2 = -sin (senx) .cos 2 x & # 8211 cos (senx) .cosx.tanx

d 2 y / dx 2 = -ycos 2 x & # 8211 (dy / dx) tanx

d 2 y / dx 2 + ycos 2 x + (dy / dx) tanx = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 19. Si x = sen t, y = sen pt, demuestre que (1 & # 8211 x 2) (d 2 y / dx 2) & # 8211 x. (Dy / dx) + p 2 y = 0

Tenemos,

x = sen t, y y = sen pt

Al diferenciar ambos lados w.r.t t,

(dx / dt) = cos t, (dy / dt) = pcos pt

(dy / dx) = (dy / dt) × (dt / dx)

(dy / dx) = pcos pt × [1 / cos t]

(dy / dx) = pcos pt / cos t

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = (-p 2 sen pt.cos t + pcos pt.sin t) / cos 3 t

d 2 y / dx 2 = - (p 2 sen pt) / cos 2 t + (pcos pt.sin t) / cos 3 t

cos 2 t (d 2 y / dx 2) = -p 2 y + x (dy / dx)

(1 & # 8211 sen 2 x) (d 2 y / dx 2) + p 2 y & # 8211 x (dy / dx) = 0

(1 & # 8211 y 2) (d 2 y / dx 2) + p 2 y & # 8211 x (dy / dx) = 0

Pregunta 20. Si y = (sen -1 x) 2, demuestre que (1 & # 8211 x 2) (d 2 y / dx 2) & # 8211 x. (Dy / dx) + p 2 y = 0.


Al diferenciar ambos lados w.r.t t,

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

d 2 y / dx 2 = [x / (1 & # 8211 x 2)] (dy / dx) + 2 / (1 & # 8211 x 2)

(1 & # 8211 x 2) d 2 y / dx 2 = x (dy / dx) + 2

(1 & # 8211 x 2) d 2 y / dx 2 & # 8211 x (dy / dx) & # 8211 2 = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 21. Si y = , demuestre que (1 + x 2) y2 + (2x & # 8211 1) y1 = 0.

Tenemos,

y =

Al diferenciar ambos lados w.r.t t,

y1 = × [1 / (1 + x 2)]

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

y2 =

(1 + x 2) y2 = / (1 + x 2) y # 8211 2x/ (1 + x 2)

(1 + x 2) y2 = (dy / dx) & # 8211 2x (dy / dx)

(1 + x 2) y2 & # 8211 (dy / dx) + 2x (dy / dx) = 0

(1 + x 2) y2 + (2x & # 8211 1) (dy / dx) = 0


Pregunta 22. Si y = 3cos (logx) + 4sin (logx), demuestre que x 2 y2 + xy1 + y = 0.

Tenemos,

y = 3cos (logx) + 4sin (logx)

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

y1 = -3sin (logx) × (1 / x) + 4cos (logx) × (1 / x)

xy1 = -3 pecado (logx) + 4cos (logx)

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

xy2 + y1 = -3cos (logx) × (1 / x) & # 8211 4sin (logx) × (1 / x)

x 2 años2 + xy1 = - [3cos (logx) + 4sin (logx)]

x 2 años2 + xy1 = -y

x 2 años2 + xy1 + y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 23. Si y = e 2x (ax + b), demuestre que y2 & # 8211 4 años1 + 4y = 0.

Tenemos,

y = e 2x (ax + b)

Al diferenciar ambos lados w.r.t θ,

y1 = 2e 2x (ax + b) + a.e 2x

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

y2 = 4e 2x (ax + b) + 2ae 2x + 2a.e 2x

y2 = 4e 2x (ax + b) + 4a.e 2x

Tomemos L.H, S,

= y2 & # 8211 4 años1 + 4 años

= 4e 2x (ax + b) + 4a.e 2x & # 8211 4 [2e 2x (ax + b) + a.e 2x] + 4 [e 2x (ax + b)]

= 8e 2x (ax + b) & # 8211 8e 2x (ax + b) + 4a.e 2x & # 8211 4a.e 2x

= 0

= R.H.S

L.H.S = R.H.S

Por lo tanto probado

Pregunta 24. Si x = sin (logy / a), demuestre que (1 & # 8211 x 2) y2 & # 8211 xy1 & # 8211 a 2 y = 0.

Tenemos,

x = sin (logy / a)

(logy / a) = sen -1 x

logy = asin -1 x

Al diferenciar ambos lados w.r.t x,

(1 / año) año1 = a / √ (1 y # 8211 x 2)

y1 = ay / √ (1 & # 8211 x 2)

Nuevamente diferenciando ambos lados w.r.t x,

y2

(1 y # 8211 x 2) y2 = a√ (1 & # 8211 x 2) × y1 + axy / √ (1 y # 8211 x 2)

(1 y # 8211 x 2) y2 = a√ (1 & # 8211 x 2) × [ay / √ (1 & # 8211 x 2)] + x [ay / √ (1 & # 8211 x 2)]

(1 y # 8211 x 2) y2 = a 2 p + xy

(1 y # 8211 x 2) y2 & # 8211 a 2 p & # 8211 xy1 = 0

Por lo tanto probado


Requisitos de capital regulatorio, RWA, apalancamiento y liquidez bajo estrés

6.4.1 Ratio de apalancamiento

El caso de Northern Rock presentado en el Capítulo 1 destaca cómo un apalancamiento excesivo puede ser crítico para la solvencia bancaria. El coeficiente de apalancamiento se puede resumir como una medida de capital como una proporción del total de activos ajustados como se detalla a continuación:

El capital se calcula utilizando la definición de nivel 1 descrita en las secciones anteriores. Por el contrario, el balance contable financiero se utiliza como punto de partida para medir la exposición. Las provisiones específicas y los ajustes de valoración pueden deducirse de la exposición a la que se refieren. Como principio general, la garantía, las garantías y la mitigación del riesgo de crédito comprado no pueden deducirse de las exposiciones (BPI, 2014b). La medida de exposición total de un banco es la suma de los elementos que se enumeran a continuación:

Exposiciones en balance. Todos los activos del balance se incluyen según su valoración contable. También se incluyen los derivados en balance, las garantías y los covenants para operaciones de financiación de valores distintos de los descritos a continuación.

Exposiciones derivadas. Para los derivados, se consideran dos tipos de exposiciones. Por un lado, la exposición puede surgir del instrumento subyacente al derivado. Por otro, se tiene en cuenta una exposición al riesgo de crédito de contraparte. Con todo, los derivados se miden utilizando la exposición contable que refleja el valor razonable del contrato. También se utiliza un complemento para la posible exposición futura para garantizar una conversión constante a un monto equivalente de préstamo.

Operaciones de financiación de valores. Los préstamos y los préstamos garantizados son una fuente importante de apalancamiento. Los acuerdos de recompra y la financiación de valores se incluyen mediante el uso de la medida contable de exposición. Se aplican las reglas reglamentarias de compensación.

Partidas fuera de balance. Las partidas fuera de balance, incluidos compromisos, cartas de crédito, transacciones fallidas y valores pendientes de liquidación, están sujetas a un factor de conversión de crédito uniforme del 100%. La única excepción es que cualquier compromiso que el banco pueda cancelar incondicionalmente en cualquier momento sin previo aviso puede tener un factor de conversión de crédito del 10%.

Durante el período de ejecución paralela, entre 2013 y 2017, se prueba una proporción mínima del 3%. El Comité de Supervisión Bancaria de Basilea investigará si este porcentaje y el diseño del índice son apropiados para un ciclo crediticio completo y diferentes tipos de modelos comerciales. Sobre la base de los resultados del período de ejecución paralela, podría haber ajustes en el primer semestre de 2017. El índice de apalancamiento se convertirá en un requisito explícito a partir del 1 de enero de 2018.

En la siguiente sección, se investiga el índice de apalancamiento de Bank Alpha durante todo el ejercicio de prueba de estrés.


Lección 13

La elevación de un submarino se muestra en la tabla. Dibuje y etiquete los ejes de coordenadas con una escala adecuada y trace los puntos.

Solución

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Problema 2

Las desigualdades (h & gt 42 ) y (h & lt 60 ) representan los requisitos de altura para un paseo en un parque de diversiones, donde (h ) representa la altura de una persona en pulgadas.

Escribe una oración o dibuja un letrero que describa estas reglas lo más claramente posible.

Solución

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Problema 3

El eje (x ) representa el número de horas antes o después del mediodía y el eje (y ) representa la temperatura en grados Celsius.

Expandir imagen

A las 9 a.m., estaba bajo cero. ¿En qué cuadrante se trazaría este punto?

A las 11 a. M., Eran las (10 ​​^ circ text). ¿En qué cuadrante se trazaría este punto?

Elija otro horario y temperatura. Luego, dígale al cuadrante dónde debe trazarse el punto.

¿Qué representa el punto ((0, 0) ) en este contexto?

Solución

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Problema 4

Solución

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4.4 Ortogonalidad

Al igual que los polinomios de Legendre, las funciones de Legendre asociadas forman un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo $ (- 1,1) $,

cuando $ ell neq ell '$. Observe que $ m $ es el mismo para ambas funciones, el enunciado no sería verdadero si el integrando fuera reemplazado por $ P_ ell ^ m P _ < ell '> ^$ con $ m neq m '$. La demostración de la ecuación (4.16) sigue exactamente los mismos pasos que los involucrados en el establecimiento de la ortogonalidad de los polinomios de Legendre. No volveremos a repasar esto, sino que simplemente observemos que la demostración comienza con la ecuación (4.4) multiplicada por $ P _ < ell '> ^ m $, que se resta de una segunda copia de la ecuación en la que $ ell $ se intercambia con $ ell '$. Con $ m $ igual en ambas copias de la ecuación, los términos que involucran $ m ^ 2 / (1-x ^ 2) $ se cancelan después de la resta, y la demostración procede como en la sección 3.7.

Ejercicio 4.7: Complete los pasos y proporcione una derivación completa de la ecuación (4.16).

Definimos la norma de las funciones de Legendre asociadas estableciendo $ ell '$ igual a $ ell $ dentro de la integral. Mostraremos que esto viene dado por

Evidentemente, la norma se reduce a la ecuación (3.47) cuando $ m = 0 $. Las ecuaciones (4.16) y (4.17) se pueden combinar en un solo enunciado

que involucra el delta $ delta _ < ell ell '> $ de Kronecker.

II.1.8 de Ecuaciones de la física matemática por A.N. Tikhonov y A.A. Samarskii (Dover, 1990).> una vez más a la ecuación (4.7), que escribimos en la forma alternativa

empezar frac bigl [(1-x ^ 2) ^ U_ ell ^ bigr] + ( ell + m + 1) ( ell-m) (1-x ^ 2) ^ m U_ ell ^ m = 0. tag <4.19> end

En esto ponemos $ m en m-1 $ y obtenemos

Ahora, la ecuación (4.17) involucra $ [P ^ m_ ell] ^ 2 = (1-x ^ 2) ^ m [U ^ m_ ell] ^ 2 $, que escribimos como

empezar bigl [P ^ m_ ell bigr] ^ 2 & amp = (1-x ^ 2) ^ m U ^ m_ ell frac_ ell> nonumber & amp = frac bigl [(1-x ^ 2) ^ m U ^ m_ ell U ^_ ell bigr] - U ^_ ell frac bigl [(1-x ^ 2) ^ m U ^ m_ ell bigr] nonumber & amp = frac bigl [(1-x ^ 2) ^ m U ^ m_ ell U ^_ ell bigr] + ( ell + m) ( ell-m + 1) (1-x ^ 2) ^ bigl [U_ ell ^ bigr] ^ 2 nonumber & amp = frac bigl [(1-x ^ 2) ^ <1/2> P ^ m_ ell P ^_ ell bigr] + ( ell + m) ( ell-m + 1) bigl [P_ ell ^ bigr] ^ 2 tag <4.21> end

en el último paso invocamos la definición de la ecuación (4.5). Integrando esto de $ x = -1 $ a $ x = 1 $, vemos que la derivada total produce términos de frontera que desaparecen, y nos quedamos con

Ésta es una relación recursiva para la norma de las funciones de Legendre asociadas.

Ejercicio 4.8: Asegúrese de poder reproducir todos los pasos que conducen a la ecuación (4.22).

Ahora es una cuestión sencilla resolver la ecuación (4.22) para $ N ^ m_ ell $. Con $ m = 1 $ la ecuación se convierte en $ N ^ 1_ ell = ( ell + 1) ell , N ^ 0_ ell $. Con $ m = 2 $ obtenemos $ N ^ 2_ ell = ( ell + 2) ( ell-1) N ^ 1_ ell = ( ell + 2) ( ell + 1) ell ( ell -1) N ^ 0_ ell $, y con $ m = 3 $ obtenemos $ N ^ 3_ ell = ( ell + 3) ( ell-2) N ^ 2_ ell = ( ell + 3) ( ell + 2) ( ell + 1) ell ( ell-1) ( ell-2) N ^ 0_ ell $. Surge un patrón claro, y después de $ m $ iteraciones de la relación de recursión obtenemos

empezar N ^ m_ ell = ( ell + m) ( ell + m-1) ( ell + m-2) cdots ( ell-m + 1) N ^ 0_ ell. etiqueta <4.23> end

El factor delante de $ N ^ 0_ ell $ se puede escribir claramente como $ ( ell + m)! / ( Ell-m)! $, Porque

Y como sabemos que $ N ^ 0_ ell = 2 / (2 ell + 1) $ --- esta es la norma de los polinomios de Legendre --- hemos llegado a la ecuación (4.17).

Ejercicio 4.9: Asegúrese de poder reproducir todos los pasos que nos llevaron de la relación de recursividad a la ecuación (4.17).


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Tema 1 y n. ° 151 Dibujar gráficos 1

Ejercicio 1.2 & # 151 Introducción a la función de módulo 1

Ejercicio 1.3 & # 151 Dibujar gráficas de funciones recíprocas 2

Exercise 1.4 — Sketching graphs of rational functions 8

Exercise 1.5 — S ketching graphs of y = f (x) and y = f ( x ) from y = f (x) 21

Exercise 1.6 — Circles, ellipses and hyperbolas 26

Topic 2 — Trigonometry 33

Exercise 2.2 — Reciprocal trigonometric functions 33

Exercise 2.3 — Trigonometric identities using reciprocal trigonometric functions 36

Exercise 2.4 — Compound-angle formulas 38

Exercise 2.5 — Double-angle formulas 42

Exercise 2.6 — Inverse trigonometric functions 49

Exercise 2.7 — General solutions of trigonometric equations 59

Exercise 2.8 — Graphs of reciprocal trigonometric functions 65

Exercise 2.9 — Graphs of inverse trigonometric functions 74

Topic 3 — Complex numbers 83

Exercise 3.2 — Complex numbers in rectangular form 83

Exercise 3.3 — Complex numbers in polar form 88

Exercise 3.4 — Solving polynomial equations 100

Exercise 3.5 — Subsets of the complex plane: circles, lines and rays 105

Exercise 3.6 — Roots of complex numbers 114

Topic 4 — Kinematics 121

Exercise 4.2 — Constant acceleration 121

Exercise 4.3 — Motion under gravity 122

Exercise 4.4 — Velocity&ndashtime graphs 124

Exercise 4.5 — Variable acceleration 126

Topic 5 — Vectors in three dimensions 131

Exercise 5.3 — i j k notation 136

Exercise 5.4 — Scalar product and applications 143

Exercise 5.5 — Vector proofs using the scalar product 152

Exercise 5.6 — Parametric equations 158

Topic 6 — Mechanics 167

Exercise 6.2 — Statics of a particle 167

Exercise 6.3 — Inclined planes and connected particles 175

Exercise 6.4 — Dynamics 180

Exercise 6.5 — Dynamics with connected particles 186

Topic 7 — Differential calculus 193

Exercise 7.2 — Review of differentiation techniques 193

Exercise 7.3 — Applications of differentiation 202

Exercise 7.4 — Implicit and parametric differentiation 209

Exercise 7.5 — Second derivatives 217

Exercise 7.6 — Curve sketching 225

Exercise 7.7 — Derivatives of inverse trigonometric functions 239

Exercise 7.8 — Related rate problems 246

Topic 8 — Integral calculus 253

Exercise 8.2 — Areas under and between curves 253

Exercise 8.3 — Linear substitutions 264

Exercise 8.4 — Other substitutions 275

Exercise 8.5 — Integrals of powers of trigonometric functions 284

Exercise 8.6 — Integrals involving inverse trigonometric functions 291

Exercise 8.7 — Integrals involving partial fractions 302

Topic 9 — Differential equations 315

Exercise 9.2 — Verifying solutions to a differential equation 315

Exercise 9.3 — Solving Type 1 differential equations, = dy dx f (x) 325

Exercise 9.4 — Solving Type 2 differential equations, = dy dx f ( y) 330

Exercise 9.5 — Solving Type 3 differential equations, = dy dx f (x)g(y) 338

Exercise 9.6 — Solving Type 4 differential equations, = d y dx f x ( ) 2 2 344

Topic 10 — Further applications of integration 353

Exercise 10.2 — Integration by recognition 353

Exercise 10.3 — Solids of revolution 365

Exercise 10.4 — Volumes 372

Exercise 10.5 — Arc length, numerical integration and graphs of antiderivatives 381

Exercise 10.6 — Water flow 389

Topic 11 — Applications of first-order differential equations 397

Exercise 11.2 — Growth and decay 397

Exercise 11.3 — Other applications of first-order differential equations 400

Exercise 11.4 — Bounded growth and Newton&rsquos Law of Cooling 406


Melinda Mestre, Lily Okati, Timothy Sloane, Helen Silvester, James Kennedy, Mora Soliman, Mohammed Naanouh

Descripción

This Oxford Student Pack contains the Oxford Insight Science for NSW Stage 4 2E Student book and Skills & Activities book:

Oxford Insight Science for NSW Stage 4 2E Student book and obook assess:
Oxford Insight Science for NSW 2E Student book and obook assess features a simple, engaging design with targeted on-page features that support student understanding and progression.

  • Staged books follow syllabus structure, making it easy to teach in any order that suits your classroom
  • NSW-specific case studies encourage the real world application of key concepts and skills
  • Check your learning questions review student progress and provide opportunities for extension
  • Skill builder questions are scaffolded to target key science skills from the syllabus
  • Chapter reviews assess student understanding, encourage reflection and suggest research projects
  • Margin glossary definitions provide clarification of key terms at the point of learning
  • Working scientifically chapter teaches and clarifies key science skills throughout each Stage
  • Student research project chapter provides guidance and support throughout the research project

obook assess:
Oxford&rsquos premium digital learning solution encompasses a suite of resources to support teachers and students, including worksheets, sample data and experiments with supporting videos. Market-leading digital assessment features include pre-tests, post-tests, differentiated activities and advanced tracking and reporting tools (including sophisticated markbook functionality).


Oxford Insight Science for NSW Stage 4 2E Skills and Activity books:

Oxford Insight Science for NSW 2E Skills and Activity Books are full-colour write-in Student workbooks supported by integrated digital resources. Designed to help students revise course material and explore opportunities for extension, they provide students with additional tools to develop their understanding of the key science skills.


Physical Education for QLD Units 3 & 4 2E SB & oBook assess

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July 2, 2014

Solving Sudoku Puzzles

Recently, I got hooked on to Sudoku (thanks to a wonderful IPhone app). I found it to be a slightly more constructive time sink and plan to teach it to my daughter some day (she is one year old as of yet). For this, I thought of writing an assistive software to teach kids how to simplify a Sudoku. This motivated me to first build a Sudoku solver and this blog is about it.

A Sudoku is a matrix of cells, typically 9x9, but it can be any number. In this post, we consider N x N Sudoku (where N is a perfect square, i.e. 1x1, 4x4, 9x9, 16x16). Now for such a Sudoku, we first construct a groups of cells called as blocks. We get N row blocks, N column blocks and N sub-grid blocks. All the blocks contain N cells each. A cell can have a value from 1 to N, such that, if a cell is assigned a value, then no other cell in the same block can be assigned that value. To check if a Sudoku is solved, all the blocks must sum to N*(N+1)/2. Another check is one where number uniqueness constraints are satisfied per block and each cell is assigned a value from 1 to N.

  1. A number is assigned to a cell,
    • If a cell can hold only that number.
    • If that number can be held by only that cell (in at least one block).
    Once a cell is assigned a number, other cells (in the same block) get their possible hints (or values) pruned.

  • The two numbers are referred exclusively by these two cells in a given block. In this case other hints of the two numbers are pruned.
  • The two cells refer to those two numbers only. In this case the two numbers are removed from the hints of other cells in their shared block.

The program is oriented to be event driven, where a cell is asked to remove its hint based on the logic of (1,2,3). In this process if a cell has only one hint remaining, it triggers a fix event. When the fix event is called, this cell is assigned the value and that value is removed from the hint of cells that share block with it. If at anytime any inconsistencies are found, the events return a “false”, indicating that Sudoku is not solvable. This is a fail fast technique and it quickly helps in determining if a Sudoku is non-solvable or not. Otherwise, we would wait for all cells to get filled and then realize that it failed (wasting precious time). A simple brute-force strategy is very easy to code, however the possibilities to check are huge. For e.g., we might end up checking O(9^81) possibilities (which can be prohibitive). The simplification algorithms (1) and (2) come to the rescue by drastically simplifying the Sudoku. For most of the easy problems - the recursive step (3) is not even triggered.

I searched online for Sudoku problems and found that Peter Norvig has a blog about it. He used algo(1,3) but not (2) and has shared a set of easy, hard, and hardest Sudoku puzzles. It amazes me to say that for most hard problem, I take at least 8-10 minutes (and sometimes a hint) but a computer can solve it in order of

0.1 ms. If you are interested in the maths of Sudoku (e.g. number of possible solutions), please check out the wikipedia page: maths of sudoku.

In the first analysis below, we see how many cells different algorithms are able to solve.

Input (1) (2a) (2b) (2) (1+2a) (1+2b) (*)
Fácil 35% 89% 54% 68% 70% 96% 94% 96%
Hard 25% 31% 26% 26% 26% 41% 31% 41%
Hardest 30% 45% 35% 35% 36% 50% 45% 50%

Here we see that algorithm (1) itself can solve 89% of the cells for easy problems. However, the joint application of (1+2) is able to solve 96% of the easy cells and 41% of the hard cells (and roughly provide a 10-15% improvement. This is a great simplification, especially for easy Sudoku problems. Amongst (2a) and (2b), I find (2a) to be a better strategy to run in conjunction with (1) as (1+2a) has same result as (*).

In the next analysis, we see how many hints are left after application of different algorithms

Input (1) (2a) (2b) (2) (1+2a) (1+2b) (*)
Fácil 474 29 126 89 82 10 16 10
Hard 544 230 252 260 250 184 228 181
Hardest 508 161 191 193 189 141 158 141

Similar analysis as above. 2a appears better than 2b. But (*) must better than (1) or (2). So combining these strategies is much more effective. We see that clearly (1+2a) as good as (*) so we can simply drop algorithm 2b. To see how much (if at all) there is a penalty of running the (2b) algo, we turn to time taken.

For measuring time, I use Java's System.NanoTime() function, which gives very precise timing. Experiments are run on my MacBook Pro with 2.6Ghz intel I7 processor. To get the timings, I solve a puzzle 500 times and take the average solving time. We get the following timings.

Fuerza bruta (1) (1+2a) (1+2b) (*)
Fácil 0.14 ms 0.04 ms 0.03 ms 0.03 ms 0.03 ms
Hard 21 ms 1.16 ms 0.44 ms 0.55 ms 0.42 ms
Hardest 0.61 ms 0.17 ms 0.20 ms 0.19 ms 0.22 ms

Clearly brute force without simplification is a bad idea. (*) improves timing over (1) for hard problems at least. For other problems, numbers are very close to conclude. My experience over other random problems that I tried, suggests that (*) leads to fastest simplification (i.e. reduced iterations) and hence better.

I also tried the problem that Peter mentions taking most time and noted its timing through my Java implementation. It took 6134 ms for algo (1), but only 10ms for (*). A clear evidence of the joint algorithms' usefulness. This improved timing comes from the fact that Sudoku gets drastically simplified before entering the brute-force stage and even for each choice of brute-force, it further gets simplified eliminating possible hints.

The Sudoku program is generic in the sense that it can solve 1x1, 4x4, 9x9, 16x16, … problems. A quick run of the program is as follows:


How to Find Equations of Tangent Lines and Normal Lines

Suppose $f(x) = x^3$. Find the equation of the tangent line at the point where $x = 2$ .

Find the point of tangency.

Find the value of the derivative at $x = 2$ .

$ f'(x) = 3x^2longrightarrow f'(2) = 3(2^2) = 12 $

The the slope of the tangent line is $m = 12$ .

Find the point-slope form of the line with slope $m = 12$ through the point $(2,8)$ .

$ begin y - y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - 8 & = 12(x-2) end $

For reference, here is the graph of the function and the tangent line we just found.

Ejemplo 2

Suppose $f(x) = x^2 - x$. Find the equation of the tangent line with slope $m = -3$ .

Find the $x$-value where $f'(x)$ equals the slope.

$ begin f'(x) & = 2x -1[6pt] -3 & = 2x -1[6pt] -2 & = 2x[6pt] x & = -1 end $

Find the point on the function where $x = -1$ .

Find the equation of the line through the point $(-1,2)$ with slope $m=-3$ .

$ begin y -y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - 2 & = -3(x - (-1))[6pt] y - 2 & = -3(x+1) end $

For reference, here's the graph of the function and the tangent line we just found.

Tangent Lines to Implicit Curves

The procedure doesn't change when working with implicitly defined curves.

Ejemplo 3

Suppose $x^2 + y^2 = 16$. Find the equation of the tangent line at $x = 2$ for $y>0$ .

Find the $y$-value of the point of tangency.

$ begin lue + y^2 & = 16[6pt] lue <2^2>+ y^2 & = 16[6pt] lue <4>+ y^2 & = 16[6pt] y^2 & = 12[6pt] y & = pmsqrt<12>[6pt] y & = pmsqrt<4cdot 3>[6pt] y & = pm2sqrt 3 end $

Since the problem states we are interested in $y>0$, we use $y = 2sqrt 3$ .

The point of tangency is $(2, 2sqrt 3)$ .

Find the equation for $frac$ .

Since the equation is implicitly defined, we use implicit differentiation.

Find the slope of the tangent line at the point of tangency.

At the point $(2,2sqrt 3)$ , the slope of the tangent line is

The slope of the tangent line is $m = -frac 3$ .

Find the equation of the tangent line through $(2,2sqrt 3)$ with a slope of $m=-frac 3$ .

At the point $(2,2sqrt 3)$ , the slope of the tangent line is

$ begin y - y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - 2sqrt 3 & = -frac 3(x-2) end $

The equation of the tangent line is $y - 2sqrt 3 = -frac 3(x-2)$

For reference, the graph of the curve and the tangent line we found is shown below.

Normal Lines

Suppose we have a a tangent line to a function. The function and the tangent line intersect at the point of tangency. The line through that same point that is perpendicular to the tangent line is called a línea normal.

Recall that when two lines are perpendicular, their slopes are negative reciprocals. Since the slope of the tangent line is $m = f'(x)$ , the slope of the normal line is $m = -frac 1 $ .

Ejemplo 4

Suppose $f(x) = cos x$. Find the equation of the line that is normal to the function at $x = frac pi 6$ .

Find the point on the function.

$ fleft(frac pi 6 ight) = cos frac pi 6 = frac 2 $

The point is $left(frac pi 6, frac 2 ight)$ .

Find the value of the derivative at $x = frac pi 6$ .

$ f'(x) = -sin xlongrightarrow f'left(frac pi 6 ight) = -sinfracpi 6 = -frac 1 2 $

The slope of the tangent line is $m = -frac 1 2$. Since we are looking for the line that is perpendicular to the tangent line, we want to use $m = 2$ .

Find the equation of the line through the point $left(frac pi 6, frac 2 ight)$ with a slope of $m =2$ .

$ begin y -y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - frac 2 & = 2left(x - frac pi 6 ight) end $

The line normal to the function at $x = frac pi 6$ is $y - frac 2 = 2left(x - frac pi 6 ight)$ .

For reference, here is the graph of the function and the normal line we found.


Ver el vídeo: Complexos - Exercício e da Aula 4: Domínios planos (Septiembre 2021).