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3.6: Problemas de optimización aplicada - Matemáticas


En la sección 3.3 aprendimos acerca de los valores extremos: los valores más grande y más pequeño que alcanza una función en un intervalo. En esta sección, aplicamos los conceptos de valores extremos para resolver "problemas de palabras", es decir, problemas planteados en términos de situaciones que requieren que creemos el marco matemático apropiado para resolver el problema.

Comenzamos con un ejemplo clásico al que sigue una discusión sobre el tema de la optimización.

Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Optimización: perímetro y área

Un hombre tiene 100 pies de cerca, un patio grande y un perro pequeño. Quiere crear un recinto rectangular para su perro con la cerca que proporcione el área máxima. ¿Qué dimensiones proporcionan el área máxima?

Solución

Es probable que uno pueda adivinar la respuesta correcta, eso es genial. Procederemos a mostrar cómo el cálculo puede proporcionar esta respuesta en un contexto que prueba que esta respuesta es correcta.

Ayuda a hacer un bosquejo de la situación. Nuestro recinto se dibuja dos veces en la Figura ( PageIndex {1} ), ya sea con césped verde y bonitas tablas de cerca o como un simple rectángulo. De cualquier manera, dibujar un rectángulo nos obliga a darnos cuenta de que necesitamos conocer las dimensiones de este rectángulo para poder crear una función de área; después de todo, estamos tratando de maximizar el área.

Dejamos que (x ) y (y ) denoten las longitudes de los lados del rectángulo. Claramente,

[ text {Área} = xy. ]

Todavía no sabemos cómo manejar funciones con 2 variables; necesitamos reducir esto a una sola variable. Sabemos más sobre la situación: el hombre tiene 30 metros de cerca. Si sabemos que el perímetro del rectángulo debe ser 100, podemos crear otra ecuación:

[ text {Perímetro} = 100 = 2x + 2y. ]

Ahora tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas. En la última ecuación, resolvemos (y ):

[y = 50-x. ]

Ahora sustituye esta expresión por (y ) en la ecuación del área:

[ text {Área} = A (x) = x (50-x). ]

Tenga en cuenta que ahora tenemos una ecuación de una variable; realmente podemos llamar al Área una función de (x ).

Esta función solo tiene sentido cuando (0 leq x leq 50 ), de lo contrario obtenemos valores negativos de área. Entonces encontramos los valores extremos de (A (x) ) en el intervalo ([0,50] ).

Para encontrar los puntos críticos, tomamos la derivada de (A (x) ) y la igualamos a 0, luego resolvemos para (x ).

[ begin {align} A (x) & = x (50-x) & = 50x-x ^ 2 A '(x) & = 50-2x end {align} ]

Resolvemos (50-2x = 0 ) para encontrar (x = 25 ); este es el único punto crítico. Evaluamos (A (x) ) en los puntos finales de nuestro intervalo y en este punto crítico para encontrar los valores extremos; en este caso, lo único que nos importa es el máximo.

Claramente (A (0) = 0 ) y (A (50) = 0 ), mientras que (A (25) = 625 text {ft} ^ 2 ). Este es el máximo. Como antes encontramos (y = 50-x ), encontramos que (y ) también es (25 ). Por lo tanto, las dimensiones del recinto rectangular con un perímetro de 100 pies con área máxima es un cuadrado, con lados de 25 pies de largo.

Este ejemplo es muy simplista y un poco artificial. (Después de todo, la mayoría de las personas crean un diseño y luego compran cercas para satisfacer sus necesidades, y no compran cercas y planifican más tarde). Pero modela bien el proceso necesario: crea ecuaciones que describen una situación, reduce una ecuación a una sola variable, luego encuentre el valor extremo necesario.

"En la vida real", los problemas son mucho más complejos. Las ecuaciones son a menudo no reducible a una sola variable (por lo tanto, se necesita el cálculo de múltiples variables) y las ecuaciones en sí mismas pueden ser difíciles de formar. Comprender los principios aquí proporcionará una buena base para las matemáticas que probablemente encontrará más adelante.

Aquí describimos el proceso básico para resolver estos problemas de optimización.

Idea clave 6: solución de problemas de optimización

  1. Comprende el problema. Identifique claramente qué cantidad debe maximizarse o minimizarse. Haga un bosquejo si es útil.
  2. Cree ecuaciones relevantes para el contexto del problema, utilizando la información proporcionada. (Uno de estos debe describir la cantidad que se optimizará. A esto lo llamaremos ecuación fundamental.)
  3. Si la ecuación fundamental define la cantidad a optimizar como una función de más de una variable, redúzcala a una función de una sola variable usando sustituciones derivadas de las otras ecuaciones.
  4. Identifique el dominio de esta función, teniendo en cuenta el contexto del problema.
  5. Encuentre los valores extremos de esta función en el dominio determinado.
  6. Identifique los valores de todas las cantidades relevantes del problema.

Usaremos la Idea clave 6 en una variedad de ejemplos.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Optimización: perímetro y área

Aquí hay otro problema de cálculo clásico: una mujer tiene una cerca de 100 pies, un perro pequeño y un patio grande que contiene un arroyo (que es en su mayoría recto). Quiere crear un recinto rectangular con un área máxima que use el arroyo como un lado. (Aparentemente, su perro no se aleja nadando.) ¿Qué dimensiones proporcionan el área máxima?

Solución

Seguiremos los pasos descritos en la Idea clave 6.

  1. Nosotros maximizamos área. Un boceto de la región ayudará; La figura ( PageIndex {2} ) da dos bocetos del área cerrada propuesta. Una característica clave de los bocetos es reconocer que un lado no está vallado.
  1. Queremos maximizar el área; como en el ejemplo anterior, [ text {Area} = xy. [Esta es nuestra ecuación fundamental. Esto define el área como una función de dos variables, por lo que necesitamos otra ecuación para reducirla a una variable.
    Apelamos nuevamente al perímetro; aquí el perímetro es [ text {Perímetro} = 100 = x + 2y. [Observe cómo esto es diferente a nuestro ejemplo anterior.
  2. Ahora reducimos la ecuación fundamental a una sola variable. En la ecuación del perímetro, resuelve para (y ): (y = 50 - x / 2 ). Ahora podemos escribir Área como [ text {Área} = A (x) = x (50-x / 2) = 50x - frac12x ^ 2. [El área ahora se define como una función de una variable.
  3. Queremos que el área no sea negativa. Dado que (A (x) = x (50-x / 2) ), queremos (x geq 0 ) y (50-x / 2 geq 0 ). La última desigualdad implica que (x leq100 ), entonces (0 leq x leq 100 ).
  4. Ahora encontramos los valores extremos. En los puntos finales, se encuentra el mínimo, dando un área de 0.
    Encuentra los puntos críticos. Tenemos (A '(x) = 50-x ); establecer esto igual a 0 y resolver para (x ) devuelve (x = 50 ). Esto da un área de [A (50) = 50 (25) = 1250. [
(X)(Hacha))
00
50(50)(25)
1000
  1. Anteriormente establecimos (y = 50-x / 2 ); así (y = 25 ). Por lo tanto, nuestro rectángulo tendrá dos lados de longitud 25 y un lado de longitud 50, con un área total de 1250 pies (^ 2 ).

Tenga en cuenta al resolver estos problemas que estamos practicando una proceso; es decir, estamos aprendiendo a convertir una situación en un sistema de ecuaciones. Estas ecuaciones nos permiten escribir una cierta cantidad en función de una variable, que luego optimizamos.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Optimización: minimización de costos

Es necesario tender una línea eléctrica desde una central eléctrica ubicada en la playa hasta una instalación en alta mar. La figura ( PageIndex {3} ) muestra las distancias entre la central eléctrica y la instalación.

Cuesta $ 50 / pie. para instalar una línea eléctrica a lo largo del terreno y $ 130 / pie. para ejecutar una línea eléctrica bajo el agua. ¿Qué parte de la línea eléctrica se debe instalar a lo largo del terreno para minimizar el costo total? ¿Cuál es el costo mínimo?

Solución

Seguiremos la estrategia de la Idea Clave 6 implícitamente, sin enumerar específicamente los pasos.

Hay dos soluciones inmediatas que podríamos considerar, cada una de las cuales rechazaremos a través del "sentido común". Primero, podríamos minimizar la distancia conectando directamente las dos ubicaciones con una línea recta. Sin embargo, esto requiere que todo el cable se coloque bajo el agua, la opción más costosa. En segundo lugar, podríamos minimizar la longitud bajo el agua colocando un cable a lo largo de 5000 pies a lo largo de la playa, directamente frente a la instalación en alta mar. Esto tiene el efecto no deseado de tener la distancia más larga de todas, probablemente asegurando un costo no mínimo.

La solución óptima probablemente sea que la línea se extienda por el suelo durante un tiempo y luego bajo el agua, como indica la figura. Necesitamos etiquetar nuestras distancias desconocidas: la distancia recorrida por el suelo y la distancia recorrida bajo el agua. Reconociendo que la distancia bajo el agua se puede medir como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, elegimos etiquetar las distancias como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Al elegir (x ) como hicimos, simplificamos la expresión debajo de la raíz cuadrada. Ahora creamos la función de costo.

[
begin {array} {ccccc}
text {Costo} & = & text {costo de la tierra} & + & text {costo del agua}
& & text { $ 50} times text {distancia terrestre} & + & text { $ 130} times text {distancia del agua}
& & 50 (5000-x) & + & 130 sqrt {x ^ 2 + 1000 ^ 2}.
end {matriz}
]

Entonces tenemos (c (x) = 50 (5000-x) + 130 sqrt {x ^ 2 + 1000 ^ 2} ). Esta función solo tiene sentido en el intervalo ([0,5000] ). Si bien estamos bastante seguros de que los puntos finales no darán un costo mínimo, aún evaluamos (c (x) ) en cada uno para verificar.

[c (0) = 380,000 quad quad c (5000) approx 662,873. ]

Ahora encontramos los valores críticos de (c (x) ). Calculamos (c '(x) ) como

[c '(x) = -50+ frac {130x} { sqrt {x ^ 2 + 1000 ^ 2}}. ]

Reconozca que esto nunca está indefinido. Estableciendo (c '(x) = 0 ) y despejando (x ), tenemos:

[ begin {align} -50+ frac {130x} { sqrt {x ^ 2 + 1000 ^ 2}} & = 0 frac {130x} { sqrt {x ^ 2 + 1000 ^ 2} } & = 50 frac {130 ^ 2x ^ 2} {x ^ 2 + 1000 ^ 2} & = 50 ^ 2 130 ^ 2x ^ 2 & = 50 ^ 2 (x ^ 2 + 1000 ^ 2) 130 ^ 2x ^ 2-50 ^ 2x ^ 2 & = 50 ^ 2 cdot1000 ^ 2 (130 ^ 2-50 ^ 2) x ^ 2 & = 50,000 ^ 2 x ^ 2 & = frac {50,000 ^ 2} {130 ^ 2-50 ^ 2} x & = frac {50,000} { sqrt {130 ^ 2-50 ^ 2}} x & = frac {50,000} {120} = 416 frac23 aprox 416,67. end {align} ]

Evaluar (c (x) ) en (x = 416.67 ) da un costo de aproximadamente $ 370 000. La distancia a lo largo de la tierra es de (5000-416.67 = 4583.33 ) pies, y la distancia bajo el agua es ( sqrt {416.67 ^ 2 + 1000 ^ 2} approx 1083 ) pies.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): maximizar el volumen de una caja

Se debe hacer una caja abierta con (24 ) pulgada por (36 ) pulgada del pedazo de cartón quitando un cuadrado de cada esquina de la caja y doblando las solapas de cada lado. ¿Qué tamaño de cuadrado se debe cortar de cada esquina para obtener una caja con el volumen máximo?

Solución

Paso 1: Sea (x ) la longitud del lado del cuadrado que se eliminará de cada esquina (Figura ( PageIndex {3} )). Luego, las cuatro solapas restantes se pueden plegar para formar una caja abierta. Sea (V ) el volumen de la caja resultante.

Paso 2: Estamos intentando maximizar el volumen de una caja. Por tanto, el problema es maximizar (V ).

Paso 3: Como se mencionó en el paso (2 ), estamos tratando de maximizar el volumen de una caja. El volumen de una caja es

[V = L⋅W⋅H nonumber, ]

donde (L, W, ) y (H ) son el largo, ancho y alto, respectivamente.

Paso 4: De la Figura ( PageIndex {3} ), vemos que la altura de la caja es (x ) pulgadas, la longitud es (36−2x ) pulgadas y el ancho es (24 −2x ) pulgadas. Por tanto, el volumen de la caja es

[ begin {align *} V (x) & = (36−2x) (24−2x) x [5pt] & = 4x ^ 3−120x ^ 2 + 864x end {align *}. ]

Paso 5: Para determinar el dominio de consideración, examinemos la Figura ( PageIndex {3} ). Ciertamente, necesitamos (x> 0. ) Además, la longitud del lado del cuadrado no puede ser mayor o igual a la mitad de la longitud del lado más corto, (24 ) pulg .; de lo contrario, una de las solapas quedaría completamente cortada. Por lo tanto, estamos tratando de determinar si hay un volumen máximo de la caja para (x ) sobre el intervalo abierto ((0,12). ) Dado que (V ) es una función continua sobre el intervalo cerrado ([0,12] ), sabemos que (V ) tendrá un máximo absoluto sobre el intervalo cerrado. Por lo tanto, consideramos (V ) sobre el intervalo cerrado ([0,12] ) y verificamos si el máximo absoluto ocurre en un punto interior.

Paso 6: Dado que (V (x) ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado ([0,12], V ) debe tener un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). Dado que (V (x) = 0 ) en los puntos finales y (V (x)> 0 ) para (0

(V ′ (x) = 12x ^ 2−240x + 864. )

Para encontrar los puntos críticos, necesitamos resolver la ecuación

(12x ^ 2−240x + 864 = 0. )

Dividiendo ambos lados de esta ecuación por (12 ), el problema se simplifica para resolver la ecuación

(x ^ 2−20x + 72 = 0. )

Usando la fórmula cuadrática, encontramos que los puntos críticos son

[ begin {align *} x & = dfrac {20 ± sqrt {(- 20) ^ 2−4 (1) (72)}} {2} [5pt] & = dfrac {20 ± sqrt {112}} {2} [5pt] & = dfrac {20 ± 4 sqrt {7}} {2} [5pt] & = 10 ± 2 sqrt {7} end {align * }. ]

Dado que (10 ​​+ 2 sqrt {7} ) no está en el dominio de consideración, el único punto crítico que debemos considerar es (10−2 sqrt {7} ). Por lo tanto, el volumen se maximiza si dejamos (x = 10−2 sqrt {7} , in. ) El volumen máximo es

[V (10−2 sqrt {7}) = 640 + 448 sqrt {7} ≈1825 , pulg. ^ 3 nonumber ]

como se muestra en el siguiente gráfico.

Vea un video sobre cómo optimizar el volumen de una caja.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Suponga que las dimensiones del cartón en el Ejemplo ( PageIndex {2} ) son 20 pulgadas por 30 pulgadas. Sea (x ) la longitud del lado de cada cuadrado y escriba el volumen de la caja abierta como un función de (x ). Determine el dominio de consideración para (x ).

Insinuación

El volumen de la caja es (L⋅W⋅H. )

Respuesta

(V (x) = x (20−2x) (30−2x). ) El dominio es ([0,10] ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Minimizar el tiempo de viaje

Una isla está (2 , mi ) al norte de su punto más cercano a lo largo de una línea costera recta. Un visitante se aloja en una cabaña en la orilla que está (6 , mi ) al oeste de ese punto. El visitante tiene previsto ir de la cabaña a la isla. Suponga que el visitante corre a una velocidad de (8 , mph ) y nada a una velocidad de (3 , mph ). ¿Qué distancia debe correr el visitante antes de nadar para minimizar el tiempo que tarda en llegar a la isla?

Solución

Paso 1: Sea (x ) la distancia recorrida y (y ) la distancia nadando (Figura ( PageIndex {5} )). Sea (T ) el tiempo que se tarda en llegar de la cabaña a la isla.

Paso 2: El problema es minimizar (T ).

Paso 3: Para encontrar el tiempo dedicado a viajar desde la cabina a la isla, agregue el tiempo dedicado a correr y el tiempo dedicado a nadar. Dado que Distancia = Velocidad × Tiempo ((D = R × T), ) el tiempo dedicado a correr es

(T_ {corriendo} = dfrac {D_ {corriendo}} {R_ {corriendo}} = dfrac {x} {8} ),

y el tiempo que pasas nadando es

(T_ {natación} = dfrac {D_ {natación}} {R_ {natación}} = dfrac {y} {3} ).

Por lo tanto, el tiempo total dedicado a viajar es

(T = dfrac {x} {8} + dfrac {y} {3} ).

Paso 4: De la Figura ( PageIndex {5} ), el segmento de línea de (y ) millas forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud (2mi ) y (6 − xmi ). Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras, (2 ^ 2 + (6 − x) ^ 2 = y ^ 2 ), y obtenemos (y = sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4} ). Por lo tanto, el tiempo total dedicado a viajar viene dado por la función

(T (x) = dfrac {x} {8} + dfrac { sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4}} {3} ).

Paso 5: De la Figura ( PageIndex {5} ), vemos que (0≤x≤6 ). Por lo tanto, ([0,6] ) es el dominio de consideración.

Paso 6: Dado que (T (x) ) es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, tiene un máximo y un mínimo. Comencemos por buscar cualquier punto crítico de (T ) en el intervalo ([0,6]. ) La derivada es

[ begin {align *} T ′ (x) & = dfrac {1} {8} - dfrac {1} {2} dfrac {[(6 − x) ^ 2 + 4] ^ {- 1 / 2}} {3} ⋅2 (6 − x) [5pt] & = dfrac {1} {8} - dfrac {(6 − x)} {3 sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4}} end {align *} ]

Si (T ′ (x) = 0, ), entonces

[ dfrac {1} {8} = dfrac {6 − x} {3 sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4}} nonumber ]

Por lo tanto,

[3 sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4} = 8 (6 − x). sin número]

Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, vemos que si (x ) satisface esta ecuación, entonces (x ) debe satisfacer

[9 [(6 − x) ^ 2 + 4] = 64 (6 − x) ^ 2, nonumber ]

lo que implica

[55 (6 − x) ^ 2 = 36. sin número]

Concluimos que si (x ) es un punto crítico, entonces (x ) satisface

[(x − 6) ^ 2 = dfrac {36} {55}. sin número]

Por lo tanto, las posibilidades de puntos críticos son

[(x = 6 ± dfrac {6} { sqrt {55}}. nonumber ]

Dado que (x = 6 + 6 / sqrt {55} ) no está en el dominio, no es posible que exista un punto crítico. Por otro lado, (x = 6−6 / sqrt {55} ) está en el dominio.Dado que cuadramos ambos lados de la ecuación para llegar a los posibles puntos críticos, queda verificar que (x = 6−6 / sqrt {55} ) satisface la ecuación. Dado que (x = 6−6 / sqrt {55} ) satisface esa ecuación, concluimos que (x = 6−6 / sqrt {55} ) es un punto crítico, y es el único . Para justificar que el tiempo se minimiza para este valor de x, solo necesitamos verificar los valores de (T (x) ) en los puntos finales (x = 0 ) y (x = 6 ), y comparar ellos con el valor de (T (x) ) en el punto crítico (x = 6−6 / sqrt {55} ). Encontramos que (T (0) ≈2.108h ) y (T (6) ≈1.417h ), mientras que

[T (6−6 / sqrt {55}) ≈1,368h. sin número]

Por lo tanto, concluimos que (T ) tiene un mínimo local en (x≈5.19 mi ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Suponga que la isla está a (1 , mi ) de la costa y que la distancia desde la cabaña al punto de la costa más cercano a la isla es (15 , mi ). Suponga que un visitante nada a una velocidad de (2,5 , mph ) y corre a una velocidad de (6 , mph ). Sea (x ) la distancia que el visitante correrá antes de nadar, y encuentre una función para el tiempo que le toma al visitante llegar desde la cabaña a la isla.

Insinuación

El tiempo (T = T_ {correr} + T_ {nadar}. )

Respuesta

[T (x) = dfrac {x} {6} + dfrac { sqrt {(15 − x) ^ 2 + 1}} {2.5} nonumber ]

En los negocios, las empresas están interesadas en maximizando los ingresos. En el siguiente ejemplo, consideramos un escenario en el que una empresa ha recopilado datos sobre cuántos coches puede arrendar, según el precio que cobra a sus clientes por alquilar un coche. Usemos estos datos para determinar el precio que la empresa debe cobrar para maximizar la cantidad de dinero que genera.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): maximizar los ingresos

Los propietarios de una empresa de alquiler de automóviles han determinado que si cobran a los clientes (p ) dólares por día por alquilar un automóvil, donde (50≤p≤200 ), la cantidad de automóviles (n ) que alquilan por día se puede modelar mediante la función lineal (n (p) = 1000−5p ). Si cobran ($ 50 ) por día o menos, alquilarán todos sus autos. Si cobran ($ 200 ) por día o más, no alquilarán ningún automóvil. Suponiendo que los propietarios planean cobrar a los clientes entre ($ 50 ) por día y ($ 200 ) por día por alquilar un automóvil, ¿cuánto deberían cobrar para maximizar sus ingresos?

Solución

Paso 1: Sea (p ) el precio cobrado por automóvil por día y sea n el número de automóviles alquilados por día. Sea (R ) los ingresos por día.

Paso 2: El problema es maximizar (R. )

Paso 3: El ingreso (por día) es igual a la cantidad de autos alquilados por día multiplicado por el precio cobrado por auto por día, es decir, (R = n × p. )

Paso 4: Dado que el número de automóviles alquilados por día se modela mediante la función lineal (n (p) = 1000−5p, ) los ingresos (R ) se pueden representar mediante la función

[ begin {align *} R (p) & = n × p [5pt] & = (1000−5p) p [5pt] & = - 5p ^ 2 + 1000p. end {align *} ]

Paso 5: Dado que los propietarios planean cobrar entre ($ 50 ) por automóvil por día y ($ 200 ) por automóvil por día, el problema es encontrar los ingresos máximos (R (p) ) para (p ) en el intervalo cerrado ([50,200] ).

Paso 6: Dado que (R ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado ([50,200] ), tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en ese intervalo. Para encontrar el valor máximo, busque puntos críticos. La derivada es (R ′ (p) = - 10p + 1000. ) Por lo tanto, el punto crítico es (p = 100 ) Cuando (p = 100, R (100) = $ 50 000. ) Cuando ( p = 50, R (p) = $ 37,500 ). Cuando (p = 200, R (p) = $ 0 ).

Por lo tanto, el máximo absoluto ocurre en (p = $ 100 ). La empresa de alquiler de automóviles debe cobrar ($ 100 ) por día por automóvil para maximizar los ingresos, como se muestra en la siguiente figura.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Una empresa de alquiler de coches cobra a sus clientes (p ) dólares por día, donde (60≤p≤150 ). Se ha descubierto que el número de coches alquilados por día puede modelarse mediante la función lineal (n (p) = 750−5p. ) ¿Cuánto debería cobrar la empresa a cada cliente para maximizar los ingresos?

Insinuación

(R (p) = n × p, ) donde (n ) es el número de automóviles alquilados y (p ) es el precio que se cobra por automóvil.

Respuesta

La empresa debería cobrar ($ 75 ) por automóvil por día.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): maximizar el área de un rectángulo inscrito

Se inscribe un rectángulo en la elipse

[ dfrac {x ^ 2} {4} + y ^ 2 = 1. sin número ]

¿Cuáles deberían ser las dimensiones del rectángulo para maximizar su área? cual es el area maxima?

Solución

Paso 1: Para que un rectángulo se inscriba en la elipse, los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes. Sea (L ) la longitud del rectángulo y (W ) su ancho. Sea (A ) el área del rectángulo.

Paso 2: El problema es maximizar (A ).

Paso 3: El área del rectángulo es (A = LW. )

Paso 4: Sea ((x, y) ) la esquina del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ). Podemos escribir longitud (L = 2x ) y ancho (W = 2y ). Dado que ( dfrac {x ^ 2} {4 + y ^ 2 = 1} ) y (y> 0 ), tenemos (y = sqrt { dfrac {1 − x ^ 2} {4 }} ). Por lo tanto, el área es

(A = LW = (2x) (2y) = 4x sqrt { dfrac {1 − x ^ 2} {4}} = 2x sqrt {4 − x ^ 2} )

Paso 5: De la Figura ( PageIndex {7} ), vemos que para inscribir un rectángulo en la elipse, la coordenada (x ) - de la esquina en el primer cuadrante debe satisfacer (0

Paso 6: Como se mencionó anteriormente, (A (x) ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado ([0,2] ). Por tanto, tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). En los puntos finales (x = 0 ) y (x = 2, A (x) = 0. ) Para (0 0 ).

Por lo tanto, el máximo debe ocurrir en un punto crítico. Tomando la derivada de (A (x) ), obtenemos

[ begin {align *} A '(x) & = 2 sqrt {4 − x ^ 2} + 2x⋅ dfrac {1} {2 sqrt {4 − x ^ 2}} (- 2x) [5pt] & = 2 sqrt {4 − x ^ 2} - dfrac {2x ^ 2} { sqrt {4 − x ^ 2}} [5pt] & = dfrac {8−4x ^ 2 } { sqrt {4 − x ^ 2}}. end {alinear *} ]

Para encontrar puntos críticos, necesitamos encontrar donde (A '(x) = 0. ) Podemos ver que si (x ) es una solución de

( dfrac {8−4x ^ 2} { sqrt {4 − x ^ 2}} = 0 ),

entonces (x ) debe satisfacer

[8−4x ^ 2 = 0. label {eq5a} ]

Por lo tanto, (x ^ 2 = 2. ) Por lo tanto, (x = ± sqrt {2} ) son las posibles soluciones de la Ecuación. Como estamos considerando (x ) en el intervalo ([0,2] ), (x = sqrt {2} ) es una posibilidad para un punto crítico, pero (x = - sqrt { 2} ) no lo es. Por lo tanto, verificamos si ( sqrt {2} ) es una solución de la ecuación. Dado que (x = sqrt {2} ) es una solución de la ecuación ref {eq5a}, concluimos que ( sqrt {2} ) es el único punto crítico de (A (x) ) en el intervalo ([0,2] ).

Por lo tanto, (A (x) ) debe tener un máximo absoluto en el punto crítico (x = sqrt {2} ). Para determinar las dimensiones del rectángulo, necesitamos encontrar la longitud (L ) y el ancho (W ). Si (x = sqrt {2} ) entonces

[y = sqrt {1− dfrac {( sqrt {2}) ^ 2} {4}} = sqrt {1− dfrac {1} {2}} = dfrac {1} { sqrt {2}}. ]

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son (L = 2x = 2 sqrt {2} ) y (W = 2y = dfrac {2} { sqrt {2}} = sqrt {2} ). El área de este rectángulo es (A = LW = (2 sqrt {2}) ( sqrt {2}) = 4. )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Modifique la función de área (A ) si el rectángulo se va a inscribir en el círculo unitario (x ^ 2 + y2 ^ = 1 ). ¿Cuál es el dominio de consideración?

Insinuación

Si ((x, y) ) es el vértice del cuadrado que se encuentra en el primer cuadrante, entonces el área del cuadrado es (A = (2x) (2y) = 4xy. )

Respuesta

(A (x) = 4x sqrt {1 − x ^ 2}. ) El dominio de consideración es ([0,1] ).

Solución de problemas de optimización cuando el intervalo no está cerrado o no está acotado

En los ejemplos anteriores, consideramos funciones en dominios cerrados y delimitados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, se nos garantizó que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora funciones para las que el dominio no es cerrado ni acotado.

Muchas funciones todavía tienen al menos un extremo absoluto, incluso si el dominio no está cerrado o el dominio no está acotado. Por ejemplo, la función (f (x) = x ^ 2 + 4 ) sobre ((- ∞, ∞) ) tiene un mínimo absoluto de (4 ) en (x = 0 ). Por lo tanto, todavía podemos considerar funciones sobre dominios ilimitados o intervalos abiertos y determinar si tienen extremos absolutos. En el siguiente ejemplo, intentamos minimizar una función en un dominio ilimitado. Veremos que, aunque el dominio de consideración es ((0, ∞), ) la función tiene un mínimo absoluto.

En el siguiente ejemplo, buscamos construir una caja de menor área de superficie con un volumen prescrito. No es difícil mostrar que para una caja con tapa cerrada, por simetría, entre todas las cajas con un volumen específico, un cubo tendrá el área de superficie más pequeña. En consecuencia, consideramos el problema modificado de determinar qué caja abierta con un volumen específico tiene el área de superficie más pequeña.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Minimizar el área de superficie

Se construirá una caja rectangular con una base cuadrada, una parte superior abierta y un volumen de (216 pulg. ^ 3 ). ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar el área de superficie de la caja? ¿Cuál es la superficie mínima?

Solución

Paso 1: Dibuja una caja rectangular e introduce la variable (x ) para representar la longitud de cada lado de la base cuadrada; deje que (y ) represente la altura de la caja. Sea (S ) el área de la superficie de la caja abierta.

Paso 2: Necesitamos minimizar el área de superficie. Por lo tanto, necesitamos minimizar (S ).

Paso 3: Dado que la caja tiene la parte superior abierta, solo necesitamos determinar el área de los cuatro lados verticales y la base. El área de cada uno de los cuatro lados verticales es (x⋅y. ) El área de la base es (x ^ 2 ). Por lo tanto, el área de la superficie de la caja es

(S = 4xy + x ^ 2 ).

Paso 4: Dado que el volumen de esta caja es (x ^ 2y ) y el volumen se da como (216in. ^ 3 ), la ecuación de restricción es

(x ^ 2y = 216 ).

Resolviendo la ecuación de restricción para (y ), tenemos (y = dfrac {216} {x ^ 2} ). Por lo tanto, podemos escribir el área de la superficie como una función de (x ) solamente:

[S (x) = 4x ( dfrac {216} {x ^ 2}) + x ^ 2. ]

Por lo tanto, (S (x) = dfrac {864} {x} + x ^ 2 ).

Paso 5: Dado que estamos requiriendo que (x ^ 2y = 216 ), no podemos tener (x = 0 ). Por lo tanto, necesitamos (x> 0 ). Por otro lado, se permite que (x ) tenga cualquier valor positivo. Tenga en cuenta que a medida que (x ) se vuelve grande, la altura de la caja (y ) se vuelve correspondientemente pequeña de modo que (x ^ 2y = 216 ). De manera similar, a medida que (x ) se vuelve pequeño, la altura de la caja se vuelve correspondientemente grande. Concluimos que el dominio es el intervalo abierto e ilimitado ((0, ∞) ). Tenga en cuenta que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no podemos reducir nuestro problema a buscar un máximo absoluto o un mínimo absoluto en un intervalo cerrado y acotado. Sin embargo, en el siguiente paso, descubrimos por qué esta función debe tener un mínimo absoluto en el intervalo ((0, ∞). )

Paso 6: Note que como (x → 0 + ^, S (x) → ∞. ) También, como (x → ∞, S (x) → ∞ ). Dado que (S ) es una función continua que se acerca al infinito en los extremos, debe tener un mínimo absoluto en algún (x∈ (0, ∞) ). Este mínimo debe ocurrir en un punto crítico de (S ). La derivada es

[S ′ ​​(x) = - dfrac {864} {x ^ 2} + 2x. ]

Por lo tanto, (S ′ (x) = 0 ) cuando (2x = dfrac {864} {x ^ 2} ). Resolviendo esta ecuación para (x ), obtenemos (x ^ 3 = 432 ), entonces (x = sqrt [3] {432} = 6 sqrt [3] {2}. ) Dado que esto es el único punto crítico de (S ), el mínimo absoluto debe ocurrir en (x = 6 sqrt [3] {2} ) (ver Figura ( PageIndex {9} )).

Cuando (x = 6 sqrt [3] {2} ), (y = dfrac {216} {(6 sqrt [3] {2}) ^ 2} = 3 sqrt [3] {2 }en). Por lo tanto, las dimensiones de la caja deben ser (x = 6 sqrt [3] {2} in. ) Y (y = 3 sqrt [3] {2} in. ) Con estas dimensiones, la superficie el área es

[S (6 sqrt [3] {2}) = dfrac {864} {6 sqrt [3] {2}} + (6 sqrt [3] {2}) ^ 2 = 108 sqrt [ 3] {4} pulg. ^ 2 ]

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Considere la misma caja abierta, que debe tener un volumen (216 pulg. ^ 3 ). Suponga que el costo del material para la base es (20 ¢ / pulgada ^ 2 ) y el costo del material para los lados es (30 ¢ / pulgada ^ 2 ) y estamos tratando de minimizar el costo de esta caja. Escribe el costo en función de las longitudes de los lados de la base. (Sea (x ) la longitud del lado de la base y (y ) la altura de la caja).

Insinuación

Si el costo de uno de los lados es (30 ¢ / pulg. ^ 2, ) el costo de ese lado es (0.30xy. )

Respuesta

(c (x) = dfrac {259.2} {x} + 0.2x ^ 2 ) dólares

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Minimización de costos

Una lata cilíndrica con la parte superior abierta debe tener un volumen (300 , cm ^ 3 ). El material para el fondo de la lata cuesta (10 ​​, cents / cm ^ 2 ), para su lado curvo cuesta (5 , cents / cm ^ 2. ) Encuentra las dimensiones de la lata que minimizan el costo. de la lata.

Solución

Paso 1: Dibuja una lata cilíndrica e introduce la variable (r ) para representar el radio de la base circular; sea ​​ (h ) la altura de la lata. Sea (C ) el costo de producir una lata.

Paso 2: Dado: Volumen de la lata (V = 300 ). Necesitamos minimizar el costo. Por lo tanto, necesitamos minimizar (C ).

Paso 3: Dado que la lata tiene la parte superior abierta, solo necesitamos determinar el costo para producir el fondo y el costo para producir el costado.

El área de la superficie del lado curvo es (2 pi rh ) El área del fondo es ( pi r ^ 2 ). Por lo tanto, el costo de producir la lata es

(C = (5) 2 pi rh + (10) pi r ^ 2 ), con (r geq 0 ).

Paso 4: Dado que el volumen de esta lata ( pi r ^ 2 h ) y el volumen se da como (300 ), la ecuación de restricción es

( pi r ^ 2 h = 300 ).

Resolviendo la ecuación de restricción para (h ), tenemos (h = dfrac {300} { pi r ^ 2} ). Por lo tanto, podemos escribir el costo en función de (r ) únicamente:

(C = (5) 2 pi r dfrac {300} { pi r ^ 2} + (10) pi r ^ 2 ).

Por lo tanto, (C = dfrac {3000} {r} + (10) pi r ^ 2 ).

Paso 5: Dado que estamos requiriendo que ( pi r ^ 2 h = 300 ), no podemos tener (r = 0 ). Por lo tanto, necesitamos (r> 0 ). Por otro lado, se permite que (r ) tenga cualquier valor positivo. Tenga en cuenta que a medida que (r ) se vuelve grande, la altura de la lata (h ) se vuelve correspondientemente pequeña de modo que ( pi r ^ 2 h = 300 ). De manera similar, a medida que (r ) se vuelve pequeño, la altura de la lata se vuelve correspondientemente grande. En el siguiente paso, descubrimos por qué esta función debe tener un mínimo absoluto en el intervalo ((0, ∞). )

Paso 6: Note que como (x → 0 + ^, C (r) → ∞. ) También, como (r → ∞, C (r) → ∞ ). Dado que (C ) es una función continua que se acerca al infinito en los extremos, debe tener un mínimo absoluto en algún (r∈ (0, ∞) ). Este mínimo debe ocurrir en un punto crítico de (C ). La derivada es

[C ′ (x) = - dfrac {3000} {r ^ 2} + 2r. ]

Por lo tanto, (C ′ (r) = 0 ) cuando (2r = dfrac {3000} {r ^ 2} ). Resolviendo esta ecuación para (r ), obtenemos (r ^ 3 = 1500 ), entonces (r = sqrt [3] {1500}. ) Dado que este es el único punto crítico de (C ), el mínimo absoluto debe ocurrir en (r = sqrt [3] {1500} ).

Cuando (r = sqrt [3] {1500} ), (h = dfrac {300} { pi { sqrt [3] {1500}} ^ 2} ). Por lo tanto, las dimensiones de la lata deben ser (r = sqrt [3] {1500} pulg. ) Y (h = dfrac {300} { pi { sqrt [3] {1500}} ^ 2} ).

Con estas dimensiones, el costo es

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Las latas de gaseosas para contener (300 ) ml tienen la forma de cilindros circulares rectos. Encuentra las dimensiones de la lata que minimizan el área de la superficie.

Respuesta

Agregue el texto de respuesta aquí y se ocultará automáticamente si tiene una plantilla "Autonum" activa en la página.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): punto más cercano

Encuentra el punto en la curva (y = frac {-x ^ 2} {3} ) que está más cerca del punto (P (4, -1). )

En los ejercicios, verá una variedad de situaciones que requieren que combine las habilidades de resolución de problemas con el cálculo. Centrarse en el proceso; aprenda a formar ecuaciones a partir de situaciones que puedan manipularse para crear lo que necesita. Evite memorizar cómo resolver "este tipo de problema" en lugar de "ese tipo de problema". Aprender un proceso lo beneficiará mucho más que memorizar una técnica específica.

La siguiente sección presenta nuestra aplicación final de la derivada: diferenciales. Dado (y = f (x) ), ofrecen un método para aproximar el cambio en (y ) después de que (x ) cambia en una pequeña cantidad.

Conceptos clave

  • Para resolver un problema de optimización, comience dibujando una imagen e introduciendo variables.
  • Encuentre una ecuación que relacione las variables.
  • Encuentre una función de una variable para describir la cantidad que se minimizará o maximizará.
  • Busque puntos críticos para ubicar los extremos locales.

Glosario

problemas de optimización
problemas que se resuelven al encontrar el valor máximo o mínimo de una función

Decides caminar desde el punto A (ver figura a continuación) hasta el punto C. Al sur de la carretera por BC, el terreno es difícil y solo puedes caminar a 3 km / h. Sin embargo, a lo largo de la carretera BC se puede caminar a 5 km / h. La distancia del punto A a la carretera es de 5 km. La distancia de B a C es de 10 km. ¿Qué camino debes seguir para llegar al punto C en el menor tiempo (mínimo) posible?

Ahora miramos una solución usando derivadas y otros conceptos de cálculo. Sea la distancia BP igual ax. Encontremos una fórmula para las distancias AP y PC. Usando la teorma de Pitágoras, podemos escribir:
distancia AP = & # 8730 (5 2 + x 2)
distancia PC = 10 - x
Ahora encontramos el tiempo t 1 caminar distancia AP. (tiempo = distancia / velocidad).
t 1 = distancia AP / 3 = & # 8730 (5 2 + x 2) / 3
Tiempo t 2 para caminar la distancia PC viene dada por
t 2 = distancia PC / 5 = (10 - x) / 5
El tiempo total t se calcula sumando t 1 y T 2 .
t = & # 8730 (5 2 + x 2) / 3 + (10 - x) / 5
podríamos considerar el dominio de la función t como todos los valores de x en el intervalo cerrado [0, 10]. Para valores de x tales que el punto P está a la izquierda de B oa la derecha de c, el tiempo t aumentará.
Para encontrar el valor de x que da t mínimo, necesitamos encontrar la primera derivada dt / dx (t es una función de x).
dt / dx = (x / 3) / & # 8730 (5 2 + x 2) - 1/5
Si t tiene un valor mínimo, sucede en x tal que dt / dx = 0.
(x / 3) / & # 8730 (5 2 + x 2) - 1/5 = 0
Resuelve lo anterior para x. Reescribe la ecuación de la siguiente manera.
5x = 3 y # 8730 (5 2 + x 2)
Cuadre ambos lados.
25 x 2 = 9 (5 2 + x 2)
Agrupar términos similares y simplificar
16 x 2 = 225
Resolver para x (x> 0)
x = & # 8730 (225/16) = 3,75 km.
dt / dx tiene un cero. La tabla de signo de la primera derivada dt / dx se muestra a continuación.

La primera derivada dt / dx es negativa para x & lt 3,75, igual a cero en x = 3,75 y positiva para x> 3,75. Además, los valores de t en x = 0 y x = 10 (los puntos finales del dominio de t) son respectivamente 3,6 horas y 3,7 horas. El valor de t en x = 3,75 es igual a 3.3 horas y es el más pequeño. La respuesta a nuestro problema es que hay que caminar hasta el punto P con BP = 3,75 km y luego seguir por la carretera hacia C para llegar allí en el menor tiempo posible.
Ejercicios

1 - Resuelve el mismo problema que el anterior pero con los siguientes valores.


Problemas y algoritmos de optimización

Este es un curso introductorio al estocástico problemas y algoritmos de optimización como los subcampos básicos en Inteligencia artificial. Cubriremos los conceptos más fundamentales en el campo de la optimización, incluidas las metaheurísticas y la inteligencia de enjambre. Al final de este curso, podrá identificar e implementar los componentes principales de un problema de optimización. Los problemas de optimización son diferentes, pero en su mayoría tienen desafíos y dificultades similares, como restricciones, objetivos múltiples, variables discretas y ruidos. Este curso le mostrará cómo abordar cada una de estas dificultades. La mayoría de las conferencias vienen con videos de codificación. En dichos videos, se presenta el proceso paso a paso de implementar los algoritmos de optimización o los problemas. También tenemos una serie de cuestionarios y ejercicios para practicar los conocimientos teóricos cubiertos en las clases magistrales.

Aquí está la lista de temas cubiertos:

Algoritmos de optimización de objetivo único

Optimización de Enjambre de partículas

Optimización de problemas con limitaciones

Optimización de problemas con variables binarias y / o discretas

Optimización de problemas con múltiples objetivos

Optimización de problemas con incertidumbres

La optimización del enjambre de partículas será el algoritmo principal, que es un método de búsqueda que se puede aplicar fácilmente a diferentes aplicaciones, incluidas Aprendizaje automático, ciencia de datos, redes neuronales y aprendizaje profundo.

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Problemas de optimización: aplicaciones a la economía - Concepto

¡Norm fue cuarto en los Nacionales de Halterofilia de Estados Unidos 2004! Todavía entrena y compite ocasionalmente, a pesar de su apretada agenda.

Algunos problemas económicos pueden modelarse y resolverse como problemas de optimización del cálculo. Estos problemas generalmente incluyen la optimización para maximizar los ingresos, minimizar los costos o maximizar las ganancias. Resolviendo estos problemas de optimización de cálculo casi siempre requiere encontrar el costo marginal y / o el ingreso marginal.

Quiero hablar sobre los tipos de problemas de optimización que van a surgir en Economía. En primer lugar, permítame recordarle qué es la optimización, optimización significa encontrar los valores máximos o mínimos de una cantidad, o encontrar cuándo ocurren estos minutos máximos. Ahora bien, ¿qué cantidades están optimizando la economía? Podemos minimizar los costos o maximizar los ingresos, también podemos maximizar las ganancias. Primeros pasos en cualquier problema de optimización, independientemente de si es económico o cualquier otra cosa, desea identificar la cantidad a optimizar, así que lea el problema con atención para obtener pistas sobre qué es exactamente lo que se maximiza o minimiza.
Desea identificar el dominio factible, esto es importante porque determina el método que va a utilizar para optimizar el problema si puede hacerlo de modo que el dominio factible sea un intervalo cerrado, por ejemplo, puede usar el método de intervalo cerrado. Entonces, el dominio factible será el dominio de la función de la cantidad a optimizar. Y luego aquí tenemos 3 métodos de optimización que hemos estudiado, puede elegir cualquiera de estos dependiendo de lo que parezca apropiado para el problema. Si tiene un dominio factible, que es un intervalo acotado cerrado, puede usar el método de intervalo cerrado, que es un método fácil y por eso es posible que desee preferirlo. Puede usar la prueba de la primera derivada para los minutos máximos absolutos o la prueba de la segunda derivada para los minutos máximos absolutos, dependiendo de si desea elegir cuál de estas utiliza dependiendo de lo fácil que sea calcular la segunda derivada.
Dos preguntas finales, estas son realmente importantes, ¿tiene sentido mi respuesta? Quieres hacer una verificación de la realidad al final, ¿tu respuesta realmente tiene sentido? ¿Y respondí a la pregunta formulada? Esto es realmente importante en cualquier problema, pero especialmente con los problemas de optimización, es muy fácil responder a la pregunta incorrecta, desea asegurarse de que si preguntan cuál es la cantidad máxima, dé la cantidad máxima y no simplemente dónde ocurre ese tipo. de cosa. Así que asegúrese de tener esto en cuenta cuando tenga problemas de optimización en las próximas lecciones.


El contenido de esta sección describe actualmente las clases obsoletas. Consulte la descripción de la nueva API.

Los optimizadores de mínimos cuadrados ya no están en este paquete, se han movido a un subpaquete dedicado de mínimos cuadrados descrito en la sección de mínimos cuadrados.

12.1 Resumen

El paquete de optimización proporciona algoritmos para optimizar (es decir, minimizar o maximizar) algún objetivo o función de costo. El paquete se divide en varios subpaquetes dedicados a diferentes tipos de funciones o algoritmos.

  • el paquete univariante maneja funciones escalares univariadas,
  • el paquete lineal maneja funciones lineales vectoriales multivariadas con restricciones lineales,
  • el paquete directo maneja funciones escalares multivariadas usando métodos de búsqueda directa (es decir, sin usar derivadas),
  • el paquete general maneja funciones escalares o vectoriales multivariadas usando derivadas.
  • el paquete de ajuste maneja el ajuste de curvas mediante funciones reales univariadas

El paquete de optimización de nivel superior proporciona interfaces comunes para los algoritmos de optimización proporcionados en los subpaquetes. Las interfaces principales define definen optimizadores y verificadores de convergencia. Las funciones optimizadas por los algoritmos proporcionados por este paquete y sus subpaquetes son un subconjunto del definido en el paquete de análisis, es decir, las funciones de valor real y vectorial. Estas funciones se denominan aquí función objetivo. Cuando el objetivo es minimizar, las funciones a menudo se denominan función de coste, este nombre no se utiliza en este paquete.

El tipo de objetivo, es decir, minimización o maximización, se define mediante el GoalType enumerado que tiene solo dos valores: MAXIMIZE y MINIMIZE.

Los optimizadores son los algoritmos que minimizarán o maximizarán la función objetivo cambiando su conjunto de variables de entrada hasta que se encuentre un conjunto óptimo. Solo hay cuatro interfaces que definen el comportamiento común de los optimizadores, una para cada tipo de función objetivo admitida:

A pesar de que solo hay cuatro tipos de optimizadores compatibles, es posible optimizar una transformación de una función vectorial multivariante no diferenciable convirtiéndola en una función real multivariante no diferenciable gracias a la clase auxiliar LeastSquaresConverter. La función transformada se puede optimizar utilizando cualquier implementación de la interfaz MultivariateOptimizer.

Para cada uno de los cuatro tipos de optimizadores admitidos, existe una implementación especial que envuelve un optimizador clásico para agregarle una función de inicio múltiple. Esta función llama al optimizador subyacente varias veces en secuencia con diferentes puntos de partida y devuelve el mejor óptimo encontrado o todos los óptimos si se desea. Esta es una forma clásica de evitar quedar atrapado en un extremo local cuando se busca uno global.

12.2 Funciones univariadas

Un UnivariateOptimizer se utiliza para encontrar los valores mínimos de una función f univariada de valor real.

El uso de estos algoritmos es muy similar al uso de algoritmos de búsqueda de raíces que se explica en el paquete de análisis. La principal diferencia es que los métodos de resolución en los algoritmos de búsqueda de raíces se reemplazan por métodos de optimización.

12.3 Programación lineal

Este paquete proporciona una implementación del algoritmo simplex de George Dantzig para resolver problemas de optimización lineal con restricciones de igualdad y desigualdad lineal.

12.4 Métodos directos

Los métodos de búsqueda directa solo usan valores de función de costo, no necesitan derivadas y tampoco intentan calcular la aproximación de las derivadas. Según un artículo de 1996 de Margaret H. Wright (Métodos de búsqueda directa: una vez despreciado, ahora respetable), se utilizan cuando el cálculo de la derivada es imposible (funciones ruidosas, discontinuidades impredecibles) o difícil (complejidad, coste de cálculo). En los primeros casos, más que un óptimo, un No está mal se desea el punto. En los últimos casos, se desea un óptimo pero no se puede encontrar razonablemente. En todos los casos, los métodos de búsqueda directa pueden resultar útiles.

Los métodos de búsqueda directa basados ​​en simplex se basan en la comparación de los valores de la función de costo en los vértices de un simplex (que es un conjunto de n + 1 puntos en la dimensión n) que se actualiza mediante los pasos de los algoritmos.

Las instancias se pueden construir en modo de inicio único o en modo de inicio múltiple. El inicio múltiple es una forma tradicional de tratar de evitar quedar atrapado en un mínimo local y perder el mínimo global de una función. También se puede utilizar para verificar la convergencia de un algoritmo. En el modo de inicio múltiple, el método minimizes devuelve el mejor mínimo encontrado después de todos los inicios, y el método etMinima se puede utilizar para recuperar todos los mínimos de todos los inicios (incluido el que ya proporciona el método minimizes).

El paquete directo proporciona cuatro solucionadores:

  • el método clásico de Nelder-Mead,
  • El método multidireccional de Virginia Torczon,
  • Estrategia de evolución de adaptación de la matriz de covarianza de Nikolaus Hansen (CMA-ES),
  • El método BOBYQA de Mike Powell.

Los dos primeros métodos basados ​​en símplex no manejan restricciones de límites simples por sí mismos. Sin embargo, hay dos adaptadores (MultivariateFunctionMappingAdapter y MultivariateFunctionPenaltyAdapter) que se pueden usar para envolver la función del usuario de tal manera que la función envuelta es ilimitada y se puede usar con estos optimizadores, a pesar de que la función subyacente todavía está delimitada y solo se llamará con puntos factibles que cumplan con las limitaciones. Sin embargo, tenga en cuenta que el uso de estos adaptadores es solo una solución pobre para las limitaciones de optimización de límites simples. Las mejores soluciones son utilizar un optimizador que admita directamente límites simples. Algunas advertencias de la solución del adaptador de mapeo son que

  • el comportamiento cerca de los límites puede ser numéricamente inestable ya que los límites se asignan a partir de valores infinitos,
  • El optimizador evalúa el valor inicial como una variable ilimitada, por lo que el usuario debe convertirlo de limitado a ilimitado.
  • El optimizador evalúa el resultado óptimo como una variable ilimitada, por lo que el usuario debe convertirlo de ilimitado a limitado,
  • Los valores de convergencia son evaluados por el optimizador como variables ilimitadas, por lo que habrá diferencias de escalas cuando se conviertan en variables limitadas.
  • en el caso de solucionadores basados ​​en simplex, el simplex inicial debe configurarse como delta en variables ilimitadas.

Los últimos métodos manejan restricciones de límites simples directamente, por lo que los adaptadores no son necesarios con ellos.

12.5 Caso general

El paquete general trata con problemas de optimización vectorial no lineal cuando las derivadas parciales de la función objetivo están disponibles.

Una clase importante de problemas de estimación son los problemas de mínimos cuadrados ponderados. Básicamente consisten en encontrar los valores de algunos parámetros pk tal que una función de costo J = suma (wI(mesI - modificaciónI) 2) se minimiza. Los varios (objetivoI - modeloI(pagk)) términos se denominan residuales. Representan la desviación entre un conjunto de valores objetivo objetivoI y valores teóricos calculados a partir del modelo de modelosI dependiendo de los parámetros libres pk. La WI los factores son pesos. Un caso de uso clásico es cuando los valores objetivo son observaciones o mediciones experimentales.

Resolver un problema de mínimos cuadrados es encontrar los parámetros libres pk de los modelos teóricos de manera que estén cerca de los valores objetivo, es decir, cuando los residuos son pequeños.

Hay dos optimizadores disponibles en el paquete general, ambos dedicados a problemas de mínimos cuadrados. El primero se basa en el método de Gauss-Newton. El segundo es el método Levenberg-Marquardt.

Para resolver un problema de optimización vectorial, el usuario debe proporcionarlo como un objeto implementando la interfaz DifferentiableMultivariateVectorFunction. El objeto se proporcionará al método de estimación del optimizador, junto con las matrices de peso y objetivo, lo que permitirá que el optimizador calcule los residuos a voluntad. El último parámetro del método de estimación es el punto desde el cual el optimizador comenzará su búsqueda del punto óptimo.

Ejemplo de problema cuadrático Estamos buscando encontrar los mejores parámetros [a, b, c] para la función cuadrática f (x) = una x 2 + b x + c . El siguiente conjunto de datos se generó utilizando [a = 8, b = 10, c = 16]. Se agregó un número aleatorio entre cero y uno a cada valor de y calculado.

X Y
1 34.234064369
2 68.2681162306108
3 118.615899084602
4 184.138197238557
5 266.599877916276
6 364.147735251579
7 478.019226091914
8 608.140949270688
9 754.598868667148
10 916.128818085883

Primero necesitamos implementar la interfaz DifferentiableMultivariateVectorFunction. Esto requiere la implementación de las firmas del método:

Primero abordaremos la implementación del método jacobian () MultivariateMatrixFunction. Es posible que desee familiarizarse con lo que es una matriz jacobiana. En este caso, el jacobiano es la derivada parcial de la función con respecto a los parámetros a, by c. Estas derivadas se calculan de la siguiente manera:

Para una cuadrática que tiene tres variables, la Matriz jacobiana tendrá tres columnas, una para cada variable, y el número de filas será igual al número de filas en nuestro conjunto de datos, que en este caso es diez. Entonces, por ejemplo, para [a = 1, b = 1, c = 1], la Matriz jacobiana es (excluyendo la primera columna que muestra el valor de x):

X d (ax 2 + bx + c) / da d (eje 2 + bx + c) / db d (eje 2 + bx + c) / dc
1 1 1 1
2 4 2 1
3 9 3 1
4 16 4 1
5 25 5 1
6 36 6 1
7 49 7 1
8 64 8 1
9 81 9 1
10 100 10 1

La implementación de MultivariateMatrixFunction jacobian () para este problema se ve así (el parámetro x es una ArrayList que contiene los valores independientes del conjunto de datos):

Tenga en cuenta que si por alguna razón la derivada de la función objetivo con respecto a sus variables es difícil de obtener, se puede utilizar la diferenciación numérica.

La implementación del método double [] value (double [] point), que devuelve una matriz doble que contiene los valores que devuelve la función objetivo por valor independiente dado y el conjunto actual de variables o parámetros, se puede ver a continuación:

A continuación se muestra la clase que contiene todos los detalles de implementación (tomado de Apache Commons Math org.apache.commons.math4.optimization.general.LevenbergMarquardtOptimizerTest):

El siguiente código muestra cómo utilizar la clase anterior y una instancia de LevenbergMarquardtOptimizer para producir un conjunto óptimo de parámetros de ajuste de curvas cuadráticas:

Si ejecuta la muestra anterior, verá lo siguiente impreso por la consola:

Además de la resolución de mínimos cuadrados, la clase NonLinearConjugateGradientOptimizer proporciona un algoritmo de gradiente conjugado no lineal para optimizar DifferentiableMultivariateFunction. Se admiten los métodos de actualización de la dirección de búsqueda de Fletcher-Reeves y Polak-Ribi & # xe8re. También es posible configurar un preacondicionador o cambiar el algoritmo de búsqueda de línea del bucle interno si lo desea (el predeterminado es un solucionador de Brent).

PowellOptimizer proporciona un método de optimización para funciones no diferenciables.

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Problemas de optimización aplicada

Una aplicación común del cálculo es calcular el valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, las empresas a menudo quieren minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, a menudo es deseable minimizar la cantidad de material utilizado para envasar un producto con un cierto volumen. En esta sección, mostramos cómo configurar estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo.

Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado

La idea básica del problemas de optimización que sigue es el mismo. Tenemos una cantidad particular que nos interesa maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos alguna condición auxiliar que debe cumplirse. Por ejemplo, en [enlace], estamos interesados ​​en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos agrandando los lados del jardín, el área continuará haciéndose más grande. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción sobre la cantidad de cercas que podemos usar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer que el jardín sea tan grande como queramos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro.

Se construirá un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y una cerca de alambre para los otros tres lados ([enlace]). Dado 100

pies de cercas de alambre, determine las dimensiones que crearían un jardín de área máxima. cual es el area maxima?

denotar la longitud del lado del jardín perpendicular a la pared de roca y y

denotar la longitud del lado paralelo a la pared de roca. Entonces el área del jardín es

Queremos encontrar el área máxima posible sujeta a la restricción de que el cercado total sea de 100 pies.

Desde [enlace], la cantidad total de vallas utilizadas será 2 x + y.

Por lo tanto, la ecuación de restricción es

Resolviendo esta ecuación para y,

Por tanto, podemos escribir el área como

Antes de intentar maximizar la función de área A (x) = 100 x - 2 x 2,

necesitamos determinar el dominio en consideración. Para construir un jardín rectangular, ciertamente necesitamos que las longitudes de ambos lados sean positivas. Por lo tanto, necesitamos x & gt 0

Por lo tanto, estamos tratando de determinar el valor máximo de A (x)

sobre el intervalo abierto (0, 50).

No sabemos que una función tiene necesariamente un valor máximo en un intervalo abierto. Sin embargo, sabemos que una función continua tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en un intervalo cerrado. Por lo tanto, consideremos la función A (x) = 100 x - 2 x 2

sobre el intervalo cerrado [0, 50].

Si el valor máximo ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado el valor x

en el intervalo abierto (0, 50)

que maximiza el área del jardín. Por tanto, consideramos el siguiente problema:

Maximizar A (x) = 100 x - 2 x 2

Como se mencionó anteriormente, dado que A

es una función continua en un intervalo cerrado, acotado, por el teorema del valor extremo, tiene un máximo y un mínimo. Estos valores extremos ocurren en puntos finales o puntos críticos. En los puntos finales, A (x) = 0.

Dado que el área es positiva para todo x

en el intervalo abierto (0, 50),

el máximo debe ocurrir en un punto crítico. Diferenciando la función A (x),

Por tanto, el único punto crítico es x = 25

([Enlace]). Concluimos que el área máxima debe ocurrir cuando x = 25.

Entonces tenemos y = 100 - 2 x = 100 - 2 (25) = 50.

Para maximizar el área del jardín, sea x = 25

El área de este jardín es de 1250 pies 2.

Determina el área máxima si queremos hacer el mismo jardín rectangular que en [enlace], pero tenemos 200

El área máxima es 5000 pies 2.

Necesitamos maximizar la función A (x) = 200 x - 2 x 2

durante el intervalo [0, 100].

Ahora veamos una estrategia general para resolver problemas de optimización similar a [enlace].

  1. Introduce todas las variables. Si corresponde, dibuje una figura y etiquete todas las variables.
  2. Determine qué cantidad se va a maximizar o minimizar, y para qué rango de valores de las otras variables (si esto se puede determinar en este momento).
  3. Escribe una fórmula para maximizar o minimizar la cantidad en términos de las variables. Esta fórmula puede involucrar más de una variable.
  4. Escribe cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula del paso 3.

Utilice estas ecuaciones para escribir la cantidad a maximizar o minimizar en función de una variable.

basado en el problema físico a resolver.

Este paso normalmente implica buscar puntos críticos y evaluar una función en los puntos finales.

Ahora apliquemos esta estrategia para maximizar el volumen de una caja abierta dada una restricción en la cantidad de material que se utilizará.

Se debe hacer una caja abierta a partir de un 24

pulg. pedazo de cartón quitando un cuadrado de cada esquina de la caja y doblando las solapas de cada lado. ¿Qué tamaño de cuadrado se debe cortar de cada esquina para obtener una caja con el volumen máximo?

sea ​​la longitud del lado del cuadrado que se quitará de cada esquina ([enlace]). Luego, las cuatro solapas restantes se pueden plegar para formar una caja abierta. Deje V

sea ​​el volumen de la caja resultante.

Paso 2: Estamos intentando maximizar el volumen de una caja. Por tanto, el problema es maximizar V.

Paso 3: como se mencionó en el paso 2,

están tratando de maximizar el volumen de una caja. El volumen de una caja es V = L · W · H,

son el largo, ancho y alto, respectivamente.

Paso 4: Desde [enlace], vemos que la altura de la caja es x

pulgadas, la longitud es 36 - 2 x

pulgadas, y el ancho es 24 - 2 x

pulgadas. Por tanto, el volumen de la caja es

Paso 5: para determinar el dominio de consideración, examinemos [enlace]. Ciertamente, necesitamos x & gt 0.

Además, la longitud del lado del cuadrado no puede ser mayor o igual a la mitad de la longitud del lado más corto, 24

de lo contrario, una de las solapas quedaría completamente cortada. Por lo tanto, estamos tratando de determinar si existe un volumen máximo de la caja para x

sobre el intervalo abierto (0, 12).

es una función continua sobre el intervalo cerrado [0, 12],

tendrá un máximo absoluto sobre el intervalo cerrado. Por lo tanto, consideramos V

sobre el intervalo cerrado [0, 12]

y comprobar si el máximo absoluto se produce en un punto interior.

es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado [0, 12],

debe tener un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). Dado que V (x) = 0

en los puntos finales y V (x) & gt 0

el máximo debe ocurrir en un punto crítico. La derivada es

Para encontrar los puntos críticos, necesitamos resolver la ecuación

Dividiendo ambos lados de esta ecuación por 12,

el problema se simplifica para resolver la ecuación

Usando la fórmula cuadrática, encontramos que los puntos críticos son

no está en el dominio de consideración, el único punto crítico que debemos considerar es 10 - 2 7.

Por lo tanto, el volumen se maximiza si dejamos x = 10 - 2 7 pulg.

El volumen máximo es V (10 - 2 7) = 640 + 448 7 ≈ 1825 pulg. 3

como se muestra en el siguiente gráfico.

Vea un video sobre cómo optimizar el volumen de una caja.

Suponga que las dimensiones del cartón en [enlace] son ​​20 pulgadas por 30 pulgadas. Sea x

Sea la longitud del lado de cada cuadrado y escriba el volumen de la caja abierta en función de x.

Determine el dominio de consideración para x.

El volumen de la caja es L · W · H.

al norte de su punto más cercano a lo largo de una línea de costa recta. Un visitante se aloja en una cabaña en la orilla que está a 6 millas

al oeste de ese punto. El visitante tiene previsto ir de la cabaña a la isla. Suponga que el visitante corre a una velocidad de 8 mph

y nada a una velocidad de 3 mph.

¿Qué distancia debe correr el visitante antes de nadar para minimizar el tiempo que tarda en llegar a la isla?

Sé la distancia corriendo y deja que

sea ​​la distancia nadando ([link]). Deje T

sea ​​el tiempo que se tarda en llegar de la cabaña a la isla.

Paso 2: El problema es minimizar T.

Paso 3: Para encontrar el tiempo dedicado a viajar desde la cabaña a la isla, agregue el tiempo dedicado a correr y el tiempo dedicado a nadar. Dado que Distancia =

el tiempo dedicado a correr es

y el tiempo que pasas nadando es

Por lo tanto, el tiempo total dedicado a viajar es

Paso 4: desde [enlace], el segmento de línea de y

millas forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 2 millas de longitud

Por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, 2 2 + (6 - x) 2 = y 2,

y obtenemos y = (6 - x) 2 + 4.

Por lo tanto, el tiempo total dedicado a viajar viene dado por la función

Paso 5: Desde [enlace], vemos que 0 ≤ x ≤ 6.

es el dominio de la consideración.

es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, tiene un máximo y un mínimo. Comencemos por buscar cualquier punto crítico de T

Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, vemos que si x

satisface esta ecuación, entonces x

es un punto crítico, entonces x

Por lo tanto, las posibilidades de puntos críticos son

no está en el dominio, no es una posibilidad para un punto crítico. Por otro lado, x = 6-6 / 55

está en el dominio. Dado que cuadramos ambos lados de [enlace] para llegar a los posibles puntos críticos, queda verificar que x = 6 - 6/55

satisface [enlace]. Dado que x = 6-6 / 55

satisface esa ecuación, llegamos a la conclusión de que x = 6 - 6/55

es un punto crítico, y es el único. Para justificar que el tiempo se minimiza para este valor de x,

solo necesitamos verificar los valores de T (x)

y compararlos con el valor de T (x)

en el punto crítico x = 6 - 6/55.

Encontramos que T (0) ≈ 2.108 h

mientras que T (6 - 6/55) ≈ 1.368 h.

Por lo tanto, concluimos que T

tiene un mínimo local en x ≈ 5,19

mi de la costa, y la distancia desde la cabaña hasta el punto en la costa más cercano a la isla es de 15 mi.

Suponga que un visitante nada a una velocidad de 4 km / h.

y corre a una velocidad de 6 mph.

denotar la distancia que el visitante correrá antes de nadar y encontrar una función para el tiempo que le toma al visitante llegar desde la cabaña a la isla.

El tiempo T = T corriendo + T nadando.

En los negocios, las empresas están interesadas en maximizando los ingresos. En el siguiente ejemplo, consideramos un escenario en el que una empresa ha recopilado datos sobre cuántos coches puede arrendar, según el precio que cobra a sus clientes por alquilar un coche. Usemos estos datos para determinar el precio que la empresa debe cobrar para maximizar la cantidad de dinero que genera.

Los propietarios de una empresa de alquiler de coches han determinado que si cobran a los clientes p

dólares por día para alquilar un coche, donde 50 ≤ p ≤ 200,

que alquilan por día se puede modelar mediante la función lineal n (p) = 1000 - 5 p.

por día o menos, alquilarán todos sus coches. Si cobran $ 200

por día o más, no alquilarán ningún coche. Suponiendo que los propietarios planean cobrar a los clientes entre $ 50 por día y $ 200

por día para alquilar un automóvil, ¿cuánto deberían cobrar para maximizar sus ingresos?

sea ​​el precio cobrado por coche por día y sea n

sea ​​el número de coches alquilados por día. Deje R

Paso 2: el problema es maximizar R.

Paso 3: El ingreso (por día) es igual a la cantidad de automóviles alquilados por día multiplicado por el precio cobrado por automóvil por día, es decir, R = n × p.

Paso 4: Dado que el número de automóviles alquilados por día está modelado por la función lineal n (p) = 1000 - 5 p,

puede ser representado por la función

Paso 5: Dado que los propietarios planean cobrar entre $ 50

por automóvil por día, el problema es encontrar el ingreso máximo R (p)

en el intervalo cerrado [50, 200].

es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado [50, 200],

tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en ese intervalo. Para encontrar el valor máximo, busque puntos críticos. La derivada es R ′ (p) = −10 p + 1000.

Por tanto, el punto crítico es p = 100

Por lo tanto, el máximo absoluto ocurre en p = $ 100.

La empresa de alquiler de coches debería cobrar $ 100

por día por automóvil para maximizar los ingresos, como se muestra en la siguiente figura.

Una empresa de alquiler de coches cobra a sus clientes p

dólares por día, donde 60 ≤ p ≤ 150.

Se ha descubierto que el número de coches alquilados por día puede modelarse mediante la función lineal n (p) = 750 - 5 p.

¿Cuánto debería cobrar la empresa a cada cliente para maximizar los ingresos?

La empresa debería cobrar $ 75

es el número de coches alquilados yp

es el precio que se cobra por coche.

Se inscribe un rectángulo en la elipse

¿Cuáles deberían ser las dimensiones del rectángulo para maximizar su área? cual es el area maxima?

Paso 1: Para que un rectángulo se inscriba en la elipse, los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes. Deje L

sea ​​la longitud del rectángulo y W

ser el área del rectángulo.

Paso 2: El problema es maximizar A.

Paso 3: El área del rectángulo es A = L W.

sea ​​la esquina del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en [enlace]. Podemos escribir la longitud L = 2 x

Paso 5: Desde [enlace], vemos que para inscribir un rectángulo en la elipse, la x

-La coordenada de la esquina en el primer cuadrante debe satisfacer 0 & lt x & lt 2.

Por tanto, el problema se reduce a buscar el valor máximo de A (x)

sobre el intervalo abierto (0, 2).

tendrá un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) sobre el intervalo cerrado [0, 2],

consideramos A (x) = 2 x 4 - x 2

Si el máximo absoluto ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado un máximo absoluto en el intervalo abierto.

Paso 6: como se mencionó anteriormente, A (x)

es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado [0, 2].

Por tanto, tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). En los puntos finales x = 0

Por lo tanto, el máximo debe ocurrir en un punto crítico. Tomando la derivada de A (x),

Para encontrar puntos críticos, necesitamos encontrar dónde A ′ (x) = 0.

son las posibles soluciones de [link]. Dado que estamos considerando x

es una posibilidad para un punto crítico, pero x = - 2

no es. Por tanto, comprobamos si 2

es una solución de [enlace]. Dado que x = 2

es una solución de [enlace], llegamos a la conclusión de que 2

es el único punto crítico de A (x)

debe tener un máximo absoluto en el punto crítico x = 2.

Para determinar las dimensiones del rectángulo, necesitamos encontrar la longitud L

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son L = 2 x = 2 2

El área de este rectángulo es A = L W = (2 2) (2) = 4.

Modificar la función de área A

si el rectángulo debe inscribirse en el círculo unitario x 2 + y 2 = 1.

¿Cuál es el dominio de consideración?

El dominio de consideración es [0, 1].

es el vértice del cuadrado que se encuentra en el primer cuadrante, entonces el área del cuadrado es A = (2 x) (2 y) = 4 x y.

Solución de problemas de optimización cuando el intervalo no está cerrado o no está acotado

En los ejemplos anteriores, consideramos funciones en dominios cerrados y delimitados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, se nos garantizó que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora funciones para las que el dominio no es cerrado ni acotado.

Muchas funciones todavía tienen al menos un extremo absoluto, incluso si el dominio no está cerrado o el dominio no está acotado. Por ejemplo, la función f (x) = x 2 + 4

tiene un mínimo absoluto de 4

Por lo tanto, todavía podemos considerar funciones sobre dominios ilimitados o intervalos abiertos y determinar si tienen extremos absolutos. En el siguiente ejemplo, intentamos minimizar una función en un dominio ilimitado. Veremos que, aunque el dominio de consideración es (0, ∞),

la función tiene un mínimo absoluto.

En el siguiente ejemplo, buscamos construir una caja de menor área de superficie con un volumen prescrito. No es difícil mostrar que para una caja con tapa cerrada, por simetría, entre todas las cajas con un volumen específico, un cubo tendrá el área de superficie más pequeña. En consecuencia, consideramos el problema modificado de determinar qué caja abierta con un volumen específico tiene el área de superficie más pequeña.

Una caja rectangular con una base cuadrada, una parte superior abierta y un volumen de 216

in. 3 se construirá. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar el área de superficie de la caja? ¿Cuál es la superficie mínima?

Paso 1: Dibuja una caja rectangular e introduce la variable x

para representar la longitud de cada lado de la base cuadrada sea y

representan la altura de la caja. Deje S

denotar el área de la superficie de la caja abierta.

Paso 2: Necesitamos minimizar el área de superficie. Por lo tanto, necesitamos minimizar S.

Paso 3: Dado que la caja tiene la parte superior abierta, solo necesitamos determinar el área de los cuatro lados verticales y la base. El área de cada uno de los cuatro lados verticales es x · y.

El área de la base es x 2.

Por lo tanto, el área de la superficie de la caja es

Paso 4: Dado que el volumen de esta caja es x 2 y

y el volumen se da como 216 pulg. 3,

la ecuación de restricción es

Resolviendo la ecuación de restricción para y,

Por lo tanto, podemos escribir el área de la superficie en función de x

Por lo tanto, S (x) = 864 x + x 2.

Paso 5: Dado que estamos requiriendo que x 2 y = 216,

se permite tener cualquier valor positivo. Tenga en cuenta que como x

se vuelve grande, la altura de la caja y

se vuelve correspondientemente pequeño de modo que x 2 y = 216.

se vuelve pequeña, la altura de la caja se vuelve correspondientemente grande. Concluimos que el dominio es el intervalo abierto e ilimitado (0, ∞).

Tenga en cuenta que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no podemos reducir nuestro problema a buscar un máximo absoluto o un mínimo absoluto en un intervalo cerrado y acotado. Sin embargo, en el siguiente paso, descubrimos por qué esta función debe tener un mínimo absoluto en el intervalo (0, ∞).

es una función continua que se acerca al infinito en los extremos, debe tener un mínimo absoluto en alguna x ∈ (0, ∞).

Este mínimo debe ocurrir en un punto crítico de S.

Resolviendo esta ecuación para x,

Dado que este es el único punto crítico de S,

el mínimo absoluto debe ocurrir en x = 6 2 3

y = 216 (6 2 3) 2 = 3 2 3 pulg.

Por lo tanto, las dimensiones de la caja deben ser x = 6 2 3 pulg.

Con estas dimensiones, la superficie es

Considere la misma caja abierta, que debe tener un volumen de 216 pulg. 3.

Suponga que el costo del material para la base es de 20 ¢ / pulg. 2

y el costo del material para los lados es de 30 ¢ / in. 2

y estamos tratando de minimizar el costo de esta caja. Escribe el costo en función de las longitudes de los lados de la base. (Sea x

ser la longitud del lado de la base yy

Si el costo de uno de los lados es de 30 ¢ / in. 2,

el costo de ese lado es 0.30 x y.

Conceptos clave

  • Para resolver un problema de optimización, comience dibujando una imagen e introduciendo variables.
  • Encuentre una ecuación que relacione las variables.
  • Encuentre una función de una variable para describir la cantidad que se minimizará o maximizará.
  • Busque puntos críticos para ubicar los extremos locales.

Para los siguientes ejercicios, responda mediante prueba, contraejemplo o explicación.

Cuando encuentra el máximo para un problema de optimización, ¿por qué necesita verificar el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos?

Los puntos críticos pueden ser mínimos, máximos o ninguno.

¿Por qué necesita comprobar los puntos finales en busca de problemas de optimización?

Verdadero o falso. Para cada función no lineal continua, puede encontrar el valor x

que maximiza la función.

Verdadero o falso. Para cada función continua no constante en un dominio finito cerrado, existe al menos una x

que minimiza o maximiza la función.

Para los siguientes ejercicios, configure y evalúe cada problema de optimización.

Para llevar una maleta en un avión, el largo + ancho +

La altura de la caja debe ser menor o igual a 62 pulg.

Suponiendo que la altura es fija, demuestre que el volumen máximo es V = h (31 - (1 2) h) 2.

¿Qué altura te permite tener el mayor volumen?

Está construyendo una caja de cartón con las dimensiones de 2 m por 4 m.

Luego, corte cuadrados del mismo tamaño de cada esquina para que pueda doblar los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja con mayor volumen?

Encuentra el entero positivo que minimiza la suma del número y su recíproco.

Encuentre dos enteros positivos tales que su suma sea 10,

y minimizar y maximizar la suma de sus cuadrados.

Para los siguientes ejercicios, considere la construcción de un bolígrafo para encerrar un área.

de vallado para construir un corral rectangular para ganado. ¿Cuáles son las dimensiones del bolígrafo que maximizan el área?

de vallado para hacer un corral para cerdos. Si tiene un río a un lado de su propiedad, ¿cuál es la dimensión del corral rectangular que maximiza el área?

Necesita construir una cerca alrededor de un área de 1600 pies.

¿Cuáles son las dimensiones del bolígrafo rectangular para minimizar la cantidad de material necesario?

Dos polos están conectados por un cable que también está conectado a tierra. El primer poste mide 20 pies

de alto y el segundo poste mide 10 pies

alto. Hay una distancia de 30 pies

entre los dos polos. ¿Dónde se debe anclar el cable al suelo para minimizar la cantidad de cable necesario?

[T] Se está mudando a un nuevo apartamento y observa que hay una esquina donde el pasillo se estrecha de 8 pies a 6 pies.

¿Cuál es la longitud del artículo más largo que se puede llevar horizontalmente a la vuelta de la esquina?

El pulso de un paciente mide 70 lpm, 80 lpm y luego 120 lpm.

Para determinar una medición precisa del pulso, el médico quiere saber qué valor minimiza la expresión (x - 70) 2 + (x - 80) 2 + (x - 120) 2?

En el problema anterior, suponga que el paciente estaba nervioso durante la tercera medición, por lo que solo ponderamos ese valor la mitad que los demás. ¿Cuál es el valor que minimiza (x - 70) 2 + (x - 80) 2 + 1 2 (x - 120) 2?

Puedes correr a una velocidad de 6

mph y nadar a una velocidad de 3

mph y se encuentran en la orilla, 4

millas al este de una isla que es 1

milla al norte de la costa. ¿Qué tan lejos debes correr hacia el oeste para minimizar el tiempo necesario para llegar a la isla?

Para los siguientes problemas, considere un salvavidas en una piscina circular con un diámetro de 40 m.

Debe alcanzar a alguien que se esté ahogando en el lado exactamente opuesto de la piscina, en la posición C.

El salvavidas nada con una velocidad v

y corre alrededor de la piscina a una velocidad w = 3 v.

Encuentre una función que mida la cantidad total de tiempo que tarda en llegar a la persona que se está ahogando en función del ángulo de nado, θ.

el salvavidas debe nadar para alcanzar a la persona que se está ahogando en el menor tiempo posible.

Un camión usa gasolina como g (v) = a v + b v,

representa la velocidad del camión yg

representa los galones de combustible por milla. ¿A qué velocidad se minimiza el consumo de combustible?

Para los siguientes ejercicios, considere una limusina que obtiene m (v) = (120 - 2 v) 5 mi / gal

Encuentre el costo por milla a una velocidad v.

Encuentra la velocidad de conducción más barata.

Para los siguientes ejercicios, considere una pizzería que vende pizzas por un ingreso de R (x) = a x

y cuesta C (x) = b + c x + d x 2,

representa el número de pizzas.

Encuentre la función de ganancias para la cantidad de pizzas. ¿Cuántas pizzas dan la mayor ganancia por pizza?

¿Cuántas pizzas vendidas maximizan la ganancia?

y C (x) = 60 + 3 x + 1 2 x 2.

¿Cuántas pizzas vendidas maximizan la ganancia?

Para los siguientes ejercicios, considere un cable de 4 pies

corte largo en dos trozos. Una pieza forma un círculo con radio r

y el otro forma un cuadrado de lado x.

para maximizar la suma de sus áreas.

para minimizar la suma de sus áreas.

Para los siguientes ejercicios, considere dos números no negativos x

Maximiza y minimiza las cantidades.

Para los siguientes ejercicios, dibuje el problema de optimización dado y resuélvalo.

Encuentra el volumen del cilindro circular recto más grande que cabe en una esfera de radio 1.

Encuentra el volumen del cono recto más grande que cabe en una esfera de radio 1.

Encuentra el área del rectángulo más grande que encaja en el triángulo con lados x = 0, y = 0

Encuentre el volumen más grande de un cilindro que cabe en un cono que tiene un radio de base R

Encuentre las dimensiones del volumen del cilindro cerrado V = 16 π

que tiene la menor cantidad de superficie.

Encuentra las dimensiones de un cono recto con área de superficie S = 4 π

que tiene el mayor volumen.

Para los siguientes ejercicios, considere los puntos en los gráficos dados. Usa una calculadora para graficar las funciones.

[T] ¿Dónde está la recta y = 5 - 2 x

[T] ¿Dónde está la recta y = 5 - 2 x

[T] ¿Dónde está la parábola y = x 2

[T] ¿Dónde está la parábola y = x 2

Para los siguientes ejercicios, configure, pero no evalúe, cada problema de optimización.

Una ventana se compone de un semicírculo colocado encima de un rectángulo. Si tienes 20 pies

de materiales para marcos de ventanas para el marco exterior, ¿cuál es el tamaño máximo de la ventana que puede crear? Utilice r

para representar el radio del semicírculo.

Tienes una hilera de jardín de 20

plantas de sandía que producen un promedio de 30

sandías cada una. Para cualquier planta de sandía adicional plantada, la producción por planta de sandía se reduce en una sandía. ¿Cuántas plantas de sandía adicionales deberías plantar?

Estás construyendo una caja para que duerma tu gato. El material de felpa para el fondo cuadrado de la caja cuesta $ 5 / pie 2

y el material de los lados cuesta $ 2 / pie 2.

Necesita una caja con un volumen de 4 pies 2.

Encuentre las dimensiones de la caja que minimizan el costo. Utilice x

para representar la longitud del lado de la caja.

Está construyendo cinco corrales idénticos uno al lado del otro con un área total de 1000 m 2,

como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué dimensiones debería utilizar para minimizar la cantidad de vallado?

Eres el administrador de un complejo de apartamentos con 50

unidades. Cuando establece el alquiler en $ 800 / mes,

Se alquilan todos los departamentos. A medida que aumenta el alquiler en $ 25 al mes,

Se alquila un departamento menos. Los costos de mantenimiento son de $ 50 / mes

por cada unidad ocupada. ¿Cuál es la renta que maximiza la cantidad total de ganancias?

Glosario


Bienvenidos

Matemáticas Aplicadas / Ciencias de la Ingeniería 121 es un viaje a las ideas matemáticas y métodos computacionales para resolver problemas de optimización deterministas y estocásticos. Este curso se ofrece en el otoño de 2019. Las conferencias se realizarán el Lunes y miércoles de 9:00 a. M. A 10:15 a. M. En Maxwell Dworkin G115. El primer día de clases es el miércoles 4 de septiembre.

La optimización es el problema de tomar decisiones para maximizar o minimizar un objetivo en presencia de restricciones complicadas. La clase lo llevará en un viaje a través de la teoría, los métodos y la aplicación de la programación lineal, la programación de enteros, las cadenas de Markov y los procesos de decisión de Markov. Aprenderá los métodos, los comprenderá, los practicará y los aplicará a problemas en los negocios, la sociedad, la ingeniería, los deportes, el comercio electrónico y la medicina. La optimización puede aportar eficiencia en toda la sociedad y dondequiera que los recursos estén limitados. La optimización también se utiliza en el diseño y análisis de sistemas de ingeniería de todo tipo. La programación lineal y el hermoso método simplex están en el corazón de la clase y son el motor para resolver problemas de optimización a gran escala.

Hacemos hincapié en el modelado, el proceso de tomar un problema del mundo real y transformarlo en una formulación que luego puede resolverse mediante los métodos que hemos desarrollado. Nuestro enfoque es práctico y nuestra actitud es positiva: examinaremos los problemas que surgen en el mundo, los formularemos en modelos y los resolveremos. Los ejercicios interactivos en equipo formarán parte de la clase. Tendremos ayuda de las computadoras y aprenderemos a usar sus poderes para resolver estos difíciles problemas.

Esperamos que los estudiantes salgan de esta clase sintiéndose empoderados. Antes de decidir si tomar o no AM / ES 121, lea la página Acerca de AM / ES 121 y la versión actual del programa de estudios. El horario de la clase le dará una idea de algunos de los temas y fechas importantes.


Ejemplos de

Convertir problema en estructura

Convierta un objeto de problema de optimización en una estructura de problema.

Convierta el problema en una estructura de problema intlinprog.

Examine la matriz y el vector de restricción de igualdad lineal resultante.

Resuelva el problema llamando a intlinprog.

Convertir problema no lineal en estructura

Cree un problema no lineal en el marco basado en problemas.

Convierta prob en una estructura de problema de optimización. Nombre el archivo de función objetivo generado 'rosenbrock' y el archivo de función de restricción 'circle2'.

prob2struct crea archivos de función de restricción y objetivo no lineal en la carpeta actual. Para crear estos archivos en una carpeta diferente, use el par nombre-valor 'FileLocation'.


Algoritmos inspirados en la naturaleza para problemas de optimización del mundo real

Los algoritmos inspirados en la naturaleza son un conjunto de metodologías y enfoques novedosos para la resolución de problemas y han atraído una atención considerable por su buen desempeño. Ejemplos representativos de algoritmos inspirados en la naturaleza incluyen redes neuronales artificiales (ANN), sistemas difusos (FS), computación evolutiva (EC) e inteligencia de enjambre (SI), y se han aplicado para resolver muchos problemas del mundo real. A pesar de la popularidad de los algoritmos inspirados en la naturaleza, quedan muchos desafíos que requieren más esfuerzos de investigación.

Las contribuciones presentadas en este número especial incluyen algunos de los últimos desarrollos de algoritmos inspirados en la naturaleza, como el algoritmo genético, la optimización de enjambres de partículas, la optimización de colonias de hormigas, la optimización de aves migratorias, las redes neuronales, el algoritmo de búsqueda gravitacional y sus aplicaciones. Varios algoritmos inspirados en la naturaleza han estudiado varios problemas de optimización del mundo real.

K. G. Ing y col. Presentar la aplicación del algoritmo de búsqueda gravitacional (GSA) en la determinación de la configuración diaria óptima de la red de distribución en base a la generación fotovoltaica y la carga del sistema. El problema de reconfiguración de la red de distribución se formula como un problema de minimización para minimizar la pérdida de potencia de la distribución. Los resultados experimentales muestran que GSA con enfoque de selección es una técnica simple pero efectiva para minimizar la pérdida de energía diaria total.

El trabajo de E. Lalla-Ruiz et al. estudia el enfoque mejorado de optimización de aves migratorias (MBO) para resolver dos problemas costeros, que son el Problema de asignación dinámica de atracaderos (DBAP) y el Problema de programación de grúas de muelle (QCSP). El enfoque de MBO puede resolver estos dos problemas con soluciones de alta calidad con un pequeño costo computacional corto, lo que hace que esta técnica sea un método competitivo para operaciones costeras con frecuencia realizadas individualmente o integradas en sistemas reales de soporte de decisiones.

El trabajo de I. G. Hidalgo et al. integra el algoritmo genético (GA) con el algoritmo evolutivo de fuerza de Pareto (SPEA) y la optimización de colonias de hormigas (ACO) para abordar el problema de programación a corto plazo. El problema se resuelve mediante los dos enfoques híbridos propuestos en dos fases. Los resultados experimentales en dos centrales hidroeléctricas muestran que ambos enfoques producen un buen desempeño para el despacho dinámico óptimo en la operación de corto plazo de centrales hidroeléctricas.

S. Demirel y col. centrarse en el diseño óptimo del amplificador de bajo ruido (LNA) de banda ultraancha (UWB) basado en el modelo de línea de microstrip de la máquina de regresión vectorial de soporte (SVRM). El algoritmo de optimización de enjambre de partículas (PSO) se ha empleado en el procedimiento de resolución de dos parámetros, lo que da como resultado un buen rendimiento en términos de precisión y convergencia rápida.

F. Kamaruzaman y col. proponen el clasificador de detección de coincidencia (CD) con dos métodos de aprendizaje basados ​​en la Red Neural Spiking (SNN). El método propuesto puede producir un patrón de picos de salida a partir de un par de entradas idéntico al modelo discreto de respuesta de picos (SRM) con operaciones flotantes significativamente más bajas y un tiempo de procesamiento mucho más rápido.

Los artículos incluidos en este número especial son de alta calidad, con suerte haciendo contribuciones útiles al área de investigación de algoritmos inspirados en la naturaleza.

Expresiones de gratitud

El Dr. Wei Fang agradece el apoyo de la National Nature Science Foundation of China (subvenciones núms. 61105128, 61170119 y 61373055), la Nature Science Foundation de la provincia de Jiangsu, China (subvenciones núms. BK20131106, BK20130161 y BK20130160), el posdoctorado Science Foundation of China (subvención núm. 2014M560390), los fondos de investigación fundamental para las universidades centrales de China (subvención núm. JUSRP51410B) y el proyecto Six Talent Peaks de la provincia de Jiangsu (subvención núm. DZXX-025). Como editores invitados, nos gustaría agradecer a los autores colaboradores y revisores por su arduo trabajo en la preparación y revisión de las presentaciones.

Wei Fang
Xiaodong Li
Mengjie Zhang
Mengqi Hu

Derechos de autor

Copyright & # xA9 2015 Wei Fang et al. Este es un artículo de acceso abierto distribuido bajo la licencia de atribución de Creative Commons, que permite el uso, distribución y reproducción sin restricciones en cualquier medio, siempre que el trabajo original se cite correctamente.


3.6: Problemas de optimización aplicada - Matemáticas

Proyectos actuales:

POLEAS CELULARES CON VALOR EN CINTAS:

Las gavillas celulares que toman valores en espacios vectoriales se comprenden bien, gracias, por ejemplo, a Justin Curry. Trabajar con datos en diferentes categorías puede ser un desafío. El trabajo actual [con Hans Riess] implica definir e interpretar la cohomología de gavillas para gavillas celulares tomando valores en categorías de celosías. Esto puede tener algunas aplicaciones sorprendentes, incluso en redes.

LAPLACIANOS Y TEORÍA DE HODGE PARA POLEAS:

El gráfico Laplaciano es una fuente fantástica de perspectivas y técnicas en ciencia de redes, análisis de datos y geometría: también es el tipo más simple de Hodge Laplaciano correspondiente a un haz constante sobre un gráfico. Los laplacianos existen por gavillas de espacios de productos internos sobre complejos celulares, y están llenos de grandes hilos de investigación. El trabajo actual [con Jakob Hansen] implica la creación de teoría de la gavilla espectral y optimización distribuida. Esto tiene algunas aplicaciones muy recientes para dinámica de opinión a través de las redes sociales.

DATOS DE SERIES DE TIEMPO:

La área firmada entre dos series de tiempo es una forma sencilla de inferir relaciones adelanto-retraso para datos cíclicos (datos que son periódicos hasta una reparametrización temporal). Esto se relaciona con una vieja teoría de K.-T. Chen en integrales iteradas y el firma de ruta utilizado actualmente en la teoría de caminos difíciles. El trabajo actual [con Darrick Lee] se centra en los aspectos topológicos y geométricos de la firma de la ruta.

PERSISTENCIA HOMOLÓGICA Y TDA:

La necesidad de un cálculo eficiente [en tiempo y memoria] de co / homología es cada vez más urgente, dada la reciente revolución en análisis de datos topológicos. Existen desafíos particulares en la informática co / homología persistente y cohomología de la gavilla, con la necesidad de extraer no solo códigos de barras, pero generadores explícitos. El trabajo anterior utiliza una combinación de teoría de Morse discreta, álgebra lineal numérica eficiente, y teoría matroide, con aplicaciones a datos de neurociencia. El trabajo actual [con Greg Henselman-Petrusek] utiliza álgebra homológica en entornos no belianos que involucran celosías y p-categorías exactas. El trabajo reciente [con Iris Yoon] involucra cosheaves para el cálculo de persistencia distribuida.

PROGRAMACIÓN HOMOLÓGICA:

Hay un "núcleo" topológico para todos los problemas de optimización. Por ejemplo, el original de Von Neumann teorema de minimax se demostró utilizando el teorema de punto fijo de Brouwer. La posterior mejora de Nash utilizó un teorema de punto fijo mejorado. ¿Cuánto de la teoría de la optimización moderna se puede reducir o ampliar a través de la topología algebraica? Quizás mucho. El clasico teorema de max-flow-min-cut tiene una versión teórica de la gavilla [Sanjeevi Krishnan] que conecta Dualidad LP con Dualidad poincaré. El trabajo reciente [w / jakob Hansen] establece programación homológica como una versión topológica de la programación lineal, tratando de resolver problemas de optimización con restricciones (co) homológicas. Esto es especialmente interesante en el contexto de las gavillas.

SEGUIMIENTO TOPOLÓGICO DEL OBJETIVO:

Gavillas y cohomología de la gavilla (y sus duales, cosheaves y homología cosheaf) son extremadamente útiles para resolver problemas locales a globales en muchos contextos. Uno de los usos más interesantes es el seguimiento de objetivos, donde semigrupos sobre el eje del tiempo puede codificar las restricciones de direccionalidad en los juegos de persecución-evasión. Mejor aún es el uso de gavillas sobre posets más generales para fusible diferentes tipos de datos del sensor, convirtiendo el seguimiento basado en la detección en un problema de cobertura para co / homología.

PROCESAMIENTO DE SEÑALES TOPOLÓGICAS:

Gran parte del trabajo en el procesamiento de señales de radar depende sensiblemente de la geometría, ¿qué se puede hacer con datos que son demasiado toscos o ruidosos para retener bien la geometría? ¿Qué pasa si la única información disponible es de naturaleza topológica? Estamos desarrollando herramientas para una procesamiento de señales topológicas, incluyendo Integración de Euler (una alternativa topológica a las integrales de Riemann), complejos nerviosos para señales y modal Lyusternik-Schnirelman categorías. Todas estas herramientas son relevantes para comprender y reconstruir datos a partir de señales topológicas.

Proyectos pasados:

TOPOLOGÍA ALGEBRAICA Y REDES DE SENSORES:

A medida que avance la tecnología de los sensores, podremos reemplazar los sensores grandes y costosos con enjambres de sensores locales pequeños y baratos. Un problema al que se enfrenta la comunidad de sensores es cómo integrar datos locales en una imagen global de un entorno y cómo gestionar la sobrecarga de información. Imagine, por ejemplo, que tiene miles y miles de cámaras de video móviles y una de ellas capta algo importante. ¿Cómo debería autoorganizarse el sistema para atrapar el evento? Y, para hacerlo interesante, supongamos que no tiene GPS, telémetros, sensores de orientación ni brújula. ¿Ahora que?

Afortunadamente, los topólogos resolvieron un problema similar de pasar de datos combinatorios locales a una imagen global (hace unos cien años). Homología y cohomología son sorprendentemente eficaces para responder preguntas sobre cobertura y otros problemas en las redes de sensores. Avances recientes en homología computacional y homología persistente hacen que estas teorías clásicas sean relevantes para una amplia variedad de problemas de seguridad y comunicación. Teoría de la gavilla es sorprendentemente útil en problemas de agregación de datos a través de redes: una simple integral teórica de haz que utiliza la característica de Euler como medida es muy eficaz en problemas de enumeración de objetivos en redes, y los problemas de capacidad de flujo de información se reducen a cohomología de la gavilla.

ROBÓTICA GEOMÉTRICA / TOPOLÓGICA

La robótica es un dominio ideal para que trabaje un matemático: aquí, uno tiene una verdadera necesidad de rigor. Imagínese tratando de verificar que funciona un sistema de control para un neurocirujano robótico. ¿Preferiría tener una simulación por computadora exitosa o un teorema que garantice el desempeño? (Respuesta: obtenga ambos si puede). El uso de métodos e ideas de la topología y la teoría de grupos geométricos produce resultados rigurosos sobre la planificación y el control del movimiento del robot. Los ejemplos incluyen espacios de curvatura no positiva aplicados a robots metamórficos y reconfigurables, y también a problemas de coordinación de robots. Geometría CAT (0) responde preguntas sobre algoritmos de persecución-evasión y planificación óptima de múltiples agentes. Estas ideas también tienen una fuerte superposición con el trabajo en autoensamblaje, especialmente el tipo programable.

TOPOLOGÍA DE CONTACTO Y DINÁMICA DE FLUIDOS

Los resultados rigurosos sobre la dinámica de fluidos son raros para los flujos completamente tridimensionales. Utilizo técnicas globales de topología de contacto (una variante de dimensión impar de topología simpléctica) para probar resultados sobre las clases más difíciles de flujos de fluidos no viscosos estables. Estas técnicas, por ejemplo, homología de contacto, se puede utilizar para responder preguntas sobre fenómenos físicos concretos como inestabilidad hidrodinámica.

NUDOS, ENLACES Y TRENZAS EN DINÁMICA

Una de las formas en que los métodos topológicos impactan más directamente en las aplicaciones es a través de ecuaciones diferenciales: gran parte de la historia de la teoría de sistemas dinámicos se remonta a perspectivas topológicas. He contribuido a las relaciones entre la teoría de nudos y la dinámica. Una forma en la que estos campos interactúan surge siempre que se tiene un campo vectorial en un dominio tridimensional: las órbitas periódicas trazan naturalmente curvas cerradas simples. ¿De qué manera los datos de anudado y enlace reflejan o, de hecho, fuerzan los datos dinámicos? Aquí hay una teoría rica, que incluye ejemplos simples de ecuaciones diferenciales para las que están presentes los tipos más caóticos imaginables de anudado: todos los nudos y eslabones están presentes como órbitas periódicas estructuralmente estables. El trabajo reciente se ha centrado en aplicaciones de teoría de la trenza a PDE parabólicas escalares a través de una versión topológica del principio de comparación. Esto implica utilizar la versión de Conley de la teoría de Morse, lo que lleva a una Homología Floer para trenzas dinámicas.


Ver el vídeo: Aplicación problemas de optimización (Septiembre 2021).