Artículos

4.0: Antidervativos e integración indefinida (revisada)


Hemos dedicado un tiempo considerable a considerar las derivadas de una función y sus aplicaciones. En los siguientes capítulos, comenzaremos a pensar en "la otra dirección". Es decir, dada una función (f (x) ), vamos a considerar funciones (F (x) ) tales que (F '(x) = f (x) ). Existen numerosas razones por las que esto resultará útil: estas funciones nos ayudarán a calcular áreas, volúmenes, masa, fuerza, presión, trabajo y mucho más.

Dada una función (y = f (x) ), una ecuación diferencial es aquella que incorpora (y ), (x ) y las derivadas de (y ). Por ejemplo, una ecuación diferencial simple es:

[y '= 2x. ]

Resolver una ecuación diferencial equivale a encontrar una función (y ) que satisfaga la ecuación dada. Tómate un momento y considera esa ecuación; ¿puedes encontrar una función (y ) tal que (y '= 2x )?

¿Puedes encontrar otro?

¿Y otro más?

Con suerte, uno pudo encontrar al menos una solución: (y = x ^ 2 ). "Encontrar otro" puede parecer imposible hasta que uno se da cuenta de que una función como (y = x ^ 2 + 1 ) también tiene una derivada de (2x ). Una vez que se hace ese descubrimiento, encontrar "otro más" no es difícil; la función (y = x ^ 2 + 123,456,789 ) también tiene una derivada de (2x ). La ecuación diferencial (y '= 2x ) tiene muchas soluciones. Esto nos lleva a algunas definiciones.

Definición ( PageIndex {1} ): Antiderivadas e integrales indefinidas

Sea una función (f (x) ). Un antiderivada de (f (x) ) es una función (F (x) ) tal que (F '(x) = f (x) ).

El conjunto de todas las antiderivadas de (f (x) ) es el integral indefinida de (f ), denotado por

[ int f (x) dx. ]

Anote nuestra definición: nos referimos a un antiderivada de (f ), a diferencia de la antiderivada de (f ), ya que hay siempre un número infinito de ellos. A menudo usamos letras mayúsculas para denotar antiderivadas.

Conocer una antiderivada de (f ) nos permite encontrar infinitamente más, simplemente agregando una constante. Esto no solo nos da más antiderivadas, nos da todas de ellos.

Teorema ( PageIndex {1} ): Formas antiderivadas

Sean (F (x) ) y (G (x) ) antiderivadas de (f (x) ). Entonces existe una constante (C ) tal que

[G (x) = F (x) + C. ]

Dada una función (f ) y una de sus antiderivadas (F ), sabemos todas las antiderivadas de (f ) tienen la forma (F (x) + C ) para alguna constante (C ). Usando Definición ( PageIndex {1} ), podemos decir que

[ int f (x) dx = F (x) + C. ]

Analicemos esta notación integral indefinida.

La figura ( PageIndex {1} ) muestra la notación típica de la integral indefinida. El símbolo de integración, ( int ), es, en realidad, una "S alargada", que representa "tomar la suma". Luego veremos como sumas y antiderivadas están relacionados.

La función de la que queremos encontrar una antiderivada se llama integrando. Contiene el diferencial de la variable con la que estamos integrando. El símbolo ( int ) y el diferencial (dx ) no son "sujetalibros" con una función intercalada; más bien, el símbolo ( int ) significa "encontrar todas las antiderivadas de lo que sigue", y la función (f (x) ) y (dx ) se multiplican juntas; el (dx ) no "simplemente se sienta ahí".

Practiquemos el uso de esta notación.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluar integrales indefinidas

Evalúa ( Displaystyle int sin x dx. )

Solución

Se nos pide que encontremos todas las funciones (F (x) ) tales que (F '(x) = sin x ). Un poco de pensamiento nos llevará a una solución: (F (x) = - cos x ), porque ( frac {d} {dx} (- cos x) = sin x ).

La integral indefinida de ( sin x ) es entonces (- cos x ), más una constante de integración. Entonces:

[ int sin x dx = - cos x + C. ]

Una pregunta frecuente es "¿Qué pasó con (dx )?" La respuesta no iluminada es "No te preocupes por eso. Simplemente desaparece". Una comprensión completa incluye lo siguiente.

Este proceso de antidiferenciación realmente está resolviendo un diferencial pregunta. La integral

[ int sin x dx ]

nos presenta un diferencial, (dy = sin x dx ). Se pregunta: "¿Qué es (y )?" Encontramos muchas soluciones, todas de la forma (y = - cos x + C ).

Dejando (dy = sin x dx ), reescribir

[ int sin x dx quad text {como} quad int dy. ]

Esto es preguntar: "¿Qué funciones tienen un diferencial de la forma (dy )?" La respuesta es "Funciones de la forma (y + C ), donde (C ) es una constante". ¿Qué es (y )? Tenemos muchas opciones, todas diferentes por una constante; la opción más simple es (y = - cos x ).

Comprender todo esto es más importante más adelante, ya que tratamos de encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. En esta sección, simplemente exploraremos las reglas de la integración indefinida, y uno puede tener éxito por ahora respondiendo "¿Qué pasó con (dx )?" con "Se fue".

Practiquemos una vez más antes de establecer reglas de integración.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluar integrales indefinidas

Evalúa ( int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx ).

Solución

Buscamos una función (F (x) ) cuya derivada es (3x ^ 2 + 4x + 5 ). Al tomar derivadas, podemos considerar funciones término por término, por lo que probablemente podamos hacerlo aquí.

¿Qué funciones tienen una derivada de (3x ^ 2 )? Algún pensamiento nos llevará a un cúbico, específicamente (x ^ 3 + C_1 ), donde (C_1 ) es una constante.

¿Qué funciones tienen una derivada de (4x )? Aquí el término (x ) se eleva a la primera potencia, por lo que probablemente busquemos una cuadrática. Algún pensamiento debería llevarnos a (2x ^ 2 + C_2 ), donde (C_2 ) es una constante.

Finalmente, ¿qué funciones tienen una derivada de (5 )? Funciones de la forma (5x + C_3 ), donde (C_3 ) es una constante.

Nuestra respuesta parece ser

[ int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx = x ^ 3 + C_1 + 2x ^ 2 + C_2 + 5x + C_3. ]

No necesitamos tres constantes de integración separadas; combinarlos como una constante, dando la respuesta final de

[ int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x + C. ]

Es fácil verificar nuestra respuesta; tome la derivada de (x ^ 3 + 2x ^ 3 + 5x + C ) y vea que de hecho obtenemos (3x ^ 2 + 4x + 5 ).

Este paso final de "verificar nuestra respuesta" es importante tanto en la práctica como en la teoría. En general, tomar derivadas es más fácil que encontrar antiderivadas, por lo que verificar nuestro trabajo es fácil y vital a medida que aprendemos.

También vemos que tomar la derivada de nuestra respuesta devuelve la función en el integrando. Así podemos decir que:

[ frac {d} {dx} left ( int f (x) dx right) = f (x). ]

La diferenciación "deshace" el trabajo realizado por la antidiferenciación.

El teorema 27 dio una lista de las derivadas de funciones comunes que habíamos aprendido en ese momento. Reafirmamos parte de esa lista aquí para enfatizar la relación entre derivadas y antiderivadas. Esta lista también será útil como un glosario de antiderivadas comunes a medida que aprendamos.

Teorema ( PageIndex {2} ): Derivadas y Antiderivadas

Reglas de diferenciación comunesReglas de integración indefinidas comunes
  1. ( frac {d} {dx} grande (cf (x) grande) = c cdot f '(x) )
  2. ( frac {d} {dx} grande (f (x) pm g (x) grande) = f '(x) pm g' (x) )
  3. ( frac {d} {dx} big (C big) = 0 )
  4. ( frac {d} {dx} grande (x grande) = 1 )
  5. ( frac {d} {dx} grande (x ^ n grande) = n cdot x ^ {n-1} )
  6. ( frac {d} {dx} grande ( sin x grande) = cos x )
  7. ( frac {d} {dx} grande ( cos x grande) = - sin x )
  8. ( frac {d} {dx} big ( tan x big) = sec ^ 2 x )
  9. ( frac {d} {dx} grande ( csc x grande) = - csc x cot x )
  10. ( frac {d} {dx} big ( sec x big) = sec x tan x )
  11. ( frac {d} {dx} grande ( cot x grande) = - csc ^ 2 x )
  12. ( frac {d} {dx} grande (e ^ x grande) = e ^ x )
  13. ( frac {d} {dx} grande (a ^ x grande) = ln a cdot a ^ x )
  14. ( frac {d} {dx} grande ( ln x grande) = frac1 x )
  1. ( int c cdot f (x) dx = c cdot int f (x) dx )
  2. ( int big (f (x) pm g (x) big) dx = int f (x) dx pm int g (x) dx )
  3. ( int 0 dx = C )
  4. ( int 1 dx = int dx = x + C )
  5. ( int x ^ n dx = frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} + C )
  6. ( int cos x dx = sin x + C )
  7. ( int sin x dx = - cos x + C )
  8. ( int sec ^ 2 x dx = tan x + C )
  9. ( int csc x cot x dx = - csc x + C )
  10. ( int sec x tan x dx = sec x + C )
  11. ( int csc ^ 2 x dx = - cot x + C )
  12. ( int e ^ x dx = e ^ x + C )
  13. ( int a ^ x dx = frac {1} { ln a} cdot a ^ x + C )
  14. ( int frac {1} x dx = ln | x | + C )

Destacamos algunos puntos importantes del teorema ( PageIndex {2} ):

  • La regla # 1 establece ( int c cdot f (x) dx = c cdot int f (x) dx ). Esta es la regla del múltiplo constante: podemos ignorar temporalmente las constantes cuando encontramos antiderivadas, tal como lo hicimos al calcular las derivadas (es decir, ( frac {d} {dx} big (3x ^ 2 big) ) es como fácil de calcular como ( frac {d} {dx} big (x ^ 2 big) )). Un ejemplo:

[ int 5 cos x dx = 5 cdot int cos x dx = 5 cdot ( sin x + C) = 5 sin x + C. [
En el último paso podemos considerar que la constante también se multiplica por 5, pero "5 veces una constante" sigue siendo una constante, por lo que simplemente escribimos " (C )".

  • La regla # 2 es la regla de la suma / diferencia: podemos dividir integrales cuando el integrando contiene términos que se suman / restan, como hicimos en el Ejemplo ( PageIndex {2} ). Entonces:

[ begin {align} int (3x ^ 2 + 4x + 5) dx & = int 3x ^ 2 dx + int 4x dx + int 5 dx & = 3 int x ^ 2 dx + 4 int x dx + int 5 dx & = 3 cdot frac13x ^ 3 + 4 cdot frac12x ^ 2 + 5x + C & = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x + C end {align} ]
En la práctica, generalmente no escribimos todos estos pasos, pero los demostramos aquí para que estén completos.

  • La regla n. ° 5 es la regla del poder de integración indefinida. Hay dos cosas importantes a tener en cuenta:
    1. Note la restricción que (n neq -1 ). Esto es importante: ( int frac {1} {x} dx neq ) " ( frac {1} {0} x ^ 0 + C )"; más bien, vea la Regla # 14.
    2. Presentamos la antidiferenciación como la "operación inversa" de diferenciación. Aquí hay una cita útil para recordar: "Las operaciones inversas hacen las cosas opuestas en el orden opuesto".
      Al tomar una derivada usando la regla de la potencia, primero multiplicar por el poder, entonces segundo sustraer 1 del poder. Para encontrar la antiderivada, haga lo opuesto en el orden opuesto: primero agregar uno al poder, entonces segundo dividir por el poder.
  • Tenga en cuenta que la regla # 14 incorpora el valor absoluto de (x ). Los ejercicios ayudarán al lector a entender por qué es así; por ahora, sepa que el valor absoluto es importante y no se puede ignorar.

Problemas de valor inicial

En la sección 2.3 vimos que la derivada de una función de posición dio una función de velocidad y la derivada de una función de velocidad describe la aceleración. Ahora podemos ir "al otro lado": la antiderivada de una función de aceleración da una función de velocidad, etc. Aunque solo hay una derivada de una función dada, hay infinitas antiderivadas. Por lo tanto, no podemos preguntar "¿Qué es la velocidad de un objeto cuya aceleración es (- 32 ) ft / s (^ 2 )? ", ya que hay más de una respuesta.

Podemos encontrar la responda si proporcionamos más información con la pregunta, como se hace en el siguiente ejemplo. A menudo, la información adicional se presenta en forma de valor inicial, un valor de la función que se conoce de antemano.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): resolución de problemas de valor inicial

La aceleración debida a la gravedad de un objeto que cae es (- 32 ) pies / s (^ 2 ). En el tiempo (t = 3 ), un objeto que cae tenía una velocidad de (- 10 ) pies / s. Encuentra la ecuación de la velocidad del objeto.

Solución

Queremos conocer una función de velocidad, (v (t) ). Sabemos dos cosas:

  1. La aceleración, es decir, (v '(t) = -32 ), y
  2. la velocidad en un momento específico, es decir, (v (3) = -10 ).

Usando la primera pieza de información, sabemos que (v (t) ) es una antiderivada de (v '(t) = - 32 ). Entonces comenzamos por encontrar la integral indefinida de (- 32 ):

[ int (-32) dt = -32t + C = v (t). ]

Ahora usamos el hecho de que (v (3) = - 10 ) para encontrar (C ):

[ begin {align} v (t) & = -32t + C v (3) & = -10 -32 (3) + C & = -10 C & = 86 end {align } ]

Entonces (v (t) = -32t + 86 ). Podemos usar esta ecuación para entender el movimiento del objeto: cuando (t = 0 ), el objeto tenía una velocidad de $ v (0) = 86 $ ft / s. Dado que la velocidad es positiva, el objeto se estaba moviendo hacia arriba.

¿Cuándo comenzó el objeto a moverse hacia abajo? Inmediatamente después de (v (t) = 0 ):

[- 32t + 86 = 0 quad Rightarrow quad t = frac {43} {16} approx 2.69 text {s}. ]

Reconozca que podemos determinar bastante sobre la trayectoria del objeto sabiendo solo su aceleración y su velocidad en un solo punto en el tiempo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): resolución de problemas de valor inicial

Encuentra (f (t) ), dado que (f '' (t) = cos t ), (f '(0) = 3 ) y (f (0) = 5 ).

Solución

Comenzamos por encontrar (f '(t) ), que es una antiderivada de (f' '(t) ):

[ int f '' (t) dt = int cos t dt = sin t + C = f '(t). ]

Entonces (f '(t) = sin t + C ) para el valor correcto de (C ). Se nos da que (f '(0) = 3 ), entonces:

[f '(0) = 3 quad Rightarrow quad sin 0 + C = 3 quad Rightarrow quad C = 3. ]

Usando el valor inicial, hemos encontrado (f '(t) = sin t + 3. )

Ahora encontramos (f (t) ) integrando nuevamente.

[f (t) = int f '(t) dt = int ( sin t + 3) dt = - cos t + 3t + C. ]

Se nos da que (f (0) = 5 ), entonces

[ begin {align} - cos 0 + 3 (0) + C & = 5 -1 + C & = 5 C & = 6 end {align} ]

Por tanto, (f (t) = - cos t + 3t + 6 ).

Esta sección introdujo las antiderivadas y la integral indefinida. Descubrimos que son necesarios para encontrar una función dada la información sobre su (s) derivada (s). Por ejemplo, encontramos una función de posición dada una función de velocidad.

En la siguiente sección, veremos cómo la posición y la velocidad están relacionadas inesperadamente por las áreas de ciertas regiones en un gráfico de la función de velocidad. Luego, en la Sección 5.4, veremos cómo las áreas y las antiderivadas están íntimamente ligadas.


Antiderivadas y su aplicación.

En realidad, las antiderivadas son la reserva de la derivada.

Si f (x) y F (x) son las funciones de x tales que $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (F ​​(x)) entonces la antiderivada de f (x) con respecto a x es la función F (x) y se escribe como:

O $ mathop smallint nolimits < rm> izquierda (< rm> derecha) $. dx = F (x)

Si c es una cantidad constante y la derivada de una cantidad constante es cero, entonces,

Por lo tanto, $ mathop smallint nolimits < rm> izquierda (< rm> derecha) $. dx = F (x) + c.

Dado que c es una constante desconocida y puede ser cualquier número real, hay varias antiderivadas de una función que son diferentes entre sí por una constante. Veamos el siguiente ejemplo:

Si y = x 2 es la función dada, entonces,

O $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (x 2) = 2x, luego $ mathop smallint nolimits 2 < rm>. $ dx = x 2

Si a es constante, $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (x 2 + a) = 2x, luego $ mathop smallint nolimits 2 < rm>. < rm> $ = x 2 + ay así sucesivamente.

Los ejemplos anteriores muestran que hay varias antiderivadas de 2x que son diferentes entre sí por una constante.

Si f (x) y F (x) son dos funciones tales que $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (F ​​(x)) = f (x) luego $ frac << rm>> <<< rm>>> $ (F ​​(x) + c) = f (x) como derivada de un término constante es cero, entonces

O $ mathop smallint nolimits < rm> izquierda (< rm> derecha) $. dx = F (x) + c

Donde, c es una constante arbitraria. Dado que esta constante es la cantidad desconocida, se la conoce como integral indefinida.

La integral de una función independiente de la constante arbitraria se conoce como integral definida.

= $ mathop smallint nolimits left (<2 < rm> + 3> derecha) < izquierda (<6 < rm> + 8> derecha) ^ 5> $. Dx

= $ frac <1> <3> mathop smallint nolimits left (<6 < rm> + 9> derecha) < izquierda (<6 < rm> + 8> right) ^ 5> $. Dx = $ frac <1> <3> mathop smallint nolimits left << left (<6 < rm> + 8> derecha) + 1> derecha > < izquierda (<6 < rm> + 8> derecha) ^ 5> $. Dx


1. Función constante

El subprograma muestra un gráfico a la izquierda del integrando F ' (X) = 2, una función constante. A continuación se muestra la gráfica de la antiderivada: Piense en la gráfica de la izquierda (el integrando) como la representación de la pendiente de la gráfica de la derecha (la antiderivada). Tenga en cuenta que dado que la gráfica de la izquierda es constante, también lo es la pendiente de la gráfica de la derecha, y obtenemos una línea con pendiente 2. Mueva C control deslizante ¿qué pasa con el gráfico? Si trabaja al revés, pensando que la gráfica de la izquierda es la derivada de la gráfica de la derecha, verá por qué cambiar C no tiene ningún efecto en el gráfico de la izquierda.


En realidad, esta es una buena pregunta y es tremendamente confusa si no se cuenta con los antecedentes adecuados de análisis.

Un antiderivada de $ f (x) $ en un conjunto $ X $ es una función $ F (x) $ tal que $ F '(x) = f (x) $ para todo $ x en X $. Tenga en cuenta que las antiderivadas ciertamente no son únicas, por lo que se agrega un C $ (la derivada de la constante es cero).

El primer teorema fundamental del cálculo dice que si $ f $ es integrable en $ [a, x] $ y existe una antiderivada $ F (x) $ para todo $ x en [a, b] $, entonces $ int_a ^ xf = F (x) -F (a) $. Llamamos $ F (x) = F (a) + int_a ^ x f (y) , mathrmy $ an integral indefinida. Obviamente, $ F '(x) = f (x) $ según el segundo teorema fundamental si $ f $ es continuo en $ x $.

Donde las cosas se vuelven sutiles es considerar $ F (x) $ en general cuando $ f $ es integrable, pero no necesariamente continuo. Es una función continua perfectamente legítima. Sin embargo, no es necesariamente una antiderivada de $ f $ si $ f $ no es continuo en $ x $.

Por ejemplo, considere $ f (x) = begin1, & amp quad x in [0,1] 2, & amp quad x in (1,2] end$

No hay función antiderivada $ F (x) $ en $ [0,2] $. Uno podría sospechar que $ F (x) = beginx, & amp quad x in [0,1] 2x, & amp quad x in (1,2] end $ funciona. Sin embargo, mientras que cada parte de $ F (x) $ sirve como antiderivada en $ [0,1] $ y $ (1,2] $ respectivamente, esta función por partes no es una antiderivada en $ [0,2] $, aunque $ F (x) = F (0) + int_0 ^ xf (y) , mathrmy $ es continuo. Otra forma de verlo es que $ int_0 ^ 2 f = 1 + 2 = 3 $, que no es igual a $ F (2) -F (0) = 4-0 = 4 $, estaríamos contradeciendo el fundamental teorema para afirmar que $ F $ es una antiderivada.

Ahora considere cuándo $ f $ es continuo. Entonces siempre es cierto que $ F (x) = C + int_a ^ x f (y) , mathrmy $ cumple la función de antiderivada. La razón por la que esta notación es común es porque se mantiene incluso si la antiderivada no tiene una forma elemental. Por ejemplo, considere $ f (x) = e ^$, que es continuo en cualquier $ [a, b] $. Entonces es cierto que $ F (x) = int_a ^ x e ^, mathrmy $ satisface $ F '(x) = f (x) $, pero la notación es más instructiva ya que no existe una forma elemental.

Espero que algo de esto ayude. Lo anterior también subraya el hecho de que todas las funciones diferenciables son continuas y que una función puede ser diferenciable sin que la derivada sea continua.


3 respuestas 3

$ F $ es no la antiderivada de $ f $ en todo el intervalo $ [0,2] $, porque su derivada no existe en $ 1 $. Por tanto, la hipótesis del teorema fundamental del cálculo integral de $ 2 $ nd no se satisface.

El uso de la antiderivada para calcular una integral es el (segundo) Teorema fundamental del cálculo. Dicho teorema requiere que la función $ f $ que desea integrar sea continua en todo el intervalo (donde desea integrar). Su $ f $ no es continuo en $ [0,2] $ y por lo tanto el teorema no funciona. De hecho, $ f $ no puede tener una antiderivada en el punto $ x = 1 $ porque $ f $ tiene una discontinuidad simple en el punto $ x = 1 $.

Podemos encontrar una función $ G $ tal que $ G '= f $ en [0,1] (considerando las derivadas de la izquierda en $ x = 1 $) y $ G' = f $ en [1,2] considerando la mano derecha derivados en $ x = 1 $, y tales que $ G $ calcula el área debajo de $ f $ en el intervalo $ [0, x] $

Al considerar la segunda mitad $ [1,2] $, no debe olvidar el área debajo de $ f $ en $ [0,1] $. Con esto en mente, ponga:

$ G (x) = beginx quad quad text x en [0,1] 1 + 2 (x-1) text x in [1,2] end$

Donde el $ x-1 $ proviene de considerar el rectángulo cuya base es el segmento $ [1, x] $ para $ x & gt1 $

Entonces $ G (2) -G (0) = 1 + 2 (2-1) -0 = 3 = int_ <0> ^ <2> f (x) dx $, como se desee.

Su $ F $ no es realmente una antiderivada, porque no tenemos $ F '(x) = f (x) $ en todas partes; de hecho, $ F' (1) $ ¡no existe en absoluto!

Peor aún, $ F $ ni siquiera es un integral indefinida, porque tiene una discontinuidad de salto de $ 1 $.

Si agrega una constante apropiada a uno de los dos casos en la definición de $ F $, puede deshacerse de la discontinuidad del salto, y luego será una integral indefinida (pero aún no una antiderivada), si definimos "integral indefinida" significa una función que nos permite calcular integrales definidas mediante la regla $ int_a ^ bf (x) , dx = F (b) -F (a) $. (Por otro lado, parece ser más común definir "integral indefinida" simplemente como sinónimo de "antiderivada", y luego deshacerse del salto no produce uno, por supuesto).

De hecho $ f $ hipocresía tienen alguna antiderivada porque las derivadas siempre satisfacen la propiedad del valor intermedio (según el teorema de Darboux), pero $ f $ no Haz eso.


Ejemplo

Los puntos y comas sirven para separar una instrucción de la siguiente, y se vuelven necesarios ahora que estamos haciendo una programación real. La línea 1 de este programa define la variable n, que tomará todos los valores de 1 a 100. La línea 2 dice que aún no hemos agregado nada, por lo que nuestra suma acumulada es cero hasta ahora. La línea 3 dice que siga repitiendo las instrucciones dentro de los corchetes hasta que n pase de 100. La línea 4 actualiza la suma acumulada y la línea 5 actualiza el valor de n. Si nunca ha realizado ninguna programación antes, una afirmación como puede parecer una tontería: ¿cómo puede un número ser igual a sí mismo más uno? Pero es por eso que usamos el símbolo: = que dice que estamos redefiniendo, no estableciendo una ecuación. Si anteriormente era 37, luego de que se ejecute esta declaración, n se redefinirá como 38. Para ejecutar el programa en una computadora Linux, haga esto (asumiendo que guardó el programa en un archivo llamado):

Aquí, el símbolo% es el mensaje de la computadora. El resultado es 5.050, como se esperaba. Una forma de expresar este resultado es
La letra griega mayúscula, sigma, se usa porque hace el sonido "s", y ese es el primer sonido de la palabra "suma". A continuación, el sigma dice que la suma comienza en 1 y el 100 en la parte superior dice que termina en 100. Es lo que se conoce como una variable ficticia: no tiene significado fuera del contexto de la suma. La figura 4.1 muestra la interpretación gráfica de la suma: estamos sumando las áreas de una serie de franjas rectangulares. (Para mayor claridad, la figura solo muestra la suma hasta 7, en lugar de 100).

Ahora, ¿qué tal una integral? La figura 4.2 muestra la interpretación gráfica de lo que estamos tratando de hacer: encontrar el área del triángulo sombreado. Este es un ejemplo que sabemos cómo hacer simbólicamente, por lo que también podemos hacerlo numéricamente y comparar las respuestas entre sí. Simbólicamente, el área está dada por la integral. Para integrar la función, sabemos que necesitamos alguna función con a en ella, ya que queremos algo cuya derivada es, y la diferenciación reduce la potencia en uno. La derivada de sería en lugar de, así que lo que queremos es. Calculemos el área del triángulo que se extiende a lo largo del eje de 0 a 100:.

La figura 4.3 muestra cómo lograr lo mismo numéricamente. Dividimos el área en un montón de rectángulos muy delgados. Idealmente, nos gustaría hacer que el ancho de cada rectángulo sea un número infinitesimal, de modo que sumemos un número infinitesimal de áreas infinitesimales. En realidad, una computadora no puede hacer eso, así que dividimos el intervalo de a en rectángulos, cada uno con un ancho finito. En lugar de hacer H infinito, lo convertimos en el número más grande que podamos sin hacer que la computadora tarde demasiado en sumar las áreas de los rectángulos.


Encuentra las siguientes integrales:

Simplifica raíces cuadradas en exponentes fraccionarios y aplica reglas de suma para integrales.

Mover constantes fuera de integrales

Integre usando la regla de potencia para la integración y no olvide el CONSTANTE

Para poderes más complejos, puede usar una sustitución antes de aplicar la regla de poder.

[ int (x ^ 2 -x) left (x ^ 3 - frac <3> <2> x ^ 2) ^ 8 right) dx ]

Sustituye los valores dentro del corchete y encuentra la derivada de la sustitución


4.0: Antidervativos e integración indefinida (revisada)

    U2C [aL2E7bqfE-bo! HY /: ZD- "f ^ 9G4.0: Antidervativos e integración indefinida (revisada), [nobr] [H1toH2]

    Cálculo revisitado # 11: Integración por sustitución

    ¡Bienvenido a la Parte 11 de nuestro viaje de Cálculo revisitado de 21 partes! Hoy continuamos con las integrales y comenzamos la primera de cuatro entradas de blog sobre técnicas de integración. Haré todo lo posible para explicar cada uno, pero creo que la mejor manera de demostrar estas técnicas es con el ejemplo.

    Integración por sustitución

    Tenemos la integral & # 8747 f (x) dx.

    Encuentre una función u (x) tal que

    & # 8747 f (u) * du es más fácil de integrar que & # 8747 f (x) dx.

    Para la integral definida

    y la integral se reescribe como

    Vayamos a los problemas resueltos para demostrar esta técnica.

    Problemas
    Integrales indefinidas

    Sea u (x) = 4 + 5x
    Entonces du = 5 dx

    Tenga en cuenta que & # 8730u = & # 8730 (4 + 5x)
    y dx = du / 5

    & # 8747 & # 8730 (4 + 5x) dx
    = & # 8747 & # 8730u * 1/5 du
    = 1/5 * & # 8747 & # 8730u du
    = 1/5 * (u ^ (3/2)) / (3/2) + C
    = 1/5 * 2/3 * u ^ (3/2) + C
    = 2/15 * u ^ (3/2) + C
    Cuando se utiliza la sustitución, no olvide indicar la respuesta en la variable original, en este caso, x. u = 4 + 5x
    = 2/15 * (4 + 5x) ^ (3/2) + C

    Sea u = 1 + 2 cos x
    Entonces du = - 2 sin x dx

    Nota: du / 2 = sin x dx (que coincide con el numerador)

    Reescribiendo la integral:
    & # 8747 sin x / & # 8730 (1 + 2 cos x) dx
    = & # 8747 1 / & # 8730u * -1/2 du
    = -1/2 * & # 8747 u ^ (- 1/2) du
    = -1/2 * u ^ (1/2) * 2 + C
    = -u ^ (1/2) + C
    = - & # 8730u + C
    Recuerda. ¡la respuesta debe contener la variable original!
    = - & # 8730 (1 + 2 cos x) + C

    Las sustituciones adecuadas facilitan la integración. Los siguientes dos problemas ilustran esto.

    Sea u = sen x
    Entonces du = cos dx (observe el cos x en la integral)

    & # 8747 sin ^ 4 x * cos x dx
    = & # 8747 u ^ 4 du
    = u ^ 5/5 + C
    = sin ^ 5 x / 5 + C

    Sea u = e ^ x
    Entonces du = e ^ x dx (coincide con el numerador)

    & # 8747 e ^ x / (e ^ (2x) + 1) dx
    = & # 8747 du / (u ^ 2 + 1)
    = atan u + C
    = atan (e ^ (2x)) + C

    Si usa la técnica de sustitución con integrales indefinidas, ¡NO olvide tener en cuenta los límites! Para integrales definidas, recalculará los límites para tener en cuenta la sustitución. Los dos problemas siguientes ilustran este punto.

    Tenga en cuenta du / 2 = dx (intente obtener el término con dx para que coincida con alguna parte de la integral)

    Contabilización de los límites:
    Nuevo límite superior = 2 * 1 = 2
    Nuevo límite inferior = 2 * -1 = -2

    = 1/2 * (sin (2) + sin (2)) = sin (2) & # 8776 0.90930

    Encontrar la sustitución correcta puede resultar complicado a veces. Puede ser necesaria la manipulación algebraica. Aquí hay un problema más difícil.

    Sea u = & # 8730t - 1
    Entonces du = 1 / (2 & # 8730t) dt

    Para ayudar a emparejar la integral, (2 & # 8730t) du = dt

    Tenga en cuenta que 2 & # 8730t = 2 (u + 1) = 2u + 2 (observe la sustitución y resuelva para & # 8730t).

    No podemos olvidarnos de los límites, ya que estamos trabajando con una integral definida.
    u = & # 8730t - 1

    Nuevo límite superior: & # 87309 - 1 = 4 - 1 = 3
    Nuevo límite inferior: & # 87304 - 1 = 2 - 1 = 2

    La antiderivada es u ^ 2 + 4u + 2 ln u

    = ((2) ^ 2 + 4 (2) + 2 ln (2)) - ((1) ^ 2 + 4 (1) + 2 ln (1))

    = (4 + 8 + 2 en 2) - (1 + 4 + 2 * 0)

    ¡Lo mejor que puede hacer si está en un curso de cálculo es practicar, practicar, practicar!

    Espero que estos seis problemas de ejemplo le ayuden a comprender la técnica de sustitución. El dominio de esta técnica vendrá con el tiempo y la práctica, y acelerará la evaluación integral.

    La próxima vez, veremos la famosa (o quizás infame) técnica de Integración por Partes.


    Cálculo

    1) Encuentre la antiderivada más general de la función. (Verifique su respuesta por diferenciación. Use C para la constante de la antiderivada. Recuerde usar ln | u | donde sea apropiado.) F (x) = (1/5) - (3 / x) -----> ( x / 5) -3lnx + C

    Trigonometría

    1) ¿Cuál es el cambio de fase de f (x) = -2sin (3x-pi) +1 2) Cuál es el período de f (x) = -2sin (3x-pi) +1

    Necesito ayuda para el cálculo por favor, por favor, señor Steve.

    si y = 3e ^ (2x) cos (2x-3) verifique que d ^ 2y / dx ^ 2-4dy / dx + 8y = 0 por favor ayúdenme. Intenté todo lo que pude, pero se volvió demasiado complicado para mí. 3e ^ (2x) v = cos (2x-3) du / dx = 6e ^ (2x) utilicé la regla de la cadena dv / dx = -2sin (2x-3)

    Cálculo

    Encuentre la longitud de la curva correcta a cuatro lugares decimales. (Use una calculadora para aproximar la integral). r (t) = (cos π t, 2t, sin 2πt), de (1, 0, 0) a (1, 4, 0) Esto es lo que hice. r '(t) = - πsin (πt), 2,2πcos (2πt)

    (1 punto) Encuentre la antiderivada particular que satisfaga las siguientes condiciones: p '(x) = -20 / x ^ 2 p (6) = 4

    Precálculo

    Resuelva la ecuación en el intervalo [0,2pi). 2sin ^ 2x-3sinx + 1 = 0 (2sinx + 1) (sinx + 1) No creo que hice la factorización correctamente. Cuando lo multiplico para verificar, obtengo 2sin ^ 2x + 3sinx + 1

    Encuentre la antiderivada particular que satisfaga las siguientes condiciones dy / dx = 7x ^ [- 2] + 8x ^ [- 1] −6y (1) = 2.

    Cálculo

    Suponga que f (x) es una función continua. Entonces, una función F (x) tal que F '(x) = f (x) se llama: A.) la integral indefinida de f B.) la antiderivada de f C.) una antiderivada de f D.) una integral definida de f E.) Todos los

    Cálculo

    Hallar la antiderivada de e ^ (2lnx) + e ^ (2x)

    Cálculo

    P: Encuentre la antiderivada F de f (x) = 4−3 (1 + x ^ 2) ^ - 1 que satisface F (1) = - 9. Obtuve 4x-3arctan (x), pero todavía parece ser incorrecto, y al hw no le importan las constantes (como + C al final). ¿Me estoy perdiendo de algo?


    Ver el vídeo: Integrales inmediatas e indefinidas 01 BACHILLERATO (Septiembre 2021).