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2.9: Regla de L'Hôpital


En esta sección, examinamos una poderosa herramienta para evaluar límites. Esta herramienta, conocida como La regla de L'Hôpital, utiliza derivadas para calcular límites. En lugar de confiar en la evidencia numérica para conjeturar que existe un límite, podremos demostrar definitivamente que existe un límite y determinar su valor exacto.

Aplicación de la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital se puede utilizar para evaluar los límites que involucran el cociente de dos funciones. Considerar

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)}. ]

Si ( lim_ {x → a} f (x) = L_1 ) y ( lim_ {x → a} g (x) = L_2 ≠ 0, ) entonces

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = dfrac {L_1} {L_2}. ]

Sin embargo, ¿qué sucede si ( lim_ {x → a} f (x) = 0 ) y ( lim_ {x → a} g (x) = 0 )? Llamamos a este uno de los formas indeterminadas, de tipo ( dfrac {0} {0} ). Esto se considera una forma indeterminada porque no podemos determinar el comportamiento exacto de ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) como (x → a ) sin un análisis adicional. Hemos visto ejemplos de esto anteriormente en el texto. Por ejemplo, considere

[ lim_ {x → 2} dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} ]

y

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x}. ]

Para el primero de estos ejemplos, podemos evaluar el límite factorizando el numerador y escribiendo

[ lim_ {x → 2} dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} = lim_ {x → 2} dfrac {(x + 2) (x − 2)} {x − 2} = lim_ {x → 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4. ]

Para ( lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x} ) pudimos mostrar, usando un argumento geométrico, que

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x} = 1. ]

Aquí utilizamos una técnica diferente para evaluar límites como estos. Esta técnica no solo proporciona una forma más fácil de evaluar estos límites, sino que también, y lo que es más importante, nos proporciona una forma de evaluar muchos otros límites que no pudimos calcular previamente.

La idea detrás de la regla de L'Hôpital se puede explicar mediante aproximaciones lineales locales. Considere dos funciones diferenciables (f ) y (g ) tales que ( lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) y tal que (g ′ (a) ≠ 0 ) Para (x ) cerca de (a ), podemos escribir

[f (x) ≈f (a) + f ′ (a) (x − a) ]

y

[g (x) ≈g (a) + g ′ (a) (x − a). ]

Por lo tanto,

[ dfrac {f (x)} {g (x)} ≈ dfrac {f (a) + f ′ (a) (x − a)} {g (a) + g ′ (a) (x− a)}.]

Como (f ) es diferenciable en (a ), entonces (f ) es continuo en (a ), y por lo tanto (f (a) = lim_ {x → a} f (x) = 0 ). De manera similar, (g (a) = lim_ {x → a} g (x) = 0 ). Si también asumimos que (f ′ ) y (g ′ ) son continuas en (x = a ), entonces (f ′ (a) = lim_ {x → a} f ′ (x) ) y (g ′ (a) = lim_ {x → a} g ′ (x) ). Usando estas ideas, llegamos a la conclusión de que

( lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x) (x − a)} {g ′ (x ) (x − a)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ).

Tenga en cuenta que la suposición de que (f ′ ) y (g ′ ) son continuas en (a ) y (g ′ (a) ≠ 0 ) puede aflojarse. Declaramos formalmente la regla de L'Hôpital para la forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ). También tenga en cuenta que la notación ( dfrac {0} {0} ) no significa que en realidad estemos dividiendo cero por cero. Más bien, estamos usando la notación ( dfrac {0} {0} ) para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es cero.

Regla de L'Hôpital (caso 0/0)

Suponga que (f ) y (g ) son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene (a ), excepto posiblemente en (a ). Si ( lim_ {x → a} f (x) = 0 ) y ( lim_ {x → a} g (x) = 0, ) entonces

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)}, ]

asumiendo que el límite de la derecha existe o es (∞ ) o (- ∞ ). Este resultado también es válido si estamos considerando límites unilaterales o si (a = ∞ y − ∞. )

Prueba:

Proporcionamos una prueba de este teorema en el caso especial cuando (f, g, f ′, ) y (g ′ ) son todos continuos en un intervalo abierto que contiene a. En ese caso, dado que ( lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) y (f ) y (g ) son continuas en (a ), se sigue que (f (a) = 0 = g (a) ). Por lo tanto,

( lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f (x) −f (a)} {g (x) - g (a)} ) ya que (f (a) = 0 = g (a) )

(= lim_ {x → a} dfrac { dfrac {f (x) −f (a)} {x − a}} { dfrac {g (x) −g (a)} {x − a }} ) álgebra

(= dfrac { lim_ {x → a} dfrac {f (x) −f (a)} {x − a}} { lim_ {x → a} dfrac {g (x) −g ( a)} {x − a}} ) límite de un cociente

(= dfrac {f ′ (a)} {g ′ (a)} ) definición de la derivada

(= dfrac { lim_ {x → a} f ′ (x)} { lim_ {x → a} g ′ (x)} ) continuidad de (f ′ ) y (g ′ )

(= lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ). límite de un cociente

Tenga en cuenta que la regla de L'Hôpital establece que podemos calcular el límite de un cociente ( dfrac {f} {g} ) considerando el límite del cociente de las derivadas ( dfrac {f ′} {g ′} ). Es importante darse cuenta de que no estamos calculando la derivada del cociente ( dfrac {f} {g} ). □

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Aplicación de la regla de L'Hôpital (caso 0/0)

Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital.

  1. ( lim_ {x → 0} dfrac {1− cos x} {x} )
  2. ( lim_ {x → 1} dfrac { sin (πx)} { ln x} )
  3. ( lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} −1} {1 / x} )
  4. ( lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} )

Solución

a .. Dado que el numerador (1− cos x → 0 ) y el denominador (x → 0 ), podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar este límite. Tenemos

( lim_ {x → 0} dfrac {1− cos x} {x} = lim_ {x → 0} dfrac { dfrac {d} {dx} (1− cos x)} { dfrac {d} {dx} (x)} = lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {1} = dfrac { lim_ {x → 0} ( sin x)} { lim_ { x → 0} (1)} = dfrac {0} {1} = 0. )

B. Como (x → 1, ) el numerador (sin (πx) → 0 ) y el denominador ( ln (x) → 0. ) Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

( lim_ {x → 1} dfrac {sin (πx)} { ln x} = lim_ {x → 1} dfrac {π cos (πx)} {1 / x} )

(= lim_ {x → 1} (πx) cos (πx) )

(= (π⋅1) (- 1) = - π. )

C. Como (x → ∞ ), el numerador (e ^ {1 / x} −1 → 0 ) y el denominador (( dfrac {1} {x}) → 0 ). Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} −1} { dfrac {1} {x}} = lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} ( dfrac {−1} {x ^ 2})} {( dfrac {−1} {x ^ 2})} = lim_ {x → ∞} e ^ {1 / x} = e ^ 0 = 1 ⋅ lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} −1} { ln x}. ]

D. Cuando (x → 0, ) tanto el numerador como el denominador se acercan a cero. Obtenemos

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} = lim_ {x → 0} dfrac { cos x − 1} {2x}. ]

Dado que el numerador y el denominador de este nuevo cociente se acercan a cero cuando (x → 0 ), aplicamos la regla de L'Hôpital nuevamente. Al hacerlo, vemos que

[ lim_ {x → 0} dfrac { cos x − 1} {2x} = lim_ {x → 0} dfrac {- sin x} {2} = 0. ]

Por tanto, concluimos que

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} = 0. ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Evalúa [ lim_ {x → 0} dfrac {x} { tan x}. ]

Insinuación

( dfrac {d} {dx} tan x = sec ^ 2x )

Respuesta

(1)

También podemos usar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites de los cocientes ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) en los que (f (x) → ± ∞ ) y (g (x ) → ± ∞ ). Los límites de esta forma se clasifican como formas indeterminadas de tipo (∞ / ∞ ). Nuevamente, tenga en cuenta que en realidad no estamos dividiendo (∞ ) entre (∞ ). Dado que (∞ ) no es un número real, eso es imposible; más bien, (∞ / ∞ ). se usa para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es (∞ ) o (- ∞ ).

Regla de L'Hôpital (Caso (∞ / ∞ ))

Suponga que (f ) y (g ) son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene (a ), excepto posiblemente en (a ). Suponga que ( lim_ {x → a} f (x) = ∞ ) (o (- ∞ )) y ( lim_ {x → a} g (x) = ∞ ) (o (- ∞ )). Luego,

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ]

asumiendo que el límite de la derecha existe o es (∞ ) o (- ∞ ). Este resultado también es válido si el límite es infinito, si (a = ∞ ) o (- ∞ ), o si el límite es unilateral.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Aplicación de la regla de L'Hôpital ( (∞ / ∞ )) Caso

Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital.

  1. ( lim_ {x → infty} dfrac {3x + 5} {2x + 1} )
  2. ( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} )

Solución

una. Dado que (3x + 5 ) y (2x + 1 ) son polinomios de primer grado con coeficientes principales positivos, ( lim_ {x → ∞} (3x + 5) = ∞ ) y ( lim_ { x → ∞} (2x + 1) = ∞ ). Por lo tanto, aplicamos la regla de L'Hôpital y obtenemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac {3x + 5} {2x + 1} = lim_ {x → ∞} dfrac {3 + 5 / x} {2x + 1} = lim_ {x → ∞ } dfrac {3} {2} = dfrac {3} {2}. ]

Tenga en cuenta que este límite también se puede calcular sin invocar la regla de L'Hôpital. Anteriormente en el capítulo, mostramos cómo evaluar dicho límite dividiendo el numerador y el denominador por la potencia más alta de x en el denominador. Al hacerlo, vimos que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {3x + 5} {2x + 1} = lim_ {x → ∞} dfrac {3 + 5 / x} {2x + 1} = dfrac {3} { 2}. ]

La regla de L'Hôpital nos proporciona un medio alternativo para evaluar este tipo de límite.

B. Aquí, ( lim_ {x → 0 ^ +} ln x = −∞ ) y ( lim_ {x → 0 ^ +} cot x = ∞ ). Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x} {- csc ^ 2x} = lim_ { x → 0 ^ +} dfrac {1} {- x csc ^ 2x}. ]

Ahora como (x → 0 ^ +, csc ^ 2x → ∞ ). Por lo tanto, el primer término en el denominador se acerca a cero y el segundo término se está volviendo realmente grande. En tal caso, cualquier cosa puede pasar con el producto. Por tanto, todavía no podemos sacar ninguna conclusión. Para evaluar el límite, usamos la definición de (cscx ) para escribir

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1} {- x csc ^ 2x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin ^ 2x} {- x}. ]

Ahora ( lim_ {x → 0 ^ +} sin ^ 2x = 0 ) y ( lim_ {x → 0 ^ +} x = 0 , entonces aplicamos la regla de L'Hôpital nuevamente. Encontramos

( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {sin ^ 2x} {- x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {2 sin x cos x} {- 1} = dfrac {0} {- 1} = 0. )

Concluimos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} = 0. ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Evalúe [ lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {5x}. sin número]

Insinuación

( dfrac {d} {dx} ln x = dfrac {1} {x} )

Respuesta

(0)

Como se mencionó, la regla de L'Hôpital es una herramienta extremadamente útil para evaluar límites. Sin embargo, es importante recordar que para aplicar la regla de L'Hôpital a un cociente f (x) g (x), es esencial que el límite de ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) tener la forma ( dfrac {0} {0} ) o (∞ / ∞ ). Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): cuando no se aplica la regla de L'Hôpital

Considere [ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4}. ]

Muestre que el límite no se puede evaluar aplicando la regla de L'Hôpital.

Solución

Debido a que los límites del numerador y del denominador no son ambos cero y no son ambos infinitos, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Si tratamos de hacerlo, obtenemos

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 5) = 2x ]

y

[ dfrac {d} {dx} (3x + 4) = 3. ]

En cuyo punto concluiríamos erróneamente que

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} = lim_ {x → 1} dfrac {2x} {3} = dfrac {2} {3}. ]

Sin embargo, dado que ( lim_ {x → 1} (x ^ 2 + 5) = 6 ) y ( lim_ {x → 1} (3x + 4) = 7, ) en realidad tenemos

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} = dfrac {6} {7}. ]

Podemos concluir que

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} ≠ lim_ {x → 1} dfrac { dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 5)} { dfrac {d} {dx} (3x + 4).} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Explique por qué no podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar ( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { cos x} {x} ). Evalúe ( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { cos x} {x} ) por otros medios.

Insinuación

Determine los límites del numerador y el denominador por separado.

Respuesta

( lim_ {x → 0 ^ +} cos x = 1. ) Por lo tanto, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. El límite del cociente es (∞ )

Otras formas indeterminadas

La regla de L'Hôpital es muy útil para evaluar los límites que involucran las formas indeterminadas ( dfrac {0} {0} ) y (∞ / ∞ ). Sin embargo, también podemos usar la regla de L'Hôpital para ayudar a evaluar los límites que involucran otras formas indeterminadas que surgen al evaluar los límites. Las expresiones (0⋅∞, ∞ − ∞, 1 ^ ∞, ∞ ^ 0 ) y (0 ^ 0 ) se consideran todas formas indeterminadas. Estas expresiones no son números reales. Más bien, representan formas que surgen al intentar evaluar ciertos límites. A continuación, nos damos cuenta de por qué son formas indeterminadas y luego entendemos cómo utilizar la regla de L'Hôpital en estos casos. La idea clave es que debemos reescribir las formas indeterminadas de tal manera que lleguemos a la forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) o (∞ / ∞ ).

Forma indeterminada de tipo 0⋅∞

Supongamos que queremos evaluar ( lim_ {x → a} (f (x) ⋅g (x)) ), donde (f (x) → 0 ) y (g (x) → ∞ ) (o (- ∞ )) como (x → a ). Dado que un término en el producto se acerca a cero pero el otro término se vuelve arbitrariamente grande (en magnitud), cualquier cosa puede sucederle al producto. Usamos la notación (0⋅∞ ) para denotar la forma que surge en esta situación. La expresión (0⋅∞ ) se considera indeterminada porque no podemos determinar sin más análisis el comportamiento exacto del producto (f (x) g (x) ) como (x → ∞ ). Por ejemplo, sea (n ) un entero positivo y considere

(f (x) = dfrac {1} {(x ^ n + 1)} ) y (g (x) = 3x ^ 2 ).

Como (x → ∞, f (x) → 0 ) y (g (x) → ∞ ). Sin embargo, el límite como (x → ∞ ) de (f (x) g (x) = dfrac {3x ^ 2} {(x ^ n + 1)} ) varía, dependiendo de (n ). Si (n = 2 ), entonces ( lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = 3 ). Si (n = 1 ), entonces ( lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = ∞ ). Si (n = 3 ), entonces ( lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = 0 ). Aquí consideramos otro límite que involucra la forma indeterminada (0⋅∞ ) y mostramos cómo reescribir la función como un cociente para usar la regla de L’Hôpital.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): forma indeterminada de tipo (0⋅∞ )

Evalúa ( lim_ {x → 0 ^ +} x ln x. )

Solución

Primero, reescribe la función (x ln x ) como un cociente para aplicar la regla de L'Hôpital. Si escribimos

[x ln x = dfrac { ln x} {1 / x} ]

vemos que ( ln x → −∞ ) como (x → 0 ^ + ) y ( dfrac {1} {x} → ∞ ) como (x → 0 ^ + ). Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener

( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} {1 / x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { dfrac {d} {dx} ( ln x)} { dfrac {d} {dx} (1 / x)} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x} {- 1 / x ^ 2} = lim_ {x → 0 ^ +} (−x) = 0. )

Concluimos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} x ln x = 0. ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Evalúa [ lim_ {x → 0} x cot x. ]

Insinuación

Escribe [x cot x = dfrac {x cos x} { sin x} ]

Respuesta

(1)

Forma indeterminada de tipo (∞ − ∞ )

Otro tipo de forma indeterminada es (∞ − ∞. ) Considere el siguiente ejemplo. Sea (n ) un número entero positivo y sea (f (x) = 3x ^ n ) y (g (x) = 3x ^ 2 + 5 ). Como (x → ∞, f (x) → ∞ ) y (g (x) → ∞ ). Estamos interesados ​​en ( lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) ). Dependiendo de si (f (x) ) crece más rápido, (g (x) ) crece más rápido o crecen al mismo ritmo, como veremos a continuación, cualquier cosa puede suceder en este límite. Dado que (f (x) → ∞ ) y (g (x) → ∞ ), escribimos (∞ − ∞ ) para denotar la forma de este límite. Al igual que con nuestras otras formas indeterminadas, (∞ − ∞ ) no tiene significado por sí solo y debemos hacer más análisis para determinar el valor del límite. Por ejemplo, suponga que el exponente n en la función (f (x) = 3x ^ n ) es (n = 3 ), entonces

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x ^ 3−3x ^ 2−5) = ∞. ]

Por otro lado, si (n = 2, ) entonces

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x ^ 2−3x ^ 2−5) = - 5. ]

Sin embargo, si (n = 1 ), entonces

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x − 3x ^ 2−5) = - ∞. ]

Por lo tanto, el límite no se puede determinar considerando solo (∞ − ∞ ). A continuación, vemos cómo reescribir una expresión que involucra la forma indeterminada (∞ − ∞ ) como una fracción para aplicar la regla de L'Hôpital.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Forma indeterminada de tipo (∞ − ∞ )

Evalúa [ lim_ {x → 0 ^ +} ( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x}). ]

Solución

Al combinar las fracciones, podemos escribir la función como un cociente. Dado que el mínimo común denominador es (x ^ 2 tan x, ) tenemos

( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x} = dfrac {( tan x) −x ^ 2} {x ^ 2 tan x} ).

Como (x → 0 ^ + ), el numerador ( tan x − x ^ 2 → 0 ) y el denominador (x ^ 2 tan x → 0. ) Por lo tanto, podemos aplicar L'Hôpital regla. Tomando las derivadas del numerador y el denominador, tenemos

( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {( tan x) −x ^ 2} {x ^ 2 tan x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {(sec ^ 2x) −2x} {x ^ 2sec ^ 2x + 2x tan x} ).

Como (x → 0 ^ + ), ((sec ^ 2x) −2x → 1 ) y (x ^ 2sec ^ 2x + 2x tan x → 0 ). Dado que el denominador es positivo cuando (x ) se acerca a cero por la derecha, llegamos a la conclusión de que

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {(sec ^ 2x) −2x} {x ^ 2sec ^ 2x + 2x tan x} = ∞. ]

Por lo tanto,

[ lim_ {x → 0 ^ +} ( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x}) = ∞. ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Evalúe ( lim_ {x → 0 ^ +} ( dfrac {1} {x} - dfrac {1} { sin x}) ).

Insinuación

Reescribe la diferencia de fracciones como una sola fracción.

Respuesta

0

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Evalúa [ lim_ {x → 0 ^ +} ( dfrac {1} {x} - dfrac {1} { tan x}). ]

Forma indeterminada de tipos (0 ^ 0, ∞ ^ 0 ) y (1 ^ ∞ )

Otro tipo de forma indeterminada que surge al evaluar límites involucra exponentes. Las expresiones (0 ^ 0, ∞ ^ 0 ) y (1 ^ ∞ ) son todas formas indeterminadas. Por sí solas, estas expresiones no tienen sentido porque en realidad no podemos evaluar estas expresiones como evaluaríamos una expresión que involucre números reales. Más bien, estas expresiones representan formas que surgen al encontrar límites. Ahora examinamos cómo se puede utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites que involucran estas formas indeterminadas.

Dado que la regla de L'Hôpital se aplica a los cocientes, usamos la función logaritmo natural y sus propiedades para reducir un problema evaluando un límite que involucra exponentes a un problema relacionado que involucra un límite de un cociente. Por ejemplo, supongamos que queremos evaluar ( lim_ {x → a} f (x) ^ {g (x)} ) y llegamos a la forma indeterminada (∞ ^ 0 ). (Las formas indeterminadas (0 ^ 0 ) y (1 ^ ∞ ) se pueden manejar de manera similar.) Procedemos de la siguiente manera. Dejar

[y = f (x) ^ {g (x)}. ]

Luego,

[ ln y = ln (f (x) ^ {g (x)}) = g (x) ln (f (x)). ]

Por lo tanto,

[ lim_ {x → a} [ ln (y)] = lim_ {x → a} [g (x) ln (f (x))]. ]

Dado que ( lim_ {x → a} f (x) = ∞, ) sabemos que ( lim_ {x → a} ln (f (x)) = ∞ ). Por lo tanto, ( lim_ {x → a} g (x) ln (f (x)) ) tiene la forma indeterminada (0⋅∞ ), y podemos usar las técnicas discutidas anteriormente para reescribir la expresión (g (x) ln (f (x)) ) en una forma para que podamos aplicar la regla de L'Hôpital. Suponga que ( lim_ {x → a} g (x) ln (f (x)) = L ), donde (L ) puede ser (∞ ) o (- ∞. ) Entonces

[ lim_ {x → a} [ ln (y)] = L. ]

Dado que la función logaritmo natural es continua, concluimos que

[ ln ( lim_ {x → a} y) = L, ]

que nos da

[ lim_ {x → a} y = lim_ {x → a} f (x) ^ {g (x)} = e ^ L. ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): forma indeterminada de tipo (∞ ^ 0 )

Evalúa [ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / x}. ]

Solución

Sea (y = x ^ {1 / x} ). Entonces,

[ ln (x ^ {1 / x}) = dfrac {1} {x} ln x = dfrac { ln x} {x}. ]

Necesitamos evaluar ( lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} ). Aplicando la regla de L'Hôpital, obtenemos

[ lim_ {x → ∞} ln y = lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {1 / x} {1} = 0 . ]

Por lo tanto, ( lim_ {x → ∞} ln y = 0. ) Dado que la función logaritmo natural es continua, concluimos que

[ ln ( lim_ {x → ∞} y) = 0, ]

lo que lleva a

[ lim_ {x → ∞} y = lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} = e ^ 0 = 1. ]

Por eso,

[ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / x} = 1. ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Evalúa [ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / ln (x)}. ]

Respuesta

Sea (y = x ^ {1 / ln (x)} ) y aplique el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación.

Respuesta

(mi)

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

Evalúa [ lim_ {x → displaystyle frac { pi ^ -} {2}} left ( tan (x) right) ^ {(x- displaystyle frac { pi} {2}) }. ]

Ejemplo ( PageIndex {9} ): forma indeterminada de tipo (0 ^ 0 )

Evalúa [ lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x}. ]

Solución

Dejar

[y = x ^ { sin x}. ]

Por lo tanto,

[ ln y = ln (x ^ { sin x}) = sin x ln x. ]

Ahora evaluamos ( lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x. ) Dado que ( lim_ {x → 0 ^ +} sin x = 0 ) y ( lim_ {x → 0 ^ +} ln x = −∞ ), tenemos la forma indeterminada (0⋅∞ ). Para aplicar la regla de L'Hôpital, necesitamos reescribir ( sin x ln x ) como una fracción. Podríamos escribir

[ sin x ln x = dfrac { sin x} {1 / ln x} ]

o

( sin x ln x = dfrac { ln x} {1 / sin x} = dfrac { ln x} {cscx} ).

Consideremos la primera opción. En este caso, aplicando la regla de L'Hôpital, obtendríamos

( lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin x} {1 / ln x} = lim_ {x → 0 ^ + } dfrac { cos x} {- 1 / (x ( ln x) ^ 2)} = lim_ {x → 0 ^ +} (- x ( ln x) ^ 2 cos x). )

Desafortunadamente, no solo tenemos otra expresión que involucra la forma indeterminada (0⋅∞, ) sino que el nuevo límite es aún más complicado de evaluar que el que comenzamos. En su lugar, probamos la segunda opción. Escribiendo

( sin x ln x = dfrac { ln x} {1 / sin x} = dfrac { ln x} {cscx,} )

y aplicando la regla de L'Hôpital, obtenemos

( lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} {cscx} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { 1 / x} {- cscx cot x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {−1} {xcscx cot x} ).

Usando el hecho de que (cscx = dfrac {1} { sin x} ) y ( cot x = dfrac { cos x} { sin x} ), podemos reescribir la expresión a la derecha lado de la mano como

( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {−sin ^ 2x} {x cos x} = lim_ {x → 0 ^ +} [ dfrac { sin x} {x} ⋅ (- tan x)] = ( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin x} {x}) ⋅ ( lim_ {x → 0 ^ +} (- tan x)) = 1⋅0 = 0 . )

Concluimos que ( lim_ {x → 0 ^ +} ln y = 0. ) Por lo tanto, ( ln ( lim_ {x → 0 ^ +} y) = 0 ) y tenemos

( lim_ {x → 0 ^ +} y = lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x} = e ^ 0 = 1. )

Por eso,

( lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x} = 1. )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Evalúa ( lim_ {x → 0 ^ +} x ^ x ).

Insinuación

Sea (y = x ^ x ) y obtenga el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación.

Respuesta

1

Tasas de crecimiento de funciones

Suponga que las funciones (f ) y (g ) se acercan al infinito cuando (x → ∞ ). Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de (x ) se vuelven lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápidamente que la otra. Por ejemplo, (f (x) = x ^ 2 ) y (g (x) = x ^ 3 ) ambos se acercan al infinito cuando (x → ∞ ). Sin embargo, como muestra la Tabla ( PageIndex {1} ), los valores de (x ^ 3 ) están creciendo mucho más rápido que los valores de (x ^ 2 ).

Tabla ( PageIndex {1} ): Comparación de las tasas de crecimiento de (x ^ 2 ) y (x ^ 3 )
(X)10100100010,000
(f (x) = x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000
(g (x) = x ^ 3 )10001,000,0001,000,000,0001,000,000,000,000

De echo,

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 3} {x ^ 2} = lim_ {x → ∞} x = ∞. ]

o equivalente

[ lim_ {x → ∞x} dfrac {x ^ 2} {x ^ 3} = lim_ {x → ∞} dfrac {1} {x} = 0. ]

Como resultado, decimos que (x ^ 3 ) está creciendo más rápidamente que (x ^ 2 ) como (x → ∞ ). Por otro lado, para (f (x) = x ^ 2 ) y (g (x) = 3x ^ 2 + 4x + 1 ), aunque los valores de (g (x) ) son siempre mayor que los valores de (f (x) ) para (x> 0 ), cada valor de (g (x) ) es aproximadamente tres veces el valor correspondiente de (f (x) ) como (x → ∞ ), como se muestra en la Tabla ( PageIndex {2} ). De echo,

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 2} {3x ^ 2 + 4x + 1} = dfrac {1} {3}. ]

Tabla ( PageIndex {2} ): Comparación de las tasas de crecimiento de (x ^ 2 ) y (3x ^ 2 + 4x + 1 )
(X)10100100010,000
(f (x) = x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000
(g (x) = 3x ^ 2 + 4x + 1 )34130,4013,004,001300,040,001

En este caso, decimos que (x ^ 2 ) y (3x ^ 2 + 4x + 1 ) están creciendo al mismo ritmo que (x → ∞. )

De manera más general, suponga que (f ) y (g ) son dos funciones que se acercan al infinito como (x → ∞ ). Decimos que (g ) crece más rápidamente que (f ) como (x → ∞ ) si

[ lim_ {x → ∞} dfrac {g (x)} {f (x)} = ∞ ]; o, de manera equivalente, [ lim_ {x → ∞} dfrac {f (x)} { g (x)} = 0. ]

Por otro lado, si existe una constante (M ≠ 0 ) tal que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {f (x)} {g (x)} = M, ]

decimos que (f ) y (g ) crecen al mismo ritmo que (x → ∞ ).

A continuación, veremos cómo usar la regla de L'Hôpital para comparar las tasas de crecimiento de las funciones de potencia, exponencial y logarítmica.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Comparación de las tasas de crecimiento de ( ln (x) ), (x ^ 2 ) y (e ^ x )

Para cada uno de los siguientes pares de funciones, use la regla de L'Hôpital para evaluar [ lim_ {x → ∞} ( dfrac {f (x)} {g (x)}). ]

  1. (f (x) = x ^ 2 ) y (g (x) = e ^ x )
  2. (f (x) = ln (x) ) y (g (x) = x ^ 2 )

Solución

una. Dado que ( lim_ {x → ∞} x ^ 2 = ∞ ) y ( lim_ {x → ∞} e ^ x ), podemos usar la regla de L'Hôpital para evaluar ( lim_ {x → ∞ } [ dfrac {x ^ 2} {e ^ x}] ). Obtenemos

( lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 2} {e ^ x} = lim_ {x → ∞} dfrac {2x} {e ^ x} ).

Dado que ( lim_ {x → ∞} 2x = ∞ ) y l (im_ {x → ∞} e ^ x = ∞ ), podemos aplicar la regla de L'Hôpital nuevamente. Desde

( lim_ {x → ∞} dfrac {2x} {e ^ x} = lim_ {x → ∞} dfrac {2} {e ^ x} = 0 ),

concluimos que

( lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 2} {e ^ x} = 0. )

Por lo tanto, (e ^ x ) crece más rápidamente que (x ^ 2 ) como (x → ∞ ) (Ver Figura ( PageIndex {3} ) y Tabla ( PageIndex {3} ))

Tabla ( PageIndex {3} ): Tasas de crecimiento de una función de potencia y una función exponencial.
(X)5101520
(x ^ 2 )25100225400
(e ^ x )14822,0263,269,017485,165,195

B. Dado que ( lim_ {x → ∞} ln x = ∞ ) y ( lim_ {x → ∞} x ^ 2 = ∞ ), podemos usar la regla de L'Hôpital para evaluar ( lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x ^ 2} ). Obtenemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x ^ 2} = lim_ {x → ∞} dfrac {1 / x} {2x} = lim_ {x → ∞} dfrac { 1} {2x ^ 2} = 0. ]

Por lo tanto, (x ^ 2 ) crece más rápidamente que ( ln x ) como (x → ∞ ) (ver Figura ( PageIndex {4} ) y Tabla ( PageIndex {4} )).

Tabla ( PageIndex {4} ): Tasas de crecimiento de una función de potencia y una función logarítmica
(X)10100100010,000
( ln (x) )2.3034.6056.9089.10
(x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Comparación de las tasas de crecimiento de (x ^ {100} ) y (2 ^ x )

Compara las tasas de crecimiento de (x ^ {100} ) y (2 ^ x ).

Sugerencia: aplique la regla de L'Hôpital a (x ^ {100} / 2 ^ x )

Solución

La función (2 ^ x ) crece más rápido que (x ^ {100} ).

Usando las mismas ideas que en el Ejemplo a. no es difícil demostrar que (e ^ x ) crece más rápidamente que (x ^ p ) para cualquier (p> 0 ). En la Figura ( PageIndex {5} ) y la Tabla ( PageIndex {5} ), comparamos (e ^ x ) con (x ^ 3 ) y (x ^ 4 ) como (x → ∞ ).

Table ( PageIndex {5} ): una función exponencial crece a un ritmo más rápido que cualquier función de potencia
(X)5101520
(x ^ 3 )125100033758000
(x ^ 4 )62510,00050,625160,000
(e ^ x )14822,0263,326,017485,165,195

De manera similar, no es difícil demostrar que (x ^ p ) crece más rápidamente que ( ln x ) para cualquier (p> 0 ). En la Figura ( PageIndex {6} ) y la Tabla, comparamos ( ln x ) con ( dfrac [3] {x} ) y ( sqrt {x} ).

Table ( PageIndex {6} ): una función logarítmica crece a un ritmo más lento que cualquier función raíz
(X)10100100010,000
( ln (x) )2.3034.6056.9089.210
( dfrac [3] {x} )2.1544.6421021.544
( sqrt {x} )3.1621031.623100

Teorema ( PageIndex {1} )

  1. ( lim_ {x to infty} frac {x ^ a} {e ^ x} = 0. a> 0 ).
  2. ( lim_ {x to - infty} | x | ^ a e ^ x = 0, a> 0 ).
  3. ( lim_ {x to infty} frac { ln (x)} {x ^ a} = 0, a> 0 ).
  4. ( lim_ {x to 0 ^ +} { ln (x)} {x ^ a} = 0, a> 0 ).
Prueba

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Ejemplo ( PageIndex {12} ):

Encuentra los siguientes límites:

  1. ( lim_ {x to infty} frac {x ^ 2} {e ^ x} = 0 ).
  2. ( lim_ {x to infty} frac {x-3e ^ {- x}} {x + 2e ^ {- x}} = lim_ {x to infty} frac {1-3 / (xe ^ {x})} {1 + 2 / ((xe ^ {x}}) = 1 ).

Conceptos clave

  • La regla de L'Hôpital se puede utilizar para evaluar el límite de un cociente cuando surge la forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) o (∞ / ∞ ).
  • La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas si se pueden reescribir en términos de un límite que involucre un cociente que tenga la forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) o (∞ / ∞. )
  • La función exponencial (e ^ x ) crece más rápido que cualquier función de potencia (x ^ p, p> 0 ).
  • La función logarítmica ( ln x ) crece más lentamente que cualquier función de potencia (x ^ p, p> 0 ).

Glosario

formas indeterminadas
al evaluar un límite, las formas ( dfrac {0} {0} ), (∞ / ∞, 0⋅∞, ∞ − ∞, 0 ^ 0, ∞ ^ 0 ) y (1 ^ ∞ ) se consideran indeterminados porque se requiere un análisis más detallado para determinar si el límite existe y, de ser así, cuál es su valor
Regla de L'Hôpital
si (f ) y (g ) son funciones diferenciables en un intervalo (a ), excepto posiblemente en (a ), y ( lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) o ( lim_ {x → a} f (x) ) y ( lim_ {x → a} g (x) ) son infinitos, entonces ( lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ), asumiendo el límite de la derecha existe o es (∞ ) o (- ∞ )


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