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1.8: Límites y continuidad de funciones trigonométricas inversas


Funciones inversas

Recuerde que una función (f ) es doce y cincuenta y nueve de la noche (a menudo escrito como (1-1 )) si asigna valores distintos de (y ) a valores distintos de (x ). Hay un simple regla horizontal para determinar si una función (y = f (x) ) es uno a uno: (f ) es uno a uno si y solo si cada línea horizontal interseca la gráfica de (y = f ( x) ) en el plano de coordenadas (xy ) - como máximo una vez (ver Figura 5.3.3).


Figura 5.3.3 Regla horizontal para funciones uno a uno

Si una función (f ) es uno a uno en su dominio, entonces (f ) tiene una función inversa, denotado por (f ^ {- 1} ), tal que (y = f (x) ) si y solo si (f ^ {- 1} (y) = x ). El dominio de (f ^ {- 1} ) es el rango de (f ).

La idea básica es que (f ^ {- 1} ) "deshace" lo que hace (f ), y viceversa. En otras palabras,
[ nonumber begin {alignat *} {3}
f ^ {- 1} (f (x)) ~ & = ~ x quad && text {para todos (x ) en el dominio de (f ), y} nonumber
f (f ^ {- 1} (y)) ~ & = ~ y quad && text {para todos (y ) en el rango de (f ).}
end {alignat *} ]

Teorema ( PageIndex {1} )

Si (f ) es continuo y uno a uno, entonces (f ^ {- 1} es continuo en su dominio.

Funciones trigonométricas inversas

Sabemos por sus gráficos que ninguna de las funciones trigonométricas es una a una en todos sus dominios. Sin embargo, podemos restringir esas funciones a subconjuntos de sus dominios donde ellos están doce y cincuenta y nueve de la noche. Por ejemplo, (y = sin ; x ) es uno a uno en el intervalo ( left [- frac { pi} {2}, frac { pi} {2} right ] ), como vemos en el siguiente gráfico:

Para (- frac { pi} {2} le x le frac { pi} {2} ) tenemos (- 1 le sin ; x le 1 ), entonces puede definir el seno inverso función (y = sin ^ {- 1} x ) (a veces llamada arco seno y denotado por (y = arcsin ; (x )) cuyo dominio es el intervalo ([- 1,1] ) y cuyo rango es el intervalo ( left [- frac { pi} { 2}, frac { pi} {2} derecha] ). En otras palabras:

[ begin {alignat} {3}
sin ^ {- 1} ( sin ; y) ~ & = ~ y quad && text {para (- tfrac { pi} {2} le y le
tfrac { pi} {2} )} label {eqn: arcsin1}
sin ; ( sin ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {para (- 1 le x le 1 )} label {eqn: arcsin2}
end {alignat} ]

Resumen de funciones trigonométricas inversas

Ilustremos el resumen de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas en la siguiente tabla:

Funcion trigonometricagráfico de la función trigonométrica

Dominio restringido

y

el rango

Función trigonométrica inversa

gráfico de la función trigonométrica inversa

Propiedades
(f (x) = sin (x) )

( left [- frac { pi} {2}, frac { pi} {2} right] )

y ([- 1,1] )

(f ^ {- 1} (x) = sin ^ {- 1} x )
(f (x) = cos (x) )

([0, pi] )

y ([- 1,1] )

(f ^ {- 1} (x) = cos ^ {- 1} x ) [ begin {alignat} {3}
cos ^ {- 1} ( cos ; y) ~ & = ~ y quad && text {para (0 le y le pi )} label {eqn: arccos1}
cos ; ( cos ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {para (- 1 le x le 1 )} label {eqn: arccos2}
end {alignat} ]

(f (x) = tan (x) )

( left (- frac { pi} {2}, frac { pi} {2} right) )

y ( mathbb {R} )

(f ^ {- 1} (x) = tan ^ {- 1} x )

[ begin {alignat} {3}
tan ^ {- 1} ( tan ; y) ~ & = ~ y quad && text {para (- tfrac { pi} {2} tfrac { pi} {2} )} label {eqn: arctan1}
tan ; ( tan ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {para todos los (x )} label {eqn: arctan2} reales
end {alignat} ]

(f (x) = cot (x) )

[ begin {alignat} {3}
cot ^ {- 1} ( cot ; y) ~ & = ~ y quad && text {para (0 cot ; ( cot ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {para todos los (x )} label {eqn: arccot2} reales
end {alignat} ]
(f (x) = sec (x) )

([0, pi] ), con (x ne frac { pi} {2} )

y

( mathbb {R} )

[ begin {alignat} {3}
csc ^ {- 1} ( csc ; y) ~ & = ~ y quad && text {para (- frac { pi} {2} le
y le frac { pi} {2} ), (y ne 0 )} label {eqn: arccsc1}
csc ; ( csc ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {para (| x | ge 1 )} label {eqn: arccsc2}
end {alignat} ]

[ begin {alignat} {3}
sec ^ {- 1} ( sec ; y) ~ & = ~ y quad && text {para (0 le y le pi ), (y ne
frac { pi} {2} )} label {eqn: arcsec1}
sec ; ( sec ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {para (| x | ge 1 )} label {eqn: arcsec2}
end {alignat} ]

A continuación se muestran algunos ejemplos:

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Encuentra ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac { pi} {4} right) ).

Solución

Dado que (- frac { pi} {2} le frac { pi} {4} le frac { pi} {2} ), sabemos que ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac { pi} {4} right) = boxed { frac { pi} {4}} ; ), por la Ecuación ref {eqn: arcsin1}.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Encuentra ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac {5 pi} {4} right) ).

Solución

Dado que ( frac {5 pi} {4}> frac { pi} {2} ), no podemos usar la Ecuación ref {eqn: arcsin1}. Pero sabemos que ( sin ; frac {5 pi} {4} = - frac {1} { sqrt {2}} ). Por lo tanto, ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac {5 pi} {4} right) = sin ^ {- 1} left (- frac {1} { sqrt {2}} right) ) es, por definición, el ángulo (y ) tal que (- frac { pi} {2} le y le frac { pi} {2} ) y ( sin ; y = - frac {1} { sqrt {2}} ). Ese ángulo es (y = - frac { pi} {4} ), ya que

[ sin ; left (- tfrac { pi} {4} right) ~ = ~ - sin ; left ( tfrac { pi} {4} right) ~ = ~
- tfrac {1} { sqrt {2}} ~. sin número ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Encuentra ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac { pi} {3} right) ).

Solución

Dado que (0 le frac { pi} {3} le pi ), sabemos que ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac { pi} {3} right) = boxed { frac { pi} {3}} ; ), por la Ecuación ref {eqn: arccos1}.

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Encuentra ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac {4 pi} {3} right) ).

Solución

Dado que ( frac {4 pi} {3}> pi ), no podemos usar la Ecuación ref {eqn: arccos1}. Pero sabemos que ( cos ; frac {4 pi} {3} = - frac {1} {2} ). Por lo tanto, ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac {4 pi} {3} right) = cos ^ {- 1} left (- frac {1} {2 } right) ) es, por definición, el ángulo (y ) tal que (0 le y le pi ) y ( cos ; y = - frac {1} {2} ). Ese ángulo es (y = frac {2 pi} {3} ) (es decir, (120 ^ circ )). Por lo tanto, ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac {4 pi} {3} right) = boxed { tfrac {2 pi} {3}} ; ) .

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Encuentra ( tan ^ {- 1} left ( tan ; frac { pi} {4} right) ).

Solución

Dado que (- tfrac { pi} {2} le tfrac { pi} {4} le tfrac { pi} {2} ), sabemos que ( tan ^ {- 1} left ( tan ; frac { pi} {4} right) = boxed { frac { pi} {4}} ; ), por la Ecuación ref {eqn: arctan1}.

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Encuentra ( tan ^ {- 1} left ( tan ; pi right) ).

Solución

Dado que ( pi> tfrac { pi} {2} ), no podemos usar la Ecuación ref {eqn: arctan1}. Pero sabemos que ( tan ; pi = 0 ). Por lo tanto, ( tan ^ {- 1} left ( tan ; pi right) = tan ^ {- 1} 0 ) es, por definición, el ángulo (y ) tal que ( - tfrac { pi} {2} le y le tfrac { pi} {2} ) y ( tan ; y = 0 ). Ese ángulo es (y = 0 ). Por lo tanto, ( tan ^ {- 1} left ( tan ; pi right) = boxed {0} ; ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Encuentra el valor exacto de ( cos ; left ( sin ^ {- 1} ; left (- frac {1} {4} right) right) ).

Solución

Sea ( theta = sin ^ {- 1} ; left (- frac {1} {4} right) ). Sabemos que (- tfrac { pi} {2} le theta le tfrac { pi} {2} ), así que desde ( sin ; theta = - frac {1} {4} <0 ), ( theta ) debe estar en QIV. Por tanto, ( cos ; theta> 0 ). Por lo tanto,

[ cos ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ left (- frac {1} {4} right) ^ 2 ~ = ~ frac {15} {16}
quad Flecha derecha quad cos ; theta ~ = ~ frac { sqrt {15}} {4} ~. sin número ]

Tenga en cuenta que tomamos la raíz cuadrada positiva anterior desde ( cos ; theta> 0 ). Por lo tanto, ( cos ; left ( sin ^ {- 1} ; left (- frac {1} {4} right) right) = boxed { frac { sqrt {15} } {4}} ; ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

Muestre que ( tan ; ( sin ^ {- 1} x) = dfrac {x} { sqrt {1 - x ^ 2}} ) para (- 1

Solución

Cuando (x = 0 ), la ecuación se cumple trivialmente, ya que

[ nonumber tan ; ( sin ^ {- 1} 0) ~ = ~ tan ; 0 ~ = ~ 0 ~ = ~ dfrac {0} { sqrt {1 - 0 ^ 2}} ~ . ]

Ahora suponga que (0

Si (- 1

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Demuestre la identidad ( tan ^ {- 1} x ; + ; cot ^ {- 1} x ~ = ~ frac { pi} {2} ).

Solución:

Sea ( theta = cot ^ {- 1} x ). Usando relaciones, tenemos

[ nonumber tan ; left ( tfrac { pi} {2} - theta right) ~ = ~ - tan ; left ( theta - tfrac { pi} {2} derecho)
~ = ~ cot ; theta ~ = ~ cot ; ( cot ^ {- 1} x) ~ = ~ x ~, ]

por la ecuación ref {eqn: arccot2}. Entonces, dado que ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = x ) para todo (x ), esto significa que ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = tan ; left ( tfrac { pi} {2} - theta right) ). Por lo tanto, ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = tan ; left ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x right) ). Ahora, sabemos que (0 < cot ^ {- 1} x < pi ), entonces (- tfrac { pi} {2} < tfrac { pi} {2} - cot ^ {-1} x < tfrac { pi} {2} ), es decir, ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x ) está en el subconjunto restringido en el que la tangente la función es uno a uno. Por lo tanto, ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = tan ; left ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x right) ) implica que ( tan ^ {- 1} x = tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x ), lo que prueba la identidad.

Continuidad de funciones trigonométricas inversas

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Sea (f (x) = frac {3 sec ^ {- 1} (x)} {4- tan ^ {- 1} (x)} ). Encuentre los valores (si los hay) para los cuales (f (x) ) es continua.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sea (f (x) = frac {3 sec ^ {- 1} (x)} {8 + 2 tan ^ {- 1} (x)} ). Encuentre los valores (si los hay) para los cuales (f (x) ) es continua.

Respuesta

Límite de funciones trigonométricas inversas

Teorema ( PageIndex {1} )

(lim_ {x rightarrow infty} tan ^ {- 1} (x) = frac { pi} {2} ).

(lim_ {x flecha derecha - infty} tan ^ {- 1} (x) = - frac { pi} {2} ).

(lim_ {x rightarrow infty} sec ^ {- 1} (x) = lim _ {x rightarrow infty} sec ^ {- 1} (x) = frac { pi} {2 } ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Encuentra ( lim_ {x rightarrow infty} sin left (2 tan ^ {- 1} (x) right) ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra ( lim_ {x rightarrow - infty} sin left (2 tan ^ {- 1} (x) right) ).

Respuesta

Pregunta 2.

Respuesta:
(c) tan -1 (15)

Pregunta 3.

Respuesta:
(b) ( sqrt < frac <3> <76>> )

Pregunta 4.

Respuesta:
(d) ( frac < pi> <4> )

Pregunta 5.
Si sen -1 (x 2 & # 8211 7x + 12) = nπ, ∀ n ∈ I, entonces x =
(a) -2
(b) 4
(c) -3
(d) 5
Respuesta:
(b) 4

Pregunta 8.
Si tan -1 (cot θ) = 2θ, entonces θ es igual a
(a) ( frac < pi> <3> )
(b) ( frac < pi> <4> )
(c) ( frac < pi> <6> )
(d) Ninguno de estos
Respuesta:
(c) ( frac < pi> <6> )

Pregunta 9.
cot ( ( frac < pi> <4> ) & # 8211 2cot -1 3) =
(a) 7
(b) 6
(c) 5
(d) Ninguno de estos
Respuesta:
(a) 7

Pregunta 10.
Si tan -1 3 + tan -1 x = tan -1 8, entonces x =
(a) 5
(b) ( frac <1> <5> )
(c) ( frac <5> <14> )
(d) ( frac <14> <5> )
Respuesta:
(b) ( frac <1> <5> )

Pregunta 11.

Respuesta:
(d) (- frac < pi> <6> )

Pregunta 12.

Respuesta:
(b) ( frac < pi> <3> )

Pregunta 13.

Respuesta:
(b) ( frac < pi> <3> )

Pregunta 14.

Respuesta:
(a) ( frac < pi> <4> )

Pregunta 15.

Respuesta:
(b) ( frac <3 pi> <4> )

Pregunta 16.

Respuesta:
(d) ( frac <2 pi> <3> )

Pregunta 17.

Respuesta:
(a) ( tan ^ <2> left ( frac < alpha> <2> right) )

Pregunta 18.

Respuesta:
(b) ( frac <6> <17> )

Pregunta 19.
Si tan -1 (x & # 8211 1) + tan -1 x + tan -1 (x + 1) = tan -1 3x, entonces los valores de x son
(a) ( pm frac <1> <2> )
(b) 0, ( frac <1> <2> )
(c) 0, (- frac <1> <2> )
(d) 0, ( pm frac <1> <2> )
Respuesta:
(d) 0, ( pm frac <1> <2> )

Pregunta 20.
Si 6sin -1 (x 2 & # 8211 6x + 8.5) = π, entonces x es igual a
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 8
Respuesta:
(b) 2

Pregunta 21.

Respuesta:
(d) (- frac <24> <25> )

Pregunta 22.
sin -1 (1 & # 8211 x) & # 8211 2sin -1 x = ( frac < pi> <2> )
(a) 0
(b) 1/2
(c) 0, 1/2
(d) -1/2
Respuesta:
(a) 0

Pregunta 23.
2tan -1 (cos x) = tan -1 (2cosec x)
(a) 0
(b) π / 3
(c) π / 4
(d) π / 2
Respuesta:
(c) π / 4

Pregunta 24.

Respuesta:
(una) ( sqrt < frac+1>+2>>)

Pregunta 25.

Respuesta:
(a) ( frac <3 pi> <5> )

Pregunta 26.
El dominio de la función definida por f (x) = ( sin ^ <-1> sqrt) es
(a) [1, 2]
(b) [-1, 1]
(c) [0, 1]
(d) ninguno de estos
Respuesta:
(a) [1, 2]

Pregunta 27.
El valor de sin (2tan -1 (0,75)) es igual a
(a) 0,75
(b) 1,5
(c) 0,96
(d) pecado 1.5
Respuesta:
(c) 0,96

Pregunta 29.

Respuesta:
(c) ( frac <24> <25> )

Pregunta 30.
El valor de la expresión ( tan left ( frac <1> <2> cos ^ <-1> frac <2> < sqrt <3>> right) )
(a) 2 + √5
(b) √5 y # 8211 2
(c) ( frac < sqrt <5> +2> <2> )
(d) 5 + √2
Respuesta:
(b) √5 y # 8211 2

Pregunta 31.

Respuesta:
(a) ( frac <6> <17> )

Pregunta 32.

Respuesta:
(d) ninguno de estos

Pregunta 33.

Respuesta:
(b) 0

Pregunta 34.

Respuesta:
(d) ( frac <1> < sqrt <2>> leq x leq 1 )

Pregunta 36.
El rango de sin -1 x + cos -1 x + tan -1 x es
(a) [0, π]
(b) ( left [ frac < pi> <4>, frac <3 pi> <4> right] )
(c) (0, π)
(d) ( left [0, frac < pi> <2> right] )
Respuesta:
(b) ( left [ frac < pi> <4>, frac <3 pi> <4> right] )

Pregunta 37.

Respuesta:
(c) ( frac < pi> <4> )

Pregunta 38.
Hallar el valor de sec 2 (tan -1 2) + cosec 2 (cot -1 3)
(a) 12
(b) 5
(c) 15
(d) 9
Respuesta:
(c) 15

Pregunta 39.

Respuesta:
(d) ( frac <2>)

Pregunta 40.
La ecuación sin -1 x & # 8211 cos -1 x = cos -1 ( ( frac < sqrt <3>> <2> )) tiene
(a) solución única
(b) sin solución
(c) infinitas soluciones
(d) ninguno de estos
Respuesta:
(a) solución única

Pregunta 41.
3 tan -1 a es igual a

Respuesta:
(d) ( tan ^ <-1> left ( frac <3 a-a ^ <3>> <1-3 a ^ <2>> right) )

Pregunta 42.

Respuesta:
(d) ( frac <1> <5> )

Pregunta 43.
La ecuación 2cos -1 x + sin -1 x = ( frac <11 pi> <6> ) tiene
(a) no hay solución
(b) solo una solución
(c) dos soluciones
(d) tres soluciones
Respuesta:
(a) no hay solución

Pregunta 44.

Respuesta:
(d) x

Pregunta 45.
Si tan -1 2x + tan -1 3x = ( frac < pi> <4> ), entonces x es
(a) ( frac <1> <6> )
(b) 1
(c) ( ( frac <1> <6> ), -1)
(d) ninguno de estos
Respuesta:
(a) ( frac <1> <6> )

Pregunta 46.

Respuesta:
(c) ( sqrt < frac+1>+2>>)

Pregunta 47.

Respuesta:
(a) ( sqrt)

Pregunta 48.
Si tan -1 x & # 8211 tan -1 y = tan -1 A, entonces A es igual a
(a) x & # 8211 y
(b) x + y
(c) ( frac<1 + x y> )
(d) ( frac<1-x y> )
Respuesta:
(c) ( frac<1 + x y> )

Pregunta 49.

Respuesta:
(c) ( pm sqrt < frac <5> <2>> )

Pregunta 50.
El valor de cot -1 9 + cosec -1 ( ( frac < sqrt <41>> <4> )) viene dado por
(a) 0
(b) ( frac < pi> <4> )
(c) tan -1 2
(d) ( frac < pi> <2> )
Respuesta:
(b) ( frac < pi> <4> )

Esperamos que los MCQ de matemáticas para la clase 12 con respuestas del capítulo 2, funciones trigonométricas inversas le ayuden. Si tiene alguna consulta sobre CBSE Clase 12 Matemáticas Funciones trigonométricas inversas MCQs Pdf, deje un comentario a continuación y nos comunicaremos con usted lo antes posible.


Cálculo diferencial CLP-1

Una aplicación muy útil de la diferenciación implícita es encontrar las derivadas de funciones inversas. Ya hemos utilizado este enfoque para encontrar la derivada de la inversa de la función exponencial: el logaritmo.

Ahora vamos a considerar el problema de encontrar las derivadas de las inversas de las funciones trigonométricas. Ahora es un buen momento para volver atrás y releer la Sección 0.6 sobre funciones inversas, especialmente la Definición 0.6.4. Más importante aún, dada una función (f (x) text <,> ) su función inversa (f ^ <-1> (x) ) solo existe, con dominio (D text <,> ) cuando (f (x) ) pasa la "prueba de la línea horizontal", que dice que para cada (Y ) en (D ) la línea horizontal (y = Y ) interseca la gráfica (y = f (x) ) exactamente una vez. (Es decir, (f (x) ) es una función uno a uno.)

Comencemos jugando con la función seno y determinemos cómo restringir el dominio de ( sin x ) para que exista su función inversa.

Ejemplo 2.12.1 La inversa de ( sin x )

Sea (y = f (x) = sin (x) text <.> ) Nos gustaría encontrar la función inversa que toma (y ) y nos devuelve un valor (x ) único de modo que ( sin (x) = y text <.> )

  • Para cada número real (Y text <,> ) el número de (x ) - valores que obedecen a ( sin (x) = Y text <,> ) es exactamente el número de veces la horizontal la línea recta (y = Y ) interseca la gráfica de ( sin (x) text <.> )
  • Cuando (- 1 le Y le 1 text <,> ) la línea horizontal interseca la gráfica infinitas veces. Esto se ilustra en la figura anterior con la línea (y = 0.3 text <.> )
  • Por otro lado, cuando (Y lt -1 ) o (Y gt 1 text <,> ) la línea (y = Y ) nunca se cruza con la gráfica de ( sin (x) text <.> ) Esto se ilustra en la figura anterior con la línea (y = -1.2 text <.> )

Esta es exactamente la prueba de la línea horizontal y muestra que la función seno no es uno a uno.

Ahora considere la función

Esta función tiene la misma fórmula pero el dominio se ha restringido de modo que, como mostraremos ahora, se satisface la prueba de la línea horizontal.

Como vimos anteriormente cuando (| Y | gt 1 ) no (x ) obedece a ( sin (x) = Y ) y, para cada (- 1 le Y le 1 text < ,> ) la línea (y = Y ) (ilustrada en la figura anterior con (y = 0.3 )) cruza la curva (y = sin (x) ) infinitas veces, de modo que hay infinitamente muchos (x ) que obedecen a (f (x) = sin x = Y text <.> ) Sin embargo, exactamente uno de esos cruces (el punto en la figura) tiene (- frac < pi> <2> le x le frac < pi> <2> text <.> )

Es decir, por cada (- 1 le Y le 1 text <,> ) hay exactamente un (x text <,> ) llámalo (X text <,> ) que obedece ambas cosas

Ese valor único, (X text <,> ) generalmente se denota ( arcsin (Y) text <.> ) Es decir

Cambiar el nombre de (Y rightarrow x text <,> ) la función inversa ( arcsin (x) ) está definida para todo (- 1 le x le 1 ) y está determinada por la ecuación

Ecuación 2.12.2

Tenga en cuenta que muchos textos usarán ( sin ^ <-1> (x) ) para denotar arcoseno, sin embargo usaremos ( arcsin (x) ) ya que creemos que es más claro 1 La razón principal es que la gente frecuentemente confunde ( sin ^ <-1> (x) ) con (( sin (x)) ^ <-1> = frac <1> < sin x> text <.> ) Creemos que anteponer el prefijo "arco" es menos probable que conduzca a tal confusión. Las notaciones ( textrm(x) ) y ( textrm(x) ) también se utilizan. el lector debe reconocer ambos.

Ejemplo 2.12.3 Más sobre la inversa de ( sin x )

es no cierto que ( arcsin 0 = 2 pi text <,> ) y es no cierto que ( arcsin big ( sin (2 pi) big) = 2 pi text <,> ) porque (2 pi ) no está entre (- frac < pi> <2> ) y ( frac < pi> <2> text <.> ) Más generalmente

Entonces, por ejemplo, ( arcsin big ( sin big ( frac <11 pi> <16> big) big) ) no puede ser ( frac <11 pi> <16> ) porque ( frac <11 pi> <16> ) es mayor que ( frac < pi> <2> text <.> ) Entonces, ¿cómo encontramos la respuesta correcta? Comience dibujando la gráfica de ( sin (x) text <.> )

Parece que la gráfica de ( sin x ) es simétrica sobre (x = frac < pi> <2> text <.> ) La forma matemática de decir que “la gráfica de ( sin x ) es simétrico sobre (x = frac < pi> <2> ) ”es“ ( sin ( frac < pi> <2> - theta) = sin ( frac < pi> <2> + theta) ) ”para todos ( theta text <.> ) Eso es cierto 2 De hecho, ambos son iguales a ( cos theta text <.> ) Puede vea esto jugando con las identidades trigonométricas en el Apéndice A.8. .

y, dado que ( frac <5 pi> <16> ) se encuentra entre (- frac < pi> <2> ) y ( frac < pi> <2> text <, > )


Límites de las funciones logarítmicas

Podemos aplicar los conceptos de cálculo a funciones logarítmicas, para que podamos comprenderlas mejor. Para graficar funciones logarítmicas, necesitaremos saber cómo se comportan en el infinito y en la asíntota vertical x = 0. Si a & gt 1, entonces

De manera similar, los siguientes límites indican el comportamiento de la función logarítmica natural cuando x se acerca al infinito y cuando x se acerca a 0.

Nota: Recuerde que las funciones logarítmicas y la función logarítmica natural no están definidas para x menor o igual que 0.


Ablinger, J., Blümlein, J .: Sumas armónicas, polilogaritmos, números especiales y sus generalizaciones. En: Álgebra informática en teoría cuántica de campos. Textos y monografías en computación simbólica, págs. 1–32. Springer, Viena (2013)

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NIST: Biblioteca digital de funciones matemáticas. https://www.dlmf.nist.gov

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1.8: Límites y continuidad de funciones trigonométricas inversas

Las matemáticas son intrínsecamente hermosas y, naturalmente, atraen el interés de todo estudiante que tenga la inclinación de convertirse en un buen matemático. El éxito en el dominio de las matemáticas requiere, por encima de todo, una pasión / amor por la materia. Eso lleva a trabajar duro, tener paciencia y nunca darse por vencido. Ayuda, en el camino, tener recursos educativos gratuitos que no simplifiquen el contenido y que proporcionen una redacción precisa y argumentos completos para pruebas, ejemplos, etc., además de teoría y ejercicios. Este proyecto Online Lecture Notes es mi modesta contribución a ese fin.

La mayoría de las notas de clase en línea que aparecen a continuación se pueden utilizar como libros de texto del curso o para el estudio independiente. Incluyen ejemplos y conjuntos de ejercicios completamente resueltos. La mayoría aún están en progreso y tienen algunas asperezas, pero muchos capítulos ya están en muy buena forma. Si usted es un estudiante que ha encontrado útiles las notas, o un instructor que las ha utilizado en su enseñanza, o si encontró algún error, me gustaría saber de usted. También le pueden gustar las notas de matemáticas en línea de Paul y las conferencias de física de Feynman.

Para los profesores interesados, vea mi presentación en power point sobre este proyecto. Este proyecto fue posible gracias al escritor de Wanchik.


La función W de Lambert (W (z) ) se define como la función inversa de (w exp (w) ) [R279].

En otras palabras, el valor de (W (z) ) es tal que (z = W (z) exp (W (z)) ) para cualquier número complejo (z ). La función Lambert W es una función multivalor con infinitas ramas (W_k (z) ), indexada por (k in mathbb). Cada rama da una solución diferente (w ) de la ecuación (z = w exp (w) ).

La función Lambert W tiene dos ramas parcialmente reales: la rama principal ( (k = 0 )) es real para (z & gt -1 / e ) real, y la rama (k = -1 ) es real para (- 1 / e & lt z & lt 0 ). Todas las ramas excepto (k = 0 ) tienen una singularidad logarítmica en (z = 0 ).

Devuelve la primera derivada de esta función.

La función logaritmo natural ( ln (x) ) o ( log (x) ).

Los logaritmos se toman con la base natural, (e ). Para obtener un logaritmo de una base b diferente, use log (x, b), que es esencialmente una abreviatura de log (x) / log (b).

log representa la rama principal del logaritmo natural. Como tal, tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo y devuelve valores que tienen un argumento complejo en ((- pi, pi] ).

Devuelve esta función en la forma (base, exponente).

Devuelve esta función como una coordenada compleja.

Devuelve la primera derivada de la función.

Devuelve (e ^ x ), la función inversa de ( log (x) ).

Devuelve el siguiente término en la expansión de la serie de Taylor de ( log (1 + x) ).


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Sobre el tutor

Paul tiene una licenciatura en farmacia del Trinity College Dublin. Después de graduarse, Paul hizo un cambio de carrera al completar su Maestría en Educación y ha estado enseñando el curso actual de Matemáticas desde su introducción.

Junto con su carrera docente, Paul es un ex atleta paralímpico y voluntario como embajador del Gaisce President's Award, motivando a los estudiantes e inspirándolos a superar obstáculos en su camino hacia la edad adulta.

[email protected] 087-214 93 48


¡Estas Aren & # 8217t Funciones Realmente Continuas!

La etiqueta & # 8220right función continua & # 8221 es un nombre poco apropiado, porque estas no son funciones continuas. Para que una función sea continua, el límite de la derecha debe ser igual a f (a) y el límite de la izquierda también debe ser igual a f (a). La definición de una función continua derecha no menciona nada sobre lo que está sucediendo en el lado izquierdo del punto. La función puede ser continua allí, o puede que no lo sea. La única forma de saberlo con certeza es considerar también la definición de una función continua a la izquierda.


Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio establece que si tenemos un
función f (x) en el intervalo [a, b] siendo M cualquier número entre f (a)
yf (b), existe un número C tal que:

El intermedio
El teorema del valor es una aplicación geométrica que ilustra que
las funciones tomarán todos los valores entre f (a) yf (b). Podemos ver que si dibujamos una línea horizontal desde M, llegará al gráfico al menos una vez. Si la función no es continua en el intervalo, este teorema no se mantendrá.

Es importante notar que este teorema no nos dice el valor de M, sino solo que existe. Por ejemplo, podemos usar este teorema para ver si una función tendrá intersecciones x.

(1) Utilice el teorema del valor intermedio para determinar si f (x) =
2x 3 & # 8211 5x <> & # 8211 10x + 5
tiene una raíz en algún lugar del
intervalo [-1,2].

En otras palabras, nos preguntamos si f (x) = 0 en el intervalo [-1,2]. Usando el teorema, podemos decir que queremos mostrar que hay un número c donde -1

Vemos que p (-1) = 8 y p (2) = -19. Por lo tanto, 8> 0> -19, y existe al menos una raíz para f (x).

De manera similar al concepto de límite, es
importante desarrollar un comprensión intuitiva de la continuidad y qué
significa en términos de límites. Tomando valores infinitesimalmente cercanos de x
(el dominio), podemos hacer que cada f (x) se acerque tanto como queramos. También deberíamos
tener un comprensión geométrica de funciones continuas (Teorema del valor intermedio).


Ver el vídeo: Funciones Trigonométricas Inversas (Septiembre 2021).