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5.2: Ecuaciones diofánticas no lineales


Los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones diofánticas no lineales:

Ecuación de Pitágoras

Ecuaciones de la forma (x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 ), donde (x, y, z in mathbb {Z} ).

Ecuación de Pell

Ecuaciones de la forma (x ^ 2-2y ^ 2 = 1 ), donde (x, y, z in mathbb {Z} ). Las soluciones dan lugar a números triangulares cuadrados.


Ecuación diofántica

En matemáticas, un Ecuación diofántica es una ecuación polinomial, que generalmente involucra dos o más incógnitas, de modo que las únicas soluciones de interés son las enteras (una solución entera es tal que todas las incógnitas toman valores enteros). A ecuación diofántica lineal equivale a una constante la suma de dos o más monomios, cada uno de grado uno. Un ecuación diofántica exponencial es aquel en el que pueden aparecer incógnitas en exponentes.

Problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que incógnitas e implican encontrar números enteros que resuelvan simultáneamente todas las ecuaciones. Como tales sistemas de ecuaciones definen curvas algebraicas, superficies algebraicas o, más generalmente, conjuntos algebraicos, su estudio es parte de la geometría algebraica que se llama Geometría diofántica.

La palabra Diofantino se refiere al matemático helenista del siglo III, Diofanto de Alejandría, quien hizo un estudio de tales ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra. El estudio matemático de los problemas diofantinos que inició Diofanto se llama ahora Análisis diofantino.

Si bien las ecuaciones individuales presentan una especie de rompecabezas y se han considerado a lo largo de la historia, la formulación de las teorías generales de las ecuaciones diofánticas (más allá del caso de las ecuaciones lineales y cuadráticas) fue un logro del siglo XX.


S.A. Arif, F.S. Abu Muriefah, Sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + 2 ^ k = y ^ n ). II. Arab J. Math. Sci. 7(1), 67–71 (2001)

A. Baker, Contribuciones a la teoría de las ecuaciones diofánticas. I. Sobre la representación de números enteros mediante formas binarias. Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A 263, 173–191 (1968)

M.A. Bennett, La ecuación (x ^ <2n> + y ^ <2n> = z ^ 5 ). J. Théor. Nombres Burdeos 18(2), 315–321 (2006)

M.A. Bennett, I. Chen, Multi-Frey ( mathbb) -curvas y la ecuación diofántica (a ^ 2 + b ^ 6 = c ^ n ). Teoría de números de álgebra 6(4), 707–730 (2012)

M.A. Bennett, I. Chen, S.R. Dahmen, S. Yazdani, Ecuaciones de Fermat generalizadas: una miscelánea. En t. J. Teoría de números 11, 1–28 (2015)

M.A. Bennett, C.M. Skinner, ecuaciones ternarias diofánticas a través de representaciones de Galois y formas modulares. Lata. J. Math. 56(1), 23–54 (2004)

W. Bosma, J. Cannon, C. Playoust, El sistema de álgebra de Magma. I. El idioma del usuario. J. Symb. Computación. 24, 235–265 (1997)

N. Bruin, métodos de Chabauty utilizando curvas elípticas. J. Reine Angew. Matemáticas. 562, 27–49 (2003)

EN. Cangül, M. Demirci, F. Luca, Á. Pintér, G. Soydan, Sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + 2 ^ a cdot 11 ^ b = y ^ n ). Fibonacci Q. 48(1), 39–46 (2010)

I. Chen, en la ecuación (a ^ 2 + b ^ <2p> = c ^ 5 ). Acta Arith. 143(4), 345–375 (2010)

H. Cohen, Teoría de números, vol. II: Herramientas analíticas y modernas, GTM, vol. 240 (Springer, Nueva York, 2007)

H. Godinho, D. Marques, A. Togbé, Sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + 2 ^ alpha 5 ^ beta 17 ^ gamma = y ^ n ). Comun. Matemáticas. 20(2), 81–88 (2012)

E. Goins, F. Luca, A. Togbé, Sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + 2 ^ alpha 5 ^ beta 13 ^ gamma = y ^ n ). Lecture Notes in Computer Science, 5011, A. J. van der Poorten y A. Stein (eds.) Springer, Berlín (2008)

M.H. Le, sobre la conjetura de Cohn sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + 2 ^ m = y ^ n ). Arco. Matemáticas. (Basilea) 78(1), 26–35 (2002)

W. Ljunggren, Sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + p ^ 2 = y ^ n ). Norske Vid. Selsk. Para H. Trondhjem 16(8), 27–30 (1943)

F. Luca, en la ecuación (x ^ 2 + 2 ^ a cdot 3 ^ b = y ^ n ). En t. J. Math. Matemáticas. Sci. 29(4), 239–244 (2002)

F. Luca, A. Togbé, Sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + 2 ^ a cdot 5 ^ b = y ^ n ). En t. J. Teoría de números 4(6), 973–979 (2008)

B. Poonen, Algunas ecuaciones diofánticas de la forma (x ^ n + y ^ n = z ^ m ). Acta Arith. 86, 193–205 (1998)

G. Soydan, M. Ulas, H.L. Zhu, Sobre la ecuación diofántica (x ^ 2 + 2 ^ a cdot 19 ^ b = y ^ n ). Indian J. Pure Appl. Matemáticas. 43, 251–261 (2012)

R. Taylor, A. Wiles, Propiedades de la teoría de anillos de ciertas álgebras de Hecke. Ana. Matemáticas. (2) 141(3), 553–572 (1995)

A. Thue, Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. J. Reine Angew. Matemáticas. 135, 284–305 (1909)

N. Tzanakis, B.M.M. de Weger, Sobre la solución práctica de la ecuación de Thue. J. Teoría de números 31(2), 99–132 (1989)

A. Wiles, curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat. Ana. Matemáticas. (2) 141(3), 443–551 (1995)

H.L. Zhu, M.H. Le, G. Soydan, A. Togbé, Sobre la ecuación diofántica exponencial (x ^ 2 + 2 ^ a p ^ b = y ^ n ). Período. Matemáticas. Hungar. 70(2), 233–247 (2015)


5.2: Ecuaciones diofánticas no lineales

Se conjetura que a 5 + segundo 5 = do 5 + d 5 La ecuación no tiene soluciones enteras no triviales; consulte también Taxicab (5,2,2). En 2005 T. Piezas encontró la siguiente parametrización:

"(√p + √q) 5 + (√p-√q) 5 = (√r + √s) 5 + (√r-√s) 5,
= <5vw 2, -1 + uw 2, 5v, - (u + 10v) + w 3>, donde w = u 2 + 10uv + 5v 2
Entonces se puede establecer v = 5t 2 de modo que son cuadrados. Ya sea luego se pueden hacer cuadrados no triviales es otro asunto ".

Usé estas fórmulas para crear un programa simple en C ++ para buscar soluciones enteras de la ecuación inicial.

  • q tiene que ser cuadrado y q = -1 + uw 2 , así que por un hecho tu uno puede resolver un caso especial de la ecuación de Pell: g 2 -uw 2 = -1 Llegar w, y finalmente para conseguir v
  • los cuadrados solo pueden tener el módulo de restos seleccionados dado el número natural. Eso se puede aplicar a fórmulas para q y s para obtener un conjunto permitido de tu módulo dado el número. En la práctica, alrededor del 98,86% de tu los valores se pueden omitir, si se usa el módulo aritmético 100800.
  • u ≤ 3 * 10 11 yw ≤ 2 3000
  • u ≤ 10 13 yw ≤ 2300
  • en áreas probadas q es cuadrado solo para =, donde k es cualquier número entero, así que obviamente v no es del 5t 2 formulario.

C) Suponiendo que la parametrización anterior es general, un límite inferior para el problema del taxi es:


En la ecuación diofántica exponencial ((2 ^ -1) + (13) ^ n = z ^ 2 )

La clase de ecuaciones diofánticas se clasifica en dos categorías, una es ecuaciones diofánticas lineales y la otra son ecuaciones diofánticas no lineales. Ambas categorías tienen numerosas aplicaciones para resolver los problemas del rompecabezas. Aggarwal et al., [1] discutió la ecuación diofántica (223 ^ x + 241 ^ y = z ^ 2 ) para la solución. La existencia de la solución de la ecuación diofántica (181 ^ x + 199 ^ y = z ^ 2 ) fue dada por Aggarwal et al., [2]. Bhatnagar y Aggarwal [3] demostraron que la ecuación diofántica exponencial (421 ^ p + 439 ^ q = r ^ 2 ) no tiene solución en números enteros.

Gupta y Kumar [4] dieron las soluciones de la ecuación diofántica exponencial (n ^ x + (n + 3m) ^ y = z ^ <2k> ). Kumar et al., [5] estudió la ecuación diofántica exponencial (601 ^ p + 619 ^ q = r ^ 2 ) y demostró que esta ecuación no tiene solución en números enteros. Kumar estudia las ecuaciones diofánticas no lineales (61 ^ x + 67 ^ y = z ^ 2 ) y (67 ^ x + 73 ^ y = z ^ 2 ) et al., [6]. Determinaron que las ecuaciones (61 ^ x + 67 ^ y = z ^ 2 ) y (67 ^ x + 73 ^ y = z ^ 2 ) no se pueden resolver en números enteros no negativos. Las ecuaciones diofánticas (31 ^ x + 41 ^ y = z ^ 2 ) y (61 ^ x + 71 ^ y = z ^ 2 ) fueron examinadas por Kumar et al., [7]. Demostraron que las ecuaciones (31 ^ x + 41 ^ y = z ^ 2 ) y (61 ^ x + 71 ^ y = z ^ 2 ) no se pueden resolver en números enteros.

Mishra et al., [8] dio la existencia de la solución de la ecuación diofántica (211 ^ < alpha> +229 ^ < beta> = gamma ^ 2 ) y demostró que la ecuación diofántica (211 ^ < alpha> +229 ^ < beta> = gamma ^ 2 ) no tiene solución en números enteros. Las ecuaciones diofánticas nos ayudan a encontrar la solución entera del famoso teorema de Pitágoras y la ecuación de Pell [9,10]. Sroysang [11,12,13,14] estudió las ecuaciones diofánticas (8 ^ x + 19 ^ y = z ^ 2 ) y (8 ^ x + 13 ^ y = z ^ 2 ). Determinó que () es la solución única de las ecuaciones (8 ^ x + 19 ^ y = z ^ 2 ) y (8 ^ x + 13 ^ y = z ^ 2 ). Sroysang [12] estudió la ecuación diofántica (31 ^ x + 32 ^ y = z ^ 2 ) y determinó que no tiene una solución entera positiva. Sroysang [13] discutió la ecuación diofántica (3 ^ x + 5 ^ y = z ^ 2 ).

Goel et al., [15] discutió la ecuación diofántica exponencial (M_ <5> ^ p + M_ <7> ^ q = r ^ 2 ) y demostró que esta ecuación no tiene solución en números enteros. Kumar et al., [16] demostró que la ecuación diofántica exponencial ((2 ^ <2m + 1> -1) + (6 ^+1) ^ n = w ^ 2 ) no tiene solución en números enteros. La ecuación diofántica exponencial ((7 ^ <2m>) + (6r + 1) ^ n = z ^ 2 ) ha sido estudiada por Kumar et al., [17]. Aggarwal y Sharma [18] estudiaron la ecuación diofántica no lineal (379 ^ x + 397 ^ y = z ^ 2 ) y demostraron que esta ecuación no tiene solución en números enteros. Para determinar la solución de la ecuación diofántica exponencial ((2 ^ <2m + 1> -1) + (13) ^ n = z ^ 2 ), donde (m ), (n ) son números enteros, en números enteros es el principal objetivo de este trabajo.

2. Preliminares

Lema 1. Para cualquier número entero (m ), la ecuación diofántica exponencial ((2 ^ <2m + 1> -1) + 1 = z ^ 2 ) no se puede resolver en números enteros.

Prueba. Para cualquier número entero (m ), (2 ^ <2m + 1> ) es un número par, por lo que ((2 ^ <2m + 1> -1) + 1 = z ^ 2 ) es un número par número implica que (z ) es un número par. Lo que significa


En la ecuación diofántica no lineal (> ^ > boldsymbol > ^ > boldsymbol > ^ > )

Sudhanshu Aggarwal (^ 1 ), Nidhi Sharma
Departamento de Matemáticas, National P. G. College, Barhalganj, Gorakhpur-273402, U. P., India. (S.A)
Instituto Indio de Tecnología Roorkee-247667, Reino Unido, India. (N.S)
(^ <1> ) Autor para correspondencia: [email protected]

Resumen

En este artículo, los autores discutieron la existencia de una solución de la ecuación diofántica no lineal (<379> ^ x + <397> ^ y = z ^ 2, ) donde (x, y, z ) son números enteros no negativos . Los resultados muestran que la ecuación diofántica no lineal considerada no tiene una solución entera no negativa.

Palabras clave:

1. Introducción

Las ecuaciones diofánticas son aquellas ecuaciones que deben resolverse en números enteros. Las ecuaciones diofánticas son ecuaciones muy importantes de la teoría de números y tienen muchas aplicaciones importantes en álgebra, geometría analítica y trigonometría. Estas ecuaciones nos dan una idea para demostrar la existencia de números irracionales [1,2]. Acu [3] estudió la ecuación diofántica (2 ^ x + 5 ^ y = z ^ 2 ) y demostró que ( left ) E izquierda) son las soluciones de esta ecuación. Kumar et al., [4] consideró las ecuaciones diofánticas no lineales (<61> ^ x + <67> ^ y = z ^ 2 ) y (<67> ^ x + <73> ^ y = z ^ 2 ). Demostraron que estas ecuaciones no tienen una solución entera no negativa. Kumar et al. [5] estudió las ecuaciones diofánticas no lineales (<31> ^ x + <41> ^ y = z ^ 2 ) y (<61> ^ x + <71> ^ y = z ^ 2 ) y determinó que estas ecuaciones no tienen una solución entera no negativa. Rabago [6] discutió el problema abierto propuesto por B. Sroysang. Mostró que la ecuación diofántica (8 ^ x + p ^ y = z ^ 2, ) donde (x, y, z ) son enteros positivos tiene solo tres soluciones, a saber, ( left ,) (izquierda) E izquierda) para (p = 17 ). Las ecuaciones diofánticas (8 ^ x + <19> ^ y = z ^ 2 ) y (8 ^ x + <13> ^ y = z ^ 2 ) fueron estudiadas por Sroysang [7,8]. Demostró que estas ecuaciones tienen una única solución entera no negativa a saber ( left ). Sroysang [9] demostró que la ecuación diofántica (<31> ^ x + <32> ^ y = z ^ 2 ) no tiene una solución entera no negativa.

El objetivo principal de este artículo es discutir la existencia de una solución de la ecuación diofántica no lineal (<379> ^ x + <397> ^ y = z ^ 2, ) donde (x, y, z ) no son -enteros negativos.

2. Preliminar

Lema 1. La ecuación diofántica no lineal (<379> ^ x + 1 = z ^ 2, ) donde (x, z ) son enteros no negativos, no tiene solución en enteros no negativos.

Prueba. Como (379 ) es un número primo impar, entonces (<379> ^ x ) es un número impar para todo entero no negativo (x ), lo que implica (<379> ^ x + 1 = z ^ 2 ) es un número par para todo entero no negativo (x ), entonces (z ) es un número par. Por eso

Lema 2. La ecuación diofántica no lineal (<397> ^ y + 1 = z ^ 2, ) donde (y, z ) son para todos los enteros no negativos, no tiene solución en enteros no negativos.

Prueba. Como (397 ) es un número primo impar, entonces (<397> ^ y ) es un número impar para todo entero no negativo (y ), lo que implica (<397> ^ y + 1 = z ^ 2 ) es un número par para todo entero no negativo (y ), entonces (z ) es un número par. Por eso

Teorema 1(Teorema principal). La ecuación diofántica no lineal (<379> ^ x + <397> ^ y = z ^ 2, ) donde (x, y, z ) son enteros no negativos, no tiene solución en enteros no negativos.

  • Caso 1. Si (x = 0 ) entonces la ecuación diofántica no lineal (<379> ^ x + <397> ^ y = z ^ 2 ) se convierte en (1+ <397> ^ y = z ^ 2 ), que no tiene una solución entera no negativa según el Lema 2.
  • Caso 2. Si (y = 0 ) entonces la ecuación diofántica no lineal (<379> ^ x + <397> ^ y = z ^ 2 ) se convierte en (<379> ^ x + 1 = z ^ 2 ), que no tiene una solución entera no negativa según el Lema 1.
  • Caso 3. Si (x, y ) son números enteros positivos, entonces (<379> ^ x, <397> ^ y ) son números impares, implica (<379> ^ x + <397> ^ y = z ^ 2 ) es un número par, entonces (z ) es un número par, por lo tanto


Algoritmo de Euclides I

¿Cómo podemos resolver ecuaciones como $ 13x + 29y = 42 $ o $ 2x + 4y = 13 $ con las soluciones $ x $ y $ y $ enteros? Las ecuaciones con soluciones enteras se llaman ecuaciones diofánticas en honor a Diofanto, quien vivió alrededor del 250 d.C. pero los métodos descritos aquí se remontan a Euclides (alrededor del 300 a.C.) y antes. Cuando las personas escuchan el nombre Euclides, piensan en geometría, pero el algoritmo descrito aquí apareció como Proposición 2 en el Libro 7 de Euclides sobre teoría de números.

Primero notamos que $ 13x + 29y = 42 $ tiene muchas soluciones, por ejemplo $ x = 1 $, $ y = 1 $ y $ x = 30 $, $ y = -12 $. ¿Puedes encontrar otros (tiene infinitas soluciones)? También notamos que $ 2x + 4y = 13 $ no tiene soluciones porque $ 2x + 4y $ debe ser par y $ 13 $ es impar. ¿Puedes encontrar otra ecuación que no tenga soluciones?

Si podemos resolver $ 3x + 5y = 1 $, entonces también podemos resolver $ 3x + 5y = 456 $. Por ejemplo, $ x = 2 $ y $ y = -1 $ es una solución de la primera ecuación, de modo que $ x = 2 times 456 $ y $ y = -1 times 456 $ es una solución de la segunda ecuación . El mismo argumento funciona si reemplazamos $ 456 $ por cualquier otro número, por lo que solo tenemos que considerar ecuaciones con $ 1 $ en el lado derecho, por ejemplo $ P x + Q y = 1 $. Sin embargo, si $ P $ y $ Q $ tienen un factor común $ S $, entonces $ P x + Q y $ debe ser un múltiplo de $ S $ por lo que no podemos tener una solución de $ P x + Q y = 1 $ a menos que $ S = 1 $. Esto significa que debemos comenzar considerando las ecuaciones $ P x + Q y = 1 $ donde $ P $ y $ Q $ no tienen un factor común.

Consideremos el ejemplo $ 83x + 19y = 1 $. Existe un método estándar, llamado algoritmo de Euclides, para resolver tales ecuaciones. Implica tomar el par de números $ P = 83 $ y $ Q = 19 $ y reemplazarlos sucesivamente por otros pares $ (P_k, Q_k) $. Ilustramos esto representando cada par de números enteros $ (P_k, Q_k) $ por un rectángulo con lados de longitud $ P_k $ y $ Q_k $.

Dibuja un rectángulo de $ 83 $ por $ 19 $ y marca los cuadrados de $ 4 $ del lado $ 19 $, dejando un rectángulo de $ 19 $ por $ 7 $.

Este diagrama representa el hecho de que

En unos pocos pasos, dividiremos este rectángulo en "compartimentos" para ilustrar todo el procedimiento para resolver esta ecuación. Repetimos este proceso usando el rectángulo de $ 19 $ por $ 7 $ para obtener dos cuadrados de lado $ 7 $ y un rectángulo de $ 7 $ por $ 5 $. A continuación, el rectángulo de $ 7 $ por $ 5 $ se divide en un cuadrado de lado $ 5 $ y un rectángulo de $ 5 $ por $ 2 $.


El rectángulo de $ 5 $ por $ 2 $ se divide en dos cuadrados de lado $ 2 $ y un rectángulo de $ 2 $ por $ 1 $. El rectángulo de $ 2 $ por $ 1 $ se divide en dos cuadrados del lado $ 1 $ sin nada sobrante y el proceso termina aquí, ya que no hay ningún rectángulo residual. Estos diagramas ilustran las siguientes ecuaciones:

Para encontrar la solución usamos el último resto distinto de cero, a saber $ 1 = 5-2 [2] $

y sustituimos sucesivamente los restos de las otras ecuaciones hasta que volvamos a la primera dando una combinación de los dos valores originales $ P = 83 $ y $ Q = 19 $. El método en este ejemplo tiene los siguientes pasos con el resto entre corchetes.

Por tanto, una solución de $ 83x + 19y = 1 $ es $ x = -8 $ y $ y = 35 $.

¿Puedes encontrar una solución de $ 83x + 19y = 7 $?

¿Puede ahora encontrar una solución de $ 827x + 191y = 2 $? Primero debes resolver la ecuación $ 827x + 191y = 1 $ (usando la computadora si lo deseas).


5.2: Ecuaciones diofánticas no lineales

Ecuación diofántica lineal es una ecuación polinomial con grado 1 y coeficiente entero distinto de cero. La forma general de la ecuación lineal diofántica con 2 variables es ax + by = c con a, b, c ∊ Z y a, b ≠ 0. Esto puede expresarse como congruencia ax ≡ b (mod m). Por lo tanto, la ecuación lineal diofántica ax + by = c puede resolverse si y solo si se puede resolver el equivalente de congruencia ax ≡ b (mod m). Si la Ecuación Lineal Diofantina tiene solución, la solución será un par de números enteros xey que cumple con la ecuación ax + by = c. A diferencia de la ecuación diofántica no lineal, no existe un método estándar para encontrar la solución. Hay 3 posibilidades relacionadas con la solución de la ecuación diofántica, ya sea lineal o no lineal. La solución puede ser una solución única, múltiples soluciones o ninguna solución. Esta investigación discutirá la solución de la ecuación diofántica exponencial no lineal 13 x + 31 y = z 2 usando la teoría de la congruencia. Los métodos utilizados pueden ser simulación, estudio de literatura y diario. Usando la teoría de la congruencia, se encuentra que la ecuación diofántica exponencial no lineal 13 x + 31 y = z 2 no tiene solución, para x, y, z de números enteros.


Una ecuación diofántica lineal es una ecuación de primer grado cuyas soluciones están restringidas a números enteros. La ecuación diofántica lineal prototípica es:

dónde a, B y C son coeficientes enteros y xey son variables. Los problemas típicos diofánticos lineales, por lo tanto, involucran cantidades enteras, como por ejemplo (Brilliant.org, 2019):

Las soluciones al problema se encuentran asignando variables al número de monedas de cinco centavos (X) y el número de cuartos (y). Sabemos que $ 2 son 200 centavos (C), y que una moneda de cinco centavos vale 5 centavos (a) y un cuarto de 25 centavos (B). Por lo tanto, llegamos fácilmente a la ecuación que especifica el número de formas en que podemos tener $ 2.00 en monedas de cinco centavos y veinticinco centavos:

Ahora bien, debido a que esta es una sola ecuación con dos incógnitas, no podemos resolver una variable a la vez (como se podría hacer con un sistema típico de ecuaciones lineales). En cambio, para el caso lineal, podemos usar el siguiente teorema:

El máximo común divisor (MCD) de dos o más enteros, que no son todos cero, es el mayor entero positivo que divide cada uno de los enteros. Para nuestro ejemplo anterior, podemos comenzar factorizando el divisor común 5, obteniendo:

El máximo común divisor de a y B, 1 y 5, es 1. Cualquier valor no negativo C es un múltiplo de 1. Hay nueve múltiplos de 5 que son menores o iguales que 40. Son 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Por lo tanto, hay nueve formas de hacer $ 2.00 de cinco y veinticinco centavos. Ellos son:

(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) og (40 , 0).

El proceso anterior es una versión simple de lo que se llama Diofantino. análisis, el proceso requerido para encontrar soluciones a las ecuaciones diofánticas. Las preguntas que se suelen hacer durante estos análisis son:

  • ¿Hay alguna solución?
  • ¿Hay alguna solución más allá de algunas que se encuentren fácilmente mediante inspección?
  • ¿Hay una cantidad finita o infinita de soluciones?
  • ¿Se pueden encontrar todas las soluciones, en teoría?
  • ¿Se puede calcular en la práctica una lista completa de soluciones?

Las técnicas populares utilizadas para resolver ecuaciones diofánticas incluyen descomposición de factores, delimitación por desigualdades, parametrización, aritmética modular, inducción, descenso infinito de Fermat, reducción a Pell y fracciones continuas, sistemas de numeración posicional y curvas elípticas (Wikiversity, 2019).


7 respuestas 7

Estás preguntando si la expresión regular

coincide con xx. x, donde x ocurre 456 veces.

Aquí hay una solución en O (n + a ^ 2), donde a es el más pequeño de los números del lado izquierdo (en este caso, 3).

Suponga que sus números son 6,7,15. Llamaré a un número expresable en la forma 6x + 7y + 15z "disponible". Debe comprobar si un número determinado está disponible.

Si puede obtener un número n, entonces seguramente podrá obtener n + 6, n + 12, n + 18 - en general, n + 6k para todo k> = 0. Por otro lado, si no puede obtener un número n, entonces n-6 seguramente tampoco está disponible (si pudiera obtener (n-6), entonces (n-6) + 6 = n estaría disponible), esto significa que n-12, n-18, n-6k tampoco están disponibles.

Suponga que ha determinado que hay 15 disponibles pero 9 no. En nuestro caso, 15 = 6 * 0 + 7 * 0 + 15 * 1 pero no podrá obtener 9 de ninguna manera. Entonces, según nuestro razonamiento anterior, 15 + 6k está disponible para todo k> = 0 y 9-6k para todo k> = 0 no lo es. Si tiene un número que dividido por 6 da 3 como resto (3, 9, 15, 21,.), Puede responder rápidamente: los números & lt = 9 no están disponibles, los números> = 15 sí.

Es suficiente determinar para todos los posibles residuos de la división por 6 (es decir, 0,1,2,3,4,5) cuál es el número más pequeño disponible. (Acabo de demostrar que este número para el resto 3 es 15).

Cómo hacerlo: Crea una gráfica con vértices 0,1,2,3,4,5. Para todos los números k que se le dan (7,15 - ignoramos 6) agregue una ventaja de xa (x + k) mod 6. Déle peso (x + k) div 6. Use el algoritmo de Dijkstra usando 0 como inicial nodo. Las distancias encontradas por el algoritmo serán exactamente los números que estamos buscando.

En nuestro caso (6,7,15) el número 7 da lugar a 0 -> 1 (peso 1), 1 -> 2 (peso 1), 2 -> 3 (peso 1),. 5 -> 0 (peso 1) y el número 15 da 0 -> 3 (peso 2), 1 -> 4 (peso 2),. 5 -> 1 (peso 2). El camino más corto de 0 a 3 tiene un borde; su peso es 2. Entonces, 6 * 2 + 3 = 15 es el número más pequeño que da 3 como resto. 6 * 1 + 3 = 9 no está disponible (bueno, lo comprobamos previamente a mano).

¿Y cuál es la conexión con las expresiones regulares? Bueno, cada expresión regular tiene un autómata finito equivalente, y construí uno de ellos.

Este problema, con múltiples consultas permitidas, apareció en la Olimpiada polaca y traduje la solución. Ahora, si escuchas ahora a una persona decir que la informática no es útil para los programadores reales, golpéala en la cara.


Ver el vídeo: Eine Gleichung lösen (Septiembre 2021).