Artículos

3.E: Patrones numéricos (ejercicios) - Matemáticas


Ejercicio ( PageIndex {1} ): números hexagonales (acorralados)

Considere que los números hexagonales son la secuencia (1,6,15, 28,45,66 cdots. ) Predice la n th término. Explica tu predicción.

Respuesta

(2n ^ 2-n ).

Ejercicio ( PageIndex {2} ): suma finita

Para cada uno de los siguientes, encuentre la suma y explique su razonamiento. No utilice ninguna fórmula.

  1. (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + cdots + 197 + 199 )
  2. (1+ displaystyle frac {1} {2} + displaystyle frac {1} {4} + cdots + displaystyle frac {1} {2 ^ {16}} + displaystyle frac {1 } {2 ^ {17}} )
Respuesta
  1. (1+3+5+7+9+···+197+199)

Observe que (1,3,5,7, cdots ) ​​términos de una secuencia. Esta es una secuencia aritmética porque la diferencia sigue siendo la misma entre los términos a lo largo de toda la secuencia. Por tanto, (a = 1 & , d = 2 ).

Considerar,

(S_ n = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ··· + 197 + 199 )

(S n = 199 + 197 + 195 + 193 + 191 + ··· + 3 + 1 )

Al agregar obtenemos,

((2S_n = 200 + 200 + 200 + 200 + 200 + ··· + 200 + 200 )

(2S_n = 100 (200) )

(S_n = ((100) / 2)) (200) )

(S_n = (50) (200) )

(S_n = 10000 )

Por tanto, la suma de la secuencia es (10000. )

2.

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Prueba por inducción

Considere la secuencia (4,10,16, 22, 28 ,, puntos ), suponga que el patrón continúa.

  1. Demuestre que el término (n ^ {th} ) de esta secuencia se puede expresar como (6n-2 ).
  2. Demuestre usando la inducción para todos los enteros (n geq 1, 4 + 10 + 16 + dots + (6n-2) = n (3n + 1) )
Respuesta

1.

TérminoPrimera diferencia
4
106
166
226

Observe que la primera diferencia es constante. Por tanto, el término (n ^ {th} ) es una función lineal.

Sea (t_n = a_n + b. )

Entonces necesitamos encontrar (a, b ).

Primera ecuación: Sea (n = 1 )

(t_1 = 4 )

(4 = a (1) + b )

(4 = a + b )

Segunda ecuación: Sea (n = 2 )

(t_2 = 10 )

(10 ​​= a (2) + b )

(10 ​​= 2a + b )

Para encontrar (a ), usamos (10 ​​= 2a + b ) y (- 4 = a + b ). Por lo tanto, (6 = a. )

Ahora para encontrar (b ), usamos (a = 6 ) y (4 = a + b ),

(4 = (6) + b )

(4 - 6 = b )

(- 2 = b ).

Por tanto, (t_n = 6n - 2. )

2. Paso 1: Paso base: demuestre que esta afirmación es cierta para el valor más pequeño

La afirmación de verificación es verdadera para n = 1.

L.H.S = 4

R.H.S = n (3n + 1)

= (1)(3(1) + 1)

= (1)(3 + 1)

= (1)(4)

= 4

Por tanto, el enunciado es verdadero para n = 1.

Paso 2: Supuesto de inducción:

Supondremos que el enunciado es verdadero para n = k.

4 + 10 + 16 +. + (6k - 2) = k (3k + 1)

Paso 3: inducción:

Demostraremos que el enunciado es verdadero para n = k + 1.

4 + 10 + 16 +. + (6k - 2) + (6 (k + 1) - 2) = (k + 1) (3 (k + 1) + 1)

Considere, L.H.S = 4 + 10 + 16 +. + (6k - 2) + (6 (k + 1) - 2)

= k (3k + 1) + (6 (k + 1) - 2)

= k (3k + 1) + (6k + 6-2)

= k (3k + 1) + (6k + 4)

= 3k 2 + k + 6k + 4

= 3k 2 + 7k + 4

= (k + 1) (3k + 4)

Por tanto, el enunciado es verdadero para n = k + 1

Por tanto, por inducción el enunciado es verdadero, ∀n ∈ N.

Ejercicio ( PageIndex {4} ): Prueba por inducción

Considere la secuencia (3,11,19, 27, 35, dots ), suponga que el patrón continúa.

  1. Muestre que el término (n ^ {th} ) de esta secuencia se puede expresar como (8n-5 ).
  2. Demuéstrelo usando la inducción para todos los enteros (n geq 1, 3 + 11 + 19 dots + (8n-5) = 4n ^ 2-n. )

Ejercicio ( PageIndex {5} ): Tribonacci

Comencemos con los números (0,0,1, ) y generemos números futuros en nuestra secuencia sumando los tres números anteriores. Escriba los primeros (15 ) términos en esta secuencia, comenzando con el primer (1 ).

Ejercicio ( PageIndex {6} ): Prueba por inducción

La secuencia (b_0, b_1, b_2 .... ) se define de la siguiente manera: (b_0 = 1, b_1 = 3, b_2 = 5, ) y para cualquier número entero (n geq 3, , b_n = 3b_ {n-2} + 2b_ {n-3}. )

  1. Encuentra (b_3, b_4, b_5 ) y (b_6 ).
  2. Demuestre que (b_n <2 ^ {n + 1} ) para todos los enteros (n geq 1. )

Ejercicio ( PageIndex {7} ): secuencia cuadrática

Encuentre el término (n ^ {th} ) de la secuencia (5,10,17, 26, 37, cdots ), suponga que el patrón continúa.

Respuesta

((n + 1) ^ 2 + 1 = n ^ 2 + 2n + 2 )

Ejercicio ( PageIndex {8} ): Prueba por inducción

Demuestre usando inducción: para todos los enteros (n geq 1, , 1 + 4 + 7 dots + (3n-2) = frac {n (3n-1)} {2}. )

Respuesta

Paso 1: Paso base: demuestre que esta afirmación es cierta para el valor más pequeño

La afirmación de verificación es verdadera para n = 1.

L.H.S = 1

R.H.S = n (3n − 1) / (2)

= (1)(3(1) − 1) / (2)

= (1)(3 − 1) / (2)

= (1)(2) / (2)

= 1

Por tanto, el enunciado es verdadero para n = 1.

Paso 2: Supuesto de inducción:

Supondremos que el enunciado es verdadero para n = k.

1 + 4 + 7 ... + (3k − 2) = k (3k − 1) / (2)

Paso 3: inducción:

Demostraremos que el enunciado es verdadero para n = k + 1.

1 + 4 + 7 ... + (3k - 2) + (3 (k + 1) - 2) = (k + 1) (3 (k + 1) - 1) / (2)

Considere, L.H.S = k (3k - 1) / (2) + (3 (k + 1) - 2)

= k (3k - 1) / (2) + (3k + 3) - 2)

= k (3k - 1) / (2) + (3k + 1)

= (3k 2 + k) / (2) + (3k + 1)

= (3k 2 + k + 3k + 1) / (2)

= (3k 2 + 4k + 1) / (2)

= ((k + 1) (3k + 1)) / (2)

Por tanto, el enunciado es verdadero para n = k + 1

Por tanto, por inducción el enunciado es verdadero, ∀n ∈ N.

Ejercicio ( PageIndex {9} ): secuencia de reconocimiento

Predecir (n ^ {th} ) término de la secuencia ( frac {2} {3}, frac {3} {4}, frac {4} {5} cdots , ) suponga que el patrón continúa. Explica tu predicción.

Respuesta

( frac {n} {n + 1} ).

Ejercicio ( PageIndex {10} ): secuencia de reconocimiento

Considere la secuencia (t_1 = 1, t_2 = 3 + 5, t_3 = 7 + 9 + 11, cdots ). Predecir la n th término. Justifica tu predicción.

Ejercicio ( PageIndex {11} ): Prueba por inducción

Muestre que el perímetro del diseño al unir (n ) hexágonos en una fila es (8n + 4 ) cm.

Ejercicio ( PageIndex {13} ): Números pentagonales (acorralados)

Encuentre el término (n ^ {th} ) de la secuencia (1,5,12, 22, cdots ), suponga que el patrón continúa.

Ejercicio ( PageIndex {14} ): números piramidales cuadrados

Encuentra el término (n ^ {th} ) de la secuencia (1,5,14,30 cdots )., Asume que el patrón continúa.

Ejercicio ( PageIndex {15} ): Diferencia

Calcule la diferencia de cada una de las siguientes secuencias:

  1. (a_n = n ^ 3 )
  2. (a_n = n ^ { subrayado {3}} )
  3. (a_n = displaystyle {n elige 3} )
Respuesta
  1. (n ^ 2 + 2n + 1 )
  2. (3 n ^ 2 )
  3. (n elija 2 ).

Terminología:
Secuencia / patrónUna secuencia o patrón es un conjunto ordenado de números o variables.
Sucesivo / consecutivoLos términos sucesivos o consecutivos son términos que siguen directamente uno tras otro en una secuencia.
Diferencia comúnLa diferencia común o constante ((d) ) es la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera en una secuencia lineal.
Termino generalUna expresión matemática que describe la secuencia y que genera cualquier término en el patrón sustituyendo (n ) por diferentes valores.
ConjeturaUna declaración, consistente con datos conocidos, que no ha sido probada como verdadera ni falsa.

Importante: una serie no es lo mismo que una secuencia o un patrón. En el grado 12 se estudian diferentes tipos de series. En el grado 11 solo estudiamos secuencias.

Describir patrones (EMBG3)

Para describir términos en un patrón usamos la siguiente notación:

(T_1 ) es el primer término de una secuencia.

(T_4 ) es el cuarto término de una secuencia.

(T_n ) es el término general y a menudo se expresa como (n ^ < text> ) término de una secuencia.

Una secuencia no tiene que seguir un patrón, pero cuando lo hace, podemos escribir una ecuación para el término general. El término general se puede utilizar para calcular cualquier término de la secuencia. Por ejemplo, considere la siguiente secuencia lineal: (1 4 7 10 13 ldots ) ​​El (n ^ < text> ) término viene dado por la ecuación (T_n = 3n-2 ).

Puede verificar esto sustituyendo valores por (n ):

empezar T_1 & amp = 3 (1) - 2 = 1 T_2 & amp = 3 (2) - 2 = 4 T_3 & amp = 3 (3) - 2 = 7 T_4 & amp = 3 (4) - 2 = 10 T_5 & amp = 3 (5) - 2 = 13 end

Si encontramos la relación entre la posición de un término y su valor, podemos describir el patrón y encontrar cualquier término en la secuencia.

Secuencias lineales (EMBG4)

Una secuencia de números en la que hay una diferencia común ( (d )) entre cualquier término y el término anterior se llama secuencia lineal.


Ponte a prueba ahora

Las calificaciones altas en matemáticas son la clave de su éxito y sus planes futuros. Ponte a prueba y aprende más sobre la práctica de Siyavula.

Analiza el diagrama y completa la tabla.

Dada una lista de números: (7 4 1 -2 -5 ldots ) ​​determina la diferencia común para la lista (si hay una).

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> = (4) - (7) = -3 & amp = T_ <3> - T_ <2> = (1) - (4) = -3 & amp = T_ <4> - T_ <3> = (-2) - (1) = -3 end Todos los resultados son iguales, lo que significa que hemos encontrado el común diferencia para estos números: (d = -3 ).

Para el patrón aquí: (- text <0,55> text <0,99> text <2,49> text <3,91> ldots ) ​​calcula el Diferencia común.

Si el patrón no es lineal, escriba & # 8220 ninguna diferencia común & # 8221. De lo contrario, dé su respuesta como decimal.

En este caso, la secuencia no es lineal. Por tanto, la respuesta final es que no existe una diferencia común.

Considere la lista que se muestra aquí: (2 7 12 17 22 27 32 37 ldots )

Si (T_ <5> = text <22> ) ¿cuál es el valor de (T_)?

Escriba los siguientes tres términos en cada una de las siguientes secuencias lineales:

(50r 46r 42r ldots )

empezar d & amp = T_ <2> -T_ <1> text T_ <3> -T_ <2> & amp = (46r) - (50r) text (42r) - (46r) & amp = -4r texto T_4 & amp = 38r T_5 & amp = 34r T_6 & amp = 30r end

Dada una secuencia que comienza con los números: (6 11 16 21 ldots ) ​​determina los valores de (T_ <6> ) y ( T_ <8> ) .

Dada una lista que comienza con las letras: (A B C D ldots ) ​​determina los valores de (T_ <6> ) y (T_ <10> ).

Encuentra el sexto término en cada una de las siguientes secuencias:

(4 13 22 31 ldots )

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 13 - 4 & amp = 9 end

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 4 T_ <2> & amp = a + d = 4 + 9 & amp = 4 + 9 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = 4 + 9 + 9 & amp = 4 + 9 (2) T_ & amp = T_ + d = 4 + 9 (n-1) & amp = 9n - 5 end

La fórmula general es (T_n = 9n - 5 ).

(5 2 -1 -4 ldots )

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 2-5 & amp = -3 end

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 5 T_ <2> & amp = a + d = 5 + (-3) & amp = 5 + (-3) (1) T_ <3> & amp = T_ < 2> + d = 5 + (-3) + (-3) & amp = 5 + (-3) (2) T_ & amp = T_ + d = 5 + (-3) (n-1) & amp = 7 - 3n end

La fórmula general es (T_n = 7 - 3n ).

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = text <7,4> T_ <2> & amp = a + d = text <7,4> + text <2,3> & amp = text <7 , 4> + text <2,3> (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = text <7,4> + text <2,3> + text <2, 3> & amp = text <7,4> + text <2,3> (2) T_ & amp = T_ + d = text <7,4> + text <2,3> (n-1) & amp = text <7,4> + text <2,3> n - text <2,3 > = text <2,3> n + text <5,1> end

La fórmula general es (T_n = text <2,3> n + text <5,1> ).

Encuentre la fórmula general para las siguientes secuencias y luego encuentre T10, T15 y T30

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = -18 T_ <2> & amp = a + d = -18 + (-4) & amp = -18 + (-4) (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = -18 + (-4) + (-4) & amp = -18 + (-4) (2) T_ & amp = T_ + d = -18 + (-4) (n-1) & amp = -4n - 14 end

La fórmula general es (T_n = -4n - 14 ).

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 1 T_ <2> & amp = a + d = 1 + (-7) & amp = 1 + (-7) (1) T_ <3> & amp = T_ < 2> + d = 1 + (-7) + (-7) & amp = 1 + (-7) (2) T_ & amp = T_ + d = 1 + (-7) (n-1) & amp = -7n + 8 end

La fórmula general es (T_n = -7n + 8 ).

El término general se da para cada secuencia a continuación. Calcula los términos que faltan (cada término que falta está representado por ( ldots )).

( text <10> ldots text <14> ldots text <18> qquad T_n = 2 n + 8 )

Los términos que faltan son ( text <12> ) y ( text <16> )

( text <2> - text <2> - text <6> ldots - text <14> qquad T_n = - 4n + 6 )

empezar T_n & amp = - 4 n + 6 T_4 & amp = - text <4> ( text <4>) text <+6> & amp = - text <10> end

( text <8> ldots text <38> ldots text <68> qquad T_n = 15 n - 7 )

Encuentra el término general en cada una de las siguientes secuencias:

(3 7 11 15 ldots )

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 7-3 & amp = 4 end

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 3 T_ <2> & amp = a + d = 3 + 4 & amp = 3 + 4 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = 3 + 4 + 4 & amp = 3 + 4 (2) T_ & amp = T_ + d = 3 + 4 (n-1) & amp = 4n - 1 end

La fórmula general es (T_n = 4n - 1 ).

(- 2 1 4 7 ldots )

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 1 - (-2) & amp = 3 end

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = -2 T_ <2> & amp = a + d = -2 + 3 & amp = -2 + 3 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = -2 + 3 + 3 & amp = -2 + 3 (2) T_ & amp = T_ + d = -2 + 3 (n-1) & amp = 3n - 5 end

La fórmula general es (T_n = 3n - 5 ).

(11 15 19 23 ldots )

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 15-11 & amp = 4 end

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 11 T_ <2> & amp = a + d = 11 + 4 & amp = 11 + 4 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = 11 + 4 + 4 & amp = 11 + 4 (2) T_ & amp = T_ + d = 11 + 4 (n-1) & amp = 4n + 7 end

La fórmula general es (T_n = 4n + 7 ).

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

La fórmula general es (T_n = frac <1> <3> n ).

Estudie la siguiente secuencia

Escriba los siguientes ( text <3> ) términos:

Encuentra la fórmula general de la secuencia.

Encuentra el valor de (n ) si (T_n ) es (- text <917> ).

¿Cuál es el (346 ^ < text> ) letra de la secuencia:

La palabra & # 8220COMMON & # 8221 tiene 6 letras, así que:

El resto de 4 nos muestra que (346 ^ < text> ) letra es la (4th ^ < text> ) letra de la palabra, que es M

¿Cuál es el (1000 ^ < text> ) letra de la secuencia:

La palabra & # 8220MATHEMATICS & # 8221 tiene 11 letras, así que:

El resto de 10 nos muestra que (1000 ^ < text> ) letra es la décima letra de la palabra, que es C

Los asientos de un estadio deportivo están dispuestos de modo que la primera fila tenga ( text <15> ) asientos, la segunda fila tenga ( text <19> ) asientos, la tercera fila tenga ( text <23 > ) asientos y así sucesivamente. Calcule cuántos asientos hay en el (25 ^ < text> ) fila.

Comenzamos escribiendo la información dada como una secuencia:

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 19-15 & amp = 4 end

A continuación, notamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 15 T_ <2> & amp = a + d = 15 + 4 & amp = 15 + 4 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = 15 + 4 + 4 & amp = 15 + 4 (2) T_ & amp = T_ + d = 15 + 4 (n-1) & amp = 4n + 11 end

La fórmula general es (T_n = 4n + 11 ).

El (25 ^ < texto> ) la fila está representada por (T_ <25> ). El número de asientos en esta fila es:

empezar T_ <25> & amp = 4 (25) + 11 & amp = 111 end

Hay 111 asientos en el (25 ^ < text> ) fila.

El siguiente diagrama muestra imágenes que siguen un patrón.

¿Cuántas cajas habrá en la sexta imagen?

Por lo tanto, se agregan tres cuadros cada vez y la sexta imagen tendrá cuadros ( text <17> )

Determine la fórmula para el (n ^ < text> ) término.

El término general del patrón es: (T_ = 3 n - 1 ).

Usa la fórmula para encontrar cuántos cuadros hay en (30 ^ < text> ) imagen del diagrama.

empezar T_ & amp = 3 n - 1 T_ <30> & amp = 3 (30) - 1 longleftarrow text = 30 & amp = 89 end

Un solo cuadrado está hecho de ( text <4> ) cerillas. Dos cuadrados seguidos necesitan ( text <7> ) cerillas y tres cuadrados necesitan ( text <10> ) cerillas.

Responda las siguientes preguntas para esta secuencia.

Comenzamos escribiendo una secuencia para representar esto:

Vemos de esto que el primer término es ( text <4> ).

Determine la diferencia común.

La diferencia común ( (d )) es:

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 7-4 & amp = 3 end

Determine la fórmula general.

Para determinar la fórmula general, notamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 4 T_ <2> & amp = a + d = 4 + 3 & amp = 4 + 3 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = 4 + 3 + 3 & amp = 4 + 3 (2) T_ & amp = T_ + d = 4 + 3 (n-1) & amp = 3n + 1 end

La fórmula general es (T_n = 3n + 1 ).

Una fila tiene veinticinco cuadrados. ¿Cuántas cerillas hay en esta fila?

Observamos que una fila con veinticinco cuadrados está representada por (T_ <25> ). El número de cerillas en esta fila es:

empezar T_ <25> & amp = 3 (25) + 1 & amp = 76 end

Hay 76 cerillas en la fila con veinticinco cuadrados.

Le gustaría comenzar a ahorrar algo de dinero, pero como nunca antes ha intentado ahorrar, decide comenzar lentamente. Al final de la primera semana, deposita ( text, text <5> ) en su cuenta bancaria. Luego, al final de la segunda semana, deposita ( text, text <10> ) y al final de la tercera semana, ( text, text <15> ). Después de cuántas semanas depositará ( text, text <50> ) en su cuenta bancaria?

Comenzamos escribiendo una secuencia para representar esto:

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> & amp = 10 - 5 & amp = 5 end

Ahora notamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 5 T_ <2> & amp = a + d = 5 + 5 & amp = 5 + 5 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = 5 + 5 + 5 & amp = 5 + 5 (2) T_ & amp = T_ + d = 5 + 5 (n-1) & amp = 5n end

La fórmula general es (T_n = 5n ).

Ahora necesitamos encontrar (n ) tal que (T_=50):

empezar T_ & amp = 5n 50 & amp = 5n por lo tanto n & amp = 10 end

Después de la décima semana depositará ( text, text <50> ) en su cuenta bancaria.

Considere la siguiente lista: [- 4y - 3 - y 2y + 3 5y + 6 8y + 9 ldots ]

Encuentra la diferencia común para los términos de la lista. Si la secuencia no es lineal (si no tiene una diferencia común), escriba & # 8220 ninguna diferencia común & # 8221.

empezar d & amp = T_ <2> - T_ <1> = (- y) - (- 4 y - 3) = 3 y + 3 d & amp = T_ <3> - T_ <2> = (2 y + 3 ) - (- y) = 3 y + 3 d & amp = T_ <4> - T_ <3> = (5 y + 6) - (2 y + 3) = 3 y + 3 end La diferencia común para estos números: (d = 3 y + 3 ).

Si ahora le dicen que (y = 1 ), determine los valores de (T_ <1> ) y (T_ <2> ).

empezar T_ <1> & amp = - 4 y - 3 & amp = - 4 (1) -3 & amp = -7 T_ <2> & amp = - y & amp = - (1) & amp = -1 end

Si los siguientes términos forman una secuencia lineal: [2 n + frac <1> <2> 3 n + frac <5> <2> 7 n + frac <11> <2> ldots ] Determina el valor de (n ). Si la respuesta no es un número entero, escribe la respuesta como una fracción simplificada.

empezar T_ <2> - T_ <1> & amp = T_ <3> - T_ <2> left (3 n + frac <5> <2> right) - left (2 n + frac <1 > <2> right) & amp = left (7 n + frac <11> <2> right) - left (3 n + frac <5> <2> right) 2 left ( 3 n + frac <5> <2> right) - 2 left (2 n + frac <1> <2> right) & amp = 2 left (7 n + frac <11> <2> right) - 2 left (3 n + frac <5> <2> right) 6 n + 5 - left (4 n + 1 right) & amp = 14 n + 11 - left (6 n + 5 right) 2 n + 4 & amp = 8 n + 6 -2 & amp = 6 n n & amp = - frac <1> <3> end

Ahora determine el valor numérico de los primeros tres términos. Si las respuestas no son números enteros, escriba sus respuestas como fracciones.

empezar exto T_ <1> & amp = 2 n + frac <1> <2> & amp = 2 left (- frac <1> <3> right) + frac <1> <2> & amp = - frac <1> <6> textT_ <2> & amp = 3 n + frac <5> <2> & amp = 3 left (- frac <1> <3> right) + frac <5> <2> & amp = frac <3> <2> textT_ <3> & amp = 7 n + frac <11> <2> & amp = 7 left (- frac <1> <3> right) + frac <11> <2> & amp = frac <19> <6> end Los primeros tres términos de esta secuencia son: (- frac <1> <6>, frac <3> <2> ) y ( frac <19> <6> ).

¿Cuántos bloques habrá en (85 ^ < text> ) imagen?

Sugerencia: use los bloques grises para ayudar.

Los bloques grises se pueden representar mediante (n ^ 2 ) y siempre hay ( text <2> ) bloques blancos.

Analiza la siguiente imagen:

¿Cuántos bloques hay en la siguiente imagen?

Imagen 4: (5 ^ 2 + 4 = 29 ) bloques

Escribe la fórmula general de este patrón.

Imagen 1: (2 ^ 2 + 1 qquad (n = 1) )

¿Cuántos bloques habrá en la decimocuarta imagen?

Una línea horizontal cruza un trozo de cuerda en ( text <4> ) puntos y lo divide en cinco partes, como se muestra a continuación.

Si el trozo de cuerda se cruza de esta manera con ( text <19> ) líneas paralelas, cada una de las cuales se cruza en ( text <4> ) puntos, determine el número de partes en las que la cuerda ser dividido.

Necesitamos determinar un patrón para este escenario.

La primera línea divide la cuerda en cinco partes. Podemos volver a dibujar el diagrama para mostrar la cadena con las líneas ( text <2> ) y ( text <3> ):

A partir de esto, vemos que las dos líneas cortan la cadena en ( text <9> ) pedazos. Tres líneas cortan la cuerda en ( text <13> ) pedazos. Entonces, para cada línea agregada, cortamos la línea en ( text <4> ) más piezas.

Entonces podemos escribir la siguiente secuencia:

La diferencia común es ( text <4> ).

A continuación, observamos que para cada término sucesivo agregamos (d ) al último término. Podemos expresar esto como:

empezar T_ <1> & amp = a = 5 T_ <2> & amp = a + d = 5 + 4 & amp = 5 + 4 (1) T_ <3> & amp = T_ <2> + d = 5 + 4 + 4 & amp = 5 + 4 (2) T_ & amp = T_ + d = 5 + 4 (n-1) & amp = 4n + 1 end

La fórmula general es (T_n = 4n + 1 ).

Cuando hay ( text <19> ) líneas estamos trabajando con (T_ <19> ):

empezar T_ <19> & amp = 4 (19) + 1 & amp = 77 end

Por lo tanto, la cadena se cortará en ( text <77> ) partes.

Use una calculadora para explorar y luego generalice sus hallazgos para determinar:

Por lo tanto, (3 ^ <2007> ) seguirá el mismo patrón que la tercera fila

por lo tanto, el dígito de las unidades es ( text <7> )

Por lo tanto, (7 ^ <2008> ) seguirá el mismo patrón que la cuarta fila

por lo tanto, el dígito de las decenas es ( text <0> )

resto cuando (7 ^ <250> ) se divide por ( text <5> )

Por lo tanto, (2 ^ <250> ) seguirá el mismo patrón que la segunda fila

por lo tanto, el resto es ( text <4> )

Analiza el diagrama y completa la tabla.

Los puntos siguen un patrón triangular y la fórmula es (T_n = frac<2>).

La fórmula general para las líneas es (T_n = frac <3n (n - 1)> <2> ).

Se nos da la fórmula general tanto para las líneas como para los puntos. Podemos determinar la fórmula general para la suma de las líneas y los puntos agregando la fórmula general de las líneas a la fórmula general de los puntos.


Hoja de trabajo de matemáticas superiores de patrones numéricos para niños de 7mo grado - PDF imprimible

Hoja de trabajo de patrones numéricos superior para niños de 7mo grado. Esta es una hoja de actividades imprimible en PDF de matemáticas con varios ejercicios. Tiene una clave de respuesta adjunta en la segunda página. Esta hoja de trabajo es un recurso complementario de séptimo grado para ayudar a los maestros, padres y niños en el hogar y en la escuela.

La hoja de trabajo proporcionada será útil para desarrollar las habilidades matemáticas esenciales en los niños. Aprenderán a completar los patrones numéricos dados. Se dan muchos números que expresan algún patrón. Los niños observarán y completarán el patrón dado. Desarrollará las habilidades de observación y el poder intelectual de los niños.

Hojas de trabajo relacionadas

Hoja de trabajo de matemáticas del teorema de pitágoras 1 de los lados del triángulo para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

math-2022/5955 / image_Ze5m2obPm48aT.png 237168 math4childrenplus https://www.math4childrenplus.com/wp-content/uploads/2013/04/logo.png math4childrenplus 2013-11-28 19:30:24 2015-05- 31 11:20:14 Hoja de trabajo de matemáticas del teorema de pitágoras 1 de los lados del triángulo para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

Hoja de trabajo de matemáticas de porcentajes y proporciones para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

math-2022/5955 / image_6jhttr5Ajzm4iiKuE.png 237168 math4childrenplus https://www.math4childrenplus.com/wp-content/uploads/2013/04/logo.png math4childrenplus 2013-11-28 19:28:38 2015-05- 31 11:16:39 Hoja de trabajo de matemáticas de porcentajes y proporciones para niños de 7mo grado - PDF imprimible

Hoja de trabajo de matemáticas de geometría coordinada para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

math-2022/5955 / image_2fe4gvOmIjGw1zQhurZds.png 237168 math4childrenplus https://www.math4childrenplus.com/wp-content/uploads/2013/04/logo.png math4childrenplus 2013-11-28 19:26:16 2015-05- 31 11:08:53 Hoja de trabajo de matemáticas de geometría coordinada para niños de 7mo grado - PDF imprimible

Coordenadas 3 hoja de trabajo de matemáticas para niños de 7mo grado - PDF imprimible

Coordenadas 2 hoja de trabajo de matemáticas para niños de 7mo grado - PDF imprimible

math-2022/5955 / image_49eT37RxqCJ.png 237168 math4childrenplus https://www.math4childrenplus.com/wp-content/uploads/2013/04/logo.png math4childrenplus 2013-11-28 19:23:48 2015-05- 31 10:59:57 Coordenadas 2 hoja de trabajo de matemáticas para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

Coordenadas 1 hoja de trabajo de matemáticas para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

237168 math4childrenplus https://www.math4childrenplus.com/wp-content/uploads/2013/04/logo.png math4childrenplus 2013-11-28 19:22:24 2015-05-31 10:55:33 Coordenadas 1 matemáticas hoja de trabajo para niños de 7mo grado - PDF imprimible

Hoja de trabajo de matemáticas de factorizaciones de expansiones para niños de 7mo grado - PDF imprimible

math-2022/5955 / image_pMOLIuKzujVPRtk2R93w.png 237168 math4childrenplus https://www.math4childrenplus.com/wp-content/uploads/2013/04/logo.png math4childrenplus 2013-11-28 19:16:05 2014-06- 19 07:09:29 Hoja de trabajo de matemáticas de factorizaciones de expansiones para niños de 7mo grado - PDF imprimible

Hoja de trabajo de matemáticas de ecuaciones lineales para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

Registros de la hoja de trabajo de matemáticas para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

math-2022/5955 / image_0UaHUB6h4mS.png 237168 math4childrenplus https://www.math4childrenplus.com/wp-content/uploads/2013/04/logo.png math4childrenplus 2013-11-28 19:14:25 2014-06- 19 07:09:04 Registros de la hoja de trabajo de matemáticas para niños de 7. ° grado - PDF imprimible

Hojas de trabajo de formas, números y patrones de tercer grado

Presente la tabla de multiplicar del 10 con esta hoja de cálculo de matemáticas imprimible. Los niños cuentan de 10 en 10 usando una cuadrícula y completan problemas básicos de multiplicación.

Practica la tabla del 2 contando de 2 en 2, resolviendo problemas básicos de multiplicación y contando las orejas de los animales.

Cuente de 3 en 3 en la cuadrícula de la imagen, coloree las respuestas y encuentre el patrón. Luego, resuelve problemas básicos de multiplicación usando la tabla del 3.

Cuente de 4 en 4 en la cuadrícula de la imagen, coloree las respuestas y encuentre el patrón. Luego, resuelve problemas básicos de multiplicación usando la tabla del 4.

Presente la tabla de multiplicar del 5 con esta hoja de cálculo de matemáticas imprimible. Los niños cuentan de 5 en 5 usando una cuadrícula y completan problemas básicos de multiplicación.

Para continuar cada fila de números, los estudiantes cuentan de 3 en 3, 4 o 5 para determinar el patrón. Los niños deberían poder completar estos patrones numéricos usando matemáticas mentales.

Los estudiantes identifican y completan los patrones de números decrecientes en esta hoja de trabajo de matemáticas imprimible. Los patrones requieren que los niños resten un cierto número; deben verificar que la operación que convierte el primer número en el segundo también convierte el segundo número en el tercero.

Identifique los patrones en esta hoja de trabajo matemática imprimible continuando las secuencias numéricas. Los patrones requieren que los niños sumen o resten un cierto número; deben verificar que la operación que convierte el primer número en el segundo también convierte el segundo número en el tercero.

Continúe con los patrones numéricos en esta hoja de cálculo de matemáticas imprimible. Señale que algunos de los patrones muestran un aumento y otros una disminución. Los niños deben comprobar que la operación que convierte el primer número en el segundo también convierte al segundo en el tercero.


Ejemplo resuelto 1: mesa de estudio

Tú y tus amigos de ( text <3> ) deciden estudiar matemáticas y están sentados juntos en una mesa cuadrada. Unos minutos más tarde, ( text <2> ) llegan otros amigos y les gustaría sentarse en su mesa. Mueves otra mesa junto a la tuya para que ( text <6> ) personas puedan sentarse en la mesa. Otros ( text <2> ) amigos también quieren unirse a tu grupo, así que tomas una tercera mesa y la agregas a las tablas existentes. Ahora ( text <8> ) las personas pueden sentarse juntas.

Examine cómo se relaciona el número de personas sentadas con el número de mesas. ¿Existe un patrón?


Recursos destacados de tercer grado

Lista de lectura de verano: nivel intermedio

Lista de lectura de verano: nivel intermedio proporcionado por Penguin PutnamDorling Kindersley The Alfred Summer por Jan Slepian ISBN.

Declaración de Independencia - Vídeos y actividades de amplificación

Declaración de Independencia & ampacirc & amp # 128 & amp # 147 Videos y actividades de ampamp Vea los videos para aprender sobre la Declaración o.

El librito de la Declaración de Independencia

Haga un libro emergente que repase los orígenes de la Declaración de Independencia.

Junta de Elección del 4 de julio para grados de primaria

Estas actividades de aprendizaje de verano del 4 de julio para estudiantes de primaria son una excelente manera de celebrar el nacimiento de Americ.


Los matemáticos no son las personas que encuentran fáciles las matemáticas, son las personas que disfrutan de lo desconcertante, desconcertante y difícil que es. ¿Eres matemático?

Comentario grabado en la página 'Inicio del día' del 19 de junio por Nikki Jordan, Braunton School, Devon:

& quot; Excelente. Muchas gracias por un fabuloso set de entrantes. Utilizo los "fines de semana" si los diarios no son exactamente lo que quiero. Brillante y muy apreciado. & Quot

Comentario registrado en la página de inicio del día del 9 de abril por Jan, South Canterbury:

& quot; Gracias por compartir un recurso tan bueno. Estaba a punto de intentar reunir un grupo de principiantes, pero siempre se requiere tiempo en otros lugares, así que gracias.

Cada mes se publica un boletín que contiene detalles de las nuevas incorporaciones al sitio web de Transum y un nuevo rompecabezas del mes.

Luego, el boletín se duplica como un podcast que está disponible en las principales redes de distribución. Puede escuchar el podcast mientras viaja, hace ejercicio o se relaja.

Las últimas noticias de Transum están disponibles en Twitter @Transum y, si eso no es suficiente, también hay una página de Transum en Facebook.

Actividad destacada

Boletin informativo

Se acaba de publicar el Boletín Transum de julio de 2021. Haga clic en la imagen de arriba para leer sobre los últimos desarrollos en este sitio e intente resolver el rompecabezas del mes. Puede leer el boletín en línea o escucharlo descargando el podcast.


Introducción

Las actividades de comparación desarrollan una comprensión del orden matemático. Las actividades de reconocimiento de patrones requieren que los niños observen y sigan patrones preparándolos para aprender a reconocer números. Las actividades de reconocimiento y conteo de números preparan a los niños en edad preescolar para los ejercicios de suma y resta de nivel escolar.

Si un aspecto de un proyecto es frustrante para el niño, bríndele ayuda; trate de mantener las cosas divertidas. Cante canciones, lea cuentos o vea programas con un tema similar a la hoja de trabajo que elija para complementar el proyecto, enfocándose nuevamente en actividades adicionales que el niño disfruta para ayudarlo a mantenerse motivado.

Tome descansos, cuando sea necesario. Elija un momento del día en el que usted y el niño estén relajados. Proporcione recompensas (estímulo verbal, estrellas doradas en & # 34chore chart & # 34 checklists o premios por tareas que se han dominado) y cambie las recompensas cuando sea necesario. ¡No subestime el valor de la recompensa del tiempo a solas con un adulto amado! Diez minutos de & # 34tiempo para la tarea & # 34 con papá después del trabajo pueden convertirse en un ritual especial tanto para el padre como para el niño.

Visite Number Buddies de DLTK para obtener manualidades imprimibles, páginas para colorear, juegos, páginas de trazadores y poemas para complementar estas hojas de trabajo de reconocimiento de colores.


Juegos de Patrones

¡Los patrones están a nuestro alrededor! Mire de cerca y encontrará patrones en canciones, bailes, poesía, arte, edificios, naturaleza y números. Los patrones se repiten de manera regular: una vez que reconoces una estructura de patrón, ¡puedes predecir lo que sigue! Nuestros divertidos juegos de patrones invitan a los niños a crear, copiar, extender, arreglar y transferir patrones de manera divertida.

Learn more about patterns and our pattern games by clicking on the links below. And, be sure to visit our Pattern Block Puzzle Games page for more fun games that teach children shapes and patterns.

WHAT’S THE MATH?

DIRECTIONS FOR GAMES AT SCHOOL

DIRECTIONS FOR GAMES AT HOME

GAME MATERIALS AND PATTERN PRINTABLES

ARTICLES ABOUT PATTERNS

FORMATIVE ASSESSMENT: PRESCHOOL MATH LOOK FOR’S

SUGGESTED BOOKS TO READ

A-B-A-B-A-A Book of Pattern Play by Brian P. Cleary
This book helps children understand what a pattern is using fun, rhyming text and lots of visual illustrations. The end of the book includes skip counting by 2s, 5s, and 10s — a math concept that children will dive into during kindergarten.

Pattern Bugs by Trudy Harris
This fun book emphasizes patterns through repeated words and sounds, and these are complemented by repeating patterns in the illustrations and along the border of the book pages. There are many color, shape, size, and number patterns that children will enjoy identifying on each page. You can challenge children to name the pattern (e.g., AB or AAB) as soon as they recognize it!

Patterns (Math Counts) by Henry Pluckrose
This is a great book to get children thinking about the patterns they see in the world around them. Each page has a picture of a different pattern found in the world!

Five Little Monkeys Jumping on the Bed by Eileen Christelow
This fun book and song can be used to teach patterns, counting backwards, knowing what number is “one less,” and cardinality. For patterns, point out the words of the song that repeat and see if children know what is changing — there is one less monkey jumping on the bed each time (this is called a shrinking pattern). You can also have children act out the book by having five children pretend to be the monkeys and one person pretend to be the mama. By acting it out, children will see how the number of monkeys (children) decreases by one each time the pattern (verse of the song) repeats.