Artículos

9.2E: Ejercicios para series infinitas


En los ejercicios 1 a 4, use la notación sigma para escribir cada expresión como una serie infinita.

1) (1+ frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + ⋯ )

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n} )

2) ( 1−1+1−1+⋯)

3) (1− frac {1} {2} + frac {1} {3} - frac {1} {4} + ... )

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(- 1) ^ {n − 1}} {n} )

4) ( sin 1+ sin frac {1} {2} + sin frac {1} {3} + sin frac {1} {4} + ⋯ )

En los ejercicios 5-8, calcule las primeras cuatro sumas parciales (S_1,…, S_4 ) para la serie que tiene (n ^ { text {th}} ) término (a_n ) comenzando con (n = 1 ) como sigue.

5) (a_n = n )

Respuesta:
( 1,3,6,10)

6) (a_n = 1 / n )

7) (a_n = sin frac {nπ} {2} )

Respuesta:
( 1,1,0,0)

8) (a_n = (- 1) ^ n )

En los ejercicios 9 a 12, calcule el término general (a_n ) de la serie con la suma parcial dada (S_n ). Si la secuencia de sumas parciales converge, encuentre su límite (S ).

9) (S_n = 1− frac {1} {n}, quad n≥2 )

Respuesta:
(a_n = S_n − S_ {n − 1} = dfrac {1} {n − 1} - dfrac {1} {n}. ) Dado que ( Displaystyle S = lim_ {n a infty } S_n = lim_ {n to infty} left (1− frac {1} {n} right) = 1, ) la serie converge a (S = 1. )

10) (S_n = dfrac {n (n + 1)} {2}, quad n≥1 )

11) (S_n = sqrt {n}, quad n≥2 )

Respuesta:
(a_n = S_n − S_ {n − 1} = sqrt {n} - sqrt {n − 1} = dfrac {1} { sqrt {n − 1} + sqrt {n}}. )
La serie diverge porque las sumas parciales son ilimitadas.
Es decir, ( Displaystyle lim_ {n to infty} S_n = lim_ {n to infty} sqrt {n} = infty. )

12) (S_n = 2− dfrac {n + 2} {2 ^ n}, quad n≥1 )

Para cada serie de los ejercicios 13 a 16, use la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.

13) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {n} {n + 2} )

Respuesta:
(S_1 = 1/3, )
(S_2 = 1/3 + 2/4> 1/3 + 1/3 = 2/3, )
(S_3 = 1/3 + 2/4 + 3/5> 3⋅ (1/3) = 1. )
En general (S_k> k / 3, ) entonces la serie diverge.
Tenga en cuenta que la prueba de término (n ^ { text {th}} ) para la divergencia también podría usarse para probar que esta serie diverge.

14) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (1 - (- 1) ^ n)) )

15) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {(n + 1) (n + 2)} ) (Pista: Usa una descomposición de fracciones parciales como esa para ( displaystyle suma_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n (n + 1)}.) )

Respuesta:

(S_1 = 1 / (2 cdot 3) = 1/6 = 2 / 3−1 / 2, )

(S_2 = 1 / (2 cdot 3) + 1 / (3 cdot 4) = 2/12 + 1/12 = 1/4 = 3 / 4−1 / 2, )

(S_3 = 1 / (2 cdot 3) + 1 / (3 cdot 4) + 1 / (4 cdot 5) = 10/60 + 5/60 + 3/60 = 3/10 = 4/5 −1/2, )

(S_4 = 1 / (2 cdot 3) + 1 / (3 cdot 4) + 1 / (4 cdot 5) + 1 / (5 cdot 6) = 10/60 + 5/60 + 3 / 60 + 2/60 = 1/3 = 5 / 6−1 / 2. )

El patrón es (S_k = dfrac {k + 1} {k + 2} - dfrac {1} {2}. )
Entonces ( displaystyle lim_ {n to infty} S_n = lim_ {n to infty} left ( dfrac {k + 1} {k + 2} - dfrac {1} {2} derecha) = dfrac {1} {2}, ) entonces la serie converge a (1/2. )

16) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {2n + 1} ) (Sugerencia: sigue el razonamiento para ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac { 1} {n}.) )

Supongamos que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n = 1 ), que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞b_n = −1 ), que (a_1 = 2 ) y (b_1 = −3 ). Utilice esta información para encontrar la suma de las series indicadas en los ejercicios 17 a 20.

17) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (a_n + b_n) )

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (a_n + b_n) quad = quad sum_ {n = 1} ^ ∞ a_n + sum_ {n = 1} ^ ∞ b_n quad = quad 1 + (-1) quad = quad 0 )

18) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (a_n − 2b_n) )

19) ( Displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ (a_n − b_n) )

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ (a_n − b_n) quad = quad sum_ {n = 2} ^ ∞ a_n - sum_ {n = 2} ^ ∞ b_n quad = quad izquierda ( sum_ {n = 1} ^ ∞ a_n - a_1 right) - left ( sum_ {n = 1} ^ ∞ b_n -b_1 right) quad = quad (1 - 2) - (-1 - (-3)) = -1 - 2 quad = quad -3 )

20) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ (3a_ {n + 1} −4b_ {n + 1}) )

En los ejercicios 21 a 26, indica si la serie dada converge o diverge y explica por qué.

21) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n + 1000} ) (Pista: reescribe usando un cambio de índice).

Respuesta:
La serie diverge, ( displaystyle sum_ {n = 1001} ^ ∞ frac {1} {n} )

22) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n + 10 ^ {80}} ) (Pista: reescribe usando un cambio de índice).

23) (1+ frac {1} {10} + frac {1} {100} + frac {1} {1000} + ⋯ )

Respuesta:
Esta es una serie geométrica convergente, ya que (r = frac {1} {10} <1 )

24) (1+ frac {e} {π} + frac {e ^ 2} {π ^ 2} + frac {e ^ 3} {π ^ 3} + ⋯ )

25) (1+ frac {π} {e ^ 2} + frac {π ^ 2} {e ^ 4} + frac {π ^ 3} {e ^ 6} + frac {π ^ 4} {e ^ 8} + ⋯ )

Respuesta:
Esta es una serie geométrica convergente, ya que (r = π / e ^ 2 <1 )

26) (1− sqrt { frac {π} {3}} + sqrt { frac {π ^ 2} {9}} - sqrt { frac {π ^ 3} {27}} + ⋯ )

Para cada (a_n ) de los ejercicios 27 a 30, escribe su suma como una serie geométrica de la forma ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ar ^ n ). Indique si la serie converge y, si lo hace, encuentre el valor exacto de su suma.

27) (a_1 = −1 ) y ( dfrac {a_n} {a_ {n + 1}} = - 5 ) para (n≥1. )

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞5⋅ (−1/5) ^ n ), converge a (−5/6 )

28) (a_1 = 2 ) y ( dfrac {a_n} {a_ {n + 1}} = 1/2 ) para (n≥1. )

29) (a_1 = 10 ) y ( dfrac {a_n} {a_ {n + 1}} = 10 ) para (n≥1 ).

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞100⋅ (1/10) ^ n, ) converge en ( frac {100} {9} )

30) (a_1 = frac {1} {10} ) y (a_n / a_ {n + 1} = - 10 ) para (n≥1 ).

En los ejercicios 31 a 34, usa la identidad ( displaystyle frac {1} {1 − y} = sum_ {n = 0} ^ ∞y ^ n ) (que es verdadera para (| y | <1 )) para expresar cada función como una serie geométrica en el término indicado.

31) ( dfrac {x} {1 + x} ) en (x )

Respuesta:
( Displaystyle x sum_ {n = 0} ^ ∞ (−x) ^ n = sum_ {n = 1} ^ ∞ (−1) ^ {n − 1} x ^ n )

32) ( dfrac { sqrt {x}} {1 − x ^ {3/2}} ) en ( sqrt {x} )

33) ( dfrac {1} {1+ sin ^ 2x} ) en ( sin x )

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n sin ^ {2n} (x) )

34) ( sec ^ 2 x ) en ( sin x )

En los ejercicios 35 a 38, evalúe la serie telescópica o indique si la serie diverge.

35) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞2 ^ {1 / n} −2 ^ {1 / (n + 1)} )

Respuesta:
(S_k = 2−2 ^ {1 / (k + 1)} → 1 ) como (k → ∞. )

36) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ {13}} - frac {1} {(n + 1) ^ {13}} )

37) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ ( sqrt {n} - sqrt {n + 1}) )

Respuesta:
(S_k = 1− sqrt {k + 1} ) diverge

38) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ ( sin n− sin (n + 1)) )

Exprese cada serie en los ejercicios 39 - 42 como una suma telescópica y evalúe su (n ^ { text {th}} ) suma parcial.

39) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ ln left ( frac {n} {n + 1} right) )

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ [ ln n− ln (n + 1)], )
(S_k = - ln (k + 1) )

40) ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {2n + 1} {(n ^ 2 + n) ^ 2} ) (Pista: Factoriza el denominador y usa fracciones parciales).

41) ( Displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ frac { ln left (1+ frac {1} {n} right)} {( ln n) ln (n + 1) } )

Respuesta:
(a_n = frac {1} { ln n} - frac {1} { ln (n + 1)} ) y (S_k = frac {1} { ln (2)} - frac {1} { ln (k + 1)} → frac {1} { ln (2)} )

42) ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(n + 2)} {n (n + 1) 2 ^ {n + 1}} ) (Sugerencia: mira (1 / (n2 ^ n) ).

Una serie telescópica general es aquella en la que todos los términos, excepto los primeros, se cancelan después de sumar un número determinado de términos sucesivos.

43) Sea (a_n = f (n) −2f (n + 1) + f (n + 2), ) en la que (f (n) → 0 ) como (n → ∞. ) Encuentra ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

Respuesta:
( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n = f (1) −f (2) )

44) (a_n = f (n) −f (n + 1) −f (n + 2) + f (n + 3), ) en el que (f (n) → 0 ) como (n → ∞ ). Encuentra ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

45) Suponga que (a_n = c_0f (n) + c_1f (n + 1) + c_2f (n + 2) + c_3f (n + 3) + c_4f (n + 4), ) donde (f (n) → 0 ) como (n → ∞ ). Encuentre una condición en los coeficientes (c_0,…, c_4 ) que hacen de esta una serie telescópica general.

Respuesta:
(c_0 + c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 0 )

46) Evalúa ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n (n + 1) (n + 2)} ) (Pista: ( displaystyle frac {1} {n (n + 1) (n + 2)} = frac {1} {2n} - frac {1} {n + 1} + frac {1} {2 (n + 2)} ))

47) Evalúa ( displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ frac {2} {n ^ 3 − n}. )

Respuesta:
( Displaystyle frac {2} {n ^ 3−1} = frac {1} {n − 1} - frac {2} {n} + frac {1} {n + 1}, )
(S_n = (1−1 + 1/3) + (1 / 2−2 / 3 + 1/4) + (1 / 3−2 / 4 + 1/5) + (1 / 4−2 / 5 +1/6) + ⋯ = 1/2 )

48) Encuentra una fórmula para ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ left ( frac {1} {n (n + N)} right) ) donde (N ) es un número entero positivo .

49) [T] Define una secuencia ( displaystyle t_k = sum_ {n = 1} ^ {k − 1} (1 / k) - ln k ). Usa la gráfica de (1 / x ) para verificar que (t_k ) está aumentando. Grafique (t_k ) para (k = 1… 100 ) e indique si parece que la secuencia converge.

Respuesta:

(t_k ) converge a (0.57721… t_k ) es una suma de rectángulos de altura (1 / k ) en el intervalo ([k, k + 1] ) que se encuentran por encima de la gráfica de ( 1 / x ).

50) [T] Suponga que (N ) bloques rectangulares uniformes iguales se apilan uno encima del otro, lo que permite cierto voladizo. La ley de Arquímedes de la palanca implica que la pila de (N ) bloques es estable siempre que el centro de masa de los ((N − 1) ) bloques superiores se encuentre en el borde del bloque inferior. Sea (x ) la posición del borde del bloque inferior y piense en su posición como relativa al centro del bloque siguiente al inferior. Esto implica que ((N − 1) x = left ( frac {1} {2} −x right) ) o (x = 1 / (2N) ). Utilice esta expresión para calcular el voladizo máximo (la posición del borde del bloque superior sobre el borde del bloque inferior). Consulte la siguiente figura.

Cada una de las siguientes series infinitas converge al múltiplo dado de (π ) o (1 / π ).

En cada caso, encuentre el valor mínimo de (N ) tal que la (N ) suma parcial de la serie se aproxime con precisión al lado izquierdo al número dado de lugares decimales, y dé el valor aproximado deseado. Hasta (15 ) lugar de decimales, (π = 3,141592653589793 .... )

51) [T] ( displaystyle π = −3 + sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {n2 ^ nn! ^ 2} {(2n)!}, ) Error (<0,0001 )

Respuesta:
(N = 22, )
(S_N = 6.1415 )

52) [T] ( Displaystyle frac {π} {2} = sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {k!} {(2k + 1) !!} = sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {2 ^ kk! ^ 2} {(2k + 1)!}, ) Error (<10 ^ {- 4} )

53) [T] ( displaystyle frac {9801} {2π} = frac {4} {9801} sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {( k!) ^ 4396 ^ {4k}}, ) error (<10 ^ {- 12} )

Respuesta:
(N = 3, )
(S_N = 1,559877597243667 ... )

54) [T] ( displaystyle frac {1} {12π} = sum_ {k = 0} ^ ∞ frac {(- 1) ^ k (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k) ! (k!) ^ 3640320 ^ {3k + 3/2}} ), error (<10 ^ {- 15} )

55) [T] Una moneda justa es aquella que tiene probabilidad (1/2 ) de salir cara cuando se lanza.

una. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda justa salga cruz (n ) veces seguidas?

B. Encuentre la probabilidad de que una moneda salga cara por primera vez después de un número par de lanzamientos de moneda.

Respuesta:
una. La probabilidad de cualquier secuencia ordenada de resultados para (n ) lanzamientos de moneda es (1/2 ^ n ).
B. La probabilidad de salir cara por primera vez en el (n ) ésimo lanzamiento es la probabilidad de la secuencia (TT… TH ) que es (1/2 ^ n ). La probabilidad de que salga cara por primera vez en un lanzamiento par es ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞1 / 2 ^ {2n} ) o (1/3 ).

56) [T] Encuentre la probabilidad de que una moneda justa sea lanzada un múltiplo de tres veces antes de que salga cara.

57) [T] Encuentre la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez después de un número par de lanzamientos.

Respuesta:
(5/9)

58) [T] Encuentre una serie que exprese la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez en un múltiplo de tres lanzamientos.

59) [T] El número esperado de veces que una moneda normal saldrá cara se define como la suma de (n = 1,2,… ) de (n ) veces la probabilidad de que salga la moneda cabezas exactamente (n ) veces seguidas, o ( dfrac {n} {2 ^ {n + 1}} ). Calcule el número esperado de veces consecutivas que una moneda justa saldrá cara.

Respuesta:
( displaystyle E = sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {n} {2 ^ {n + 1}} = 1, ) como se puede mostrar usando la suma por partes

60) [T] Una persona deposita ($ 10 ) al comienzo de cada trimestre en una cuenta bancaria que gana (4% ) interés anual compuesto trimestralmente (cuatro veces al año).

una. Demuestre que el interés acumulado después de (n ) trimestres es ($ 10 ( frac {1.01 ^ {n + 1} −1} {0.01} −n). )

B. Encuentra los primeros ocho términos de la secuencia.

C. ¿Cuánto interés se ha acumulado después de (2 ) años?

61) [T] Suponga que la cantidad de fármaco en el organismo de un paciente disminuye en un factor multiplicativo (r <1 ) cada hora. Suponga que se administra una nueva dosis cada (N ) horas. Encuentre una expresión que dé la cantidad (A (n) ) en el sistema del paciente después de (n ) horas para cada (n ) en términos de la dosis (d ) y la proporción (r ). (Sugerencia: escriba (n = mN + k ), donde (0≤k

Respuesta:
La parte de la primera dosis después de (n ) horas es (dr ^ n ), la parte de la segunda dosis es (dr ^ {n − N} ) y, en general, la parte restante de la (m ^ { text {th}} ) dosis es (dr ^ {n − mN} ), entonces ( displaystyle A (n) = sum_ {l = 0} ^ mdr ^ {n −lN} = sum_ {l = 0} ^ mdr ^ {k + (m − l) N} = sum_ {q = 0} ^ mdr ^ {k + qN} = dr ^ k sum_ {q = 0} ^ mr ^ {Nq} = dr ^ k frac {1 − r ^ {(m + 1) N}} {1 − r ^ N}, ; text {donde} , n = k + mN. )

62) [T] Cierto fármaco es eficaz para un paciente promedio solo si hay al menos (1 ) mg por kg en el sistema del paciente, mientras que es seguro solo si hay como máximo (2 ) mg por kg en el sistema de un paciente promedio. Suponga que la cantidad en el sistema de un paciente disminuye por un factor multiplicativo de (0,9 ) cada hora después de que se administra una dosis. Encuentre el intervalo máximo (N ) de horas entre dosis y el rango de dosis correspondiente (d ) (en mg / kg) para este (N ) que permitirá que el uso del fármaco sea seguro y eficaz en el largo plazo.

63) Suponga que (a_n≥0 ) es una secuencia de números. Explica por qué la secuencia de sumas parciales de (a_n ) aumenta.

Respuesta:
(S_ {N + 1} = a_ {N + 1} + S_N≥S_N )

64) [T] Suponga que (a_n ) es una secuencia de números positivos y que la secuencia (S_n ) de sumas parciales de (a_n ) está acotada arriba. Explica por qué ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) converge. ¿La conclusión sigue siendo cierta si eliminamos la hipótesis (a_n≥0 )?

65) [T] Supongamos que (a_1 = S_1 = 1 ) y que, para números dados (S> 1 ) y (0

Respuesta:
Desde (S> 1, a_2> 0, ) y desde (k <1, S_2 = 1 + a_2 <1+ (S − 1) = S ). Si (S_n> S ) para algunos (n ), entonces hay un (n ) más pequeño. Para esto (n, S> S_ {n − 1} ), entonces (S_n = S_ {n − 1} + k (S − S_ {n − 1}) = kS + (1 − k) S_ {n −1} 0 ) para todo (n ), entonces (S_n ) es creciente y está acotado por (S ). Sea ( displaystyle S _ ∗ = lim S_n ). Si (S _ ∗ 0 ), pero podemos encontrar n tal que (S _ ∗ - S_n <δ / 2 ), lo que implica que (S_ {n + 1} = S_n + k (S − S_n)> S _ ∗ + δ / 2 ), lo que contradice que Sn aumenta a (S _ ∗ ). Entonces (S_n → S. )

66) [T] Una versión de crecimiento de von Bertalanffy puede usarse para estimar la edad de un individuo en una especie homogénea a partir de su longitud si el aumento anual en el año (n + 1 ) satisface (a_ {n + 1} = k (S − S_n) ), con (S_n ) como la longitud en el año (n, S ) como longitud límite y (k ) como una constante de crecimiento relativo. Si (S_1 = 3, S = 9, ) y (k = 1/2, ) estima numéricamente el valor más pequeño de n tal que (S_n≥8 ). Tenga en cuenta que (S_ {n + 1} = S_n + a_ {n + 1}. ) Encuentre el (n ) correspondiente cuando (k = 1/4. )

67) [T] Suponga que ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) es una serie convergente de términos positivos. Explica por qué ( displaystyle lim_ {N → ∞} sum_ {n = N + 1} ^ ∞a_n = 0. )

Respuesta:
Deje ( displaystyle S_k = sum_ {n = 1} ^ ka_n ) y (S_k → L ). Entonces (S_k ) eventualmente se vuelve arbitrariamente cercano a (L ), lo que significa que ( displaystyle L − S_N = sum_ {n = N + 1} ^ ∞a_n ) se vuelve arbitrariamente pequeño como (N → ∞. )

68) [T] Encuentre la longitud de la trayectoria en zig-zag discontinua en la siguiente figura.

69) [T] Encuentre la longitud total de la ruta discontinua en la siguiente figura.

Respuesta:
( Displaystyle L = left (1+ frac {1} {2} right) sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {2 ^ n} = frac {3} {2} ).

70) [T] El Triángulo de Sierpinski se obtiene de un triángulo eliminando el cuarto medio como se indica en el primer paso, eliminando los cuartos medios de los tres triángulos congruentes restantes en el segundo paso y, en general, eliminando los cuartos medios de los triángulos restantes en cada paso sucesivo. Suponiendo que el triángulo original se muestra en la figura, encuentre las áreas de las partes restantes del triángulo original después de (N ) pasos y encuentre la longitud total de todos los triángulos de contorno después de (N ) pasos.

71) [T] La junta de Sierpinski se obtiene dividiendo el cuadrado unitario en nueve subcuadrados iguales, quitando el cuadrado del medio y haciendo lo mismo en cada etapa con los subcuadrados restantes. La figura muestra el conjunto restante después de cuatro iteraciones. Calcule el área total eliminada después de (N ) etapas y calcule la longitud del perímetro total del conjunto restante después de (N ) etapas.

Respuesta:
En la etapa uno se elimina un cuadrado de área (1/9 ), en la etapa (2 ) se quitan (8 ) cuadrados de área (1/9 ^ 2 ), en la etapa tres se quita (8 ^ 2 ) cuadrados de área (1/9 ^ 3 ), y así sucesivamente. El área total eliminada después de (N ) etapas es ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ {N − 1} frac {8 ^ N} {9 ^ {N + 1}} = frac {1 } {8} cdot frac {1− (8/9) ^ N} {1−8 / 9} → 1 ) as (N → ∞. ) El perímetro total es ( displaystyle 4 + 4 sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {8 ^ N} {3 ^ {N + 1}} → ∞. )

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


Ver el vídeo: Tablas de frecuencia para datos agrupados y cálculo de medidas de tendencia central - Parte 1 (Septiembre 2021).