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4.5 E: Ejercicios de optimización - Matemáticas


4.5: Problemas de optimización aplicada

Para los siguientes ejercicios, responda mediante prueba, contraejemplo o explicación.

311) Cuando encuentra el máximo para un problema de optimización, ¿por qué necesita verificar el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos?

Respuesta:
Los puntos críticos pueden ser mínimos, máximos o ninguno, por lo que es necesario comprobarlo.

312) ¿Por qué necesita comprobar los puntos finales en busca de problemas de optimización?

313) Verdadero o falso. Para cada función no lineal continua, puede encontrar el valor (x ) que maximiza la función.

Respuesta:
Falso; (y = −x ^ 2 ) solo tiene un mínimo

314) Verdadero o falso. Por cada función continua no constante en un dominio finito cerrado, existe al menos una (x ) que minimiza o maximiza la función.

Para los siguientes ejercicios, configure y evalúe cada problema de optimización.

315) Para llevar una maleta en un avión, el largo (+ ancho + ) alto de la caja debe ser menor o igual a (62in ). (a) Suponiendo que la altura es fija, demuestre que el volumen máximo es (V = h (31 - ( frac {1} {2}) h) ^ 2. ) (b) ¿Qué altura le permite tener la mayor volumen?

Respuesta:
(a) sustituya longitud = 62 - ancho - alto en Volumen para obtener (V (w) ); considere la altura como una constante y establezca (V '(w) = 0. ) Resuelva para (w ) y demuestre que es un máx. Luego reescribe la función de volumen con este valor para (w ) (b) (h = frac {62} {3} ) in.

316) Estás construyendo una caja de cartón a partir de una pieza plana de cartón con dimensiones (2 m ) por (4 m. ). Luego, cortas cuadrados del mismo tamaño de cada esquina para poder doblar los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja con mayor volumen?

317) Encuentre el entero positivo que minimiza la suma del número y su recíproco.

Respuesta:
Cuando (1 )

318) Encuentre dos enteros positivos tales que su suma sea (10 ​​) y minimice y maximice la suma de sus cuadrados.

Para los siguientes ejercicios, considere la construcción de un bolígrafo para encerrar un área.

319) Tienes (400 pies ) de cerca para construir un corral rectangular para el ganado. ¿Cuáles son las dimensiones del bolígrafo que maximizan el área?

Respuesta:
(100 pies por 100 pies )

320) Tienes (800 pies ) de cerca para hacer un corral para cerdos. Si tiene un río a un lado de su propiedad, ¿cuál es la dimensión del corral rectangular que maximiza el área?

321) Necesita construir una cerca alrededor de un área de (1600 pies. ) ¿Cuáles son las dimensiones del corral rectangular para minimizar la cantidad de material necesario?

Respuesta:
(40 pies por 40 pies )

322) Dos polos están conectados por un cable que también está conectado a tierra. El primer poste mide (20 pies ) de alto y el segundo poste mide (10 ​​pies ) de alto. Hay una distancia de (30 pies ) entre los dos polos. ¿Dónde se debe anclar el cable al suelo para minimizar la cantidad de cable necesario?

323) [T] Te estás mudando a un nuevo apartamento y notas que hay una esquina donde el pasillo se estrecha de (8 pies a 6 pies ). ¿Cuál es la longitud del artículo más largo que se puede llevar horizontalmente a la vuelta de la esquina?

Respuesta:
19,73 pies

324) El pulso de un paciente mide (70 lpm, 80 lpm ), luego (120 lpm. ) Para determinar una medición precisa del pulso, el médico quiere saber qué valor minimiza la expresión ((x − 70) ^ 2+ (x − 80) ^ 2 + (x − 120) ^ 2 )? ¿Qué valor lo minimiza?

325) En el problema anterior, suponga que el paciente estaba nervioso durante la tercera medición, por lo que solo ponderamos ese valor la mitad que los demás. ¿Cuál es el valor que minimiza ((x − 70) ^ 2 + (x − 80) ^ 2 + frac {1} {2} (x − 120) ^ 2? )

Respuesta:
(84 lpm )

326) Puedes correr a una velocidad de (6 ) mph y nadar a una velocidad de (3 ) mph y estás ubicado en la orilla, (4 ) millas al este de una isla que está (1 ) milla al norte de la costa. ¿Qué tan lejos debes correr hacia el oeste para minimizar el tiempo necesario para llegar a la isla?

Eliminado # 327, 328

329) Un camión usa gasolina como (g (v) = av + frac {b} {v} ), donde (v ) representa la velocidad del camión y (g ) representa los galones de combustible por milla. ¿A qué velocidad se minimiza el consumo de combustible?

Respuesta:
(v = sqrt { frac {b} {a}} )

Para los siguientes ejercicios, considere una limusina que obtiene (m (v) = frac {(120−2v)} {5} mi / gal ) a la velocidad (v ), el chofer cuesta ($ 15 / h ), y el gas es ($ 3,5 / gal. )

330) Encuentre el costo por milla a la velocidad (v. )

331) Encuentre la velocidad de conducción más barata.

Respuesta:
aproximadamente (34.02 mph )

Para los siguientes ejercicios, considere una pizzería que vende pizzas por un ingreso de (R (x) = ax ) y cuesta (C (x) = b + cx + dx ^ 2 ), donde (x ) representa el número de pizzas.

332) Encuentre la función de ganancia para el número de pizzas. ¿Cuántas pizzas dan la mayor ganancia por pizza?

333) Suponga que (R (x) = 10x ) y (C (x) = 2x + x ^ 2 ). ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan la ganancia?

Respuesta:
(4)

334) Suponga que (R (x) = 15x, ) y (C (x) = 60 + 3x + frac {1} {2} x ^ 2 ). ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan la ganancia?


Para los siguientes ejercicios, considere un alambre de (4 pies ) de largo cortado en dos piezas. Una pieza forma un círculo de radio ry la otra forma un cuadrado de lado (x ).

335) Elija (x ) para maximizar la suma de sus áreas.

Respuesta:
(0 ); si obtuvo un buen valor crítico, NO prueba que sea el máximo. Úselo para el problema # 336.

336) Elija (x ) para minimizar la suma de sus áreas.


Para los siguientes ejercicios, considere dos números no negativos (x ) y (y ) tales que (x + y = 10 ). Maximiza y minimiza las cantidades.

337) (xy )

Respuesta:
Máximo: (x = 5, y = 5; ) mínimo: (x = 0, y = 10 ) y (y = 0, x = 10 )

338 (x ^ 2y ^ 2 )

339) (y− frac {1} {x} )

Respuesta:
Máximo: (x = 1, y = 9; ) mínimo: ninguno

340) (x ^ 2 − y )


Para los siguientes ejercicios, dibuje el problema de optimización dado y resuélvalo.

341) Encuentra el volumen del cilindro circular recto más grande que cabe en una esfera de radio (1 ).

Respuesta:
( frac {4π} {3 sqrt {3}} )

342) Encuentra el volumen del cono recto más grande que cabe en una esfera de radio (1 ).

343) Encuentra el área del rectángulo más grande que encaja en el triángulo de lados (x = 0, y = 0 ) y ( frac {x} {4} + frac {y} {6} = 1. )

Respuesta:
(6)

344) Encuentre el volumen más grande de un cilindro que cabe en un cono que tiene un radio de base (R ) y una altura (h ).

345) Encuentre las dimensiones del volumen del cilindro cerrado (V = 16π ) que tiene la menor cantidad de área de superficie.

Respuesta:
(r = 2, h = 4 )

346) Encuentra las dimensiones de un cono recto con área de superficie (S = 4π ) que tiene el volumen más grande.


Para los siguientes ejercicios, considere los puntos en los gráficos dados. Usa una calculadora para graficar las funciones.

347) [T] ¿Dónde está la línea (y = 5−2x ) más cercana al origen?

Respuesta:
((2,1))

348) [T] ¿Dónde está la línea (y = 5−2x ) más cercana al punto ((1,1) )?

349) [T] ¿Dónde está la parábola (y = x ^ 2 ) más cercana al punto ((2,0) )?

Respuesta:
((0.8351,0.6974))

350) [T] ¿Dónde está la parábola (y = x ^ 2 ) más cercana al punto ((0,3) )?


351) Una ventana se compone de un semicírculo colocado encima de un rectángulo. Si tiene (20 pies ) de materiales para marcos de ventanas para el marco exterior, ¿cuál es el tamaño máximo de la ventana que puede crear (con el área máxima)? Usa r para representar el radio del semicírculo.

Respuesta:
El área máxima de la ventana es ( frac {200} {4 + π} ) (sq ) (ft ). Aquí está la función de área que se maximizará: (A = 20r − 2r ^ 2− frac {1} {2} πr ^ 2 )

Para los siguientes ejercicios, configure, pero no evalúe, cada problema de optimización.

352) Tiene una fila de jardín de (20 ) plantas de sandía que producen un promedio de (30 ) sandías cada una. Para cualquier planta de sandía adicional plantada, la producción por planta de sandía se reduce en una sandía. ¿Cuántas plantas de sandía adicionales deberías plantar?

353) Estás construyendo una caja para que duerma tu gato. El material de felpa para el fondo cuadrado de la caja cuesta ($ 5 / pie ^ 2 ) y el material de los lados cuesta ($ 2 / pie ^ 2 ) . Necesita una caja con volumen (4ft ^ 2 ). Encuentre las dimensiones de la caja que minimizan el costo. Usa (x ) para representar la longitud del lado de la caja.

Respuesta:
(C (x) = 5x ^ 2 + frac {32} {x} )

354) Está construyendo cinco corrales idénticos uno al lado del otro con un área total de (1000m ^ 2 ), como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué dimensiones debería utilizar para minimizar la cantidad de vallado?

355) Usted es el administrador de un complejo de apartamentos con (50 ) unidades. Cuando establece el alquiler en ($ 800 / mes, ) se alquilan todos los apartamentos. A medida que aumenta el alquiler en ($ 25 / mes ), se alquila un apartamento menos. Los costos de mantenimiento corren ($ 50 / mes ) por cada unidad ocupada. ¿Cuál es la renta que maximiza la cantidad total de ganancias?

Respuesta:
(P (x) = (50 − x) (800 + 25x − 50) )

Ejercicios de repaso del capítulo

¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo. Suponga que (f (x) ) es continua y diferenciable a menos que se indique lo contrario.

1) Si (f (−1) = - 6 ) y (f (1) = 2 ), entonces existe al menos un punto (x∈ [−1,1] ) tal que ( f ′ (x) = 4. )

Solución: Verdadero, según el teorema del valor medio

2) Si (f ′ (c) = 0, ) hay un máximo o mínimo en (x = c. )

3) Hay una función tal que (f (x) <0, f ′ (x)> 0, ) y (f '' (x) <0. ) (Una "prueba" gráfica es aceptable para esta respuesta.)

Solución: Verdadero

4) Existe una función tal que existe tanto un punto de inflexión como un punto crítico para algún valor (x = a. )

5) Dada la gráfica de (f ′ ), determina dónde (f ) aumenta o disminuye.

Solución: creciente: ((- 2,0) ∪ (4, ∞) ), decreciente: ((- ∞, −2) ∪ (0,4) )

6) La gráfica de (f ) se da a continuación. Dibuja (f ′ ).

7) Encuentra la aproximación lineal (L (x) ) a (y = x ^ 2 + tan (πx) ) cerca de (x = frac {1} {4}. )

Solución: (L (x) = frac {17} {16} + frac {1} {2} (1 + 4π) (x− frac {1} {4}) )

8) Encuentra el diferencial de (y = x ^ 2−5x − 6 ) y evalúa (x = 2 ) con (dx = 0.1. )

Encuentre los puntos críticos y los extremos locales y absolutos de las siguientes funciones en el intervalo dado.

9) (f (x) = x + sin ^ 2 (x) ) sobre ([0, π] )

Solución: Punto crítico: (x = frac {3π} {4}, ) mínimo absoluto: (x = 0, ) máximo absoluto: (x = π )

10) (f (x) = 3x ^ 4−4x ^ 3−12x ^ 2 + 6 ) sobre ([- 3,3] )

Determine en qué intervalos las siguientes funciones aumentan, disminuyen, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo.

11) (x (t) = 3t ^ 4−8t ^ 3−18t ^ 2 )

Solución: Creciente: ((- 1,0) ∪ (3, ∞), ) decreciente: ((- ∞, −1) ∪ (0,3), ) cóncavo hacia arriba: ((- ∞, frac {1} {3} (2− sqrt {13})) ∪ ( frac {1} {3} (2+ sqrt {13}), ∞) ), cóncavo hacia abajo: (( frac {1} {3} (2− sqrt {13}), frac {1} {3} (2+ sqrt {13})) )

12) (y = x + sin (πx) )

13) (g (x) = x− sqrt {x} )

Solución: creciente: (( frac {1} {4}, ∞), ) decreciente: ((0, frac {1} {4}) ), cóncavo hacia arriba: ((0, ∞) , ) cóncavo hacia abajo: en ninguna parte

14) (f (θ) = sin (3θ) )

Evalúe los siguientes límites.

15) (lim_ {x → ∞} frac {3x sqrt {x ^ 2 + 1}} { sqrt {x4−1}} )

Solución: (3 )

16) (lim_ {x → ∞} cos ( frac {1} {x}) )

17) (lim_ {x → 1} frac {x − 1} {sin (πx)} )

Solución: (- frac {1} {π} )

18) (lim_ {x → ∞} (3x) ^ {1 / x} )

Utilice el método de Newton para encontrar las dos primeras iteraciones, dado el punto de partida.

19) (y = x ^ 3 + 1, x_0 = 0.5 )

Solución: (x_1 = −1, x_2 = −1 )

20) ( frac {1} {x + 1} = frac {1} {2}, x_0 = 0 )

Encuentra las antiderivadas (F (x) ) de las siguientes funciones.

21) (g (x) = sqrt {x} - frac {1} {x ^ 2} )

Solución:] (F (x) = frac {2x ^ {3/2}} {3} + frac {1} {x} + C )

22) (f (x) = 2x + 6cosx, F (π) = π ^ 2 + 2 )

Grafica las siguientes funciones a mano. Asegúrese de etiquetar los puntos de inflexión, los puntos críticos, los ceros y las asíntotas.

23) (y = frac {1} {x (x + 1) ^ 2} )

Solución:

Puntos de inflexión: ninguno; puntos críticos: (x = - frac {1} {3} ); ceros: ninguno; asíntotas verticales: (x = −1, x = 0 ); asíntota horizontal: (y = 0 )

24) (y = x− sqrt {4 − x ^ 2} )

25) Un automóvil se está compactando en un sólido rectangular. El volumen está disminuyendo a una tasa de (2 m ^ 3 / seg ). La longitud y el ancho del compactador son cuadrados, pero la altura no es la misma que la longitud y el ancho. Si las paredes de largo y ancho se mueven una hacia la otra a una velocidad de (0,25 ) m / seg, encuentre la velocidad a la que cambia la altura cuando la longitud y el ancho son (2 ) my la altura es ( 1,5 ) m.

Solución: la altura está disminuyendo a una tasa de (0.125 ) m / seg.

26) Se lanza un cohete al espacio; su energía cinética está dada por (K (t) = ( frac {1} {2}) m (t) v (t) ^ 2 ), donde (K ) es la energía cinética en julios, (m ) es la masa del cohete en kilogramos y (v ) es la velocidad del cohete en metros / segundo. Suponga que la velocidad aumenta a una tasa de (15 m / seg ^ 2 ) y la masa disminuye a una tasa de (10 ​​) kg / seg porque el combustible se está quemando. ¿A qué tasa cambia la energía cinética del cohete cuando la masa es (2000 ) kg y la velocidad es (5000 ) m / seg? Da tu respuesta en mega-julios (MJ), que es equivalente a (10 ​​^ 6 ) J.

27) El famoso Problema de Regiomontanus para la maximización del ángulo se propuso durante el siglo (15 ). Una pintura cuelga de una pared con la parte inferior de la pintura a una distancia de (a ) pies por encima del nivel de los ojos y la parte superior (b ) pies por encima del nivel de los ojos. ¿A qué distancia x (en pies) de la pared debería estar el espectador para maximizar el ángulo subtendido por la pintura, (θ )?

Solución: (x = sqrt {ab} ) pies

28) Una aerolínea vende boletos de Tokio a Detroit por ($ 1200 ). Hay (500 ) asientos disponibles y un vuelo típico reserva (350 ) asientos. Por cada ($ 10 ) disminución en el precio, la aerolínea observa que se venden cinco asientos adicionales. ¿Cuál debería ser la tarifa para maximizar las ganancias? ¿Cuántos pasajeros habría a bordo?


4.5 E: Ejercicios de optimización - Matemáticas

Si reducimos el número de elementos en dos, el número de permutaciones se reduce treinta veces. Calcula la cantidad de elementos.

¿De cuántos elementos podemos crear seis veces más variaciones sin repetición con elegir 2 como variaciones sin repetición con elegir 3?

Si el número de elementos X aumenta en dos, el número de variaciones sin repetición de X elementos elija 3 aumentos por 294. Halla el número de elementos.

¿Cuántos números naturales de tres dígitos se pueden ensamblar a partir de los dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, si los dígitos no se repiten? ¿Cuántos de estos números son divisibles por cinco?

El número de registro del vehículo consta de dos letras, tres números y dos letras. ¿Cuántos números de registro podemos formar si usamos 25 letras?

¿Cuántos números diferentes de seis dígitos se pueden construir a partir de los dígitos 1, 2, 3?

Hay lugares donde en los buses se usan boletos con nueve casillas numeradas del 1 al 9. Cuando un pasajero sube al bus, inserta el tiquete en la máquina que hace pequeños agujeros a través de tres o cuatro de las casillas. ¿Cuántas formas diferentes existen para la perforación del boleto de bus?

¿De cuántas formas se pueden sentar alrededor de una mesa circular 12 personas, si para cada una de ellas no importa el lugar donde se sientan, sino quién es su vecino de la izquierda y del lado derecho?

¿De cuántas formas pueden en el cine sentarse uno al lado del otro siete amigos A, B, C, D, E, F, G, si el amigo B se sienta en el asiento no. 4 y el amigo G se sienta en el asiento no. 2?

Hay 24 niños y 15 niñas en un círculo de baile. ¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar si la pareja de baile es siempre una pareja de niña-niño?

Hay 20 estudiantes en la clase. ¿De cuántas formas podemos elegir una pareja para un servicio semanal?

¿Cuántos jugadores participaron en el torneo de tenis de mesa, donde se jugaron 21 partidos y cada jugador jugó entre sí exactamente una vez?

Hay 20 niñas y 15 niños en la clase. ¿Cuántos equipos diferentes de cinco miembros se podrían formar si cada equipo estuviera compuesto por tres niñas y dos niños?

El equipo de hockey tiene 20 jugadores: 13 atacantes, 5 defensores y 2 porteros. ¿Cuántas formaciones diferentes puede formar un entrenador si la formación de hielo va a tener 3 atacantes, 2 defensores y 1 portero?

Un maestro tiene 20 ejercicios de aritmética y 30 de matemáticas geométricas. Debe haber dos tareas aritméticas y tres geométricas en la prueba. ¿Cuántas opciones tiene el profesor para crear la prueba?

Un grupo de 6 miembros, en el que debería haber exactamente 3 mujeres, debe crearse a partir de 7 hombres y 4 mujeres. Descubra cuántas posibilidades tenemos para crear un grupo así.

Un profesor tiene que elegir tres estudiantes de la clase 3A y dos estudiantes de la clase 3B para la competencia de recitación. Hay 22 estudiantes en la clase 3A y 17 estudiantes en la clase 3B. ¿Cuántas opciones posibles tiene?

¿Cuántas posibilidades de disposición de los asientos existen aquí para los amigos A, B, C, D, E, donde el amigo A se sienta al lado del compañero C?

El alfabeto latino tiene 26 letras. ¿Cuántas "palabras" diferentes de 6 letras se podrían formar a partir de él?

El número de registro del vehículo consta de tres letras y tres números. ¿Cuántos números de registro podemos formar si usamos 28 letras?

Cinco niñas, de las cuales dos son hermanas, están en una fila en el pabellón de deportes. ¿Cuántas formas existen de colocar a las niñas de modo que las hermanas estén de pie una al lado de la otra?

Calcula el número de posibles configuraciones diferentes de diez libros en el estante, donde cuatro novelas policiales deben estar una al lado de la otra.

¿De cuántas formas un profesor tiene que elegir a tres estudiantes de entre 12 para llevar los libros de matemáticas?

¿Cuántos números naturales divisibles por cinco menores que 8.000 existen, si están formados por los dígitos 0, 1, 2, 5, 7, 9?

¿Cuántas formas posibles hay para que 12 visitantes del cine se sienten en una fila, si cada una de las seis parejas casadas quiere sentarse uno al lado del otro?

¿Cuántos números naturales menores que 301 existen, si están formados por los dígitos 0, 1, 2, 3, 6, 7?

¿De cuántas formas podemos poner en el sastre hilo 3 cuentas rojas, 4 azules y 5 amarillas?

¿De cuántos elementos podemos crear 15 combinaciones sin repetición con elegir 2?

¿De cuántos elementos podemos ensamblar 120 permutaciones sin repetición?

¿De cuántos elementos podemos crear 504 variaciones sin repetición con elegir 3?


4.5 E: Ejercicios de optimización - Matemáticas

Debido a que estas notas también se presentan en la web, hemos dividido los ejemplos de optimización en varias secciones para mantener los tiempos de carga al mínimo. No olvide los diversos métodos para verificar que tenemos el valor óptimo que analizamos en la sección anterior. En esta sección, los usaremos sin reconocerlos, así que asegúrese de comprenderlos y de poder usarlos. Así que vayamos a algunos ejemplos más.

Bien, hagamos esta pregunta nuevamente en términos un poco más fáciles de entender. Queremos que una ventana con la forma descrita anteriormente tenga un área máxima (y por lo tanto deje entrar la mayor cantidad de luz) y tenga un perímetro de 12 m (porque tenemos 12 m de material de marco). Un poco más fácil de entender en esos términos.

Deje que el radio del semicírculo en la parte superior sea (r ) y la altura del rectángulo sea (h ). Ahora, debido a que el semicírculo está en la parte superior de la ventana, podemos pensar en el ancho de la porción rectangular en 2 (r ) como se muestra a continuación.

El perímetro (nuestra restricción) son las longitudes de los tres lados de la porción rectangular más la mitad de la circunferencia de un círculo de radio (r ). El área (lo que queremos maximizar) es el área del rectángulo más la mitad del área de un círculo de radio (r ). Estas son las ecuaciones con las que trabajaremos en este ejemplo.

En este caso, resolveremos la restricción para (h ) y lo conectaremos a la ecuación del área.

La primera y segunda derivadas son,

[A ' left (r right) = 12 - r left (<4 + pi> right) hspace <0.75in> A' ' left (r right) = - 4 - pi ]

Podemos ver que el único punto crítico es,

También podemos ver que la segunda derivada es siempre negativa (de hecho, es una constante) y entonces podemos ver que el área máxima debe ocurrir en este punto. Entonces, para el área máxima, el semicírculo en la parte superior debe tener un radio de 1.6803 y el rectángulo debe tener las dimensiones 3.3606 x 1.6803 ( (h ) x 2 (r )).

¿Eh? Este tipo de problema nunca parece tener sentido originalmente. Lo que queremos hacer es maximizar el área del rectángulo más grande que podemos caber dentro de un círculo y que todas sus esquinas toquen el círculo.

Para resolver este problema, es más fácil asumir que el círculo (y por lo tanto el rectángulo) está centrado en el origen de un sistema de ejes estándar (xy ). Haciendo esto sabemos que la ecuación del círculo será

y que la esquina superior derecha del rectángulo tendrá las coordenadas ( left ( derecho)). Esto significa que el ancho del rectángulo será 2 (x ) y la altura del rectángulo será 2 (y ) como se muestra a continuación.

El área del rectángulo será entonces,

[A = left (<2x> right) left (<2y> right) = 4xy ]

Entonces, tenemos la función que queremos maximizar (el área), pero ¿cuál es la restricción? Bueno, dado que las coordenadas de la esquina superior derecha deben estar en el círculo, sabemos que (x ) y (y ) deben satisfacer la ecuación del círculo. En otras palabras, la ecuación del círculo es la restricción.

Entonces, lo primero que debe hacer es resolver la restricción de una de las variables.

Dado que el punto que estamos viendo está en el primer cuadrante, sabemos que (y ) debe ser positivo y, por lo tanto, podemos tomar la parte "+" de esto. Conectando esto al área y calculando la primera derivada da,

Antes de obtener los puntos críticos, observemos que podemos limitar (x ) al rango (0 le x le 4 ) ya que asumimos que (x ) está en el primer cuadrante y debe permanecer dentro del circulo. Ahora los cuatro puntos críticos que obtenemos (dos del numerador y dos del denominador) son,

[empezar16 - = 0 & hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> & x = pm 4 64 - 8 = 0 & hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> & x = pm 2 sqrt 2 end]

Solo queremos puntos críticos que estén en el rango de posibles valores óptimos, por lo que eso significa que tenemos dos puntos críticos con los que lidiar: (x = 2 sqrt 2 ) y (x = 4 ). Sin embargo, observe que el segundo punto crítico es también uno de los puntos finales de nuestro intervalo.

Ahora, la función de área es continua y tenemos un intervalo de posible solución con extremos finitos, entonces,

[A left (0 right) = 0 hspace <0.5in> A left (<2 sqrt 2> right) = 32 hspace <0.5in> A left (4 right) = 0 ]

Entonces, podemos ver que obtendremos el área máxima si (x = 2 sqrt 2 ) y el valor correspondiente de (y ) es,

Parece que el área máxima se encontrará si el rectángulo inscrito es de hecho un cuadrado.

Necesitamos volver a señalar un punto que se hizo varias veces en la sección anterior. Excluimos varios puntos críticos en el trabajo anterior. No siempre espere hacer eso. A menudo habrá razones físicas para excluir puntos críticos cero y / o negativos, sin embargo, habrá problemas cuando estos sean valores perfectamente aceptables. Siempre debe anotar todos los puntos críticos posibles y luego excluir los que no puedan ser posibles soluciones. Esto lo mantiene en el hábito de encontrar todos los puntos críticos y luego decidir cuáles realmente necesita y eso, a su vez, hará que sea menos probable que se pierda uno cuando realmente lo necesite.

A continuación, se muestra un breve resumen de la situación.

Por lo tanto, buscamos la longitud más corta de la línea discontinua. Observe también que si la distancia más corta no está en (x = 0 ), habrá dos puntos en el gráfico, como mostramos arriba, que darán la distancia más corta. Esto se debe a que la parábola es simétrica al eje (y ) - y el punto en cuestión está en el eje (y ) -. Por supuesto, este no siempre será el caso, por lo que no siempre espere dos puntos en este tipo de problemas.

En este caso, necesitamos minimizar la distancia entre el punto ( left (<0,2> right) ) y cualquier punto que sea uno del gráfico ( left ( derecho)). O,

Si piensas en la situación aquí, tiene sentido que el punto que minimiza la distancia también minimizará el cuadrado de la distancia y, como será más fácil trabajar con él, usaremos el cuadrado de la distancia y lo minimizaremos. Si no está convencido de esto, lo analizaremos más de cerca después de este problema. Entonces, la función que vamos a minimizar es,

La restricción en este caso es la función en sí, ya que el punto debe estar en la gráfica de la función.

En este punto, existen dos métodos para proceder. Uno de los cuales requerirá mucho más trabajo que el otro. Echemos un vistazo a ambos.

En este caso usaremos la restricción probablemente de la forma más obvia. Ya tenemos la restricción resuelta para (y ), así que conectemos eso al cuadrado de la distancia y obtengamos las derivadas.

[empezarD izquierda (x derecha) & = + < izquierda (<+ 1-2> derecha) ^ 2> = - + 1 D ' izquierda (x derecha) & = 4 - 2x = 2x izquierda (<2- 1> derecha) D '' izquierda (x derecha) & = 12 - 2 end]

Entonces, parece que hay tres puntos críticos para el cuadrado de la distancia y observe que esta vez, a diferencia de casi todos los ejemplos anteriores en los que hemos trabajado, no podemos excluir el cero o los números negativos. Son valores óptimos posibles perfectamente válidos esta vez.

Antes de continuar, verifiquemos estos en la segunda derivada para ver si son mínimos relativos.

Entonces, (x = 0 ) es un máximo relativo y, por lo tanto, no puede ser la distancia mínima. Eso significa que tenemos dos puntos críticos. La pregunta es cómo verificamos que estos den la distancia mínima y sí quisimos decir que ambos darán la distancia mínima. Recuerde de nuestro dibujo anterior que si (x ) da la distancia mínima, entonces también lo hará - (x ) y si da la distancia mínima, entonces el otro también debería hacerlo.

Ninguno de los métodos que discutimos en la sección anterior realmente funcionará aquí. No tenemos un intervalo de posibles soluciones con puntos finales finitos y el signo de cambio de la primera y la segunda derivada. En este caso, sin embargo, todavía podemos verificar que son los puntos que dan la distancia mínima.

Primero, veamos qué tenemos si estamos trabajando en el intervalo ( left [<- frac <1> < sqrt <2>>, frac <1> < sqrt <2> >> right] ). En este intervalo podemos intentar utilizar el primer método de encontrar extremos absolutos discutido en la sección anterior. Eso dice evaluar la función en los puntos finales y los puntos críticos y en este caso, aunque la hemos excluido, tendremos que incluir (x = 0 ) ya que es un punto crítico en la región. Hacer esto da,

Entonces, podemos ver que el mínimo absoluto en el intervalo debe ocurrir en (x = pm frac <1> < sqrt <2>> ).

A continuación, podemos ver que si (x & lt - frac <1> < sqrt <2>> ) entonces (D ' left (x right) & lt 0 ). O en otras palabras, si (x & lt - frac <1> < sqrt <2>> ) la función disminuye hasta llegar a (x = - frac <1> < sqrt <2>> ) y, por lo tanto, siempre debe ser mayor que la función en (x = - frac <1> < sqrt <2>> ).

De manera similar, (x & gt frac <1> < sqrt <2>> ) luego (D ' left (x right) & gt 0 ) y entonces la función siempre está aumentando a la derecha de (x = frac <1> < sqrt <2>> ) y por lo tanto debe ser mayor que la función en (x = frac <1> < sqrt <2>> ).

Entonces, poner todo esto junto nos dice que de hecho tenemos un mínimo absoluto en (x = pm frac <1> < sqrt <2>> ).

Todo lo que necesitamos hacer es encontrar el valor de (y ) para estos puntos.

[empezarx = Displaystyle frac <1> << sqrt 2 >> &: hspace <0.25in> y = Displaystyle frac <3> <2> x = - Displaystyle frac <1> << sqrt 2 >> &: hspace <0.25in> y = displaystyle frac <3> <2> end]

Entonces, los puntos en el gráfico que están más cerca de ( left (<0,2> right) ) son,

Este método de solución muestra lo complicado que puede ser saber que tenemos extremos absolutos cuando hay múltiples puntos críticos y ninguno de los métodos discutidos en la última sección funcionará. Afortunadamente para nosotros, hay otro método más fácil que podríamos haber hecho en su lugar.

La primera solución que trabajamos fue en realidad la solución larga. Existe una solución mucho más breve y sencilla para este problema. En lugar de introducir (y ) en el cuadrado de la distancia, introduzcamos (x ). De la restricción que obtenemos,

y observe que el único lugar (x ) aparece en el cuadrado de la distancia que aparece como () y conectemos esto al cuadrado de la distancia. Hacer esto da,

[empezarD left (y right) & = y - 1 + < left ( right) ^ 2> = - 3y + 3 D ' left (y right) & = 2y - 3 D' ' left (y right) & = 2 end]

Ahora hay un solo punto crítico, (y = <2>> ), y dado que la segunda derivada es siempre positiva, sabemos que este punto debe dar el mínimo absoluto. Entonces, todo lo que tenemos que hacer en este punto es encontrar los valores de (x ) que van con este valor de (y ).

Entonces, por mucho menos trabajo obtuvimos exactamente la misma respuesta.

Este ejemplo anterior tenía un par de puntos interesantes. Primero, como se señaló en el problema, no pudimos excluir puntos críticos cero o negativos esta vez como lo hicimos en todos los ejemplos anteriores. Nuevamente, tenga cuidado de no adquirir el hábito de excluirlos siempre, ya que hacemos muchos de los ejemplos en los que trabajaremos.

A continuación, algunos de estos problemas tendrán múltiples métodos de solución y, a veces, uno será significativamente más fácil que el otro. El método que utilice depende de usted y, a menudo, la dificultad de cualquier método en particular depende de la persona que realiza el problema. Una persona puede encontrar una forma más fácil y otra puede encontrar un método diferente más fácil.

Finalmente, como vimos en el primer método de solución, a veces necesitaremos usar una combinación de los métodos de verificación de valor óptimo que discutimos en la sección anterior.

Ahora, antes de pasar al siguiente ejemplo, echemos un vistazo a la afirmación anterior de que podríamos encontrar la ubicación del punto que minimiza la distancia al encontrar el punto que minimiza el cuadrado de la distancia. Generalizaremos un poco las cosas

Supongamos que tenemos una función positiva, (f left (x right) & gt 0 ), que existe en todas partes entonces (f left (x right) ) y (g left (x right) = sqrt ) tendrá los mismos puntos críticos y los extremos relativos se producirán en los mismos puntos.

Esto es lo suficientemente simple como para demostrarlo, así que hagámoslo aquí. Primero, tomemos la derivada de (g left (x right) ) y veamos qué podemos determinar sobre los puntos críticos de (g left (x right) ).

Enchufe (x = c ) en esto para obtener,

Suponiendo que sabemos que (f left (c right) ) existe y (f left (c right) & gt 0 ) y, por lo tanto, el denominador de esto siempre existirá y nunca será cero. Necesitaremos esto en varios lugares para no olvidarlo.

Si (f ' left (c right) = 0 ) entonces, como sabemos que el denominador no será cero aquí, también debemos tener (g' left (c right) = 0 ). Del mismo modo, si (g ' left (c right) = 0 ) entonces debemos tener (f' left (c right) = 0 ). Entonces, (f left (x right) ) y (g left (x right) ) tendrán los mismos puntos críticos en los que las derivadas serán cero.

A continuación, si (f ' left (c right) ) no existe, entonces (g' left (c right) ) tampoco existirá e igualmente si (g ' left (c right) ) no existe entonces porque sabemos que el denominador no será cero, entonces esto significa que (f ' left (c right) ) tampoco existirá. Por lo tanto, (f left (x right) ) y (g left (x right) ) tendrán los mismos puntos críticos en los que las derivadas no existen.

Entonces, el resultado de todo esto es que (f left (x right) ) y (g left (x right) ) tendrán los mismos puntos críticos.

A continuación, observemos que porque sabemos que (2 sqrt & gt 0 ) entonces (f ' left (x right) ) y (g' left (x right) ) tendrán el mismo signo y si aplicamos la prueba de la primera derivada (y recordando que tienen los mismos puntos críticos) para cada una de estas funciones podemos ver que los resultados serán los mismos y por lo tanto los extremos relativos ocurrirán en los mismos puntos.

Tenga en cuenta que también podríamos usar la prueba de la segunda derivada para verificar que los puntos críticos tendrán la misma clasificación si quisiéramos. La segunda derivada es (y debería ver si puede usar la regla del cociente para verificar esto),

Then if (x = c) is a critical point such that (f'left( c ight) = 0) (and so we can use the second derivative test) we get,

Now, because we know that (2sqrt > 0) and by assumption (fleft( c ight) > 0) we can see that (f''left( c ight)) and (g''left( c ight)) will have the same sign and so will have the same conclusion from the second derivative test.

So, now that we have that out of the way let’s work some more examples.

Before starting the solution recall that an equilateral triangle is a triangle with three equal sides and each of the interior angles are (<3>>) (or (60^circ )).

Also, note the “if anywhere” portion of the problem statement. What this is saying is that it is possible to take the full piece of wire and put all of it into either a square or a triangle. Do not forget about this as it will be important later on in the problem.

Now, this is another problem where the constraint isn’t really going to be given by an equation, it is simply that there is 2 ft of wire to work with and this will be taken into account in our work.

So, let’s cut the wire into two pieces. The first piece will have length (x) which we’ll bend into a square and each side will have length (<4>>). The second piece will then have length (2 - x) (we just used the constraint here…) and we’ll bend this into an equilateral triangle and each side will have length (<3>>left( <2 - x> ight)). Here is a sketch of all this.

As noted in the sketch above we also will need the height of the triangle. This is easy to get if you realize that the dashed line divides the equilateral triangle into two other triangles. Let’s look at the right one. The hypotenuse is (<3>>left( <2 - x> ight)) while the lower right angle is (<3>>). Finally, the height is then the opposite side to the lower right angle so using basic right triangle trig we arrive at the height of the triangle as follows.

So, the total area of both objects is then,

Here’s the first derivative of the area.

Setting this equal to zero and solving gives the single critical point of,

Now, let’s notice that the problem statement asked for both the minimum and maximum enclosed area and we got a single critical point. This clearly can’t be the answer to both, but this is not the problem that it might seem to be.

Let’s notice that (x) must be in the range (0 le x le 2) and since the area function is continuous we use the basic process for finding absolute extrema of a function.

[Aleft( 0 ight) = 0.1925hspace<0.5in>Aleft( <0.8699> ight) = 0.1087hspace<0.5in>Aleft( 2 ight) = 0.25]

So, it looks like the minimum area will arise if we take (x = 0.8699) while the maximum area will arise if we take the whole piece of wire and bend it into a square.

As the previous problem illustrated we can’t get too locked into the answers always occurring at the critical points as they have to this point. That will often happen, but one of the extrema in the previous problem was at an endpoint and that will happen on occasion.

Let’s start off with a sketch of the situation adding in some more information so we can get a grip on what’s going on and how we’re going to have to go about solving this.

The largest pipe that can go around the turn will do so in the position shown above. One end will be touching the outer wall of the hall way at (A) and (C) and the pipe will touch the inner corner at (B). Let’s assume that the length of the pipe in the small hallway is (>) while (>) is the length of the pipe in the large hallway. The pipe then has a length of (L = > + >).

Now, if ( heta = 0) then the pipe is completely in the wider hallway and we can see that as ( heta o 0) the point (A) will move down the vertical wall and the point (C) will move along the horizontal wall closer and closer to the corner and as this happens (L) lengthens and so (L o infty ) as ( heta o 0).

Likewise, if ( heta = <2>>) the pipe is completely in the narrow hallway and as ( heta o <2>>) we also have (L o infty ) by a similar line of reasoning above for ( heta o 0).

So, because (L o infty )as we near the ends of the interval of possible angles somewhere in the interior of the interval, (0 < heta < <2>>), is an angle that will minimize (L) and oddly enough that is the length that we’re after. The largest pipe that will fit around the turn will in fact be the minimum value of (L).

The constraint for this problem is not so obvious and there are actually two of them. The constraints for this problem are the widths of the hallways. We’ll use these to get an equation for (L) in terms of ( heta ) and then we’ll minimize this new equation.

So, using basic right triangle trig we can see that,

[> = 8sec heta hspace<0.5in>> = 10csc heta hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>L = 8sec heta + 10csc heta ]

So, differentiating (L) gives,

[L' = 8sec heta an heta - 10csc heta cot heta ]

Setting this equal to zero and solving gives,

So, if ( heta = 0.8226) radians then the pipe will have a minimum length and will just fit around the turn. Anything larger will not fit around the turn and so the largest pipe that can be carried around the turn is,

[L = 8sec left( <0.8226> ight) + 10csc left( <0.8226> ight) = 25.4033>]

As always let’s start off with a sketch of this situation with some more information added.

The total length of the wire is (L = > + >) and we need to determine the value of (x) that will minimize this. The constraint in this problem is that the poles must be 20 meters apart and that (x) must be in the range (0 le x le 20). The first thing that we’ll need to do here is to get the length of wire in terms of (x), which is fairly simple to do using the Pythagorean Theorem.

Not the nicest function we’ve had to work with but there it is. Note however, that it is a continuous function and we’ve got an interval with finite endpoints and so finding the absolute minimum won’t require much more work than just getting the critical points of this function. So, let’s do that. Here’s the derivative.

Setting this equal to zero gives,

It’s probably been quite a while since you’ve been asked to solve something like this. To solve this, we’ll need to square both sides to get rid of the roots, but this will cause problems as well soon see. Let’s first just square both sides and solve that equation.

Note that if you can’t do that factoring don’t worry, you can always just use the quadratic formula and you’ll get the same answers.

Okay two issues that we need to discuss briefly here. The first solution above (note that we didn’t call it a critical point…) doesn’t make any sense because it is negative and outside of the range of possible solutions and so we can ignore it.

Secondly, and maybe more importantly, if you were to plug (x = - frac<40><3>) into the derivative you would not get zero and so is not even a critical point. ¿Cómo es esto posible? It is a solution after all. We’ll recall that we squared both sides of the equation above and it was mentioned at the time that this would cause problems. We’ll we’ve hit those problems. In squaring both sides we’ve inadvertently introduced a new solution to the equation. When you do something like this you should ALWAYS go back and verify that the solutions that you get are in fact solutions to the original equation. In this case we were lucky and the “bad” solution also happened to be outside the interval of solutions we were interested in but that won’t always be the case.

So, if we go back and do a quick verification we can in fact see that the only critical point is (x = frac<40> <7>= 5.7143) and this is nicely in our range of acceptable solutions, (0 le x le 20).

Now all that we need to do is plug this critical point and the endpoints of the wire into the length formula and identify the one that gives the minimum value.

[Lleft( 0 ight) = 31hspace<0.5in>Lleft( frac<40> <7> ight) = 29hspace<0.5in>Lleft( <20> ight) = 35.8806]

So, we will get the minimum length of wire if we stake it to the ground (frac<40><7>) feet from the smaller pole.

Let’s do a modification of the above problem that asks a completely different question.

Here’s a sketch for this example with some more information added.

The equation that we’re going to need to work with here is not obvious. We can see from the sketch above that,

[delta + heta + varphi = 180 = pi ]

Note that we need to make sure that the equation is equal to (pi ) because of how we’re going to work this problem. Now, basic right triangle trig tells us the following,

Plugging these into the equation above and solving for ( heta ) gives,

Note that this is the reason for the (pi ) in our equation. The inverse tangents give angles that are in radians and so can’t use the 180 that we’re used to in this kind of equation.

Next, we’ll need the derivative so hopefully you’ll recall how to differentiate inverse tangents.

Setting this equal to zero and solving give the following two critical points.

The first critical point is not in the interval of possible solutions and so we can exclude it.

Clearly (x) must be in the interval (left[ <0,20> ight]) and so using test points it’s not difficult to show that if (0 le x < 9.7847) we have ( heta ' > 0) (and so ( heta ) is increasing) and if (9.7847 < x le 20) that ( heta ' < 0) (and so ( heta ) is decreasing). So by the first derivative test when (x = 9.7847) we will get the maximum value of ( heta ).

Now, in this case we are being asked to maximize the volume that a trough can hold, but if you think about it the volume of a trough in this shape is nothing more than the cross‑sectional area times the length of the trough. So, for a given length in order to maximize the volume all you really need to do is maximize the cross‑sectional area.

To get a formula for the cross-sectional area let’s redo the sketch above a little.

We can think of the cross-sectional area as a rectangle in the middle with width 20 and height (h) and two identical triangles on either end with height (h), base (b) and hypotenuse 20. Also note that basic geometry tells us that the angle between the hypotenuse and the base must also be the same angle ( heta ) that we had in our original sketch.

Also, basic right triangle trig tells us that the base and height can be written as,

[b = 20cos heta hspace<0.75in>h = 20sin heta ]

The cross-sectional area for the whole trough, in terms of ( heta ), is then,

The derivative of the area is,

[empezar2cos heta - 1 & = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace <0.5in>cos heta = <2>>,,hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in> heta = <3>> cos heta + 1 & = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>cos heta = - 1hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in> heta = pi end]

However, we can see that ( heta ) must be in the interval (0 le heta le <2>>) or we won’t get a trough in the proper shape. Therefore, the second critical point makes no sense and also note that we don’t need to add on the standard “( + ,2pi n)” for the same reason.

Finally, since the equation for the area is continuous all we need to do is plug in the critical point and the end points to find the one that gives the maximum area.

[Aleft( 0 ight) = 0hspace<0.5in>Aleft( <<3>>> ight) = 519.6152hspace<0.5in>Aleft( <<2>>> ight) = 400]

So, we will get a maximum cross-sectional area, and hence a maximum volume, when ( heta = <3>>).


Gamma Distributions

Definition (PageIndex)

A random variable (X) has a gamma distribution with parameters (alpha, lambda>0), write (Xsim ext(alpha, lambda)), if (X) has pdf given by
$f(x) = left<egin
displaystyle> x^ e^<-lambda x>>, & ext xgeq 0,
0 & ext
finalderecho. otag$
where (Gamma(alpha)) is a function (referred to as the gamma function) given by the following integral:
$Gamma(alpha) = int^_0 t^e^<-t>dt. otag$

Figure 2: Graph of pdf's for various gamma distributions. On the left, for the purple pdf (alpha=0.5) and for the green pdf (alpha=1.5) . On the right, for the blue pdf (alpha=4) and for the orange pdf (alpha=8) . For all pdf's, (lambda=5).

Note that the gamma function, (Gamma(alpha)), ensures that the gamma pdf is valid, i.e., that it integrates to (1), which you are asked to show in the following exercise. The value of (Gamma(alpha)) depends on the value of the parameter (alpha), but for a given value of (alpha) it is just a number, i.e., it is a constant value in the gamma pdf, given specific parameter values. In this case, (Gamma(alpha)) is referred to as a scaling constant, since it "scales" the rest of the pdf, (lambda^x^e^<-lambda x>), which is referred to as the kernel of the distribution, so that the result integrates to (1).

Exercise (PageIndex)

Properties of Gamma Distributions

If (Xsim ext(alpha,lambda)), then the following hold.

  1. The mgf of (X) is
    $M_X(t) = frac<1>>, quad ext t<lambda. otag$
  2. The mean of (X) is (displaystyle< ext[X] = frac>).
  3. The variance of (X) is (displaystyle< ext(X) = frac>).

Notes about Gamma Distributions:

  • If (alpha = 1), then the corresponding gamma distribution is given by the exponential distribution, i.e., ( ext(1,lambda) = ext(lambda)). This is left as an exercise for the reader.
  • The parameter (alpha) is referred to as the shape parameter, and (lambda) is the rate parameter. Varying the value of (alpha) changes the shape of the pdf, as is seen in Figure 2 above, whereas varying the value of (lambda) corresponds to changing the units (e.g., from inches to centimeters) and does not alter the shape of the pdf.
  • A closed form does not exist for the cdf of a gamma distribution, computer software must be used to calculate gamma probabilities. Here is a link to a gamma calculator online. (Note that different notation is used on this online calculator, namely, (lambda) is referred to as (eta) instead.)

Example (PageIndex)

A typical application of gamma distributions is to model the time it takes for a given number of events to occur. For example, each of the following gives an application of a gamma distribution.

  • (X=) lifetime of 5 radioactive particles
  • (X=) how long you have to wait for 3 accidents to occur at a given intersection

In these examples, the parameter (lambda) represents the rate at which the event occurs, and the parameter (alpha) is the number of events desired. So, in the first example, (alpha=5) and (lambda) represents the rate at which particles decay.


Output Arguments

Sol — Solution estructura

Solution, returned as a structure. The fields of the structure are the names of the optimization variables. See optimvar .

Fval — Objective function value at the solution real number | real vector

Objective function value at the solution, returned as a real number, or, for systems of equations, a real vector. For least-squares problems, fval is the sum of squares of the residuals at the solution. For equation-solving problems, fval is the function value at the solution, meaning the left-hand side minus the right-hand side of the equations.

If you neglect to ask for fval for an optimization problem, you can calculate it using:

Exitflag — Reason solver stopped enumeration variable

Reason the solver stopped, returned as an enumeration variable. You can convert exitflag to its numeric equivalent using double(exitflag) , and to its string equivalent using string(exitflag) .

This table describes the exit flags for the intlinprog solver.

The solution is feasible with respect to the relative ConstraintTolerance tolerance, but is not feasible with respect to the absolute tolerance.

The solver converged to a solution x .

intlinprog exceeds one of the following tolerances:

See Tolerances and Stopping Criteria. solve also returns this exit flag when it runs out of memory at the root node.

Exitflags 3 and -9 relate to solutions that have large infeasibilities. These usually arise from linear constraint matrices that have large condition number, or problems that have large solution components. To correct these issues, try to scale the coefficient matrices, eliminate redundant linear constraints, or give tighter bounds on the variables.

This table describes the exit flags for the linprog solver.

The solution is feasible with respect to the relative ConstraintTolerance tolerance, but is not feasible with respect to the absolute tolerance.

The solver converged to a solution x .

The number of iterations exceeds options.MaxIterations .

NaN value encountered during execution of the algorithm.

Both primal and dual problems are infeasible.

The search direction is too small. No further progress can be made.

Exitflags 3 and -9 relate to solutions that have large infeasibilities. These usually arise from linear constraint matrices that have large condition number, or problems that have large solution components. To correct these issues, try to scale the coefficient matrices, eliminate redundant linear constraints, or give tighter bounds on the variables.

This table describes the exit flags for the lsqlin solver.

Change in the residual is smaller than the specified tolerance options.FunctionTolerance . ( trust-region-reflective algorithm)

Step size smaller than options.StepTolerance , constraints satisfied. ( interior-point algorithm)

The solver converged to a solution x .

The number of iterations exceeds options.MaxIterations .

For optimization problems, the problem is infeasible. Or, for the interior-point algorithm, step size smaller than options.StepTolerance , but constraints are not satisfied.

For equation problems, no solution found.

Ill-conditioning prevents further optimization.

The search direction is too small. No further progress can be made. ( interior-point algorithm)

This table describes the exit flags for the quadprog solver.

Local minimum found minimum is not unique.

Change in the objective function value is smaller than the specified tolerance options.FunctionTolerance . ( trust-region-reflective algorithm)

Step size smaller than options.StepTolerance , constraints satisfied. ( interior-point-convex algorithm)

The solver converged to a solution x .

The number of iterations exceeds options.MaxIterations .

The problem is infeasible. Or, for the interior-point algorithm, step size smaller than options.StepTolerance , but constraints are not satisfied.

Ill-conditioning prevents further optimization.

Nonconvex problem detected. ( interior-point-convex algorithm)

Unable to compute a step direction. ( interior-point-convex algorithm)

This table describes the exit flags for the coneprog solver.

The solver converged to a solution x .

The number of iterations exceeds options.MaxIterations , or the solution time in seconds exceeded options.MaxTime .

The problem is infeasible.

The search direction became too small. No further progress could be made.

The problem is numerically unstable.

This table describes the exit flags for the lsqcurvefit or lsqnonlin solver.

Magnitude of search direction was smaller than options.StepTolerance .

Change in the residual was less than options.FunctionTolerance .

Step size smaller than options.StepTolerance .

The solver converged to a solution x .

Number of iterations exceeded options.MaxIterations or number of function evaluations exceeded options.MaxFunctionEvaluations .

Stopped by an output function or plot function.

For optimization problems, problem is infeasible: the bounds lb and ub are inconsistent.

For equation problems, no solution found.

This table describes the exit flags for the fminunc solver.

Predicted decrease in the objective function is less than the options.FunctionTolerance tolerance.

Change in the objective function value is less than the options.FunctionTolerance tolerance.

Change in x is smaller than the options.StepTolerance tolerance.

Magnitude of gradient is smaller than the options.OptimalityTolerance tolerance.

Number of iterations exceeds options.MaxIterations or number of function evaluations exceeds options.MaxFunctionEvaluations .

Stopped by an output function or plot function.

Objective function at current iteration is below options.ObjectiveLimit .

This table describes the exit flags for the fmincon solver.

Magnitude of directional derivative in search direction is less than 2* options.OptimalityTolerance and maximum constraint violation is less than options.ConstraintTolerance .

Magnitude of the search direction is less than 2* options.StepTolerance and maximum constraint violation is less than options.ConstraintTolerance .

Change in the objective function value is less than options.FunctionTolerance and maximum constraint violation is less than options.ConstraintTolerance .

Change in x is less than options.StepTolerance and maximum constraint violation is less than options.ConstraintTolerance .

First-order optimality measure is less than options.OptimalityTolerance , and maximum constraint violation is less than options.ConstraintTolerance .

Number of iterations exceeds options.MaxIterations or number of function evaluations exceeds options.MaxFunctionEvaluations .

Stopped by an output function or plot function.

Objective function at current iteration is below options.ObjectiveLimit and maximum constraint violation is less than options.ConstraintTolerance .

This table describes the exit flags for the fsolve solver.

Magnitude of the search direction is less than options.StepTolerance , equation solved.

Change in the objective function value is less than options.FunctionTolerance , equation solved.

Change in x is less than options.StepTolerance , equation solved.

First-order optimality measure is less than options.OptimalityTolerance , equation solved.

Number of iterations exceeds options.MaxIterations or number of function evaluations exceeds options.MaxFunctionEvaluations .

Stopped by an output function or plot function.

Converged to a point that is not a root.

Equation not solved. Trust region radius became too small ( trust-region-dogleg algorithm).

This table describes the exit flags for the fzero solver.

Stopped by an output function or plot function.

NaN , Inf , or complex value encountered during search for an interval containing a sign change.

Might have converged to a singular point.

Output — Information about optimization process estructura

Information about the optimization process, returned as a structure. The output structure contains the fields in the relevant underlying solver output field, depending on which solver solve called:

solve includes the additional field Solver in the output structure to identify the solver used, such as 'intlinprog' .

When Solver is a nonlinear solver, solve includes one or two extra fields describing the derivative estimation type. The objectivederivative and, if appropriate, constraintderivative fields can take the following values:

"reverse-AD" for reverse automatic differentiation

"forward-AD" for forward automatic differentiation

"finite-differences" for finite difference estimation

"closed-form" for linear or quadratic functions

Lambda — Lagrange multipliers at the solution estructura

Lagrange multipliers at the solution, returned as a structure.

solve does not return lambda for equation-solving problems.

For the intlinprog and fminunc solvers, lambda is empty, [] . For the other solvers, lambda has these fields:

Variables – Contains fields for each problem variable. Each problem variable name is a structure with two fields:

Lower – Lagrange multipliers associated with the variable LowerBound property, returned as an array of the same size as the variable. Nonzero entries mean that the solution is at the lower bound. These multipliers are in the structure lambda.Variables. variablename .Lower .

Upper – Lagrange multipliers associated with the variable UpperBound property, returned as an array of the same size as the variable. Nonzero entries mean that the solution is at the upper bound. These multipliers are in the structure lambda.Variables. variablename .Upper .

Constraints – Contains a field for each problem constraint. Each problem constraint is in a structure whose name is the constraint name, and whose value is a numeric array of the same size as the constraint. Nonzero entries mean that the constraint is active at the solution. These multipliers are in the structure lambda.Constraints. constraintname .

Elements of a constraint array all have the same comparison ( <= , == , or >= ) and are all of the same type (linear, quadratic, or nonlinear).


NCERT Solutions class 12 Maths Determinants

Find adjoint of each of the matrices in Exercise 1 and 2.

Resp. Here A =

Resp. Here A =

Verify A (adj. A) = in Exercise 3 and 4.

From eq. (i), (ii) and (iii) A. (adj. A) = (adj. A). A =

From eq. (i), (ii) and (iii) A. (adj. A) = (adj. A). A =

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

Find the inverse of the matrix (if it exists) given in Exercise 5 to 11.

Matrix A is non-singular and hence exist.

Matrix A is non-singular and hence exist.

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

12. Let A = and B = verify that

Resp. Given: Matrix A =

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

13. If A = , show that A 2 – 5A + 7I = 0. Hence find

Resp. Given: A =

To find: , multiplying eq. (i) by .

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

14. For the matrix A = find numbers y tal que

Resp. Given: A =

Here satisfies also, therefore

Here also satisfies , therefore

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

15. For the matrix A = , show that Hence find

Resp. Given: A =

Now, to find , multiplying by

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

16. If A = , verify that and hence find

Resp. Given: A =

Now, to find , multiplying by

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

17. Let A be a non-singular matrix of order 3 x 3. Then is equal to:

Resp. If A is a non-singular matrix of order then

Therefore, option (B) is correct.

NCERT Solutions class 12 Maths Exercise 4.5

18. If A is an invertible matrix of order 2, then det is equal to:

Therefore, option (B) is correct.


4.5 E: Optimization Exercises - Mathematics

Use radix, intro or heap(!) sort.
Use fixed point DDA line algorithm.

These days the story is slightly different. Compilers have gotten better and the CPUs have gotten harder to optimize for. Inside some research organizations, the general consensus is that compilers could do at least as well as humans in almost all cases. During a presentation I gave to some folks at AT&T Bell labs (a former employer) I explained that I was going to implement a certain piece of software in assembly language, which raised eyebrows. One person went so far as to stop me and suggest a good C/C++ compiler that would do a very good job of generating optimized object code and make my life a lot easier.

But have compilers really gotten so good that humans cannot compete? I offer the following facts: High-level languages like C and C++ treat the host CPU in a very generic manner. While local optimizations such as loop unrolling, and register resource contention are easy for compilers to deal with, odd features like 32-byte cache lines, 8K data/code cache totals, multiple execution units, and burst device memory interfaces are something not easily expressed or exploited by a C/C++ compiler.

On a Pentium, it is ordinarily beneficial to declare your data so that its usage on inner loops retains as much as possible in the cache for as long as possible. This can require bizarre declaration requirements which are most easily dealt with by using unions of 8K structures for all data used in your inner loops. This way you can overlap data with poor cache coherency together, while using as much of the remainder of the cache for data with good cache coherency.

The Pentium also has an auxiliary floating point execution unit which can actually perform floating point operations concurrently with integer computations. This can lead to algorithmic designs which require an odd arrangement of your code, that has no sensible correspondence with high-level code that computes the same thing.

Basically, on the Pentium, C/C++ compilers have no easy way to translate source code to cache structured aware data and code along with concurrently running floating point. The MMX generation of x86 processors will pose even greater problems. Nevertheless I explained to the folks at Bell Labs that I owned the compiler that they suggested, and that when it came to optimizations, I could (can) easily code circles around it.

The classic example of overlooking these points above is that of one magnanimous programmer who came from a large company and declared to the world, through USENET, that he was going to write a "100% optimal 3D graphics library completely in C++". He emphatically defended his approach with long flaming postings insisting that modern C++ compilers would be able to duplicate any hand rolled assembly language optimization trick. He got most of the way through before abandoning his project. He eventually realized that the only viable solution for existing PC platforms is to exploit the potential for pipelining the FPU and the integer CPU instructions in a maximally concurrent way. Something no x86 based C compiler in production today is capable of doing.

I always roll my eyes when the old debate of whether or not the days of hand rolled assembly language are over resurfaces in the USENET assembly language newsgroups. On the other hand, perhaps I should be thankful since these false beliefs about the abilities of C/C++ compilers in other programmers only, by comparison, differentiates my abilities more clearly to my employer.

The conclusion you should take away from this (and my other related web pages) is that when pedal to the metal kinds of performance is required, that there is a significant performance margin to be gained in using assembly language. Ordinarily, one combines C/C++ and assembly by using the compiler's inline assembly feature, or by linking to a library of hand rolled assembly routines.

Here's an off the cuff post from Anthony Tribelli on rec.games.programmer:

More recently, I got into a discussion with my brother about how he might optimize a totally C++ written program to improve the performance based on branching and floating point characteristics of modern x86 processors. After I did a brain dump and suggested some non-portable, assembly motivated techniques, he said he was able to use those suggestions alone to make his program run 10 times as fast!. This stuff is not trivial.


This open access book offers comprehensive coverage on Ordered Fuzzy Numbers, providing readers with both the basic information and the necessary expertise to use them in a variety of real-world applications.

Random number generatlon has intrigued sclentists for a few decades, and a lot of effort has been spent on the creation of randomness on a deterministic (non-random) machlne, that is, on the design of computer algorithms that are able to produce “random” sequences of integers.


How to Tell if a Number is Divisible by 5

You&rsquoll be happy to know that checking for divisibility by 5 is really easy. The quick and dirty tip is that for a number to be divisible by 5, it must end with either a 0 or a 5. For example, the numbers 5, 10, 15, 20, and so on up to 1,005, 1,010, and on and on forever, are all divisible by 5 since they all end in either a 0 or 5. On the other hand, the numbers 7 and 3,111,428 are no divisible by 5 since they do no end in either a 0 or 5.

Why does this work? Well, the reason is as easy as the tip: It&rsquos simply that no matter what you multiply the number 5 by, the result is always a number that ends in 0 or 5. That&rsquos all there is to it!


Quadratic Programming for Portfolio Optimization, Problem-Based

This example shows how to solve portfolio optimization problems using the problem-based approach. For the solver-based approach, see Quadratic Programming for Portfolio Optimization Problems, Solver-Based.

The Quadratic Model

Suppose that a portfolio contains different assets. The rate of return of asset is a random variable with expected value . The problem is to find what fraction to invest in each asset in order to minimize risk, subject to a specified minimum expected rate of return.

Dejar denote the covariance matrix of rates of asset returns.

The classical mean-variance model consists of minimizing portfolio risk, as measured by

subject to a set of constraints.

The expected return should be no less than a minimal rate of portfolio return that the investor desires,

the sum of the investment fractions 's should add up to a total of one,

and, being fractions (or percentages), they should be numbers between zero and one,

Since the objective to minimize portfolio risk is quadratic, and the constraints are linear, the resulting optimization problem is a quadratic program, or QP.

225-Asset Problem

Let us now solve the QP with 225 assets. The dataset is from the OR-Library [Chang, T.-J., Meade, N., Beasley, J.E. and Sharaiha, Y.M., "Heuristics for cardinality constrained portfolio optimisation" Computers & Operations Research 27 (2000) 1271-1302].

We load the dataset and then set up the constraints for the problem-based approach. In this dataset the rates of return range between -0.008489 and 0.003971 we pick a desired return in between, e.g., 0.002 (0.2 percent).