Artículos

1.1E: Ejercicios para vectores en el plano - Matemáticas


Para los ejercicios 1 - 10, considere los puntos (P (−1,3), Q (1,5), ) y (R (−3,7) ). Determinar los vectores solicitados y expresar cada uno de ellos

(a. ) en forma de componente y

(b. ) utilizando vectores unitarios estándar.

1) ( vecd {PQ} )

Respuesta:
una. ( vecd {PQ} = ⟨2,2⟩ )
B. ( vecd {PQ} = 2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

2) ( vecd {PR} )

3) ( vecd {QP} )

Respuesta:
una. ( vecd {QP} = ⟨− 2, −2⟩ )
B. ( vecd {QP} = - 2 hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )

4) ( vecd {RP} )

5) ( vecd {PQ} + vecd {PR} )

Respuesta:
una. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = ⟨0,6⟩ )
B. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = 6 hat { mathbf j} )

6) ( vecd {PQ} - vecd {PR} )

7) (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} )

Respuesta:
una. (2 vecd {PQ} → −2 vecd {PR} = ⟨8, −4⟩ )
B. (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} = 8 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

8) (2 vecd {PQ} + frac {1} {2} vecd {PR} )

9) El vector unitario en la dirección de ( vecd {PQ} )

Respuesta:
una. ( left langle frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2} right rangle )
B. ( frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf i} + frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf j} )

10) El vector unitario en la dirección de ( vecd {PR} )

11) Un vector ({ overset { scriptstyle rightharpoonup} { mathbf v}} ) tiene un punto inicial ((- 1, −3) ) y un punto terminal ((2,1) ). Encuentre el vector unitario en la dirección de ( vecs v ). Exprese la respuesta en forma de componentes.

Respuesta:
(⟨ Frac {3} {5}, frac {4} {5}⟩ )

12) Un vector ( vecs v ) tiene un punto inicial ((- 2,5) ) y un punto terminal ((3, −1) ). Encuentre el vector unitario en la dirección de ( vecs v ). Exprese la respuesta en forma de componentes.

13) El vector ( vecs v ) tiene un punto inicial (P (1,0) ) y un punto terminal (Q ) que está en el eje (y ) - y por encima del punto inicial. Encuentre las coordenadas del punto terminal (Q ) de modo que la magnitud del vector ( vecs v ) sea ( sqrt {5} ).

Respuesta:
(Q (0,2) )

14) El vector ( vecs v ) tiene un punto inicial (P (1,1) ) y un punto terminal (Q ) que está en el eje (x ) - ya la izquierda del punto inicial. Encuentre las coordenadas del punto terminal (Q ) de modo que la magnitud del vector ( vecs v ) sea ( sqrt {10} ).

Para los ejercicios 15 y 16, use los vectores ( vecs a ) y ( vecs b ) dados.

una. Determine la suma vectorial ( vecs a + vecs b ) y exprese tanto en la forma del componente como usando los vectores unitarios estándar.

B. Encuentre la diferencia vectorial ( vecs a - vecs b ) y exprese tanto en la forma del componente como usando los vectores unitarios estándar.

C. Verifique que los vectores ( vecs a, , vecs b, ) y ( vecs a + vecs b ), y, respectivamente, ( vecs a, , vecs b ) y ( vecs a− vecs b ) satisfacen la desigualdad del triángulo.

D. Determina los vectores (2 vecs a, - vecs b, ) y (2 vecs a− vecs b. ) Expresa los vectores tanto en la forma componente como usando vectores unitarios estándar.

15) ( vecs a = 2 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, vecs b = hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} )

Respuesta:
(a. , vecs a + vecs b = ⟨3,4⟩, quad vecs a + vecs b = 3 hat { mathbf i} +4 hat { mathbf j} )
(b. , vecs a− vecs b = ⟨1, −2⟩, quad vecs a− vecs b = hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )
(c. ) Las respuestas variarán
(d. , 2 vecs a = ⟨4,2⟩, quad 2 vecs a = 4 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j}, quad - vecs b = ⟨ −1, −3⟩, quad - vecs b = - hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j}, quad 2 vecs a− vecs b = ⟨3, −1⟩, quad 2 vecs a− vecs b = 3 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

16) ( vecs a = 2 hat { mathbf i}, vecs b = −2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

17) Sea ( vecs a ) un vector de posición estándar con el punto terminal ((- 2, −4) ). Sea ( vecs b ) un vector con punto inicial ((1,2) ) y punto terminal ((- 1,4) ). Encuentra la magnitud del vector (- 3 vecs a + vecs b − 4 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. )

Respuesta:
(15)

18) Sea ( vecs a ) un vector de posición estándar con el punto terminal en ((2,5) ). Sea ( vecs b ) un vector con punto inicial ((- 1,3) ) y punto terminal ((1,0) ). Encuentra la magnitud del vector ( vecs a − 3 vecs b + 14 hat { mathbf i} −14 hat { mathbf j}. )

19) Sean ( vecs u ) y ( vecs v ) dos vectores distintos de cero que no son equivalentes. Considere los vectores ( vecs a = 4 vecs u + 5 vecs v ) y ( vecs b = vecs u + 2 vecs v ) definidos en términos de ( vecs u ) y ( vecs v ). Encuentra el escalar (λ ) tal que los vectores ( vecs a + λ vecs b ) y ( vecs u− vecs v ) sean equivalentes.

Respuesta:
(λ = −3 )

20) Sean ( vecs u ) y ( vecs v ) dos vectores distintos de cero que no son equivalentes. Considere los vectores ( vecs a = 2 vecs u − 4 vecs v ) y ( vecs b = 3 vecs u − 7 vecs v ) definidos en términos de ( vecs u ) y ( vecs v ). Encuentra los escalares (α ) y (β ) tales que los vectores (α vecs a + β vecs b ) y ( vecs u− vecs v ) son equivalentes.

21) Considere el vector ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) con componentes que dependen de un número real (t ). A medida que varía el número (t ), los componentes de ( vecs a (t) ) también cambian, dependiendo de las funciones que los definen.

una. Escribe los vectores ( vecs a (0) ) y ( vecs a (π) ) en forma de componentes.

B. Muestre que la magnitud (∥ vecs a (t) ∥ ) del vector ( vecs a (t) ) permanece constante para cualquier número real (t ).

C. Como (t ) varía, demuestre que el punto terminal del vector ( vecs a (t) ) describe un círculo centrado en el origen del radio (1 ).

Respuesta:
(a. , vecs a (0) = ⟨1,0⟩, quad vecs a (π) = ⟨− 1,0⟩ )
(b. ) Las respuestas pueden variar
(c. ) Las respuestas pueden variar

22) Considere el vector ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) con componentes que dependen de un número real (x∈ [−1,1] ). A medida que varía el número (x ), los componentes de ( vecs a (x) ) también cambian, dependiendo de las funciones que los definen.

una. Escribe los vectores ( vecs a (0) ) y ( vecs a (1) ) en forma de componentes.

B. Muestre que la magnitud (∥ vecs a (x) ∥ ) del vector ( vecs a (x) ) permanece constante para cualquier número real (x ).

C. Como (x ) varía, demuestre que el punto terminal del vector ( vecs a (x) ) describe un círculo centrado en el origen del radio (1 ).

23) Muestre que los vectores ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) y ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) son equivalentes para (x = 1 ) y (t = 2kπ ), donde (k ) es un número entero.

Respuesta: Las respuestas pueden variar

24) Muestre que los vectores ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) y ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) son opuestos para (x = 1 ) y (t = π + 2kπ ), donde (k ) es un número entero.

Para los ejercicios 25-28, encuentre un vector ( vecs v ) con la magnitud dada y en la misma dirección que el vector ( vecs u ).

25) ( | vecs v | = 7, quad vecs u = ⟨3,4⟩ )

Respuesta:
( vecs v = ⟨ frac {21} {5}, frac {28} {5}⟩ )

26) (‖ vecs v‖ = 3, quad vecs u = ⟨− 2,5⟩ )

27) (‖ vecs v‖ = 7, quad vecs u = ⟨3, −5⟩ )

Respuesta:
( vecs v = ⟨ frac {21 sqrt {34}} {34}, - frac {35 sqrt {34}} {34}⟩ )

28) (‖ vecs v‖ = 10, quad vecs u = ⟨2, −1⟩ )

Para los ejercicios 29-34, encuentre la forma componente del vector ( vecs u ), dada su magnitud y el ángulo que forma el vector con el eje positivo (x ). Dé respuestas exactas cuando sea posible.

29) (‖ vecs u‖ = 2, θ = 30 ° )

Respuesta:
( vecs u = ⟨ sqrt {3}, 1⟩ )

30) (‖ vecs u‖ = 6, θ = 60 ° )

31) (‖ vecs u‖ = 5, θ = frac {π} {2} )

Respuesta:
( vecs u = ⟨0,5⟩ )

32) (‖ vecs u‖ = 8, θ = π )

33) (‖ vecs u‖ = 10, θ = frac {5π} {6} )

Respuesta:
( vecs u = ⟨− 5 sqrt {3}, 5⟩ )

34) (‖ vecs u‖ = 50, θ = frac {3π} {4} )

Para los ejercicios 35 y 36, se da el vector ( vecs u ). Encuentra el ángulo (θ∈ [0,2π) ) que forma el vector ( vecs u ) con la dirección positiva del eje (x ) -, en sentido contrario a las agujas del reloj.

35) ( vecs u = 5 sqrt {2} hat { mathbf i} −5 sqrt {2} hat { mathbf j} )

Respuesta:
(θ = frac {7π} {4} )

36) ( vecs u = - sqrt {3} hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Sean ( vecs a = ⟨a_1, a_2⟩, vecs b = ⟨b_1, b_2⟩ ) y ( vecs c = ⟨c_1, c_2⟩ ) tres vectores distintos de cero. Si (a_1b_2 − a_2b_1 ≠ 0 ), entonces muestra que hay dos escalares, (α ) y (β ), tales que ( vecs c = α vecs a + β vecs b. )

Respuesta: Las respuestas pueden variar

38) Considera los vectores ( vecs a = ⟨2, −4⟩, vecs b = ⟨− 1,2⟩, ) y ( vecs c = vecs 0 ) Determina los escalares (α ) y (β ) tal que ( vecs c = α vecs a + β vecs b ).

39) Sea (P (x_0, f (x_0)) ) un punto fijo en la gráfica de la función diferenciable (f ) con un dominio que es el conjunto de números reales.

una. Determine el número real (z_0 ) tal que el punto (Q (x_0 + 1, z_0) ) esté situado en la recta tangente a la gráfica de (f ) en el punto (P ).

B. Determine el vector unitario ( vecs u ) con el punto inicial (P ) y el punto terminal (Q ).

Respuesta:
(a. quad z_0 = f (x_0) + f ′ (x_0); quad b. quad vecs u = frac {1} { sqrt {1+ [f ′ (x_0)] ^ 2} } ⟨1, f ′ (x_0)⟩ )

40) Considere la función (f (x) = x ^ 4, ) donde (x∈R ).

una. Determine el número real (z_0 ) tal que el punto (Q (2, z_0) ) está situado en la recta tangente a la gráfica de (f ) en el punto (P (1,1) ).

B. Determine el vector unitario ( vecs u ) con el punto inicial (P ) y el punto terminal (Q ).

41) Considere (f ) y (g ) dos funciones definidas en el mismo conjunto de números reales (D ). Sean ( vecs a = ⟨x, f (x)⟩ ) y ( vecs b = ⟨x, g (x)⟩ ) dos vectores que describen las gráficas de las funciones, donde (x∈ D). Demuestre que si las gráficas de las funciones (f ) y (g ) no se intersecan, entonces los vectores ( vecs a ) y ( vecs b ) no son equivalentes.

42) Encuentra (x∈R ) tal que los vectores ( vecs a = ⟨x, sin x⟩ ) y ( vecs b = ⟨x, cos x⟩ ) sean equivalentes.

43) Calcula las coordenadas del punto (D ) tales que (ABCD ) es un paralelogramo, con (A (1,1), B (2,4) ) y (C (7,4 ) ).

Respuesta:
(D (6,1) )

44) Considere los puntos (A (2,1), B (10,6), C (13,4) ) y (D (16, −2) ). Determine la forma del componente del vector ( vecd {AD} ).

45) El velocidad de un objeto es la magnitud de su vector de velocidad relacionado. Una pelota de fútbol lanzada por un mariscal de campo tiene una velocidad inicial de (70 ) mph y un ángulo de elevación de (30 ° ). Determine el vector de velocidad en mph y expréselo en forma de componentes. (Redondea a dos lugares decimales).

Respuesta:
(⟨60.62,35⟩)

46) Un jugador de béisbol lanza una pelota de béisbol en un ángulo de (30 ° ) con la horizontal. Si la rapidez inicial de la pelota es (100 ) mph, encuentre las componentes horizontal y vertical del vector de velocidad inicial de la pelota. (Redondea a dos lugares decimales).

47) Se dispara una bala con una velocidad inicial de (1500 ) pies / seg en un ángulo de (60 ° ) con la horizontal. Encuentra las componentes horizontal y vertical del vector de velocidad de la bala. (Redondea a dos lugares decimales).

Respuesta:
Las componentes horizontal y vertical son (750 ) pies / seg y (1299.04 ) pies / seg, respectivamente.

48) [T] Un velocista de 65 kg ejerce una fuerza de (798 ) N en un ángulo de (19 ° ) con respecto al suelo en el bloque de salida en el instante en que comienza una carrera. Encuentra la componente horizontal de la fuerza. (Redondea a dos lugares decimales).

49) [T] Dos fuerzas, una fuerza horizontal de (45 ) lb y otra de (52 ) lb, actúan sobre el mismo objeto. El ángulo entre estas fuerzas es (25 ° ). Encuentre la magnitud y el ángulo de dirección desde el eje positivo (x ) - de la fuerza resultante que actúa sobre el objeto. (Redondea a dos lugares decimales).

Respuesta:
La magnitud de la fuerza resultante es (94,71 ) lb; el ángulo de dirección es (13,42 ° ).

50) [T] Dos fuerzas, una fuerza vertical de (26 ) lb y otra de (45 ) lb, actúan sobre el mismo objeto. El ángulo entre estas fuerzas es (55 ° ). (Redondea a dos lugares decimales).

51) [T] Tres fuerzas actúan sobre el objeto. Dos de las fuerzas tienen las magnitudes (58 ) N y (27 ) N, y forman ángulos (53 ° ) y (152 ° ), respectivamente, con el eje positivo (x ) - . Encuentre la magnitud y el ángulo de dirección desde el eje positivo (x ) - de la tercera fuerza de manera que la fuerza resultante que actúa sobre el objeto sea cero. (Redondea a dos lugares decimales).

Respuesta:
La magnitud del tercer vector es (60.03 ) N; el ángulo de dirección es (259.38 ° ).

52) Tres fuerzas con magnitudes 80 lb 120 lb, y 60 lb actúa sobre un objeto en ángulos de (45 °, 60 ° ) y (30 ° ), respectivamente, con el eje positivo (x ) -. Encuentre la magnitud y el ángulo de dirección desde el eje positivo (x ) - de la fuerza resultante. (Redondea a dos lugares decimales).

53) [T] Un avión vuela en la dirección (43 ° ) al este del norte (también abreviado como (N43E ) a una velocidad de (550 ) mph. Un viento con velocidad (25 ) mph viene del suroeste con un rumbo de (N15E ) ¿Cuáles son la velocidad respecto al suelo y la nueva dirección del avión?

Respuesta:
La nueva velocidad respecto al suelo del avión es (572,19 ) mph; la nueva dirección es (N41.82E. )

54) [T] Un barco viaja en el agua a (30 ) mph en una dirección de (N20E ) (es decir, (20 ° ) al este del norte). Una fuerte corriente se mueve a (15 ) mph en una dirección de (N45E ). ¿Cuáles son la nueva velocidad y dirección del barco?

55) [T] Un peso de 50 libras se cuelga de un cable de modo que las dos porciones del cable formen ángulos de (40 ° ) y (53 ° ), respectivamente, con la horizontal. Encuentre las magnitudes de las fuerzas de tensión ( vecs T_1 ) y ( vecs T_2 ) en los cables si la fuerza resultante que actúa sobre el objeto es cero. (Redondea a dos lugares decimales).

Respuesta:
( | vecs T_1 | = 30.13 , lb, quad | vecs T_2 | = 38.35 , lb )

56) [T] Un peso de 62 libras cuelga de una cuerda que forma los ángulos de (29 ° ) y (61 ° ), respectivamente, con la horizontal. (Redondea a dos lugares decimales).

57) [T] Un bote de 1500 lb está estacionado en una rampa que forma un ángulo de (30 ° ) con la horizontal. El vector de peso del barco apunta hacia abajo y es una suma de dos vectores: un vector horizontal ( vecs v_1 ) que es paralelo a la rampa y un vector vertical ( vecs v_2 ) que es perpendicular a la superficie inclinada. Las magnitudes de los vectores ( vecs v_1 ) y ( vecs v_2 ) son la componente horizontal y vertical, respectivamente, del vector de peso del barco. Encuentra las magnitudes de ( vecs v_1 ) y ( vecs v_2 ). (Redondea al número entero más cercano).

Respuesta:
( | vecs v_1 | = 750 , lb, quad | vecs v_2 | = 1299 , lb )

58) [T] Una caja de 85 libras está en reposo en una pendiente (26 ° ). Determine la magnitud de la fuerza paralela a la pendiente necesaria para evitar que la caja se deslice. (Redondea al número entero más cercano).

59) Un cable de sujeción sostiene un poste de (75 ) pies de altura. Un extremo del cable está sujeto a la parte superior del poste y el otro extremo está anclado al suelo (50 ) pies desde la base del poste. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza de tensión en el alambre si su magnitud es (50 ) lb. (Redondea al número entero más cercano).

Respuesta:
Las dos componentes horizontal y vertical de la fuerza de tensión son (28 ) lb y (42 ) lb, respectivamente.

60) El cable de sujeción de un poste telefónico tiene un ángulo de elevación de (35 ° ) con respecto al suelo. La fuerza de tensión en el cable de tensión es (120 ) lb. Encuentre las componentes horizontal y vertical de la fuerza de tensión. (Redondea al número entero más cercano).

Colaboradores

Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


La segunda mitad de esta lección requiere una trigonometría sencilla, específicamente, el uso de las funciones seno y coseno.

Parte de un curso de secundaria sobre astronomía, mecánica newtoniana y vuelos espaciales.
por David P. Stern

Este plan de lecciones complementa: & # 34Vectores, & # 34 sección # 14
http://www.phy6.org/stargaze/Svector.htm

    Nota: Esta lección usa vectores, y la clase debe acordar alguna forma de denotarlos en la pizarra y en el cuaderno. En este plan de lección, todas las cantidades vectoriales estarán subrayadas.

    Sobre la definición y finalidad de los vectores, en matemáticas y física.

Términos: Vector, suma de vectores, componentes del vector, magnitud de un vector, componentes del vector paralelos y perpendiculares a una dirección dada.

Historias y extras: Ninguno aquí, sin embargo, la sección # 22a sobre vuelos en avión tiene algunas aplicaciones interesantes, que podrían seguir a esta lección.

Hoy hablamos de vectores, objetos matemáticos que no solo tienen una magnitud, un tamaño, como tienen los números ordinarios, sino también una dirección en la que apuntan. Se les puede abordar de diferentes formas.

      Pueden verse como una definición más amplia de números. Los números se pueden definir en etapas, cada etapa generalizando la anterior pero cubriendo una clase más amplia, como círculos dentro de círculos. (Ilustre en la pizarra con una línea en la que están marcados los números, también escriba los términos subrayados en una tabla, cada uno nuevo debajo de los anteriores).

Los primeros números eran enteros: 1,2,3,4. y así sucesivamente, inventado muy temprano, con fines prácticos, por ejemplo, contar ovejas cuando llegaban a casa, para asegurarse de que no faltara ninguna.

Luego números negativos: & # 82111, & # 82112, & # 82113. Me debes una, dos, tres ovejas. También cero, que solo se consideró como un número bastante tardío.

Luego fracciones--1 / 2, 1/3, también 7/12 o 3/7 y así sucesivamente, los egipcios solo conocían el primer tipo, y escribirían las fracciones 3 y 4 como (1/2) + (1/12) y como (1/3) + (1/12) + (1/84). También fracciones decimales.

Entonces & # 34Numeros irracionales& # 34 como la raíz cuadrada de 2 que no se puede escribir como alguna fracción (hay una prueba simple). Todos estos juntos se conocen como numeros reales.

¿Qué sigue? . Existen varias formas de extender el concepto de números a clases aún más amplias, que junto con los números reales, incluyen cantidades adicionales que pueden manipularse.

Por supuesto, necesitamos dar algunos para esas adiciones. Un número real puede verse como la longitud de un solo. Con definiciones más amplias, es posible que estas interpretaciones simples ya no funcionen.

Por ejemplo, podemos incluir(números complejos) que incluyen i, la raíz cuadrada de (& # 82111) y expresiones como a + bi, donde a y b son números reales. Esa es una dirección en la que no iremos hoy (razón por la cual el término se escribió entre paréntesis). Sin embargo, cabe señalar de pasada que los números complejos tienen una estrecha conexión con los vectores en 2 dimensiones.

Entonces, en cambio, ¿qué será? Todo lo anterior puede estar relacionado con puntos a lo largo de una línea: los enteros son puntos aislados, las fracciones parecen llenar los espacios entre ellos de manera bastante densa, pero aún dejan suficiente espacio para exprimir los irracionales.

Ahora, presumiblemente, todos los puntos de la línea están cubiertos. Por cada número podemos poner una flecha en la línea, la distancia desde cero a ese número - flechas a la derecha (digamos) para números positivos, a la izquierda para negativo unos.

Los vectores son objetos matemáticos que representan flechas en cualquier dirección- en el plano, incluso en 3 dimensiones. Es un nuevo nivel de "números", y esa es una forma de verlos.

En álgebra, marcamos números ordinarios ("escalares") con letras. Si queremos mostrar una cantidad es un vector, márcalo con una flecha arriba, o un subrayado o (principalmente en libros) en cara atrevida. En los archivos web de "Stargazers", desafortunadamente, se usa negrita para resaltar cantidades, por lo que esta convención es no seguido, y tendrá que distinguir los vectores de su contexto.

    Los matemáticos han inventado todo tipo de extraños generalizaciones de números. Los de mayor interés son los que tienen buenas aplicaciones.

Vectores permítanos representar velocidades.
Volamos un avión y, mientras tanto, el viento lo empuja hacia los lados, ¿cómo estamos progresando en relación con el suelo? Los vectores ayudan a responder eso.

Similar, fuerzas, aceleraciones, campos magnéticos de varias fuentes, todos se agregan como vectores. Ingenieros que pusieron un puente o un edificio y quiere asegurarse de que todas las fuerzas se equilibren, etc., necesitan vectores.

Basta de hablar acerca de ellos - ¿algún ejemplo?

El tipo más simple es desplazamiento (dibuje en la pizarra un mapa de los EE. UU. y utilícelo). Tomas un lápiz y lo desplazas de Nueva York a Chicago, luego de Chicago a Seattle. El efecto final es el mismo que si desplazáramos el lápiz de Nueva York a Seattle.

El desplazamiento de Nueva York a Chicago es esto flecha.
De Chicago a Seattle - esto flecha
De Nueva York a Seattle -esta flecha, y decimos que es el suma vectorial de las otras dos flechas.

Puede parecer una forma extraña de sumar, pero así es como se suman velocidades, fuerzas y campos magnéticos.

Preguntas de orientación y curiosidades adicionales con respuestas sugeridas.

--¿Cuál es el método gráfico de sumar dos vectores?

    Coloque la cola del segundo a la cabeza del primero: la suma es desde la cola del primero hasta la cabeza del segundo

--¿Hace alguna diferencia cuál de los dos se suma primero y cuál segundo?

-- ¿Por qué? (El maestro demuestra en la pizarra.

    Digamos que sumamos dos vectores ay b.
    Añadiendo
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a + b da un triángulo
    Añadiendo
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp b + a da un triángulo de imagen especular.

Ambos triángulos se pueden combinar en un solo paralelogramo (mostrar en la pizarra). En cualquier caso, la suma es la diagonal del paralelogramo, la misma diagonal en ambos casos. UL>

- ¿Cuándo suman los vectores números iguales?

Cuando todos están en la misma línea.
--¡Pero los vectores a lo largo de una línea pueden tener dos direcciones!
Eso es correcto - los vectores en una dirección se cuentan +, en la otra & # 8211

Las preguntas a continuación son solo rápidas: el maestro puede agregar preguntas más serias. - Su barco puede hacer 10 millas por hora pero el río fluye a 5 mph. ¿Cuál es su velocidad relativa a la costa que va (a) río arriba (b) río abajo?

- Corres a 5 mph en una cinta de correr pero no llegas a ninguna parte. ¿Por qué?

- Su avión vuela hacia el norte a 120 mph, mientras que un viento sopla del oeste a 50 mph. ¿Cuál es su & # 34velocidad respecto al suelo & # 34 V, en relación con la tierra de abajo?

    V 2 = 12 2 + 5 2 = 14400 + 2500 = 16900. V = 130 mph.

- Suponga que le dan un vector en el plano (en una hoja de papel, en el mapa, etc.) ¿Qué significa resolver en sus componentes "?

    Porque las direcciones de la velocidad del aire y la velocidad del viento pueden tener ángulos extraños.
    En lugar de lidiar con esos ángulos, es más fácil resolver cada uno en un componente norte-sur y un este-oeste, sumar los componentes en cada dirección (como números) y luego formar la suma nuevamente.

- Un avión vuela a 120 mph en una dirección 17.13 & # 176 hacia el oeste del norte (hacia el noroeste). El viento sopla a 50 mph hacia el sureste, 45 & # 176 fuera de la dirección este. ¿En qué dirección se mueve el avión y a qué velocidad?

    Con rumbo norte a 79,32 mph. Dejar V sea ​​la velocidad del avión, W la velocidad del viento, y resolvamos estos vectores en un sistema (x, y) con el eje x apuntando hacia el este y el eje y hacia el norte. Los componentes son:

Las componentes x se cancelan, la componente y total es
114.68-35.36 = 79.32

Cuando se lanza una pelota o se dispara un proyectil, su movimiento es también la superposición de dos movimientos, como se discutió en & # 34 How Things Fall & # 34.

- Giremos los ejes habituales (x, y) en el sentido de las agujas del reloj 90 & # 176, de modo que abajo es la dirección x, y perpendicular a ella, A la derecha, es la dirección y.

(Dibuje en la pizarra). Eso significa que las velocidades x hacia abajo son positivas y una velocidad x inicial u es negativa si se dirige hacia arriba.

    Además, la velocidad horizontal inicial w es positiva cuando se dirige hacia la derecha.

Podemos calcular la velocidad de cada movimiento:

Juntos dan el vector de velocidad V. El vector de desplazamiento S también tiene componentes:

- Disparemos un arma a 1000 m / seg hacia arriba a 45 & # 176 al suelo. ¿Qué distancia recorrerá el proyectil antes de golpear el suelo (sin tener en cuenta la resistencia del aire; los valores reales serán menores)? Tome g = 10 m / s 2.

    Observamos que (u, v) son las componentes (vertical, horizontal) de la velocidad inicial, que podemos llamar V0. Entonces (disparando en la dirección y, digamos)

u = -1000 * sen 45 & # 176 = - 707 m / s
w = 1000 * cos 45 & # 176 = 707 m / s

En el impacto, SX = 0, entonces ut + (1/2) gt 2 = 0

Una solución es t = 0; no tiene interés, solo nos dice que comenzamos desde el nivel del suelo. Dividir por t (no es cero, por lo que podemos dividir por él)

& # 8211u = (1/2) gt t = & # 82112u / g = 141,4 segundos
Sy = 99,97 km, aproximadamente 100 km.

    Tienen que superar la componente del peso paralela a la superficie de la rampa, que es 1000 * sen 5 & # 176 = 87,15 kg.

Los diccionarios enumerarán varios significados. Uno de ellos, utilizado a bordo de los veleros, se refiere a una cinta o hilo ligero, atado a una mortaja (un alambre que sujeta el mástil) oa una vela, para indicar la dirección del viento.


1.1E: Ejercicios para vectores en el plano - Matemáticas

Para los problemas 1 - 3, escribe la ecuación del avión.

  1. El plano que contiene los puntos ( left (<4, - 3,1> right) ), ( left (<- 3, - 1,1> right) ) y ( left (< 4, - 2,8> derecha) ). Solución
  2. El plano que contiene el punto ( left (<3,0, - 4> right) ) y ortogonal a la línea dada por ( vec r left (t right) = left langle <12 - t, 1 + 8t, 4 + 6t> right rangle ). Solución
  3. El plano que contiene el punto ( left (<- 8,3,7> right) ) y paralelo al plano dado por (4x + 8y - 2z = 45 ). Solución

Para los problemas 4 y 5, determine si los dos planos son paralelos, ortogonales o ninguno.

  1. El plano dado por (4x - 9y - z = 2 ) y el plano dado por (x + 2y - 14z = - 6 ). Solución
  2. El plano dado por (- 3x + 2y + 7z = 9 ) y el plano que contiene los puntos ( left (<- 2,6,1> right) ), ( left (<- 2, 5,0> derecha) ) y ( izquierda (<- 1,4, - 3> derecha) ). Solución

Para los problemas 6 y 7, determine dónde la recta se cruza con el plano o muestre que no se cruza con el plano.


Vectores negativos

El signo negativo invierte la dirección del vector.

Vectores negativos y vectores de una sola letra (posición)

Define el vector negativo y muestra por qué el vector ba es igual al vector -ab. Define el vector de posición y establece que un vector que comienza en el origen se puede expresar solo en términos de su punto final, es decir, como un vector de una sola letra.

Vector negativo
Considere el viaje de a a b seguido del viaje de regreso de b de regreso a a. En términos de vectores, esto se escribe ab + ba. En general, hemos regresado al punto de partida y no hemos ido a ninguna parte. Llamamos a este vector O y lo tratamos como el número 0.

Vectores negativos
Vectores que son opuestos en dirección y del mismo tamaño

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

Agradecemos sus comentarios, comentarios y preguntas sobre este sitio o página. Envíe sus comentarios o consultas a través de nuestra página de Comentarios.


Representación gráfica de vectores

Los vectores se dibujan como flechas. Una flecha tiene una magnitud (su longitud) y una dirección (la dirección en la que apunta). El punto de partida de un vector se conoce como cola y el punto final se conoce como el cabeza.

Figura 20.1: Ejemplos de vectores

Figura 20.2: Partes de un vector

Direcciones (ESAGL)

Hay muchos métodos aceptables para escribir vectores. Siempre que el vector tenga una magnitud y una dirección, lo más probable es que sea aceptable. Estos diferentes métodos provienen de los diferentes métodos de representar una dirección para un vector.

Direcciones relativas

La forma más sencilla de mostrar la dirección es con direcciones relativas: hacia la izquierda, hacia la derecha, hacia adelante, hacia atrás, hacia arriba y hacia abajo.

Direcciones de la brújula

Otro método común para expresar direcciones es usar los puntos de una brújula: norte, sur, este y oeste. Si un vector no apunta exactamente en una de las direcciones de la brújula, entonces usamos un ángulo. Por ejemplo, podemos tener un vector que señale ( text <40> ) ( text <& # 176> ) al norte del oeste. Comience con el vector apuntando a lo largo de la dirección Oeste (mire la flecha punteada a continuación), luego gire el vector hacia el norte hasta que haya un ángulo ( text <40> ) ( text <& # 176> ) entre el vector y la dirección Oeste (la flecha sólida a continuación). La dirección de este vector también se puede describir como: W ( text <40> ) ( text <& # 176> ) N (West ( text <40> ) ( text <& # 176> ) Norte) o N ( text <50> ) ( text <& # 176> ) W (Norte ( text <50> ) ( text <& # 176> ) Oeste).

Llevando

Otro método de expresar la dirección es utilizar un Llevando. Un rumbo es una dirección relativa a un punto fijo. Dado solo un ángulo, la convención es definir el ángulo en el sentido de las agujas del reloj con respecto al norte. Entonces, un vector con una dirección de ( text <110> ) ( text <& # 176> ) se ha girado en el sentido de las agujas del reloj ( text <110> ) ( text <& # 176> ) en relación con el norte. Un rumbo siempre se escribe como un número de tres dígitos, por ejemplo ( text <275> ) ( text <& # 176> ) o ( text <080> ) ( text <& # 176> ) (para ( text <80> ) ( text <& # 176> )).


Ejercicio 3.1.14. Dados dos vectores y en, demuestre que su diferencia es ortogonal a su suma si y solo si sus longitudes y son iguales. Respuesta: Primero asumimos que es ortogonal a. Esto significa que su & hellip Continuar leyendo & rarr

Ejercicio 3.1.13. Proporcione una imagen que muestre la acción de enviar el espacio de columna de al espacio de fila y el espacio nulo izquierdo a cero. Respuesta: Dejaré esta publicación como marcador de posición hasta que tenga tiempo de ilustrar esto. & hellip Continuar leyendo & rarr


Precálculo

Un libro de texto completo que cubre temas de precálculo. Los temas específicos cubiertos incluyen trigonometría, números complejos, vectores y matrices. Incluye muchos problemas de las competencias AIME y USAMO.

Descripción general

Precálculo es parte del aclamado plan de estudios El arte de resolver problemas diseñado para desafiar a los estudiantes de secundaria y preparatoria de alto rendimiento. Precálculo cubre trigonometría, números complejos, vectores y matrices. Incluye casi 1000 problemas, que van desde ejercicios de rutina hasta problemas extremadamente desafiantes extraídos de las principales competencias de matemáticas, como el Examen de matemáticas por invitación estadounidense y la Olimpiada de matemáticas de EE. UU. Casi la mitad de los problemas tienen soluciones completas y detalladas en el texto, y el resto tiene soluciones completas en el Manual de soluciones adjunto.

Al igual que con todos los libros de la serie Introducción e Intermedia de Art of Problem Solving, Precálculo está estructurado para inspirar al lector a explorar y desarrollar nuevas ideas. Cada sección comienza con problemas, por lo que el estudiante tiene la oportunidad de resolverlos sin ayuda antes de continuar. El texto luego incluye soluciones a estos problemas, a través de las cuales se enseñan nuevas técnicas. A lo largo del texto se destacan hechos importantes y enfoques poderosos para la resolución de problemas.


1.1E: Ejercicios para vectores en el plano - Matemáticas

Este punto de vista geométrico es obviamente útil cuando queremos modelar el movimiento o los cambios de forma de un objeto que se mueve en el plano o en el espacio tridimensional. Sin embargo, también es útil en dimensiones más altas. La idea de que cualquier matriz pueda ser considerada como el producto de matrices más simples que corresponden a versiones dimensionales superiores de rotación, reflexión, proyección, cizallamiento, dilatación y contracción es de enorme importancia tanto para los matemáticos puros como aplicados.

Los mapas lineales llevan paralelogramos a paralelogramos

Ejercicio 1: En general, un paralelogramo en el plano se puede describir usando vectores. La colección de todos los puntos del formulario.

(dónde pag, tu y v son vectores y a y B son escalares) será un paralelogramo con vértices en los puntos pag, p + u, p + u + v, y p + v. Encontrar pag, tu y v para el paralelogramo PAG con vértices en (1,2), (3,3), (4,4), (2,3) - tenga en cuenta que hay cuatro formas de hacer esto. Si T es una transformación lineal definida por T (X) = AX, donde A es una matriz de 2 x 2, entonces muestre que la imagen T (P) es también un paralelogramo al encontrar su descripción vectorial. Demuestre que los vértices del paralelogramo transformado se encuentran transformando los vértices del paralelogramo original pag.

Graficar figuras en MATLAB

Un uso común de gráfico es tomar una lista de puntos de datos y graficarlos, conectándolos con segmentos de línea recta. Por ejemplo, empareje cada número en la primera lista con el número correspondiente en la segunda lista para obtener los puntos de datos (1,2), (3,3), (4,4), (2,3) y (1 , 2) de nuevo. El comando anterior producirá un gráfico del paralelogramo PAG con estos puntos como vértices. Podemos ajustar los ejes para que el paralelogramo no llene toda la ventana del gráfico con un comando como Y el comando de abajo obliga a MATLAB a usar la misma escala en los ejes vertical y horizontal. Considere el mapa lineal definido por (u, v) = (x - y, x + y). A continuación, queremos hacer un gráfico que contendrá una copia del plano utilizando el habitual X y y coordenada y otra copia del plano donde llamaremos a la coordenada horizontal tu y la coordenada vertical v. En el xy-plano dibujaremos el paralelogramo PAG y en el uv-plano dibujaremos su transformación bajo el mapa lineal dado.
The MATLAB command subplot lets us make an m x n array of plots all in the same window. In this case we will make two plots side-by-side. First we compute the vertex points for the transformed parallelogram: Next we build the plots: Since we want an array of plots with one row and two columns we start with subplot(1,2. ). When we are ready to give the details of the first plot we use subplot(1,2,1) and for the second plot we use subplot(1,2,2). In the first plot the horizontal axis is labeled X, the vertical axis is labeled y and the whole plot is in a window where X runs from -8 to 8 and so does y. There are further details to specify but we are out of room on this line. The three dots at the end allow us to continue the command on the next line. We force MATLAB to use the same scale on the vertical and horizontal axes and we give the plot a descriptive title. The second plot is very similar.

The geometric effect of the transformation (u,v) = (x + y, x - y) is clearer if we look at how the unit square transforms. It also helps to look at what happens when we apply the same transformation repeatedly. To make this easier we will use matrices. We begin as before by setting up a vectors X y y that correspond to the vertices of the unit square: Now instead of simply working with x and y as we did above, it is easier in the long run if we make a matrix S whose columns contain the vertices of the square. In other words, our vector x will be the first row of S and the vector y will be the second row: Since the vertices of the square are now listed as the columns of the matrix S, we can easily transform them. We just define the coefficient matrix for our transformation, in this case: and then multiply: We can then transform further if we wish:

Transforming a Disk

NOTE: Be sure to use the plotting optionaxis equal in the exercises below. This ensures that your disks will be round, not elliptical. Typically, the transformed disk will be elliptical and you want to get a true picture of how the disk changed under the linear transformation.

Exercise 2: Dejar S be the unit square and let T be the transformation T(x,y) = (x - y, x + y) as discussed in the examples above. Plot S, T(S), T(T(S)), y T(T(T(S))) together on the same coordinate axes. Label each figure and summarize your results - that is, explain the geometric effect of the transformation T as clearly as you can.

Ejercicio 3: Consider the linear transformation defined by T(x,y) = (0.8x, 1.4y). What is the geometric effect of this transformation? Plot the disk D together with its transform T(D). Also include the figure you get by applying T to D five times. Label each of the three figures by hand or using the menu bars in your MATLAB plot window to add text to your plot. Again, be sure to use the axis equal option so that disks look like disks, not ellipses. What will the limit figure look like if we continue transforming by T forever?

  • Plot the unit disk D together with its transform T(D). Label each figure.
  • Plot D together with T(T(D)) and label each figure.
  • Plot D together with T(T(T(D))) and label each figure.
  • What will the limit figure look like if we continue to transform?
  • Find a single matrix for this combined transformation and use it to plot the disk D together with its transform. (This transform will be an ellipse.)
  • Find a unit vector u en D that maps to the semimajor axis of the ellipse. What is the length of the semimajor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e1? You may find it useful to add a grid to your plot. You can do this by typing grid on in the MATLAB command window (just as you used commands like axis equal to adjust the plot).
  • Find a unit vector v en D that maps to the semiminor axis of the ellipse. What is the length of the semiminor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e2?
  • For the ellipse T(D) in exercise 4, find a vector u in the first quadrant that forms the semimajor axis of the ellipse. Find its length and draw it in by hand on a plot of D together with T(D). You may find it helpful to put a grid onto your plot of D and T(D). This can be done by typing grid on in the MATLAB command window.
  • Similarly, find a vector v in the fourth quadrant that forms the semiminor axis of the ellipse and compute its length.
  • Find vectors in the original disk that map to the vectors u y v that lie along the elliptical axes.
  • Decompose the transformation (x,y) -> (2x+y,x+y) from exercise 4 into a sequence of rotations and stretchings similar to those in exercise 5.

Exercise 8: Consider the basic shearing transformation (x,y) -> (x + y, y). As we discussed in class, this is a shear parallel to the horizontal axis. What happens if we consider the following sequence of transformations? If we first rotate by 45 degrees the horizontal axis moves into the line y = x. Then apply the shear (x,y) -> (x+y,y). Finally, rotate in the opposite direction by 45 degrees. What is the combined geometric effect and what is the matrix of the resulting transformation?

Exercise 9: A translation is a particularly simple kind of transformation -- for example, a map of the form (x,y) -> (x + 2, y -3) takes any figure and slides it right by 2 and down by 3. This is not a linear transformation since it cannot be expressed as a matrix A times the vector (x,y). We can use a simple trick called homogeneous coordinates to get around this difficulty if we want to combine translations with rotations or other linear transformations. We simply use (x,y,1) instead of (x,y) to talk about points in the plane. With this change of coordinate system, the translation above becomes (x,y,1) maps to (x + 2, y + 3, 1) and this we can describe this using matrix multiplication:
Rotation through an angle t can easily be translated into these coordinates as well: Multiplying these 3 x 3 matrices corresponds to composing these transformations on the plane. Find the matrix for reflection across the line y = x followed by translation by the vector (3,4).


8.5 Component and Projection

Since cos() is between 𕒵 and 1, compvu is a scalar between −|u| y |u|. In fact, it is easy to calculate that compvu = |u| exactly when u is in the direction of v and compvu = −|u| exactly when u is in the direction opposite that of v.

Projection of u en v

As you might guess from the note above concerning the value of compvu when u is parallel to v, it turns out that projvu = u exactly when u y v are parallel.

In this problem you are given two non-zero vectors and asked to find both compvu and projvu.

Finding Component and Projection

Note to Reviewers

We include a sample set of questions to be included in the Student Guide. These are based on the exercises in the applets and the content of each section. They are intended to be used for homework assignments and for the student to work on paper.


Combining (Rotation) Matrices

We have learned in the previous chapter that multiplying matrices together combines their transformations. Now that we know how to rotate points around individual axis, it is possible to multiply Rx, Ry, Rz together (using every possible combinations) to create more complex rotations. If for instance you want to rotate a point around the x-axis, and then the y-axis, we can create two matrices using the matrices Rx and Ry and combine them using matrix multiplication (Rx*Ry) to create a Rxy matrix encoding the two individual rotations:

Note that the order of rotation is important and makes a difference. If you rotate a point around the x-axis first and then the y-axis second, you will end up (in most cases) with a result which is different from a rotation around the y-axis then around the x-axis. In most 3D packages such as Maya, 3DSMax, Softimage, Houdini, etc. it is possible to specify the order in which the rotations takes place. For instance the order can be xyz, . (see in Maya the list of possible options).