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6.3: Factorizar ax² + bx + c cuando a = 1 - Matemáticas


En esta sección nos concentramos en aprender a factorizar trinomios que tienen la forma (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a = 1 ). La primera tarea es asegurarse de que todos puedan identificar correctamente los coeficientes (a ), (b ) y (c ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Compara (x ^ 2−8x − 9 ) con la forma (ax ^ 2 + bx + c ) e identifica los coeficientes (a ), (b ) y (c ).

Solución

Alinee el trinomio (x ^ 2−8x − 9 ) con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ), luego compare los coeficientes. Tenga en cuenta que el coeficiente entendido de (x ^ 2 ) es (1 ).

[ begin {matriz} {l} {ax ^ {2} + b x + c} {{ color {Red} 1} x ^ {2} -8 x-9} end {matriz} sin número ]

Vemos que (a = 1 ), (b = −8 ) y (c = −9 ). Debido a que el coeficiente principal es (1 ), este es el tipo de trinomio que aprenderemos a factorizar en esta sección.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Compara (2x ^ 2 + 5x − 3 ) con la forma (ax ^ 2 + bx + c ) e identifica los coeficientes (a ), (b ) y (c ).

Respuesta

(a = 2 ), (b = 5 ), (c = −3 )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Compara (- 40 + 6x ^ 2 - x ) con la forma (ax ^ 2 + bx + c ) e identifica los coeficientes (a ), (b ) y (c ).

Solución

Primero, ordena (- 40+ 6x ^ 2 −x ) en potencias descendentes de (x ), luego alinéalo con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ) y compara los coeficientes. Tenga en cuenta que el coeficiente entendido de (x ) es (- 1 ).

[ begin {array} {l} {ax ^ {2} + b x + c} {6 x ^ {2} - { color {Red} 1} x-40} end {array} sin número ]

Vemos que (a = 6 ), (b = −1 ) y (c = −40 ). Debido a que el coeficiente principal es (6 ), tendremos que esperar hasta que aprendamos a factorizar (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a neq 1 ) en la sección 6.4 antes de aprender a factorizar esto trinomio.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Compara (3x + 9−7x ^ 2 ) con la forma (ax ^ 2 + bx + c ) e identifica los coeficientes (a ), (b ) y (c ).

Respuesta

(a = −7 ), (b = 3 ), (c = 9 )

En esta sección, el coeficiente principal debe ser igual a (1 ). Nuestro trabajo en esta sección se enfocará solo en trinomios de la forma (x ^ 2 + bx + c ), es decir, la forma (ax ^ 2 + bx + c ) donde (a = 1 ).

El (ac ) - Método

Ahora vamos a introducir una técnica llamada (ac ) - método (o (ac ) - prueba) para factorizar trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a = 1 ). En la próxima sección 6.4 sobre factorizar (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a neq 1 ), veremos que este método también se puede emplear cuando (a neq 1 ), con uno excepción menor. Pero durante el resto de esta sección, nos centraremos estrictamente en los trinomios cuyo coeficiente principal es (1 ).

Comencemos por encontrar el siguiente producto:

[ begin {align} (x + 12) (x-4) & = x (x-4) +12 (x-4) quad color {Red} text {Aplicar la propiedad distributiva. } & = x ^ {2} -4 x + 12 x-48 quad color {Red} text {Distribuir de nuevo. } & = x ^ {2} +8 x-48 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]

Ahora, ¿podemos revertir el proceso? Es decir, ¿podemos comenzar con (x ^ 2 + 8x − 48 ) y colocarlo en su forma factorizada original ((x + 12) (x − 4) )? La respuesta es sí, si aplicamos el siguiente procedimiento.

El método (ac ) -

Compare el polinomio dado con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ), determine los coeficientes (a ), (b ) y (c ), luego proceda de la siguiente manera:

  1. Multiplica los coeficientes (a ) y (c ) y determina su producto (ac ). Enumere todos los pares de enteros cuyo producto es igual a (ac ).
  2. Encierra en un círculo el par de la lista que se produjo en el paso 1 cuya suma es igual a (b ), el coeficiente del término medio de (ax ^ 2 + bx + c ).
  3. Reemplaza el término medio (bx ) con una suma de términos semejantes usando el par encerrado en un círculo del paso 2.
  4. Factoriza por agrupación.
  5. Verifique el resultado usando el FRUSTRAR atajo.

Sigamos los pasos del método (ac ) - para factorizar (x ^ 2 + 8x − 48 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Factoriza: (x ^ 2 + 8x − 48 ).

Solución

Compara (x ^ 2 + 8x − 48 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) e identifica (a = 1 ), (b = 8 ) y (c = −48 ). Tenga en cuenta que el coeficiente principal es (a = 1 ). Calcule (ac ). Tenga en cuenta que (ac = (1) (- 48) ), entonces (ac = −48 ). Enumere todos los pares de enteros cuyo producto es (ac = −48 ).

[ begin {array} {ll} {1, -48} & {-1,48} {2, -24} & {-2,24} {3, -16} & {-3 , 16} {4, -12} & {-4,12} {6, -8} & {-6,8} end {array} nonumber ]

Encierra en un círculo el par ordenado cuya suma es (b = 8 ).

[ begin {array} {ll} {1, -48} & {-1,48} {2, -24} & {-2,24} {3, -16} & {-3 , 16} {4, -12} & { color {Red} -4,12} {6, -8} & {-6,8} end {array} nonumber ]

Reemplaza el término medio (8x ) con una suma de términos semejantes usando el par encerrado en un círculo cuya suma es (8 ).

[x ^ 2 { color {Red} + 8x} -48 = x ^ 2 { color {Red} -4x + 12x} -48 nonumber ]

Factoriza por agrupación.

[ begin {alineado} x ^ {2} +8 x-48 & = x (x-4) +12 (x-4) & = (x + 12) (x-4) end {alineado } sin número ]

Utilizar el FRUSTRAR atajo para comprobar mentalmente su respuesta. Para determinar el producto ((x + 12) (x − 4) ), siga estos pasos:

  • Multiplica los términos en las posiciones "Primera": (x ^ 2 ).
  • Multiplica los términos en las posiciones "Exterior" e "Interior" y combina los resultados mentalmente: (- 4x + 12x = 8x ).
  • Multiplica los términos en las posiciones "Últimas": (- 48 ).

Es decir:

[(x + 12) (x-4) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} x ^ 2 & - & 4x & + & 12x & - & 48 end {array} nonumber ]

Combinando términos semejantes, ((x + 12) (x − 4) = x ^ 2 + 8x − 48 ), que es el trinomio original, por lo que nuestra solución verifica. Tenga en cuenta que si combina mentalmente los productos "Externo" e "Interno", la verificación es aún más rápida.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Factorizar: (x ^ 2 + 11x + 28 )

Respuesta

((x + 4) (x + 7) )

Algunos lectores podrían preguntar “¿Es una coincidencia que el par encerrado en un círculo ( color {Red} −4,12 ) pareciera 'caer en su lugar' en la factorización resultante ((x + 12) (x − 4) )? " Antes de responder a esa pregunta, probemos con otro ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Factoriza: (x ^ 2 −9x − 36 ).

Solución

Compara (x ^ 2−9x − 36 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observa que (a = 1 ), (b = −9 ) y (c = - 36 ). Calcula (ac = (1) (- 36) ), entonces (ac = −36 ).

En este punto, algunos lectores pueden preguntar “¿Qué pasa si empiezo a enumerar los pares ordenados y veo el par que necesito? ¿Necesito seguir enumerando los pares restantes?

La respuesta es no." En este caso, comenzamos a enumerar los pares de enteros cuyo producto es (ac = −36 ), pero tenemos en cuenta que necesitamos un par de enteros cuya suma sea (b = −9 ). El par de enteros (3 ) y (- 12 ) tiene un producto igual a (ac = −36 ) y una suma igual a (b = −9 ).

[ begin {array} {r} {1, -36} {2, -18} { color {Red} 3, -12} end {array} nonumber ]

Observe cómo dejamos de enumerar los pares ordenados en el momento en que encontramos el par que necesitábamos. Luego, reemplace el término medio (- 9x ) con una suma de términos semejantes usando el par encerrado en un círculo.

[x ^ 2 { color {Red} -9x} -36 = x ^ 2 { color {Red} + 3x-12x} -36 nonumber ]

Factoriza por agrupación.

[ begin {alineado} x ^ {2} { color {Rojo} -9 x} -36 & = x (x + 3) -12 (x + 3) & = (x-12) (x +3) end {alineado} nonumber ]

Utilizar el FRUSTRAR atajo para comprobar su respuesta.

[(x + 3) (x-12) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} x ^ 2 & - & 12x & + & 3x & - & 36 end {array} nonumber ]

Combinando términos semejantes, ((x + 3) (x − 12) = x ^ 2 −9x − 36 ), el trinomio original. Nuestra solución comprueba.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Factoriza: (x2 + 10x − 24 ).

Respuesta

((x + 12) (x − 2) )

Acelerando un poco las cosas

Los lectores podrían volver a preguntar “¿Es una coincidencia que el par encerrado en un círculo ( color {Red} 3, −12 ) pareciera 'caer en su lugar' en la factorización resultante ((x − 12) (x + 3) )? " La respuesta es "No", no es una coincidencia. Siempre que el coeficiente principal del trinomio (ax ^ 2 + bx + c ) sea (a = 1 ), siempre puede "colocar en su lugar" el par encerrado en un círculo para llegar a la factorización final, omitiendo la factorización. agrupando.

Algunos lectores también pueden preguntarse "¿De verdad tengo que enumerar alguno de esos pares ordenados si ya reconozco el par que necesito?" ¡La respuesta es no!" Si ve el par que necesita, colóquelo en su lugar.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Factoriza: (x ^ 2 −5x − 24 ).

Solución

Compara (x ^ 2−5x − 24 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observa que (a = 1 ), (b = −5 ) y (c = - 24 ). Calcula (ac = (1) (- 24) ), entonces (ac = −24 ). Ahora, ¿puedes pensar en un par de enteros cuyo producto es (ac = −24 ) y cuya suma es (b = −5 )? Para algunos, el par requerido simplemente aparece en su cabeza: (- 8 ) y (3 ). El producto de estos dos números enteros es (- 24 ) y su suma es (- 5 ). “Suelta” este par en su lugar y listo.

[x ^ 2 −5x − 24 = (x − 8) (x + 3) nonumber ]

Utilizar el FRUSTRAR atajo para comprobar su respuesta.

[(x-8) (x + 3) = begin {array} {ccccccc} { color {Red} F} & & { color {Red} O} & & { color {Red} I} & & { color {Red} L} x ^ 2 & + & 3x & - & 8x & - & 24 end {array} nonumber ]

Combinando términos semejantes, ((x − 8) (x + 3) = x ^ 2 −5x − 24 ), el trinomio original. Nuestra solución comprueba.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Factorizar: (x ^ 2 −12x + 35 )

Respuesta

((x − 7) (x − 5) )

La técnica "Colocar en el lugar" del Ejemplo ( PageIndex {5} ) nos permite revisar un poco el método (ac ).

Método (ac ) revisado

Compara el polinomio dado con la forma estándar (ax ^ 2 + bx + c ), determina los coeficientes (a ), (b ) y (c ), luego determina un par de números enteros cuyo producto es igual a (ac ) y cuya suma es igual a (b ). Entonces tienes dos opciones:

  1. Escribe el término medio como un producto de términos semejantes usando el par ordenado cuyo producto es (ac ) y cuya suma es (b ). Complete el proceso de factorización factorizando por agrupación.
  2. (Solo funciona si (a = 1 ).) Simplemente "coloque en su lugar" el par ordenado cuyo producto es (ac ) y cuya suma es (b ) para completar el proceso de factorización. Nota: Aprenderemos a factorizar (ax ^ 2 + bx + c ) cuando (a neq 1 ) en la sección 6.4 por qué esta opción de "colocar en el lugar" no funciona cuando (a neq 1 )

Se recomienda encarecidamente a los lectores que verifiquen su factorización determinando el producto utilizando el FRUSTRAR método. Si esto produce el trinomio original, la factorización es correcta.

Ecuaciones no lineales revisadas

La capacidad de factorizar trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c ), donde (a = 1 ), aumenta el número de ecuaciones no lineales que ahora podemos resolver.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Resuelve la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

Solución

Debido a que hay una potencia de (x ) mayor que uno, la ecuación no es lineal. Haz un lado cero.

[ begin {align} x ^ {2} & = 2 x + 3 quad color {Red} text {Ecuación original. } x ^ {2} -2 x & = 3 quad color {Red} text {Resta} 2 x text {de ambos lados. } x ^ {2} -2 x-3 & = 0 quad color {Red} text {Resta} 3 text {de ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

Compara (x ^ 2−2x − 3 ) con (ax ^ 2 + bx + c ) y observa que (a = 1 ), (b = −2 ) y (c = −3 ). Necesitamos un par de enteros cuyo producto es (ac = −3 ) y cuya suma es (b = −2 ). Me viene a la mente el par de enteros (1 ) y (- 3 ). “Coloque” estos en su lugar para factorizar.

[(x + 1) (x-3) = 0 quad color {Red} text {Factor.} nonumber ]

Tenemos un producto que es igual a cero. Utilice la propiedad del producto cero para completar la solución.

[ begin {alineado} x + 1 & = 0 x & = - 1 end {alineado} nonumber ]

o

[ begin {array} {r} {x-3 = 0} {x = 3} end {array} nonumber ]

Por tanto, las soluciones de (x ^ 2 = 2x + 3 ) son (x = −1 ) y (x = 3 ).

Solución gráfica:

Cargue cada lado de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) en el Y = menú de su calculadora gráfica, (y = x ^ 2 ) en ( mathbb {Y1} ), (y = 2x + 3 ) en ( mathbb {Y2} ) (vea la Figura ( PageIndex {1} )). Seleccione 6: ZEstándar desde el ZOOM menú para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {1} ).

Uno de los puntos de intersección es visible a la izquierda, pero el segundo punto de intersección está muy cerca de la parte superior de la pantalla a la derecha (vea la Figura ( PageIndex {1} )). Extendamos un poco la parte superior de la pantalla. presione el VENTANA y haga ajustes en ( mathbb {Ymin} ) y ( mathbb {Ymax} ) (vea la Figura ( PageIndex {2} )), luego presione el GRAFICO botón para adoptar los cambios.

Tenga en cuenta que ambos puntos de intersección ahora son visibles en la ventana de visualización (vea la Figura ( PageIndex {2} )). Para encontrar las coordenadas de los puntos de intersección, seleccione 5: intersección desde el CALC menú. presione el INGRESAR para aceptar la "Primera curva", presione INGRESAR nuevamente para aceptar la "Segunda curva", luego presione INGRESAR nuevamente para aceptar la posición actual del cursor como su conjetura. El resultado se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {3} ). Repita el proceso para encontrar el segundo punto de intersección, solo cuando llegue el momento de ingresar su "Adivinar", use la tecla de flecha derecha para mover el cursor más cerca del segundo punto de intersección que del primero.

Informar la solución en su tarea:

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Utilice una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada las curvas.

  • Rotule los ejes horizontal y vertical con (x ) y (y ), respectivamente (vea la Figura ( PageIndex {4} )).
  • Coloque su VENTANA parámetros al final de cada eje (ver Figura ( PageIndex {4} )).
  • Rotule cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {4} )).
  • Coloque líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección. Sombrea y rotula los valores (x ) - de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ) -. Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 3 ) (ver Figura ( PageIndex {4} )).

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (x ^ 2 = 2 x + 3 ), a saber, (x = −1 ) y (x = 3 ), coinciden con las soluciones encontradas usando el método algebraico. Ésta es una prueba sólida de que ambos métodos de solución son correctos. Sin embargo, no está de más comprobar las respuestas finales en la ecuación original, sustituyendo (x ) por (x ) y (3 ) por (x ).

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 (- 1) ^ {2} & = 2 (-1) +3 1 & = - 2 + 3 end {alineado } sin número ]

y

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 2 x + 3 (3) ^ {2} & = 2 (3) +3 9 & = 6 + 3 end {alineado} nonumber ]

Debido a que las dos últimas afirmaciones son afirmaciones verdaderas, las soluciones (x = −1 ) y (x = 3 ) verifican la ecuación original (x ^ 2 = 2x + 3 ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resuelve la ecuación (x ^ 2 = −3x + 4 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

Respuesta

(-4), (1)

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Resuelve la ecuación (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

Solución

Como hay una potencia de (x ) mayor que uno, la ecuación (x ^ 2 - 4x − 96 = 0 ) no es lineal. Ya tenemos un lado cero, por lo que podemos proceder con la factorización. Comience a enumerar pares de enteros cuyo producto es (ac = −96 ), teniendo en cuenta el hecho de que necesitamos un par cuya suma sea (b = −4 ).

[ begin {array} {l} {1, -96} {2, -48} {3, -32} {4, -24} {6, -16} { color {Red} 8, -12} end {matriz} nonumber ]

Tenga en cuenta que detuvimos el proceso de listado tan pronto como encontramos un par cuya suma era (b = −4 ). “Suelta” este par en su lugar para factorizar el trinomio.

[ begin {align} x ^ {2} -4 x-96 & = 0 quad color {Red} text {Ecuación original. } (x + 8) (x-12) & = 0 quad color {Red} text {Factor. } end {alineado} nonumber ]

Tenemos un producto que es igual a cero. Utilice la propiedad del producto cero para completar la solución.

[ begin {alineado} x + 8 & = 0 x & = - 8 end {alineado} nonumber ]

o

[ begin {alineado} x-12 & = 0 x & = 12 end {alineado} nonumber ]

Por tanto, las soluciones de (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ) son (x = −8 ) y (x = 12 ).

Solución gráfica:

Cargue la ecuación (y = x ^ 2 −4x − 96 ) en ( mathbb {Y1} ) en el Y = menú de su calculadora gráfica (vea la Figura ( PageIndex {5} )). Seleccione 6: ZEstándar desde el ZOOM menú para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {5} ).

Cuando el grado de un polinomio es dos, estamos acostumbrados a ver una especie de parábola. En la Figura ( PageIndex {5} ), vimos que el gráfico bajaba y salía de la pantalla, pero no lo vimos girar y volver a subir. Ajustemos el VENTANA parámetros de modo que el vértice (punto de inflexión) de la parábola y ambas intersecciones (x ) - sean visibles en la ventana de visualización. Después de un poco de experimentación, las configuraciones que se muestran en la Figura ( PageIndex {6} ) revelan el vértice y las intersecciones de (x ). presione el GRAFICO para producir la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {6} ).

Note que ambos (x ) - intersecciones de la parábola ahora son visibles en la ventana de visualización (vea la Figura ( PageIndex {6} )). Para encontrar las coordenadas de las intersecciones (x ), seleccione 2: cero desde el CALC menú. Use las teclas de flecha izquierda y derecha para mover el cursor a la izquierda de la primera intersección (x ), luego presione INGRESAR para marcar el "Límite izquierdo". Luego, mueva el cursor a la derecha de la primera intersección (x ), luego presione INGRESAR para marcar el "límite derecho". prensa INGRESAR para aceptar la posición actual del cursor como su "Adivinar". El resultado se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {7} ). Repite el proceso para encontrar las coordenadas de la segunda intersección en (x ). El resultado se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {7} ).

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en la página de su tarea. Utilice una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada las curvas.

  • Rotule los ejes horizontal y vertical con (x ) y (y ), respectivamente (vea la Figura ( PageIndex {8} )).
  • Coloque sus parámetros de VENTANA al final de cada eje (vea la Figura ( PageIndex {8} )).
  • Rotule la gráfica con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {8} )).
  • Suelta líneas verticales punteadas a través de cada intersección en (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2−4x − 96 = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {8} )).

Finalmente, observe cómo las soluciones gráficas de (x ^ 2 −4x − 96 = 0 ), a saber, (x = −8 ) y (x = 12 ), coinciden con las soluciones encontradas usando el método algebraico. Sin embargo, no está de más verificar las respuestas finales en la ecuación original, sustituyendo (x ) por (x ) y (12 ) por (x ).

[ begin {array} {r} {x ^ {2} -4 x-96 = 0} {(-8) ^ {2} -4 (-8) -96 = 0} {64 + 32-96 = 0} end {matriz} nonumber ]

y

[ begin {align} x ^ {2} -4 x-96 & = 0 (12) ^ {2} -4 (12) -96 & = 0 144-48-96 & = 0 final {alineado} nonumber ]

Debido a que las dos últimas afirmaciones son afirmaciones verdaderas, las soluciones (x = −8 ) y (x = 12 ) verifican la ecuación original (x ^ 2 −4x − 96−0 ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Resuelve la ecuación (x ^ 2 −21x + 90 = 0 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

Respuesta

(6), (15)


Usar con Formularios de Google: Factor Trinomial (a es 1) CON Cuestionario o Tarea de GCF

✐ Esto (SELECCIONE TODAS LAS QUE APLIQUEN y Cuestionario de RESPUESTAS BREVES) el producto es un SIN PREP & amp; AUTO CALIFICACIÓN 100% EDITABLE (EXCEPTO LAS IMÁGENES) actividad que evaluará la comprensión de los estudiantes sobre cómo Factorizar trinomios ax² + bx + c donde a = 1

☑ Factorizar ax² + bx + c donde a = 1

☑ Hay un GCF en cada pregunta de esta actividad.

☑ 10 preguntas son respuestas cortas (deben seguir las pautas al ingresar las respuestas)

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☑ Factorizar Factorizar GCF (numérico o variable)

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Existe y DESCUBRE las respuestas a través de las opciones dadas. Los estudiantes sabrán factorizar o no. Este cuestionario me ayudó a determinar si mis alumnos dominaban la factorización de trinomios con a = 1 o no. También ayudó a mis alumnos a reconocer la cantidad de factores producidos al intentar seleccionar todos los que aplican una habilidad muy necesaria al resolver ecuaciones cuadráticas.

☑ Prueba (práctica individual)

☑ Actividad del centro (para diferenciación)

Mis estudiantes de Álgebra I han apreciado este cuestionario rápido, ya que les ayudó a evaluar / revisar su comprensión de Factorizar trinomios con a = 1 con GCF.

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Factorización de expresiones cuadráticas

Reglas de trabajo para la factorización de expresiones cuadráticas

Supongamos que karte hai ki, hume x & # 178 + bx + c ka factor karna hai a

Paso 1. Número "C" ka factor kariye.
Paso 2. "C" k 2 factor aise elegir kare. jinko Agregar ya sustraer karene par resultado "B" k igual Ho.
Por ej .: supongo que karte "C" factor k 2 s y t hai. Pestaña c = s & # 215t aur
b = s + t ya b = s - t
Yaha ye yaad rakhe ki, agar expresión cuadrática yo "C" valor ki positivo (+ c) di ho to b = s + t ka usa aur negativo (- c) ho a b = s-t ka usa karenge.
Paso 3. Ab diye gaye expresión cuadrática yo "B" ki jagah par b = s + t ya b = s - t rakhe.
Por ej .: x & # 178 + (s + t) x + c
Paso 4. Ab 2-2 grupo ki banaye. Yahi bana grupo diye huye expresión cuadrática factores ka hai.

Pregunta relacionada con la expresión cuadrática con solución

Q-4. x & # 178-25x-84 factor ka kariye.

Sol.-: b = -25 aur c = -84
Factores de "c" = 84 = 21 & # 2154
aur "b" = 25 = 21 + 4
x & # 178-25x-84 = x & # 178- (21 + 4) x-84
= x & # 178-21x-4x-84
= (x & # 178-21x) - (4x + 84)
= x (x-21) -4 (x-21)
= (x-21) (x-4) Respuesta.

Q-5. x & # 178 + 4x-45 ka gununkhand encuentra kijiye.

Sol.-: b = 4 aur c = -45
Factores de "c" = 45 = 9 & # 2155
aur "b" = 4 = 9-5
x & # 178 + 4x-45 = x & # 178 + (9-5) x-45
= x & # 178 + 9x-5x-45
= (x & # 178 + 9x) - (5x + 45)
= x (x + 9) -5 (x + 9)
= (x + 9) (x-5) Respuesta.

Q-9. Hallar los factores de x & # 178-14x-48

Sol.-: b = -14 aur c = -48
Factores de "c" = 48 = 6 & # 2158
aur "b" = 14 = 6 + 8
x & # 178-14x-48 = x & # 178- (6 + 8) x-48
= x & # 178-6x-8x-48
= (x & # 178-6x) - (8x + 48)
= x (x-6) -8 (x-6)
= (x-6) (x-8) Respuesta.

Q-10. x & # 178-14x + 49 ka gununkhand kijiye.

Sol.-: b = -14 aur c = 49
Factores de "c" = 49 = 7 & # 2157
aur "b" = 14 = 7 + 7
x & # 178-14x + 49 = x & # 178- (7 + 7) x + 49
= x & # 178-7x-7x + 49
= (x & # 178-7x) - (7x-49)
= x (x-7) -7 (x-7)
= (x-7) (x-7) Respuesta.
O
= (x-7) & # 178 Respuesta.


II: Funciones

Descripción general

Esta categoría de contenido tiene alrededor de 18 preguntas. Estas preguntas representan el 30% de todo el examen.

Exploremos algunos conceptos específicos de esta categoría de contenido que es probable que aparezcan en la prueba.

Dominio y rango

El dominio de una función son todos los valores de x de la función. El rango de una función son todos los valores y de la función. El dominio y el rango se pueden encontrar a partir de una regla de función, un gráfico, un conjunto de pares ordenados o de una tabla.

Para el dominio, el valor de x mínimo que toca el gráfico es -7, pero este punto se incluye en el gráfico debido al punto abierto. El mayor valor de x es 1. El dominio son todos los valores de x entre -7 y 1, incluido 1 pero no -7. Este dominio se puede escribir como

Para el rango del gráfico anterior, el valor de y mínimo es -8 y el valor de y mayor es 0. El rango son todos los valores de y entre -8 y 0, incluidos. Este rango se puede escribir como R: -8 ≤ y ≤ 0.

Encuentre el dominio y rango de f (x) = x² & # 8211 3x + 2.

  • Dado que este es un polinomio sin restricciones en el dominio, el dominio puede ser todos números reales.
  • El rango también son todos los números reales.

Encuentre el dominio y rango de f (x) = (x & # 8211 2) / (x + 3)

  • Esta es una función racional, por lo que en x = -3, el denominador es igual a 0, lo que hace que la función no esté definida aquí debido a una asíntota vertical en la gráfica. El dominio de la función son todos los números reales excepto x = -3.
  • El rango son todos los números reales excepto y = 1, donde se ubica una asíntota horizontal.

De un conjunto de pares ordenados:

  • Encuentre el dominio y rango del conjunto <(2, 3), (-1, 2), (3, -4)>.
  • El dominio es el conjunto de todos los valores de x: D =
  • El rango es el conjunto de todos los valores de y: R =

Funciones pares e impares

Una función par es una función que cuando se grafica tiene simetría en el eje y.

Algebraicamente, para identificar si una función es par, sustituya una (-x) en lugar de cada (x) en la función. Si la función es par, entonces f (-x) = f (x)

Ejemplo: Determine si f (x) = x² + 4 es par.

  • Sustituye (-x) por cada (x): f (-x) = (-x) ² + 4 = x² + 4 = f (x).
  • Dado que la función original resulta después de sustituir en (-x), la función es par.

Una función impar es una función que cuando se grafica tiene simetría con respecto al origen. Algebraicamente, para identificar una función como impar, sustituya una (-x) en lugar de cada (x) en la función. Si la función es impar, entonces f (-x) = -f (x).

Ejemplo: Determine si la función f (x) = x³ & # 8211 x es impar.

  • Sustituye (-x) por cada (x): f (-x) = (-x) ³ & # 8211 (-x) = -x³ + x.
  • Factoriza uno negativo: f (-x) = - (x³ & # 8211 x) = -f (x).
  • Dado que la función resultante es -f (x) o negativa de la función original, la función es impar.

Es posible que una función sea ninguno de los dos par o impar.

Ejemplo: ¿Es f (x) = x³ & # 8211 1 par, impar o ninguna de las dos?

Primero, sustituya (-x) por cada (x). f (-x) = (-x) ³ & # 8211 1 = -x³ -1. Esta no es la función original, por lo que la función no es uniforme.

Para comprobar si la función es impar, intente factorizar una negativa: f (-x) = - (x³ +1). Esta no es la función original multiplicada por uno negativo, por lo que la función no es impar. Este es un ejemplo de una función que es ninguno de los dos par o impar.

Escribir una función

Una función es una regla para representar una relación entre dos cantidades. Una función se puede escribir a partir de una tabla de valores.

Ejemplo 1: Dada la tabla siguiente, encuentre la regla de función que muestra la relación entre x y f (x).

Observe que la intersección con el eje y está en (0,3). A medida que cada x aumenta en dos, cada valor de y aumenta en 4. Esto muestra que la pendiente es m = 4/2 = 2.

La tabla representa una función lineal que se puede escribir en forma pendiente-intersección, y = mx + b donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.

La función que representa la relación de las cantidades en esta tabla es

Ejemplo 2: Usando la tabla de valores a continuación, escriba una función para describir la relación entre x y f (x).

Para esta tabla, observe que cada valor de y se multiplica por 2 a medida que el valor de x aumenta en uno. Este es un ejemplo de función exponencial.

La intersección con el eje y está ubicada en (0, 4). El modelo para una función exponencial es y = a (b) ˣ donde a es el valor inicial y b es el factor de cambio.

Para esta función, a = 4 y b = 2, entonces la función que representa la relación de esta tabla es f (x) = 4 (2) ˣ.

Encontrar lo inverso

Una función tiene una inversa si su gráfico pasa la prueba de la línea horizontal, lo que significa que se puede dibujar una línea horizontal en cualquier lugar del gráfico y solo tocar una vez.

Algebraicamente, para cada valor de y, solo hay un valor de x.

Para encontrar la inversa de una función:

Ejemplo: Encuentre la inversa de f (x) = 2x & # 8211 5.

  • Primero llame a f (x) = y, y = 2x & # 8211 5.
  • Ahora, cambie la x y la y, de modo que x = 2y & # 8211 5.
  • Resuelva para la "nueva y", y = (x + 5) / 2.
  • Llame a esta nueva ecuación f⁻¹ (x) = (x + 5) / 2.

Funciones lineales frente a funciones exponenciales

Una función lineal crece por una diferencia común, o el mismo número sumado o restado del número anterior.

Para la función lineal f (x) = 3x & # 8211 2, haz una tabla de valores.

Observe cómo por cada cambio en x de 1, el valor de y, o valor de salida, cambia en 3.

Una función exponencial cambia por factores iguales o multiplicando por el mismo número.

Para f (x) = 3ˣ, haz una tabla de valores.

Observe cómo por cada cambio en x de uno, el cambio en el valor de y, o la salida, se multiplica por 3.

Y esa es información básica sobre la categoría de contenido de Funciones.


El modelo representa la factorización de 2x2 + 5x + 3. Una configuración de mosaico de álgebra. 4 fichas están en el lugar de Factor 1: 2 + x fichas,

A partir de la ecuación 2x² + 5x + 3, podemos determinar a, byc a partir de la ecuación cuadrática general, a saber, ax² + bx + c:

a = 2, b = 5, c = 3

Primero, encuentre dos números que multiplicar dar a x c y agregar dar B.

buscamos un factor de 6 que cuando se sumamos obtiene el número 5

un factor de 6: 1,2,3,6

de estos factores que pueden sumarse a 5 son 2 y 3

Entonces la forma de la ecuación se convierte en:

(x + 1) - & gt común a ambos términos

Usamos el principio de propiedad distributiva de la suma.

ax (b + c) = axb + axc - & gt a = x + 1

entonces los factores : (2x + 3) (x + 1)

Aprende más

Máximo común divisor

Palabras clave: factorización, polinomio, ecuación cuadrática.


6.3: Factorizar ax² + bx + c cuando a = 1 - Matemáticas

2.1.1: determinar las propiedades básicas de las relaciones cuadráticas

2.1.2: relacionar las transformaciones de la gráfica de y = x² con la representación algebraica y = a (x - h) ² + k

2.1.4: resolver problemas de relaciones cuadráticas.

2.2: Investigación de las propiedades básicas de las relaciones cuadráticas

2.2.1: recopilar datos que puedan representarse como una relación cuadrática, de experimentos que utilicen equipos y tecnología apropiados (por ejemplo, materiales de hormigón, sondas científicas, calculadoras gráficas), o de fuentes secundarias (por ejemplo, Internet, Statistics Canada) datos y dibuje una curva de mejor ajuste, si corresponde, con o sin el uso de tecnología (Problema de muestra: Haga una rampa de 1 m que forme un ángulo de 15 ° con el piso. Coloque una lata 30 cm arriba de la rampa. se necesita para que la lata ruede hasta el fondo. Repita colocando la lata 40 cm, 50 cm y 60 cm arriba de la rampa, y así sucesivamente. Grafique los datos y dibuje la curva de mejor ajuste).

2.2.2: determinar, a través de la investigación con y sin el uso de tecnología, que una relación cuadrática de la forma y = ax² + bx + c (un "no igual a" 0) se puede representar gráficamente como una parábola, y que el La tabla de valores produce una segunda diferencia constante (Problema de muestra: Grafique la relación y = x² - 4x desarrollando una tabla de valores y trazando puntos. Observe la forma del gráfico. Calcule la primera y la segunda diferencia. Repita para diferentes relaciones cuadráticas. Describa sus observaciones y sacar conclusiones, utilizando la terminología adecuada.)

2.2.3: identifique las características clave de una gráfica de una parábola (es decir, la ecuación del eje de simetría, las coordenadas del vértice, la intersección con el eje y, los ceros y el valor máximo o mínimo) y utilice la terminología apropiada para describirlos

2.3: Relacionar la gráfica de y = x² y sus transformaciones

2.3.1: identificar, a través de la investigación usando tecnología, el efecto en la gráfica de y = x² de las transformaciones (es decir, traslaciones, reflejos en el eje x, estiramientos verticales o compresiones) considerando por separado cada parámetro a, h y k [es decir, investigue el efecto en la gráfica de y = x² de a, h y k en y = x² + k, y = (x - h) ² e y = ax²]

2.3.2: explicar los roles de a, h y k en y = a (x - h) ² + k, usando la terminología apropiada para describir las transformaciones, e identificar el vértice y la ecuación del eje de simetría

2.3.3: dibuje a mano la gráfica de y = a (x - h) ² + k aplicando transformaciones a la gráfica de y = x² [Problema de muestra: dibuje la gráfica de y = - 1/2 (x - 3) ² + 4, y verificar usando tecnología.]

2.3.4: determinar la ecuación, en la forma y = a (x - h) ² + k, de una gráfica dada de una parábola.

2.4: Resolver ecuaciones cuadráticas

2.4.1: expandir y simplificar expresiones polinomiales de segundo grado [p. Ej., (2x + 5) ², (2x - y) (x + 3y)], usando una variedad de herramientas (p. Ej., Fichas de álgebra, diagramas, sistemas de álgebra por computadora , papel y lápiz) y estrategias (p. ej., patrones)

2.4.2: Expresiones de polinomios factoriales que involucran factores comunes, trinomios y diferencias de cuadrados [por ejemplo, 2x² + 4x, 2x - 2y + ax - ay, x² - x - 6, 2a² + 11a + 5, 4x² - 25], usando una variedad de herramientas (p. ej., materiales concretos, sistemas de álgebra computarizada, papel y lápiz) y estrategias (p. ej., patrones)

2.4.3: determinar, a través de la investigación, y describir la conexión entre los factores de una expresión cuadrática y las intersecciones con el eje x (es decir, los ceros) de la gráfica de la relación cuadrática correspondiente, expresada en la forma y = a (x - r) (x - s)

2.4.4: interpretar raíces reales y no reales de ecuaciones cuadráticas, a través de la investigación utilizando tecnología gráfica, y relacionar las raíces con las intersecciones con el eje x de las relaciones correspondientes.

2.4.5: express y = ax² + bx + c in the form y = a(x - h)² + k by completing the square in situations involving no fractions, using a variety of tools (e.g. concrete materials, diagrams, paper and pencil)

2.4.6: sketch or graph a quadratic relation whose equation is given in the form y = ax² + bx + c, using a variety of methods (e.g., sketching y = x² - 2x - 8 using intercepts and symmetry sketching y = 3x² - 12x + 1 by completing the square and applying transformations graphing h = -4.9t² + 50t + 1.5 using technology)

2.4.7: explore the algebraic development of the quadratic formula (e.g., given the algebraic development, connect the steps to a numerical example follow a demonstration of the algebraic development [student reproduction of the development of the general case is not required])

2.4.8: solve quadratic equations that have real roots, using a variety of methods (i.e., factoring, using the quadratic formula, graphing) (Sample problem: Solve x² + 10x + 16 = 0 by factoring, and verify algebraically. Solve x² + x - 4 = 0 using the quadratic formula, and verify graphically using technology. Solve -4.9t² + 50t + 1.5 = 0 by graphing h = -4.9t² + 50t + 1.5 using technology.).

2.5: Solving Problems Involving Quadratic Relations

2.5.1: determine the zeros and the maximum or minimum value of a quadratic relation from its graph (i.e., using graphing calculators or graphing software) or from its defining equation (i.e., by applying algebraic techniques)

2.5.2: solve problems arising from a realistic situation represented by a graph or an equation of a quadratic relation, with and without the use of technology (e.g., given the graph or the equation of a quadratic relation representing the height of a ball over elapsed time, answer questions such as the following: What is the maximum height of the ball? After what length of time will the ball hit the ground? Over what time interval is the height of the ball greater than 3 m?).

3: Analytic Geometry

3.1: Overall Expectations

3.1.3: verify geometric properties of triangles and quadrilaterals, using analytic geometry.

3.2: Using Linear Systems to Solve Problems

3.2.1: solve systems of two linear equations involving two variables, using the algebraic method of substitution or elimination (Sample problem: Solve y = 1/2x - 5, 3x + 2y = -2 for x and y algebraically, and verify algebraically and graphically)

3.2.2: solve problems that arise from realistic situations described in words or represented by linear systems of two equations involving two variables, by choosing an appropriate algebraic or graphical method (Sample problem: The Robotics Club raised $5000 to build a robot for a future competition. The club invested part of the money in an account that paid 4% annual interest, and the rest in a government bond that paid 3.5% simple interest per year. After one year, the club earned a total of $190 in interest. How much was invested at each rate? Verify your result.).

3.3: Solving Problems Involving Properties of Line Segments

3.3.2: develop the formula for the length of a line segment, and use this formula to solve problems (e.g., determine the lengths of the line segments joining the midpoints of the sides of a triangle, given the coordinates of the vertices of the triangle, and verify using dynamic geometry software)

3.3.3: develop the equation for a circle with centre (0, 0) and radius r, by applying the formula for the length of a line segment

3.3.4: Determine the radius of a circle with centre (0, 0), given its equation write the equation of a circle with centre (0, 0), given the radius and sketch the circle, given the equation in the form x² + y² = r²

3.3.5: solve problems involving the slope, length, and midpoint of a line segment (e.g., determine the equation of the right bisector of a line segment, given the coordinates of the endpoints determine the distance from a given point to a line whose equation is given, and verify using dynamic geometry software).

3.4: Using Analytic Geometry to Verify Geometric Properties

3.4.1: determine, through investigation (e.g., using dynamic geometry software, by paper folding), some characteristics and properties of geometric figures (e.g., medians in a triangle, similar figures constructed on the sides of a right triangle)

3.4.2: verify, using algebraic techniques and analytic geometry, some characteristics of geometric figures (e.g., verify that two lines are perpendicular, given the coordinates of two points on each line verify, by determining side length, that a triangle is equilateral, given the coordinates of the vertices)

4: Trigonometry

4.1: Overall Expectations

4.1.1: use their knowledge of ratio and proportion to investigate similar triangles and solve problems related to similarity

4.1.2: solve problems involving right triangles, using the primary trigonometric ratios and the Pythagorean theorem

4.2: Investigating Similarity and Solving Problems Involving Similar Triangles

4.2.1: verify, through investigation (e.g., using dynamic geometry software, concrete materials), the properties of similar triangles (e.g., given similar triangles, verify the equality of corresponding angles and the proportionality of corresponding sides)

4.2.2: describe and compare the concepts of similarity and congruence

4.2.3: solve problems involving similar triangles in realistic situations (e.g., shadows, reflections, scale models, surveying) (Sample problem: Use a metre stick to determine the height of a tree, by means of the similar triangles formed by the tree, the metre stick, and their shadows.).

4.3: Solving Problems Involving the Trigonometry of Right Triangles

4.3.1: determine, through investigation (e.g., using dynamic geometry software, concrete materials), the relationship between the ratio of two sides in a right triangle and the ratio of the two corresponding sides in a similar right triangle, and define the sine, cosine, and tangent ratios (e.g., sin A = opposite/hypotenuse)

4.3.2: determine the measures of the sides and angles in right triangles, using the primary trigonometric ratios and the Pythagorean theorem

4.3.3: solve problems involving the measures of sides and angles in right triangles in reallife applications (e.g., in surveying, in navigating, in determining the height of an inaccessible object around the school), using the primary trigonometric ratios and the Pythagorean theorem.

4.4: Solving Problems Involving the Trigonometry of Acute Triangles

4.4.2: explore the development of the cosine law within acute triangles (e.g., use dynamic geometry software to verify the cosine law follow the algebraic development of the cosine law and identify its relationship to the Pythagorean theorem and the cosine ratio [student reproduction of the development of the formula is not required])

4.4.4: solve problems involving the measures of sides and angles in acute triangles.


Q: Given x= -2, evaluate the following functions f(x)=x-3

R: Haga clic para ver la respuesta

Q: Write the terms of the following sums. 1j+2

Q: The perimeter of the isosceles triangle with base length z-7 and legs of length z

A: Given: In an isosceles triangle, Base length = z-7 and Legs of length = z

Q: Solve the equation for y.

A: We are solving the first three questions and for the next questions post the question againand also .

Q: Graph the system of inequalities. Find the coordinates of any vertices formed. 20- ys 5x + 1 y2 - 5x.

A: Given inequalities, y≤5x+1y≥-5x+1x≤3

Q: The diagram shows part of the curve y = and its maximum point M. x² +1 The shaded region R is bounde.

R: Haga clic para ver la respuesta

R: Haga clic para ver la respuesta

Q: Given: csc (6) =, find sin (8) a. 7 b. 2 2 c. D. Answer Unavailable

A: Given data is : cosθ=72 Using trigonometric identity : sin2θ+cos2θ=1sin2θ=1-cos2θsinθ=1-cos2θ


How do you factor ax2 BX C?

The Quadratic Formula uses the "a", "b", and "C" from "ax 2 + bx + C", where "a", "b", and "C" are just numbers they are the "numerical coefficients" of the quadratic equation they've given you to solve.

Also Know, what is quadratic equation in math? A quadratic equation es un equation of the second degree, meaning it contains at least one term that is squared. The standard form is ax² + bx + c = 0 with a, b, and c being constants, or numerical coefficients, and x is an unknown variable.

Keeping this in view, what is the factoring method?

A common method de factoring numbers is to completely factor the number into positive prime factors. A prime number is a number whose only positive factors are 1 and itself. For example, 2, 3, 5, and 7 are all examples of prime numbers. Factoring polynomials is done in pretty much the same manner.

What is the first step when factoring the trinomial?

Paso 1 (trinomial): Set up a product of two ( ) where each will hold two terms. Paso 2 (trinomial): Find the factors that go in the primero positions. Paso 3 (trinomial): Find the factors that go in the last positions. We need two numbers whose product is -20 and sum is 1.


Quadratic Factorisation with &aposWrecks Factor&apos

Use your factoring skills to 'draw' a search area for the rescue chopper. The side lengths of the search area represents the linear factors for the quadratic.

In this maths game you are the chief of rescue operations for the Bermuda Rectangle. Your task is to protect the ships crossing this notorious body of water, keeping watch for any vessels that fall prey to its strange and terrifying phenomena. Stricken ships will transmit their search area coordinates encoded as a quadratic expression. You must decipher the code before the ship sinks, and dispatch a rescue chopper to locate life rafts and save the crew.

  • Point andhold down your mouse button then drag across the sinking ship to form a rectangular search area. Ensure that the search area encompasses the sinking ship you are trying to 'rescue'.
  • Release your mouse button when the side lengths of the rectangle corresponds to the quadratic's factors.
  • The direction in which you drag the mouse determine whether the number terms are positive, negative or both
  • Correctly factorised quadratic will:
    • dispatch a rescue helicopter to scour the search area for life rafts and rescue survivors
    • add point to your score
    • add extra time to the timer
    • add a life-ring to the 'Multiplier bar' (top left hand corner of the screen). The Multiplier is applied to any points you earn.
    • sound a warning, and ship continues sinking
    • have seconds deducted from the timer
    • have three life-rings deducted from the 'Multiplier bar' (If the bar drops to or beyond empty then your Multiplier decreases.

    SCORING INFORMATION

    There are 4 modes to this game. Complete the relevant mode and beat the Target Score to earn a medal ( Bronze , Silver , GRAMOold ).

    • Mode 1: Quadratic factorising like (x + 2)(x + 3) >> Target Score >>> 175,000 (B) , 375,000 (S) , 800,000 (GRAMO)
    • Mode 2:Quadratic factorising like (x - 3)(x + 2) >> Target Score >>> 150,000 (B) , 325,000 (S) , 700,000 (GRAMO)
    • METROode 3:Quadratic factorising like (2x + 1)(x - 3) >> Target Score >>> 125,000 (B) , 275,000 (S) , 600,000 (GRAMO)
    • METROode 4:Quadratic factorising like 2(3x - 1)(x + 2) >> Target Score >>> 100,000 (B) , 225,000 (S) , 500,000 (GRAMO)

    SCORING INFORMATION

    The total number of points earned for each rescued ship is calculated as:

    Total Score = Base Score × Difficulty) + Link Score

    • Base Score - there are four different types of ship sailing the Bermuda Rectangle. Each moves at a different speed and sinks at a different rate, and so is worth a different ‘base score’ if rescued:
    • Difficulty - there are 4 difficulty levels. Getting three correct answers in a row makes you go up a difficulty level, two incorrect answers in a row makes you go down. />
    • Link Bonus. After correctly answering a question the cells in that selection light up for 8 seconds. If within that time you get another correct answer, and the selection includes any of those cells, you get an extra 100 points.

    Path to College Mathematics, 1st edition

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