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6.2: Resolución de ecuaciones no lineales


Comenzamos presentando una propiedad que se utilizará ampliamente en esta y futuras secciones.

La propiedad del producto cero

Si el producto de dos o más números es igual a cero, entonces al menos uno de los números debe ser igual a cero. Es decir, si

(ab = 0 )

luego

(a = 0 ) o (b = 0 )

Usemos el propiedad de producto cero para resolver algunas ecuaciones.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Resolver para (x ): ((x + 3) (x-5) = 0 )

Solución

El producto de dos factores es igual a cero.

[(x + 3) (x-5) = 0 nonumber ]

Por tanto, al menos uno de los factores debe ser igual a cero. Usando la propiedad del producto cero, iguale cada factor a cero, luego resuelva las ecuaciones resultantes para (x ).

[ begin {alineado} x + 3 & = 0 x & = - 3 end {alineado} nonumber ]

o

[ begin {alineado} x-5 & = 0 x & = 5 end {alineado} nonumber ]

Por tanto, las soluciones son (x = −3 ) y (x = 5 )

Cheque:

Verifica que cada solución satisfaga la ecuación original.

Sustituye (- 3 ) por (x ):

[ begin {alineado} (x + 3) (x-5) & = 0 (- 3 + 3) (- 3-5) & = 0 (0) (- 8) & = 0 0 & = 0 end {alineado} nonumber ]

Sustituye (5 ) por (x ):

[ begin {alineado} (x + 3) (x-5) & = 0 (5 + 3) (5-5) & = 0 (8) (0) & = 0 0 & = 0 end {alineado} nonumber ]

Debido a que cada verificación produce un enunciado verdadero, tanto (x = −3 ) como (x = 5 ) son soluciones de ((x + 3) (x − 5) = 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Resolver para x: ((x-7) (x-2) = 0 )

Respuesta

(7), (2)

La propiedad del producto cero también funciona igual de bien si hay más de dos factores presentes. Por ejemplo, si (abc = 0 ), entonces (a = 0 ) o (b = 0 ) o (c = 0 ). Usemos esta idea en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Resolver para (x ): (x (2x + 9) (3x − 5) = 0 )

Solución

El producto de tres factores es igual a cero.

[x (2x + 9) (3x − 5) = 0 nonumber ]

Usando la propiedad del producto cero, iguale cada factor a cero, luego resuelva las ecuaciones resultantes para (x ).

[x = 0 nonumber ]

o

[ begin {align *} 2x + 9 & = 0 2x & = -9 x & = - dfrac {9} {2} end {align *} nonumber ]

o

[ begin {align *} 3x - 5 & = 0 3x & = 5 x & = dfrac {5} {3} end {align *} nonumber ]

Por tanto, las soluciones son (x = 0 ), (x = −9/2 ) y (x = 5/3 ). Animamos al lector a comprobar la solución.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Resolver para (x ): (6x (x + 4) (5x + 1) = 0 )

Respuesta

(0), (−4), (−1/5)

Lineal versus no lineal

Todas las ecuaciones resueltas en capítulos anteriores eran ejemplos de lo que se llama ecuaciones lineales. Si la potencia más alta de la variable que estamos resolviendo es uno, entonces las gráficas involucradas son líneas. De ahí el término ecuación lineal. Sin embargo, si la potencia de la variable que estamos resolviendo excede uno, entonces los gráficos involucrados son curvas. De ahí el término ecuación no lineal. En este capítulo aprenderemos cómo resolver ecuaciones no lineales que involucran polinomios. Sin embargo, primero asegurémonos de que podemos reconocer la diferencia entre una ecuación lineal y una no lineal.

Definición: ecuaciones lineales versus no lineales

Utilice las siguientes condiciones para determinar si una ecuación es lineal o no lineal.

  1. Si la potencia más alta de la variable que estamos resolviendo es uno, entonces la ecuación es lineal.
  2. Si la potencia más alta de la variable que estamos resolviendo es mayor que uno, entonces la ecuación es no lineal.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Si la instrucción es "resolver para (x )", clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales.

  1. (3x − 5 = 4−7x )
  2. (x ^ 2 = 8x )

Solución

Debido a que la instrucción es "resolver para (x )", para determinar si la ecuación es lineal o no lineal, identificamos la potencia más grande de (x ) presente en la ecuación.

  1. La potencia más alta de (x ) presente en la ecuación (3x− 5 = 4− 7x ) es uno. Por tanto, esta ecuación es lineal.
  2. La ecuación (x ^ 2 = 8 x ) contiene una potencia de (x ) mayor que uno (contiene una (x ^ 2 )). Por tanto, esta ecuación no es lineal.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Clasifica la siguiente ecuación como lineal o no lineal: (2x = x ^ 3 −4 )

Respuesta

no lineal

Ahora que podemos clasificar las ecuaciones como lineal o no lineal, introduzcamos estrategias para resolver cada tipo, la primera de las cuales ya debería resultarle familiar.

Estrategia para resolver una ecuación lineal

Si una ecuación es lineal, comience el proceso de solución moviendo todos los términos que contienen la variable que está resolviendo a un lado de la ecuación, luego mueva todos los términos que no contienen la variable que está resolviendo al otro lado de la ecuación.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Resolver para (x ): (3 x − 5 = 4−7x )

Solución

Debido a que la instrucción es “resolver para (x )” y notamos que la potencia más grande de (x ) presente es uno, la ecuación (3x − 5 = 4−7x ) es lineal. Por lo tanto, la estrategia es mover todos los términos que contienen (x ) a un lado de la ecuación, luego mover todos los términos restantes al otro lado de la ecuación.

[ begin {array} {rlrl} {3 x-5} & {= 4-7 x} & { color {Red} text {Ecuación original. }} {3 x-5 + 7 x} & {= 4} & { color {Red} text {Add} 7 x text {en ambos lados. }} {3 x + 7 x} & {= 4 + 5} & { color {Red} text {Add} 5 text {en ambos lados. }} end {matriz} nonumber ]

Observe cómo hemos logrado mover todos los términos que contienen (x ) a un lado de la ecuación y todos los términos que no contienen (x ) al otro lado de la ecuación.

[ begin {array} {rlrl} {10 x} & {= 9} & {} & { color {Red} text {Simplifica ambos lados. }} {x} & {= dfrac {9} {10}} & {} & { color {Red} text {Divide ambos lados entre} 10.} end {array} nonumber ]

Por tanto, la solución de (3x − 5 = 4−7x ) es (x = 9/10 ). Se anima a los lectores a comprobar esta solución.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Agregue el texto de los ejercicios aquí.

Respuesta

(1/4)

La situación es muy diferente cuando la ecuación no es lineal.

Estrategia para resolver una ecuación no lineal

Si una ecuación es no lineal, primero mueva todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado de la ecuación sea igual a cero. Continuar el proceso de solución factorizando y aplicando el cero propiedad del producto.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Resolver para (x ): (x ^ 2 = 8x )

Solución

Debido a que la instrucción es "resolver para (x )", y la potencia más alta de (x ) es mayor que uno, la ecuación (x ^ 2 = 8x ) no es lineal. Por lo tanto, la estrategia requiere que mueva todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo un lado cero.

[ begin {array} {rlrl} {x ^ {2}} & {= 8 x} quad { color {Red} text {Ecuación original. }} {x ^ {2} -8 x} & {= 0} quad { color {Red} text {Resta} 8 x text {de ambos lados. }} end {matriz} nonumber ]

Observe cómo hemos logrado mover todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero. Para terminar la solución, factorizamos el ( mathrm {GCF} ) en el lado izquierdo.

[x (x-8) = 0 quad color {Red} text {Factoriza el MCD.} nonumber ]

Tenga en cuenta que ahora tenemos un producto de dos factores que es igual a cero. Según la propiedad del producto cero, el primer factor es cero o el segundo factor es cero.

[ begin {array} {r} {x = 0 quad text {o} quad x-8 = 0} {x = 8} end {array} nonumber ]

Por tanto, las soluciones son (x = 0 ) y (x = 8 ).

Cheque:

Verifica que cada solución satisfaga la ecuación original.

[ begin {array} {l} { text {Sustituir} 0 text {para} x:} { qquad begin {alineado} x ^ {2} & = 8 x (0) ^ {2} & = 8 (0) 0 & = 0 end {alineado}} end {matriz} nonumber ]

[ begin {array} {l} { text {Sustituir} 8 text {para} x:} { qquad begin {alineado} x ^ {2} & = 8 x (8) ^ {2} & = 8 (8) 64 & = 64 end {alineado}} end {matriz} nonumber ]

Tenga en cuenta que ambos resultados son afirmaciones verdaderas, lo que garantiza que tanto (x = 0 ) como (x = 8 ) son soluciones de (x ^ 2 = 8x )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Resolver para (x ): (x ^ 2 = −5x )

Respuesta

(0), (-5)

¡Advertencia!

¡Lo siguiente es incorrecto!

Considere lo que sucedería si dividiéramos ambos lados de la ecuación (x ^ 2 = 8x ) en el Ejemplo ( PageIndex {5} ) por (x ):

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 8 x dfrac {x ^ {2}} {x} & = dfrac {8 x} {x} x & = 8 end { alineado} nonumber ]

Tenga en cuenta que hemos perdido la segunda respuesta que se encuentra en el ejemplo ( PageIndex {5} ), (x = 0 ). ¡Este ejemplo demuestra que nunca debes dividir por la variable que estás resolviendo! Si lo hace y se produce la cancelación, perderá las respuestas.

Intentemos resolver una ecuación no lineal que requiera factorizar por agrupación.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Resolver para (x ): (6x ^ 2 + 9x − 8x − 12 = 0 )

Solución

Debido a que estamos resolviendo para (x ) y hay una potencia de (x ) mayor que uno, esta ecuación no es lineal. Por lo tanto, el primer paso es mover todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero. Bueno, eso ya está hecho, así que factoricemos el lado izquierdo agrupando. Tenga en cuenta que podemos factorizar (3x ) de los dos primeros términos y (- 4 ) de los dos segundos.

Factoriza el factor común (2x + 3 ).

[(3x-4) { color {Red} (2x + 3)} = 0 nonumber ]

Ahora tenemos un producto de dos factores que es igual a cero. Utilice la propiedad del producto cero para escribir:

[ begin {alineado} 3x-4 & = 0 3x & = 4 x & = dfrac {4} {3} end {alineado} nonumber ]

o

[ begin {alineado} 2x + 3 & = 0 2x & = -3 x & = - dfrac {3} {2} end {alineado} ]

Por tanto, las soluciones son (x = 4/3 ) y (x = −3 / 2 ).

Cheque:

Usemos la calculadora gráfica para verificar la solución (x = 4/3 ). Primero, almacene la solución (4/3 ) en la variable ( mathbb {X} ) usando las siguientes combinaciones de teclas (vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {1} ).

Por lo tanto, la solución (x = 4/3 ) verifica. Se anima a los lectores a utilizar sus calculadoras gráficas para comprobar la segunda solución, (x = −3/2 ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resolver para (x ): (5x ^ 2 −20x − 4x + 16 = 0 )

Respuesta

(4/5), (4)

Usar la calculadora gráfica

En esta sección emplearemos dos rutinas de calculadora diferentes para encontrar la solución de una ecuación no lineal. Antes de tomar la calculadora, usemos primero un método algebraico para resolver la ecuación (x ^ 2 = −5x ). La ecuación no es lineal, por lo que el primer paso es mover todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero.

[ begin {alineado} x ^ {2} & = -5x quad color {Rojo} text {No lineal. Haz un lado cero. } x ^ {2} +5 x & = 0 quad color {Red} text {Add} 5x text {en ambos lados. } x (x + 5) & = 0 quad color {Red} text {Factoriza el MCD. } end {alineado} nonumber ]

Utilice la propiedad del producto cero, establezca cada factor en cero y luego resuelva las ecuaciones resultantes para (x ).

[x = 0 nonumber ]

o

[ begin {alineado} x + 5 & = 0 x & = - 5 end {alineado} nonumber ]

Por tanto, las soluciones son (x = 0 ) y (x = −5 ).

Ahora usaremos la calculadora para encontrar las soluciones de (x ^ 2 = −5x ). La primera técnica emplea la 5: intersección rutina en la calculadora CALC menú.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Utilizar el 5: intersección utilidad en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = −5x ) para (x ).

Solución

Cargue el lado izquierdo de (x ^ 2 = −5x ) en ( mathbb {Y1} ) y el lado derecho en ( mathbb {Y2} ) (vea la Figura ( PageIndex {2} )). Seleccionar 6: ZEstándar desde el ZOOM El menú produce los gráficos que se muestran en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {2} ).

Tenga en cuenta que la gráfica de (y = x ^ 2 ) es una parábola que se abre hacia arriba, con el vértice (punto de inflexión) en el origen. Esta gráfica revela por qué la ecuación (x ^ 2 = −5x ) se llama ecuación no lineal (no todas las gráficas involucradas son líneas). Luego, la gráfica de (y = −5x ) es una línea con pendiente (- 5 ) y (y ) - intersección en el origen.

Los dos gráficos obviamente se cruzan en el origen, pero también parece que puede haber otro punto de intersección que está fuera de la pantalla. Aumentemos ( mathbb {Ymax} ) en un intento de revelar el segundo punto de intersección. Después de un poco de experimentación, la configuración que se muestra en la primera imagen de la Figura ( PageIndex {3} ) revela ambos puntos de intersección. Empujando el GRAFICO El botón produce la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {3} ).

Para encontrar las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ), debemos encontrar las coordenadas de los puntos donde las gráficas de (y = x ^ 2 ) y (y = −5x ) se cruzan. La coordenada (x ) - de cada punto de intersección será una solución de la ecuación (x ^ 2 = −5x ).

  • Empiece por seleccionar 5: intersección desde el CALC menú. Cuando se le solicite "¿Primera curva?", Presione INGRESAR. Cuando se le solicite "¿Segunda curva?", Presione INGRESAR. Cuando se le solicite un "Adivinar", presione INGRESAR. El resultado es el punto ((0,0) ) que se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {4} ).
  • Repite el proceso una segunda vez. Seleccione 5: intersección desde el CALC menú. Cuando se le solicite un "Adivinar", use la tecla de flecha izquierda para mover el cursor más cerca del punto de intersección más a la izquierda, luego presione INGRESAR. El resultado es el punto ((- 5,25) ) que se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {4} ).

Informar la solución en su tarea:

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Utilice una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada las curvas.

  • Rotule los ejes horizontal y vertical con (x ) y (y ), respectivamente (vea la Figura ( PageIndex {5} )).
  • Coloque su VENTANA parámetros al final de cada eje (ver Figura ( PageIndex {5} )).
  • Rotule cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {5} )).
  • Coloca líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección. Sombrea y rotula los valores (x ) - de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ) -. Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ) (vea la Figura ( PageIndex {5} )).

Por tanto, las soluciones de (x ^ 2 = −5x ) son (x = −5 ) y (x = 0 ). Note ahora que estos coinciden con las soluciones encontradas usando la técnica algebraica.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Utilizar el 5: intersección utilidad en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = 4x ) para (x ).

Respuesta

Antes de demostrar una segunda técnica de calculadora gráfica para resolver ecuaciones no lineales, tomemos un momento para recordar la definición de cero de una función, que se presentó por primera vez en el Capítulo 5, Sección 3.

Ceros y (x ) - intersecciones

Los puntos donde la gráfica de (f ) cruza el eje (x ) - se denominan intersecciones en (x ) - de la gráfica de (f ). El valor (x ) - de cada intersección en (x ) - se llama cero de la función (f ).

Ahora emplearemos el 2: cero utilidad de la CALC menú para encontrar las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ).

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Utilizar el 2: cero utilidad en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = −5x ) para (x ).

Solución

Primero, haz que un lado de la ecuación sea igual a cero.

[ begin {align} x ^ {2} & = - 5 x quad color {Red} text {Hacer un lado cero. } x ^ {2} +5 x & = 0 quad color {Red} text {Add} 5 x text {en ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

Para determinar los valores de (x ) que hacen (x ^ 2 + 5x = 0 ), debemos ubicar los puntos donde la gráfica de (f (x) = x ^ 2 + 5x ) cruza la (x ) - eje. Estos puntos son las intersecciones de (x ) - de la gráfica de (f ) y los valores de (x ) - de estos puntos son los ceros de la función (f ).

Cargue la función (f (x) = x ^ 2 +5 x ) en ( mathbb {Y1} ), luego seleccione 6: ZEstándar para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {6} ). Tenga en cuenta que la gráfica de (f ) tiene dos intersecciones en (x ), y los valores de (x ) - de cada uno de estos puntos son los ceros de la función (f ).

Nota

A menudo es más fácil encontrar las soluciones de una ecuación no lineal haciendo un lado cero e identificando dónde la gráfica de la función resultante cruza el eje (x ).

Seleccione 2: cero desde el CALC menú (ver Figura ( PageIndex {7} )).

  • La calculadora responde preguntando por un "Left Bound?" Use la tecla de flecha izquierda para mover el cursor de modo que quede a la izquierda de la intersección de (x ) cerca de ((- 5,0) ) (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {7 } )), luego presione el INGRESAR clave.
  • La calculadora responde preguntando por un "¿Límite correcto?" Mueva el cursor para que esté ligeramente a la derecha de la intersección con el eje x cerca de ((- 5,0) ) (vea la figura de la tercera imagen ( PageIndex {7} )), luego presione el INGRESAR clave.
  • La calculadora responde preguntando por un "¿Adivina?" Observe las dos marcas triangulares cerca de la parte superior de la ventana de visualización en la primera imagen de la Figura ( PageIndex {8} ) que marcan los límites izquierdo y derecho. Siempre que coloque el cursor de manera que el valor x de la ubicación del cursor se encuentre entre estas dos marcas, habrá hecho una suposición válida. Debido a que el cursor ya se encuentra entre estas dos marcas, generalmente lo dejamos donde está y presionamos el botón INGRESAR clave.

Después de adivinar y presionar el INGRESAR , la calculadora procede a encontrar una aproximación de la intersección de (x ) que se encuentra entre los límites izquierdo y derecho previamente marcados (ver la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {8} ). Por lo tanto, este (x ) - la intersección es ((- 5,0) ), lo que hace que (- 5 ) sea un cero de (f (x) = x ^ 2 + 5x ) y una solución de la ecuación (x ^ 2 + 5x = 0 ).

Dejaremos que nuestros lectores repitan el 2: cero proceso para encontrar el segundo cero en el origen.

Informar la solución en su tarea:

Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Utilice una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada las curvas.

  • Rotule los ejes horizontal y vertical con (x ) y (y ), respectivamente (vea la Figura ( PageIndex {9} )).
  • Coloque sus parámetros de VENTANA al final de cada eje (vea la Figura ( PageIndex {9} )).
  • Rotule cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {9} )).
  • Suelta líneas verticales punteadas a través de cada intersección en (x ). Sombrea y rotula los (x ) - valores de cada (x ) - intersección. Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = −5x ) (vea la Figura ( PageIndex {9} )).

Por tanto, las soluciones de (x ^ 2 = −5x ) son (x = −5 ) y (x = 0 ). Note lo bien que esto concuerda con las soluciones encontradas usando la técnica algebraica y las soluciones encontradas usando la 5: intersección utilidad en Ejemplo ( PageIndex {7} ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Utilizar el 2: cero utilidad en la calculadora gráfica para resolver la ecuación (x ^ 2 = 4x ) para (x ).

Respuesta


6.2: Resolución de ecuaciones no lineales

En esta sección veremos sistemas de ecuaciones no lineales. Un sistema de ecuaciones no lineal es un sistema en el que al menos una de las variables tiene un exponente distinto de 1 y / o hay un producto de variables en una de las ecuaciones.

Para resolver estos sistemas usaremos el método de sustitución o el método de eliminación que vimos por primera vez cuando resolvimos sistemas de ecuaciones lineales. La principal diferencia es que podemos terminar obteniendo soluciones complejas además de soluciones reales. Tal como vimos al resolver sistemas de dos ecuaciones, las soluciones reales representarán las coordenadas de los puntos donde se cruzan las gráficas de las dos funciones.

En los sistemas lineales teníamos la opción de utilizar cualquiera de los métodos en cualquier sistema dado. Con sistemas no lineales ese no siempre será el caso. En la primera ecuación, ambas variables están elevadas al cuadrado y en la segunda ecuación ambas variables están elevadas a la primera potencia. En otras palabras, no hay forma de que podamos usar la eliminación aquí y, por lo tanto, debemos usar la sustitución. Afortunadamente, no es tan malo para este sistema, ya que podemos resolver fácilmente la segunda ecuación para (y ) y sustituirla en la primera ecuación.

Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver.

[empezar + 1 - 4x + 4 & = 10\ 5 - 4x - 9 & = 0 izquierda ( right) left (<5x - 9> right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = - 1, , , x = frac <9> <5> final]

Entonces, tenemos dos valores de (x ). Ahora, necesitamos determinar los valores de (y ) y tendremos que tener cuidado de no cometer un error común aquí. Determinamos los valores de (y ) reemplazando (x ) en nuestra sustitución.

[x = - 1 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = 1-2 left (<- 1> right) = 3 ] [x = frac <9> <5 > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = 1-2 left ( <5>> right) = - frac <<13>> <5> ]

Ahora, solo tenemos dos soluciones aquí. No empieces a mezclar y hacer coincidir todos los valores posibles de (x ) y (y ) en soluciones. Obtenemos (y = 3 ) como una solución SOLAMENTE si (x = - 1 ) y entonces la primera solución es,

Del mismo modo, solo obtenemos (y = - frac <<13>> <5> ) SOLAMENTE si (x = frac <9> <5> ) y, por lo tanto, la segunda solución es,

Entonces, tenemos dos soluciones. Ahora, como se señaló al comienzo de esta sección, estas dos soluciones representarán los puntos de intersección de estas dos curvas. Dado que la primera ecuación es un círculo y la segunda ecuación es una línea, definitivamente es posible tener dos puntos de intersección. Aquí hay un bosquejo de las dos ecuaciones como verificación de esto.

Tenga en cuenta que cuando las dos ecuaciones son una línea y un círculo como en el ejemplo anterior, sabemos que tendremos como máximo dos soluciones reales, ya que solo es posible que una línea cruce un círculo cero, una o dos veces.

Bien, en este caso tenemos una hipérbola (la primera ecuación, aunque no está en la forma estándar) y una función racional (la segunda ecuación si resolvemos para (y )). Como en el primer ejemplo, no podemos usar la eliminación en este sistema, por lo que tendremos que usar la sustitución.

La mejor manera es resolver la segunda ecuación para (x ) o (y ). Cualquiera de los dos nos dará prácticamente el mismo trabajo, por lo que resolveremos (y ) ya que probablemente sea el que hará que la ecuación se parezca más a las que hemos visto en el pasado. En otras palabras, la nueva ecuación estará en términos de (x ) y esa es la variable que estamos acostumbrados a ver en las ecuaciones.

El primer paso para resolver esta ecuación será multiplicar todo por x 2 para borrar los denominadores.

Ahora, esto es de forma cuadrática y sabemos cómo resolver ese tipo de ecuaciones. Si definimos,

y la ecuación se puede escribir como,

[empezar - 2u - 8 & = 0 izquierda ( derecha izquierda( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> u = - 2, , , , u = 4 end]

En términos de (x ) esto significa que tenemos lo siguiente,

[empezar & = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm , 2 & = - 2 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm , sqrt 2 , , i end]

Entonces, tenemos cuatro valores posibles de (x ) y dos de ellos son complejos. Para determinar los valores de (y ) podemos insertarlos en nuestra sustitución.

Para las soluciones complejas, observe que nos aseguramos de que (i ) estuviera en el numerador. Las para las soluciones son entonces,

Dos de las soluciones son reales y, por lo tanto, representan puntos de intersección de las gráficas de estas dos ecuaciones. Las otras dos son soluciones complejas y, aunque las soluciones no representan puntos de intersección de las curvas.

A modo de referencia, aquí hay un esquema de las dos curvas.

Tenga en cuenta que solo hay dos puntos de intersección de estos dos gráficos como lo sugieren las dos soluciones reales. Las soluciones complejas nunca representan intersecciones de dos curvas.

Esta vez tenemos una elipse y una hipérbola. Sin embargo, ninguno de los dos está en forma estándar.

En los dos primeros ejemplos, usamos el método de sustitución para resolver el sistema y también podemos usarlo aquí. Sin embargo, observemos que si sumamos las dos ecuaciones eliminaremos las (y ) del sistema, así que lo haremos de esa manera.

Esto es bastante fácil de resolver para (x ).

Para determinar los valores de (y ), podemos sustituirlos en cualquiera de las ecuaciones. Usaremos el primero ya que no habrá signos negativos de los que preocuparse.

Tenga en cuenta que para este sistema, a diferencia de los ejemplos anteriores, cada valor de (x ) en realidad dio dos valores posibles de (y ). Eso significa que, de hecho, hay cuatro soluciones. Ellos son,

Esto también significa que debe haber cuatro puntos de intersección para las dos curvas. Aquí hay un boceto para verificación.


Precisión de soluciones numéricas

Sin embargo, la mayoría de los sistemas de ecuaciones no lineales no tendrán una solución analítica adecuada, por lo que usar SymPy como el anterior es excelente cuando funciona, pero no es aplicable en general. Por eso terminamos buscando soluciones numéricas aunque con soluciones numéricas: 1) No tenemos garantía de haber encontrado todas las soluciones o la solución "correcta" cuando hay muchas. 2) Tenemos que proporcionar una conjetura inicial que no siempre es fácil.

Habiendo aceptado que queremos soluciones numéricas, algo como fsolve normalmente hará todo lo que necesita. Para este tipo de problema, SymPy probablemente será mucho más lento, pero puede ofrecer algo más que es encontrar las soluciones (numéricas) de manera más precisa:


Instalación¶

Para trabajar con los i-tutoriales, primero debe instalar

Jupyter de http://www.jupyter.org. Puede utilizar el administrador de paquetes pip: & quotpip3 install jupyter & quot

descargue y descomprima los i-tutoriales desde aquí.

Para utilizar la visualización webgui dentro de jupyter, necesita

Algunos de los tutoriales requieren paquetes de scipy y matplotlib, por lo que es una buena idea instalarlos también:

I-tutoriales en Youtube¶

Hemos grabado las sesiones de tutoriales de la tercera reunión de usuarios de NGSolve en la que se presentaron la mayoría de estos archivos de tutoriales. Puedes ver las presentaciones en el canal de Youtube de NGSolve.


Método de líneas¶

Para obtener una excelente introducción al método de líneas, consulte el artículo en scholarpedia.org

El método de las líneas no es realmente un método, es una forma de escribir PDE de tal manera que se puedan resolver mediante caja negra. ODA solucionadores. La integración temporal de las EDO es un tema maduro. Los solucionadores robustos y bien probados están disponibles en Internet y se integran en muchos proyectos de código abierto para facilitar su uso. El método de líneas es una forma de permitir que la ecuación PDE se aproveche de la naturaleza madura de los solucionadores de ODE.

Tenemos un sistema semi-discretizado de la forma, (u ^ < prime> (t) = F (u (t)) ) para usar el método de líneas dejamos el PDE es la forma semi-discristida tal que tiene una derivada de tiempo continua en lhs, es decir, (u ^ < prime> (t) = frac

). En la forma semidiscretizada, lo que realmente tenemos ya no es un PDE sino un sistema de ODE acopladas. Además, una ecuación PDE es una ecuación diferencial que contiene términos diferenciales con respecto a más de una variable. En esta forma semidiscretizada, hemos reemplazado el operador diferencial espacial con una matriz, por lo que solo hay una derivada. La ecuación se ha convertido en un sistema de EDO con un número de ecuaciones proporcional al número de puntos de la cuadrícula en nuestra discretización.

Se espera que las condiciones de contorno discretizadas se incluyan en (F (u (t)) ) de manera que el problema esté bien planteado.

Hay una amplia variedad de solucionadores de ODE en los que estamos interesados implícito tipo, como sabemos, muchos problemas de PDE son inestables en forma explícita. El resultado de la Figura siguiente se ha calculado utilizando un método implícito de varios pasos de Adams-Moulton (el algoritmo utilizado es el muy popular vode solucionador de netlib.org, aunque usamos realmente un contenedor Python de scipy para realizar los cálculos que se muestran). Esto se puede considerar como una generalización del método ( theta ) para incluir un número múltiple de pasos de tiempo futuro que se resuelven simultáneamente con una iteración de Newtom. A diferencia del método de un solo paso, los métodos de varios pasos no muestran una acumulación de error global, por lo que la integración de tiempo es una mucho mejor aproximación a la solución analítica. La ecuación de Fisher no es particularmente rígida, por lo que este enfoque funcionó bien. Sin embargo, para ecuaciones rígidas, una técnica llamada Fórmulas de diferenciación hacia atrás (BDF) se utiliza. El solucionador de vode tiene la capacidad de adaptarse dinámicamente entre el modo rígido y no rígido (es decir, Adams-Moulton a BDF), que es una de las razones de su popularidad.

El método de líneas es una técnica poderosa para resolver problemas de PDE semidiscretizados, ya que muchos de los detalles de la resolución numérica de la ecuación pueden descargarse en solucionadores maduros y sólidos. Todavía no tengo suficiente experiencia con la técnica para señalar fallas o fallas. ¡Pero parece que siempre que la discretización espacial sea estable, los detalles de la integración temporal pueden casi ignorarse!


3 Más allá de la computación anticipada

Nuestra idea principal es enmarcar un problema de cálculo anticipado como la resolución de un sistema de ecuaciones (típicamente no lineales). Esta nueva perspectiva nos permite utilizar solucionadores iterativos, como los métodos no lineales de Jacobi y Gauss-Seidel, para paralelizar y potencialmente acelerar los cálculos tradicionales de avance.

3.1 El cálculo anticipado resuelve un sistema triangular de ecuaciones no lineales

Dada la entrada u, la relación de recurrencia entre los estados s 1, s 2, ⋯, s T en la ecuación. (1) se puede expresar explícitamente como el siguiente sistema de ecuaciones no lineales

Podemos escribir la ecuación. (5) en forma de Eq. (2) si dejamos N = T, xi ≜ si, y fi (x 1, x 2, ⋯, x T) ≜ hi (ui, s 1: i - 1) - si, i = 1, ⋯, N . Una propiedad única de estas funciones es que f i (⋅) no depende de x i + 1, ⋯, x N, y por lo tanto una relación de recurrencia corresponde a una sistema triangular de ecuaciones no lineales. El cálculo anticipado, como se define en la Sección 2.1, puede verse como un enfoque para resolver el sistema anterior de ecuaciones no lineales.

3.2 Iteración de Jacobi para relaciones de recurrencia

Se puede emplear cualquier solucionador de ecuaciones numéricas para resolver el sistema de ecuaciones no lineales en la Ec. (5) y si converge, debe devolver los mismos valores que el cálculo anticipado. Como ejemplo, podemos aplicar iteraciones de Jacobi no lineales para obtener el algoritmo 1. Aquí usamos sk 1: T para denotar la colección de todos los estados en la k -ésima iteración, y elegimos ϵ & gt 0 como umbral para la parada anticipada cuando ∥ ∥ sk 1: T - sk - 1 1: T ∥ ∥ & lt ϵ , es decir., la diferencia hacia adelante de los estados es pequeño.

Aunque no se garantiza que el método de iteración no lineal de Jacobi converja a las soluciones correctas para sistemas generales de ecuaciones (consulte la Sección 2.2.1), es sencillo demostrar que convergen para resolver sistemas triangulares. En particular, tenemos

Proposición 1.

El algoritmo 1 converge y produce el mismo resultado que el cálculo anticipado en como máximo T iteraciones paralelas para cualquier inicialización de s 0 1: T si ϵ = 0.

En la misma línea, también podemos aplicar iteraciones GS no lineales a la ecuación. (5). Curiosamente, una iteración de GS produce el mismo algoritmo que el cálculo anticipado.

Como se analizó en la Sección 2, las iteraciones de Jacobi pueden explotar el paralelismo mejor que GS. Específicamente, Jacobi no lineal puede completar T iteraciones durante las cuales GS solo puede terminar una iteración, cuando se supone que 1) la relación de recurrencia Eq. (1) se puede evaluar utilizando la misma cantidad de tiempo para todos los t = 1, ⋯, T y 2) T Las actualizaciones de Jacobi se pueden realizar en paralelo. Por lo tanto, bajo estos supuestos, el algoritmo 1 puede ser mucho más rápido que el cálculo anticipado si la convergencia de las iteraciones de Jacobi es rápida. Al menos en el peor de los casos, el algoritmo 1 requiere solo T iteraciones ejecutado en paralelo, que toma el Mismo tiempo como una iteración GS (es decir., cálculo anticipado).

3.3 Solucionadores iterativos híbridos

Podemos combinar las iteraciones de Jacobi y GS para aprovechar las ventajas de ambos métodos. La idea básica es agrupar estados en bloques y ver la ecuación. (5) como un sistema de ecuaciones sobre estos bloques. Podemos combinar Jacobi y GS aplicando primero uno de ellos para resolver los bloques y luego usar el otro para resolver los estados individuales dentro de cada bloque. Dependiendo del método que se utilice primero, podemos definir dos combinaciones diferentes denominadas iteraciones Jacobi-GS y GS-Jacobi respectivamente. Supongamos que usamos un intervalo entero B = ⟦a, b⟧ para representar un bloque de variables , y sea un conjunto de intervalos enteros que divide ⟦1, T⟧. Los métodos Jacobi-GS y GS-Jacobi se pueden prescribir en el algoritmo 2 y 3, donde s B es una abreviatura de .

En particular, en Jacobi-GS (algoritmo 2), todos los M bloques se actualizan en paralelo y los estados dentro de cada bloque B i se actualizan secuencialmente en base a las últimas soluciones. En GS-Jacobi (algoritmo 3), actualizamos secuencialmente los bloques M basados ​​en las últimas soluciones de bloques anteriores y los estados dentro de cada bloque B i se actualizan en paralelo.

Dado que Eq. (5) es un sistema triangular de ecuaciones no lineales, tenemos la siguiente observación.

Proposición 2.

Tanto Jacobi-Gauss-Seidel (Algoritmo 2) como Gauss-Seidel-Jacobi (Algoritmo 3) convergen a los mismos valores obtenidos por el cálculo de feedforward para cualquier inicialización si ϵ = 0.

In summary, all the numerical equation solvers we have discussed have guaranteed convergence for solving Eq. ( 5 ), and can act as valid alternatives to feedforward computation.


Given (oldsymbol : mathbb^n o mathbb^n) we define the Jacobian matrix (J_f) as:

Linear functions are trivial to solve, as are quadratic functions if you have the quadratic formula memorized. However, polynomials of higher degree and non-polynomial functions are much more difficult to solve. The simplest technique for solving these types of equations is to use an iterative root-finding technique.

We will try out the following techniques using the function:

Bisection Method

The bisection method is the simplest root-finding technique.

Algorithm

The algorithm for bisection is analogous to binary search:

  1. Take two points, (a) and (b) , on each side of the root such that (f(a)) and (f(b)) have opposite signs.
  2. Calculate the midpoint (c = frac<2>)
  3. Evaluate (f(c)) and use (c) to replace either (a) or (b) , keeping the signs of the endpoints opposite.

With this algorithm we successively half the length of the interval known to contain the root each time. We can repeat this process until the length of the interval is less than the tolerance to which we want to know the root.

Computational Cost

Conceptually bisection method uses 2 function evaluations at each iteration. However, at each step either one of (a) or (b) stays the same. So, at each iteration (after the first iteration), one of (f(a)) or (f(b)) was computed during the previous iteration. Therefore, bisection method requires only one new function evaluation per iteration. Depending on how costly the function is to evaluate, this can be a significant cost savings.

Convergencia

Bisection method has linear convergence, with a constant of 1/2.

Drawbacks

The bisection method requires us to know a little about our function. Specifically, (f(x)) must be continuous and we must have an interval ([a, b]) such that

Then, by the intermediate value theorem, we know that there must be a root in the interval ([a,b]) .

This restriction means that the bisection method cannot solve for the root of (x^2) , as it never crosses the x-axis and becomes negative.

Ejemplo

From the graph above, we can see that (f(x)) has a root somewhere between 1 and 2. It is difficult to tell exactly what the root is, but we can use the bisection method to approximate it. Specifically, we can set (a = 1) and (b = 2) .

Iteration 1

[empezar f(a) &= f(1) &= 1^3 - 1 - 1 &= -1 f(b) &= f(2) &= 2^3 - 2 - 1 &= 5 f(c) &= f(1.5) &= 1.5^3 - 1.5 - 1 &= 0.875 end]

Since (f(b)) and (f(c)) are both positive, we will replace (b) with (c) and further narrow our interval.

Iteration 2

Since (f(a)) and (f(c)) are both negative, we will replace (a) with (c) and further narrow our interval.

Note that as described above, we didn't need to recalculate (f(a)) or (f(b)) as we had already calculated them during the previous iteration. Reusing these values can be a significant cost savings.

Iteration 3

[empezar f(a) &= f(1.25) &= -0.296875 f(b) &= f(1.5) &= 0.875 f(c) &= f(1.375) &= 1.375^3 - 1.375 - 1 = 0.224609375 end]

Since (f(b)) and (f(c)) are both positive, we will replace (b) with (c) and further narrow our interval.

Iteration (n)

When running the code for bisection method given below, the resulting approximate root determined is 1.324717957244502. With bisection, we can approximate the root to a desired tolerance (the value above is for the default tolerances).

The following Python code calls SciPy's bisect method:

Newton's Method

The Newton-Raphson Method (a.k.a. Newton's Method) uses a Taylor series approximation of the function to find an approximate solution. Specifically, it takes the first 2 terms:

[f(x_k + h) approx f(x_k) + f'(x_k)h]

Algorithm

Starting with the Taylor series above, we can find the root of this new function like so:

This value of (h) can now be used to find a value of (x) closer to the root of (f) :

Geometrically, ((x_, 0)) is the intersection of the x-axis and the tangent of the graph at ((x_k, f(x_k))) .

By repeatedly this procedure, we can get closer and closer to the actual root.

Computational Cost

With Newton's method, at each iteration we must evaluate both (f(x)) and (f'(x)) .

Convergencia

Typically, Newton's Method has quadratic convergence.

Drawbacks

Although Newton's Method converges quickly, the additional cost of evaluating the derivative makes each iteration slower to compute. Many functions are not easily differentiable, so Newton's Method is not always possible. Even in cases when it is possible to evaluate the derivative, it may be quite costly.

Convergence only works well if you are already close to the root. Specifically, if started too far from the root Newton's method may not converge at all.

Ejemplo

We will need the following equations:

Iteration 1

From the graph above, we can see that the root is somewhere near (x = 1) . We will use this as our starting position, (x_0) .

Iteration 2
Iteration 3

As you can see, Newton's Method is already converging significantly faster than the Bisection Method.

Iteration (n)

When running the code for Newton's method given below, the resulting approximate root determined is 1.324717957244746.

The following Python code calls SciPy's newton method:

Secant Method

Like Newton's Method, secant method uses the Taylor Series to find the solution. However, you may not always be able to take the derivative of a function. Secant method gets around this by approximating the derivative as:

Algorithm

The steps involved in the Secant Method are identical to those of the Newton Method, with the derivative replaced by an approximation for the slope of the tangent.

Computational Cost

Similar to bisection, although secant method conceptually requires 2 function evaluations per iteration, one of the function evaluations will have been computed in the previous iteration and can be reused. So, secant method requires 1 new function evaluation per iteration (after the first iteration).

Convergencia

Secant method has superlinear convergence.

More specifically, the rate of convergence (r) is:

This happens to be the golden ratio.

Drawbacks

This technique has many of the same drawbacks as Newton's Method, but does not require a derivative. It does not converge as quickly as Newton's Method. It also requires two starting guesses near the root.


163 Replies

9 end of discussion. Also my algebra is crap, trig is helping me realize this, so if I can get that anyone can.

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

Here, make life easy:

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

Si. ¡Fácil! Lol. Never used Linux in my life!

Scott Alan Miller wrote:

Here, make life easy:

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

Si. ¡Fácil! Lol. Never used Linux in my life!

your in IT and you haven't used Linux in your life? :O I thought it was a given need when going into IT

Scott Alan Miller wrote:

Here, make life easy:

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

Si. ¡Fácil! Lol. Never used Linux in my life!

That does happen to be Linux but it is just Python that I used. You can do it on Windows too.

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

edit: still can't work out how they got 1.

People were using distribution. Reading the problem like this would get one: 6/[2(1+2)]

Rule 1: First perform any calculations inside parentheses.
Rule 2: Next perform all multiplications and divisions, working from left to right.
Rule 3: Lastly, perform all additions and subtractions, working from left to right.

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

6/2(1+2)=

6/2(3)=

3(3)=

3*3=

9

simple :)

edit: still can't work out how they got 1.

You get 1 when you use the order of precedence incorrectly.

Well it is required but I haven't taken any Linux classes yet. I'm kind of pushing them to the end of this year. We don't use linux here anyway.

Michael560 wrote:

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

6/2(1+2)=

6/2(3)=

3(3)=

3*3=

9

simple :)

edit: still can't work out how they got 1.

You get 1 when you use the order of precedence incorrectly.

ohhhh i see your copying my posts now eh? lol

Por supuesto. Sorry, I have trouble seeing how people can get it wrong as I keep reverting to the right way to work it out. So all those years of teachers drumming this into our heads actually worked! lol

Well it is required but I haven't taken any Linux classes yet. I'm kind of pushing them to the end of this year. We don't use linux here anyway.

Maybe you would if you had taken the classes earlier ) Where are you taking classes? I'm in Akron from time to time.

Scott Alan Miller wrote:

Michael560 wrote:

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

6/2(1+2)=

6/2(3)=

3(3)=

3*3=

9

simple :)

edit: still can't work out how they got 1.

You get 1 when you use the order of precedence incorrectly.

ohhhh i see your copying my posts now eh? lol

I swear that that hadn't shown up when I typed that up. When are we getting AJAX updates in this community, anyway?

We use BODMAS to determine priority of mathematic functions:

We use BODMAS to determine priority of mathematic functions:

Brackst

Of (power)

División

Multiplication

Addition

Subtraction

Although it makes no difference whether you do multiplication or division first, the same as with addition and subtraction.

We use BODMAS to determine priority of mathematic functions:

Brackst

Of (power)

División

Multiplication

Addition

Subtraction

mismo. even though i flunked maths i still get 9 from the equation.

Russell P

These things are posted on forums to "troll" users.

These things are posted on forums to "troll" users.

And you brought it here. -(

we are intellegent enough to know how to do it correctly. plus we always have nic's banhammer if we get too many.

ivanidea

Another one taught BODMAS, so the answer has to be 1.

Outermost Systems, LLC is an IT service provider.

I am going to take a minority position. It's ambiguous. The ambiguity is only "saved" by the "rule" that operations are applied from left to right. The "rule" is a convention many people (and many programs) use to resolve the ambiguity. Essentially what this resolves to is three operands separated by two operators of equal precedence: 6 / 2 * 3. See the comment about "gaps in the standard" in http:/ / en.wikipedia.org/ wiki/ Order_of_operations.

This is a case where one should insist that the ambiguity be resolved by appropriately placed ().


6.2: Solving Nonlinear Equations

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Polar Coordinates

You already know the famous Cartesian coordinates, which are probably the most used in everyday life. However, in some cases, describing the position of an object in Cartesian coordinates isn’t practical. For instance, when an object is in a circular movement, sine and cosine functions are going to pop all over the place, so it’s generally a much better idea to describe that object’s position in what we call Polar coordinates.

Polar coordinates are described by two variables, the radius ρand the angle θ. We attach unit vectors to each variable:

  • is a unit vector always pointing in the same direction as vector OM.
  • is a unit vector perpendicular to .

Our goal now is to express the posición, velocidad, y acceleration of an object in Polar coordinates. For this we need to express the relationship between the Polar unit vectors and the Cartesian unit vectors.


Ver el vídeo: Sistemas de Ecuaciones NO LINEALES con una Ecuación de Segundo Grado (Septiembre 2021).