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9.7E: EJERCICIOS - Matemáticas


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para los siguientes ejercicios, sin usar el teorema de Stokes, calcule directamente tanto el flujo de (curl , vecs {F} cdot N ) sobre la superficie dada como la integral de circulación alrededor de su límite, asumiendo que todos están orientados en sentido horario.

1. ( vecs {F} (x, y, z) = y ^ 2 , hat { mathbf i} + z ^ 2 , hat { mathbf j} + x ^ 2 , hat { mathbf k} ); (S ) es la porción de primer octante del plano (x + y + z = 1 ).

2. ( vecs {F} (x, y, z) = z , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} + y , hat { mathbf k} ); (S ) es el hemisferio (z = (a ^ 2 - x ^ 2 - y ^ 2) ^ {1/2} ).

Respuesta

[ iint_S (curl , vecs {F} cdot vecs {N}) , dS = pi a ^ 2 ]

3. ( vecs {F} (x, y, z) = y ^ 2 , hat { mathbf i} + 2x , hat { mathbf j} + 5 , hat { mathbf k } ); (S ) es el hemisferio (z = (4 - x ^ 2 - y ^ 2) ^ {1/2} ).

4. ( vecs {F} (x, y, z) = z , hat { mathbf i} + 2x , hat { mathbf j} + 3y , hat { mathbf k} ); (S ) es el hemisferio superior (z = sqrt {9 - x ^ 2 - y ^ 2} ).

Respuesta

[ iint_S (curl , ( vecs {F}) cdot vecs {N}) , dS = 18 pi ]

5. ( vecs {F} (x, y, z) = (x + 2z) , hat { mathbf i} + (y - x) , hat { mathbf j} + (z - y) , hat { mathbf k} ); (S ) es una región triangular con vértices ((3, 0, 0), (0, 3/2, 0), ) y ((0, 0, 3) ).

6. ( vecs {F} (x, y, z) = 2y , hat { mathbf i} + 6z , hat { mathbf i} + 3x , hat { mathbf k} ); (S ) es una porción del paraboloide (z = 4 - x ^ 2 - y ^ 2 ) y está por encima del plano (xy - ).

Respuesta

[ iint_S (curl , ( vecs {F}) cdot vecs {N}) , dS = -8 pi ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Para los siguientes ejercicios, use el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S (curl , ( vecs {F}) cdot vecs {N}) , dS ] para los campos vectoriales y la superficie.

1. ( vecs {F} (x, y, z) = xy , hat { mathbf i} - z , hat { mathbf j} ) y (S ) es la superficie de el cubo (0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq 1 ), excepto por la cara donde (z = 0 ) y usando el exterior vector normal unitario.

2. ( vecs {F} (x, y, z) = xy , hat { mathbf i} + x ^ 2 , hat { mathbf j} + z ^ 2 , hat { mathbf k} ); y (C ) es la intersección del paraboloide (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) y el plano (z = y ), y usando el vector normal hacia afuera.

Respuesta

[ iint_S (curl , ( vecs {F}) cdot vecs {N}) , dS = 0 ]

3. ( vecs {F} (x, y, z) = 4y , hat { mathbf i} + z , hat { mathbf j} + 2y , hat { mathbf k} ); y (C ) es la intersección de la esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) con el plano (z = 0 ), y usando el vector normal hacia afuera.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

1. Utilice el teorema de Stokes para evaluar [ int_C [2xy ^ 2z , dx + 2x ^ 2yz , dy + (x ^ 2y ^ 2 - 2z) , dz], ] donde (C ) es la curva dada por (x = cos t, , y = sin t, , 0 leq t leq 2 pi ), atravesada en la dirección de (t).

Respuesta

[ int_C F cdot dS = 0 ]

2. [T] Usa un sistema algebraico de computadora (CAS) y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea [ int_C (y , dx + z , dy + x , dz), ] donde (C ) es la intersección del plano (x + y = 2 ) y la superficie (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 (x + y) ), atravesado en sentido antihorario visto desde el origen.

3. [T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea [ int_C (3y , dx + 2z , dy - 5x , dz), ] donde (C ) es la intersección de (xy - ) plano y hemisferio (z = sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2} ), atravesado en sentido antihorario visto desde arriba, es decir, desde el lado positivo z-eje hacia el plano (xy - ).

Respuesta

[ int_C F cdot dS = - 9.4248 ]

4. [T] Usa un CAS y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea [ int_C [(1 + y) , z dx + (1 + z) x dy + (1 + x) y dz], ] donde (C ) es un triángulo con vértices ((1,0,0), , (0,1,0) ) y ((0,0,1) ) orientado en sentido antihorario.

5. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea [ int_C (z , dx + x , dy + y , dz), ] donde (C ) es un triángulo con vértices ((3, 0 , 0), (0, 0, 2), ) y ((0, 6, 0) ) atravesados ​​en el orden dado.

6. Utilice el teorema de Stokes para evaluar [ int_C left ( dfrac {1} {2} y ^ 2 , dx + z , dy + x , dz right), ] donde (C ) es la curva de intersección del plano (x + z = 1 ) y el elipsoide (x ^ 2 + 2y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ), orientado en el sentido de las agujas del reloj desde el origen.

Respuesta

[ int_C left ( dfrac {1} {2} y ^ 2 , dx + z , dy + x , dz right) = - dfrac { pi} {4} ]

7. Usa el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S (curl , F cdot N) dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = x , hat { mathbf i } + y ^ 2 , hat { mathbf j} + ze ^ {xy} k ) y (S ) es la parte de la superficie (z = 1 - x ^ 2 - 2y ^ 2 ) con (z geq 0 ), orientado en sentido antihorario.

8. Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = z , hat { mathbf i} + 3x , hat { mathbf j} + 2z , hat { mathbf k} ) donde (S ) es la superficie (z = 1 - x ^ 2 - 2y ^ 2, , z geq 0 ), (C ) es el círculo límite (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) y S está orientado en positivo z-dirección.

Respuesta

[ iint_S (curl , F cdot N) dS = -3 pi]

9. Usa el teorema de Stokes para el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = - dfrac {3} {2} y ^ 2 , hat { mathbf i} - 2 xy , hat { mathbf j} + yz , hat { mathbf k} ), donde (S ) es la parte de la superficie del plano (x + y + z = 1 ) contenida dentro del triángulo (C ) con vértices ((1, 0, 0), (0, 1, 0), ) y ((0, 0, 1), ) atravesados ​​en sentido antihorario como se ve desde arriba.

10. Un cierto camino cerrado C en el plano (2x + 2y + z = 1 ) se sabe que se proyecta en el círculo unitario (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) en el (xy ) - plano. Dejar (C ) sea una constante y sea (R (x, y, z) = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} + z , hat { mathbf k} ). Utilice el teorema de Stokes para evaluar [ int_C (ck times R) cdot dS. ]

Respuesta

[ int_C (ck times R) cdot dS = 2 pi c ]

11. Utilice el teorema de Stokes y sea (C ) el límite de la superficie (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) con (0 leq x leq 2 ) y (0 leq y leq 1 ) orientado con normal hacia arriba. Definir

( vecs {F} (x, y, z) = [ sin (x ^ 3) + xz] , hat { mathbf i} + (x - yz) , hat { mathbf j} + cos (z ^ 4) , hat { mathbf k} ) y evalúe ( int_C F cdot dS ).

12. Sea (S ) el hemisferio (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) con (z geq 0 ), orientado hacia arriba. Sea ( vecs {F} (x, y, z) = x ^ 2 e ^ {yz} , hat { mathbf i} + y ^ 2 e ^ {xz} , hat { mathbf j } + z ^ 2 e ^ {xy} , hat { mathbf k} ) sea un campo vectorial. Usa el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S curl , F cdot dS. ]

Respuesta

[ iint_S curl , F cdot dS = 0 ]

13. Sea ( vecs {F} (x, y, z) = xy , hat { mathbf i} + (e ^ {z ^ 2} + y) , hat { mathbf j} + (x + y) , hat { mathbf k} ) y sea (S ) la gráfica de la función (y = dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {z ^ 2} {9} - 1 ) con (z leq 0 ) orientado de modo que el vector normal S tiene un positivo y componente. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral [ iint_S curl , F cdot dS. ]

14. Usa el teorema de Stokes para evaluar [ oint F cdot dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = y , hat { mathbf i} + z , hat { mathbf j} + x , hat { mathbf k} ) y (C ) es un triángulo con vértices ((0, 0, 0), (2, 0, 0) ) y (0, -2,2) ) orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

Respuesta

[ oint F cdot dS = -4 ]

15. Utilice la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular la circulación del campo F, ( vecs {F} (x, y, z) = x ^ 2y ^ 3 , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j} + z , hat { mathbf k } ) alrededor de (C ), que es la intersección del cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) y el hemisferio (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16, , z geq 0 ), orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

16. Usa el teorema de Stokes para calcular [ iint_S curl , F cdot dS. ] Donde ( vecs {F} (x, y, z) = , hat { mathbf i} + xy ^ 2 , hat { mathbf j} + xy ^ 2 , hat { mathbf k} ) y (S ) es parte del plano (y + z = 2 ) dentro del cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) y orientado en sentido antihorario.

Respuesta

[ iint_S curl , F cdot dS = 0 ]

17. Usa el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S curl , F cdot dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = -y ^ 2 , hat { mathbf i } + x , hat { mathbf j} + z ^ 2 , hat { mathbf k} ) y (S ) es la parte del plano (x + y + z = 1 ) en el octante positivo y orientado en sentido antihorario (x geq 0, , y geq 0, , z geq 0 ).

18. Sea ( vecs {F} (x, y, z) = xy , hat { mathbf i} + 2z , hat { mathbf j} - 2y , hat { mathbf k} ) y sea (C ) la intersección del plano (x + z = 5 ) y el cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ), que está orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba. Calcule la integral de línea de F sobre (C ) usando el teorema de Stokes.

Respuesta

[ iint_S curl , F cdot dS = -36 pi ]

19. [T] Usa un CAS y deja ( vecs {F} (x, y, z) = xy ^ 2 , hat { mathbf i} + (yz - x) , hat { mathbf j} + e ^ {yxz} , hat { mathbf k} ). Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie de curl F sobre la superficie (S ) con orientación hacia adentro que consiste en el cubo ([0,1] times [0,1] times [0,1] ) sin el lado derecho.

20. Deja S ser elipsoide ( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {9} + z ^ 2 = 1 ) orientado en sentido antihorario y dejar F ser un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.

Respuesta

[ iint_S curl , F cdot N = 0 ]

21. Deja (S) ser parte del paraboloide (z = 9 - x ^ 2 - y ^ 2 ) con (z geq 0 ). Verifique el teorema de Stokes para el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = 3z , hat { mathbf i} + 4x , hat { mathbf j} + 2y , hat { mathbf k} ).

22. Usa el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S curl , F cdot dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = e ^ {xy} cos , z , hat { mathbf i} + x ^ 2 z , hat { mathbf j} + xy , hat { mathbf k} ), y (S ) es la mitad de la esfera (x = sqrt {1 - y ^ 2 - z ^ 2} ), orientado hacia lo positivo X-eje.

Respuesta

[ iint_S F cdot dS = 0 ]

23. [T] Usa un CAS y el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S (curl , F cdot N) , dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = x ^ 2 y , hat { mathbf i} + xy ^ 2 , hat { mathbf j} + z ^ 3 , hat { mathbf k} ) y (C ) es la curva de la intersección del plano (3x + 2y + z = 6 ) y el cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ), orientado en el sentido de las agujas del reloj cuando se ve desde arriba.

24. [T] Usa un CAS y el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S curl , F cdot dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = left ( sin ( y + z) - yx ^ 2 - dfrac {y ^ 3} {3} right) , hat { mathbf i} + x , cos (y + z) , hat { mathbf j } + cos (2y) , , hat { mathbf k} ) y (S ) consta de la parte superior y los cuatro lados, pero no la parte inferior del cubo con vértices (( pm 1, , pm1, , pm1) ), orientado hacia afuera.

Respuesta

[ iint_S curl , F cdot dS = 2.6667 ]

25. [T] Usa un CAS y el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S curl , F cdot dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = z ^ 2 , hat { mathbf i} + 3xy , hat { mathbf j} + x ^ 3y ^ 3 , hat { mathbf k} ) y (S ) es la parte superior de (z = 5 - x ^ 2 - y ^ 2 ) sobre el plano (z = 1 ) y S está orientado hacia arriba.

26. Usa el teorema de Stokes para evaluar [ iint_S (curl , F cdot N) dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = z ^ 2 , hat { mathbf i} + y ^ 2 , hat { mathbf j} + x , hat { mathbf k} ) y (S ) es un triángulo con vértices ((1, 0, 0), (0, 1, 0) ) y ((0, 0, 1) ) con orientación en sentido antihorario.

Respuesta

[ iint_S (curl , F cdot N) dS = - dfrac {1} {6}

Ejercicio ( PageIndex {4} )

1. Deja S sea ​​paraboloide (z = a (1 - x ^ 2 - y ^ 2) ), para (z geq 0 ), donde (a> 0 ) es un número real. Sea ( vecs {F} (x, y, z) = langle x - y, , y + z, , z - x rangle ). Por qué valor (es) de a (si lo hay) ¿ [ iint_S ( nabla times F) cdot n , dS ] tiene su valor máximo?

2. [T] Usa un CAS y el teorema de Stokes para evaluar [ oint F cdot dS, ] if ( vecs {F} (x, y, z) = (3z - sin x) , hat { mathbf i} + (x ^ 2 + e ^ y) , hat { mathbf j} + (y ^ 3 - cos z) , hat { mathbf k} ), donde (C ) es la curva dada por (x = cos t, , y = sin t, , z = 1; , 0 leq t leq 2 pi ).

Respuesta

[ oint_C F cdot dr = 0 ]

3. [T] Usa un CAS y el teorema de Stokes para evaluar ( vecs {F} (x, y, z) = 2y , hat { mathbf i} + e ^ z , hat { mathbf j} - arctan , x , hat { mathbf k} ) con (S ) como una porción del paraboloide (z = 4 - x ^ 2 - y ^ 2 ) cortado por ( xy - ) plano orientado en sentido antihorario.

4. [T] Usa un CAS para evaluar [ iint_S curl (F) cdot dS, ] donde ( vecs {F} (x, y, z) = 2z , hat { mathbf i} + 3x , hat { mathbf j} + 5y , hat { mathbf k} ) y (S ) es la superficie paramétricamente por (r (r, theta) = r , cos theta , hat { mathbf i} + r , sin theta , hat { mathbf j} + (4 - r ^ 2) , hat { mathbf k} , (0 leq theta leq 2 pi, , 0 leq r leq 3) ).

Respuesta

[ iint_S curl (F) cdot dS = 84.8230 ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

1. Para los siguientes ejercicios de aplicación, el objetivo es evaluar [A = iint_S ( nabla times F) cdot n , dS, ] donde ( vecs {F} = langle xz, , -xz, , xy rangle ) y (S ) es la mitad superior del elipsoide (x ^ 2 + y ^ 2 + 8z ^ 2 = 1 ), donde (z geq 0 ).

a) Evalúe una integral de superficie sobre una superficie más conveniente para encontrar el valor de (A.)

Respuesta

[A = iint_S ( nabla times F) cdot n , dS = 0 ] Evaluar ( A) usando una integral de línea.

2. Tome el paraboloide (z = x ^ 2 + y ^ 2 ), para (0 leq z leq 4 ), y córtelo con el plano (y = 0 ). Dejar S ser la superficie que queda para (y geq 0 ), incluida la superficie plana en el xz-avión. Sea (C ) el semicírculo y el segmento de recta que delimita el límite de (S ) en el plano (z = 4 ) con orientación en sentido antihorario. Sea ( vecs {F} = langle 2z + y, , 2x + z, , 2y + x rangle ). Evalúe [ iint_S ( nabla times F) cdot n , dS. ]

Respuesta

[ iint_S ( nabla times F) cdot n , dS = 2 pi ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

1. Para los siguientes ejercicios, deje S ser el disco encerrado por la curva (C ,: , r (t) = langle cos varphi , cos t, , sin t, , sin varphi , cos t rangle ), para (0 leq t leq 2 pi ), donde (0 leq varphi leq dfrac { pi} {2} ) es un ángulo fijo.

a) ¿Cuál es la longitud de (C ) en términos de ( varphi )?

b) ¿Cuál es la circulación de (C ) del campo vectorial ( vecs {F} = langle -y, , -z, , x rangle ) en función de ( varphi ) ?

Respuesta

(C = pi ( cos varphi - sin varphi) )

c) ¿Para qué valor de ( varphi ) la circulación es un máximo?

2. El círculo (C ) en el plano (x + y + z = 8 ) tiene un radio 4 y un centro (2, 3, 3). Evalúe [ oint_C F cdot dr ] para ( vecs {F} = langle 0, , -z, , 2y rangle ), donde (C ) tiene una orientación en sentido antihorario cuando se ve desde sobre.

Respuesta

[ oint_C F cdot dr = 48 pi ]

3. Campo de velocidad (v = langle 0, , 1 -x ^ 2, , 0 rangle ), para (| x | leq 1 ) y (| z | leq 1 ) , representa un flujo horizontal en el y-dirección. Calcule el rizo de v en una rotación en sentido horario.

4. Evalúe la integral [ iint_S ( nabla times F) cdot n , dS, ] donde ( vecs {F} = - xz , hat { mathbf i} + yz , hat { mathbf j} + xye ^ z , hat { mathbf k} ) y (S ) es el límite del paraboloide (z = 5 - x ^ 2 - y ^ 2 ) sobre el plano ( z = 3 ), y norte puntos en positivo z-dirección en S.

Respuesta

[ iint_S ( nabla times F) cdot n = 0 ]

5. Para los siguientes ejercicios, use el teorema de Stokes para encontrar la circulación de los siguientes campos vectoriales alrededor de cualquier curva cerrada simple (C ).

a) ( vecs {F} = nabla (x , sin ye ^ z) )

b) ( vecs {F} = langle y ^ 2z ^ 3, , z2xyz ^ 3, 3xy ^ 2z ^ 2 rangle )

Respuesta

0


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