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3.9E: Ejercicios


Ejercicio ( PageIndex {1} ): crecimiento y deterioro

1. Encuentre la cantidad (Q (t) ) de la sustancia que queda en el tiempo (t> 0 ) si (Q (0) = 20 ) g.

2. La vida media de una sustancia radiactiva es de 2 días. Encuentre el tiempo necesario para que una determinada cantidad de material se descomponga a 1/10 de su masa original.

3. Un material radiactivo pierde el 25% de su masa en 10 minutos. ¿Cuál es su vida media?

4. Un árbol contiene un porcentaje conocido (p_0 ) de una sustancia radiactiva con vida media ( tau ). Cuando el árbol muere, la sustancia se descompone y no se reemplaza. Si se encuentra que el porcentaje de sustancia en los restos fosilizados de tal árbol es (p_1 ), ¿cuánto tiempo lleva muerto el árbol?

5. Si (t_p ) y (t_q ) son los tiempos requeridos para que un material radiactivo decaiga a (1 / p ) y (1 / q ) veces su masa original (respectivamente), ¿cómo son (t_p ) y (t_q ) relacionados?

6. Encuentre la constante de desintegración (k ) para una sustancia radiactiva, dado que la masa de la sustancia es (Q_1 ) en el tiempo (t_1 ) y (Q_2 ) en el tiempo (t_2 ).

7. Un proceso crea una sustancia radiactiva a una velocidad de 2 g / hr y la sustancia se desintegra a una velocidad proporcional a su masa, con constante de proporcionalidad (k = .1 ( mbox {hr}) ^ {- 1} ). Si (Q (t) ) es la masa de la sustancia en el tiempo (t ), encuentre ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

8. Un banco paga intereses continuamente a una tasa del 6%. ¿Cuánto tiempo tarda un depósito de (Q_0 ) en aumentar su valor a (2Q_0 )?

9. ¿A qué tipo de interés, compuesto continuamente, se duplicará el valor de un depósito bancario en 8 años?

10. Una cuenta de ahorros paga un interés del 5% anual compuesto continuamente. El depósito inicial es de (Q_0 ) dólares. Suponga que no hay retiros o depósitos posteriores.

  1. ¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse el valor de la cuenta?
  2. ¿Qué es (Q_0 ) si el valor de la cuenta después de 10 años es de $ 100,000 dólares?

11. Un fabricante de dulces produce 500 libras de dulces por semana, mientras que su gran familia come los dulces a una tasa igual a (Q (t) / 10 ) libras por semana, donde (Q (t) ) es la cantidad de dulces presentes en el momento (t ).

  1. Encuentra (Q (t) ) para (t> 0 ) si el fabricante de dulces tiene 250 libras de dulces en (t = 0 ).
  2. Encuentra ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

12. Suponga que una sustancia se desintegra a una tasa anual igual a la mitad del cuadrado de la masa de la sustancia presente. Si comenzamos con 50 g de la sustancia, ¿cuánto tiempo pasará hasta que solo queden 25 g?

13. Una masa de súper pan aumenta de volumen a una velocidad proporcional al volumen (V ) presente. Si (V ) aumenta en un factor de 10 en 2 horas y (V (0) = V_0 ), encuentre (V ) en cualquier momento (t ). ¿Cuánto tiempo tardará (V ) en aumentar a (100 V_0 )?

14. Una sustancia radiactiva se desintegra a un ritmo proporcional a la cantidad presente y queda la mitad de la cantidad original (Q_0 ) después de 1500 años. ¿En cuántos años se reduciría la cantidad original a (3Q_0 / 4 )? ¿Cuánto quedará después de 2000 años?

15. Un mago crea oro continuamente a razón de 1 onza por hora, pero un asistente lo roba continuamente a razón del 5% de lo que haya por hora. Sea (W (t) ) el número de onzas que tiene el asistente en el tiempo (t ). Encuentra (W (t) ) y ( lim_ {t to infty} W (t) ) si (W (0) = 1 ).

16. Un proceso crea una sustancia radiactiva a una velocidad de 1 g / h, y la sustancia se desintegra a una velocidad horaria igual a 1/10 de la masa presente (expresada en gramos). Suponiendo que inicialmente hay 20 g, encuentre la masa (S (t) ) de la sustancia presente en el tiempo (t ) y encuentre ( lim_ {t to infty} S (t) ) .

17. Un tanque está vacío en (t = 0 ). El agua se agrega al tanque a una velocidad de 10 gal / min, pero se filtra a una velocidad (en galones por minuto) igual a la cantidad de galones en el tanque. ¿Cuál es la capacidad más pequeña que puede tener el tanque si este proceso va a continuar para siempre?

18. Una persona deposita $ 25 000 en un banco que paga un interés del 5% anual, compuesto continuamente. La persona se retira continuamente de la cuenta a razón de $ 750 por año. Encuentre (V (t) ), el valor de la cuenta en el momento (t ) después del depósito inicial.

19. Una persona tiene una fortuna que crece a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada de su valor. Encuentre el valor (W ) de la fortuna en función de (t ) si fuera $ 1 millón hace 6 meses y es $ 4 millones hoy.

20. Sea (p = p (t) ) la cantidad de un producto presente en el tiempo (t ). El producto se fabrica continuamente a una tasa proporcional a (p ), con proporcionalidad constante 1/2, y se consume continuamente a una tasa proporcional a (p ^ 2 ), con proporcionalidad constante 1/8. Encuentra (p (t) ) si (p (0) = 100 ).

21.

una. En la situación del ejemplo 4.1.6, encuentre el valor exacto P (t) de la cuenta de la persona después de t años, donde t es un número entero. Suponga que cada año tiene exactamente 52 semanas e incluya el depósito de fin de año en el cálculo.

SUGERENCIA: En el momento t, los $ 1000 iniciales han estado depositados durante (t ) años. Ha habido (52t ) depósitos de $ (50 ) cada uno. El primer $ (50 ) ha estado en depósito durante (t - 1/52 ) años, el segundo durante (t - 2/52 ) años ... en general, el j th $ (50 ) ha estado en depósito durante (t - j / 52 ) años ( (1 ≤ j ≤ 52t )). Encuentre el valor actual de cada depósito de $ (50 ) suponiendo un (6 )% de interés compuesto continuamente, y use la fórmula [1 + x + x ^ {2} +. + x ^ {n} = frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x} (x neq 1) ] para encontrar su valor total.

B. Dejar

[p (t) = {Q (t) -P (t) sobre P (t)} ]

sea ​​el error relativo después de (t ) años. Encontrar

[p ( infty) = lim_ {t to infty} p (t). ]

22. Un comprador de vivienda toma prestados (P_0 ) dólares a una tasa de interés anual (r ), y acepta reembolsar el préstamo con pagos mensuales iguales de (M ) dólares por mes durante (N ) años.

una. Derive una ecuación diferencial para el principal del préstamo (cantidad que el comprador de la vivienda debe) (P (t) ) en el momento (t> 0 ), asumiendo de manera simplificada que el comprador de la vivienda paga el préstamo de forma continua en lugar de en pasos discretos. (Consulte el ejemplo 4.1.6.)

B. Resuelva la ecuación derivada en (a).

C. Utilice el resultado de (b) para determinar un valor aproximado de (M ) suponiendo que cada año tiene exactamente 12 meses de igual duración.

D. Se puede demostrar que el valor exacto de (M ) viene dado por

[M = {rP_0 over 12} left (1- (1 + r / 12) ^ {- 12N} right) ^ {- 1}. ]

Compare el valor de (M ) obtenido de la respuesta en (c) con el valor exacto si (i) (P_0 = $ 50,000 ), (r = 7 {1 over2} )%, ( N = 20 ) (ii) (P_0 = $ 150 000 ), (r = 9.0 )%, (N = 30 ).

23. Suponga que el comprador de vivienda de Ejercicio 4.1.22 elige reembolsar el préstamo continuamente a una tasa de ( alpha M ) dólares por mes, donde ( alpha ) es una constante mayor que 1. (Esto se llama pago acelerado.)

  1. Determine el tiempo (T ( alpha) ) en el que se pagará el préstamo y la cantidad (S ( alpha) ) que ahorrará el comprador de vivienda.
  2. Suponga (P_0 = $ 50 000 ), (r = 8 )% y (N = 15 ). Calcule los ahorros obtenidos por los pagos acelerados con ( alpha = 1.05,1.10 ) y (1.15 ).

24. Un benefactor desea establecer un fondo fiduciario para pagar el salario de un investigador durante (T ) años. El salario debe comenzar en (S_0 ) dólares por año y aumentar a una tasa fraccionaria de (a ) por año. Encuentre la cantidad de dinero (P_0 ) que el benefactor debe depositar en un fondo fiduciario pagando intereses a una tasa (r ) por año. Suponga que el salario del investigador se paga continuamente, los intereses se capitalizan continuamente y los aumentos salariales se otorgan continuamente.

25. Una sustancia radiactiva con constante de desintegración (k ) se produce a una tasa de

[{en over1 + btQ (t)} ]

unidades de masa por unidad de tiempo, donde (a ) y (b ) son constantes positivas y (Q (t) ) es la masa de la sustancia presente en el tiempo (t ); por tanto, la tasa de producción es pequeña al principio y tiende a disminuir cuando (Q ) es grande.

  1. Establezca una ecuación diferencial para (Q ).
  2. Elija sus propios valores positivos para (a ), (b ), (k ) y (Q_0 = Q (0) ). Usa un método numérico para descubrir qué le sucede a (Q (t) ) cuando (t a infty ). (Sea preciso, exprese sus conclusiones en términos de (a ), (b ), (k ). Sin embargo, no se requieren pruebas).

26. Siga las instrucciones de Ejercicio 4.1.25, suponiendo que la sustancia se produce a razón de (at / (1 + bt (Q (t)) ^ 2) ) unidades de masa por unidad de tiempo.

27. Siga las instrucciones de Ejercicio 4.1.25, suponiendo que la sustancia se produce a razón de (at / (1 + bt) ) unidades de masa por unidad de tiempo.

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Enfriamiento y mezcla

1. Se mueve un termómetro de una habitación donde la temperatura es (70 ^ circ ) F a un congelador donde la temperatura es (12 ^ circ F ). Después de (30 ) segundos, el termómetro indica (40 ^ circ ) F. ¿Qué lee después de (2 ) minutos?

2. Un fluido inicialmente a (100 ^ circ ) C se coloca afuera en un día cuando la temperatura es (- 10 ^ circ ) C, y la temperatura del fluido desciende (20 ^ circ ) C en un minuto. Encuentre la temperatura (T (t) ) del fluido para (t> 0 ).

3. A las 12:00 pm, se coloca un termómetro con una lectura de (10 ​​^ circ ) F en una habitación donde la temperatura es de (70 ^ circ ) F. Se lee (56 ^ circ ) cuando se coloca afuera, donde la temperatura es (5 ^ circ ) F, a las 12:03. ¿Qué lee a las 12:05 pm?

4. Un termómetro que lee inicialmente (212 ^ circ ) F se coloca en una habitación donde la temperatura es de (70 ^ circ ) F. Después de 2 minutos, el termómetro marca (125 ^ circ ) F.

  1. ¿Qué lee el termómetro después de (4 ) minutos?
  2. ¿Cuándo leerá el termómetro (72 ^ circ ) F?
  3. ¿Cuándo leerá el termómetro (69 ^ circ ) F?

5. Un objeto con temperatura inicial (150 ^ circ ) C se coloca afuera, donde la temperatura es (35 ^ circ ) C. Sus temperaturas a las 12:15 y 12:20 son (120 ^ circ ) C y (90 ^ circ ) C, respectivamente.

  1. ¿A qué hora se colocó el objeto en el exterior?
  2. ¿Cuándo será su temperatura (40 ^ circ ) C?

6. Se coloca un objeto en una habitación donde la temperatura es (20 ^ circ ) C. La temperatura del objeto desciende (5 ^ circ ) C en (4 ) minutos y (7 ^ circ ) C en (8 ) minutos. ¿Cuál era la temperatura del objeto cuando se colocó inicialmente en la habitación?

7. Se coloca una taza de agua hirviendo afuera a la 1:00 pm. Un minuto después, la temperatura del agua es (152 ^ circ ) F. Después de otro minuto, su temperatura es (112 ^ circ ) F. ¿Cuál es la temperatura exterior?

8. Un tanque contiene inicialmente (40 ) galones de agua pura. Una solución con (1 ) gramo de sal por galón de agua se agrega al tanque a (3 ) gal / min, y la solución resultante se drena a la misma velocidad. Encuentre la cantidad (Q (t) ) de sal en el tanque en el momento (t> 0 ).

9. Un tanque contiene inicialmente una solución de (10 ​​) libras de sal en (60 ) galones de agua. Se agrega agua con (1/2 ) libra de sal por galón al tanque a (6 ) gal / min, y la solución resultante sale a la misma velocidad. Encuentre la cantidad (Q (t) ) de sal en el tanque en el momento (t> 0 ).

10. Un tanque contiene inicialmente (100 ) litros de una solución salina con una concentración de (. 1 ) g / litro. Una solución con una concentración de sal de (. 3 ) g / litro se agrega al tanque a (5 ) litros / min, y la mezcla resultante se drena a la misma velocidad. Encuentre la concentración (K (t) ) de sal en el tanque en función de (t ).

11. Un tanque de (200 ) galones contiene inicialmente (100 ) galones de agua con (20 ) libras de sal. Una solución de sal con (1/4 ) libra de sal por galón se agrega al tanque a (4 ) gal / min, y la mezcla resultante se drena a (2 ) gal / min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque cuando está a punto de desbordarse.

12. Suponga que se agrega agua a un tanque a 10 gal / min, pero se filtra a razón de (1/5 ) gal / min por cada galón en el tanque. ¿Cuál es la capacidad más pequeña que puede tener el tanque si el proceso continúa indefinidamente?

13. Una reacción química en un laboratorio con volumen (V ) (en ft (^ 3 )) produce (q_1 ) ft (^ 3 ) / min de un gas nocivo como subproducto. El gas es peligroso en concentraciones superiores a ( overline c ), pero inofensivo en concentraciones ( le overline c ). Los ventiladores de admisión en un extremo del laboratorio aspiran aire fresco a una velocidad de (q_2 ) ft (^ 3 ) / min y los ventiladores de extracción en el otro extremo extraen la mezcla de gas y aire del laboratorio al mismo tiempo. Velocidad. Suponiendo que el gas siempre se distribuye uniformemente en la habitación y que su concentración inicial (c_0 ) está en un nivel seguro, encuentre el valor más pequeño de (q_2 ) requerido para mantener condiciones seguras en el laboratorio durante todo el tiempo.

14. Un tanque de (1200 ) - galones contiene inicialmente (40 ) libras de sal disueltas en (600 ) galones de agua. Comenzando en (t_0 = 0 ), el agua que contiene (1/2 ) libra de sal por galón se agrega al tanque a una velocidad de (6 ) gal / min y la mezcla resultante se drena del tanque a (4 ) gal / min. Encuentre la cantidad (Q (t) ) de sal en el tanque en cualquier momento (t> 0 ) antes del desbordamiento.

15. El tanque (T_1 ) contiene inicialmente (50 ) galones de agua pura. Comenzando en (t_0 = 0 ), el agua que contiene (1 ) libra de sal por galón se vierte en (T_1 ) a una velocidad de (2 ) gal / min. La mezcla se drena de (T_1 ) a la misma velocidad a un segundo tanque (T_2 ), que inicialmente contiene (50 ) galones de agua pura. También a partir de (t_0 = 0 ), se vierte una mezcla de otra fuente que contiene (2 ) libras de sal por galón en (T_2 ) a una velocidad de (2 ) gal / min. La mezcla se drena de (T_2 ) a una velocidad de (4 ) gal / min.

  1. Encuentre una ecuación diferencial para la cantidad (Q (t) ) de sal en el tanque (T_2 ) en el tiempo (t> 0 ).
  2. Resuelva la ecuación derivada en (a) para determinar (Q (t) ).
  3. Encuentra ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

16. Suponga que un objeto con temperatura inicial (T_0 ) se coloca en un recipiente sellado, que a su vez se coloca en un medio con temperatura (T_m ). Deje que la temperatura inicial del recipiente sea (S_0 ). Suponga que la temperatura del objeto no afecta la temperatura del recipiente, que a su vez no afecta la temperatura del medio. (Estas suposiciones son razonables, por ejemplo, si el objeto es una taza de café, el recipiente es una casa y el medio es la atmósfera).

  1. Suponiendo que el recipiente y el medio tienen distintas constantes de caída de temperatura (k ) y (k_m ) respectivamente, use la ley de enfriamiento de Newton para encontrar las temperaturas (S (t) ) y (T (t) ) del contenedor y el objeto en el momento (t ).
  2. Suponiendo que el recipiente y el medio tienen la misma constante de caída de temperatura (k ), use la ley de enfriamiento de Newton para encontrar las temperaturas (S (t) ) y (T (t) ) del recipiente y el objeto en el momento (t ).
  3. Encuentra ( lim ._ {t to infty} S (t) ) y ( lim_ {t to infty} T (t) ).

17. En nuestros ejemplos y ejercicios anteriores relacionados con la ley de enfriamiento de Newton, asumimos que la temperatura del medio permanece constante. Este modelo es adecuado si el calor perdido o ganado por el objeto es insignificante en comparación con el calor requerido para provocar un cambio apreciable en la temperatura del medio. Si no es así, debemos utilizar un modelo que dé cuenta del intercambio de calor entre el objeto y el medio. Sean (T = T (t) ) y (T_m = T_m (t) ) las temperaturas del objeto y el medio, respectivamente, y sean (T_0 ) y (T_ {m0} ) sean sus valores iniciales. Nuevamente, asumimos que (T ) y (T_m ) están relacionados por la ley de enfriamiento de Newton,

[T '= - k (T-T_m). tag {A} ]

También asumimos que el cambio de calor del objeto a medida que cambia su temperatura de (T_0 ) a (T ) es (a (T-T_0) ) y que el cambio de calor del medio como su temperatura cambios de (T_ {m0} ) a (T_m ) es (a_m (T_m-T_ {m0}) ), donde (a ) y (a_m ) son constantes positivas dependiendo de las masas y propiedades térmicas del objeto y el medio, respectivamente. Si asumimos que el calor total del sistema que consiste en el objeto y el medio permanece constante (es decir, se conserva la energía), entonces

[a (T-T_0) + a_m (T_m-T_ {m0}) = 0. tag {B} ]

  1. La ecuación (A) involucra dos funciones desconocidas (T ) y (T_m ). Utilice (A) y (B) para derivar una ecuación diferencial que involucre solo a (T ).
  2. Encuentra (T (t) ) y (T_m (t) ) para (t> 0 ).
  3. Encuentra ( lim_ {t to infty} T (t) ) y ( lim_ {t to infty} T_m (t) ).

18. Los mecanismos de control permiten que el fluido fluya hacia un tanque a una tasa proporcional al volumen (V ) de fluido en el tanque y que fluya hacia afuera a una tasa proporcional a (V ^ 2 ). Suponga que (V (0) = V_0 ) y las constantes de proporcionalidad son (a ) y (b ), respectivamente. Encuentre (V (t) ) para (t> 0 ) y encuentre ( lim_ {t to infty} V (t) ).

19. Tanques idénticos (T_1 ) y (T_2 ) inicialmente contienen (W ) galones cada uno de agua pura. Comenzando en (t_0 = 0 ), una solución salina con concentración constante (c ) se bombea a (T_1 ) a (r ) gal / min y se drena de (T_1 ) a (T_2 ) a la misma velocidad. La mezcla resultante en (T_2 ) también se drena a la misma velocidad. Encuentre las concentraciones (c_1 (t) ) y (c_2 (t) ) en los tanques (T_1 ) y (T_2 ) para (t> 0 ).

20. Una secuencia infinita de tanques idénticos (T_1 ), (T_2 ),…, (T_n ),…, inicialmente contienen (W ) galones cada uno de agua pura. Están conectados para que el fluido se drene de (T_n ) a (T_ {n + 1} , (n = 1,2, cdots) ). Se hace circular una solución de sal a través de los tanques para que entre y salga de cada tanque a una velocidad constante de (r ) gal / min. La solución tiene una concentración de (c ) libras de sal por galón cuando entra (T_1 ).

  1. Encuentra la concentración (c_n (t) ) en el tanque (T_n ) para (t> 0 ).
  2. Encuentra ( lim_ {t to infty} c_n (t) ) para cada (n ).

21. Los tanques (T_1 ) y (T_2 ) tienen capacidades (W_1 ) y (W_2 ) litros, respectivamente. Inicialmente, ambos están llenos de soluciones de tinte con concentraciones de (c_ {1} ) y (c_2 ) gramos por litro. Comenzando en (t_0 = 0 ), la solución de (T_1 ) se bombea a (T_2 ) a una velocidad de (r ) litros por minuto, y la solución de (T_2 ) se bombea en (T_1 ) a la misma velocidad.

  1. Encuentra las concentraciones (c_1 (t) ) y (c_2 (t) ) del tinte en (T_1 ) y (T_2 ) para (t> 0 ).
  2. Encuentra ( lim_ {t to infty} c_1 (t) ) y ( lim_ {t to infty} c_2 (t) ).

22. Considere el problema de mezcla del ejemplo 4.2.3, pero sin el supuesto de que la mezcla se agita instantáneamente de modo que la sal siempre se distribuya uniformemente por toda la mezcla. Suponga, en cambio, que la distribución se aproxima a la uniformidad como (t a infty ). En este caso, la ecuación diferencial para (Q ) tiene la forma

[Q '+ {a (t) over150} Q = 2 ]

donde ( lim_ {t to infty} a (t) = 1 ).

  1. Suponiendo que (Q (0) = Q_0 ), ¿puedes adivinar el valor de ( lim_ {t to infty} Q (t) ) ?.
  2. Utilice métodos numéricos para confirmar su conjetura en estos casos:

[ text {(i)} a (t) = t / (1 + t) quad text {(ii)} a (t) = 1-e ^ {- t ^ 2} quad text { (iii)} a (t) = 1- sin (e ^ {- t}). ]

23. Considere el problema de mezcla del ejemplo 4.2.4 en un tanque con capacidad infinita, pero sin la suposición de que la mezcla se agita instantáneamente para que la sal siempre se distribuya uniformemente por toda la mezcla. En este caso, la ecuación diferencial para (Q ) tiene la forma

[Q '+ {a (t) over t + 100} Q = 1 ]

donde ( lim_ {t to infty} a (t) = 1 ).

  1. Sea (K (t) ) la concentración de sal en el tiempo (t ). Suponiendo que (Q (0) = Q_0 ), ¿puedes adivinar el valor de ( lim_ {t to infty} K (t) )?
  2. Utilice métodos numéricos para confirmar su conjetura en estos casos:

[ text {(i)} a (t) = t / (1 + t) quad text {(ii)} a (t) = 1-e ^ {- t ^ 2} quad text { (iii)} a (t) = 1 + sin (e ^ {- t}). ]


Capítulo XI: Dios aumentó los enteros

Preguntas fáciles (Ch11)

Si un evento tiene probabilidad (0.35 ), ¿cuáles son las probabilidades logarítmicas de este evento?

Solución

Si un evento tiene probabilidades logarítmicas (3.2 ), ¿cuál es la probabilidad de este evento?

Solución

Suponga que un coeficiente en una regresión logística tiene valor (1.7 ). ¿Qué implica esto sobre el cambio proporcional en las probabilidades del resultado?

Solución

Tenga en cuenta que este no es realmente el cambio en la variable, sino el probabilidades proporcionales.

MANTENER 11E4

¿Por qué las regresiones de Poisson a veces requieren el uso de una compensar? Dé un ejemplo.

Solución

La distribución de Poisson a menudo se entiende como una distribución límite del binomio donde (λ = np ) como (n → ∞ ) y (p → 0 ). Por tanto, el parámetro único expresa el valor esperado, pero a menudo también se utiliza para codificar diferentes pasos de tiempo. Esencialmente, la distribución asume una tasa constante en el tiempo o en el espacio y, por lo tanto, el cambio en la exposición se expresa mediante el desplazamiento, que es el logaritmo de la exposición.

Para cualquier caso en el que las muestras se extraigan de poblaciones que tienen diferentes períodos de tiempo de agregación pero que todavía están dentro del alcance de una distribución de Poisson, la compensación es una forma natural de expresarlos.

Para aprovechar el ejemplo del libro, al construir un modelo para tener en cuenta el hecho de que un Monasterio calcula sus promedios semanalmente, mientras que el otro promedia por día, esta restricción debe modelarse teniendo diferentes compensaciones.

Preguntas de complejidad media (Ch11)

MANTENER 11M2

Si un coeficiente en una regresión de Poisson tiene valores (1.7 ), ¿qué implica esto sobre el cambio en el resultado?

Solución

El coeficiente en una regresión de Poisson implica que el cambio proporcional en el recuento estará

5.474 cuando la variable predictora aumenta en una unidad.

MANTENER 11M3

Explique por qué el enlace logit es apropiado para un modelo lineal binomial generalizado.

Solución

El enlace logit esencialmente conecta un parámetro restringido entre cero y uno y el espacio real. La función logit se define como:

Donde (pᵢ ) es una masa de probabilidad. Este vínculo tiene sentido para un GLM ya que el valor predicho es un parámetro de distribución de probabilidad, y nos gustaría obtenerlo de un modelo lineal que abarque todo el conjunto de números reales.

La función de enlace asigna un parámetro a un modelo lineal.

MANTENER 11M4

Explique por qué el logaritmo es apropiado para un modelo lineal generalizado de Poisson.

Solución

La función de registro asegura que el parámetro no pueda tomar valores menores que cero. Ésta es una consecuencia natural de la definición de la función.

El enlace de registro asume que el valor del parámetro es la exponenciación del modelo lineal.

Esto tiene sentido para un GLM de Poisson ya que la distribución de Poisson no acepta valores negativos.

MANTENER 11M5

¿Qué implicaría utilizar un enlace logit para la media de un modelo lineal generalizado de Poisson? ¿Puede pensar en un problema de investigación real para el que esto tenga sentido?

Solución

Deberíamos escribir esto de manera más explícita.

Esto implica que la media μ se encuentra entre cero y uno. Dado que la distribución de Poisson se define mediante un solo parámetro, esto limita los resultados del modelo. La premisa de un problema de regresión de Poisson es que el GLM modela un recuento con un máximo desconocido, por lo que parece ser una restricción muy severa.

En mi opinión, esto es factible para problemas restringidos, donde la distribución de Poisson debe seguirse pero solo dentro de un rango particular por alguna razón, y cuando el Binomio (del cual el Poisson es un caso especial), disminuye demasiado lentamente.

Fue mencionado en el foros de clase, que el problema de COVID-19 se modeló con una función de enlace generalizada de dos parámetros, es decir, ( log < frac

> ) que esencialmente restringe el modelo a tener dinámica de Poisson pero con una media de salida entre 0 y S.

MANTENER 11M6

Indique las restricciones para las cuales las distribuciones binomial y de Poisson tienen máxima entropía. ¿Son las restricciones diferentes para binomial y Poisson? ¿Por qué o por qué no?

Solución

La distribución Binomial se define como las distribuciones de entropía máxima que son:

Esto se define por el número de resultados (n) así como por la probabilidad (p). El experimento se reduce esencialmente a una serie de ensayos de Bernoulli independientes e idénticos con solo dos resultados. La distribución de Poisson se deriva como una forma límite del Binomio, donde (n → ∞ ) y (p → 0 ). Dado que esto no cambia las restricciones subyacentes, esta sigue siendo una distribución de entropía máxima.

MANTENER 11M8

Revise el ejemplo de islas de datos (Kline). Esta vez elimine Hawaii de la muestra y vuelva a montar los modelos. ¿Qué cambios observas?

Solución

Vemos que las pendientes son ahora las mismas, lo que tiene sentido ya que en este conjunto de datos, Hawái fue el único valor atípico.


RESUMEN

La actividad física aguda conduce a varios cambios en las vías metabólicas, vasculares e inmunes. Si bien los estudios han examinado cambios seleccionados en estas vías, la respuesta molecular de todo el sistema a una serie aguda de ejercicio no se ha caracterizado completamente. Realizamos perfiles multiómicos longitudinales de células mononucleares de sangre periférica y plasma, incluidos el metaboloma, lipidoma, inmunoma, proteoma y transcriptoma de 36 voluntarios bien caracterizados, antes y después de una serie controlada de ejercicio sin síntomas. El análisis de series de tiempo reveló miles de cambios moleculares y una coreografía orquestada de procesos biológicos que involucran el metabolismo energético, el estrés oxidativo, la inflamación, la reparación de tejidos, la respuesta del factor de crecimiento y las vías reguladoras. La mayoría de estos procesos se amortiguaron y algunos se revirtieron en los participantes resistentes a la insulina. Por último, descubrimos las vías biológicas implicadas en la respuesta al ejercicio cardiopulmonar y desarrollamos modelos de predicción que revelan posibles biomarcadores en reposo basados ​​en la sangre del consumo máximo de oxígeno.


Fondo

En la clase sobre estadísticas esenciales cubrimos el análisis de datos categóricos básicos: comparar proporciones (riesgos, tasas, etc.) entre diferentes grupos mediante una prueba de chi-cuadrado o exacta de Fisher, o regresión logística. Por ejemplo, observamos cómo difería la tasa de diabetes entre hombres y mujeres. En este tipo de análisis, implícitamente asume que las tasas son constantes durante el período del estudio, o según lo definido por los diferentes grupos que definió.

Pero, en los estudios longitudinales en los que realiza un seguimiento de las muestras o los sujetos desde un punto en el tiempo (por ejemplo, la entrada en un estudio, el diagnóstico, el inicio de un tratamiento) hasta que observa algún resultado evento (por ejemplo, muerte, aparición de una enfermedad, recaída), no tiene sentido asumir que las tasas son constantes. Por ejemplo: el riesgo de muerte después de una cirugía cardíaca es más alto inmediatamente después de la operación, disminuye a medida que el paciente se recupera y luego aumenta lentamente de nuevo a medida que el paciente envejece. O bien, la tasa de recurrencia de diferentes cánceres varía mucho con el tiempo y depende de la genética del tumor, el tratamiento y otros factores ambientales.

Definiciones

Análisis de supervivencia le permite analizar las tasas de ocurrencia de eventos a lo largo del tiempo, sin asumir que las tasas son constantes. Generalmente, el análisis de supervivencia le permite modelar el tiempo hasta que ocurre un evento, 1 o compare el tiempo transcurrido hasta el evento entre diferentes grupos, o cómo el tiempo transcurrido hasta el evento se correlaciona con las variables cuantitativas.

La peligro es la tasa de eventos instantáneos (muerte) en un punto de tiempo particular t. El análisis de supervivencia no asume que el peligro sea constante en el tiempo. La peligro acumulativo es el peligro total experimentado hasta el momento t.

La función de supervivencia, es la probabilidad de que un individuo sobreviva (o, la probabilidad de que el evento de interés no ocurra) hasta e incluyendo el tiempo t. Es la probabilidad de que el evento (por ejemplo, la muerte) aún no haya ocurrido. Se ve así, donde (T ) es el momento de la muerte y (Pr (T & gtt) ) es la probabilidad de que el momento de la muerte sea mayor que algún tiempo (t ). (S ) es una probabilidad, entonces (0 leq S (t) leq 1 ), ya que los tiempos de supervivencia son siempre positivos ( (T geq 0 )).

La Kaplan-Meier La curva ilustra la función de supervivencia. Es una función escalonada que ilustra la probabilidad de supervivencia acumulada a lo largo del tiempo. La curva es horizontal durante períodos en los que no ocurre ningún evento, luego desciende verticalmente correspondiente a un cambio en la función de supervivencia cada vez que ocurre un evento.

Censurar es un tipo de problema de datos faltantes exclusivo del análisis de supervivencia. Esto sucede cuando rastrea la muestra / sujeto hasta el final del estudio y el evento nunca ocurre. Esto también podría suceder debido a que la muestra / sujeto abandonó el estudio por razones distintas a la muerte o alguna otra pérdida durante el seguimiento. La muestra es censurado en el sentido de que solo sabe que el individuo sobrevivió hasta la pérdida de seguimiento, pero no sabe nada sobre la supervivencia después de eso. 2

Supuesto de riesgos proporcionales: El objetivo principal del análisis de supervivencia es comparar las funciones de supervivencia en diferentes grupos, por ejemplo, pacientes con leucemia en comparación con controles sin cáncer. Si siguió a ambos grupos hasta que todos murieron, ambas curvas de supervivencia terminarían en 0%, pero un grupo podría haber sobrevivido en promedio mucho más tiempo que el otro grupo. El análisis de supervivencia hace esto comparando el peligro en diferentes momentos durante el período de observación. El análisis de supervivencia no asume que el peligro sea constante, pero lo hace asumir que el proporción de peligros entre grupos es constante en el tiempo. 3 Esta clase hace no cubren métodos para lidiar con peligros no proporcionales, o interacciones de covariables con el tiempo hasta el evento.

Regresión de riesgos proporcionales también conocido como Regresión de Cox es el enfoque más común para evaluar el efecto de diferentes variables sobre la supervivencia.

Modelo Cox PH

Las curvas de Kaplan-Meier son buenas para visualizar diferencias en la supervivencia entre dos grupos categóricos, 4 pero no funcionan bien para evaluar el efecto de cuantitativo variables como edad, expresión genética, recuento de leucocitos, etc. La regresión de Cox PH puede evaluar el efecto de variables categóricas y continuas, y puede modelar el efecto de múltiples variables a la vez. 5

La regresión de Cox PH modela el logaritmo natural del peligro en el momento t, denotado (h (t) ), como una función del peligro de línea de base ( (h_0 (t) )) (el peligro para un individuo donde todas las variables de exposición son 0) y múltiples variables de exposición (x_1 ) , (x_1 ), (. ), (x_p ). La forma del modelo Cox PH es:

[log (h (t)) = log (h_0 (t)) + beta_1 x_1 + beta_2 x_2 +. + beta_p x_p ]

Si expone ambos lados de la ecuación y limita el lado derecho a una sola variable de exposición categórica ( (x_1 )) con dos grupos ( (x_1 = 1 ) para expuesto y (x_1 = 0 ) para no expuesto), la ecuación se convierte en:

Reorganizar esa ecuación le permite estimar el cociente de riesgo, comparando las personas expuestas con las no expuestas en el momento t:

Este modelo muestra que la tasa de riesgo es (e ^ < beta_1> ), y permanece constante en el tiempo t (de ahí el nombre regresión de riesgos proporcionales). Los valores de ( beta ) son los coeficientes de regresión que se estiman a partir del modelo y representan el (log (Hazard , Ratio) ) para cada aumento unitario en la variable predictora correspondiente. La interpretación de la razón de riesgos depende de la escala de medición de la variable predictora, pero en términos simples, un coeficiente positivo indica una peor supervivencia y un coeficiente negativo indica una mejor supervivencia para la variable en cuestión.


Con JDK1.6, puede utilizar el motor Javascript integrado.

Escribí este método de evaluación para que las expresiones aritméticas respondan a esta pregunta. Hace sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, exponenciaciones (usando el símbolo ^) y algunas funciones básicas como sqrt. Admite la agrupación mediante (.) Y obtiene las reglas de asociatividad y precedencia del operador correctas.

El analizador es un analizador de descenso recursivo, por lo que utiliza internamente métodos de análisis separados para cada nivel de precedencia de operadores en su gramática. Lo guardé corto por lo que es fácil de modificar, pero aquí hay algunas ideas con las que puede querer expandirlo:

El bit del analizador que lee los nombres de las funciones se puede cambiar fácilmente para manejar variables personalizadas también, buscando nombres en una tabla de variables que se pasa al método eval, como las variables Map & ltString, Double & gt.

Recopilación y evaluación separadas:

¿Qué pasa si, habiendo agregado soporte para variables, quisiera evaluar la misma expresión millones de veces con variables cambiadas, sin analizarla cada vez? It's possible. First define an interface to use to evaluate the precompiled expression:

Now change all the methods that return double s, so instead they return an instance of that interface. Java 8's lambda syntax works great for this. Example of one of the changed methods:

That builds a recursive tree of Expression objects representing the compiled expression (an abstract syntax tree). Then you can compile it once and evaluate it repeatedly with different values:

Different datatypes:

Instead of double , you could change the evaluator to use something more powerful like BigDecimal , or a class that implements complex numbers, or rational numbers (fractions). You could even use Object , allowing some mix of datatypes in expressions, just like a real programming language. :)

All code in this answer released to the public domain. Have fun!


Vacuum Distillation Column: Design And Control

Let us know what your specific needs are and in what specific areas we can be of possible help.

#3 merac

I'm a spanish student of 5ºCourse of Chemical Engineering who is doing the final degree project .
The distillation column operate at 0,2 bar and its objective is to remove the methanol and water that a methyloleate stream has.
This column has a partial condenser and my problems are the following:
1. In order to do the vacuum the column needs, I have put a steam ejector on the vapor stream that leaves the reflux accumulator, but:
-what can I do to avoid the ejector pumping out not only the uncondensables but also the liquid?
-how can I control de vacuum I need? with the high pressure steam?
- where do the stream that exits the ejector (methanol and water) goes?
- In an other distillation column that operates also at 0,2 bar, I have a total condenser, so how can I make this vacuum if the stream is liquid?

2. In order to do the mechanical design of the column, I have to estimate shell thickness taking into consideration the pressure, but is it neccesary to put some reinforcements in the column to prevent accidents related with vaccum?
thanks for your help

#4 Art Montemayor

Please download and study the attached Vacuum workbook which I have prepared to train young engineers in the concepts of vacuum operation and related equipment.

You have located your selected steam jet ejector in one of the proper places where it could go. You can avoid the ejector pumping out not only the noncondensables but also the liquid by simply locating it on top of the Reflux Drum and preferably with a baffle welded inside the Reflux Drum, directly under the nozzle where the noncondensables exit. I normally avoid this location because you are forcing the Reflux Drum to function as a vapor-liquid separator as well as a liquid reservoir. I prefer to locate my vacuum device directly on the total condenser itself. Please refer to the 2nd attached workbook related to this thread to see the mechanical orientation and design criteria. Note the common sense employed in this engineering design. This way you don’t have to design the Reflux Drum as a separator – only as a reservoir. This is very typical of most – if not practically all – engineering involved in Unit Operations Equipment design and operation. There is no complex or nuclear physics involved here – just common horse sense. You will encounter this type of common sense decisions often should you continue on to a successful engineering career in the future.

You control the degree or quantity of vacuum level that you require for your process by simply oversizing your vacuum creating device (the steam jet ejector) and bleeding in atmospheric air a little distance upstream of your device. You carry this out by simply applying a control valve and a vacuum controller.

The vapor stream that is extracted from the system (what you call the methanol & water) as well as the non-condensables is emitted to either a vent condenser (for possible methanol recovery) or to the atmosphere as a potential pollution problem. The latter is one good reason why steam jet ejectors are not very popular nowadays. If you can’t tolerate the emissions, then select another type of vacuum device.

When you have a total condenser on a column it is much simpler to pull a vacuum. You can use either of the two methods I have described above. In this case the Reflux Drum still operates as a vapor-liquid separator – but only to a small extent.

It may not be necessary to reinforce the shell of the column in order to rate it for full vacuum design. Do not forget that you must consider the case where the column could go into full vacuum – either accidentally or by instrumentation failure. Common sense dictates that you design the column (& all attached vessels) for full (absolute) vacuum and rate them as such.
Producing_and_Maintaining_a_Vacuum.zip 56.49KB 1680 downloads

Attached Files

#5 merac

#6 merac

#7 Art Montemayor

Prior Spanish Students (@ Alicante & Salamanca) that I’ve helped have referenced my personal notes and communications with respect to empirical data, equations, and personal experience and these have been accepted by the judges. You don’t identify the specific information that you plan to incorporate in your calculations and write-up, but I suspect it has to do with the empirical equations that I present for the determination of air seepage and leaks. You should identify this for what it is: empirical, field-tested and recommended relationships. Use my name and reference as the source. Anywhere else that you go to in order to obtain an answer to this type of problem will involve empirical factors and relationships, so you would have to reference them as well. There is no other practical way to skin this cat.

  1. The equalization line is there to allow free and continuous drainage of the saturated condensate liquid from the condenser into the Reflux Drum
  2. A dip pipe is employed to route the produced saturated condensate into the Reflux Drum in order to ensure that there is a positive liquid seal between the condenser system and the Reflux Drum system.

Look carefully at the sketch and note that I include details that you normally have not seen in chemical engineering text books. That is because the text books lack the practical and realistic industrial applications experience. Your system requires that the saturated condensate flow directly out of the condenser as soon as it is being formed in order to facilitate the heat transfer area to do its work continuously. That is why you will note that I employ the shell side of the condenser to condense the vapor and install multiple liquid drain nozzles in the bottom of the shell. Note that I purposely concentrate the majority of the drain nozzles towards the hot end of the exchanger. That is the zone where most of the condensate is going to be formed – and very quickly. As you travel further towards the cold end of the shell side, you are concentrating non-condensables and less liquid. Note that the flow driving force (pressure drop) is driving the vapors in that direction. We do not want any by-passing of vapor into the Reflux drum and therefore we establish a liquid seal between the condenser shell and the Reflux Drum by employing a dip pipe rather than just a simple nozzle at the top of the Reflux Drum. This allows only the liquid to drain into the Reflux Drum and keeps uncondensed vapors out. It also establishes a non-free-venting nozzle effect. In other words, the drain nozzle into the Reflux Drum does not have to be a “free-venting” nozzle. This is a natural hydraulic requirement that many students totally miss and remain ignorant of primarily because their professors fail to teach them the basic rules of fluid mechanics. In order to freely drain liquid from one vessel into another using gravity flow, you must take into account that the vapor displaced in the lower target vessel has to be either removed or transmitted back to the original, upper source vessel. Otherwise, the damned liquid won’t drain or it will “slug-drain” erratically! You cannot afford to make this mistake in a continuous process system such as a distillation column. What is commonly done is that an equalization line is installed, joining the vapor spaces of both the source and the target vessels. This allows the displaced vapor in the latter to be routed to the former and ensures steady, gravity drain flow.

As I have stated previously, what many professors fail to teach and to drill into Chemical Engineering students is the fact that the majority of their future designs and decisions will require common sense being applied in order to achieve engineering success. Engineering is the successful application of scientific principles on a practical and economic basis. Unfortunately, these basic truths upon which all engineers will be judged when they achieve professional status are totally left out of the academic text books and lectures in today’s universities. There either isn’t enough time, experience, or incentive for it to be done.

I hope you and other students understand now, by this example, why I always keep insisting in this Forum that engineering students practice the employment of common sense when applying engineering principles.

Also, before I forget to mention it, think carefully of how you must ensure the successful passage of any condensed liquid through the shell side of the condenser and through its internal baffles. By now, you obviously already know about heat exchanger baffles and the function they perform. Most baffles have a 25% “window” that is, they are cut and have a circular segment that represents 25% of the exchanger’s diameter. If you are successful in visualizing the internal arrangement of heat exchangers, then you will realize that the lower (condensate collection zone) part of the shell side will be blocked by baffles – whether the baffles are oriented with the “cut” done vertically or horizontally. Automatically, you have a serious and grave hydraulic problem: you can’t transport the condensate without flooding some of the lower tubes (and effectively neutralizing their heat transfer capability)! You either have to notch the bottom of the baffles (a “Vee” notch is usually the custom) or install the system of drainage that I’ve sketched out for you in the workbook. As you can probably already see, there is a lot of common sense that has to be applied in doing a detailed engineering design.

#8 merac

#9 merac

I have decided to design the column as a packed distillation column because it produces a less pressure drop per theorical stage and that is very important when operating at vacuum.
However the design diameter that I've calculated is very small and I'm sure I'm doing something wrong but I don't know what so I'm going to explain how am I doing the design in case you can help me.
Objective of the column: remove water, methanol and triolein of the feed stream in order to have a liquid distillate with methyloleate 99,98 pure

Operating conditions of the column:
Feed Vap distillate L distllate Residue
Temperature (ºC) 60 162 162 321
Mass flow (kg/h) 3670 14,64 3471 184
Mass fraction
Methyl oleate 0,95 0,16 0,998 0,02
Triolein 0,05 2,64E-4 1,0E-03 0,98
Metahnol 3,00E-03 0,66 3,9E-04 0
Water 1,00E-03 0,18 3,0E-04 0

Type of packing: structured packing Flexipac HC 1,4Y(Koch) with an specific area of 350m2/m3 and 279 mm of HEPT.

To determine the diameter column:
-I'm using the maximum pressure drop criteria, and in my case, as I'm working with a vacuum system,
the maximum pressure drop per meter of packing is 8,6E-4 – 2,02E-3bar (Kister book about distillation design)
-with the data that is on the excel sheet I send you, I calculate the flow parameter.
-then, with the flow parameter and the maximum pressure drop I calculate the capacity parameter from a chart that is on the Kister book I mentioned before.
-with the capacity parameter I calculate the Cs value according to the equation:
Capacity parameter = CS* FP^0,5*kinematic viscosity^0,05, where CS is in ft/s, Fp in ft^-1 and kinematic viscosity in cst
-then, with Cs I calculate velocity us:
Cs=us*(gas density/(liquid density - gas density))^0,5
-and with velocity and volumetric flow, I calculate area and then diameter, and as a result my column has 0,065m of diameter!!!!! That is to small, and I don't know what I'm doing wrong
Please, can you help me?
I have also tried another criteria for designing the diameter column (the flooding velocity) but it has also given me a small diameter , and I don't know what to do

Attached Files

#10 Art Montemayor

I don't calculate a packed tower the way you say you learned in Kister's book. Frankly, I don't have much respect for Kister's book. But that's not important. The important points are that you can find helpful information and a definite solution to your problem. I strongly recommend you go to:

and find out all you can about Harvey (Katmar) Wilson's program, "Packed Column Calculator". You can obtain a detailed illustrated manual and tutorial included in Word v6 format and the Registration cost is US๠-00 for a single user license. This is approximately 50% of what the Kister book probably cost you. Harvey will allow you to download a trial version for Free that you can try out. This program will resolve your problem in the shortest time and with the least effort. However, you won't learn too much about packed tower design and its details. To do that, you should get a copy of:

Random Packings and Packed Towers
Design and Applications
Ralph F. Strigle, Jr.
Gulf Publishing Co. (1987)
ISBN 0-87201-669-2

The generalized pressure drop correlation (Figure 1-15 or 1-15) can be found on p.17. This is the classical way and method that I learned to resolve packed tower problems and design packed towers.

To give you a good idea of what your diameter should be, you can read the short composition on how to estimate the diameter of a packed tower and this should be a good way to "zero" in on what the diameter should be.

I hope the above offers some help and that you succeed in defining your tower.

#11 merac

Thanks a lot for the book you recomend me. I've already designed my column and I think it can be correct as the diameter is 3,5 m and its height 6m. and I have simulated in Aspen Plus and it calculates also a diameter of 3,5 aproximately

However, I still have to ask you more things because each time I begin to design a new process equipment of my final degree project, more doubts arise. Now, I'm designing the steam ejector.

I have to decided to put it on the noncondensables stream that leaves the partial condenser and following the rules that you give me in the Excel sheet call "Producing and mantaining vaccuum" I'm calculating the desgin capacity of the ejector by:
1. Calculate the air seepage.
Question1: To calculate the air seepage due to the system components I need to know what are the normal components that a packed distillation column has (type of static seal, type of dinamic seal, number of access port, viewing windows for a distillation column?)

2.Calculate the noncondensable or process gases
Pregunta 2.. In the partial condenser, there is a vapor (14,64 kg/h) that contains 2,37 kg/hr of methyl oleate, 9,65kg/hr methanol and 2,62 kg/hr of water. What is the mass flow I should consider to calculate the ejector capacity? Only the methnaol and water flows or all the vapor stream?
Question 3: I thought that the steam ejector capacity was function of the vacuum pressure you need, but if you determine the capacity only with the air seepage and the noncondensables, how is the ejector capacity with the vacuum presure?
Pregunta 4. Once I know the ejector capacity, are there any other important parameter to design the ejector? diameter? length?
Question 5. Related to the mechanical design of ejector, what aspects should I consider?

#12 merac

#13 Art Montemayor

1. Calculate the air seepage.
To calculate the air seepage due to the system components You need to know the quantity and types of nozzles, joints, flanges, and other pieces of equipment that are basic requirements for a packed distillation column. Sit down and think about what the column needs to operate efficiently and safely. For example, you need at least to consider the following: Feed inlet nozzle bottom outlet top vapor outlet reboiler connections safety relief valve temperature probes pressure probes sample probes manways for packing introduction and removal level detection instruments etc.. etc. Make a list after you’ve determined all the stream sizes and line sizes as well as the column diameter.

2. Calculate the noncondensable or process gases
Regarding the partial condenser’s, vapor flow, you should consider and establish just exactly what you plan to do with this vapor downstream of the column. Do you intend to condense it or to continue to transport it as a vapor stream to be used as such downstream? You haven’t told us your scope of work or explained what you are doing – other than just operating a simple vacuum still. I can’t comment or help you on this until you reveal everything you plan to do or are designing to do. Normally, people condense the overhead vapor stream and store it. Is that your case?

3. I don’t understand your question. I recommend you visit the Graham Website at: http://www.graham-mf. /ejlibrary.html where you can download and study all the information regarding the application of the steam jet vacuum system you propose. This should be of great help to you. Also note that Graham gives you a typical Specification Sheet to for the proposal of a steam jet. They are the ones that fix the steam requirements – not the user.

4. Refer to the Graham website that I mention above.

5. An engineer that is proposing to use an ejector does not get involved in its mechanical design. There is no logical or practical reason for this to happen. Unless you are studying or planning on entering the manufacturing of steam jet ejectors – which I seriously doubt – there can be no reason for you to get involved or to attempt to mechanically design one. I doubt that your professors expect you to mechanically design a steam jet ejector. They may rightfully expect and demand that you know and explain how it works and why – but it is totally impractical to get into the mechanical design of this type of specialty equipment. It would be the same thing if it were expected for you to mechanically design the pumps and compressors in your project. That is not done in the real world. Expert and recognized manufacturers do this in their sleep and they publish catalogs to allow you to select the correct size (capacity) of ejector that you desire. These catalogs also give you the expected steam consumptions of each of the different models. You should solicit this information from suppliers such as Graham – or from local Spanish manufacturers or suppliers. That is the way that industrial professional engineers do it and the way that I am sure your professors expect you to handle the problem.

#14 merac

Thanks for your help
As you have asked me what is the objective of the distillation column, I will explain it.
I'm doing the final degree project about the design of a biodiesel plant from palm, soya, rape and sunflower oil, and methanol, and sodium hydroxide as catalyst and what I have to design for my project is a distillation column to purify the methyloleate (biodiesel) that is produced in the reaction section, in order to reach the specifications of the european code EN-14214.
Because of that, the objective of the distillation column is to remove the methanol and water of the feed stream, recovering the methyl oleate in the liquid distillate with a purity that should be more than 96,5% (in mass).
This column has to operate at vacuum (0,2 bar) because the methyloleate degradates at temperatures > 150ºC and this is the reason why I'm asking a lot about how to operate with vacuum

The question 3 I asked you before about the steam ejector was the following:
-As I have calculated the capactity of the steam ejector (lb air/hr) with a figure from Ludwig that relates suction pressure with capacity for a single ejector system, I don't know what I have to do with the values calculated for the air leakage, and the noncondensables flow of the process.
What are the air leakage and noncondensables flow for?

I also have some questions related to the partial condenser and the reflux drum of the distillation colum:
Question1: Does the reflux drum always have an equalization line with the condenser?
Question 2: Does the reflux drum always operates with vacuum?
Question 3. Is it always necessary to calculate the condenser elevation with the equation that follows?
elevation= 144*(receiver pressure-condenser pressure)/Condensate density
The reason why I'm asking you that, is because I'm a bit confused with the required elevation that the vacuum conderser must have.
If there is an equalization line between the vacuum condenser and the reflux drum, I suppose the reflux drum also operates with vacuum (at the same 0,2 bar of the condenser), so I cannot calculate the require condenser elvation with the above formula because receiver pressure and condenser pressure is the same. How can I calculate the require elevation in this case?

#15 Art Montemayor

Thank you for the additional information and data. Now I have a better picture of what you are confronting and the scope. You still have not replied to my inquiry regarding the need to handle the overhead vapor product out of the partial condenser as a vapor. I have to presume that you must maintain that stream as a vapor entirely. I also don’t know if you are allowed to dilute this stream with the steam used as the motive force in the jet ejector. I have to assume that you have no problem with that. You of course realize that in order to transport the outlet vapor stream from the jet ejector you must furnish a driving force. In other words, you must either use a blower (or another jet ejector) or condense the vapor into a liquid. I assume you will either employ a blower or another jet ejector.

As I mentioned before, you seem to be – as most Chemical Engineering Students –confused and mixed up about what constitutes a vacuum system. I perceive that you are under the idea that you must evacuate process vapors in order to create a vacuum system. This is an erroneous idea and not the case at all. The prime factor that establishes the existence of a partial vacuum inside your distillation column is the vapor pressure existing in the top section of the column – which is the vapor pressure of the saturated liquid existing in equilibrium there with the exiting vapors. That is all you need to control in order to establish a partial vacuum in the column. It’s as simple as that. I will elaborate further after I address your additional questions:

Question 1: Does the reflux drum always have an equalization line with the condenser?
No, an equalization line can be substituted with a self-venting dip pipe. However, the diameter of the dip pipe will tend to be very big in order to facilitate self-venting. That is why it is much more practical to furnish a small diameter equalization external line to allow free drainage. Please study the hydraulics carefully as I have noted in the prior post. You are using only gravity to drain liquid from one vessel (the partial condenser) to another (the Reflux Drum). In order to carry out gravity drainage you MUST EQUATE the pressure in both vessels. This is elementary hydraulics and common sense. Otherwise, the liquid WILL NOT DRAIN! As I mentioned before, this is a point that many student s fail to understand or to take into consideration. Gravity drainage is taken for granted and not looked at as a hydraulic problem. While it is simple, it nevertheless requires an understanding and engineering design. You must vent (communicate or equate) the vapor space of the target vessel with the vapor space of the source vessel. Do not underestimate the importance of this hydraulic requirement or it will cause you much grief and your design will fail to work.

Question 2: Does the reflux drum always operates with vacuum?
Since a requirement for gravity drainage is that the two transfer vessels be joined through their vapor spaces, both vessels will have the same vapor space pressure – a partial vacuum in your specific case. This is very obvious and, as I have tried to explain, can be a source of much trouble to students who fail to see the need to design their application with strict hydraulic engineering principles. Both vessels have to be at the same vapor space pressure in order to achieve gravity drainage. It is common sense that dictates that the Reflux Drum cannot be at a pressure greater than that in the partial condenser – otherwise, the saturated liquid would not drain! How can a liquid drain from a low pressure to a higher pressure? (Stated another way: water does not flow uphill) And it is also common sense that establishes that the Reflux Drum cannot be at a lower vacuum than the partial condenser – how or where is the lower vacuum going to be achieved or what will produce it? The obvious answer is that a lower vacuum is not needed or desired. A simple equalization of both vapor space pressures will ensure that gravity alone will allow the liquid to flow from the higher vessel (partial condenser) to the lower one (Reflux Drum).

Question 3. Is it always necessary to calculate the condenser elevation with the equation that follows? Elevation = 144*(receiver pressure-condenser pressure)/Condensate density
I don’t know where you derive the equation for the “elevation”. The elevation difference between the liquid level in the partial condenser and the liquid level in the Reflux Drum is not calculated. As long as the condenser is above the Drum, you will have flow. You will also have a resistance to that flow in the form of the piping, the nozzles, and the entrance and exit losses. These you calculate (design) by using the customary fluid flow equations of resistance to liquid flow. The less the elevation difference, the larger the diameter of the respective drain pipe.

Now to elaborate more on what a partial vacuum system is and how it is created. As I’ve stated before, a partial vacuum in your case is nothing more than the vapor pressure of your liquid mixture’s vapor pressure at the temperature you have selected for the reflux in your tower. Of course, I’m stating the “ideal and perfect” condition of the partial vacuum. What really happens outside of laboratory conditions and in the real-life industrial application is that the components (the distillation tower, the partial condenser, the instruments, Reflux Drum, piping, flanges, valves, packing, gaskets, etc., etc. all are subject to leakage – however slight or small. As long as you insist on maintaining a vacuum in your system, the outside atmospheric air will try to invade your process - and it will succeed to the extent that you have imperfections and leaks in your components. This is inevitable and a reality of life. You cannot avoid it. If you could construct and maintain a perfect, 100% leak-proof system and your process did not generate gases (non-condensables) or have dissolved gases in the associated liquids, then you would not require a vacuum device! All you would have to do is establish your process temperature to correspond to the vapor pressure that you require (a partial vacuum) and keep it there. You would have a partial vacuum and it would stay as such because there would be no compounds (or gases) to raise the vapor pressure higher than what you control. Therefore, there is no need to “maintain” a vacuum with an external device (such as a jet ejector). However, as I stated earlier, that is not real-life and there will inevitably exist leaks and non-condensables will invade the system. That is why you have to calculate the air leaks and the non-condensables in anticipation of having to eject them forcibly with a device such as a vacuum pump or a jet ejector. You are not “ejecting” valuable process vapors (at least not intentionally) you are ejecting those “high-boiling” components that invade your system or are created within the system and tend to raise the vapor pressure. That is what is happening in a vacuum system.

I hope I have succeeded in explaining what I understand to be your difficulty in relating to what you have to design and how to go about it. Do not be discouraged. Far too many students struggle hard in this area of vacuum control because of bad training or lack of proper preparation in the basics involved – such as vapor pressure, partial pressure, and gravity drainage. It’s as simple as that. Please let me know if I've failed to address your concerns and to help you out.


5 Examining the regression equation

Examination of the regression equation involves an assessment of the “strength” of the relationship between the response variable and the predictor variable(s). Two hypothesis tests are considered:

  • a test of the null hypothesis that the proportion of the variance of the response variable “explained” by the predictor variable(s) is not significant (an F-test, analogous to the one in ANOVA of the hypothesis that the group means are not different)
  • individual tests of the null hypotheses that the estimated regression coefficients (B0, B1) are equal to zero.

The two hypotheses are tested by examining the regression equation and related statistics

  • decomposition of individual deviations
  • how strong is the relationship? (F-test, R 2 )
  • are the coefficients significant? (t-tests and standard errors of the predictions)

The fit of the regression model can also be displayed by plotting confidence intervals (which allow variability in the regression line to be visually assessed) and prediction intervals (which allow variability in the data to be assessed).


Xterra Free Style 3.9e Specifications

  • 18” (45.7cm) stride length
  • 8.6kg (19lbs) flywheel
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  • Dimensions (L x W x H): 166cm (65.3”) x 56cm (22”) x 163cm (64.2”)
  • Product weight: 70kg (154.3lbs)
  • Max. user weight: 148kg (325lbs)
  • Power Source: Mains
  • Warranty: Lifetime frame, 5 years parts, 2 years labour

Xterra Free Style 3.9e Elliptical Cross Trainer - Console / Display Unit

Xterra Free Style 3.9e Elliptical Cross Trainer - User Reviews


Notice of default sums

Where a default sum becomes payable under a P2P agreement by the borrower, the firm must give notice to the borrower within 35 days of a default sum becoming payable by the borrower.

The notice required by CONC 7.19.4 R must contain:

a form of wording to the effect that it relates to default sums and is given in compliance with FCArules

a description of the agreement sufficient to identify it

the firm's name, telephone number, postal address and, where appropriate, any other address

the amount and nature of each default sum payable under the agreement which has not been the subject of a previous notice of default sums

the date upon which each default sum referred to in the notice became payable under the agreement

"This notice does not take account of default sums which we have already told you about in another default sum notice, whether or not those sums remain unpaid." y


Ver el vídeo: Thử bass Cam-200 vs Threshold SA (Septiembre 2021).