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3.5: Existencia y singularidad de soluciones de ecuaciones no lineales - Matemáticas


Aunque existen métodos para resolver algunas ecuaciones no lineales, es imposible encontrar fórmulas útiles para las soluciones de la mayoría. En esta sección establecemos tal condición y la ilustramos con ejemplos.

Alguna terminología: un rectángulo abierto (R ) es un conjunto de puntos ((x, y) ) tal que

[a

(Figura ( PageIndex {1} )). Denotaremos este conjunto por (R: {a

El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Omitimos la prueba, que está más allá del alcance de este libro.

Teorema ( PageIndex {1} ): existencia y unicidad

  1. Si (f ) es continuo en un rectángulo abierto [R: {a
  2. Si tanto (f ) como (f_y ) son continuos en (R ) entonces la Ecuación ref {eq: 3.5.1} tiene una solución única en algún subintervalo abierto de ((a, b) ) que contiene (x_0 )

Es importante comprender exactamente lo que dice el teorema ( PageIndex {1} ).

  • (a) es un teorema de existencia. Garantiza que existe una solución en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ), pero no proporciona información sobre cómo encontrar la solución o determinar el intervalo abierto en el que existe. Además, (a) no proporciona información sobre el número de soluciones que puede tener la ecuación ref {eq: 3.5.1}. Deja abierta la posibilidad de que la Ecuación ref {eq: 3.5.1} pueda tener dos o más soluciones que difieran para valores de (x ) arbitrariamente cercanos a (x_0 ). Veremos en el ejemplo ( PageIndex {6} ) que esto puede suceder.

  • (b) es un teorema de unicidad. Garantiza que la Ecuación ref {eq: 3.5.1} tiene una solución única en algún intervalo abierto (a, b) que contiene (x_0 ). Sin embargo, si ((a, b) ne (- infty, infty) ), la ecuación ref {eq: 3.5.1} puede tener más de una solución en un intervalo mayor que contiene ((a, B)). Por ejemplo, puede suceder que (b < infty ) y todas las soluciones tengan los mismos valores en ((a, b) ), pero dos soluciones (y_1 ) y (y_2 ) están definidas en algún intervalo ((a, b_1) ) con (b_1> b ), y tienen diferentes valores para (b

[ label {eq: 3.5.2} y = f (x, y), quad y (b) = overline {y} ]

que difieren en cada intervalo abierto que contiene (b ). Por lo tanto (f ) o (f_y ) deben tener una discontinuidad en algún punto de cada rectángulo abierto que contenga ((b, y) ), ya que si esto no fuera así, ref {eq: 3.5.2 } tendría una solución única en algún intervalo abierto que contenga (b ). Te dejamos dar un análisis similar del caso donde (a> −∞ ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.3} y '= {x ^ 2-y ^ 2 over 1 + x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (x_0) = y_0. ]

Desde

[f (x, y) = {x ^ 2-y ^ 2 over 1 + x ^ 2 + y ^ 2} quad text {y} quad f_y (x, y) = - {2y (1 + 2x ^ 2) over (1 + x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} nonumber ]

son continuas para todo ((x, y) ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que si ((x_0, y_0) ) es arbitrario, entonces la ecuación ref {eq: 3.5.3} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.4} y '= {x ^ 2-y ^ 2 over x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (x_0) = y_0. ]

Aquí

[f (x, y) = {x ^ 2-y ^ 2 over x ^ 2 + y ^ 2} quad text {y} quad f_y (x, y) = - {4x ^ 2y over (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} nonumber ]

son continuas en todas partes excepto en ((0,0) ). Si ((x_0, y_0) ne (0,0) ), hay un rectángulo abierto (R ) que contiene ((x_0, y_0) ) que no contiene ((0,0) ). Dado que (f ) y (f_y ) son continuas en (R ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que si ((x_0, y_0) ne (0,0) ) entonces la Ecuación ref {eq: 3.5.4} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.5} y '= {x + y over x-y}, quad y (x_0) = y_0. ]

Aquí

[f (x, y) = {x + y over x-y} quad text {y} quad f_y (x, y) = {2x over (x-y) ^ 2} nonumber ]

son continuas en todas partes excepto en la línea (y = x ). Si (y_0 ne x_0 ), hay un rectángulo abierto (R ) que contiene ((x_0, y_0) ) que no se cruza con la línea (y = x ). Dado que (f ) y (f_y ) son continuas en (R ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que si (y_0 ne x_0 ), la ecuación ref {eq: 3.5 .5} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {4} )

En el ejemplo 2.2.4, vimos que las soluciones de

[ label {eq: 3.5.6} y '= 2xy ^ 2 ]

están

[y equiv0 quad text {y} quad y = - {1 over x ^ 2 + c}, nonumber ]

donde (c ) es una constante arbitraria. En particular, esto implica que ninguna solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.6} que no sea (y equiv0 ) puede ser igual a cero para cualquier valor de (x ). Muestre que el teorema ( PageIndex {1b} ) implica esto.

Obtendremos una contradicción asumiendo que la Ecuación ref {eq: 3.5.6} tiene una solución (y_1 ) que es igual a cero para algún valor de (x ), pero no es idénticamente cero. Si (y_1 ) tiene esta propiedad, hay un punto (x_0 ) tal que (y_1 (x_0) = 0 ), pero (y_1 (x) ne0 ) para algún valor de (x ) en cada intervalo abierto que contenga (x_0 ). Esto significa que el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.7} y '= 2xy ^ 2, quad y (x_0) = 0 ]

tiene dos soluciones (y equiv0 ) y (y = y_1 ) que difieren para algún valor de (x ) en cada intervalo abierto que contiene (x_0 ). Esto contradice el Teorema ( PageIndex {1} ) (b), ya que en la Ecuación ref {eq: 3.5.6} las funciones

[f (x, y) = 2xy ^ 2 quad text {y} quad f_y (x, y) = 4xy. sin número]

son ambos continuos para todo ((x, y) ), lo que implica que la Ecuación ref {eq: 3.5.7} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.8} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (x_0) = y_0. ]

  1. ¿Para qué puntos ((x_0, y_0) ) implica el Teorema ( PageIndex {1a} ) que la Ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución?
  2. ¿Para qué puntos ((x_0, y_0) ) el Teorema ( PageIndex {1b} ) implica que la Ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ) ?

Solución a

Desde

[f (x, y) = {10 over 3} xy ^ {2/5} nonumber ]

es continua para todo ((x, y) ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que la ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución para todo ((x_0, y_0) ) .

Solución b

Aquí

[f_y (x, y) = {4 over 3} xy ^ {- 3/5} nonumber ]

es continuo para todo ((x, y) ) con (y ne 0 ). Por lo tanto, si (y_0 ne0 ) hay un rectángulo abierto en el que (f ) y (f_y ) son continuos, y el Teorema ( PageIndex {1} ) implica que la Ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Si (y = 0 ) entonces (f_y (x, y) ) no está definido y, por lo tanto, es discontinuo; por tanto, el Teorema ( PageIndex {1} ) no se aplica a la Ecuación ref {eq: 3.5.8} si (y_0 = 0 ).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Ejemplo ( PageIndex {5} ) deja abierta la posibilidad de que el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.9} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = 0 ]

tiene más de una solución en cada intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). Demuestre que esto es cierto.

Solución

Por inspección, (y equiv0 ) es una solución de la ecuación diferencial

[ label {eq: 3.5.10} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}. ]

Dado que (y equiv0 ) satisface la condición inicial (y (0) = 0 ), es una solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.9}.

Ahora suponga que (y ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.10} que no es idénticamente cero. La separación de variables en la ecuación ref {eq: 3.5.10} produce

[y ^ {- 2/5} y '= {10 over 3} x nonumber ]

en cualquier intervalo abierto donde (y ) no tenga ceros. Integrar esto y reescribir la constante arbitraria como (5c / 3 ) produce

[{5 over 3} y ^ {3/5} = {5 over 3} (x ^ 2 + c). sin número]

Por lo tanto

[ label {eq: 3.5.11} y = (x ^ 2 + c) ^ {5/3}. ]

Dado que dividimos por (y ) para separar variables en la Ecuación ref {eq: 3.5.10}, nuestra derivación de la Ecuación ref {eq: 3.5.11} es legítima solo en intervalos abiertos donde (y ) tiene sin ceros. Sin embargo, la ecuación ref {eq: 3.5.11} en realidad define (y ) para todo (x ), y la diferenciación de la ecuación ref {eq: 3.5.11} muestra que

[ begin {align} y '= {10 over 3} x (x ^ 2 + c) ^ {2/3} = {10 over 3} xy ^ {2/5}, , - infty end {alineado} ]

Por lo tanto, la ecuación ref {eq: 3.5.11} satisface la ecuación ref {eq: 3.5.10} en ((- infty, infty) ) incluso si (c le 0 ), de modo que ( y ( sqrt {| c |}) = y (- sqrt {| c |}) = 0 ). En particular, tomando (c = 0 ) en la ecuación ref {eq: 3.5.11} se obtiene

[y = x ^ {10/3} nonumber ]

como una segunda solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.9}. Ambas soluciones se definen en ((- infty, infty) ) y difieren en cada intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ) (Figura ( PageIndex {2} )). De hecho, hay cuatro distintas soluciones de la Ecuación ref {eq: 3.5.9} definida en ((- infty, infty) ) que difieren entre sí en cada intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). ¿Puedes identificar los otros dos?

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Del Ejemplo ( PageIndex {5} ), el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.12} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = - 1 ]

tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). Encuentre una solución y determine el intervalo abierto más grande ((a, b) ) en el que es único.

Solución

Sea (y ) cualquier solución de la ecuación ref {eq: 3.5.12}. Debido a la condición inicial (y (0) = - 1 ) y la continuidad de (y ), hay un intervalo abierto (I ) que contiene (x_0 = 0 ) en el cual (y ) no tiene ceros y, en consecuencia, tiene la forma Ecuación ref {eq: 3.5.11}. Al establecer (x = 0 ) y (y = -1 ) en la Ecuación ref {eq: 3.5.11} se obtiene (c = -1 ), entonces

[ label {eq: 3.5.13} y = (x ^ 2-1) ^ {5/3} ]

para (x ) en (I ). Por lo tanto, toda solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.12} difiere de cero y está dada por la Ecuación ref {eq: 3.5.13} en ((- 1,1) ); es decir, la ecuación ref {eq: 3.5.13} es la única solución de la ecuación ref {eq: 3.5.12} en ((- 1,1) ). Este es el intervalo abierto más grande en el que la ecuación ref {eq: 3.5.12} tiene una solución única. Para ver esto, observe que la Ecuación ref {eq: 3.5.13} es una solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.12} en ((- infty, infty) ). De Ejercicio 2.2.15, hay infinitas otras soluciones de la Ecuación ref {eq: 3.5.12} que difieren de la Ecuación ref {eq: 3.5.13} en cada intervalo abierto mayor que ((- 1,1) ). Una de esas soluciones es

[y = left { begin {array} {cl} (x ^ 2-1) ^ {5/3}, & -1 le x le 1, [6pt] 0, & | x |> 1. end {matriz} right. sin número]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Del Ejemplo ( PageIndex {5} )), el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.14} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = 1 ]

tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). Encuentre la solución y determine el intervalo abierto más grande en el que es única.

Solución

Sea (y ) cualquier solución de la ecuación ref {eq: 3.5.14}. Debido a la condición inicial (y (0) = 1 ) y la continuidad de (y ), hay un intervalo abierto (I ) que contiene (x_0 = 0 ) en el cual (y ) no tiene ceros y, en consecuencia, tiene la forma Ecuación ref {eq: 3.5.11}. Al establecer (x = 0 ) y (y = 1 ) en la ecuación ref {eq: 3.5.11} se obtiene (c = 1 ), por lo que

[ label {eq: 3.5.15} y = (x ^ 2 + 1) ^ {5/3} ]

para (x ) en (I ). Por lo tanto, toda solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.14} difiere de cero y está dada por la Ecuación ref {eq: 3.5.15} en ((- infty, infty) ); es decir, la ecuación ref {eq: 3.5.15} es la única solución de la ecuación ref {eq: 3.5.14} en ((- infty, infty) ). La figura ( PageIndex {4} )) muestra la gráfica de esta solución.


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