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7.7: Cambio de Variables en Múltiples Integrales


Recuerde de la regla de sustitución el método de integración por sustitución. Al evaluar una integral como

[ int_2 ^ 3 x (x ^ 2-4) ^ 5 dx, ]

sustituimos (u = g (x) = x ^ 2-4 ). Entonces (du = 2x , dx ) o (x , dx = frac {1} {2} du ) y los límites cambian a (u = g (2) = 2 ^ 2 - 4 = 0 ) y (u = g (3) = 9 - 4 = 5 ). Así, la integral se convierte en

[ int_0 ^ 5 frac {1} {2} u ^ 5 du ]

y esta integral es mucho más sencilla de evaluar. En otras palabras, al resolver problemas de integración, hacemos las sustituciones apropiadas para obtener una integral que se vuelve mucho más simple que la integral original.

También usamos esta idea cuando transformamos integrales dobles en coordenadas rectangulares en coordenadas polares y transformamos integrales triples en coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas o esféricas para simplificar los cálculos. Más generalmente,

[ int_a ^ b f (x) dx = int_c ^ d f (g (u)) g '(u) du, ]

Donde (x = g (u), , dx = g '(u) du ), y (u = c ) y (u = d ) satisfacen (c = g (a) ) y (d = g (b) ).

Un resultado similar ocurre en integrales dobles cuando sustituimos

  • (x = f (r, theta) = r , cos , theta )
  • (y = g (r, theta) = r , sin , theta ), y
  • (dA = dx , dy = r , dr , d theta ).

Entonces obtenemos

[ iint_R f (x, y) dA = iint_S (r , cos , theta, , r , sin , theta) r , dr , d theta ]

donde el dominio (R ) se reemplaza por el dominio (S ) en coordenadas polares. Generalmente, la función que usamos para cambiar las variables para hacer la integración más simple se llama transformación o mapeo.

Transformaciones planas

Una transformación plana (T ) es una función que transforma una región (G ) en un plano en una región (R ) en otro plano mediante un cambio de variables. Tanto (G ) como (R ) son subconjuntos de (R ^ 2 ). Por ejemplo, la Figura ( PageIndex {1} ) muestra una región (G ) en el plano (uv ) - transformada en una región (R ) en el plano (xy ) - por el cambio de variables (x = g (u, v) ) y (y = h (u, v) ), o algunas veces escribimos (x = x (u, v) ) y (y = y (u, v) ). Normalmente asumiremos que cada una de estas funciones tiene primeras derivadas parciales continuas, lo que significa que (g_u, , g_v, , h_u, ) y (h_v ) existen y también son continuas. La necesidad de este requisito quedará clara pronto.

Definición: transformación uno a uno

Una transformación (T: , G rightarrow R ), definida como (T (u, v) = (x, y) ), se dice que es una transformación uno a uno si no hay mapas de dos puntos al mismo punto de la imagen.

Para mostrar que (T ) es una transformación uno a uno, asumimos (T (u_1, v_1) = T (u_2, v_2) ) y mostramos que como consecuencia obtenemos ((u_1, v_1) = (u_2, v_2) ). Si la transformación (T ) es uno a uno en el dominio (G ), entonces la inversa (T ^ {- 1} ) existe con el dominio (R ) tal que (T ^ {- 1} circ T ) y (T circ T ^ {- 1} ) son funciones de identidad.

La figura ( PageIndex {2} ) muestra el mapeo (T (u, v) = (x, y) ) donde (x ) y (y ) están relacionados con (u ) y (v ) por las ecuaciones (x = g (u, v) ) y (y = h (u, v) ). La región (G ) es el dominio de (T ) y la región (R ) es el rango de (T ), también conocido como imagen de (G ) bajo la transformación (T ).

Ejemplo ( PageIndex {1A} ): Determinar cómo funciona la transformación

Suponga que una transformación (T ) se define como (T (r, theta) = (x, y) ) donde (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ). Encuentra la imagen del rectángulo polar (G = {(r, theta) | 0 leq r leq 1, , 0 leq theta leq pi / 2 } ) en (r theta ) - plano a una región (R ) en el (xy ) - plano. Muestre que (T ) es una transformación uno a uno en (G ) y encuentre (T ^ {- 1} (x, y) ).

Solución

Dado que (r ) varía de 0 a 1 en el plano (r theta ) -, tenemos un disco circular de radio de 0 a 1 en el plano (xy ) -. Debido a que ( theta ) varía de 0 a ( pi / 2 ) en el plano (r theta ) -, terminamos obteniendo un cuarto de círculo de radio (1 ) en el primer cuadrante de el plano (xy ) - (Figura ( PageIndex {2} )). Por tanto, (R ) es un cuarto de círculo limitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) en el primer cuadrante.

Para mostrar que (T ) es una transformación uno a uno, suponga (T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2) ) y muestre como consecuencia que ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ). En este caso, tenemos

[T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2), ]

[(x_1, y_1) = (x_1, y_1), ]

[(r_1 cos , theta_1, r_1 sin , theta_1) = (r_2 cos , theta_2, r_2 sin , theta_2), ]

[r_1 cos , theta_1 = r_2 cos , theta_2, , r_1 sin , theta_1 = r_2 sin , theta_2. ]

Dividiendo, obtenemos

[ frac {r_1 cos , theta_1} {r_1 sin , theta_1} = frac {r_2 cos , theta_2} {r_2 sin , theta_2} ]

[ frac { cos , theta_1} { sin , theta_1} = frac { cos , theta_2} { sin , theta_2} ]

[ tan , theta_1 = tan , theta_2 ]

[ theta_1 = theta_2 ]

ya que la función tangente es una función uno-uno en el intervalo (0 leq theta leq pi / 2 ). Además, desde (0 leq r leq 1 ), tenemos (r_1 = r_2, , theta_1 = theta_2 ). Por lo tanto, ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ) y (T ) es una transformación uno a uno de (G ) a (R ).

Para encontrar (T ^ {- 1} (x, y) ) resuelve (r, theta ) en términos de (x, y ). Ya sabemos que (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) y ( tan , theta = frac {y} {x} ). Por lo tanto, (T ^ {- 1} (x, y) = (r, theta) ) se define como (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) y ( tan ^ { -1} left ( frac {y} {x} right) ).

Ejemplo ( PageIndex {1B} ): Encontrar la imagen en (T )

Deje que la transformación (T ) esté definida por (T (u, v) = (x, y) ) donde (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) y (y = uv ). Encuentra la imagen del triángulo en el plano (uv ) - con vértices ((0,0), , (0,1) ) y ((1,1) ).

Solución

El triángulo y su imagen se muestran en la Figura ( PageIndex {3} ). Para entender cómo se transforman los lados del triángulo, llame al lado que une ((0,0) ) y ((0,1) ) lado (A ), el lado que une ((0, 0) ) y ((1,1) ) lado (B ), y el lado que une ((1,1) ) y ((0,1) ) lado (C ).

  • Para el lado (A: , u = 0, , 0 leq v leq 1 ) se transforma en (x = -v ^ 2, , y = 0 ) entonces este es el lado (A ') que une ((- 1,0) ) y ((0,0) ).
  • Para el lado (B: , u = v, , 0 leq u leq 1 ) se transforma en (x = 0, , y = u ^ 2 ) entonces este es el lado (B ' ) que une ((0,0) ) y ((0,1) ).
  • Para el lado (C: , 0 leq u leq 1, , v = 1 ) se transforma en (x = u ^ 2 - 1, , y = u ) (por lo tanto, (x = y ^ 2 - 1 ) por lo que este es el lado (C ') que forma la mitad superior del arco parabólico que une ((- 1,0) ) y ((0,1) ).

Todos los puntos en toda la región del triángulo en el plano (uv ) - se mapean dentro de la región parabólica en el plano (xy ) -.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sea una transformación (T ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) donde (x = u + v, , y = 3v ). Encuentra la imagen del rectángulo (G = {(u, v): , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 } ) del plano (uv ) después de la transformación en una región (R ) en el plano (xy ) -. Muestre que (T ) es una transformación uno a uno y encuentre (T ^ {- 1} (x, y) ).

Insinuación

Siga los pasos del Ejemplo ( PageIndex {1B} ).

Respuesta

(T ^ {- 1} (x, y) = (u, v) ) donde (u = frac {3x-y} {3} ) y (v = frac {y} {3 } )

Usando la definición, tenemos

[ Delta A approx J (u, v) Delta u Delta v = izquierda | frac { parcial (x, y)} { parcial (u, v)} derecha | Delta u Delta v. ]

Tenga en cuenta que el jacobiano se denota con frecuencia simplemente por

[J (u, v) = frac { parcial (x, y)} { parcial (u, v)}. ]

Tenga en cuenta también que

[ begin {vmatrix} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial u} sin número dfrac { parcial x} { parcial v} & dfrac { y parcial} { v parcial} end {matriz v} = izquierda ( frac { parcial x} { parcial u} frac { parcial y} { parcial v} - frac { parcial x} { parcial v} frac { parcial y} { parcial u} derecha) = begin {matriz v} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} sin número dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatriz}. ]

Por tanto, la notación (J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} ) sugiere que podemos escribir el determinante jacobiano con parciales de (x ) en la primera fila y parciales de (y ) en la segunda fila.

Ejemplo ( PageIndex {2A} ): Encontrar el jacobiano

Encuentre el jacobiano de la transformación dada en el Ejemplo ( PageIndex {1A} ).

Solución

La transformación en el ejemplo es (T (r, theta) = (r , cos , theta, , r , sin , theta) ) donde (x = r , cos , theta ) y (y = r , sin , theta ). Así, el jacobiano es

[J (r, theta) = frac { partial (x, y)} { partial (r, theta)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial r} & dfrac { parcial x} { parcial theta} no número dfrac { parcial y} { parcial r} & dfrac { parcial y} { parcial theta} end {vmatrix} = begin {vmatrix} cos theta & -r sin theta nonumber sin theta & r cos theta end {vmatrix} = r , cos ^ 2 theta + r , sin ^ 2 theta = r ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r. ]

Ejemplo ( PageIndex {2B} ): Encontrar el jacobiano

Encuentre el jacobiano de la transformación dada en el Ejemplo ( PageIndex {1B} ).

Solución

La transformación en el ejemplo es (T (u, v) = (u ^ 2 - v ^ 2, uv) ) donde (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) y (y = uv ) . Así, el jacobiano es

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} sin número dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 2u & v nonumber -2v & u end {vmatrix} = 2u ^ 2 + 2v ^ 2. ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentre el jacobiano de la transformación dada en el punto de control anterior: (T (u, v) = (u + v, 2v) ).

Insinuación

Siga los pasos de los dos ejemplos anteriores.

Respuesta

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} sin número dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1 & 1 nonumber 0 & 2 end {vmatrix} = 2 ]

Observe en el siguiente ejemplo que la región sobre la que vamos a integrarnos puede sugerir una transformación adecuada para la integración. Ésta es una situación común e importante.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Variables cambiantes

Considere la integral [ iint_R (x - y) dy , dx, ] donde (R ) es el paralelogramo que une los puntos ((1,2), , (3,4), , ( 4,3) ) y ((6,5) ) (Figura ( PageIndex {7} )). Realice los cambios apropiados de variables y escriba la integral resultante.

Solución

Primero, necesitamos comprender la región en la que nos vamos a integrar. Los lados del paralelogramo son (x - y + 1, , x - y - 1 = 0, , x - 3y + 5 = 0 ) y (x - 3y + 9 = 0 ) (Figura ( PageIndex {8} )). Otra forma de verlos es (x - y = -1, , x - y = 1, , x - 3y = -5 ) y (x - 3y = 9 ).

Claramente, el paralelogramo está limitado por las líneas (y = x + 1, , y = x - 1, , y = frac {1} {3} (x + 5) ) y (y = frac {1} {3} (x + 9) ).

Observe que si tuviéramos que hacer (u = x - y ) y (v = x - 3y ), entonces los límites de la integral serían (- 1 leq u leq 1 ) y ( -9 leq v leq -5 ).

Para resolver (x ) y (y ), multiplicamos la primera ecuación por (3 ) y restamos la segunda ecuación, (3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2x ). Entonces tenemos (x = frac {3u-v} {2} ). Además, si simplemente restamos la segunda ecuación de la primera, obtenemos (u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y ) y (y = frac {uv} {2} ).

Así, podemos elegir la transformación

[T (u, v) = left ( frac {3u - v} {2}, , frac {u - v} {2} right) ] y calcule el jacobiano (J (u, v) ). Tenemos

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} sin número dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 3/2 y -1/2 nonumber 1/2 y -1/2 end {vmatrix} = - frac {3} {4} + frac {1} {4} = - frac {1 } {2} ]

Por lo tanto, (| J (u, v) | = frac {1} {2} ). Además, el integrando original se convierte en

[x - y = frac {1} {2} [3u - v - u + v] = frac {1} {2} [3u - u] = frac {1} {2} [2u] = u. ]

Por lo tanto, mediante el uso de la transformación (T ), la integral cambia a

[ iint_R (x - y) dy , dx = int _ {- 9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 J (u, v) u , du , dv = int_ { -9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 left ( frac {1} {2} right) u , du , dv, ] que es mucho más sencillo de calcular.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Realice los cambios apropiados de variables en la integral [ iint_R frac {4} {(x - y) ^ 2} dy , dx, ] donde (R ) es el trapezoide acotado por las líneas (x - y = 2, , x - y = 4, , x = 0 ) y (y = 0 ). Escribe la integral resultante.

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior.

Respuesta

(x = frac {1} {2} (v + u) ) y (y = frac {1} {2} (v - u) )

y

[ int _ {- 4} ^ 4 int _ {- 2} ^ 2 frac {4} {u ^ 2} left ( frac {1} {2} right) du , dv. ]

Estamos listos para dar una estrategia de resolución de problemas para el cambio de variables.

En el siguiente ejemplo, encontramos una sustitución que simplifica mucho el cálculo del integrando.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Evaluación de una integral

Usando el cambio de variables (u = x - y ) y (v = x + y ), evalúe la integral [ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA, ] donde (R ) es la región delimitada por las líneas (x + y = 1 ) y (x + y = 3 ) y las curvas (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) y (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) (vea la primera región en la Figura ( PageIndex {9} )).

Solución

Como antes, primero encuentre la región (R ) e imagine la transformación para que sea más fácil obtener los límites de integración después de que se hagan las transformaciones (Figura ( PageIndex {9} )).

Dado (u = x - y ) y (v = x + y ), tenemos (x = frac {u + v} {2} ) y (y = frac {vu} { 2} ) y, por tanto, la transformación a utilizar es (T (u, v) = left ( frac {u + v} {2}, , frac {vu} {2} right) ). Las líneas (x + y = 1 ) y (x + y = 3 ) se convierten en (v = 1 ) y (v = 3 ), respectivamente. Las curvas (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) y (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) se convierten en (uv = 1 ) y (uv = -1 ), respectivamente.

Por lo tanto, podemos describir la región (S ) (ver la figura de la segunda región ( PageIndex {9} )) como

[S = left {(u, v) | 1 leq v leq 3, , frac {-1} {v} leq u leq frac {1} {v} right }. ]

El jacobiano de esta transformación es

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} sin número dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1/2 y -1/2 nonumber 1/2 y 1/2 end {vmatrix} = frac {1} {2}. ]

Por lo tanto, al usar la transformación (T ), la integral cambia a

[ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA = frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv. ]

Haciendo la evaluación, tenemos

[ frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv = frac {4} {3e} approx 0.490. ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Usando las sustituciones (x = v ) y (y = sqrt {u + v} ), evalúe la integral [ iint_R y , sin (y ^ 2 - x) dA, ] donde (R ) es la región delimitada por las líneas (y = sqrt {x}, , x = 2 ) y (y = 0 ).

Insinuación

Dibuja un dibujo y encuentra los límites de la integración.

Respuesta

( frac {1} {2} ( sin 2 - 2) )

Conceptos clave

  • Una transformación (T ) es una función que transforma una región (G ) en un plano (espacio) en una región (R ). en otro plano (espacio) por un cambio de variables.
  • Una transformación (T: G rightarrow R ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) (o (T (u, v, w) = (x, y, z) ) ) se dice que es una transformación uno a uno si no hay dos puntos asignados al mismo punto de la imagen.
  • Si (f ) es continuo en (R ), entonces [ iint_R f (x, y) dA = iint_S f (g (u, v), , h (u, v)) left | frac { parcial (x, y)} { parcial (u, v)} derecha | du , dv. ]
  • Si (F ) es continuo en (R ), entonces [ iiint_R F (x, y, z) dV = iiint_G F (g (u, v, w), , h (u, v , w), , k (u, v, w) izquierda | frac { parcial (x, y, z)} { parcial (u, v, w)} derecha | du , dv , dw. ] [= iint_G H (u, v, w) | J (u, v, w) | , du , dv , dw. ]

[T] Los óvalos de Lamé (o superelipses) son curvas planas de ecuaciones ( left ( frac {x} {a} right) ^ n + left ( frac {y} {b} right) ^ n = 1 ), donde a, B, y norte son números reales positivos.

una. Usa un CAS para graficar las regiones (R ) delimitadas por óvalos de Lamé para (a = 1, , b = 2, , n = 4 ) y (n = 6 ) respectivamente.

B. Encuentre las transformaciones que mapean la región (R ) delimitada por el óvalo de Lamé (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ) también llamado squircle y graficado en la siguiente figura, en el disco unitario.

C. Usa un CAS para hallar una aproximación del área (A (R) ) de la región (R ) limitada por (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ). Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.

Los óvalos de [T] Lamé han sido utilizados constantemente por diseñadores y arquitectos. Por ejemplo, Gerald Robinson, un arquitecto canadiense, ha diseñado un estacionamiento en un centro comercial en Peterborough, Ontario, en forma de superelipse de la ecuación ( left ( frac {x} {a} right) ^ n + left ( frac {y} {b} right) ^ n = 1 ) con ( frac {a} {b} = frac {9} {7} ) y (n = e ). Usa un CAS para encontrar una aproximación del área del estacionamiento en el caso (a = 900 ) yardas, (b = 700 ) yardas y (n = 2.72 ) yardas.

[Ocultar solución]

(A (R) simeq 83,999.2 )

Ejercicios de repaso del capítulo

¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dy , dx ]

El teorema de Fubini puede extenderse a tres dimensiones, siempre que (f ) sea continua en todas las variables.

[Ocultar solución]

Cierto.

La integral [ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 dz , dr , d theta ] representa el volumen de un cono recto.

El jacobiano de la transformación para (x = u ^ 2 - 2v, , y = 3v - 2uv ) está dado por (- 4u ^ 2 + 6u + 4v ).

[Ocultar solución]

Falso.

Evalúa las siguientes integrales.

[ iint_R (5x ^ 3y ^ 2 - y ^ 2) , dA, , R = {(x, y) | 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 4 } ]

[ iint_D frac {y} {3x ^ 2 + 1} dA, , D = {(x, y) | 0 leq x leq 1, , -x leq y leq x } ]

[Ocultar solución]

(0)

[ iint_D sin (x ^ 2 + y ^ 2) dA ] donde (D ) es un disco de radio (2 ) centrado en el origen [ int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 xye ^ {x ^ 2} dx , dy ]

[Ocultar solución]

( frac {1} {4} )

[ int _ {- 1} ^ 1 int_0 ^ z int_0 ^ {x-z} 6dy , dx , dz ]

[ iiint_R 3y , dV, ] donde (R = {(x, y, z) | 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x, , 0 leq z leq sqrt {9 - y ^ 2} } )

[Ocultar solución]

(1.475)

[ int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 pi} int_r ^ 1 r , dz , d theta , dr ]

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi / 2} int_1 ^ 3 rho ^ 2 , sin ( varphi) d rho , d varphi, , d theta ]

[Ocultar solución]

( frac {52} {3} pi )

[ int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2}} int _ {- sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} dz , dy , sx ]

Para los siguientes problemas, busque el área o volumen especificado.

El área de la región encerrada por un pétalo de (r = cos (4 theta) ).

[Ocultar solución]

( frac { pi} {16} )

El volumen del sólido que se encuentra entre el paraboloide (z = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 ) y el plano (z = 8 ).

El volumen del sólido delimitado por el cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) y de (z = 1 ) a (z + x = 2 ).

[Ocultar solución]

(93.291)

El volumen de la intersección entre dos esferas de radio 1, la superior cuyo centro es ((0,0,0,25) ) y la inferior, que está centrada en ((0,0,0) ).

Para los siguientes problemas, encuentre el centro de masa de la región.

( rho (x, y) = xy ) en el círculo con radio (1 ) solo en el primer cuadrante.

[Ocultar solución]

( izquierda ( frac {8} {15}, frac {8} {15} derecha) )

( rho (x, y) = (y + 1) sqrt {x} ) en la región delimitada por (y = e ^ x, , y = 0 ), y (x = 1 ).

( rho (x, y, z) = z ) en el cono invertido con radio (2 ) y altura (2 ).

( left (0,0, frac {8} {5} right) )

El volumen de un cono de helado que viene dado por el sólido arriba de (z = sqrt {(x ^ 2 + y ^ 2)} ) y debajo de (z ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = z ).

Los siguientes problemas examinan Mount Holly en el estado de Michigan. Mount Holly es un vertedero que se convirtió en una estación de esquí. La forma del monte Holly se puede aproximar mediante un cono circular recto de altura (1100 ) pies y radio (6000 ) pies.

Si la basura compacta que se usó para construir Mount Holly en promedio tiene una densidad (400 , lb / pie ^ 3 ), calcule la cantidad de trabajo requerido para construir la montaña.

[Ocultar solución]

(1.452 pi times 10 ^ {15} ) ft-lb

En realidad, es muy probable que la basura en el fondo de Mount Holly se haya vuelto más compacta con todo el peso de la basura anterior. Considere una función de densidad con respecto a la altura: la densidad en la cima de la montaña sigue siendo la densidad (400 , lb / ft ^ 3 ) y la densidad aumenta. Cada (100 ) pies más profundo, la densidad se duplica. ¿Cuál es el peso total de Mount Holly?

Los siguientes problemas consideran la temperatura y la densidad de las capas de la Tierra.

[T] La temperatura de las capas de la Tierra se muestra en la siguiente tabla. Usa tu calculadora para ajustar un polinomio de grado (3 ) a la temperatura a lo largo del radio de la Tierra. Luego, calcula la temperatura promedio de la Tierra. (Insinuación: comience en (0 ) en el núcleo interno y aumente hacia afuera hacia la superficie)

CapaProfundidad desde el centro (km)Temperatura (^ oC )
Corteza rocosa0 hasta 400
Manto superior40 hasta 150870
Manto400 hasta 650870
Mantel interior650 hasta 2700870
Núcleo exterior fundido2890 al 51504300
Núcleo central5150 al 63787200

Fuente: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

[Ocultar solución]

(y = -1.238 times 10 ^ {- 7} x ^ 3 + 0.001196 x ^ 2 - 3.666x + 7208 ); temperatura promedio aproximadamente (2800 ^ oC )

[T] La densidad de las capas de la Tierra se muestra en la siguiente tabla. Usando su calculadora o un programa de computadora, encuentre la ecuación cuadrática que mejor se ajuste a la densidad. Usando esta ecuación, encuentra la masa total de la Tierra.

CapaProfundidad desde el centro (km)Densidad ((g / cm ^ 3) )
Núcleo central012.95
Núcleo externo122811.05
Manto34885.00
Manto superior63383.90
Corteza63782.55

Fuente: http: //hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Los siguientes problemas se refieren al Teorema de Pappus (ver Momentos y centros de masa para un repaso), un método para calcular el volumen usando centroides. Suponiendo una región (R ), cuando giras alrededor del eje (x ), el volumen viene dado por (V_x = 2 pi A bar {y} ), y cuando giras alrededor de ( y ) - eje el volumen está dado por (V_y = 2 pi A bar {x} ), donde (A ) es el área de (R ). Considere la región delimitada por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) y por encima de (y = x + 1 ).

Encuentra el volumen cuando giras la región alrededor del eje (x ) -.

[Ocultar solución]

( frac { pi} {3} )

Encuentra el volumen cuando giras la región alrededor del eje (y ).

Glosario

Jacobiano

el jacobiano (J (u, v) ) en dos variables es un determinante (2 times 2 ):

[J (u, v) = begin {matriz v} frac { parcial x} { parcial u} & frac { parcial y} { parcial u} sin número frac { parcial x} { parcial v} & frac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix}; ]

el jacobiano (J (u, v, w) ) en tres variables es un determinante (3 times 3 ):

[J (u, v, w) = begin {vmatrix} frac { parcial x} { parcial u} & frac { parcial y} { parcial u} & frac { parcial z} { parcial u} sin número frac { parcial x} { parcial v} & frac { parcial y} { parcial v} & frac { parcial z} { parcial v} sin número frac { parcial x} { parcial w} & frac { parcial y} { parcial w} & frac { parcial z} { parcial w} end {vmatrix} ]

transformación uno a uno
una transformación (T: G rightarrow R ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) se dice que es uno a uno si no hay dos puntos asignados al mismo punto de imagen
transformación plana
una función (T ) que transforma una región (G ) en un plano en una región (R ) en otro plano mediante un cambio de variables
transformación
una función que transforma una región GG en un plano en una región RR en otro plano mediante un cambio de variables

Explicación de la lección: Integración por sustitución: Integrales indefinidas Matemáticas

En este explicador, aprenderemos cómo usar la integración por sustitución de integrales indefinidas.

Integración por sustitución, también conocida como "

-sustitución ”o“ cambio de variables ”, es un método para encontrar integrales desconocidas reemplazando una variable por otra y cambiando el integrando en algo que sea conocido o que pueda integrarse fácilmente usando otros métodos. Después de realizar la integración, generalmente volvemos a cambiar a nuestra variable original invirtiendo la sustitución para obtener el resultado final en términos de esa variable.

La capacidad de realizar la integración por sustitución es una habilidad que se desarrolla con la práctica y la experiencia. Por eso es mejor mirar muchos ejemplos y practicar tanto como sea posible. A veces, una sustitución aparentemente sensata no conduce a una integral que sea fácil de evaluar y debe estar preparado para intentar un cambio alternativo de variable.

Necesitamos poder escribir el integrando de una manera particular ya que la integración por sustitución generalmente se aplica a una integral cuando toma la forma especial


Si usa CAPL con CANoe, puede crear una base de datos con Vector CANdb ++ Editor y declarar una variable de entorno en la base de datos.

Puede acceder a esta variable en todos sus archivos CAPL de esta manera:

También puede declarar un evento que se lanza al cambiar la variable de entorno.

Puedes usar Variables del sistema para el acceso global.

Primero desea definir un nuevo espacio de nombres y una variable de sistema en un archivo de inclusión global.cin:


Al incluir global.cin en el archivo main.can, puede acceder a la variable del sistema utilizando las funciones CAPL correspondientes:

Para tipos de datos que no sean enteros, hay funciones CAPL correspondientes en el estilo de nomenclatura de sysDefineVariable & ltdata-type & gt ()
sysSetVariable & ltdata-type & gt ()
sysGetVariable & ltdata-type & gt ()

Puede encontrar información adicional sobre el acceso a las variables del sistema a través de CAPL en la documentación de CANoe / CANalyzer en Funciones CAPL - & gt Variables del sistema Funciones CAPL


Reacción básica-Difusión y para & uarr

En NEURON 7.4+, secs es opcional en la declaración de región inicial, pero debe especificarse antes de que se instancia el modelo de reacción-difusión.

dimension y dx quedarán obsoletos en una versión futura

Obtenga o establezca la región NEURON clásica asociada con este objeto.

  • "I" - justo dentro de la membrana plasmática
  • "O" - justo fuera de la membrana plasmática
  • Ninguno - ninguno de los anteriores

La configuración solo se admite en NEURON 7.4+, y solo antes de que se instancia el modelo de reacción-difusión.

Obtenga o establezca las secciones asociadas con esta región.

Las secciones pueden expresarse como una NEURON SectionList o como cualquier iterable de secciones de Python.

Nota: El valor de retorno es una copia de la lista de la sección interna y la modificación no cambiará la Región.

La configuración es nueva en NEURON 7.4+ y solo se permite antes de que se instancia el modelo de reacción-difusión.

regiones: una región o lista de objetos de región que contienen la especie

d - la constante de difusión de la especie (el valor predeterminado opcional es 0, es decir, sin difusión)

nombre: el nombre de la especie utilizada para sincronizar con HOC (el valor predeterminado opcional es ninguno)

cargo: el cargo de la especie (el valor predeterminado opcional es 0)

inicial: la concentración inicial o Ninguna (si es Ninguna, entonces se importa desde HOC si la especie se define en finitialize, en caso contrario 0)

atolscale - factor de escala para tolerancia absoluta en integraciones de pasos variables

ecs_boundary_conditions - si se usa rxd extracelular ecs_boundary_conditions = None para límites de flujo cero o si ecs_boundary_conditions = la concentración en el límite.

representa - opcionalmente proporcione CURIE (Compact URI) para anotar lo que representa la especie, p. ej. CHEBI: 29101 para sodio (1+)

La carga debe coincidir con las cargas especificadas en los archivos NMODL para el mismo ion, si corresponde.

Probablemente desee ajustar la escala de atol para las especies presentes en concentraciones bajas (por ejemplo, calcio).

Obtenga o establezca el cargo de la especie.

La configuración es nueva en NEURON 7.4+ y solo se permite antes de que se instancia el modelo de reacción-difusión.

devolver los índices correspondientes a esta especie en la región dada

si r es Ninguno, entonces devuelve todos los índices de especies. Si r es una lista de regiones, devuelve índices solo para aquellas secciones que están en todas las regiones. Si secs es un conjunto, devuelve todos los índices de las regiones para esas secciones.

Obtenga o establezca el nombre de la especie.

Esto se usa solo para sincronizar con las partes de difusión sin reacción de NEURON.

La configuración solo se admite en NEURON 7.4+, y solo antes de que se instancia el modelo de reacción-difusión.

Una NodeList de todos los nodos correspondientes a la especie.

Esto se puede restringir aún más utilizando la propiedad invocable de los objetos NodeList.

Especifique una reacción que se agregará al sistema.

Ejemplos: Para 2 * H + O & gt H2O en una reacción de acción de masas a una velocidad k: r = rxd.Reaction (2 * H + O, H2O, k)

Para restringir la reacción a una lista específica de regiones, digamos solo el espacio extracelular (ext) y el citosol (cyt), use la palabra clave region, p. Ej.

Para una reacción bidireccional, especifique una velocidad de reacción hacia atrás. p.ej. si kf es la tasa a plazo y kb es la tasa atrasada, entonces:

Para usar dinámicas distintas de la acción de masas, agregue esa bandera mass_action = False y coloque la fórmula completa en lugar de una tasa de acción de masas para kf (y kb). P.ej. Degradación de Michaelis-Menten

r = rxd.Reaction (dimer, descompuesto, dimer / (k + diamer), mass_action = False

)

Declare una contribución a la tasa de cambio de una especie u otra variable de estado.

Si esta fuera la única contribución a la dinámica de las proteínas y no hubiera difusión, lo anterior sería equivalente a:

Si hay varios objetos rxd.Rate (o un rxd.Reaction, etc.) que actúan sobre la misma especie, entonces se suman sus efectos.

crear una tasa de cambio para una especie en una región determinada o un conjunto de regiones

si regiones es Ninguno, entonces lo hace en todas las regiones

clase neuron.rxd. MultiCompartmentReaction ( * argumentos, ** kwargs ) & para & uarr clase neuron.rxd.node. Node & para & uarr __init__ & para & uarr

x .__ init __ (…) inicializa x consulte la ayuda (escriba (x)) para la firma

Devuelve una referencia HOC a la concentración del nodo.

(El nodo debe almacenar datos de concentración. Utilice _ref_molecules para los nodos que almacenan recuentos de moléculas).

Obtiene la concentración en el nodo.

Obtiene la tasa de difusión dentro del compartimento.

Prueba si un nodo satisface una condición determinada.

Si se proporciona un objeto nrn.Section o RxDSection, devuelve True si el nodo se encuentra en la sección else False. Si se proporciona un objeto Región, devuelve Verdadero si el nodo se encuentra en la Región; de lo contrario, Falso. Si se proporciona un número entre 0 y 1, devuelve Verdadero si la posición normalizada se encuentra dentro del Nodo o Falso.

clase neuron.rxd.generalizedReaction. GeneralizedReaction & para & uarr

una clase abstracta, padre de Rate, Reaction, MultiCompartmentReaction

clase neuron.rxd.species. SpeciesOnRegion ( especies, región ) & para & uarr __init__ ( uno mismo, especies, región ) & para & uarr

La restricción de una especie a una región.

Un iterable de las concentraciones actuales.

Si no se especifica ninguna Región o si r es la Región especificada en el constructor, devuelve una lista de los índices de las variables de estado correspondientes a la Especie cuando se restringe a la Región definida en el constructor.

Si r es una región diferente, devuelve la lista vacía. Si secs es un conjunto, devuelve todos los índices de las regiones para esas secciones.

Una lista de nodo de los objetos de nodo que contiene datos de concentración para la especie y región determinadas.

es más eficiente que el equivalente

porque la primera solo crea los objetos Node que pertenecen a la restricción ca [cyt] mientras que la segunda opción construye todos los objetos Node que pertenecen a la Species ca y luego elimina la lista para incluir solo aquellos que también pertenecen a la Región cyt.

La longitud de la sección en micrones.

El nombre de la sección, según lo define HOC.

"I" si la Región correspondiente se asigna a la concentración interna de HOC

"O" si corresponde a la concentración externa de HOC

El número de segmentos en la sección NEURON.

En algunas implementaciones, esto puede ser diferente al número de nodos de la sección.

La región que contiene la sección RxDSection.

La orientación de la sección HOC.

El objeto Species se almacena en esta RxDSection.

clase neuron.rxd.nodelist. NodeList ( artículos ) & para & uarr __call__ ( uno mismo, restricción ) & para & uarr

returns a sub-NodeList consisting of nodes satisfying restriction

Constructs a NodeList from items, a python iterable containing Node objects.

Returns the concentration of the Node objects in the NodeList as an iterable.

Returns the diffusion constant of the Node objects in the NodeList as an iterable.

An iterable of the Region objects corresponding to the Node objects in the NodeList.

An iterable of the Species objects corresponding to the Node objects in the NodeList.

An iterable of the surface areas of the Node objects in the NodeList.

An iterable of the volumes of the Node objects in the NodeList.

An iterable of the normalized positions of the Node objects in the NodeList.


2 respuestas 2

The most elementary way is to exploit the periodicity and compare positive and negative contributions. Changing variable in the integral, with $ au=xt^3$ , and integrating by parts, you will find an analogous statement for $int_0^infty f( au)sin( au)d au>0,$ for some positive and decreasing function (also depending on $x$ ) $f$ , which makes the claim evident since any positive contribute on $[2kpi,(2k+1)pi]$ is larger in absolute value than the successive negative contribution on $[(2k+1)pi,(2k+2)pi]$ .


5 Answers 5

I think that there is a bit of confusion with change of variables in some of the previous answers as well as some errors. The integral of a log function is not the log of the integral. I think in general is difficult to write out the the integral of a function knowing the integral of its log. If anyone knows how to do that I would be interested.

In the meanwhile, @Stefan's solution above is the way to get around integrating a function in log-log space. The starting point is that the function you're dealing is linear in log-log space for small enough segments.

One can then write the equation of the line at the segment endpoints: $log(y_1)=m_1 log(x_1) + n_1$ $log(y_2)=m_1 log(x_1) + n_1$

where $m_1$ is the slope of the line and $n_1$ is its y-intercept.

By subtracting the two, one can find:

and from substitution: $n_1=log(y_1)-m_1 log(x_1)$

If in the log-log space the equation of a segment is close to a line then in normal (linear) space the equation of the segment is close to an exponential:

If we have a analytical formulation for this segment it is easy to integrate:

This feels a bit like cheating, but this is sampling in log-log space such that we can approximate the function in the linear space to an exponential with parameters derived from the log-log space.

You can just change variables. Setting $a=log(x)$, $b(a)=log(y(x))$. The integral becomes

You have to be a little careful because you are integrating from $-infty$. What you have to do exactly will depend on what $y(x)$ looks like.

I do not use python, but if I understand correctly then by $ F(r)=int_0^ry(x)dx $ you are thinking something like $ mathbf=mathrm(mathbf,mathbf) $ where $mathbf=[F_1. F_n]$ is a vector sampling the integral over a grid $mathbf$.

However you do not have samples of $x$ and $y$, but rather you have samples of $hat=log(x)$ and $hat=log(y)$.

Of course the simplest approach would be $ mathbf=mathrm(exp(mathbf>),exp(mathbf>)) , $ but this would be error-prone, because $y(x)$ is not smooth, even though $hat(hat)$ is.

Now the trapezoidal rule essentially assumes your input $y(x)$ is piecewise linear. So the simple generalization would be for you to assume that $hat(hat)$ is piecewise linear.

Then, defining $t=(hat-hat_k)/Delta hat_k$, you have $ hat_ approx hat_k + t Delta hat_k $ and $ ilde(t) approx a e^$, with $a=e^_k+hat_k>$ and $b=Delta hat_k+Delta hat_k$.

So the integral becomes $ Delta F_k approx a Delta hat int_0^1e^dt = a Delta hat frac $

In Matlab this would look something like

(Edit: My answer is essentially the same as the much more concise answer that Damascus Steel gave as I was typing. The only difference is I attempted to give a particular solution for the case where the "particular $y(x)$" is a piecewise-linear $hat(hat)$ discretized over a discrete $mathbf>$ mesh, with $F(hat_1)=0$.)


Conclusion

There is a paucity of studies that investigate biological components associated with the developmental course of young children with ASD. The needs of children with ASD are complex and this is reflected in the diversified evolutions, as well as measurement tools used to collect evidence about the child’s progress. The heterogeneity of evolutions in children with ASD compounds the difficulty in understanding whether different aetiologies are associated with differing phenotypic expressions and short or long-term course. Moreover, current knowledge of the factors associated with individual differences in development is often limited to the analysis of specific behavioural abilities and clinical studies are not designed to consider the contribution of other potential risk factors, like the biological ones. The development of a more detailed research methodology is mandatory to delineate new specific clinical profiles or ASD subgroups and consequently to better understand the critical difference between individual trajectories and group level evolutions. In this view, the research on predictors of development, including biological components, should be on top of the ASD research agenda.

In our opinion, the results of the present study - among the first ones to consider also biological predictors - emphasize that taking into account a large number of biological, clinical and familial factors can be useful to better predict evolution. Adding other factors, not taken into account by our exploratory study, will probably further enhance our ability to foretell a child’s evolution. In any case, our proof-of-concept study has highlighted that only by analysing the multiple interactions of different factors one can improve its capability to predict ASD evolution at individual level. Indeed, in future we should increasingly look at the clinical characteristics of the children with ASD also from the perspective of their possible interconnections with the many-sided biological, genetic and environmental factors.


7.7: Change of Variables in Multiple Integrals

Starting with MySQL Server 5.7.12, we are introducing the concept of Rapid Plugins. Out of the box, 5.7.12 follows the same stability promise as our current release process, but it also allows for plugins with additional functionality to be installed very easily. The first plugin to be released with MySQL Server 5.7.12 following this concept is the new X Plugin, which exposes a new communications protocol called the X Protocol.

The expanded capabilities of the X Protocol enable us to provide the new X DevAPI in our MySQL Connectors and Client applications, like the new MySQL Shell. The goal of the X DevAPI is to support a new schema object type called document collections as well as relational and combined document store/relational capabilities. Now developers, designers and DBAs can deploy MySQL databases that implement document store, relational, or hybrid document/relation models. For documentation about how to get started using MySQL as a document store, see Using MySQL as a Document Store.

Configuration Notes

Incompatible Change: To load a keyring plugin, the --early-plugin-load option is used. Previously, the default --early-plugin-load option value was the name of the keyring_file plugin library file. Now the default value is empty.

InnoDB data-at-rest encryption requires the keyring_file plugin to be loaded prior to InnoDB initialization, so this change of default --early-plugin-load value introduces an incompatibility for upgrades from 5.7.11 to 5.7.12 or higher. Administrators who have encrypted InnoDB tablespaces must take explicit action to ensure continued loading of the keyring_file plugin: Start the server with an --early-plugin-load option that names the plugin library file. For example, on platforms where the plugin library file suffix is .so , use these lines in the server my.cnf file:

On other platforms, adjust the file name suffix as necessary. For more information, see The MySQL Keyring.

Keyring Notes

MySQL Enterprise Edition now includes a keyring_okv plugin that uses Oracle Key Vault as a back end for keyring storage. For more information, see The MySQL Keyring.

Packaging Notes

The obsolete support-files/MySQL-shared-compat.spec.sh file was removed from MySQL distributions. (Bug #22525609)

Security Notes

InnoDB: The InnoDB data-at-rest encryption feature now supports Oracle Key Vault for encryption key management. Oracle Key Vault support relies on the keyring_okv plugin which is available in MySQL Enterprise Edition. A secure and robust encryption key management solution such as OKV is critical for security and for compliance with various security standards. For more information, see InnoDB Data-at-Rest Encryption.

The linked OpenSSL library for the MySQL Commercial Server has been updated to version 1.0.1s. For a description of issues fixed in this version, see http://www.openssl.org/news/vulnerabilities.html.

This change does not affect the Oracle-produced MySQL Community build of MySQL Server, which uses the yaSSL library instead. (Bug #22685885, Bug #22923458)

Functionality Added or Changed

For queries with many OR conditions, the optimizer now is more memory-efficient and less likely to exceed the memory limit imposed by the range_optimizer_max_mem_size system variable. In addition, the default value for that variable has been raised from 1536000 to 8388608. (Bug #79450, Bug #22283790)

Bugs Fixed

InnoDB Partitioning: INSERT and SELECT statements against a partitioned InnoDB table having generated columns were not always handled correctly. (Bug #22444530)

References: See also: Bug #21776494, Bug #21824564, Bug #21864838.

InnoDB: An error was returned on startup when a replication slave attempted to access an encrypted table. The server UUID used to compose the master key name was not persisted to the tablespace data file, resulting in the use of an incorrect master key. (Bug #22912582)

InnoDB: In debug builds, an unnecessary buf_block_align() call could cause a latching order violation. A DML operation resulted in a page mismatch assertion due to the same buf_block_align() call. (Bug #22709463, Bug #21321238)

InnoDB: An ALTER TABLE . ADD COLUMN operation on a table with virtual columns raised an assertion. (Bug #22650296)

InnoDB: An unnecessary comparison in tablespace encryption code caused compiler warnings. (Bug #22645816)

InnoDB: INNODB_SYS_TABLESPACES could report incorrect ALLOCATED_SIZE and FILE_SIZE values for a general tablespace created outside of the data directory. The i_s_dict_fill_sys_tablespaces() function generated an incorrect remote file path. (Bug #22590095, Bug #80070)

InnoDB: In debug builds, an update operation on a table with virtual columns raised an assertion. (Bug #22572997)

InnoDB: Modifications were made to InnoDB code to handle warnings when compiling with Microsoft Visual Studio 2015. (Bug #22542547, Bug #79964)

InnoDB: Running REPLACE operations on multiple connections resulted in a hang. (Bug #22530768, Bug #79185)

InnoDB: Operations relating to tablespace encryption resulted in a hang on FreeBSD. (Bug #22520464, Bug #79901)

InnoDB: MySQL stalled when synchronizing the InnoDB full-text index cache. (Bug #22516559, Bug #16510576, Bug #73816)

InnoDB: A CREATE TABLE . DATA DIRECTORY operation failed to create a table while innodb_flush_method was set to O_DIRECT . (Bug #22180006, Bug #79200)

References: This issue is a regression of: Bug #21113036.

InnoDB: In debug builds, a buffer pool resizing operation resulted in a segmentation violation. The buf_pool_resizing variable was not protected. (Bug #22179317)

InnoDB: The innodb_open_files setting could exceed the open files limit. (Bug #22111472)

InnoDB: InnoDB attempted crc32 checksum validation instead of innodb after a crc32 checksum validation failure, causing repeated crc32 checksum validation attempts. Checksum validation order is now optimized dynamically. Thanks to Daniel Black for the patch. (Bug #79725, Bug #22452597)

Replication: When a slave with no binary log connected to a Group Replication master, it failed with Error running query , but no information about the failure was available from the output of SHOW SLAVE STATUS or in the replication_applier_status_by_worker table. (Bug #22699395)

Replication: Setting relay_log_recovery=1 generated an error during recovery, due to repositories not being initialized. (Bug #22523554)

Replication: Issuing STOP SLAVE caused a spurious Error reading packet from server: Lost connection to MySQL server during query message to be written to the error log. With this fix, when connection to the master is lost, the abort_slave flag is checked and the error message is printed only if the flag is not set. (Bug #22305605, Bug #79504)

References: See also: Bug #12977988, Bug #22290309.

Replication: When the binary log was disabled, the GTID specified by gtid_next when committing an empty transaction caused by a BEGIN statement was saved in gtid_executed when it should not have been. This did not occur when the binary log was enabled.

Now, when gtid_next is set for the current session, BEGIN raises an ER_CANT_DO_IMPLICIT_COMMIT_IN_TRX_WHEN_GTID_NEXT_IS_SET error inside any transaction regardless of whether binary logging is enabled, since this statement causes an implicit commit. In this case, the GTID specified by gtid_next is not saved in gtid_executed . (Bug #22130929)

Replication: When replication was configured but not started on a slave, the variable currently_executing_gtid was not properly initialized, but it would be used if the Performance Schema replication_applier_status_by_worker table was queried, causing assertion failures and pointer issues. With this fix, the variable is now properly initialized at the construction of the Relay_log_info object. (Bug #21953132, Bug #78722)

Replication: RESET SLAVE ALL could delete a channel even when master_pos_wait and wait_until_sql_thread_after_gtid were still waiting for transactions to be applied. This could cause a MySQL server exit when the functions tried to access the channel that was deleted. Now, a channel reference counter was added that is increased if the channel should not be deleted when the functions are running. RESET SLAVE ALL will wait for no reference, and then it will delete the channel. (Bug #21842399, Bug #78445)

Replication: When relay_log_recovery=1 , a slave server, at its initialization, still tried to scan the relay log files in order to update Retrieved_Gtid_Set and the transaction parser state, which was an unnecessary waste of resources because the slave I/O thread would just be initialized to the SQL thread position in the new relay log file. With this fix, the slave server skips scanning the relay log files when relay_log_recovery=1 . (Bug #21798355, Bug #78352)

Replication: XA transactions were not handled correctly when --gtid-mode=ON and the binary log was disabled. It was because on both master and slave servers, the GTID state was sometimes not saved and the GTID ownership was sometimes not cleaned up. This fix makes sure those steps are now properly performed. (Bug #21618727)

References: See also: Bug #22165138, Bug #77740, Bug #21452916.

Replication: When a multithreaded slave stopped with an error, the same error message was printed three times. Now, the SQL thread's kill acceptance status is saved, and only printed once. (Bug #21198611, Bug #77237)

Replication: When using a multithreaded slave with relay_log_info_repository set to TABLE , the slave applier thread failed to write XA transactions to the worker configuration. (Bug #20988291)

Replication: mysqlbinlog --verbose displayed BINARY and VARBINARY data as ordinary strings, causing any single quote ( “ ' ” ) or backslash ( “ ” ) among the data to be printed as such, which was confusing to the users and, in the case of a backslash, caused the next character to be skipped. This fix makes mysqlbinlog print the characters' hexadecimal values ( “ x27 ” for single quote and “ x5c ” for backslash) instead. (Bug #20836250)

Replication: The test case main.merge failed when the variables binlog_format was set to “ ROW, ” as the server tried to get information for table creation for a child table before it was opened. With this fix, the server skips getting information for the table in the situation. (Bug #20574550, Bug #75976)

Replication: When a server was run with relay_log_info_repository=TABLE and the --super-read-only option enabled, a statement which caused an update to the slave info tables, such as STOP SLAVE or CHANGE MASTER TO , resulted in a 'STOP SLAVE' failed: 1290: The MySQL server is running error, preventing the statement being executed. The fix ensures that replication operations are permitted regardless of the setting of read_only and super_read_only . (Bug #78963, Bug #22097534)

Replication: Valgrind tests of mysqlbinlog revealed some memory leaks. (Bug #78223, Bug #21697461, Bug #78966)

Replication: If a query on a master generated an error and partial results were written to the binary log, for example due to a DROP TABLE IF EXISTS statement applying to multiple tables that would break foreign key constraints, when a slave configured with replication filters encountered the query it could be incorrectly binary logged. This caused errors such as:

Last_SQL_Error: Query caused different errors on master and slave. Error on master: message (format)='Cannot delete or update a parent row: a foreign key constraint fails' error code=1217 Error on slave: actual message='no error', error code=0. Default database: 'db1'. Query: 'DROP TABLE IF EXISTS `table1` /* generated by server */'

There were two fixes required for this bug.

If a DROP TABLE statement used to drop a single table fails, to avoid partial results causing this bug the query is not written to the binary log. If a DROP TABLE statement used to drop a list of tables fails, any partial results it generates are written to the binary log with an error.

When a query that generates an error as expected was received by a slave but it was skipped due to replication filters, the slave was incorrectly checking the error. The fix for Bug #76493 ensures that this comparison of the expected error from the master with the actual error from the slave does not happen.

References: See also: Bug #20797764, Bug #76493.

JSON: Error messages raised by JSON_KEYS() and JSON_EXTRACT() contained the wrong data. (Bug #78699, Bug #22026278)

RTRIM() on large strings could be very slow. (Bug #22884187)

References: This issue is a regression of: Bug #18315770, Bug #12368495.

Integer overflow could occur during client handshake processing, leading to a server exit. (Bug #22722946)

Missing initializers in the query plan constructor resulted in Valgrind warnings. (Bug #22573117)

mysqlpump failed (syntax error) when a view name contained a space character. View names are now quoted. (Bug #22505474)

UNHEX() with an invalid argument could result in garbage characters in the warning message. (Bug #22358933)

Improper host name checking in X509 certificates could permit man-in-the-middle attacks. (Bug #22295186, Bug #22738607)

For debug builds, when an indexed nonnullable generated column with an empty string generated expression was updated during an insert for a duplicated key, there was an optimization that resulted in the server failing to find the duplicated index, causing an assertion to be raised. (Bug #22195364)

A boolean mode full-text search caused a segmentation fault. (Bug #22176795)

Queries on generated columns that used WITH ROLLUP could raise an assertion. (Bug #22131343)

For a prepared statement that used a derived table, an assertion could be raised at execute time when checking statement privileges. (Bug #22108567)

Concurrent selecting and flushing of a FEDERATED table while killing connections accessing it could result in a server exit. (Bug #21918190)

For debug builds, when a query using join buffering and one of the tables inserted into the join buffer was accessed using a dynamic range scan on an index containing a virtual column, a Valgrind error occurred when writing columns to the join buffer. (Bug #21872184)

After iterations of uninstalling and installing the audit_log plugin, the server could hang. (Bug #21796658)

With a LOCK TABLES statement in effect, access to Performance Schema tables could fail, as could SHOW STATUS with show_compatibility_56=OFF . (Bug #21789221)

Executing GRANT PROXY statements after altering the definition of the mysql.user system table could result in a server exit. (Bug #21699037)

Certain error messages included part of the SQL statement that produced them, possibly exposing data. (Bug #21682356)

Although it is possible to create nontemporary tables using the prefix #sql , Performance Schema assumed that tables named using this prefix were temporary and could be ignored. Performance Schema now uses table attributes other than the name to identify temporary tables. (Bug #21105475, Bug #22532368, Bug #79934)

Account filtering performed by the audit_log plugin incorrectly used the account named by the USER() function rather than the CURRENT_USER() function (the latter being the account used for authentication). (Bug #19509471, Bug #22454245, Bug #77553)

NAME_CONST() can return null if incorrect arguments are given. In some cases, this was not handled and could cause a server exit. (Bug #19143243, Bug #26361149)

Character set conversion operations on NULL parameters to prepared statements could cause a server exit. (Bug #18823979)

Loose Index Scan was not chosen for queries that had an equality condition. (Bug #18109609)

Long or complex SQL statements could cause the parser to run out of memory. The new parser_max_mem_size system variable now enables control over the maximum amount of memory available to the parser. The default value places no limit on memory available, but the value can be reduced to protect against out-of-memory situations. (Bug #14744160)

A Valgrind warning for memory_free_noop() was silenced. (Bug #80457, Bug #22782197)

The MySQL server failed to start if built with the -m32 option on Solaris/Sparc, due to improper static data alignment in init_delegates() . (Bug #80445, Bug #22763880)

The plugin_keyring.h header file misspelled st_mysql_keyring as st_mysql_keyring_file . (Bug #80414, Bug #22748867)

For shared-memory connections on Windows, the client library opened a handle on a mutex but did not close it. Subsequent attempts to restart the server on the other end of the connection failed if the client still had the mutex handle open. (Bug #80234, Bug #22646779)

mysqld attempted to initialize plugins specified using the --early-plugin-load option when the --help option was specified. (Bug #80077, Bug #22573767)

ALTER USER IDENTIFIED WITH . expired the account password, even if the authentication plugin did not support password expiration. (Bug #79999, Bug #22551523)

Some Performance Schema global instruments, if not enabled at server startup, could be in a state where it was not possible to enable them at runtime. This restriction has been lifted. Affected instruments include mutex , rwlock , cond , and socket instances. Thanks to Zhang Yingqiang for the patch. (Bug #79784, Bug #22517278, Bug #66515, Bug #14532176)

Setting the super_read_only system variable at server startup had no effect. (Bug #79328, Bug #22233503)

These audit_log plugin issues were corrected:

Calling my_message() from the MYSQL_AUDIT_GENERAL_CLASS handler resulted in infinite recursion.

Diagnostic messages were improved for the case when the MYSQL_AUDIT_GENERAL_CLASS handler returned nonzero.

Calling my_message() from the MYSQL_AUDIT_SERVER_STARTUP_CLASS handler did not abort server startup as it should have.

SHOW GLOBAL VARIABLES produced different output for the null_audit_abort_value system variable with show_compatibility_56 enabled and disabled.

(Bug #79079, Bug #22136709, Bug #79091, Bug #22142166, Bug #79092, Bug #22142209, Bug #21783798)

For INSERT and UPDATE operations that caused FOREIGN KEY constraint violations, errors were reported rather than warnings when the IGNORE keyword was used. (Bug #78853, Bug #22037930)

References: See also: Bug #23135731.

Using the server session service, executing an SQL statement from a thread with no VIO context could raise an assertion. (Bug #78734, Bug #21959409)

CREATE VIEW statements that used the TIMESTAMPDIFF() function with MICROSECOND as the unit resulted in incorrect view definitions. (Bug #78506, Bug #21877062)

For an existing user, CREATE USER IF NOT EXISTS produced an error rather than a warning. Similarly, for an nonexisting user, ALTER USER IF EXISTS produced an error rather than a warning. (Bug #78374, Bug #21807286)

For some queries, an Index Merge access plan was chosen over a range scan when the cost for the range scan was the same or less. (Bug #77209, Bug #21178196)

UNHEX() could attempt a left shift of a negative number. (Bug #73964, Bug #19642015)

EXPLAIN for SELECT . FOR UPDATE statements acquired locks. (Bug #72858, Bug #18899860)

Processlist state information was not updated correctly for LOAD DATA and could show a state different from executing . (Bug #69375, Bug #16912362)


DISCUSSION

ML and Bayes methods of this article estimated the population size for the common ancestor of humans and chimpanzees to be ∼12,000, similar to estimates for modern humans. The estimates are several times smaller than those obtained by C hen and L i (2001) from the same data using the tree-mismatch method, which range from 52,000 to 150,000. Even the worst-case estimates—e.g., 36,000 by ML under the assumption that all sequence divergence variation among loci is due to mutation rate variation and 33,000 from the Bayes analysis using the poor priors—are smaller than the minimum estimate of Chen and Li. The tree-mismatch method used by Chen and Li appears to have serious biases due to errors in gene tree reconstruction, and the likelihood and Bayes estimates reported here are probably more reliable. Thus it may be concluded that the sequence data of C hen and L i (2001) do not support much larger ancestral populations than the modern humans or the notion that early human populations experienced dramatic size reductions (H acia 2001 K aessmann et al. 2001).

While the ML and Bayes methods are expected to have better statistical properties than the simple tree-mismatch method, it is worthwhile to examine some of the assumptions made in this article. First, the evolutionary rate is assumed to be constant over lineages. This assumption seems reasonable as the species compared are very closely related C hen and L i ’s (2001) relativerate tests supported the molecular clock. The large differences between the tree-mismatch method and the likelihood and Bayes methods are clearly not due to the use of the clock assumption in this article use of clock rooting in the tree-mismatch method produced even larger estimates of the population size for the ancestor of humans and chimpanzees. Second, the analysis assumes no recombination within a locus. The effect of recombination on estimation of parameters θ0, θ1, γ0, and γ1 is not well understood, although S atta et al. (2000) emphasized its possible significance. As the human, chimpanzee, and gorilla sequences are extremely similar, most of the recombination events will not be visible in the sequence data, and the few sites at which more than two nucleotides are observed in the data (see counts norteI4 for site pattern xyz in Table 1) are probably due to multiple substitutions at the same site. Third, the substitution model of J ukes and C antor (1969) is simplistic. More complex models, such as those that account for variable substitution rates among sites within the locus, can be easily implemented, but are expected to have little effect. The most serious issue seems to be mutation rate variation among loci. In the case of two species, the ancestral population size is overestimated when mutation rate variation is ignored and accounting for the bias leads to dramatic reduction in the estimated population size (Y ang 1997a). In this article, the population size of the ancestor of humans and chimpanzees is not very large under the constant-rate model and becomes larger when variable rates for loci are assumed. The effect is much less important and also in the opposite direction compared with the two-species case. Lack of strong correlation among sequence distances with the orangutan seems to suggest that the rates are relatively homogeneous among those loci. It seems that simultaneous analysis of data from three species allows the parameters to constrain each other, leading to a better use of information in the data. It is quite likely that the estimation can be further improved by sampling multiple individuals from the same species.

The ML and Bayes methods produced similar results for the data analyzed in this article. However, the ML calculation is slower than the MCMC algorithm. The Bayes approach also provides a framework for incorporating prior information about the parameters. For example, a wealth of information is available about the divergence time between humans and chimpanzees. By forcing a very narrow prior distribution for γ1, such information can be incorporated in the Bayes analysis. Using an informative prior will reduce the adverse effect of strong correlation among parameters when other parameters are estimated. Furthermore, the Bayes algorithm seems easier than ML to extend to data that contain more than three species and more than one individual from each species.

Program availability: C programs implementing the MCMC algorithm and calculating the mismatch probabilities (PSG, PSE, and PGE, etc.) are available from the author upon request. The C and Mathematica programs for the likelihood method are available as well, but they make use of the Mathlink library and are awkward to use.


IPython 7.0.0¶

Released Thursday September 27th, 2018

IPython 7 includes major feature improvements. This is also the second major version of IPython to support only Python 3 – starting at Python 3.4. Python 2 is still community-supported on the bugfix only 5.x branch, but we remind you that Python 2 “end of life” is on Jan 1st 2020.

We were able to backport bug fixes to the 5.x branch thanks to our backport bot which backported more than 70 Pull-Requests, but there are still many PRs that required manual work. This is an area of the project where you can easily contribute by looking for PRs that still need manual backport

The IPython 6.x branch will likely not see any further release unless critical bugs are found.

Make sure you have pip > 9.0 before upgrading. You should be able to update by running:

Or, if you have conda installed:

Prompt Toolkit 2.0¶

IPython 7.0+ now uses prompt_toolkit 2.0 . If you still need to use an earlier prompt_toolkit version, you may need to pin IPython to <7.0 .

Autowait: Asynchronous REPL¶

Staring with IPython 7.0 on Python 3.6+, IPython can automatically await top level code. You should not need to access an event loop or runner yourself. To learn more, read the Asynchronous in REPL: Autoawait section of our docs, see PR #11265, or try the following code:

Async integration is experimental code, behavior may change or be removed between Python and IPython versions without warnings.

Integration is by default with asyncio , but other libraries can be configured – like curio or trio – to improve concurrency in the REPL:

Asynchronous code in a Notebook interface or any other frontend using the Jupyter Protocol will require further updates to the IPykernel package.

Non-Asynchronous code¶

As the internal API of IPython is now asynchronous, IPython needs to run under an event loop. In order to allow many workflows, (like using the %run magic, or copy-pasting code that explicitly starts/stop event loop), when top-level code is detected as not being asynchronous, IPython code is advanced via a pseudo-synchronous runner, and may not advance pending tasks.

Change to Nested Embed¶

The introduction of the ability to run async code had some effect on the IPython.embed() API. By default, embed will not allow you to run asynchronous code unless an event loop is specified.

Effects on Magics¶

Some magics will not work with async until they’re updated. Contributions welcome.

Expected Future changes¶

We expect more internal but public IPython functions to become async , and will likely end up having a persistent event loop while IPython is running.

Thanks¶

This release took more than a year in the making. The code was rebased a number of times leading to commit authorship that may have been lost in the final Pull-Request. Huge thanks to many people for contribution, discussion, code, documentation, use-cases: dalejung, danielballan, ellisonbg, fperez, gnestor, minrk, njsmith, pganssle, tacaswell, takluyver , vidartf … And many others.

Autoreload Improvement¶

The magic %autoreload 2 now captures new methods added to classes. Earlier, only methods existing as of the initial import were being tracked and updated.

This new feature helps dual environment development - Jupyter+IDE - where the code gradually moves from notebook cells to package files as it gets structured.

Ejemplo: An instance of the class MyClass will be able to access the method cube() after it is uncommented and the file file1.py is saved on disk.

The autoindent feature that was deprecated in 5.x was re-enabled and un-deprecated in PR #11257

Make %run -n -i . work correctly. Earlier, if %run was passed both arguments, -n would be silently ignored. See PR #10308

The %%script (as well as %%bash , %%ruby … ) cell magics now raise by default if the return code of the given code is non-zero (thus halting execution of further cells in a notebook). The behavior can be disable by passing the --no-raise-error flag.

Deprecations¶

A couple of unused functions and methods have been deprecated and will be removed in future versions:

  • IPython.utils.io.raw_print_err

  • IPython.utils.io.raw_print

Backwards incompatible changes¶

The API for transforming input before it is parsed as Python code has been completely redesigned: any custom input transformations will need to be rewritten. See Custom input transformation for details of the new API.