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4: Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y algoritmo euclidiano


4: Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y algoritmo euclidiano

A conceptual prueba de la identidad gcd de Bezout: el conjunto $ rm , S , $ de todas enteros de la forma $ rm , a , x + b , y, , x, y in mathbb Z, , $ es cerrado bajo resta $ ax + by- (a bar x + b bar y) , = , a (x ! - bar x) + b (y ! - ! bar y), , $ entonces a través del Lema a continuación, cada $ rm , n positivo en S , $ es divisible por $ rm , d = $ menos positivo $ rm en S. , $ Entonces $ rm , a, b in S , $ $ Rightarrow $ $ rm , d mid a, b, , $ es decir, $ rm , d , $ es un común divisor de $ rm , a, b, , $ necesariamente mayor tal por $ rm c mid a, b , $ $ Rightarrow $ $ rm , c mid d = a , x_1 ! + ! b , y_1 Flecha derecha $ $ rm , c le d. $

Lema $ $ Sea $ , rm S ne emptyset , $ un conjunto de enteros gt0 $ cerrados bajo resta gt 0, , $ es decir, para todos $ rm , n, m en S, , $ $ rm n & gt m Rightarrow nm , in , S. , $ Entonces cada elemento de $ rm , S , $ es un múltiplo del elemento mínimo $ rm : ell = min , S. $

Prueba $ < bf 1> , $ Si no hay un mínimo no múltiple $ rm , n en S, , $ contra $ rm , n- ell en S , $ es un no múltiple de $ rm , ell. $

Prueba $ < bf 2> , rm , S , $ cerrado bajo resta $ rm , Rightarrow , S , $ cerrado bajo resto (mod), cuando es $ ne 0, $ ya que mod se puede calcular mediante resta repetida, es decir, $ rm , a mod b , = , a - kb , = , abb- cdots -b. , $ Así $ rm , n in S , $ $ Rightarrow $ $ rm , (n mod ell) = 0, , $ de lo contrario es $ rm , in S , $ y menor que $ rm , ell, , $ contra la mímica de $ rm : ell. $

Observación $ $ En pocas palabras, dos aplicaciones de inducción producen las siguientes inferencias

$ rm begin rm S cerrado bajo < bf resta> & amp Rightarrow : & amp rm S closed under < bf mod> = resto = repetido sustracción & amp Rightarrow : & amp rm S cerrado bajo , < bf gcd> , = repetido mod (algoritmo de Euclides) end$

Interpretado de manera constructiva, esto produce el algoritmo euclidiano extendido para el mcd. Es decir, $ $ a partir de los dos elementos de $ rm , S , $ que conocemos: $ rm a , = , 1 cdot a + 0 cdot b, b , = , 0 cdot a + 1 cdot b, $ buscamos el elemento menor de $ rm , S , $ restando repetidamente elementos de $ , rm S , $ para producir elementos más pequeños de $ rm , S , $ (mientras se hace un seguimiento de la representación lineal de cada elemento en términos de $ rm , a , $ y $ rm , b). : $ Este es esencialmente el sustractivo forma del algoritmo euclidiano (vs. forma mod / resto).

Nota: en sistemas numéricos más generales que disfrutan de División con resto (es decir, dominios euclidianos) no es cierto que $ ! bmod ! $ sea equivalente a una resta repetida, por lo que en tales anillos lo anterior descendencia se logra mediante $ ! bmod ! $ (frente a la resta), como en la Prueba $ 2, , $ p. esto es cierto para los anillos polinomiales sobre un campo.

La estructura conceptual se aclarará cuando se estudie ideales de anillos, donde la prueba anterior se generaliza para mostrar que los dominios euclidianos son PID.


Máximo común divisor o el máximo común divisor (MCD) se puede calcular de la siguiente manera

Máximo Común Divisor de 4 y 12 por el método de factorización prima

Factorización prima de 4

Los factores primos de 4 son 2. Factorización prima de 4 en forma exponencial es:

Factorización prima de 12

Los factores primos de 12 son 2. 12 en forma exponencial es:

∴ Entonces, tomando los factores primos comunes, el MCD de 4 y 12 es 4

Máximo Común Factor de 4 y 12 mediante el método de factores coincidentes

Factores de 4

Lista de factores enteros positivos de 4 que divide a 4 sin resto.

Factores de 12

Lista de factores enteros positivos de 12 que divide a 12 sin resto.

Máximo común divisor

Encontramos los factores y la factorización prima de 4 y 12. El factor común más grande es el GCF número.
Entonces el máximo común denominador 4 y 12 es 4.

Propiedades de GCF 4 y 12

(i) El MCD de 4 y 12 es asociativo

MCD de 4 y 12 = MCD de 12 y 4

Máximo Común Divisor Relacionado de 4

Máximo Común Divisor Relacionado de 12

Preguntas frecuentes sobre el MCD de 4 y 12

1. ¿Cuál es el MCD de 4 y 12?

Respuesta: MCD de 4 y 12 es 4.

2. ¿Cuáles son los factores de 4?

Respuesta: Los factores de 4 son 1, 2, 4. Hay 3 números enteros que son factores de 4. El mayor factor de 4 es 4.

3. ¿Cuáles son los factores de 12?

Respuesta: Los factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12. Hay 6 números enteros que son factores de 12. El mayor factor de 12 es 12.

4. ¿Cómo encontrar el MCD de 4 y 12?

Máximo Común Divisor de 4 y 12 = 4

Paso 1: Encuentra la factorización prima de 4

Paso 2: Encuentra la factorización prima de 12

Paso 3: multiplica los factores que ambos números tienen en común en los pasos i) o ii) anteriores para encontrar el mcd:


4: Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y algoritmo euclidiano

Mayor algoritmo de divisor común

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números (4 algoritmos) Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de tres números Descripción del algoritmo: Fo.

Divisor común más grande del algoritmo

En el pasado, esto generalmente se hacía con fuerza bruta, pero hoy descubrí que el algoritmo de Euclid es realmente bueno. Toma un registro. Por cierto, no puedo usar escoria y violencia, y mucho menos retroceder.

Notas de Python: el mayor algoritmo de divisor común y el algoritmo de múltiplo común mínimo

Directorio de artículos Encuentre el máximo común divisor Encuentre el mínimo común múltiplo Introducción: Suponga que si el número a puede ser divisible por el número b, a se llama múltiplo de by b es call.

Algoritmo común para el máximo común divisor

Uno. Propósito 1. Identificar el concepto y las características del algoritmo. 2. A través del análisis del problema, diseñar un algoritmo razonable para resolver el problema Contenido experimental Algor común.

La belleza de programar notas de lectura (5) el máximo común divisor

Problema: Encuentra el máximo común divisor de dos números Solución uno: Método de división euclidiana: f (x, y) = GC.


Máximo común divisor o el máximo común divisor (MCD) se puede calcular de la siguiente manera

Máximo Común Divisor de 11 y 4 por el método de factorización prima

Factorización prima de 11

Los factores primos de 11 son 11. Factorización prima de 11 en forma exponencial es:

Factorización prima de 4

Los factores primos de 4 son 2. 4 en forma exponencial es:

∴ Entonces, tomando los factores primos comunes, el MCD de 11 y 4 es 1

Máximo Común Factor de 11 y 4 por el método de factores coincidentes

Factores de 11

Lista de factores enteros positivos de 11 que divide a 11 sin resto.

Factores de 4

Lista de factores enteros positivos de 4 que divide a 4 sin resto.

Máximo común divisor

Encontramos los factores y la factorización prima de 11 y 4. El mayor número de factor común es el GCF número.
Entonces el máximo común denominador 11 y 4 es 1.

Propiedades de GCF 11 y 4

(i) El MCD de 11 y 4 es asociativo

MCD de 11 y 4 = MCD de 4 y 11

Máximo Común Divisor relacionado de 11

Máximo Común Divisor Relacionado de 4

Preguntas frecuentes sobre el MCD de 11 y 4

1. ¿Cuál es el MCD de 11 y 4?

Respuesta: MCD de 11 y 4 es 1.

2. ¿Cuáles son los factores de 11?

Respuesta: Los factores de 11 son 1, 11. Hay 2 números enteros que son factores de 11. El mayor factor de 11 es 11.

3. ¿Cuáles son los factores de 4?

Respuesta: Los factores de 4 son 1, 2, 4. Hay 3 números enteros que son factores de 4. El mayor factor de 4 es 4.

4. ¿Cómo encontrar el MCD de 11 y 4?

Máximo Común Divisor de 11 y 4 = 1

Paso 1: Encuentra la factorización prima de 11

Paso 2: Encuentra la factorización prima de 4

Paso 3: multiplica los factores que ambos números tienen en común en los pasos i) o ii) anteriores para encontrar el mcd:


Máximo común divisor o el máximo común divisor (MCD) se puede calcular de la siguiente manera

Máximo Común Divisor de 7 y 4 por el método de factorización prima

Factorización prima de 7

Los factores primos de 7 son 7. Factorización prima de 7 en forma exponencial es:

Factorización prima de 4

Los factores primos de 4 son 2. 4 en forma exponencial es:

∴ Entonces, tomando los factores primos comunes, el MCD de 7 y 4 es 1

Máximo Común Factor de 7 y 4 por el método de factores coincidentes

Factores de 7

Lista de factores enteros positivos de 7 que divide a 7 sin un residuo.

Factores de 4

Lista de factores enteros positivos de 4 que divide a 4 sin resto.

Máximo común divisor

Encontramos los factores y la factorización prima de 7 y 4. El mayor factor común es el GCF número.
Entonces el máximo común denominador 7 y 4 es 1.

Propiedades de GCF 7 y 4

(i) El MCD de 7 y 4 es asociativo

MCD de 7 y 4 = MCD de 4 y 7

Máximo Común Divisor Relacionado de 7

Máximo Común Divisor Relacionado de 4

Preguntas frecuentes sobre el MCD de 7 y 4

1. ¿Cuál es el MCD de 7 y 4?

Respuesta: MCD de 7 y 4 es 1.

2. ¿Cuáles son los factores de 7?

Respuesta: Los factores de 7 son 1, 7. Hay 2 números enteros que son factores de 7. El mayor factor de 7 es 7.

3. ¿Cuáles son los factores de 4?

Respuesta: Los factores de 4 son 1, 2, 4. Hay 3 números enteros que son factores de 4. El mayor factor de 4 es 4.

4. ¿Cómo encontrar el MCD de 7 y 4?

Máximo Común Divisor de 7 y 4 = 1

Paso 1: Encuentra la factorización prima de 7

Paso 2: Encuentra la factorización prima de 4

Paso 3: multiplica los factores que ambos números tienen en común en los pasos i) o ii) anteriores para encontrar el mcd:


Máximo común divisor o el máximo común divisor (MCD) se puede calcular de la siguiente manera

Máximo Común Divisor de 4 y 8 por el método de factorización prima

Factorización prima de 4

Los factores primos de 4 son 2. Factorización prima de 4 en forma exponencial es:

Factorización prima de 8

Los factores primos de 8 son 2. 8 en forma exponencial es:

∴ Entonces, al tomar los factores primos comunes, el MCD de 4 y 8 es 4

Máximo Común Factor de 4 y 8 mediante el método de factores coincidentes

Factores de 4

Lista de factores enteros positivos de 4 que divide a 4 sin resto.

Factores de 8

Lista de factores enteros positivos de 8 que divide a 8 sin resto.

Máximo común divisor

Encontramos los factores y la factorización prima de 4 y 8. El mayor número de factor común es el GCF número.
Entonces el máximo común denominador 4 y 8 es 4.

Propiedades de GCF 4 y 8

(i) El MCD de 4 y 8 es asociativo

MCD de 4 y 8 = MCD de 8 y 4

Máximo Común Divisor Relacionado de 4

Mínimo Común Divisor relacionado de 8

Preguntas frecuentes sobre el MCD de 4 y 8

1. ¿Cuál es el MCD de 4 y 8?

Respuesta: MCD de 4 y 8 es 4.

2. ¿Cuáles son los factores de 4?

Respuesta: Los factores de 4 son 1, 2, 4. Hay 3 números enteros que son factores de 4. El mayor factor de 4 es 4.

3. ¿Cuáles son los factores de 8?

Respuesta: Los factores de 8 son 1, 2, 4, 8. Hay 4 números enteros que son factores de 8. El mayor factor de 8 es 8.

4. ¿Cómo encontrar el MCD de 4 y 8?

Máximo Común Divisor de 4 y 8 = 4

Paso 1: Encuentra la factorización prima de 4

Paso 2: Encuentra la factorización prima de 8

Paso 3: multiplica los factores que ambos números tienen en común en los pasos i) o ii) anteriores para encontrar el mcd:


4: Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y algoritmo euclidiano

Esta pregunta requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos dados números enteros positivos. Formato de entrada: la entrada da dos números enteros positivos M y N (& le1000) en una línea. Producción .

PTA: 7-4 máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Esta pregunta requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos dados números enteros positivos. Formato de entrada: la entrada da dos números enteros positivos M y N (& le1000) en una línea. Producción .

7-26 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Esta pregunta requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos dados números enteros positivos. Formato de entrada: ingrese dos números enteros positivos M y N (& le1000) en una línea. Formato de salida: Ou.

Ejercicio 4-7 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Esta pregunta requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos dados números enteros positivos. Formato de entrada: ingrese dos números enteros positivos M y N (& le1000) en una línea. Formato de salida: Ou.

7-26 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (15 puntos)

Utilice respectivamente el método exhaustivo, el método más sustractivo y el método de lanzar y dividir para encontrar el máximo factor común de dos enteros. Esta pregunta requiere la mayor di común.


Hallar el MCM de 30, 60, 75, 120 por división común

Organice las entradas 30, 60, 75, 120 en una línea horizontal separada por comas y divídalas con un número primo. Anota los cocientes en la siguiente fila y vuelve a dividir con cocientes con números primos. Continúe el proceso hasta que tenga todos los co primos en el último.

2 30, 60, 75, 120
2 15, 30, 75, 60
3 15, 15, 75, 30
5 5, 5, 25, 10
1, 1, 5, 2

Como todos los números que quedan en la última fila son coprimos, no es necesario que realice más el proceso de división común.

Para obtener el mínimo común múltiplo, multiplique los números primos con los que ha dividido los números dados y los primos co en la última fila, es decir, 2 x 2 x 3 x 5 x 1 x 1 x 5 x 2 = 600

Por lo tanto, el MCM de 30; 60; 75; 120 es 600.

Por lo tanto, MCD de fracciones = MCD de numeradores / MCM de denominadores = 4/600

Por lo tanto, el MCD de las fracciones 16 / 30,24 / 60,32 / 75,36 / 120 es 4/600

Hallar el MCM de 30,60,75,120 usando la fórmula del MCD

Calculemos el mcm de los dos primeros números

La fórmula de LCM es mcm (a, b) = (a x b) / mcd (a, b)

Aquí consideramos el MCM de lo anterior, es decir, 60 como primer número y el siguiente como 75.

La fórmula de LCM es MCM (a, b) = (a x b) / MCD (a, b)

Aquí consideramos el MCM de lo anterior, es decir, 300 como primer número y el siguiente como 120.

La fórmula de LCM es MCM (a, b) = (a x b) / MCD (a, b)

MCM (300, 120) = (300 x 120) / 60

Ejemplos de cálculo de MCD de fracciones

A continuación, se muestran algunos ejemplos de cálculos del MCD de fracciones.

Preguntas frecuentes sobre el MCD de fracciones 16/30, 24/60, 32/75, 36/120

1. ¿Cuál es el MCD de las fracciones 16/30, 24/60, 32/75, 36/120?

El MCD de las fracciones 16/30, 24/60, 32/75, 36/120 es 4/600.

2. ¿Qué es el MCD de los numeradores 16,24,32,36?

El máximo común divisor de numeradores 16, 24, 32, 36 es 4.

3. ¿Cuál es el resultado para el MCM de los denominadores 30,60,75,120?


4: Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y algoritmo euclidiano

1. El máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros (1) El máximo común divisor referenciaBaidu ① Divide de un lado a otro y mdashdivide m por n, luego reemplaza m con n, y reemplaza n wi.

Pregunta 4-7 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (15 puntos) Esta pregunta requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos dados números enteros positivos.

7-4 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (20 puntos) Esta pregunta requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos dados números enteros positivos.

7-4 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (20 puntos) Esta pregunta requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos dados números enteros positivos. Formato de entrada: Entrada dos p.

Ejercicio 4-7 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (15 puntos) Este problema requiere el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números enteros positivos dados.

Formato de entrada: ingrese dos números enteros positivos M y N (& le1000) en una línea. Formato de salida: muestra el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de M y N en orden en una línea, separados por 1 sp.