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1.5: Área de superficie de revolución - Matemáticas


El área de un tronco es

[A = 2 pi r (longitud). ]

Si giramos una curva alrededor del eje x, tenemos que el área de superficie de revolución está dada por

[ text {Área} = 2 pi int _a ^ b y sqrt {1+ left ( dfrac {dy} {dx} right) ^ 2} dx. ]

Ejemplo 1

Establezca una integral que proporcione el área de superficie de revolución sobre el eje x de la curva

[y = x ^ 2 ]

de 2 a 3.

Solución

Encontramos

[ left ( dfrac {dy} {dx} right) ^ 2 = (2x) ^ 2 = 4x ^ 2. ]

Ahora usa la fórmula del área:

[A = 2 pi int_2 ^ 3 x ^ 2 sqrt {1 + 4x ^ 2} dx. ]

Más adelante aprenderemos cómo trabajar con esta integral. Sin embargo, una computadora da eso

[A aproximadamente 208.09. ]

Larry Green (Colegio Comunitario de Lake Tahoe)

  • Integrado por Justin Marshall.


Dependiendo del tipo de cuerpo, existen diferentes fórmulas y diferente información requerida que necesita para calcular el área de superficie (a.k.a. superficie total). A continuación se muestran las fórmulas para calcular el área de superficie de los tipos de cuerpos más comunes.

En todos los cálculos de superficie, asegúrese de que todas las longitudes se miden en la misma unidad, p. Ej. pulgadas, pies, mm, cm. El resultado de nuestra calculadora de área de superficie siempre será un cuadrado de la misma unidad: pies cuadrados, pulgadas cuadradas, metros cuadrados, cm cuadrados, mm cuadrados. etc.


Edición de estándares de matemáticas primarias Inicio Instructor & # 8217s Guía 5A

Las guías del instructor para el hogar están diseñadas para uso doméstico. Proporcionan los antecedentes, notas didácticas, actividades y enriquecimiento esenciales para lograr los objetivos de aprendizaje.

Nota: Los maestros de la escuela pueden encontrar útiles las Guías del instructor de inicio, ya que contienen soluciones prácticas para libros de texto y ejercicios de libros de trabajo.

Introducción
Esquema de trabajo
Materiales
Suplementos
Unidad 1: Números enteros
Capítulo 1: Miles de millones
Capítulo 2: Aproximación y estimación
Capítulo 3: Factores y múltiplos
Capítulo 4: Factorización prima
Capítulo 5: Multiplicar por decenas, centenas o miles
Capítulo 6: División por decenas, cientos o miles
Opinión 1
Unidad 2: Más cálculos con números enteros
Capítulo 1: Cálculos entre paréntesis
Capítulo 2: Métodos de cálculo mental
Capítulo 3: Problemas de palabras
Capítulo 4: Multiplicación por un número entero de 2 dígitos
Capítulo 5: División por un número entero de 2 dígitos
Revisión 2
Unidad 3: Fracciones
Capítulo 1: Comparación de fracciones
Capítulo 2: Fracciones y división
Capítulo 3: Suma y resta de fracciones diferentes
Capítulo 4: Suma y resta de números mixtos
Capítulo 5: Multiplicar una fracción y un número entero
Capítulo 6: Fracción de un conjunto
Capítulo 7: Problemas de palabras
Revisión 3
Unidad 4: Multiplicar y dividir fracciones
Capítulo 1: Producto de fracciones
Capítulo 2: Problemas de palabras
Capítulo 3: División de una fracción por un número entero
Capítulo 4: División por una fracción
Capítulo 5: Más problemas de palabras
Revisión 4
Unidad 5: Perímetro, Área y Superficie
Capítulo 1: Unidades cuadradas
Capítulo 2: Rectángulos y cuadrados
Capítulo 3: Área de un triángulo
Capítulo 4: Área de un paralelogramo
Capítulo 5: Superficie
Revisión 5
Unidad 6: Razón
Capítulo 1: Hallar la proporción
Capítulo 2: Razones equivalentes
Capítulo 3: Combinar tres cantidades
Repaso 6
Respuestas a la matemática mental
Apéndice y # 8211 Matemática mental
Apéndice


La área de superficie de una fórmula de esfera es SA = 4 & pir & sup2. & pi & asymp3.14159. r = radio de esfera. Una esfera es un objeto tridimensional perfectamente redondo muy común. No tiene aristas ni vértices. Ball es un ejemplo de esfera. A encontrar el área de la superficie de una esfera, primero debemos averiguar el radio de la esfera y luego calcular su área de superficie 4 & pir & sup2.

A continuación se muestra cómo calcular el área de superficie de una esfera con radio de 1.5.
Área de superficie = 4x & pix1.5 & sup2 & asymp28.27433.


TSA de una calculadora cuboide rectangular

Un cuboide es una forma sólida geométrica tridimensional con 6 caras. Todas las esquinas de un cuboide son ángulos rectos y las caras o lados opuestos son iguales. En otras palabras, un cuboide es una figura sólida limitada por seis caras, formando un poliedro convexo. También se puede llamar como un cuboide rectangular. El área de superficie total (TSA) de un cuboide es la suma de las áreas de sus seis caras. Utilice esta superficie total en línea de una calculadora cuboide para calcular el TSA de un cuboide rectangular.


Área de superficie de una fórmula de prisma rectangular

La área de superficie de una fórmula de prisma rectangular es
SA = 2 (lw + hw + lh), donde
l = longitud
h = altura
w = ancho
El prisma rectangular es un objeto tridimensional sólido, tiene seis superficies planas de rectángulos o cuatro rectángulos con dos cuadrados. Un prisma rectangular tiene un total de 12 longitudes. Hay tres longitudes diferentes que son largo, ancho y alto que podemos encontrar para calcular su área de superficie. Cuando hay dos longitudes iguales, se formará un prisma cuadrado. A encontrar el área de la superficie de un prisma rectangular, calculamos seis áreas de diferentes lados de rectángulos y los sumamos.


Usa la calculadora de arriba para calcular las propiedades de un cubo.

Ingrese cualquier valor y se calcularán los demás. Por ejemplo, ingrese la longitud del lado y se calculará el volumen.

De manera similar, si ingresa el área de la superficie, se calculará la longitud lateral necesaria para obtener esa área.


Descripción

Características

  • Progrese a sus alumnos hacia el Diploma IB - Completamente completo y adaptado al plan de estudios del próximo capítulo del PAI.
  • Desarrollar comprensión conceptual de la mejor manera para sus alumnos: aprenda por unidad matemática o por concepto clave.
  • Conducir activo, exploración crítica de principios matemáticos: construya una comprensión completa enmarcada dentro de los conceptos clave y relacionados.
  • Desarrollar conexiones transversales significativas que ayuden a los alumnos a reconocer y manipular ideas matemáticas en otras disciplinas.
  • Apoyo habilidades de pensamiento de nivel superior a través de un enfoque basado en cuestiones fácticas, conceptuales y debatibles.
  • Construye un sólido base de habilidades prácticas con una amplia práctica que capacita a los alumnos para aplicar sus habilidades
  • Prepare completamente a los alumnos para Evaluación electrónica del PAI.
  • El Student Book en línea estará disponible en Oxford Education Bookshelf hasta 2028. El acceso se facilita mediante un código único, que se envía por correo. El código debe estar vinculado a una dirección de correo electrónico, creando una cuenta de usuario. El acceso se puede transferir una vez a un nuevo usuario, una vez que el usuario inicial ya no requiera acceso. Deberá ponerse en contacto con su asesor educativo local para organizar esto.

Por favor mira & quot Novedades de esta edición & quotSección.

Nuevo en esta edición

Novedades de esta edición

Guías de estudio de la nueva sección Se proporcionan diez elementos de verdadero / falso al final de cada sección para ayudar a los estudiantes a verificar la precisión de su lectura y retención, y para guiarlos sistemáticamente hacia atrás a través de las partes apropiadas de la sección para cualquier revisión adicional de hechos y conceptos que sea necesaria antes de intentarlo. para trabajar los problemas.

Respuestasy pistasson para estos elementos de verdadero / falso que se proporcionan al final del libro (antes de la sección de respuestas impares). Los estudiantes pueden marcar primero cada elemento como verdadero o falso y luego consultar el respuestasque se proporcionan. Si alguna de sus respuestas es incorrecta, entonces el pistaspara los artículos apropiados se pueden consultar. La pista para cada elemento dirige al estudiante a la parte apropiada de la sección para leer nuevamente y ver cuál era su dificultad.

Reseñas de nuevos capítulos Cada revisión de capítulo consta de dos partes:Comprensión y Objetivos–Que precede al conjunto de problemas varios del capítulo.

La Comprensión parte consta de conceptos, definiciones, fórmulas, resultados, etc., con referencias de páginas proporcionadas, que se revisarán sección por sección en preparación para la prueba del capítulo. Su premisa es que el estudiante que realmente necesita esta asistencia de revisión probablemente no pueda o no haya delineado el capítulo por sí mismo. Como saben los profesores experimentados, muchos (si no la mayoría) de los estudiantes necesitan ayuda para identificar, localizar y describir brevemente los elementos individuales del capítulo cuya comprensión comprende un conocimiento del capítulo en su totalidad.

La Objetivos parte identifica problemas de muestra en cada sección que se recomienda revisar. Aquí nuevamente, muchos estudiantes no pueden categorizar y reconocer los tipos de problemas que se han cubierto y las habilidades requeridas para su solución. No han trabajado consistentemente los problemas en cada sección como se trató en la clase, y pueden necesitar ayuda para identificar un número manejable de problemas representativos para revisar. En consecuencia, esta parte del material de revisión del capítulo proporciona una lista sección por sección de los métodos y técnicas que se han cubierto y, para cada tipo, varios problemas ilustrativos seleccionados para proporcionar una práctica adecuada en la preparación para una prueba de capítulo.

Ayudas de aprendizaje adicionales

Preguntas de discusión conceptual El conjunto de problemas que concluye cada apartado va precedido de una breve Conceptos: preguntas y discusión conjunto que consta de varias preguntas conceptuales abiertas que se pueden utilizar para el estudio individual o la discusión en el aula.

Respuestas extrañas La sección de respuestas al final del libro se ha ampliado considerablemente para esta edición, principalmente mediante la inserción de más de 340 nuevas figuras. Esta obra de arte generada por computadora está destinada a ayudar a los estudiantes a comprender los problemas cuya comprensión tiene un fuerte componente visual. El resultado es una sección de respuestas más atractiva que invita a la atención y al estudio de los estudiantes por derecho propio.

Manuales de soluciones Paralelamente al énfasis pedagógico en la revisión del texto en sí, los manuales de soluciones - soluciones impares en las 990 páginas Manual de soluciones para estudiantes, todas las soluciones en la página de 1920 Manual de solución del instructor- han sido reelaborados, especialmente con todas las ilustraciones nuevas y sustancialmente mejoradas. Estas soluciones fueron escritas exclusivamente por los autores con el mismo cuidado dedicado a la exposición del libro de texto, y han sido verificadas de forma independiente por otros.

Investigaciones de estudiantes Varias de las investigaciones (o proyectos) del texto se han reescrito para esta edición. Estos aparecen siguiendo los conjuntos de problemas al final de las secciones clave a lo largo del texto. La mayoría (pero no todos) de estos proyectos emplean algún aspecto de la tecnología computacional moderna para ilustrar las ideas principales de la sección anterior, y muchos contienen problemas adicionales destinados a solucionarse con el uso de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional. Cuando es apropiado, las discusiones del proyecto se amplían significativamente en los manuales del proyecto que acompañan al texto.

Material histórico Las aperturas de capítulos históricos y biográficos ofrecen a los estudiantes un sentido del desarrollo de nuestro tema por seres humanos reales. De hecho, nuestra exposición del cálculo refleja con frecuencia el desarrollo histórico del tema, desde la antigüedad hasta las edades de Newton y Leibniz y Euler hasta nuestra propia era de nueva tecnología y poder computacional.

La revisión actual del texto está diseñada para incluir

• Primeros trascendentales totalmente integrados en el Semestre I.

• Ecuaciones diferenciales y aplicaciones en el Semestre II.

• Cálculo multivariable en el Semestre III.

La cobertura completa del cálculo de funciones trascendentales está completamente integrada en los Capítulos 1 al 6. Un capítulo sobre ecuaciones diferenciales (Capítulo 8) aparece ahora inmediatamente después del Capítulo 7 sobre técnicas de integración. Incluye tanto campos de dirección como el método de Euler junto con los métodos simbólicos más elementales (que explotan técnicas del Capítulo 7) y aplicaciones interesantes de ecuaciones de primer y segundo orden. El capítulo 10 (Serie infinita) termina con una nueva sección sobre soluciones de ecuaciones diferenciales en series de potencias, lo que completa el círculo un enfoque unificador del cálculo del segundo semestre sobre ecuaciones diferenciales elementales.

Capítulos introductorios En lugar de una revisión de rutina de los temas de precálculo, el Capítulo 1 se concentra específicamente en funciones y gráficos para su uso en modelos matemáticos. Incluye una sección que cataloga informalmente las funciones trascendentales elementales del cálculo, como trasfondo de su tratamiento más formal utilizando el cálculo mismo. El capítulo 1 concluye con una sección que aborda la pregunta "¿Qué es el cálculo?" El Capítulo 2 sobre límites comienza con una sección sobre líneas tangentes para motivar la introducción oficial de límites en la Sección 2.2. Los límites trigonométricos se tratan a lo largo del Capítulo 2 con el fin de fomentar una introducción más rica y visual al concepto de límite.

Capítulos de diferenciación La secuencia de temas en los Capítulos 3 y 4 difiere un poco del orden más tradicional. Intentamos fortalecer la confianza de los estudiantes al presentar los temas más de cerca en orden de dificultad creciente. La regla de la cadena aparece bastante temprano (en la Sección 3.3) y cubrimos las técnicas básicas para diferenciar funciones algebraicas antes de discutir los máximos y mínimos en las Secciones 3.5 y 3.6. La sección 3.7 trata las derivadas de las seis funciones trigonométricas y la sección 3.8 presenta las funciones exponenciales y logarítmicas. La diferenciación implícita y las tasas relacionadas se combinan en una sola sección (Sección 3.9). Será evidente la afición de los autores por el método de Newton (sección 3.10).

El teorema del valor medio y sus aplicaciones se remiten al capítulo 4. Además, un tema dominante del capítulo 4 es el uso del cálculo tanto para construir gráficas de funciones como para explicar e interpretar gráficas que han sido construidas por una calculadora o computadora. Este tema se desarrolla en las Secciones 4.4 sobre la prueba de la primera derivada y 4.6 sobre las derivadas superiores y la concavidad. Pero también puede ser evidente en las secciones 4.8 y 4.9 sobre la regla de l'Hˆopital, que ahora aparece directamente en el contexto del cálculo diferencial y se aplica aquí para redondear el cálculo de funciones exponenciales y logarítmicas.

Capítulos de integración El capítulo 5 comienza con una sección sobre antiderivadas, que lógicamente podría incluirse en el capítulo anterior, pero se beneficia del uso de la notación integral. Cuando se introduce la integral definida en las secciones 5.3 y 5.4, enfatizamos las sumas de punto final y de punto medio en lugar de sumas de Riemann superior e inferior y más generales. Este énfasis concreto lleva a través del capítulo hasta su sección final sobre integración numérica.

El capítulo 6 comienza con una sección sobre aproximaciones de suma de Riemann, con ejemplos que se centran en el flujo de fluidos y las aplicaciones médicas. La sección 6.6 es un tratamiento de centroides de regiones planas y curvas. La sección 6.7 da el enfoque integral de los logaritmos, y las secciones 6.8 y 6.9 cubren tanto el cálculo diferencial como el integral de funciones trigonométricas inversas y funciones hiperbólicas.

El Capítulo 7 (Técnicas de integración) está organizado para acomodar a aquellos instructores que sienten que los métodos de integración formal ahora requieren menos énfasis, en vista de las técnicas modernas para la integración tanto numérica como simbólica. La integración por partes (sección 7.3) precede a las integrales trigonométricas (sección 7.4). El método de las fracciones parciales aparece en la sección 7.5, y las sustituciones trigonométricas y las integrales que involucran polinomios cuadráticos siguen en las secciones 7.6 y 7.7. Las integrales impropias aparecen en la Sección 7.8, con subsecciones sustanciales sobre funciones especiales y probabilidad y muestreo aleatorio. Esta reordenación del Capítulo 7 hace que sea más conveniente detenerse donde lo desee el instructor.

Ecuaciones diferenciales Este capítulo comienza con las aplicaciones y ecuaciones diferenciales más elementales (Sección 8.1) y luego procede a introducir métodos gráficos (campo de pendiente) y numéricos (Euler) en la Sección 8.2. Las secciones posteriores del capítulo tratan las ecuaciones diferenciales lineales y separables de primer orden y (con más profundidad de lo habitual en un curso de cálculo) aplicaciones como el crecimiento de la población (incluidas las poblaciones logísticas y de depredadores-presas) y el movimiento con resistencia. Las dos últimas secciones del Capítulo 8 tratan las ecuaciones lineales de segundo orden y las aplicaciones a las vibraciones mecánicas. Los instructores que deseen una cobertura aún mayor de las ecuaciones diferenciales pueden hacer arreglos con el editor para agrupar y utilizar secciones apropiadas de Edwards y Penney Ecuaciones diferenciales: computación y modelado 3 / e (Prentice Hall, 2004).

Curvas paramétricas y coordenadas polares En lugar de las tres secciones separadas sobre parábolas, elipses e hipérbolas que aparecen en algunos textos, el Capítulo 9 concluye con una única Sección 9.6 que proporciona un tratamiento unificado de todas las secciones cónicas.

Series infinitas Después de la introducción habitual a la convergencia de sucesiones y series infinitas en las secciones 10.2 y 10.3, en la sección 10.4 aparece un tratamiento combinado de polinomios de Taylor y series de Taylor. Esto hace posible que el instructor experimente con un tratamiento más breve de las series infinitas, pero aún así incluya algo de exposición a las series de Taylor que son tan importantes para las aplicaciones. Quizás la característica más novedosa del Capítulo 10 es una sección final sobre métodos de series de potencias y su uso para introducir nuevas funciones trascendentales, concluyendo así el tercio medio del libro con un regreso a las ecuaciones diferenciales.

Cálculo multivariable El tratamiento del cálculo de más de una variable es bastante tradicional, comenzando con vectores, curvas y superficies en el Capítulo 11. El Capítulo 12 (Diferenciación parcial) es seguido por los Capítulos 13 (Integrales múltiples) y 14 (Cálculo vectorial), y él mismo presenta un tratamiento sólido de problemas máximos-mínimos multivariables en las Secciones 12.5 (enfoque inicial de estos problemas), 12.9 (multiplicadores de Lagrange) y 12.10 (puntos críticos de funciones de dos variables).


Métodos matemáticos inteligentes

El perímetro es la distancia alrededor de una figura cerrada y normalmente se mide en milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m) y kilómetros (km). Estas unidades se relacionan de la siguiente manera:
10 mm = 1 cm
100 cm = 1 m
1000 m = 1 km

La palabra 'perímetro' también se usa a veces en lugar de circunferencia.
Si conocemos el radio
Dado el radio de un círculo, la circunferencia o perímetro se puede calcular usando la fórmula bwloe:

Perímetro (P) = 2 & # 183 π & # 183 R
donde: R es el radio del círculo π es Pi, aproximadamente 3,142
Si conocemos el diametro
Si conocemos el diámetro de un círculo, la circunferencia se puede encontrar usando la fórmula
Perímetro (P) = π & # 183 D
donde: D es el diámetro del círculo π es Pi, aproximadamente 3,142
Si conocemos la zona
Si conocemos el área de un círculo, la circunferencia se puede encontrar usando la fórmula:
Perímetro (P) = & # 8730 (4 & # 183 π & # 183 A)
donde: A es el área del círculo π es Pi, aproximadamente 3.142

Ejemplo 1 de Smart Math:
Un macizo de flores circular tiene un radio de 9 m. Calcula el perímetro / circunferencia del macizo de flores.
Solución inteligente:

P = 2 & # 183 π & # 183 R
P = 2 & # 183 3.1416 & # 183 9
P = 56,5487 cm
Entonces, el perímetro / circunferencia del macizo de flores es 56.5487 m.

Ejemplo 2 de Smath Math: Encuentra el perímetro del círculo dado cuyo diámetro es 4.4 cm.
Solución inteligente:
Dado que:
Diámetro del círculo (D) = 4,4 cm.

Conocemos la fórmula para encontrar el perímetro del círculo si se da el diámetro, es decir, π & # 183D.

Sustituya el diámetro 4.4 y el valor Pi por 3.14 en la fórmula anterior.
Perímetro = (3,14) (4,4) = 13,82
Por lo tanto, 13,82 cm es el perímetro del círculo dado.

Ejemplo 3 de Smart Math: si el radio es de 11,7 cm. Encuentra los perímetros (circunferencia) del círculo.
Solución inteligente:
Dado que:
Radio (r) = 11,7 cm
Perímetro (circunferencia) del círculo P = 2 π r
Sustituye el valor de r en la fórmula, tenemos:

P = 2 x 3,14 x 11,7
P = 79,56 cm
Por lo tanto, el perímetro del círculo es de 79,56 cm.

Ejemplo 4 de matemáticas inteligentes: Encuentre el perímetro y el área del círculo, si el radio del círculo es de 8 cm.
Solución inteligente: hemos dado el radio, que es de 8 cm. Entonces, al usar la fórmula del perímetro del círculo, tenemos:

P = 2πr
P = 2 y # 2153.14 y # 2158
P = 50,24 cm
Y para el área del círculo: -
A = π r2
A = 3,14 y # 215 (8) 2
A = 200,96 cm2

Ejemplo 5 de matemáticas inteligentes: la rueda de un carro de bueyes tiene un radio de 6 m. Si la rueda gira una vez, ¿cuánta distancia se mueve el carro?
Solución inteligente:
Si la rueda gira una vez, el carro se moverá una distancia igual al perímetro de la rueda.
Paso 1:
P = 2πr
P = 2 & # 215 3,14 & # 215 6 = 37,68 m
Así, el carro de bueyes se mueve 37,68 m en una revolución de la rueda.


INGRESE CUALQUIER VALOR
Lado claro
Volumen claro
Área de superficie claro
Diagonal de la cara claro
Diagonal espacial claro
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