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1.6: El volumen de la esfera con núcleo


Sea (S ) una esfera de radio (R ), centro en el origen y sea (C ) un cilindro de radio (r ) ( (r

[x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 ]

y la linea

[x = r ]

y girándolo alrededor del eje (y ) -. Tomando una sección transversal perpendicular al eje y y girándola alrededor del eje y se produce una arandela. El radio interior de la arandela es (r ) y el cuadrado del radio exterior de la arandela es

[R ^ 2 - y ^ 2 ]

Sea h la altura de la región (desde el eje x).

[h = R ^ 2 - r ^ 2 ]

Por lo tanto, el área de la lavadora es

[Área = p [(R ^ 2 - y ^ 2) - r ^ 2] = p [(R ^ 2 - r ^ 2) - y ^ 2] = p [h ^ 2 - y ^ 2] ]

El valor (y ) más pequeño que tendrá la sección transversal es (- h ) y el más grande es (h ).

Podemos escribir esto como una integral

[ begin {align *} pi int _ {- h} ^ {h} left (h ^ {2} -y ^ {2} right) dy & = pi left (h ^ {2} y- frac {1} {3} y ^ {3} right] _ {- h} ^ {h} [4pt] & = pi left [ left (h ^ {3} - frac {1} {3} h ^ {3} right) - left ((- h) ^ {3} - frac {1} {3} (- h) ^ {3} right) right] [4pt] & = frac {4} {3} pi h ^ {3} end {align *} ]

Tenga en cuenta que el volumen solo depende de la altura de la región.


Esferas duras

Esferas duras se utilizan ampliamente como partículas modelo en la teoría mecánica estadística de fluidos y sólidos. Se definen simplemente como esferas impenetrables que no pueden superponerse en el espacio. Imitan la repulsión extremadamente fuerte ("rebote infinitamente elástico") que experimentan los átomos y las moléculas esféricas a distancias muy cercanas. Los sistemas de esferas duras se estudian por medios analíticos, mediante simulaciones de dinámica molecular y mediante el estudio experimental de ciertos sistemas de modelos coloidales. El sistema de esfera dura proporciona un modelo genérico que explica la estructura y dinámica cuasiuniversal de los líquidos simples. [1]


La fórmula de volumen para una caja rectangular es alto x ancho x largo, como se ve en la figura siguiente:

Para calcular el volumen de una caja o tanque rectangular se necesitan tres dimensiones: ancho, largo y alto. Suelen ser fáciles de medir debido a la regularidad de la forma. Al designar una dimensión como la profundidad o altura del prisma rectangular, la multiplicación de las otras dos nos da el área de superficie que luego debe multiplicarse por la profundidad / altura para obtener el volumen. Para calcular el volumen de un tanque de una forma diferente, use nuestra calculadora de volumen de un tanque.


Calculadora de volumen de una esfera

Una esfera con un radio de 5 unidades tiene un volumen de 523.599 unidades al cubo.

Calcular el volumen de una esfera:

El volumen (denotado 'V') de una esfera con un radio conocido (denotado 'r') se puede calcular usando la fórmula siguiente:

En lenguaje sencillo, el volumen de una esfera se puede calcular tomando cuatro tercios del producto del radio (r) al cubo y PI.

Puede aproximar PI usando: 3.14159. Si el número que le dan para el radio no tiene muchos dígitos, puede usar una aproximación más corta. Si el radio que le dan tiene muchos dígitos, es posible que deba usar una aproximación más larga.

Aquí hay un caso paso a paso que ilustra cómo encontrar el volumen de una esfera con un radio de 5 metros. Usaremos 3.14 para aproximar PI porque el radio que nos dan solo tiene un dígito.


Manual de usuario¶

BodyContainer contiene objetos Body en la simulación a la que se puede acceder como O.bodies.

Creando objetos Body¶

Los objetos corporales rara vez se construyen a mano por sus componentes (Forma, Límite, Estado, Material) en cambio, las funciones de conveniencia esfera, faceta y pared se utilizan para crearlos. El uso de estas funciones también asegura una mejor compatibilidad futura, si las partes internas de Body cambian de alguna manera. Estas funciones reciben la geometría de la partícula y varias otras características. Consulte su documentación para obtener más detalles. Si se usa el mismo material para varios (o muchos) cuerpos, se puede compartir agregándolo en O.materials, como se explica a continuación.

Definición de materiales¶

El objeto O.materials (instancia de Omega.materials) contiene materiales compartidos definidos para cuerpos. Solo admite la adición y, por lo general, solo contendrá unas pocas instancias (aunque no hay límite).

La etiqueta dada a cada material es opcional, pero se puede pasar a la esfera y otras funciones para construir el cuerpo. El valor devuelto por O.materials.append es una identificación del material, que también se puede pasar a la esfera; es un poco más rápido que usar la etiqueta, aunque no se nota para una pequeña cantidad de partículas y quizás menos conveniente.

Si no se especifica ningún material al llamar a la esfera, el último Se utiliza material definido que es conveniente por defecto. Si aún no se define ningún material (por lo tanto, no hay un último material), se creará un material predeterminado: FrictMat (densidad = 1e3, joven = 1e7, poisson = .3, frictionAngle = .5). Esto no debería suceder para simulaciones serias, pero es útil en scripts simples, donde las propiedades exactas del material son más o menos irrelevantes.

Añadiendo múltiples partículas¶

Como se muestra arriba, los cuerpos se agregan uno por uno o varios al mismo tiempo usando el método de adición:

Muchas funciones introducidas en las siguientes secciones devuelven una lista de cuerpos que se pueden agregar fácilmente a la simulación, incluyendo

Como esas funciones usan esfera y faceta internamente, aceptan argumentos adicionales pasados ​​a esas funciones. En particular, el material para cada cuerpo se selecciona siguiendo las reglas anteriores (última si no se especifica, por etiqueta, por índice, etc.).

Agrupar partículas juntas¶

En algunos casos, es posible que desee crear un agregado rígido de partículas individuales (es decir, las partículas conservarán su posición mutua durante la simulación). A esto lo llamamos un grupo. Un grupo está representado internamente por un cuerpo especial, referenciado por clumpId de sus miembros (ver también isClump, isClumpMember e isStandalone). Como todo cuerpo, un grupo tiene una posición, que es el punto de equilibrio (de masa) entre todos los miembros. Un cuerpo aglomerado en sí mismo no tiene interacciones con otros cuerpos. Las interacciones entre grupos se representan mediante interacciones entre miembros del grupo. No hay interacciones entre los miembros del grupo del mismo grupo.

YADE admite diferentes formas de crear grupos:

La función appendClumped () está diseñada para esta tarea. Por ejemplo, podríamos agregar 2 esferas unidas:

- & gt appendCljected () devuelve una tupla de ID (clumpId, [memberId1, memberId2.])

Para este caso, la función clump () se puede aplicar en una lista de cuerpos existentes:

  • Otra opción es reemplazar esferas independientes de un paquete dado (ver SpherePack y makeCloud) por grupos usando plantillas de grupos.

Esto se realiza mediante una función llamada replaceByClumps (). Esta función toma una lista de clumpTemplates () y una lista de cantidades y reemplaza esferas por grupos. El volumen de un nuevo grupo será el mismo que el volumen de la esfera que fue reemplazada (el volumen / masa / inercia del grupo es responsable de las superposiciones asumiendo que solo hay superposiciones de pares).

- & gt replaceByClumps () devuelve una lista de tuplas: [(clumpId1, [memberId1, memberId2.]), (clumpId2, [memberId1, memberId2.]). ]

También es posible agregar cuerpos a un grupo y liberar cuerpos de un grupo. También puede borrar el grupo (los miembros del grupo se convertirán en independientes).

Además, YADE permite lograr la redondez de un grupo o el coeficiente de redondez de un empaque. Las partes del embalaje se pueden excluir de la medición de redondez mediante la lista de exclusión.

- & gt getRoundness () devuelve el coeficiente de redondez RC de un empaque o una parte del empaque

Eche un vistazo a examples / clumps / folder. Allí encontrará algunos ejemplos que muestran el uso de diferentes funciones para grupos.

Empaquetaduras de esferas¶

La representación de un sólido de forma arbitraria mediante la disposición de esferas presenta el problema del empaquetamiento de esferas, es decir, la disposición espacial de las esferas de manera que un sólido dado esté aproximadamente lleno de ellas. A los efectos de la simulación DEM, puede haber varios requisitos.

  1. Distribución de radios de esferas. El volumen arbitrario se puede llenar completamente con esferas siempre que no haya restricciones en su radio en tal caso, el número de esferas puede ser infinito y sus radios se acercan a cero. Dado que tanto el número de partículas como el radio mínimo de la esfera (a través del paso de tiempo crítico) determinan el costo de cálculo, la distribución del radio debe darse obligatoriamente. La distribución más típica es uniforme: media ± dispersión si la dispersión es cero, todas las esferas tendrán el mismo radio.
  2. Límite liso. Algunos algoritmos tratan los límites de tal manera que las esferas se alinean sobre ellos, haciéndolos más suaves como la superficie.
  3. Densidad de empaque, o la relación entre el volumen de las esferas y el tamaño del sólido. Está estrechamente relacionado con la distribución del radio.
  4. Número de coordinación, número (medio) de contactos por esfera.
  5. Los empaques de isotropía (relacionada con la regularidad / irregularidad) con direcciones preferidas generalmente no son deseables, a menos que el sólido modelado también tenga esa preferencia.
  6. La superposición de esferas permisibles algunos algoritmos pueden crear empaquetaduras donde las esferas se superponen ligeramente, ya que la superposición generalmente causa fuerzas en DEM, las empaquetaduras sin superposición a veces se denominan "libres de estrés".

Representación de volumen

Hay 2 métodos para representar el volumen exacto del sólido en cuestión en Yade: representación de límites y geometría sólida constructiva. A pesar de sus diferencias fundamentales, se resumen en Yade en la clase Predicate. Predicate proporciona la siguiente funcionalidad:

  1. define el cuadro delimitador alineado con el eje para el sólido asociado (opcionalmente define el cuadro delimitador orientado)
  2. puede decidir si un punto dado está dentro o fuera de los sólidos, la mayoría de los predicados también pueden (exactamente o aproximadamente) decir si el punto está dentro y satisface cierta distancia de relleno dada desde el límite sólido representado (para que la esfera de ese volumen no sobresalga del sólido).
Geometría sólida constructiva (CSG) ¶

El enfoque CSG describe el volumen por geometría primitivas o sólidos primitivos (esfera, cilindro, caja, cono,…) y operaciones booleanas sobre ellos. Las primitivas definidas en Yade incluyen inCylinder, inSphere, inEllipsoid, inHyperboloid, notInNotch.

Por ejemplo, la muestra de hiperboloide (hueso de perro) para la prueba de tensión-compresión se puede construir de esta manera (se muestra en img. Img-hiperboloide):

Muestra construida con el predicado pack.inHyperboloid, empaquetado con pack.randomDensePack.

Representación de límites (BREP) ¶

Representar un sólido por su límite es mucho más flexible que los volúmenes CSG, pero en su mayoría es solo una aproximación. Yade interactúa con GNU Triangulated Surface Library (GTS) para importar superficies legibles por GTS, pero también para construirlas explícitamente desde dentro de scripts de simulación. Esto hace posible la construcción paramétrica de formas bastante complicadas. Hay funciones para crear un conjunto de polilíneas 3d a partir de una polilínea 2d (pack.revolutionSurfaceMeridians), para triangular la superficie entre dicho conjunto de polilíneas 3d (pack.sweptPolylines2gtsSurface).

Por ejemplo, podemos construir un embudo simple (examples / funnel.py, mostrado en img-funnel):

Embudo triangulado, construido con el script examples / funnel.py.

Los objetos de superficie GTS se pueden utilizar para 2 cosas:

    La función puede crear la superficie triangulada (a partir de partículas Facet) en la propia simulación, como se muestra en el ejemplo del embudo. (La superficie triangulada también se puede importar directamente desde un archivo STL usando ymport.stl.) Se puede crear un predicado, usando la superficie como representación de límites del volumen encerrado.

Los ejemplos / gts-horse / gts-horse.py (img. Img-horse) muestra ambas posibilidades primero, se importa una superficie GTS:

Ese objeto de superficie se usa como predicado para empaquetar:

y luego, tras ser traducido, como base para la superficie triangulada en la propia simulación:

Superficie GTS importada (caballo) utilizada como predicado de empaque (arriba) y superficie construida a partir de facetas (abajo). Consulte http://www.youtube.com/watch?v=PZVruIlUX1A para ver la película de esta simulación.

Operaciones booleanas en predicados¶

Se definen las operaciones booleanas en un par de predicados (indicados A y B):

    A & amp B (conjunción): el punto debe estar en ambos predicados involucrados. A | B (disyunción): el punto debe estar en el primer o en el segundo predicado. A - B (conjunción con el segundo predicado negado): el punto debe estar en el primer predicado y no en el segundo. A ^ B (disyunción exclusiva): el punto debe estar exactamente en uno de los dos predicados.

Los predicados compuestos también definen correctamente su cuadro delimitador. Por ejemplo, podemos tomar la caja y quitar el cilindro desde adentro, usando la operación A - B (img. Img-predicate-difference):

Caja con cilindro extraído del interior, utilizando la diferencia de estos dos predicados.

Algoritmos de empaque¶

Los algoritmos que se presentan a continuación operan sobre esferas geométricas, definidas por su centro y radio. Con algunas excepciones documentadas a continuación, el procedimiento es el siguiente:

  1. Se calculan las posiciones y los radios de las esferas (algunas funciones usan predicado de volumen para esto, otras no) se llama para cada posición y el radio calculado recibe argumentos de palabras clave adicionales de la función de empaquetado (es decir, argumentos que la función de empaquetado no especifica en su definición se anotan ** kw). Cada llamada de esfera crea objetos de Cuerpo reales con Sphereshape. Se devuelve la lista de objetos Body.
  2. La lista devuelta por la función de empaquetado se puede agregar a la simulación usando toSimulation (). El código heredado utilizó una llamada a O.bodies.append.

Tomando el ejemplo de la caja perforada:

Los argumentos de palabra clave alambre, color y material no se declaran en pack.randomDensePack, por lo tanto, se pasarán a la esfera, donde también se documentarán. esferas ahora es un objeto SpherePack .:

Los algoritmos de empaque que se describen a continuación producen empaques densos. Si se necesita un paquete suelto, la clase SpherePack proporciona funciones para generar un paquete suelto, a través de su método makeCloud (). Se utiliza internamente para generar la configuración inicial en algoritmos dinámicos. Por ejemplo:

llenará la caja dada con esferas, hasta que no se puedan colocar más esferas. El objeto se puede utilizar para agregar esferas a la simulación:

Geométrico¶

Los algoritmos geométricos calculan el empaquetamiento sin realizar simulación dinámica entre sus ventajas se encuentran

  • velocidad
  • las esferas se tocan exactamente, no hay superposiciones (lo que algunas personas llaman empaque "libre de estrés")

su principal desventaja es que la distribución del radio no se puede prescribir exactamente, salvo en casos específicos (empaquetaduras regulares) los radios de las esferas vienen dados por el algoritmo, que ya determina el sistema. Si la distribución exacta del radio es importante para su problema, considere la posibilidad de utilizar algoritmos dinámicos.

Regular¶

Yade define generadores de empaquetamiento para esferas con radios constantes, que se pueden usar con predicados de volumen como se describió anteriormente. Son empaquetaduras ortogonales densas (pack.regularOrtho) y empaquetaduras hexagonales densas (pack.regularHexa). Este último crea el llamado "empaque cerrado hexagonal", que logra la máxima densidad (http://en.wikipedia.org/wiki/Close-packing_of_spheres).

La clara desventaja de los empaques regulares es que tienen preferencias direccionales muy fuertes, lo que puede no ser un problema en algunos casos.

Irregular¶

Los algoritmos geométricos aleatorios no se integran en absoluto con los predicados de volumen descritos anteriormente, sino que toman su propia definición de límite / volumen, que se utiliza durante el posicionamiento de la esfera. Por otro lado, esto les permite respetar el límite en el sentido de hacer que las esferas lo toquen en los lugares apropiados, en lugar de dejar un espacio vacío en el medio.

es una biblioteca (módulo de Python) para la generación de paquetes desarrollada con ESyS-Particle. Crea empaquetamiento mediante la inserción aleatoria de esferas con un rango de radio determinado. Las esferas insertadas se tocan exactamente entre sí y, lo que es más importante, también tocan el límite, si está en su vecindad. El límite se representa como un objeto especial de la biblioteca GenGeo (Esfera, cilindro, caja, poliedro convexo,…). Por lo tanto, GenGeo no se puede utilizar con el volumen representado por predicados yade como se explicó anteriormente.

Los paquetes generados por este módulo se pueden importar directamente a través de ymport.gengeo, o desde un archivo guardado a través de ymport.gengeoFile. Hay un script de ejemplo examples / test / genCylLSM.py. La documentación completa de GenGeo se puede encontrar en el sitio web de documentación de ESyS.

Hay paquetes debian esys-partition y python-demgengeo.

Dinámica¶

El algoritmo más versátil para el empaquetado denso aleatorio lo proporciona pack.randomDensePack. El empaquetamiento suelto inicial de esferas que no se superponen se genera colocándolas al azar en un volumen cuboide, con radios dados por la distribución de radio solicitada (actualmente solo uniforme). Cuando no se pueden insertar más esferas, el paquete se comprime y luego se descomprime (consulte py / pack / pack.py para conocer los valores exactos de estas "tensiones") ejecutando una simulación DEM. Omega.switchScene se utiliza para no afectar la simulación existente). Finalmente, el empaque resultante se recorta utilizando el predicado proporcionado, como se explicó anteriormente.

Por su naturaleza, este método puede llevar un tiempo relativamente largo y hay 2 disposiciones para acortar el tiempo de cálculo:

  • Si se especifica el número de esferas que utilizan el parámetro spheresInCell, solo la muestra más pequeña con periódico El límite se crea y luego se repite para llenar el predicado. Esto puede proporcionar un empaquetado de alta calidad con baja regularidad, dependiendo del parámetro spheresInCell (se recomienda un valor de varios miles).
  • Proporcionar el parámetro memoizeDb hará que pack.randomDensePack busque por primera vez en el archivo proporcionado (base de datos SQLite) paquetes con parámetros similares. En caso de éxito, el paquete simplemente se lee de la base de datos y se devuelve. Si no hay un empaque preexistente similar, se ejecuta el procedimiento normal y el resultado se guarda en la base de datos antes de ser devuelto, de modo que las llamadas posteriores con los mismos parámetros regresen rápidamente.

Si necesita obtener un paquete periódico completo (en lugar de un paquete recortado por predicado), puede usar pack.randomPeriPack.

En caso de necesidades específicas, puede crear el embalaje usted mismo, "a mano". Por ejemplo, el límite de empaquetamiento se puede construir a partir de facetas, permitiendo que esferas colocadas al azar en el espacio caigan bajo la gravedad.

Superficies trianguladas¶

Yade se integra con la biblioteca GNU Triangulated Surface, expuesta en python a través del módulo GTS. GTS proporciona una variedad de funciones para la manipulación de superficies (engrosamiento, teselación, simplificación, importación), que se encuentran en su documentación.

Las superficies GTS son objetos geométricos, que se pueden insertar en la simulación como un conjunto de partículas cuya Body.shape es del tipo Facet: elementos de triangulación simple. pack.gtsSurface2Facets se puede utilizar para convertir la triangulación de superficies GTS en una lista de cuerpos listos para ser insertados en la simulación a través de O.bodies.append.

Las partículas de faceta se crean de forma predeterminada como non-Body.dynamic (tienen masa inercial cero). Eso significa que están fijos en el espacio y no se moverán si están sujetos a fuerzas. Sin embargo puedes

  • prescribir movimiento arbitrario a las facetas usando un PartialEngine (como TranslationEngine o RotationEngine)
  • asignar explícitamente masa e inercia a esa partícula
  • hacer que esa partícula forme parte de un grupo y asignar masa e inercia al grupo mismo (descrito a continuación).

Las facetas solo pueden (actualmente) interactuar con esferas, no con otras facetas, incluso si están dinámica. La colisión de 2 facetas no creará interacción, por lo tanto, no habrá fuerzas en las facetas.

Importar¶

Yade ofrece actualmente 3 formatos para importar superficies trianguladas desde archivos externos, en el módulo ymport:

Archivo de texto ymport.gts en formato GTS nativo. ymport.stl Formato STereoLitography, ya sea en forma de texto o binario exportado desde Blender, pero también desde muchos sistemas CAD. ymport.gmsh. archivo de texto en formato nativo para GMSH, popular programa de mallado de código abierto.

Si necesita manipular superficies antes de crear una lista de facetas, puede estudiar el archivo py / ymport.py donde se definen las funciones de importación. Son bastante simples en la mayoría de los casos.

Construcción paramétrica¶

El módulo GTS proporciona una forma conveniente de crear superficies mediante vértices, aristas y triángulos.

Sin embargo, con frecuencia la superficie puede describirse convenientemente como superficie entre polilíneas en el espacio. Por ejemplo, el cilindro es la superficie entre dos polígonos (polilíneas cerradas). El pack.sweptPolylines2gtsSurface ofrece la funcionalidad de conectar varias polilíneas con triangulación.

La implementación de pack.sweptPolylines2gtsSurface es bastante simplista: todas las polilíneas deben tener la misma longitud y están conectadas con triángulos entre puntos siguiendo sus índices dentro de cada polilínea (no por distancia). Por otro lado, los puntos pueden ser coincidentes si el parámetro de umbral es positivo: los triángulos degenerados con vértices más cercanos a ese umbral se eliminan automáticamente.

Manipular listas de manera eficiente (en términos de longitud de código) requiere estar familiarizado con la comprensión de listas en Python.

Se pueden encontrar otros ejemplos en examples / mill.py (completamente parametrizado) o examples / funnel.py (con números codificados).

Creando interacciones¶

En casos típicos, las interacciones se crean durante las simulaciones cuando las partículas chocan. Esto se hace mediante un Collider que detecta el contacto aproximado entre las partículas y luego un IGeomFunctor que detecta la colisión exacta.

Algunos modelos de materiales (como el modelo concreto) se basan en una red de interacción inicial que es más densa que el contacto geométrico de esferas: los radios de las esferas como "agrandados" por un factor adimensional llamado radio de interacción (o relación de interacción) para crear esta red inicial. Normalmente, esto se hace de esta manera (consulte examples / concrete / uniax.py para ver un ejemplo):

La detección aproximada de colisiones se ajusta para que también se detecten contactos aproximados entre partículas dentro del radio de interacción. Consiste en establecer el valor de Bo1_Sphere_Aabb.aabbEnlargeFactor en el valor del radio de interacción.

El functor de geometría (Ig2) normalmente diría que “no hay contacto” si se dan 2 esferas que no están en contacto. Por lo tanto, se le debe dar el mismo valor que para Bo1_Sphere_Aabb.aabbEnlargeFactor (Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom.interactionDetectionFactor).

Tenga en cuenta que solo se admiten las interacciones Esfera + Esfera; no hay un parámetro análogo a distFactor en Ig2_Facet_Sphere_ScGeom. Esto es a propósito, ya que el radio de interacción es significativo en el material a granel representado por el empaquetamiento de esferas, mientras que las facetas generalmente representan condiciones de frontera que deberían estar exentas de esta densa red de interacción.

Ejecute un solo paso de la simulación para que se cree la red inicial.

Restablezca el radio de interacción en los functores Bo1 e Ig2 a su valor predeterminado nuevamente.

Continuar las interacciones de simulación que ya están establecidas no serán eliminadas (si lo permite el functor Law2 en uso).

En el código, tal escenario podría verse similar a este (el etiquetado se explica en Etiquetado de cosas):

Interacciones individuales bajo demanda¶

Es posible crear una interacción entre un par de partículas independientemente de la detección de colisiones usando createInteraction. Esta función busca y utiliza functores Ig2 e Ip2 coincidentes. La interacción se creará independientemente de la distancia entre partículas dadas (pasando un parámetro especial al functor Ig2 para forzar la creación de la interacción incluso sin ningún contacto geométrico). Se debe utilizar la ley constitutiva adecuada para evitar la eliminación de la interacción en el siguiente paso de la simulación.

Este método será bastante lento si se van a crear muchas interacciones (la búsqueda de functor se repetirá para cada una de ellas). En tal caso, pregunte en yade-dev & # 64 lists & # 46 launchpad & # 46 net que la función createInteraction acepte también la lista de id de pares.

Motores base¶

Una simulación DEM típica en Yade hace al menos lo siguiente en cada paso (consulte Componentes de la función para obtener más detalles):

  1. Restablecer fuerzas del paso anterior
  2. Detecta nuevas colisiones
  3. Manejar interacciones
  4. Aplicar fuerzas y actualizar posiciones de partículas.

Cada uno de estos puntos corresponde a uno o varios motores:

El orden de los motores es importante. En la mayoría de los casos, colocará cualquier motor adicional después de InteractionLoop:

  • si aplica fuerza, debe ir antes que NewtonIntegrator, de lo contrario, la fuerza nunca será efectiva.
  • si hace uso de las posiciones de los cuerpos, también debe aparecer antes de NewtonIntegrator; de lo contrario, se usarán las posiciones en el siguiente paso (esto podría no ser crítico en muchos casos, como la salida para visualización con VTKRecorder).

La secuencia de motores O. debe asignarse siempre a la vez (la razón es que aunque los motores mismos se pasan por referencia, la secuencia es copiado de c ++ a Python o de Python a c ++). Esto incluye la modificación de motores O existentes, por lo tanto

debe utilizarse en su lugar. Para insertar un motor después de la posición # 2 (por ejemplo), use la notación de corte de Python:

Cuando se inicia Yade, O.engines se llena con una lista predeterminada razonable, por lo que no es estrictamente necesario redefinirla cuando se intentan cosas simples. La escena predeterminada manejará esferas, cajas y facetas con propiedades de fricción correctamente y ajusta el paso de tiempo de forma dinámica. Puede encontrar un ejemplo en examples / simple-scene / simple-scene-default-engines.py.

Elección de los functores¶

En el ejemplo anterior, omitimos los functores, solo escribimos elipses. en lugar de. Como se explica en Despachadores y functores, hay 4 tipos de functores y despachadores asociados. El usuario puede elegir cuáles usar, aunque la elección debe ser coherente.

Functores Bo1¶

Los functors Bo1 deben elegirse dependiendo del colisionador en uso, se le entregan directamente al colisionador (que usa internamente BoundDispatcher).

En este momento (enero de 2019), la opción más común es InsertionSortCollider, que usa functors Aabb creando Aabb que debe usarse en ese caso. Dependiendo de las formas de las partículas en su simulación, elija los functores apropiados:

El uso de más functores de los necesarios (como Bo1_Facet_Aabb si no hay facetas en la simulación) no tiene ninguna penalización en el rendimiento. Por otro lado, los functores faltantes para las formas existentes harán que esos cuerpos no choquen con otros cuerpos (se interpenetrarán libremente).

También hay otros colisionadores, aunque su uso es solo experimental:

    es un colisionador de referencia de corrección que opera en Aabb, es significativamente más lento que InsertionSortCollider. solo funciona en esferas, no usa un BoundDispatcher, ya que opera directamente en esferas. es un colisionador basado en cuadrícula de prueba de concepto, que calcula las posiciones de la cuadrícula internamente (tampoco BoundDispatcher)
Functores de Ig2¶

La elección del functor Ig2 (todos ellos derivan de IGeomFunctor) depende de

combinaciones de formas que deberían colisionar, por ejemplo:

manejará las colisiones para Esfera + Esfera, pero no para Faceta + Esfera; si se desea, se debe usar un functor adicional:

Nuevamente, la combinación faltante hará que las combinaciones de formas dadas se interpenetran libremente entre sí. Hay varias opciones posibles de un functor para cada par, por lo que no se pueden colocar en InsertionSortCollider de forma predeterminada. Un error común de los cuerpos que se atraviesan entre sí es que no se agregó el functor necesario.

El tipo IGeom aceptado por el functor Law2 (abajo) es la primera parte del nombre del functor después de Law2 (por ejemplo, Law2_ScGeom_CpmPhys_Cpm acepta ScGeom).

Functores ip2¶

Los functores Ip2 (derivados de IPhysFunctor) deben elegirse en función de

    combinaciones dentro de la simulación. En la mayoría de los casos, los functores Ip2 manejan 2 instancias de la misma clase Material (como Ip2_FrictMat_FrictMat_FrictPhys para 2 cuerpos con FrictMat) aceptada por la ley constitutiva (functor Law2), que es la segunda parte del nombre del functor Law2 (p. Ej.

A diferencia de los functores Bo1 e Ig2, la combinación de materiales no controlada es una condición de error señalada por una excepción.

Functor (es) Law2 ¶

El functor Law2 fue el criterio último para la elección de los functores Ig2 e Ip2; no hay restricciones para su elección en sí mismo, ya que solo aplica fuerzas sin crear nuevos objetos.

En la mayoría de las simulaciones, solo se usará un functor Law2; sin embargo, es posible que varios de ellos se envíen en función de la combinación de IGeom e IPhys producidos previamente por los functores Ig2 e Ip2 respectivamente (a su vez, en función de la combinación de Formas y Materiales ).

Como en el caso de los functores Ip2, recibir una combinación de IGeom e IPhys que no es manejada por ningún functor Law2 es un error.

Existen muchos Law2 en Yade y pueden aparecer otros nuevos en cualquier momento. En algunos casos, diferentes functores son solo implementaciones diferentes de la misma ley de contacto (por ejemplo, Law2_ScGeom_FrictPhys_CundallStrack y Law2_L3Geom_FrictPhys_ElPerfPl). Además, a veces, la peculiaridad de un funtor puede reproducirse como un caso especial de uno más general. Por lo tanto, para un comportamiento constitutivo dado, el usuario puede elegir entre diferentes functores. Se recomienda encarecidamente favorecer la implementación más utilizada y validada al enfrentarse a tal elección. Una lista de functores disponibles clasificados de maduros a no mantenidos se actualiza aquí para guiar esta elección.

Ejemplos¶

Demos varios ejemplos de la cadena de tipos creados y aceptados.

Modelo DEM básico¶

Supongamos que queremos utilizar la ley constitutiva Law2_ScGeom_FrictPhys_CundallStrack. Vemos eso

  1. los functors Ig2 deben crear ScGeom. Si tenemos, por ejemplo, esferas y cajas en la simulación, necesitaremos functores que acepten combinaciones Esfera + Esfera y Caja + Esfera. No queremos interacciones entre cajas en sí mismas (de hecho, no existe tal functor de todos modos). Eso nos da Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom e Ig2_Box_Sphere_ScGeom.
  2. los functors Ip2 deberían crear FrictPhys. En InteractionPhysicsFunctors, solo hay Ip2_FrictMat_FrictMat_FrictPhys. Eso nos obliga a utilizar FrictMat para partículas.

El resultado será por tanto:

Modelo concreto¶

En este caso, nuestro objetivo es utilizar la ley constitutiva Law2_ScGeom_CpmPhys_Cpm.

  • Usamos esferas y facetas en la simulación, que selecciona functores Ig2 aceptando esos tipos y produciendo ScGeom: Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom e Ig2_Facet_Sphere_ScGeom.
  • Tenemos que usar Material que se puede usar para crear CpmPhys. Encontramos que CpmPhys solo es creado por Ip2_CpmMat_CpmMat_CpmPhys, que determina la elección de CpmMat para todas las partículas.

Imponer condiciones¶

En la mayoría de las simulaciones, no se desea que todas las partículas floten libremente en el espacio. Hay varias formas de imponer condiciones de frontera que bloquean el movimiento de todas o algunas partículas con respecto al espacio global.

Restricciones de movimiento

Body.dynamic determina si un cuerpo será acelerado por NewtonIntegrator; es obligatorio hacerlo falso para cuerpos con masa cero, donde la aplicación de una fuerza distinta de cero daría como resultado un desplazamiento infinito.

Las facetas son un caso en el punto: facet las hace no dinámicas de forma predeterminada, ya que tienen volumen cero y masa cero (esto se puede cambiar, pasando dynamic = True a facet o estableciendo Body.dynamic setting State.mass en un non- también se debe hacer el valor cero). Lo mismo ocurre con la pared.

Hacer que la esfera no sea dinámica se logra simplemente mediante:

State.blockedDOFs permite el bloqueo selectivo de cualquiera de los 6 grados de libertad en el espacio global. Por ejemplo, se puede hacer que una esfera se mueva solo en el plano xy diciendo:

A diferencia de Body.dynamic, los DOF ​​bloqueados solo bloquearán las fuerzas (y la aceleración) en las direcciones seleccionadas. En realidad, b.dynamic = False es casi solo una abreviatura de b.state.blockedDOFs == 'xyzXYZ'. Una sutil diferencia es que el primero restablece los componentes de velocidad automáticamente, mientras que el último no lo hace. If you prescribed linear or angular velocity, they will be applied regardless of blockedDOFs. It also implies that if the velocity is not zero when degrees of freedom are blocked via blockedDOFs assignements, the body will keep moving at the velocity it has at the time of blocking. The differences are shown below:

It might be desirable to constrain motion of some particles constructed from a generated sphere packing, following some condition, such as being at the bottom of a specimen this can be done by looping over all bodies with a conditional:

Arbitrary spatial predicates introduced above can be expoited here as well:

Imposing motion and forces¶

Imposed velocity¶

If a degree of freedom is blocked and a velocity is assigned along that direction (translational or rotational velocity), then the body will move at constant velocity. This is the simpler and recommended method to impose the motion of a body. This, for instance, will result in a constant velocity along (x) (it can still be freely accelerated along (y) and (z) ):

Conversely, modifying the position directly is likely to break Yade’s algorithms, especially those related to collision detection and contact laws, as they are based on bodies velocities. Therefore, unless you really know what you are doing, don’t do that for imposing a motion:

Imposed force¶

Applying a force or a torque on a body is done via functions of the ForceContainer. It is as simple as this:

This way, the force applies for one time step only, and is resetted at the beginning of each step. For this reason, imposing a force at the begining of one step will have no effect at all, since it will be immediatly resetted. The only way is to place a PyRunner inside the simulation loop.

Applying the force permanently is possible with another function (in this case it does not matter if the command comes at the begining of the time step):

The force will persist across iterations, until it is overwritten by another call to O.forces.setPermF(id,f) or erased by O.forces.reset(resetAll=True) . The permanent force on a body can be checked with O.forces.permF(id) .

Boundary controllers¶

Engines deriving from BoundaryController impose boundary conditions during simulation, either directly, or by influencing several bodies. You are referred to their individual documentation for details, though you might find interesting in particular

    for applying strain along one axis at constant rate useful for plotting strain-stress diagrams for uniaxial loading case. See examples/concrete/uniax.py for an example. which applies prescribed stress/strain along 3 perpendicular axes on cuboid-shaped packing using 6 walls (Box objects) for applying stress/strain along 3 axes independently, for simulations using periodic boundary conditions (Cell)

Field appliers¶

Engines deriving from FieldApplier are acting on all particles. The one most used is GravityEngine applying uniform acceleration field (GravityEngine is deprecated, use NewtonIntegrator.gravity instead).

Partial engines¶

Engines deriving from PartialEngine define the ids attribute determining bodies which will be affected. Several of them warrant explicit mention here:

    and RotationEngine for applying constant speed linear and rotational motion on subscribers. and TorqueEngine applying given values of force/torque on subscribed bodies at every step. for applying generalized displacement delta at every timestep designed for precise control of motion when testing constitutive laws on 2 particles.

The real value of partial engines is when you need to prescribe a complex type of force or displacement field. For moving a body at constant velocity or for imposing a single force, the methods explained in Imposing motion and forces are much simpler. There are several interpolating engines (InterpolatingDirectedForceEngine for applying force with varying magnitude, InterpolatingHelixEngine for applying spiral displacement with varying angular velocity see examples/test/helix.py and possibly others) writing a new interpolating engine is rather simple using examples of those that already exist.

Convenience features¶

Labeling things¶

Engines and functors can define a label attribute. Whenever the O.engines sequence is modified, python variables of those names are created/updated since it happens in the __builtins__ namespaces, these names are immediately accessible from anywhere. This was used in Creating interactions to change interaction radius in multiple functors at once.

Make sure you do not use label that will overwrite (or shadow) an object that you already use under that variable name. Take care not to use syntactically wrong names, such as “er*452” or “my engine” only variable names permissible in Python can be used.

Simulation tags¶

Omega.tags is a dictionary (it behaves like a dictionary, although the implementation in C++ is different) mapping keys to labels. Contrary to regular python dictionaries that you could create,

After Yade startup, O.tags contains the following:

You can add your own tags by simply assigning value, with the restriction that the left-hand side object must be a string and must not contain = .

Saving python variables¶

Python variable lifetime is limited in particular, if you save simulation, variables will be lost after reloading. Yade provides limited support for data persistence for this reason (internally, it uses special values of O.tags ). The functions in question are saveVars and loadVars.

saveVars takes dictionary (variable names and their values) and a mark (identification string for the variable set) it saves the dictionary inside the simulation. These variables can be re-created (after the simulation was loaded from a XML file, for instance) in the yade.params. mark namespace by calling loadVars with the same identification mark:

Enumeration of variables can be tedious if they are many creating local scope (which is a function definition in Python, for instance) can help:


Sphere calculator

Foods, Nutrients and Calories

CREAMY MINTS, UPC: 071720530153 contain(s) 423 calories per 100 grams (&asymp3.53 ounces) [ price ]

Gravels, Substances and Oils

CaribSea, Marine, Aragonite, Special Coarse Aragonite weighs 1 153.3 kg/m³ (71.99817 lb/ft³) with specific gravity of 1.1533 relative to pure water. Calculate how much of this gravel is required to attain a specific depth in a cylindrical, quarter cylindrical or in a rectangular shaped aquarium or pond [ weight to volume | volume to weight | price ]

Volume to weight, weight to volume and cost conversions for Refrigerant R-23, liquid (R23) with temperature in the range of -95.56°C (-140.008°F) to 4.45°C (40.01°F)

Weights and Measurements

A square centimeter per hour (cm²/h) is a derived metric SI (System International) measurement unit of kinematic viscosity.

Magnetic flux density is a vecor quantity that measures the direction and magnitude of a magnetic field.


Volume Of Sphere

A sphere is a solid with all its points the same distance from the center. The distance is known as the radius of the sphere. The maximum straight distance through the center of a sphere is known as the diameter of the sphere. The diameter is twice the radius.

The following figure gives the formula for the volume of sphere. Scroll down the page for examples and solutions.


How to find the volume of a sphere?

The volume of a sphere is equal to four-thirds of the product of pi and the cube of the radius.

The volume and surface area of a sphere are given by the formulas:

dónde r is the radius of the sphere.

Ejemplo:
Calculate the volume of sphere with radius 4 cm.

Solution:
Volume of sphere

We can also change the subject of the formula to obtain the radius given the volume.

Ejemplo:
The volume of a spherical ball is 5,000 cm 3 . What is the radius of the ball?

How to use the formula to calculate the volume of a sphere?

Ejemplo:
Find the volume of a sphere with a diameter of 14 cm.

Volume of a hemisphere

What is a hemisphere?

A hemisphere is half a sphere, with one flat circular face and one bowl-shaped face.

How to find the volume of a hemisphere?

The volume of a hemisphere is equal to two-thirds of the product of pi and the cube of the radius.

The volume of a hemisphere is given by the formula:

How to find the volume of a hemisphere?

Ejemplo:
Find the volume of a fishbowl with a diameter of 33cm.

How to solve word problems about spheres?
The following video shows how to solve problems involving the formulas for the surface area and volume of spheres.

Ejemplo:
A sphere has a volume of 288π. Find its area. Leave you answer in terms of π

Ejemplo:
A ball has a diameter of 18 cm.
a) Sketch a cylinder that fits the ball and label its height and base.
b) What is the volume of the cylinder?
c) What is the volume of the ball?

Ejemplo:
The cylinder is melted down into a sphere of radius r. Find an expression for r in terms of x.

How to proof the Formula of the Volume of a Sphere?
This video gives a proof for the formula of the volume of a sphere that does not involve calculus. This is an "approximated" proof. You would need to use calculus for a more rigorous proof.

How to derive the formula of a sphere using calculus?

How Archimedes derived the volume of a sphere?
To do so, he had to use a formula for the volume of a cone.

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

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Filled Volume

The volume or capacity of a tank can be found in a few easy steps. Of course, the calculator above is the easiest way to calculate tank volume, but follow along to learn how to calculate it yourself.

Step One: Measure the Tank

The first step is to measure the key dimensions of the tank. For round tanks find the diameter and length or height. For rectangular or cubes, find the length, width, and height.

Step Two: Find the Tank Volume Formula

In order to calculate a tank’s capacity a formula for volume will be needed. The volume formula varies by the style of tank being measured. See the formulas below and select the one for your style.

Cylinder Tank Formula

r = radius (diameter ÷ 2)
l = length (or height for a vertical tank)

Oval Tank Formula

area = ((h – w) × w) + (&pi × r 2 )
tank volume = area × l

r = radius (tank width ÷ 2)
w = width
l = length
h = height

Capsule Tank Formula

cylinder volume = &pi × r 2 × l
sphere volume = 4/3 &pi × r 3
tank volume = cylinder volume + sphere volume

r = radius (diameter ÷ 2)
l = length (or height for a vertical tank)

Rectangular Tank Formula

l = length
w = width
h = height

Not finding a formula for the shape of your tank? Find even more volume formulas.

Step Three: Solve the Volume Formula

When you have the tank dimensions and the appropriate formula to solve for volume, simply enter the dimensions into the formula and solve.

For example, let’s find the volume of a cylinder tank that is 36″ in diameter and 72″ long.

tank volume = &pi × 18 2 × 72
tank volume = 73,287 cu in

Thus, the capacity of this tank is 73,287 cubic inches.

Step Four: Convert Volume Units

The resulting tank volume will be in the cubic form of the initial measurements. For instance, if the initial tank measurements were in inches, then the volume measurement will be in cubic inches. Often other forms of volume, such as gallons or liters, are needed.

Thus, the final step is to convert from one volume measurement to the desired unit of the result. Try our volume conversion calculators to convert the results.


1.6: The Volume of Cored Sphere

Earth&rsquos core is the very hot, very dense center of our planet.

Earth Science, Geology, Geography, Physical Geography, Physics

Illustration by Chuck Carter

Planetary Cores
All known planets have metal cores. Even the gas giants of our solar system, such as Jupiter and Saturn, have iron and nickel at their cores.

process by which a substance grows by the collection and clustering of different parts.

mixture of two or more metals.

process of studying a problem or situation, identifying its characteristics and how they are related.

material remains of a culture, such as tools, clothing, or food.

irregularly shaped planetary body, ranging from 6 meters (20 feet) to 933 kilometers (580 miles) in diameter, orbiting the sun between Mars and Jupiter.

(atm) unit of measurement equal to air pressure at sea level, about 14.7 pounds per square inch. Also called standard atmospheric pressure.

the basic unit of an element, composed of three major parts: electrons, protons, and neutrons.

single axis or line around which a body rotates or spins.

seismic wave that travels through the interior of the Earth.

to exist on the edge of a boundary.

line separating geographical areas.

seismic boundary between Earth's liquid outer core and solid inner core.

type of stony meteorite containing hardened droplets, called chondrules, of silicate minerals.

to mix vigorously or violently.

arrangement of the parts of a work or structure in relation to each other and to the whole.

instance of being pressed together or forced into less space.

items gathered closely together in one place.

to transmit, transport, or carry.

puzzling question or problem.

transfer of heat by the movement of the heated parts of a liquid or gas.

movement of a fluid from a cool area to a warm area.

the extremely hot center of Earth, another planet, or a star.

force that explains the paths of objects on rotating bodies.

rocky outermost layer of Earth or other planet.

type of mineral that is clear and, when viewed under a microscope, has a repeating pattern of atoms and molecules.

temperature at which a ferromagnetic material loses its ferromagnetism&mdashits ability to possess magnetism in the absence of a magnetic field.

steady, predictable flow of fluid within a larger body of that fluid.

(singular: datum) information collected during a scientific study.

to put out of shape or distort.

having parts or molecules that are packed closely together.

device that compresses a test substance to up to 6 million atmospheres of pressure.

to break up or disintegrate.

the sudden shaking of Earth's crust caused by the release of energy along fault lines or from volcanic activity.

set of physical phenomena associated with the presence and flow of electric charge.

chemical that cannot be separated into simpler substances.

imaginary line around the Earth, another planet, or star running east-west, 0 degrees latitude.

on the outside or outdoors.

to constantly change back and forth.

material that is able to flow and change shape.

temperature at which liquid becomes solid the freezing point of water is 0 degrees Celsius (32 degrees Fahrenheit).

rate of occurrence, or the number of things happening in a specific area over specific time period.

device used for heating by burning a fuel, such as wood or coal.

process by which a celestial body generates a magnetic field.

having to do with the physical formations of the Earth.

change in a celestial body's magnetic field so that the magnetic North and South Poles are switched.

gradual change in temperature from the Earth's core (hot) to its crust (cool), about 25° Celsus per kilometer of depth (1° Fahrenheit per 70 feet of depth).

process of a glacier moving and changing the landscape.

to move toward or be attracted to something.

chemical substance with a specific gravity of at least 5.0.

half of a sphere, or ball-shaped object.

intensely hot region deep within the Earth that rises to just underneath the surface. Some hot spots produce volcanoes.

deepest layer of the Earth, beneath the outer core.

oddly crystallized structure at the heart of our planet, with iron crystals oriented east-west instead of north-south (as with the inner core).

to explain or understand the meaning of something.

chemical element with the symbol Fe.

(Ӱ billion years ago) point in Earth's planetary formation when the temperature reached the melting point of iron and heavy elements (mostly iron and nickel) gravitated toward the center of the planet.

(acronym for light amplification by stimulated emission of radiation) an instrument that emits a thin beam of light that does not fade over long distances.

outer, solid portion of the Earth. Also called the geosphere.

(large low shear velocity province) seismically anomalous region at the deepest part of Earth's mantle. Also called a superplume or thermo-chemical pile.

able to produce a force field that can attract or repel certain substances, usually metals (magnets).

area around and affected by a magnet or charged particle.

direction that all compass needles point.

flexible and capable of reforming itself without breaking when under stress.

middle layer of the Earth, made of mostly solid rock.

temperature at which a solid turns to liquid.

type of rock that has crashed into Earth from outside the atmosphere.

inorganic material that has a characteristic chemical composition and specific crystal structure.

representation of a process, concept, or system, often created with a computer program.

solid material turned to liquid by heat.

nickel-iron alloys that form Earth's core.

to move in a circular pattern around a more massive object.

relative positions of specific atoms or molecules in a chemical compound.

liquid, iron-nickel layer of the Earth between the solid inner core and lower mantle.

layer in the atmosphere containing the gas ozone, which absorbs most of the sun's ultraviolet radiation.

to look quickly or from a secret location.

very important or crucial point.

large, spherical celestial body that regularly rotates around a star.

process of separating different layers of a planetary body by chemical and physical mechanisms.

state of matter with no fixed shape and molecules separated into ions and electrons.

valuable metal, such as gold, silver, or platinum.

seismic shock wave that represents longitudinal motion. Also called a primary wave or pressure wave.

transformation of an unstable atomic nucleus into a lighter one, in which radiation is released in the form of alpha particles, beta particles, gamma rays, and other particles. Also called radioactivity.

ray extending from the center of a circle or sphere to its surface or circumference.

natural substance composed of solid mineral matter.

object's complete turn around its own axis.

shock wave of force or pressure that travels through the Earth.

moving, measurable change in pressure and density of a material.

material that has a chemical affinity for iron.

most common group of minerals, all of which include the elements silicon (Si) and oxygen (O).

to create an image, representation, or model of something.

the sun and the planets, asteroids, comets, and other bodies that orbit around it.

flow of charged particles, mainly protons and electrons, from the sun to the edge of the solar system.

series of changes affecting natural and human activity on Earth's surface.

series of changes affecting natural and human activity on Earth's surface.

area where one tectonic plate slides under another.

seismic shock wave that represents perpendicular motion. Also called a secondary wave or shear wave.

massive slab of solid rock made up of Earth's lithosphere (crust and upper mantle). Also called lithospheric plate.

degree of hotness or coldness measured by a thermometer with a numerical scale.

to pass along information or communicate.

powerful light waves that are too short for humans to see, but can penetrate Earth's atmosphere. Ultraviolet is often shortened to UV.

exactly the same in some way.

measurement of the rate and direction of change in the position of an object.

measure of the resistance of a fluid to a force or disturbance.

activity that includes a discharge of gas, ash, or lava from a volcano.

upward movement of molten material from within the Earth to the surface, where it cools and hardens.

radiation in the electromagnetic spectrum with a very short wavelength and very high energy.

Media Credits

The audio, illustrations, photos, and videos are credited beneath the media asset, except for promotional images, which generally link to another page that contains the media credit. The Rights Holder for media is the person or group credited.

Editor

Jeannie Evers, Emdash Editing

Producer

Caryl-Sue, National Geographic Society

Last Updated

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Earth Structure

The structure of the earth is divided into four major components: the crust, the mantle, the outer core, and the inner core. Each layer has a unique chemical composition, physical state, and can impact life on Earth's surface. Movement in the mantle caused by variations in heat from the core, cause the plates to shift, which can cause earthquakes and volcanic eruptions. These natural hazards then change our landscape, and in some cases, threaten lives and property. Learn more about how the earth is constructed with these classroom resources.

Earth's Interior

Dig deep&mdashreally deep&mdashwith our gallery of illustrations and a downloadable poster of Earth's interior.

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Photo: Man cuts cores out of ice in an ice cave.

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1.6: The Volume of Cored Sphere

What is a Tetrahedron? A tetrahedron is a three-dimensional figure with four equilateral triangles. If you lift up three triangles (1), you get the tetrahedron in top view (2). Generally it is shown in perspective (3).

If you look at the word tetrahedron (tetrahedron means "with four planes"), you could call every pyramid with a triangle as the base a tetrahedron.

However the tetrahedron is the straight, regular triangle pyramid on this website.

Pieces of the Tetrahedron top
Height and area of a lateral triangle
Four equilateral triangles form a tetrahedron.

. A triangle is picked out: The three heights intersect each other in one point as in every triangle. This is the centre of the triangle. The height can be calculated by the side a as h=sqr(3)/2*a using the Pythagorean theorem.
The heights also are medians and intersect with the ratio 2:1. That is used in the following calculations.

The area of the triangle is A=sqr(3)/4*a².
Space Height The height of the tetrahedron is between the centre of the basic triangle (1) and the vertex (2). For calculations you regard the so-called support triangle (3, yellow), which is formed by one edge and two triangle heights. There is H=sqr(6)/3*a using the Pythagorean theorem.
Centre, Circumscribed Sphere, and Inscribed Sphere The centre of a tetrahedron is the intersection of two space heights (1,2,3). It is centre of gravity, centre of the sphere through the four corners, and centre of the largest sphere, which still fits inside the tetrahedron (4).

. You get two formulas for r and R with the help of the Pythagorean theorem (1) and H=R+r (2):
There is r=sqr(6)/12*a , R=sqr(6)/4*a.
Angle
. The angle of inclination (edge angle) between a lateral triangle and the base is seen in the yellow support triangle.
There is 70,5°.
Surface
. The area of the base and the lateral faces form the surface O. There is O=4*A (triangle) = sqr(3)a².
Volume

If you put a prism (1) with the volume A(triangle)*H around the tetrahedron and move the vertex to the corners of the prism three times (2,3,4), you get three crooked triangle pyramids with the same volume. They fill the prism (5).
Thus the volume of a triangle pyramid is (1/3)*A(triangle)*H.
There is V=sqr(2)/12*a³ for the tetrahedron.

Tetrahedal Numbers top

. You can build a tetrahedron with layers of spheres. The number of the spheres in one layer is 1,3,6,10. generally n(n+1)/2.
If you add the spheres layer by layer, you get the tetrahedral numbers 1,4,10,20. generally 1+3+6+10+. +n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6.
. If you glue 20 marbles to two groups with four and two with six, you get a well known puzzle: You must form a pyramid with four pieces.
There are many similar puzzles.

Tetrahedron in the Cube top
Six face diagonals form a tetrahedron in the cube.
If you know the 3D-view, you can three-dimensionally look at the following two cube pairs. The volume of the tetrahedron is the third part of the volume of the cube.

If you draw a second tetrahedron and the lines of intersection, you get a penetration of two tetrahedrons.

The figure consists of the face diagonals and the connecting lines of the centres of the lateral squares of the original cube. The last ones form an octahedron.

Rings of Tetrahedrons top
You can make paper tetrahedrons and stick an even number of them to a ring. The ring can continually twist inwards or outwards through the centre. This is a pretty toy. - These rings are also called kaleidocycles. You find more on my web page Kaleidocycles.

Tetrahedra on the Internet top

H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Tetraeder

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Tetrahedron

H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Tetrahedron

Wikipedia
Tetrahedron, Tetrapod (structure), Tetrahedral number
Gail from Oregon, thank you for supporting me in my translation.

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Ver el vídeo: Demostración del modelo del volumen del cilindro, cono y esfera. (Octubre 2021).