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Integración en el contexto del movimiento - Matemáticas


Arriba, definimos la velocidad como la derivada de la posición y la aceleración como la derivada de la velocidad. ¡La integración nos permite ir por el otro lado! Como aprendió en cálculo del primer semestre, la integración nos permite generar la velocidad de un objeto en función del tiempo dada su aceleración y una velocidad inicial. También podemos encontrar la función de posición del objeto integrando la velocidad y usando una posición inicial.

Consideremos un ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): encontrar la velocidad de un objeto a partir de su aceleración

Un objeto tiene una aceleración en el tiempo dada por ( vecs a (t) = sin t , hat { mathbf i} - 2t , hat { mathbf j} ), y su velocidad inicial era ( vecs v (0) = 2 , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j} ).

una. Encuentre la velocidad del objeto en función del tiempo.

B. Suponiendo que el objeto estaba ubicado en el punto (2, 3, -1) cuando el tiempo (t = 0 ), determine la función de posición del objeto y encuentre su ubicación en el tiempo (t = 3 ) seg.

Solución

una. Primero, encontramos la velocidad como la antiderivada de la aceleración.

[ begin {align *} vecs v (t) = int vecs a (t) , , dt & = int left ( sin t , hat { mathbf i} - 2t , hat { mathbf j} right) , dt
& = - cos t , hat { mathbf i} - t ^ 2 , hat { mathbf j} + vecs C_1 end {align *} ]

Ahora usamos la velocidad inicial para determinar ( vecs C_1 ).

[ begin {align *} vecs v (0) = - cos 0 , hat { mathbf i} - (0) ^ 2 , hat { mathbf j} + vecs C_1 & = 2 , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j}
- hat { mathbf i} + vecs C_1 & = 2 , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j}
text {Y entonces} quad vecs C_1 & = 3 , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j} end {align *} ]

Al incorporar este vector constante en nuestra función de velocidad desde arriba, obtenemos la velocidad que describe el movimiento de este objeto a lo largo del tiempo:

[ vecs v (t) = left (3 - cos t right) , hat { mathbf i} + left (1 - t ^ 2 right) , hat { mathbf j} ]

B. Dado que la posición del objeto está en el punto (2, 3, -1) cuando el tiempo (t = 0 ), sabemos que ( vecs r (0) = 2 , hat { mathbf i} + 3 , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k} ).

Ahora, para determinar la función de posición del objeto, integramos su velocidad.

[ begin {align *} vecs r (t) = int vecs v (t) , , dt & = int bigg [ left (3 - cos t right) , hat { mathbf i} + left (1 - t ^ 2 right) , hat { mathbf j} bigg] , dt
& = left (3t - sin t right) , hat { mathbf i} + left (t - frac {t ^ 3} {3} right) , hat { mathbf j} + vecs C_2 end {align *} ]

Ahora usamos la posición inicial para determinar ( vecs C_2 ).

[ begin {align *} vecs r (0) = left (3 (0) - sin 0 right) , hat { mathbf i} + left (0 - frac {(0) ^ 3} {3} right) , hat { mathbf j} + vecs C_2 & = 2 , hat { mathbf i} + 3 , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k} text {Y entonces} quad vecs C_2 & = 2 , hat { mathbf i} + 3 , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k} end {align *} ]

Incorporando este vector constante en nuestra función de posición desde arriba, obtenemos:

[ vecs r (t) = left (2 + 3t - sin t right) , hat { mathbf i} + left (3 + t - frac {t ^ 3} {3} derecha) , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k} ]

Para encontrar la posición del objeto en el tiempo (t = 3 ) segundos, simplemente evaluamos esta función de posición en (t = 3 ).

[ begin {align *} vecs r (3) & = left (2 + 3 (3) - sin 3 right) , hat { mathbf i} + left (3 + 3 - frac {(3) ^ 3} {3} right) , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k}
& = left (11 - sin 3 right) , hat { mathbf i} - 3 , hat { mathbf j} - , hat { mathbf k} end {align *} ]

Este vector de posición indica que el objeto se ubicará en el punto ((11 - sin 3, -3, -1) ) en el tiempo (t = 3 ) segundos.


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