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6.E: Aplicaciones de la derivada (ejercicios)


Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Cálculo general" de David Guichard. Se pueden encontrar ejercicios de cálculo general complementarios para otros mapas de texto y se puede acceder aquí.

6.1: Optimización

Ej 6.1.1 Sea (f (x) = cases {1 + 4 x -x ^ 2 & para x leq3 cr (x + 5) / 2 & para (x> 3 ) cr} ).

Encuentra el valor máximo y los valores mínimos de (f (x) ) para (x ) en ([0,4] ). Grafica (f (x) ) para verificar tus respuestas. (respuesta)

Ej 6.1.2 Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene un perímetro fijo 100. (respuesta)

Ej 6.1.3 Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene un perímetro fijo P. (respuesta)

Ej 6.1.4 Una caja con base cuadrada y sin tapa debe contener un volumen de 100. Calcula las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de material para los cinco lados. También encuentre la relación entre la altura y el lado de la base. (respuesta)

Ej 6.1.5 Una caja con base cuadrada debe contener un volumen de 200. La parte inferior y la parte superior se forman doblando las solapas de los cuatro lados, de modo que la parte inferior y la parte superior constan de dos capas de cartón. Encuentra las dimensiones de la caja que requiere menos material. (respuesta)

Ej 6.1.6 Una caja con base cuadrada y sin tapa debe contener un volumen (V ). Encuentre (en términos de (V )) las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de material para los cinco lados. (Esta razón no implicará (V ).) (respuesta)

Ej 6.1.7 Tiene 100 pies de cerca para hacer un área de juego rectangular junto a la pared de su casa. La pared de la casa limita a un lado. ¿Cuál es el tamaño más grande posible (en pies cuadrados) para el área de juego? (respuesta)

Ej 6.1.8 Tiene (l ) pies de cerca para hacer un área de juego rectangular junto a la pared de su casa. ¿Cuál es el tamaño más grande posible (en pies cuadrados) para el área de juego? (respuesta)

Ej 6.1.9 El marketing le dice que si establece el precio de un artículo en $ 10, entonces no podrá venderlo, pero que puede vender 500 artículos por cada dólar por debajo de $ 10 que establezca el precio. Suponga que sus costos fijos suman $ 3000 y su costo marginal es de $ 2 por artículo. ¿Cuál es la mayor ganancia que puede obtener? (respuesta)

Ej 6.1.10 Encuentra el área del rectángulo más grande que cabe dentro de un semicírculo de radio (10 ​​) (un lado del rectángulo está a lo largo del diámetro del semicírculo). (respuesta)

Ej 6.1.11 Encuentra el área del rectángulo más grande que cabe dentro de un semicírculo de radio (r ) (un lado del rectángulo está a lo largo del diámetro del semicírculo). (respuesta)

Ej 6.1.12 Para un cilindro con un área de superficie 50, incluyendo la parte superior e inferior, encuentre la relación entre la altura y el radio de la base que maximiza el volumen. (respuesta)

Ej 6.1.13 Para un cilindro con un área de superficie dada (S ), incluyendo la parte superior e inferior, encuentre la relación entre la altura y el radio de la base que maximiza el volumen. (respuesta)

Ej 6.1.14 Desea hacer recipientes cilíndricos para contener 1 litro utilizando la menor cantidad de material de construcción. El lado está hecho de una pieza rectangular de material, y esto se puede hacer sin desperdiciar material. Sin embargo, la parte superior e inferior se cortan de cuadrados del lado (2r ), por lo que se necesita (2 (2r) ^ 2 = 8r ^ 2 ) de material (en lugar de (2 pi r ^ 2 ), que es el área total de la parte superior e inferior). Encuentre las dimensiones del contenedor usando la menor cantidad de material y también encuentre la relación entre la altura y el radio de este contenedor. (respuesta)

Ej 6.1.15 Desea hacer recipientes cilíndricos de un volumen determinado (V ) utilizando la menor cantidad de material de construcción. Encuentre la relación óptima entre la altura y el radio. (respuesta)

Ej 6.1.16 Dado un cono circular recto, colocas un cono invertido dentro de él para que su vértice esté en el centro de la base del cono más grande y su base sea paralela a la base del cono más grande. Si eliges que el cono invertido tenga el mayor volumen posible, ¿qué fracción del volumen del cono más grande ocupa? (Sean (H ) y (R ) la altura y el radio de la base del cono más grande, y sean (h ) y (r ) la altura y el radio de la base del cono más pequeño. Sugerencia: Usa triángulos similares para obtener una ecuación que relacione (h ) y (r ).) (respuesta)

Ej 6.1.17 Por ejemplo 6.1.12, ¿qué sucede si (w ge v ) $ (es decir, su velocidad en la arena es al menos su velocidad en la carretera)? (respuesta)

Ej 6.1.18 Se está fabricando un recipiente que contiene un volumen fijo en forma de cilindro con una parte superior semiesférica. (La parte superior hemisférica tiene el mismo radio que el cilindro). Encuentre la relación entre la altura y el radio del cilindro que minimiza el costo del contenedor si (a) el costo por unidad de área de la parte superior es dos veces mayor que el costo por unidad de superficie. área unitaria del costado, y el contenedor está hecho sin fondo; (b) lo mismo que en (a), excepto que el contenedor está hecho con un fondo circular, para el cual el costo por unidad de área es 1.5 veces el costo por unidad de área del costado. (respuesta)

Ej 6.1.19 Un trozo de cartón mide 1 metro por (1/2 ) metro. Se debe cortar un cuadrado de cada esquina y doblar los lados para hacer una caja abierta. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja con el máximo volumen posible? (respuesta)

Ej 6.1.20 (a) Se usa un trozo cuadrado de cartón de lado (a ) para hacer una caja con la parte superior abierta cortando un pequeño cuadrado de cada esquina y doblando los lados. ¿Qué tan grande se debe cortar un cuadrado de cada esquina para que la caja tenga el volumen máximo? (b) ¿Qué pasa si el trozo de cartón que se usa para hacer la caja es un rectángulo de lados (a ) y (b )? (respuesta)

Ej 6.1.21 Una ventana consiste en una pieza rectangular de vidrio transparente con una pieza semicircular de vidrio coloreado en la parte superior; el vidrio de color transmite solo (1/2 ) tanta luz por unidad de área como el vidrio transparente. Si la distancia de arriba a abajo (a través del rectángulo y el semicírculo) es de 2 metros y la ventana no puede tener más de 1,5 metros de ancho, encuentre las dimensiones de la parte rectangular de la ventana que deja pasar la mayor cantidad de luz. (respuesta)

Ej 6.1.22 Una ventana consiste en una pieza rectangular de vidrio transparente con una pieza semicircular de vidrio de color en la parte superior. Suponga que el vidrio de color transmite solo (k ) veces más luz por unidad de área que el vidrio transparente ( (k ) está entre (0 ) y (1 )). Si la distancia de arriba hacia abajo (a través del rectángulo y el semicírculo) es una distancia fija (H ), encuentre (en términos de (k )) la relación entre el lado vertical y el lado horizontal del rectángulo para el cual la ventana deja pasar la mayor cantidad de luz. (respuesta)

Ej 6.1.23 Estás diseñando un póster para contener una cantidad fija (A ) de impresión (medida en centímetros cuadrados) y tener márgenes de (a ) centímetros en la parte superior e inferior y (b ) centímetros en los lados. Encuentre la relación entre la dimensión vertical y la dimensión horizontal del área impresa en el póster si desea minimizar la cantidad de cartulina necesaria. (respuesta)

Ej 6.1.24 La fuerza de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho (w ) por el cuadrado de su profundidad (d ). Encuentre las dimensiones de la viga más fuerte que se puede cortar de un tronco cilíndrico de radio (r ). (respuesta)

Ej 6.1.25 ¿Qué fracción del volumen de una esfera ocupa el cilindro más grande que cabe dentro de la esfera? (respuesta)

Ej 6.1.26 La oficina de correos de EE. UU. Aceptará una caja para envío solo si la suma de la longitud y el perímetro (distancia alrededor) es como máximo de 108 pulgadas. Encuentre las dimensiones de la caja más grande aceptable con frente y reverso cuadrados. (respuesta)

Ej 6.1.27 Encuentre las dimensiones de la lata cilíndrica más liviana que contenga 0.25 litros (= 250 cm ({} ^ 3 )) si la parte superior e inferior están hechas de un material que es dos veces más pesado (por unidad de área) que el material usado para el lado. (respuesta)

Ej 6.1.28 Un vaso de papel cónico debe contener (1/4 ) de litro. Encuentre la altura y el radio del cono que minimiza la cantidad de papel necesaria para hacer la taza. Usa la fórmula ( pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} ) para el área del lado de un cono. (respuesta)

Ej 6.1.29 Un vaso de papel cónico debe contener un volumen fijo de agua. Encuentre la relación entre la altura y el radio de la base del cono que minimiza la cantidad de papel necesaria para hacer la taza. Usa la fórmula ( pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} ) para el área del lado de un cono, llamadolateral área del cono. (respuesta)

Ej 6.1.30 Si encajas el cono con el área de superficie más grande posible (área lateral más área de la base) en una esfera, ¿qué porcentaje del volumen de la esfera está ocupado por el cono? (respuesta)

Ej 6.1.31 Dos cargas eléctricas, una una carga positiva A de magnitud (a ) y la otra una carga negativa B de magnitud (b ), están ubicadas a una distancia (c ) de distancia. Una partícula cargada positivamente (P ) está situada en la línea entre A y B. Encuentre dónde debe colocarse (P ) de modo que la distancia entre (A ) y (B ) sea mínima. Supongamos aquí que la fuerza de cada carga es proporcional a la fuerza de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente. (respuesta)

Ej 6.1.32 Encuentra la fracción del área de un triángulo que está ocupada por el rectángulo más grande que se puede dibujar en el triángulo (con uno de sus lados a lo largo de un lado del triángulo). Demuestre que esta fracción no depende de las dimensiones del triángulo dado. (respuesta)

Ej 6.1.33 ¿Cómo son tus respuestas al problema? 9 se ve afectado si el costo por artículo para los artículos (x ), en lugar de ser simplemente $ 2, disminuye por debajo de $ 2 en proporción a (x ) (debido a la economía de escala y los descuentos por volumen) en 1 centavo por cada 25 artículos producidos ? (respuesta)

Ej 6.1.34 Usted está parado cerca del costado de una gran piscina infantil de profundidad uniforme cuando ve a un niño en problemas. Puedes correr a una velocidad (v_1 ) en tierra y a una velocidad menor (v_2 ) en el agua. Su distancia perpendicular desde el lado de la piscina es (a ), la distancia perpendicular del niño es (b ) y la distancia a lo largo del lado de la piscina entre el punto más cercano a usted y el punto más cercano al niño es (c ) (vea la figura siguiente). Sin detenerse a hacer ningún cálculo, instintivamente eliges la ruta más rápida (mostrada en la figura) y salvas al niño. Nuestro propósito es derivar una relación entre el ángulo ( theta_1 ) que forma tu camino con la perpendicular al lado de la piscina cuando estás en tierra, y el ángulo ( theta_2 ) que forma tu camino con la perpendicular cuando estás en el agua. Para hacer esto, deje que (x ) sea la distancia entre el punto más cercano a usted en el lado de la piscina y el punto donde ingresa al agua. Escribe el tiempo total que corres (en tierra y en el agua) en términos de (x ) (y también las constantes (a, b, c, v_1, v_2 )). Luego, iguale la derivada a cero. El resultado, llamado "ley de Snell" o "ley de refracción", también gobierna la curvatura de la luz cuando entra en el agua. (respuesta)

6.2: Tasas relacionadas

Ej 6.2.1Un tanque cilíndrico en posición vertical (con una base circular en el suelo) tiene un radio de 20 cm. ¿Qué tan rápido cae el nivel del agua en el tanque cuando el agua se drena a 25 cm $ {} ^ 3 $ / seg? (respuesta)

Ej 6.2.2Un tanque cilíndrico en posición vertical (con una base circular en el suelo) tiene un radio de 1 metro. ¿Qué tan rápido baja el nivel del agua en el tanque cuando el agua se drena a 3 litros por segundo? (respuesta)

Ej 6.2.3Una escalera de 13 metros de largo descansa sobre un suelo horizontal y se apoya contra una pared vertical. El pie de la escalera se separa de la pared a una velocidad de 0,6 m / seg. ¿Qué tan rápido se desliza la parte superior por la pared cuando el pie de la escalera está a 5 m de la pared? (respuesta)

Ej 6.2.4Una escalera de 13 metros de largo descansa sobre un suelo horizontal y se apoya contra una pared vertical. La parte superior de la escalera está subiendo por la pared a $ 0.1 $ metros por segundo. ¿Qué tan rápido se acerca el pie de la escalera a la pared cuando el pie de la escalera está a 5 m de la pared? (respuesta)

Ej 6.2.5Una baliza giratoria se encuentra a 2 millas en el agua. Sea $ A $ el punto de la orilla más cercano a la baliza. A medida que la baliza gira a 10 rev / min, el haz de luz recorre la orilla una vez cada vez que gira. Suponga que la orilla es recta. ¿Qué tan rápido es el punto donde el rayo golpea la orilla moviéndose en un instante cuando el rayo está iluminando un punto a 2 millas a lo largo de la costa desde el punto $ A $? (respuesta)

Ej 6.2.6Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador corre de la primera base a la segunda base a 15 pies / seg. ¿A qué tasa está disminuyendo la distancia del jugador desde la tercera base cuando está a la mitad del camino de la primera a la segunda base? (respuesta)

Ej 6.2.7Se vierte arena sobre una superficie a 15 cm $ {} ^ 3 $ / seg, formando una pila cónica cuyo diámetro de base siempre es igual a su altitud. ¿Qué tan rápido aumenta la altitud de la pila cuando la pila tiene 3 cm de altura? (respuesta)

Ej 6.2.8Un bote es arrastrado a un muelle por una cuerda con un extremo sujeto a la parte delantera del bote y el otro extremo pasa a través de un anillo unido al muelle en un punto 5 pies más alto que el frente del bote. Se tira de la cuerda a través del anillo a una velocidad de 0,6 pies / seg. ¿Qué tan rápido se acerca el barco al muelle cuando hay 13 pies de cuerda fuera? (respuesta)

Ej 6.2.9Un globo está a una altura de 50 metros y se eleva a una velocidad constante de 5 m / seg. Un ciclista pasa por debajo de él, viajando en línea recta a la velocidad constante de 10 m / seg. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia entre el ciclista y el globo 2 segundos después? (respuesta)

Ej 6.2.10Una cuba en forma de pirámide tiene una sección transversal cuadrada y se apoya en su punta. Las dimensiones en la parte superior son 2 m $ veces $ 2 m, y la profundidad es 5 m. Si el agua fluye hacia la tina a 3 m $ {} ^ 3 $ / min, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando la profundidad del agua (en el punto más profundo) es de 4 m? Nota: el volumen de cualquier forma "cónica" (incluidas las pirámides) es $ (1/3) ( hbox {altura}) ( hbox {área de la base}) $. (respuesta)

Ej 6.2.11El sol sale a razón de $ 1/4 $ deg / min, y parece estar subiendo al cielo perpendicular al horizonte, como se muestra en la figura. 6.2.5. ¿Qué tan rápido se encoge la sombra de un edificio de 200 metros en el momento en que la sombra tiene 500 metros de largo? (respuesta)

Ej 6.2.12El sol se pone a razón de $ 1/4 $ deg / min, y parece caer perpendicular al horizonte, como se muestra en la figura. 6.2.5. ¿Qué tan rápido se alarga la sombra de una pared de 25 metros en el momento en que la sombra tiene 50 metros de largo? (respuesta)

Figura 6.2.5. Amanecer o atardecer.

Ej 6.2.13El comedero que se muestra en la figura 6.2.6se construye uniendo tres losas de madera de 10 pies $ veces $ 1 pie, y luego uniendo la construcción a una pared de madera en cada extremo. El ángulo $ theta $ era originalmente $ ds 30 ^ circ $, pero debido a la mala construcción los lados se están derrumbando. El abrevadero está lleno de agua. ¿A qué tasa (en pies $ {} ^ 3 $ / seg) se derrama el agua sobre la parte superior de la artesa si los lados han caído a un ángulo de $ ds 45 ^ circ $ y se están derrumbando en la tasa de $ ds 1 ^ circ $ por segundo? (respuesta)

Figura 6.2.6. Canal.

Ej 6.2.14Una mujer de 5 pies de altura camina a una velocidad de 3,5 pies / s lejos de una farola que está a 12 pies del suelo. ¿A qué ritmo se mueve la punta de su sombra? ¿A qué ritmo se alarga su sombra? (respuesta)

Ej 6.2.15Un hombre de 1,8 metros de altura camina a una velocidad de 1 metro por segundo hacia una farola que está a 4 metros del suelo. ¿A qué velocidad se mueve la punta de su sombra? ¿A qué ritmo se está acortando su sombra? (respuesta)

Ej 6.2.16Un helicóptero de la policía vuela a 150 mph a una altitud constante de 0,5 millas por encima de una carretera recta. El piloto usa un radar para determinar que un automóvil que se aproxima está a una distancia de exactamente 1 milla del helicóptero, y que esta distancia está disminuyendo a 190 mph. Calcula la velocidad del auto. (respuesta)

Ej 6.2.17Un helicóptero de la policía vuela a 200 kilómetros por hora a una altitud constante de 1 km sobre una carretera recta. El piloto usa un radar para determinar que un automóvil que se aproxima está a una distancia de exactamente 2 kilómetros del helicóptero, y que esta distancia está disminuyendo a 250 kph. (respuesta)

Ej 6.2.18Una luz brilla desde lo alto de un poste de 20 m de altura. Una bola cae a 10 metros del poste, proyectando una sombra sobre un edificio a 30 metros de distancia, como se muestra en la figura. 6.2.7. Cuando la pelota está a 25 metros del suelo, cae a 6 metros por segundo. ¿Qué tan rápido se mueve su sombra? (respuesta)

Figura 6.2.7. Bola que cae.

Ej 6.2.19Hacer ejemplo 6.2.6 suponiendo que el ángulo entre las dos carreteras es 120 $ {} ^ circ $ en lugar de 90 $ {} ^ circ $ (es decir, la carretera "norte - sur" en realidad va en una dirección algo noroeste desde $ P $). Recuerde la ley de los cosenos: $ ds c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos theta $. (respuesta)

Ej 6.2.20Hacer ejemplo 6.2.6 Suponiendo que el automóvil A está 300 metros al norte de $ P $, el automóvil B está 400 metros al este de $ P $, ambos automóviles van a velocidad constante hacia $ P $ y los dos chocarán en 10 segundos. (respuesta)

Ej 6.2.21Hacer ejemplo 6.2.6 suponiendo que hace 8 segundos el automóvil A partió del reposo en $ P $ y ha ido ganando velocidad a una tasa constante de 5 m / seg $ {} ^ 2 $, y 6 segundos después de que el automóvil A arrancó, el automóvil B pasó $ P $ en movimiento este a una velocidad constante de 60 m / seg. (respuesta)

Ej 6.2.22Refiriéndose nuevamente al ejemplo 6.2.6, suponga que en lugar del automóvil B, un avión vuela a una velocidad de $ 200 $ km / hr al este de $ P $ a una altitud de 2 km, como se muestra en la figura 6.2.8. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre el automóvil y el avión? (respuesta)

Aquí hay un código de Sage que generará una versión 3D de la figura. El resultado se mostrará solo si su navegador tiene un complemento de Java.

Figura 6.2.8. Coche y avión.

Ej 6.2.23Refiriéndose nuevamente al ejemplo 6.2.6, suponga que en lugar del automóvil B, un avión vuela a una velocidad de $ 200 $ km / hr al este de $ P $ a una altitud de 2 km, y que está ganando altitud a 10 km / hr. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre el automóvil y el avión? (respuesta)

Ej 6.2.24Una luz brilla desde lo alto de un poste de 20 m de altura. Un objeto se deja caer desde la misma altura desde un punto a 10 m de distancia, de modo que su altura en el momento $ ds t $ segundos es $ ds h (t) = 20-9.8t ^ 2/2 $. ¿Qué tan rápido se mueve la sombra del objeto en el suelo un segundo después? (respuesta)

Ej 6.2.25 Las dos hojas de un par de tijeras se sujetan en el punto $ A $ como se muestra en la figura 6.2.9. Sea $ a $ la distancia desde $ A $ hasta la punta de la hoja (el punto $ B $). Sea $ beta $ el ángulo en la punta de la hoja que está formado por la línea $ ds overline {AB} $ y el borde inferior de la hoja, la línea $ ds overline {BC} $, y sea $ theta $ denota el ángulo entre $ ds overline {AB} $ y la horizontal. Suponga que una hoja de papel se corta de tal manera que el centro de las tijeras en $ A $ está fijo y el papel también está fijo. A medida que las cuchillas se cierran (es decir, el ángulo $ theta $ en el diagrama disminuye), la distancia $ x $ entre $ A $ y $ C $ aumenta, cortando el papel.

una. Exprese $ x $ en términos de $ a $, $ theta $ y $ beta $.

B. Exprese $ dx / dt $ en términos de $ a $, $ theta $, $ beta $ y $ d theta / dt $.

C. Suponga que la distancia $ a $ es 20 cm y el ángulo $ beta $ es $ ds 5 ^ circ $. Suponga además que $ theta $ está disminuyendo a 50 grados / seg. En el instante en que $ ds theta = 30 ^ circ $, encuentre la velocidad (en cm / seg) a la que se corta el papel. (respuesta)

6.3: Método de Newton

Ej 6.3.1 Aproxima la raíz quinta de 7, usando (x_0 = 1.5 ) como primera aproximación. Usa el método de Newton para encontrar (x_3 ) como tu aproximación. (respuesta)

Ej 6.3.2 Utilice el método de Newton para aproximar la raíz cúbica de 10 a dos lugares decimales. (respuesta)

Ej 6.3.3 La función (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2-3x + 6 ) tiene una raíz entre 3 y 4, porque (f (3) = - 3 ) y (f (4) = 10 ). Aproxima la raíz a dos lugares decimales. (respuesta)

Ej 6.3.4 Una pieza rectangular de cartón de dimensiones (8 por 17 ) se usa para hacer una caja abierta cortando un pequeño cuadrado de lado (x ) de cada esquina y doblando los lados. (Ver ejercicio 20 en 6.1.) Si (x = 2 ), entonces el volumen de la caja es (2 cdot 4 cdot 13 = 104 ). Usa el método de Newton para encontrar un valor de (x ) para el cual la caja tiene un volumen de 100, con una precisión de 3 cifras significativas. (respuesta)

6.4: Aproximaciones lineales

Ej 6.4.1 Sea (f (x) = x ^ 4 ). Si (a = 1 ) y (dx = Delta x = 1/2 ), ¿cuáles son ( Delta y ) y (dy )? (respuesta)

Ej 6.4.2 Sea (f (x) = sqrt {x} ). Si (a = 1 ) y (dx = Delta x = 1/10 ), ¿cuáles son ( Delta y ) y (dy )? (respuesta)

Ej 6.4.3 Sea (f (x) = sin (2x) ). Si (a = pi ) y (dx = Delta x = pi / 100 ), ¿cuáles son ( Delta y ) y (dy )? (respuesta)

Ej 6.4.4 Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una capa de pintura de 0.02 cm de espesor a una esfera con un diámetro de (40 ) metros. (Recuerda que el volumen de una esfera de radio (r ) es (V = (4/3) pi r ^ 3 ). Observa que tienes (dr = 0.02 ).) (respuesta)

Ej 6.4.5 Muestre en detalle que la aproximación lineal de ( sin x ) en (x = 0 ) es (L (x) = x ) y la aproximación lineal de ( cos x ) en (x = 0 ) es (L (x) = 1 ).

6.5: El teorema del valor medio

Ej 6.5.1Sea $ ds f (x) = x ^ 2 $. Encuentre un valor $ c in (-1,2) $ de modo que $ f '(c) $ sea igual a la pendiente entre los puntos finales de $ f (x) $ en $ [- 1,2] $. (respuesta)

Ej 6.5.2Verifique que $ f (x) = x / (x + 2) $ satisfaga las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo $ [1,4] $ y luego encuentre todos los valores, $ c $, que satisfagan la conclusión del teorema. (respuesta)

Ej 6.5.3Verifique que $ f (x) = 3x / (x + 7) $ satisfaga las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo $ [- 2, 6] $ y luego encuentre todos los valores, $ c $, que satisfagan el conclusión del teorema.

Ej 6.5.4Sea $ f (x) = tan x $. Muestre que $ f ( pi) = f (2 pi) = 0 $ pero no hay un número $ c in ( pi, 2 pi) $ tal que $ f '(c) = 0 $. ¿Por qué esto no contradice el teorema de Rolle?

Ej 6.5.5Sea $ ds f (x) = (x-3) ^ {- 2} $. Demuestre que no hay valor $ c en (1,4) $ tal que $ f '(c) = (f (4) -f (1)) / (4-1) $. ¿Por qué esto no es una contradicción del teorema del valor medio?

Ej 6.5.6Describe todas las funciones con derivada $ ds x ^ 2 + 47x-5 $. (respuesta)

Ej 6.5.7Describe todas las funciones con derivada $ ds {1 over 1 + x ^ 2} $. (respuesta)

Ej 6.5.8Describe todas las funciones con derivada $ ds x ^ 3- {1 over x} $. (respuesta)

Ej 6.5.9Describe todas las funciones con derivada $ sin (2x) $. (respuesta)

Ej 6.5.10Muestre que la ecuación $ ds 6x ^ 4 -7x + 1 = 0 $ no tiene más de dos raíces reales distintas.

Ej 6.5.11Sea $ f $ diferenciable en $ R $. Suponga que $ f '(x) neq 0 $ por cada $ x $. Demuestre que $ f $ tiene como máximo una raíz real.

Ej 6.5.12Demuestre que para todos los $ x $ reales y $ y $ $ | cos x - cos y | leq | x-y | $. Enuncie y demuestre un resultado análogo que involucre seno.

Ej 6.5.13Muestre que $ ds sqrt {1 + x} le 1 + (x / 2) $ si $ -1

Soluciones NCERT para la aplicación de derivadas en matemáticas de la clase 12

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Otro EJERCICIO para la Clase 12 Capítulo 6 Aplicación de Derivados Soluciones NCERT

Pregunta 1:Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = 3x4 - 4x en x = 4.

Pregunta 2:Encuentre la pendiente de la tangente a la curva 1, 2 2 x y x x - = ¹ - en x = 10.

Ncert clase 12 matemáticas capítulo 6 Aplicación de derivadas

Pregunta 3:Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = x3 - x + 1 en el punto cuya coordenada x es 2.

Pregunta 4:Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = x3 –3x + 2 en el punto cuya coordenada x es 3.

Ejercicio 6.3 clase de matemáticas 12 Capítulo 6 Aplicación de derivadas

Pregunta 5:Encuentre la pendiente de la normal a la curva 3 3 x = acos q, y = asin q en. 4 p q =

Pregunta 6:Encuentre la pendiente de la normal a la curva 2 x = 1− asinq, y = bcos q en. 2 p q =

Cbse clase 12 soluciones matemáticas ncert Capítulo 6

Pregunta 7:Encuentre puntos en los que la tangente a la curva y = x3 - 3x2 - 9x + 7 sea paralela al eje x.

Pregunta 8:Encuentre un punto en la curva y = (x - 2) 2 en el que la tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos (2, 0) y (4, 4).

Pregunta 10:Encuentre la ecuación de todas las rectas que tienen pendiente –1 que son tangentes a la curva 1 1 y x = -, x ¹ 1.

Ncert clase 12 química capítulo 6 soluciones de ejercicio

Pregunta 11:Encuentre la ecuación de todas las rectas que tienen pendiente 2 que son tangentes a la curva 1 3 y x = -, x ¹ 3.

Pregunta 12:Encuentre las ecuaciones de todas las rectas que tienen pendiente 0 que son tangentes a la curva 2 1. 2 3 y x x = - +

Aplicación de soluciones ncert de clase 12 derivadas

Pregunta 13:Encuentre puntos en la curva 2 2 1 9 16 x y + = en los que las tangentes son (i) paralelas al eje x (ii) paralelas al eje y.

Pregunta 14:Encuentre las ecuaciones de la tangente y la normal a las curvas dadas en los puntos indicados: (i) y = x4 - 6x3 + 13x2 - 10x + 5 en (0, 5) (ii) y = x4 - 6x3 + 13x2 - 10x + 5 en (1, 3) (iii) y = x3 en (1, 1) (iv) y = x2 en (0, 0) (v) x = cos t, y = sint en 4 tp =


Aplicaciones de derivadas ML Aggarwal ISC Clase-12 Matemáticas APC Ch-7

Clase: 12
Sujeto: Matemáticas
Capítulo : Capítulo 7 Aplicaciones de derivados Pág-533 a 652
Junta ISC
Escritor ML Aggarwal ISC Comprendiendo Vol-I
Publicaciones Publicaciones APC Arya

Aplicaciones de derivadas ML Aggarwal ISC Clase-12 Matemáticas APC Ch-7

Tasas de cambio

El objetivo de esta sección es recordarnos la aplicación / interpretación de las derivadas que tratamos en el capítulo anterior. Es decir, tasas de cambio.

Puntos críticos

En esta sección definiremos puntos críticos. Los puntos críticos aparecerán en muchas de las secciones de este capítulo, por lo que será importante comprenderlos.

Valores mínimos y máximos :

En esta sección veremos algunas de las definiciones y hechos básicos que involucran valores mínimos y máximos de funciones.

Encontrar el extremo absoluto:

Aquí está la primera aplicación de derivados que veremos en este capítulo. Determinaremos el valor más grande y más pequeño de una función en un intervalo.

La forma de un gráfico, parte I:

Empezaremos mirando la información que las primeras derivadas nos pueden dar sobre la gráfica de una función. Examinaremos funciones crecientes o decrecientes, así como la prueba de la primera derivada.

La forma de un gráfico, parte II :

En esta sección veremos la información sobre la gráfica de una función que nos pueden decir las segundas derivadas. Observaremos los puntos de inflexión, la concavidad y la prueba de la segunda derivada.

Aproximaciones lineales:

Aquí usaremos derivadas para calcular una aproximación lineal a una función. Sin embargo, como veremos, ya lo hemos hecho.

Diferenciales:

Veremos los diferenciales en esta sección, así como una aplicación para ellos.

DERIVADO COMO MEDIDOR DE TASA: -

Se pueden utilizar derivados para calcular tasas de cambio instantáneas. La tasa de cambio de posición con respecto al tiempo es la velocidad y la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración. Usando estas ideas, podremos analizar el movimiento unidimensional de las partículas en una posición dada en función del tiempo.

TANGENTES Y NORMALES.

Una derivada en un punto de una curva puede verse como la pendiente de la línea tangente a esa curva en ese punto. Dado esto, la siguiente pregunta natural es cuál es la ecuación de esa recta tangente. ¿Se puede usar el cálculo para determinar cuándo una función adquiere un valor máximo local o global? Absolutamente. No solo eso, sino que las derivadas y las segundas derivadas también pueden ayudarnos a comprender la forma de la función (ya sean cóncavas hacia arriba o hacia abajo). Si tiene una comprensión conceptual básica de las derivadas, puede comenzar a aplicar ese conocimiento aquí para identificar puntos críticos, extremos, puntos de inflexión e incluso funciones gráficas.


6.E: Aplicaciones de la derivada (ejercicios)

El nivel matemático básico ha sido desarrollado para aquellos que no saben nada sobre las derivadas de funciones. No importa la edad que tenga, no importa si está en la escuela secundaria, en la universidad o en la universidad, este método matemático está hecho para enseñarle rápida y fácilmente cómo calcular la derivada de una función matemática. Primero aprenderá cómo derivar funciones básicas y luego aprenderá a lidiar con funciones más difíciles y complicadas.

Nivel de matemáticas intermedio

El nivel intermedio de matemáticas ha sido escrito para aquellos que ya saben cómo usar las 18 reglas de derivadas / fórmulas de derivadas. Estos ejercicios aplican las derivadas a la física y la geometría analítica.

Nivel matemático avanzado

El nivel avanzado de matemáticas es NO un nivel para el genio matemático. ¡No! Este nivel de matemáticas de colocación avanzada está compuesto por ejercicios más difíciles, pero también contiene ejercicios matemáticos más prácticos adaptados a casos reales del mundo científico. Verás en este nivel avanzado ejercicios aplicados a diferentes áreas de la ciencia como: biología, física, medicamento, industria y economía. Este nivel le permitirá comprender mejor el uso de derivados en el universo científico actual.


Problemas

6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton y rsquos

  1. Una niña de 30.0 kg en un columpio es empujada hacia un lado y mantenida en reposo por una fuerza horizontal ( vec) de modo que las cuerdas del columpio estén a 30.0 ° con respecto a la vertical. (a) Calcule la tensión en cada una de las dos cuerdas que sostienen el columpio en estas condiciones. (b) Calcule la magnitud de ( vec).
  2. Encuentre la tensión en cada uno de los tres cables que sostienen el semáforo si pesa 2.00 x 10 2 N.
  1. Tres fuerzas actúan sobre un objeto, considerado una partícula, que se mueve con velocidad constante v = (3 ( hat) y menos 2 ( sombrero)) Sra. Dos de las fuerzas son ( vec_ <1> ) = (3 ( sombrero) + 5 ( sombrero) y menos 6k ( sombrero)) N y ( vec_ <2> ) = (4 ( sombrero) y menos 7 ( sombrero) + 2 ( sombrero)) N. Encuentra la tercera fuerza.
  2. Una pulga salta ejerciendo una fuerza de 1,20 x 10 y menos 5 N directamente sobre el suelo. Una brisa que sopla sobre la pulga paralela al suelo ejerce una fuerza de 0,500 x 10 y menos 6 N sobre la pulga mientras la pulga todavía está en contacto con el suelo. Encuentre la dirección y la magnitud de la aceleración de la pulga si su masa es 6,00 x 10 y menos 7 kg. No descuides la fuerza gravitacional.
  3. Dos músculos de la parte posterior de la pierna tiran hacia arriba del tendón de Aquiles, como se muestra a continuación. (Estos músculos se denominan cabezas medial y lateral del músculo gastrocnemio). Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza total sobre el tendón de Aquiles. ¿Qué tipo de movimiento podría provocar esta fuerza?
  1. Después de un percance, un artista de circo de 76.0 kg se aferra a un trapecio, que está siendo tirado hacia un lado por otro artista de circo, como se muestra aquí. Calcule la tensión en las dos cuerdas si la persona está momentáneamente inmóvil. Incluya un diagrama de cuerpo libre en su solución.
  1. Un delfín de 35.0 kg desacelera de 12.0 a 7.50 m / s en 2.30 s para unirse a otro delfín en juego. ¿Qué fuerza promedio se ejerció para frenar al primer delfín si se movía horizontalmente? (La fuerza gravitacional se equilibra con la fuerza de flotación del agua).
  2. Al iniciar una carrera a pie, un velocista de 70.0 kg ejerce una fuerza promedio de 650 N hacia atrás en el suelo durante 0.800 s. (a) ¿Cuál es su velocidad final? (b) ¿Qué tan lejos viaja?
  3. Un cohete grande tiene una masa de 2.00 x 10 6 kg en el despegue y sus motores producen un empuje de 3.50 x 10 7 N. (a) Encuentre su aceleración inicial si despega verticalmente. (b) ¿Cuánto tiempo se tarda en alcanzar una velocidad de 120 km / h hacia arriba, suponiendo una masa y un empuje constantes?
  4. Un jugador de baloncesto salta hacia arriba por una pelota. Para hacer esto, baja su cuerpo 0.300 my luego acelera a través de esta distancia estirando con fuerza las piernas. Este jugador abandona el suelo con una velocidad vertical suficiente para llevarlo a 0.900 m por encima del suelo. (a) Calcule su velocidad cuando abandona el piso. (b) Calcule su aceleración mientras estira las piernas. Va de cero a la velocidad encontrada en (a) en una distancia de 0.300 m. (c) Calcule la fuerza que ejerce sobre el piso para hacer esto, dado que su masa es 110.0 kg.
  5. Un proyectil de fuegos artificiales de 2,50 kg se dispara directamente desde un mortero y alcanza una altura de 110,0 m. (a) Despreciando la resistencia del aire (una suposición pobre, pero la haremos para este ejemplo), calcule la velocidad del proyectil y rsquos cuando sale del mortero. (b) El mortero en sí es un tubo de 0.450 m de largo. Calcule la aceleración promedio de la carcasa en el tubo a medida que pasa de cero a la velocidad encontrada en (a). (c) ¿Cuál es la fuerza promedio sobre el proyectil en el mortero? Exprese su respuesta en newtons y como una proporción del peso del caparazón.
  6. Se dispara una patata de 0,500 kg en un ángulo de 80,0 ° por encima de la horizontal desde un tubo de PVC que se utiliza como pistola de patatas y alcanza una altura de 110,0 m. (a) Sin tener en cuenta la resistencia del aire, calcule la velocidad de la papa & rsquos cuando sale del arma. (b) El arma en sí es un tubo de 0.450 m de largo. Calcule la aceleración promedio de la papa en el tubo a medida que pasa de cero a la velocidad encontrada en (a). (c) ¿Cuál es la fuerza promedio sobre la papa en la pistola? Exprese su respuesta en newtons y como una proporción del peso de la papa.
  7. Un ascensor lleno de pasajeros tiene una masa de 1,70 x 10 3 kg. (a) El elevador acelera hacia arriba desde el reposo a una tasa de 1.20 m / s 2 durante 1.50 s. Calcule la tensión en el cable que sostiene el elevador. (b) El elevador continúa hacia arriba a velocidad constante durante 8.50 s. ¿Cuál es la tensión en el cable durante este tiempo? (c) El ascensor desacelera a una velocidad de 0.600 m / s 2 durante 3.00 s. ¿Cuál es la tensión en el cable durante la desaceleración? (d) ¿A qué altura se ha movido el ascensor por encima de su punto de partida original y cuál es su velocidad final?
  8. Una bola de 20.0 g cuelga del techo de un vagón de carga con una cuerda. Cuando el vagón de carga comienza a moverse, la cuerda forma un ángulo de 35.0 ° con la vertical. (a) ¿Cuál es la aceleración del vagón de carga? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
  9. Una mochila para estudiantes y rsquos, llena de libros de texto, se cuelga de una báscula de resorte sujeta al techo de un elevador. Cuando el elevador acelera hacia abajo a 3.8 m / s 2, la escala indica 60 N. a) ¿Cuál es la masa de la mochila? (b) ¿Qué lee la escala si el elevador se mueve hacia arriba mientras se desacelera a una velocidad de 3.8 m / s 2? (c) ¿Qué lee la escala si el ascensor se mueve hacia arriba a velocidad constante? (d) Si el elevador no tuviera frenos y el cable que lo sostiene se soltara para que el elevador pudiera caer libremente, ¿qué leería la escala de resorte?
  10. Un elevador de servicio lleva una carga de basura, con una masa de 10.0 kg, desde el piso de un rascacielos en construcción, hasta el nivel del suelo, acelerando hacia abajo a una velocidad de 1.2 m / s 2. Encuentre la magnitud de la fuerza que ejerce la basura sobre el piso del elevador de servicio.
  11. Un vagón de montaña rusa comienza desde el reposo en la parte superior de una pista de 30.0 m de largo e inclinado a 20.0 ° con respecto a la horizontal. Suponga que se puede ignorar la fricción. (a) ¿Cuál es la aceleración del automóvil? (b) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que llegue al fondo de la pista?
  12. El dispositivo que se muestra a continuación es la máquina Atwood & rsquos considerada en el Ejemplo 6.5. Suponiendo que las masas de la cuerda y la polea sin fricción son despreciables, (a) encuentre una ecuación para la aceleración de los dos bloques (b) encuentre una ecuación para la tensión en la cuerda y (c) encuentre tanto la aceleración como la tensión cuando el bloque 1 tiene una masa de 2.00 kg y el bloque 2 tiene una masa de 4.00 kg.
  1. Dos bloques están conectados por una cuerda sin masa como se muestra a continuación. La masa del bloque sobre la mesa es 4.0 kg y la masa colgante es 1.0 kg. La mesa y la polea no tienen fricción. (a) Encuentre la aceleración del sistema. (b) Encuentre la tensión en la cuerda. (c) Encuentre la rapidez con la que la masa colgante golpea el piso si parte del reposo y se ubica inicialmente a 1.0 m del piso.
  1. A continuación se muestran dos carros conectados por un cable que pasa sobre una pequeña polea sin fricción. Cada carro rueda libremente con una fricción insignificante. Calcula la aceleración de los carros y la tensión en la cuerda.
  1. Un bloque de 2.00 kg (masa 1) y un bloque de 4.00 kg (masa 2) están conectados por una cuerda ligera como se muestra, la inclinación de la rampa es 40.0 °. La fricción es insignificante. ¿Cuál es (a) la aceleración de cada bloque y (b) la tensión en la cuerda?

6.2 Fricción

  1. (a) Al reconstruir el motor de su automóvil, un estudiante de física debe ejercer una fuerza de 3.00 x 10 2 N para insertar un pistón de acero seco en un cilindro de acero. ¿Cuál es la fuerza normal entre el pistón y el cilindro? (b) ¿Qué fuerza tendría que ejercer si se engrasaran las piezas de acero?
  2. (a) ¿Cuál es la fuerza de fricción máxima en la articulación de la rodilla de una persona que soporta 66.0 kg de su masa sobre esa rodilla? (b) Durante el ejercicio extenuante, es posible ejercer fuerzas en las articulaciones que son fácilmente 10 veces mayores que el peso que se soporta. ¿Cuál es la fuerza máxima de fricción en tales condiciones? Las fuerzas de fricción en las articulaciones son relativamente pequeñas en todas las circunstancias, excepto cuando las articulaciones se deterioran, como por una lesión o artritis. El aumento de las fuerzas de fricción puede causar más daño y dolor.
  3. Suponga que tiene una caja de madera de 120 kg que descansa sobre un piso de madera, con un coeficiente de fricción estática de 0.500 entre estas superficies de madera. (a) ¿Qué fuerza máxima puede ejercer horizontalmente sobre la caja sin moverla? (b) Si continúa ejerciendo esta fuerza una vez que la caja comienza a deslizarse, ¿cuál será entonces su aceleración? Se sabe que el coeficiente de fricción por deslizamiento es 0.300 para esta situación.
  4. (a) Si la mitad del peso de un camión utilitario pequeño de 1.00 x 10 3 kg está sostenido por sus dos ruedas motrices, ¿cuál es la aceleración máxima que puede lograr en concreto seco? (b) ¿Se resbalará un gabinete de metal que está sobre la plataforma de madera del camión si acelera a esta velocidad? (c) Resuelva ambos problemas suponiendo que el camión tiene tracción en las cuatro ruedas.
  5. Un equipo de ocho perros tira de un trineo con corredores de madera encerada sobre la nieve húmeda (¡papilla!). Los perros tienen una masa promedio de 19,0 kg y el trineo cargado con su jinete tiene una masa de 210 kg. (a) Calcule la aceleración de los perros partiendo del reposo si cada perro ejerce una fuerza promedio de 185 N hacia atrás sobre la nieve. (b) Calcule la fuerza en el acoplamiento entre los perros y el trineo.
  6. Considere al patinador de hielo de 65.0 kg empujado por otros dos que se muestran a continuación. (a) Encuentre la dirección y la magnitud de Fnene, la fuerza total ejercida sobre ella por los demás, dado que las magnitudes F1 y F2 son 26,4 N y 18,6 N, respectivamente. (b) ¿Cuál es su aceleración inicial si inicialmente está estacionaria y usa patines con cuchillas de acero que apuntan en la dirección de Fnene? (c) ¿Cuál es su aceleración suponiendo que ya se está moviendo en la dirección de Fnene? (Recuerde que la fricción siempre actúa en la dirección opuesta a la del movimiento o al intento de movimiento entre las superficies en contacto).
  1. Demuestre que la aceleración de cualquier objeto en una pendiente sin fricción que forma un ángulo ( theta ) con la horizontal es a = g sin ( theta ). (Tenga en cuenta que esta aceleración es independiente de la masa).
  1. Demuestre que la aceleración de cualquier objeto en una pendiente donde la fricción se comporta simplemente (es decir, donde fk = ( mu_) N) es a = g (sin ( theta ) & menos ( mu_) cos ( theta )). Tenga en cuenta que la aceleración es independiente de la masa y se reduce a la expresión encontrada en el problema anterior cuando la fricción se vuelve insignificantemente pequeña ( ( mu_) = 0).
  1. Calcule la desaceleración de un snowboarder que sube una pendiente de 5,00 ° C, asumiendo el coeficiente de fricción de la madera encerada sobre nieve húmeda. El resultado del problema anterior puede ser útil, pero tenga cuidado de considerar el hecho de que el snowboarder va cuesta arriba.
  2. Una máquina en una oficina de correos envía paquetes por una rampa y por una rampa para cargarlos en los vehículos de reparto. (a) Calcule la aceleración de una caja que desciende por una pendiente de 10.0 °, suponiendo que el coeficiente de fricción de una parcela sobre madera encerada es 0.100. (b) Encuentre el ángulo de la pendiente por el cual esta caja podría moverse a una velocidad constante. Puede descuidar la resistencia del aire en ambas partes.
  3. Si un objeto debe descansar en una pendiente sin deslizarse, entonces la fricción debe ser igual a la componente del peso del objeto paralelo a la pendiente. Esto requiere una fricción cada vez mayor para pendientes más pronunciadas. Muestre que el ángulo máximo de una pendiente por encima de la horizontal por el cual un objeto no se deslizará hacia abajo es ( theta ) = tan & minus1 ( mu_). Puede utilizar el resultado del problema anterior. Suponga que a = 0 y que la fricción estática ha alcanzado su valor máximo.
  1. Calcule la aceleración máxima de un automóvil que desciende por una pendiente de 6,00 & grados (una que forma un ángulo de 6,00 & grados con la horizontal) en las siguientes condiciones de la carretera. Puede suponer que el peso del automóvil se distribuye uniformemente en los cuatro neumáticos y que el coeficiente de fricción estática está involucrado, es decir, no se permite que los neumáticos patinen durante la desaceleración. (Ignore el rodar.) Calcule para un automóvil: (a) Sobre concreto seco. (b) Sobre hormigón húmedo. (c) Sobre hielo, suponiendo que ( mu_) = 0.100, lo mismo que para zapatos sobre hielo.
  2. Calcule la aceleración máxima de un automóvil que se dirige hacia una pendiente de 4,00 & grados (una que forma un ángulo de 4,00 & grados con la horizontal) en las siguientes condiciones de la carretera. Suponga que solo la mitad del peso del automóvil es soportado por las dos ruedas motrices y que el coeficiente de fricción estática está involucrado, es decir, no se permite que los neumáticos patinen durante la aceleración. (Ignore el laminado.) (A) Sobre concreto seco. (b) Sobre hormigón húmedo. (c) Sobre hielo, suponiendo que ( mu_) = 0.100, lo mismo que para zapatos sobre hielo.
  3. Repita el problema anterior para un automóvil con tracción en las cuatro ruedas.
  4. Un tren de carga consta de dos motores de 8,00 x 10 5 kg y 45 vagones con masas medias de 5,50 x 10 5 kg. (a) ¿Qué fuerza debe ejercer cada motor hacia atrás sobre la vía para acelerar el tren a una tasa de 5,00 x 10 y menos 2 m / s 2 si la fuerza de fricción es 7,50 x 10 5 N, suponiendo que los motores ejercen fuerzas idénticas? Esta no es una gran fuerza de fricción para un sistema tan masivo. La fricción de rodadura de los trenes es pequeña y, en consecuencia, los trenes son sistemas de transporte muy eficientes desde el punto de vista energético. (b) ¿Cuál es la fuerza en el acoplamiento entre los automóviles 37 y 38 (esta es la fuerza que cada uno ejerce sobre el otro), suponiendo que todos los automóviles tienen la misma masa y que la fricción se distribuye uniformemente entre todos los automóviles y motores?
  5. Considere el alpinista de 52.0 kg que se muestra a continuación. (a) Encuentre la tensión en la cuerda y la fuerza que el montañista debe ejercer con sus pies sobre la pared vertical de la roca para permanecer estacionario. Suponga que la fuerza se ejerce paralelamente a sus piernas. Además, suponga una fuerza insignificante ejercida por sus brazos. (b) ¿Cuál es el coeficiente mínimo de fricción entre sus zapatos y el acantilado?
  1. Un participante en un evento deportivo de invierno empuja un bloque de hielo de 45 kg a través de un lago congelado, como se muestra a continuación. (a) Calcule la fuerza mínima F que debe ejercer para mover el bloque. (b) ¿Cuál es su aceleración una vez que comienza a moverse, si esa fuerza se mantiene?
  1. El competidor ahora tira del bloque de hielo con una cuerda sobre su hombro en el mismo ángulo por encima de la horizontal como se muestra a continuación. Calcule la fuerza mínima F que debe ejercer para mover el bloque. (b) ¿Cuál es su aceleración una vez que comienza a moverse, si esa fuerza se mantiene?
  1. En una oficina de correos, un paquete que es una caja de 20.0 kg se desliza por una rampa inclinada 30.0 ° con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y el plano es 0.0300. (a) Encuentre la aceleración de la caja. (b) Encuentre la velocidad de la caja cuando llega al final del plano, si la longitud del plano es 2 my la caja comienza en reposo.

6.3 Fuerza centrípeta

  1. (a) Un niño de 22.0 kg está montando un tiovivo en el patio de recreo que gira a 40.0 rev / min. ¿Qué fuerza centrípeta se ejerce si está a 1,25 m de su centro? (b) ¿Qué fuerza centrípeta se ejerce si el tiovivo gira a 3.00 rev / min y está a 8.00 m de su centro? (c) Compare cada fuerza con su peso.
  2. Calcule la fuerza centrípeta en el extremo de una pala de turbina eólica de 100 m (radio) que gira a 0.5 rev / s. Suponga que la masa es de 4 kg.
  3. ¿Cuál es el ángulo de inclinación lateral ideal para un giro suave de 1.20 km de radio en una carretera con un límite de velocidad de 105 km / h (aproximadamente 65 mi / h), suponiendo que todos viajen al límite?
  4. ¿Cuál es la velocidad ideal para tomar una curva de radio de 100.0 m inclinada en un ángulo de 20.0 °?
  5. (a) ¿Cuál es el radio de un giro de trineo inclinado a 75.0 ° y tomado a 30.0 m / s, suponiendo que idealmente está inclinado? (b) Calcule la aceleración centrípeta. (c) ¿Le parece grande esta aceleración?
  6. Parte de andar en bicicleta implica inclinarse en el ángulo correcto al girar, como se ve a continuación. Para ser estable, la fuerza ejercida por el suelo debe estar en una línea que atraviese el centro de gravedad. La fuerza en la rueda de la bicicleta se puede descomponer en dos componentes perpendiculares: fricción paralela a la carretera (esta debe suministrar la fuerza centrípeta) y la fuerza normal vertical (que debe ser igual al peso del sistema y rsquos). (a) Muestre que ( theta ) (como se define como se muestra) está relacionado con la velocidad v y el radio de curvatura r del giro de la misma manera que para una calzada idealmente peraltada & mdasht, es decir, ( theta ) = bronceado y menos1 ( left ( dfrac>derecho)). (b) Calcule ( theta ) para un giro de 12.0 m / s de radio de 30.0 m (como en una carrera).
  1. Si un automóvil toma una curva inclinada a menos de la velocidad ideal, se necesita fricción para evitar que se deslice hacia el interior de la curva (un problema en las carreteras de montaña heladas). (a) Calcule la rapidez ideal para tomar una curva de radio de 100.0 m inclinada a 15.0 ° C. (b) ¿Cuál es el coeficiente mínimo de fricción necesario para que un conductor asustado tome la misma curva a 20.0 km / h?
  2. Las montañas rusas modernas tienen bucles verticales como el que se muestra aquí. El radio de curvatura es menor en la parte superior que en los lados, por lo que la aceleración centrípeta hacia abajo en la parte superior será mayor que la aceleración debida a la gravedad, manteniendo a los pasajeros presionados firmemente en sus asientos. ¿Cuál es la rapidez de la montaña rusa en la parte superior del bucle si el radio de curvatura es de 15.0 my la aceleración hacia abajo del automóvil es de 1.50 g?
  1. Un niño de 40.0 kg de masa está en un carro de montaña rusa que viaja en una curva de 7.00 m de radio. En el punto A, la rapidez del automóvil es de 10.0 m / s, y en el punto B, la rapidez es de 10.5 m / s. Suponga que el niño no se sostiene ni usa el cinturón de seguridad. (a) ¿Cuál es la fuerza del asiento para el automóvil sobre el niño en el punto A? (b) ¿Cuál es la fuerza del asiento de seguridad sobre el niño en el punto B? (c) ¿Qué velocidad mínima se requiere para mantener al niño en su asiento en el punto A?
  1. En el modelo simple de Bohr del estado fundamental del átomo de hidrógeno, el electrón viaja en una órbita circular alrededor de un protón fijo. El radio de la órbita es de 5,28 x 10 y menos 11 m, y la rapidez del electrón es de 2,18 x 10 6 m / s. La masa de un electrón es 9,11 x 10 y menos 31 kg. ¿Cuál es la fuerza sobre el electrón?
  2. Las vías del ferrocarril siguen una curva circular de 500,0 m de radio y están inclinadas en un ángulo de 5,0 °. ¿Para trenes de qué velocidad están diseñadas estas vías?
  3. El acelerador de partículas del CERN es circular con una circunferencia de 7,0 km. (a) ¿Cuál es la aceleración de los protones (m = 1,67 x 10 y menos 27 kg) que se mueven alrededor del acelerador al 5% de la velocidad de la luz? (La velocidad de la luz es v = 3.00 x 108 m / s.) (B) ¿Cuál es la fuerza sobre los protones?
  4. Un automóvil da la vuelta a una curva no bancarizada de 65 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática entre la carretera y el automóvil es 0.70, ¿cuál es la velocidad máxima a la que el automóvil atraviesa la curva sin resbalar?
  5. Una carretera con peralte está diseñada para tráfico que se mueve a 90,0 km / h. El radio de la curva es de 310 m. ¿Cuál es el ángulo de inclinación lateral de la carretera?

6.4 Fuerza de arrastre y velocidad terminal

  1. La velocidad terminal de una persona que cae en el aire depende del peso y el área de la persona que mira hacia el fluido. Encuentre la velocidad terminal (en metros por segundo y kilómetros por hora) de un paracaidista de 80.0 kg que cae en una posición de lucio (de cabeza) con un área de superficie de 0.140 m 2.
  2. Un paracaidista de 60.0 kg y uno de 90.0 kg saltan desde un avión a una altitud de 6.00 x 10 3 m, ambos cayendo en posición de pica. Haga algunas suposiciones sobre sus áreas frontales y calcule sus velocidades terminales. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada paracaidista llegar al suelo (asumiendo que el tiempo para alcanzar la velocidad terminal es pequeño)? Suponga que todos los valores tienen una precisión de tres dígitos significativos.
  3. Una ardilla de 560 g con una superficie de 930 cm 2 cae de un árbol de 5.0 m al suelo. Estime su velocidad terminal. (Use un coeficiente de arrastre para un paracaidista horizontal). ¿Cuál será la velocidad de una persona de 56 kg que golpea el suelo, asumiendo que no hay contribución de arrastre en una distancia tan corta?
  4. Para mantener una velocidad constante, la fuerza proporcionada por el motor de un automóvil debe ser igual a la fuerza de arrastre más la fuerza de fricción de la carretera (la resistencia a la rodadura). (a) ¿Cuáles son las fuerzas de arrastre a 70 km / hy 100 km / h para un Toyota Camry? (El área de arrastre es de 0,70 m 2) (b) ¿Cuál es la fuerza de arrastre a 70 km / hy 100 km / h para un Hummer H2? (El área de arrastre es 2,44 m 2) Suponga que todos los valores tienen una precisión de tres dígitos significativos.
  5. ¿En qué factor aumenta la fuerza de arrastre de un automóvil a medida que pasa de 65 a 110 km / h?
  6. Calcule la velocidad que alcanzaría una gota de lluvia esférica al caer desde 5.00 km (a) en ausencia de arrastre de aire (b) con arrastre de aire. Considere que el tamaño de la gota es de 4 mm, la densidad es de 1,00 x 103 kg / m 3 y el área de la superficie es ( pi ) r 2.
  7. Usando la ley de Stokes, verifique que las unidades de viscosidad sean kilogramos por metro por segundo.
  8. Encuentre la velocidad terminal de una bacteria esférica (diámetro 2.00 ( mu_)) caer al agua. Primero deberá notar que la fuerza de arrastre es igual al peso a la velocidad terminal. Considere que la densidad de la bacteria es 1,10 x 10 3 kg / m 3.
  9. La ley de Stokes y rsquo describe la sedimentación de partículas en líquidos y puede usarse para medir la viscosidad. Las partículas en los líquidos alcanzan una velocidad terminal rápidamente. Se puede medir el tiempo que tarda una partícula en caer una cierta distancia y luego usar la ley de Stokes para calcular la viscosidad del líquido. Suponga que se deja caer un rodamiento de bolas de acero (densidad 7.8 x 103 kg / m 3, diámetro 3.0 mm) en un recipiente con aceite de motor. Se necesitan 12 s para caer una distancia de 0,60 m. Calcula la viscosidad del aceite.
  10. Suponga que la fuerza resistiva del aire sobre un paracaidista se puede aproximar mediante f = & minusbv 2. Si la velocidad terminal de un paracaidista de 50.0 kg es 60.0 m / s, ¿cuál es el valor de b?
  11. Un pequeño diamante de 10.0 g de masa cae de un arete de nadador y rsquos y cae a través del agua, alcanzando una velocidad terminal de 2.0 m / s. (a) Suponiendo que la fuerza de fricción sobre el diamante obedece a f = & minusbv, ¿cuál es b? (b) ¿Cuánto cae el diamante antes de alcanzar el 90 por ciento de su velocidad terminal?

Francesco Giannino & raquo 9. Derivadas de orden superior. Aplicaciones de la diferenciación: extremos locales y absolutos de una función

Las derivadas de orden dos o más se denominan derivadas superiores y se representan mediante la siguiente notación:

El último se lee como & # 8220la n-ésima derivada de f con respecto ax. & # 8221
La definición se da de la siguiente manera por inducción:

Ejercicios

Ejercicio 1. Calcule la segunda derivada para la siguiente función:

Solución. Primero calculamos la primera derivada y luego la segunda derivada para la función asignada:

Ejercicios

Ejercicio 2. Calcule la segunda derivada para la siguiente función:

Solución. Calculamos la primera derivada y luego la segunda derivada para la función asignada:

Ejercicios

Ejercicio 3. Calcule la segunda derivada para la siguiente función:

Solución. Calculamos la primera derivada y luego la segunda derivada para la función asignada:

Ejercicios

Ejercicio 4. Calcule la segunda derivada para la siguiente función:

Solución. Calculamos antes de la primera derivada y luego la segunda derivada para la función asignada:

Aplicaciones de la diferenciación: extremos locales y absolutos de una función

Definición. Se dice que una función f con dominio D tiene un máximo absoluto en c si f (x) ≤ f (c) para todo x D. El número f (c) se llama máximo absoluto de f en D. Se dice que la función f tiene un local máximo (o relativo máximo) en c si hay algún intervalo abierto (a, b) que contenga cyf (c) es el máximo absoluto de f en (a, b).
Definición. Se dice que una función f con dominio D tiene un mínimo absoluto en c si f (x) ≥ f (c) para todo x D. El número f (c) se llama el mínimo absoluto de f en D. La función f es se dice que tiene un mínimo local (o mínimo relativo) en c si hay algún intervalo abierto (a, b) que contiene cyf (c) es el mínimo absoluto de f en (a, b).

Aplicaciones de la diferenciación: extremos locales y absolutos de una función

Definición. Un máximo absoluto o mínimo absoluto de f se llama un absoluto extremo apagado. Un máximo o mínimo local de f se denomina local extremo apagado.
Teorema 1. (Teorema del valor extremo). Si una función f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces existen dos puntos, c1 y C2, en [a, b] tal que f (c1) es el mínimo absoluto de f en [a, b] yf (c2) es el máximo absoluto de f en [a, b].

Teorema 2. Si f se define en un intervalo abierto (a, b) que contiene c, f (c) es un extremo local de fyf & # 8217 (c) existe, entonces f & # 8217 (c) = 0.

Aplicaciones de la diferenciación: extremos locales y absolutos de una función

Definición. Si f es diferenciable en cyf & # 8217 (c) = 0, entonces llamamos c a punto crítico o punto estacionario apagado.

Definición. Se dice que una función f aumenta en un intervalo abierto (a, b) si f (x1) & lt f (x2) para todo x1 y x2 en (a, b) tal que x1& lt x2. Se dice que la función f es decreciente en (a, b) si f (x1) & gt f (x2) para todo x1 y x2 en (a, b) tal que x1& lt x2. Se dice que la función f es no-decreciente en (a, b) si f (x1) ≤ f (x2) para todo x1 y x2 en (a, b) tal que x1& lt x2. Se dice que la función f no es creciente en (a, b) si f (x1) ≥ f (x2) para todo x1 y x2 en (a, b) tal que x1& lt x2.

Aplicaciones de la diferenciación: extremos locales y absolutos de una función

Teorema 3. Suponga que dos funciones f y g son continuas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y son diferenciables en el intervalo abierto (a, b). Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

(i) Si f & # 8217 (x) & gt 0 para cada x en (a, b), entonces f aumenta en (a, b).
(ii) Si f & # 8217 (x) & lt 0 para cada x en (a, b), entonces f es decreciente en (a, b).
(iii) Si f & # 8217 (x) ≥ 0 para cada x en (a b), entonces f no es decreciente en (a, b).
(iv) Si f & # 8217 (x) ≤ 0 para cada x en (a, b), entonces f no es creciente en (a, b).
(v) Si f & # 8217 (x) = 0 para cada x en (a, b), entonces f es constante en (a, b).

Aplicaciones de la diferenciación: extremos locales y absolutos de una función

Teorema 4. (Prueba de la primera derivada del extremo). Sea f continua en un intervalo abierto (a, b) y a & lt c & lt b.

(i) Si f & # 8217 (x) & gt 0 en (a, c) yf & # 8217 (x) & lt 0 en (c, b), entonces f (c) es un máximo local de f en (a, b ).
(ii) Si f & # 8217 (x) & lt 0 en (a, c) yf & # 8217 (x) & gt 0 en (c, b), entonces f (c) es un mínimo local de f en (a, b ).

Ejercicios

Ejercicio 5. Toma la función

y ubique los intervalos donde la gráfica de f aumenta o disminuye, los extremos locales y los extremos absolutos en [-3, 3].

Solución. La función f (x) está definida para todos los números reales. Por tanto, su dominio es: x [-3, 3]. Ahora calculamos la primera derivada para encontrar puntos estacionarios y luego aplicamos la prueba de la primera derivada para los extremos:

Ejercicios

Para aplicar la prueba de la primera derivada para los extremos, resolvemos la siguiente desigualdad:

y evaluar el signo de f & # 8217.

La función f disminuye en y aumenta en

Ejercicios

Luego, aplicando la prueba de la primera derivada para los extremos, decimos:

Ahora evaluamos la función f en los puntos finales del intervalo [-3, 3]:

Ejercicios

Ejercicio 6. Tome la función y ubique los intervalos donde la gráfica de f aumenta o disminuye, los extremos locales y extremos absolutos en el dominio de la función & # 8217s.

Solución. La función f (x) se define para todos los números reales. Por tanto, su dominio es: X ] & # 8211 ∞, + ∞ [. Ahora calculamos la primera derivada para encontrar puntos estacionarios y luego aplicamos la prueba de la primera derivada para los extremos:

Ejercicios

Entonces f & # 8217 (x) = 0 cuando 1 & # 8211 x 2 = 0. Por lo tanto, la función f tiene dos puntos críticos:

Ahora, para aplicar la prueba de la primera derivada para los extremos, resolvemos la siguiente desigualdad:

y evaluar el signo de f & # 8217.

Ejercicios

Ahora, aplicando la prueba de la primera derivada para los extremos, decimos:

Ejercicios

Además, estudiamos el comportamiento de la función f en los puntos finales de su dominio] -, + [:

Mostrando que el eje x es una asíntota horizontal para la gráfica de f.

Ejercicios

Ahora, juntando estas observaciones, podemos decir que:

Ejercicios

Ejercicio 7. Tome la función y ubique los intervalos donde la gráfica de f aumenta o disminuye, los extremos locales y extremos absolutos en el dominio de la función & # 8217s.


¿Qué es la modulación analógica?

Una señal analógica es una onda continua en la que la variable de diferencia de tiempo de la onda se representa en la relación de otra calidad de diferencia de tiempo que es análoga a otras señales de cambio de tiempo. Y la modulación analógica es el procedimiento de transmisión de señales de baja frecuencia, como señales de TV o señales de audio, con señales portadoras de alta frecuencia como las señales de radiofrecuencia. En este tipo de modulación, se requiere un canal de paso de banda donde corresponda al rango de frecuencias especificado. Estas frecuencias se transmiten a través de un filtro de paso de banda que permite el paso de ciertas frecuencias evitando señales en frecuencias indeseables.

Cuando la señal portadora está representada por la ecuación

Aquí el término Ac representa la amplitud, el término fc representa la frecuencia y el término Ф representa una fase de la señal portadora.


Ej 6.5 Pregunta 1 de matemáticas de la clase 12.
Encuentre los valores máximo y mínimo, si los hay, de las siguientes funciones dadas por
(i) f (x) = (2x & # 8211 1) ² + 3
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10
(iv) g (x) = x 3 + 1
Solución:
(i) El valor mínimo de (2x & # 8211 1) ² es cero.
El valor mínimo de (2x & # 8211 1) ² + 3 es 3
Claramente no tiene valor máximo,
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
⇒ f (x) = (3x + 2) ² & # 8211 2
El valor mínimo de (3 + 2) ² es cero.
∴ El valor mínimo de (3x + 2) ² & # 8211 2 = 9x² + 12x + 2 es & # 8211 2
f (x) no tiene un valor máximo finito
(iii) f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10
El valor máximo de & # 8211 (x & # 8211 1) ² es cero
Valor máximo f f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10 es 10
f (x) no tiene un valor mínimo finito.
(iv) Como x— »∞, g (x) -» ∞También x - »- ∞, g (x) -» - ∞
Por lo tanto, no hay un valor máximo o mínimo de f (x)

Ej 6.5 Pregunta 2 de matemáticas de la clase 12.
Encuentre los valores máximo y mínimo, si los hay, de las siguientes funciones dadas por
(i) f (x) = | x + 2 | & # 8211 1
(ii) g (x) = - | x + 1 | + 3
(iii) h (x) = sen 2x + 5
(iv) f (x) = | sen (4x + 3) |
(v) h (x) = x + 1, x∈ (-1,1)
Solución:
(i) Tenemos: f (x) = | x + 2 | -1 ∀x∈R
Ahora | x + 2 | ≥0∀x∈R
| x + 2 | & # 8211 1 ≥ & # 8211 1 ∀x∈R,
Entonces -1 es el min. valor de f (x)
ahora f (x) = -1
⇒ | x + 2 | -1
⇒ | x + 2 | = 0
⇒ x = & # 8211 2
(ii) Tenemos g (x) = - | x + 1 | + 3 ∀x∈R
Ahora | x + 1 | ≥ 0 ∀x∈R
- | x + 1 | + 3 ≤3 ∀x∈R
Entonces 3 es el valor mínimo de f (x).
Ahora f (x) = 3
⇒ - | x + 1 | + 3
⇒ | x + 1 | = 0
⇒ x = & # 8211 1.
(iii) Por tanto, el valor máximo de f (x) es 6 y el valor mínimo es 4.
(iv) Sea f (x) = | sen4x + 3 |
El valor máximo de sin 4x es 1
∴ Valor máximo de | sin (4x + 3) | es | 1 + 3 | = 4
El valor mínimo de sin 4x es -1
∴ El valor mínimo de f (x) es | -1 + 3 | = | 2 | = 2
(v) El valor máximo de f (x) es 2 y el valor mínimo es 0.

Ej 6.5 Pregunta 3 de matemáticas de la clase 12.
Encuentre los máximos y mínimos locales, si los hay, de las siguientes funciones. Encuentre también los valores máximo local y mínimo local, según sea el caso:
(i) f (x) = x 2
(ii) g (x) = x 3 & # 8211 3x
(iii) h (x) = senx + cosx, 0 & ltx & lt
(iv) f (x) = sen 4 x + cos 4 x, 0 & ltx & lt
(v) f (x) = x 3 & # 8211 6x 2 + 9x: +15
(vi) g (x) =, x & gt0
(vii) g (x) =, x & gt0
(viii) f (x) =, x & gt0
Solución:
(i) Sea f (x) = x² ⇒ f ’(x) = 2x
Ahora f '(x) = 0 ⇒ 2x = 0 es decir, x = 0
En x = 0 Cuando x es levemente & lt 0, f & # 8217 (x) es -ve Cuando x es levemente & gt 0, f (x) es + ve
∴ f (x) cambia de signo de -ve a + ve a medida que x aumenta hasta 0.
⇒ f & # 8217 (x) tiene un mínimo local en x = 0 valor mínimo local f (0) = 0.





Ej 6.5 Pregunta 4 de matemáticas de la clase 12.
Demuestre que las siguientes funciones no tienen máximos ni mínimos:
(i) f (x) = e x
(ii) f (x) = log x
(iii) h (x) = x 3 + x 2 + x + 1
Solución:
(i) f '(x) = e x
Dado que f & # 8217 (x) ≠ 0 para cualquier valor de x.
Entonces f (x) = e x no tiene un máximo. o min.
(ii) f & # 8217 (x) = Claramente f & # 8217 (x) ≠ 0 para cualquier valor de x.
Entonces, f & # 8217 (x) = log x no tiene un máximo o un mínimo.
(iii) Tenemos f (x) = x 3 + x 2 + x + 1
⇒f & # 8217 (x) = 3x 2 + 2x + 1
Ahora, f & # 8217 (x) = 0 = & gt 3x 2 + 2x + 1 = 0

es decir, f '(x) = 0 en puntos imaginarios
es decir, f '(x) ≠ 0 para cualquier valor real de x
Por lo tanto, no hay max. ni min.

Ej 6.5 Pregunta de matemáticas de la clase 12 5.
Encuentre el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de las siguientes funciones en los intervalos dados:
(i) f (x) = x 3, x∈ [-2,2]
(ii) f (x) = sin x + cos x, x ∈ [0, π]
(iii) f (x) =
(iv) f (x) =
Solución:
(i) Tenemos f & # 8217 (x) = x 3 en [-2,2]
∴ f '(x) = 3x² Ahora, f & # 8217 (x) = 0 en x = 0, f (0) = 0
Ahora, f (-2) = (-2) 3 = & # 8211 8 f (0) = (0) ² = 0 yf (0) = (2) = 8
Por lo tanto, el valor máximo absoluto de f (x) es 8 que alcanzó en x = 2 y el valor mínimo absoluto de f (x) = & # 8211 8 que se alcanzó en x = -2.
(ii) Tenemos f (x) = sin x + cos x en [0, π]
f & # 8217 (x) = cos x & # 8211 sen x para valores extremos f & # 8217 (x) = 0

Ej 6.5 Pregunta 6 de matemáticas de la clase 12.
Encuentre el beneficio máximo que puede obtener una empresa, si la función de beneficio viene dada por p (x) = 41 & # 8211 24x & # 8211 18x²
Solución:
Función de beneficio en p (x) = 41 & # 8211 24x & # 8211 18x²
∴ p '(x) = & # 8211 24 & # 8211 36x = & # 8211 12 (2 + 3x)
para máximos y mínimos, p '(x) = 0
Ahora, p '(x) = 0
⇒ & # 8211 12 (2 + 3x) = 0
⇒ x =,
p '(x) cambia de signo de + ve a -ve.
⇒ p (x) tiene un valor máximo en x =
Beneficio máximo = 41 + 16 & # 8211 8 = 49.

Ej 6.5 Pregunta de matemáticas de clase 12 7.
Encuentre tanto el valor máximo como el valor mínimo de 3x 4 & # 8211 8x 3 + 12x 2 & # 8211 48x + 25 en el intervalo [0,3].
Solución:
Sea f (x) = 3x 4 & # 8211 8x 3 + 12x 2 & # 8211 48x + 25
∴f '(x) = 12x 3 & # 8211 24x 2 + 24x & # 8211 48
= 12 (x 2 + 2) (x & # 8211 2)
Para máximos y mínimos, f '(x) = 0
⇒ 12 (x 2 + 2) (x & # 8211 2) = 0
⇒ x = 2
Ahora, encontramos f (x) en x = 0,2 y 3, f (0) = 25,
f (2) = 3 (2 4) & # 8211 8 (2 3) + 12 (2 2) & # 8211 48 (2) + 25 = & # 8211 39
yf (3) = (3 4) & # 8211 8 (3 3) + 12 (3 2) & # 8211 48 (3) + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16
Por lo tanto, en x = 0, valor máximo = 25
en x = 2, valor mínimo = & # 8211 39.

Ej 6.5 Pregunta 8 de matemáticas de la clase 12.
¿En qué puntos del intervalo [0,2π], la función sen 2x alcanza su valor máximo?
Solución:
Tenemos f (x) = sin 2x en [0,2π], f & # 8217 (x) = 2 cos 2 x
Para máximos y mínimos f & # 8217 (x) = 0 = & gt cos 2 x = 0

Ej 6.5 Pregunta de matemáticas de la clase 12 9.
¿Cuál es el valor máximo de la función sin x + cos x?
Solución:
Considere el intervalo [0, 2π],
Sea f (x) = senx + cosx,
f & # 8217 (x) = cosx & # 8211 senx
Para máximos y mínimos, f & # 8217 (x) = 0

Ej 6.5 Pregunta 10 de matemáticas de la clase 12.
Encuentre el valor máximo de 2x 3 & # 8211 24x + 107 en el intervalo [1,3]. Encuentre el valor máximo de la misma función en [-3, -1].
Solución:
∵ f (x) = 2x 3 & # 8211 24x + 107
∴f (x) = 6x 2 & # 8211 24,
Para máximos y mínimos f '(x) = 0⇒ x = ± 2
Para el intervalo [1,3], encontramos los valores de f (x)
en x = 1,2,3 f (1) = 85, f (2) = 75, f (3) = 89
Por lo tanto, máximo f (x) = 89 en x = 3
Para el intervalo [-3, -1], encontramos los valores de f (x) en x = & # 8211 3, & # 8211 2, & # 8211 1
f (-3) = 125
f (-2) = 139
f (-1) = 129
∴ máx. F (x) = 139 en x = & # 8211 2.

Ej 6.5 Pregunta 11 de matemáticas de la clase 12.
Se da que en x = 1, la función x 4 & # 8211 62x 2 + ax + 9 alcanza su valor máximo, en el intervalo [0,2]. Encuentra el valor de a.
Solución:
∵ f (x) = x 4 & # 8211 62x 2 + ax + 9
∴ f & # 8217 (x) = 4x 3 & # 8211 124x + a
Ahora f & # 8217 (x) = 0 en x = 1
⇒ 4 & # 8211124 + a = 0
⇒ a = 120
Ahora f & # 8221 (x) = 12x 2 & # 8211 124:
En x = 1 f & # 8221 (1) = 12 & # 8211 124 = & # 8211 112 & lt 0
⇒ f (x) tiene un máximo en x = 1 cuando a = 120.

Ej 6.5 Pregunta 12 de matemáticas de la clase 12.
Encuentra los valores máximo y mínimo de x + sin 2x en [0,2π]
Solución:
∴f (x) = x + sin2x en [0,2π]
∴f & # 8217 (x) = 1 + 2 cos2x
Para máximos y mínimos f & # 8217 (x) = 0

Ej 6.5 Clase 12 Matemáticas Pregunta 13.
Encuentra dos números cuya suma sea 24 y cuyo producto sea lo más grande posible.
Solución:
Deje que los números requeridos sean hexadecimales y (24-x)
∴ Su producto, p = x (24 & # 8211 x) = 24x & # 8211 x²
Ahora = 0 ⇒ 24 & # 8211 2x = 0 ⇒ x = 12
También = -2 & lt0: ⇒ p es máximo en x = 12
Por lo tanto, los números requeridos son 12 y (24-12) es decir. 12.

Ej 6.5 Pregunta 14 de matemáticas de la clase 12.
Encuentre dos números positivos xey tales que x + y = 60 y xy 3 sea el máximo.
Solución:
Tenemos x + y = 60
⇒ y = 60 & # 8211 x & # 8230 (i)

Por lo tanto, la req. los números son 15 y (60-15), es decir, 15 y 45.

Ej 6.5 Pregunta de matemáticas de la clase 12 15.
Encuentra dos números positivos xey tales que su suma sea 35 y el producto x 2 y 5 sea un máximo.
Solución:
Tenemos x + y = 35 ⇒ y = 35 & # 8211 x
Producto p = x 2 y 5
= x 2 (35 y # 8211 x) 5

Ej 6.5 Pregunta 16 de matemáticas de la clase 12.
Encuentra dos números positivos cuya suma sea 16 y la suma de cuyos cubos sea mínima.
Solución:
Sean dos números x y 16 & # 8211 x

Por lo tanto, los números requeridos son 8 y (16-8), es decir, 8 y 8.

Ej 6.5 Pregunta 17 de matemáticas de la clase 12.
Una pieza cuadrada de lata de 18 cm de lado se convertirá en una caja sin tapa, cortando un cuadrado de cada esquina y doblando las solapas para formar la caja. Cuál debe ser el lado del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea el máximo posible.
Solución:
Deje que cada lado del cuadrado a cortar sea x cm.
∴ para la longitud de la caja = 18 & # 8211 2x: ancho = 18 & # 8211 2x y altura = x

Ej 6.5 Pregunta 18 de matemáticas de la clase 12.
Una hoja rectangular de hojalata de 45 cm por 24 cm se convertirá en una caja sin tapa, cortando un cuadrado de cada esquina y doblando las solapas. ¿Cuál debe ser el lado del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?
Solución:
Deje que cada lado del cuadrado cortado de cada esquina sea x cm.
∴ Los lados de la caja rectangular son (45 & # 8211 2x), (24 & # 8211 2x) y x cm.

Ej 6.5 Pregunta 19 de matemáticas de la clase 12.
Demuestre que de todos los rectángulos inscritos en un círculo fijo dado, el cuadrado tiene el área máxima.
Solución:
Sean xey respectivamente la longitud y la anchura del rectángulo inscrito en un círculo de radio a.
∴ x² + y² = (2a) ² = & gt x² + y² = 4a² & # 8230 (i)
∴ Perímetro = 2 (x + y)

Ej 6.5 Pregunta 20 de matemáticas de la clase 12.
Demuestre que el cilindro circular recto de superficie dada y volumen máximo es tal que su altura es igual al diámetro de la base.
Solución:
Sea S el área de superficie dada del cilindro cerrado cuyo radio es r y altura h, sea v su Volumen. Luego

Ej 6.5 Pregunta 21 de matemáticas de la clase 12.
De todas las latas cilíndricas cerradas (circular derecha), de un volumen dado de 100 centímetros cúbicos, encuentre las dimensiones de la lata que tiene la superficie mínima?
Solución:
Sea r el radio y h la altura de la lata cilíndrica.

Ej 6.5 Pregunta 22 de matemáticas de la clase 12.
Un cable de 28 m de longitud se cortará en dos piezas. Una de las piezas se convertirá en un cuadrado y la otra en un círculo. ¿Cuál debería ser la longitud de las dos piezas para que el área combinada del cuadrado y el círculo sea mínima?
Solución:
Sea una parte de longitud x, luego la otra parte = 28 & # 8211 x
Deje que la parte de la longitud x se convierta en un círculo de radio r.


Ej 6.5 Pregunta 23 de matemáticas de la clase 12.
Demuestre que el volumen del cono más grande que se puede inscribir en una esfera de radio R es el volumen de la esfera.
Solución:
Deja un cono. VAB de mayor volumen se inscriba en la esfera sea AOC = θ
∴ AC, radio de la base del cono = R sin θ
y VC = VO + OC = R (1 + cosθ)
= R + Rcosθ
= altura del cono.,
V, el volumen del cono.

Ej 6.5 Pregunta 24 de matemáticas de la clase 12.
Demuestre que el cono circular recto de superficie mínima curva y volumen dado tiene una altitud igual a √2 por el radio de la base.
Solución:
Sean r y h el radio y la altura del cono.

Ej 6.5 Clase 12 Matemáticas Pregunta 25.
Demuestre que el ángulo semi-vertical del cono del volumen máximo y de la altura de inclinación dada es tan -1 √2.
Solución:
Sea v el volumen, l la altura inclinada y 0 el ángulo semi vertical de un cono.

Ej 6.5 Pregunta 26 de matemáticas de la clase 12.
Demuestre que el ángulo semi-vertical del cono circular recto de un área de superficie dada y el volumen máximo es
Solución:
Sea r el radio, l la altura inclinada y h la altura del cono de un área de superficie dada s.

Elija la respuesta correcta en los Ejercicios 27 y 29.

Ej 6.5 Pregunta 27 de matemáticas de la clase 12.
El punto de la curva x² = 2y más cercano al punto (0,5) es
(a) (2 √2,4)
(b) (2 √2,0)
(c) (0,0)
(d) (2,2)
Solución:
(a) Sea P (x, y) un punto en la curva El otro punto es A (0,5)
Z = PA² = x² + y² + 25 & # 8211 10y [∵ x² = 2y]

Ej 6.5 Clase 12 Matemáticas Pregunta 28.
Para todos los valores reales de x, el valor mínimo de
(a) 0
(b) 1
(c) 3
(D)
Solución:
(d) Deje

Ej 6.5 Pregunta 29 de matemáticas de la clase 12.
El valor máximo de es
(a)
(B)
(c) 1
(d) 0
Solución:
(c) Sea y =

Esperamos que las soluciones NCERT para matemáticas de la clase 12 Capítulo 6 Aplicación de derivadas, ejemplo 6.5, le ayuden. Si tiene alguna consulta sobre las soluciones NCERT para matemáticas de la clase 12, capítulo 6, aplicación de derivadas, ejemplo 6.5, deje un comentario a continuación y nos comunicaremos con usted lo antes posible.


Ejercicios 4.1

Términos y conceptos

V / F: La diferenciación implícita se usa a menudo cuando se resuelven problemas de tipo "tasas relacionadas".

V / F: Un estudio de las tasas relacionadas es parte del entrenamiento estándar de los oficiales de policía.

Problemas

El área de un cuadrado aumenta a una tasa de 42 pies 2 / min. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud del lado cuando la longitud es de 7 pies?

Considere la situación del tráfico presentada en el ejemplo 4.1.3. ¿Qué tan rápido viaja el "otro automóvil" si el oficial y el otro automóvil están a 1/2 milla de la intersección, el otro automóvil viaja hacia el oeste, el oficial viaja hacia el norte a 50 mph y la lectura del radar es - 80 mph? ?

Un avión F-22 está volando a 500 mph con una elevación de 10,000 pies en una trayectoria en línea recta que lo llevará directamente sobre un cañón antiaéreo.


Ver el vídeo: Intervalos de crecimiento, puntos máximos y mínimos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión (Septiembre 2021).