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2.3: La definición precisa de un límite


Esta sección presenta la definición formal de límite. Muchos se refieren a esto como "la épsilon - delta", definición, refiriéndose a las letras ( epsilon ) y ( delta ) del alfabeto griego.

Antes de dar la definición real, consideremos algunas formas informales de describir un límite. Dada una función (y = f (x) ) y un valor (x ) -, (c ), decimos que "el límite de la función (f ), como (x ) se acerca a (c ), es un valor (L ) '':

  1. si " (y ) tiende a (L )" como " (x ) tiende a (c )".
  2. si " (y ) se acerca a (L )" como " (x ) se acerca a (c )".
  3. si " (y ) está cerca de (L )" siempre que " (x ) esté cerca de (c )".

El problema con estas definiciones es que las palabras "tiende", "acercamiento" y especialmente "cerca" no son exactas. ¿De qué manera la variable (x ) tiende o se acerca a (c ) ¿Qué tan cerca tienen que estar (x ) y (y ) de (c ) y (L ), respectivamente?

La definición que describimos en esta sección proviene de formalizar 3. Una rápida reformulación nos acerca a lo que queremos:

( textbf {3} ^ prime ). Si (x ) está dentro de un cierto nivel de tolerancia de (c ), entonces el valor correspondiente (y = f (x) ) está dentro de un cierto nivel de tolerancia de (L ).

La notación tradicional para la tolerancia (x ) - es la letra griega minúscula delta, o ( delta ), y la tolerancia (y ) - se denota por épsilon minúscula, o ( epsilon ). Una reformulación más de ( textbf {3} ^ prime ) casi nos lleva a la definición real:

( textbf {3} ^ { prime prime} ). Si (x ) está dentro de ( delta ) unidades de (c ), entonces el valor correspondiente de (y ) está dentro de ( epsilon ) unidades de (L ).

Podemos escribir " (x ) está dentro de ( delta ) unidades de (c )" matemáticamente como

[| x-c | < delta, qquad text {que es equivalente a} qquad c- delta

Dejar que el símbolo " ( longrightarrow )" represente la palabra "implica" que podemos reescribir ( textbf {3} '' ) como

[| x - c | < delta longrightarrow | y - L | < epsilon qquad textrm {o} qquad c - delta

El punto es que ( delta ) y ( epsilon ), al ser tolerancias, pueden ser valores positivos (pero normalmente pequeños). Finalmente, tenemos la definición formal del límite con la notación vista en la sección anterior.

Definición 1: El límite de una función (f )

Sea (I ) un intervalo abierto que contenga (c ), y sea (f ) una función definida en (I ), excepto posiblemente en (c ). La limite de (f (x) ), como (X) enfoques (C), es (L ), denotado por

[ lim_ {x rightarrow c} f (x) = L, ]

significa que dado cualquier ( epsilon> 0 ), existe ( delta> 0 ) tal que para todo (x neq c ), si (| x - c | < delta ), luego (| f (x) - L | < epsilon ).

(Los matemáticos a menudo disfrutan escribiendo ideas sin usar palabras. Aquí está la definición sin palabras del límite:

[ lim_ {x rightarrow c} f (x) = L iff forall , epsilon> 0, existe , delta> 0 ; S t. ; 0 <| x - c | < delta longrightarrow | f (x) - L | < epsilon. text {)} ]

Tenga en cuenta el orden en el que se dan ( epsilon ) y ( delta ). En la definición, se da la (y ) - tolerancia ( epsilon ) primero y entonces existirá el límite Si podemos encontrar una (x ) - tolerancia ( delta ) que funciona.

Un ejemplo nos ayudará a comprender esta definición. Tenga en cuenta que la explicación es larga, pero le llevará uno a través de todos los pasos necesarios para comprender las ideas.

Ejemplo 6: evaluación de un límite utilizando la definición

Demuestre que ( lim limits_ {x rightarrow 4} sqrt {x} = 2. )

Solución:
Antes de usar la definición formal, probemos algunas tolerancias numéricas. ¿Qué pasa si la tolerancia (y ) es 0.5, o ( epsilon = 0.5 )? ¿Qué tan cerca de 4 tiene que estar (x ) para que (y ) esté dentro de 0.5 unidades de 2, es decir, (1.5

[ begin {align} 1.5 &

Entonces, ¿cuál es la tolerancia (x ) deseada? Recuerde, queremos encontrar un intervalo simétrico de valores (x ), a saber, (4 - delta


( text {FIGURA 1.17} ): ilustrando el proceso ( epsilon - delta ).

Dada la tolerancia (y ) ( epsilon = 0.5 ), hemos encontrado una tolerancia (x ), ( delta leq 1.75 ), tal que siempre que (x ) esté dentro de ( delta ) unidades de 4, entonces (y ) está dentro de ( epsilon ) unidades de 2. Eso es lo que estábamos tratando de encontrar.

Probemos con otro valor de ( epsilon ).

¿Qué pasa si la tolerancia (y ) es 0.01, es decir, ( epsilon = 0.01 )? ¿Qué tan cerca de 4 debe estar (x ) para que (y ) esté dentro de 0.01 unidades de 2 (o (1.99

[3.9601

¿Cuál es la tolerancia (x ) deseada? En este caso, debemos tener ( delta leq 0.0399 ), que es la distancia mínima desde 4 de los dos límites dados anteriormente.

Tenga en cuenta que, en cierto sentido, parece que hay dos tolerancias (por debajo de 4 de 0.0399 unidades y por encima de 4 de 0.0401 unidades). Sin embargo, no podríamos usar el valor mayor de (0.0401 ) para ( delta ) ya que entonces el intervalo para (x ) sería (3.9599

Lo que tenemos hasta ahora: si ( epsilon = 0.5 ), entonces ( delta leq 1.75 ) y si ( epsilon = 0.01 ), entonces ( delta leq 0.0399 ). Un patrón no es fácil de ver, así que cambiamos a ( epsilon ) general y tratamos de determinar ( delta ) simbólicamente. Comenzamos asumiendo que (y = sqrt {x} ) está dentro de ( epsilon ) unidades de 2:

[ begin {eqnarray *} | y - 2 | < epsilon & - epsilon

La "forma deseada" en el último paso es " (4- textit {algo}

[ delta leq min {4 epsilon - epsilon ^ 2, 4 epsilon + epsilon ^ 2 }. ]

Dado que ( epsilon> 0 ), el mínimo es ( delta leq 4 epsilon - epsilon ^ 2 ). Esa es la fórmula: dado un ( epsilon ), establece ( delta leq 4 epsilon- epsilon ^ 2 ).

Podemos verificar esto para nuestros valores anteriores. Si ( epsilon = 0.5 ), la fórmula da ( delta leq 4 (0.5) - (0.5) ^ 2 = 1.75 ) y cuando ( epsilon = 0.01 ), la fórmula da ( delta leq 4 (0.01) - (0.01) ^ 2 = 0.399 ).

Entonces, dado cualquier ( epsilon> 0 ), establece ( delta leq 4 epsilon - epsilon ^ 2 ). Entonces, si (| x-4 | < delta ) (y (x neq 4 )), entonces (| f (x) - 2 | < epsilon ), satisfaciendo la definición del límite. Hemos demostrado formalmente (¡y finalmente!) Que ( lim_ {x rightarrow 4} sqrt {x} = 2 ).

En realidad, es una molestia, pero esto no funcionará si ( epsilon ge 4 ). Esto realmente no debería ocurrir ya que se supone que ( epsilon ) es pequeño, pero podría suceder. En los casos en los que ( epsilon ge 4 ), simplemente tome ( delta = 1 ) y estará bien.

El ejemplo anterior fue un poco largo, ya que muestreamos algunos casos específicos de ( epsilon ) antes de manejar el caso general. Normalmente esto no se hace. El ejemplo anterior también es un poco insatisfactorio porque ( sqrt {4} = 2 ); ¿Por qué trabajar tan duro para demostrar algo tan obvio? Muchas pruebas de ( epsilon ) - ( delta ) son largas y difíciles de hacer. En esta sección, nos centraremos en ejemplos donde la respuesta es, francamente, obvia, porque los ejemplos no obvios son aún más difíciles. En la siguiente sección aprenderemos algunos teoremas que nos permiten evaluar límites analíticamente, es decir, sin usar la definición ( epsilon ) - ( delta ).

¡Por eso los teoremas sobre límites son tan útiles! Después de hacer algunas pruebas más de ( epsilon ) - ( delta ), realmente apreciará los "atajos" analíticos que se encuentran en la siguiente sección.

Ejemplo 7: evaluación de un límite utilizando la definición

Muestre que ( lim_ {x rightarrow 2} x ^ 2 = 4 ).

Solución

Hagamos este ejemplo simbólicamente desde el principio. Sea ( epsilon> 0 ); queremos (| y-4 | < epsilon ), es decir, (| x ^ 2-4 | < epsilon ). ¿Cómo encontramos ( delta ) tal que cuando (| x-2 | < delta ), tenemos la garantía de que (| x ^ 2-4 | < epsilon )?

Esto es un poco más complicado que el ejemplo anterior, pero comencemos notando que (| x ^ 2-4 | = | x-2 | cdot | x + 2 | ). Considerar:

[| x ^ 2-4 | < epsilon longrightarrow | x-2 | cdot | x + 2 | < epsilon longrightarrow | x-2 | < frac { epsilon} {| x + 2 |}. label {eq: limit1} tag {1.1} ]

¿No podríamos configurar ( delta = frac { epsilon} {| x + 2 |} )?

Estamos cerca de una respuesta, pero el problema es que ( delta ) debe ser un constante value (por lo que no puede contener (x )). Hay una forma de solucionar esto, pero tenemos que hacer una suposición. Recuerde que se supone que ( epsilon ) es un número pequeño, lo que implica que ( delta ) también será un valor pequeño. En particular, podemos (probablemente) asumir que ( delta <1 ). Si esto es cierto, entonces (| x-2 | < delta ) implicaría que (| x-2 | <1 ), dando (1

Ahora, volvamos a la fracción ( frac { epsilon} {| x + 2 |} ). Si (1

[ begin {align} frac {1} {5} <& frac {1} {| x + 2 |} < frac {1} {3} & text {que implica} frac { 1} {5} <& frac {1} {| x + 2 |} & text {que implica} frac { epsilon} {5} <& frac { epsilon} {| x + 2 |}. label {eq: limit2} tag {1.2} end {align} ]

Esto sugiere que establezcamos ( delta leq frac { epsilon} {5} ). Para ver por qué, consideremos lo que sigue cuando asumimos (| x-2 | < delta ):

[ begin {align *} | x - 2 | & < delta & | x - 2 | & < frac { epsilon} {5} & text {(Nuestra elección de ( delta ))} | x - 2 | cdot | x + 2 | & <| x + 2 | cdot frac { epsilon} {5} & text {(Multiplicar por (| x + 2 | ))} | x ^ 2-4 | & <| x + 2 | cdot frac { epsilon} {5} & text {(Combinar el lado izquierdo)} | x ^ 2 - 4 | & <| x + 2 | cdot frac { epsilon} {5} <| x + 2 | cdot frac { epsilon} {| x + 2 |} = epsilon & text {(Usando ( ref {eq: limit2}) siempre que ( delta <1 ) )} end {align *} ]

Hemos llegado a (| x ^ 2 - 4 | < epsilon ) como se desea. Note nuevamente, para que esto suceda, necesitamos que ( delta ) primero sea menor que 1. Esa es una suposición segura; queremos que ( epsilon ) sea arbitrariamente pequeño, obligando a ( delta ) a ser también pequeño.

También hemos elegido ( delta ) para que sea más pequeño de lo "necesario". Podríamos arreglárnoslas con un ( delta ) ligeramente más grande, como se muestra en la Figura 1.18. Las líneas exteriores discontinuas muestran los límites definidos por nuestro elección de ( epsilon ). Las líneas internas punteadas muestran los límites definidos por la configuración de ( delta = epsilon / 5 ). Observe cómo estas líneas punteadas están dentro de las líneas punteadas. Eso está perfectamente bien; eligiendo (x ) dentro de las líneas punteadas, tenemos la garantía de que (f (x) ) estará dentro de ( epsilon ) de 4.% Si el valor que finalmente usamos para ( delta ), es ( epsilon / 5 ), no es menor que 1, esta prueba no funcionará. Para la corrección final, en su lugar, establecemos ( delta ) para que sea el mínimo de 1 y ( epsilon / 5 ). De esta manera, todos los cálculos anteriores funcionan.


( text {FIGURA 1.18} ): Elegir ( delta = epsilon / 5 ) en el Ejemplo 7.

En resumen, dado ( epsilon> 0 ), establece ( delta = leq epsilon / 5 ). Entonces (| x - 2 | < delta ) implica (| x ^ 2 - 4 | < epsilon ) (es decir, (| y - 4 | < epsilon )) como se desee. Esto muestra que ( lim_ {x rightarrow 2} x ^ 2 = 4 ). La figura 1.18 ofrece una visualización de esto; al restringir (x ) a valores dentro de ( delta = epsilon / 5 ) de 2, vemos que (f (x) ) está dentro de ( epsilon ) de (4 ).

Tome nota del patrón general que se muestra en estos dos últimos ejemplos. En cierto sentido, cada uno comienza "al revés". Es decir, mientras queremos

  1. empezar con (| x-c | < delta ) y concluir que
  2. (| f (x) -L | < epsilon ),

en realidad comenzamos asumiendo

  1. (| f (x) -L | < epsilon ), luego realiza algunas manipulaciones algebraicas para dar una desigualdad de la forma
  2. (| x-c | <) alguna cosa.

Cuando hayamos hecho esto correctamente, el alguna cosa en el lado "mayor que" de la desigualdad se convierte en nuestro ( delta ). Podemos referirnos a esto como la fase "cero - trabajo" de nuestra demostración. Una vez que tenemos ( delta ), podemos comenzar formalmente con (| xc | < delta ) y usar manipulaciones algebraicas para concluir que (| f (x) -L | < epsilon ), generalmente por utilizando los mismos pasos de nuestro "scratch - work" en orden inverso.

Destacamos este proceso en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8: evaluación de un límite utilizando la definición

Demuestre que ( lim limits_ {x rightarrow 1} x ^ 3-2x = -1 ).

Solución

Comenzamos nuestro trabajo desde cero considerando (| f (x) - (-1) | < epsilon ):

[ begin {align} | f (x) - (- 1) | & < epsilon | x ^ 3-2x + 1 | & < epsilon & text {(Factor de ahora)} | (x-1) (x ^ 2 + x-1) | & < epsilon | x-1 | & < frac { epsilon} {| x ^ 2 + x-1 |}. label {eq: lim4} tag {1.3} end {align} ]

Estamos en la fase de decir que (| x-1 | <) alguna cosa, donde ( textit {algo} = epsilon / | x ^ 2 + x-1 | ). Queremos convertir eso alguna cosa en ( delta ).

Dado que (x ) se acerca a 1, podemos asumir con seguridad que (x ) está entre 0 y 2. Entonces

[ begin {align *} 0 &

Como (0

[ begin {align *} 0 &

En la ecuación eqref {eq: lim4}, queríamos (| x-1 | < epsilon / | x ^ 2 + x-1 | ). Lo anterior muestra que dado cualquier (x ) en ([0,2] ), sabemos que

[ begin {align} x ^ 2 + x-1 & <5 & text {lo que implica que} notag frac15 & < frac {1} {x ^ 2 + x-1} & text {lo que implica que} notag frac { epsilon} 5 & < frac { epsilon} {x ^ 2 + x-1}. label {eq: lim4b} tag {1.4} end {align } ]

Entonces configuramos ( delta leq epsilon / 5 ). Esto termina nuestro trabajo de cero y comenzamos la prueba formal (que también nos ayuda a entender por qué esta fue una buena elección de ( delta )).

Dado ( epsilon ), sea ( delta leq epsilon / 5 ). Queremos mostrar que cuando (| x-1 | < delta ), entonces (| (x ^ 3-2x) - (- 1) | < epsilon ). Comenzamos con (| x-1 | < delta ):

[ begin {align *} | x-1 | & < delta | x-1 | & < frac { epsilon} 5 | x-1 | & < frac epsilon5 < frac { epsilon} {| x ^ 2 + x-1 |} & text {(para (x ) cerca de 1, de la ecuación eqref {eq: lim4b})} | x-1 | cdot | x ^ 2 + x-1 | & < epsilon | x ^ 3-2x + 1 | & < epsilon | (x ^ 3-2x) - (- 1) | & < epsilon, end {align *} ]

que es lo que queríamos mostrar. Entonces ( lim limits_ {x to 1} x ^ 3-2x = -1 ).

Ilustramos la evaluación de límites una vez más.

Ejemplo 9: evaluación de un límite utilizando la definición

Demuestre que ( lim limits_ {x rightarrow 0} e ^ x = 1. )

Solución

Simbólicamente, queremos tomar la ecuación (| e ^ x - 1 | < epsilon ) y desentrañarla en la forma (| x-0 | < delta ). Aquí está nuestro cero - trabajo:

[ begin {eqnarray *} | e ^ x - 1 | < epsilon & - epsilon

Haciendo la suposición segura de que ( epsilon <1 ) asegura que la última desigualdad sea válida (es decir, que ( ln (1- epsilon) ) esté definida). Entonces podemos establecer ( delta ) para que sea el mínimo de (| ln (1- epsilon) | ) y ( ln (1+ epsilon) ); es decir.,

[ delta = min {| ln (1- epsilon) |, ln (1+ epsilon) } = ln (1+ epsilon). ]

Recuerda ( ln 1 = 0 ) y ( ln x <0 ) cuando (0

Ahora, trabajamos a través de la prueba real:

[ begin {align *} | x - 0 | & < delta - delta &

La línea anterior es verdadera por nuestra elección de ( delta ) y por el hecho de que desde (| ln (1- epsilon) |> ln (1+ epsilon) ) y ( ln ( 1- epsilon) <0 ), sabemos ( ln (1- epsilon) <- ln (1+ epsilon) ).

[ begin {align *} 1- epsilon &

En resumen, dado ( epsilon> 0 ), sea ( delta = ln (1+ epsilon) ). Entonces (| x - 0 | < delta ) implica (| e ^ x - 1 | < epsilon ) como se desee. Hemos demostrado que ( displaystyle lim_ {x rightarrow 0} e ^ x = 1. )

Observamos que en realidad podríamos mostrar que ( lim_ {x rightarrow c} e ^ x = e ^ c ) para cualquier constante (c ). Hacemos esto factorizando (e ^ c ) de ambos lados, dejándonos mostrar ( lim_ {x rightarrow c} e ^ {x-c} = 1 ) en su lugar. Al usar la sustitución (u = x-c ), esto se reduce a mostrar ( lim_ {u rightarrow 0} e ^ u = 1 ) que acabamos de hacer en el último ejemplo. Como beneficio adicional, esto muestra que, de hecho, la función (f (x) = e ^ x ) es continuo en todos los valores de (x ), un concepto importante que definiremos en la Sección 1.5.

Esta definición formal del límite no es un concepto fácil de comprender. Nuestros ejemplos son en realidad ejemplos "fáciles", que utilizan funciones "simples" como polinomios, raíces cuadradas y exponenciales. Es muy difícil probar, usando las técnicas dadas anteriormente, que ( lim limits_ {x to 0} ( sin x) / x = 1 ), como nos aproximamos en la sección anterior.

Hay esperanza. La siguiente sección muestra cómo se pueden evaluar límites complicados utilizando ciertos límites básicos como bloques de construcción. Si bien los límites son una parte increíblemente importante del cálculo (y, por lo tanto, de gran parte de las matemáticas superiores), rara vez se evalúan los límites utilizando la definición. Por el contrario, se emplean las técnicas de la siguiente sección.


P: Encuentre la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada: r = 2 - sin (theta), en theta = (pi / 3) s.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Evalúe la integral. Consulte la imagen.

A: Obtenga el rizo F de la siguiente manera.

P: Utilice el teorema de la divergencia para calcular el flujo externo neto del campo F = (2x, 3y, -z) a través de s.

A: Calcular el flujo exterior neto del campo vectorial dado a través de la superficie dada.

Q: p (q) = 2q2-4q + 5 q = 2 (a) Encuentre la derivada, usando la definición. (b) Encuentre la tasa instantánea.

A: Parte (a) La derivada de p (q) en cualquier punto q, usando la definición, estará dada por el expreso.

P: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas y dé una explicación o un contraejemplo.

P: ¿Cómo puedo obtener el resultado? Cual es el resultado?

R: Haga clic para ver la respuesta

P: ¿Es y = e2x + 4x + 3 una solución a la ecuación diferencial que se muestra a continuación? y′ − 2y = −8x − 2

A: Para probar si la función dada es una solución de la ecuación diferencial dada

A: Para encontrar la longitud del arco de r (t) = i + tj + 2tk en el intervalo [1,2]

P: Suponga que la velocidad a la que cambia la concentración de un fármaco en la sangre con respecto al tiempo.

R: Dado: La tasa de cambio de concentración de un fármaco en sangre con respecto al tiempo t es


Para el límite de una función multivariable, considere la función de dos variables . (Tenga en cuenta que lo siguiente se extiende a funciones de más de dos variables, pero en aras de la simplicidad, se discuten las funciones de dos variables). Aquí se aplica la misma definición de límite que en el caso de una variable, pero La función ahora está definida por dos variables, la distancia se mide como , todos los pares dentro de son considerados, y debería estar dentro de para todos esos pares . Como ejemplo, he aquí una prueba de que el límite de es 10 como . Reclamo: para un dado , eligiendo cumple las condiciones adecuadas para la definición de un límite: (la condición dada) se reduce a , lo que implica que y .

Ahora, por la desigualdad del triángulo, y . Si , , y si , . Así, por la elección de , , y porqué es arbitrario, un apropiado se puede encontrar por cualquier valor de por tanto, el límite es 10.


Exceder

exceder, superar, trascender, sobresalir, superar, superar significa ir o estar más allá de un límite, medida o grado establecido o implícito. exceder implica ir más allá de un límite establecido por la autoridad o establecido por la costumbre o por logros previos. exceder la superación del límite de velocidad sugiere superioridad en calidad, mérito o habilidad. el libro superado nuestras expectativas trascender implica un aumento o extensión notablemente por encima o más allá de los límites ordinarios. trascendido los valores de su cultura sobresalir implica preeminencia en el logro o la calidad y puede sugerir superioridad sobre todos los demás. sobresale en matemáticas, superar se aplica a mejorar o exceder lo que se ha hecho antes. superó ella misma esta vez sugiere superar en una carrera o competición. superado otras firmas en ventas


¿Qué se entiende por resolución en la medición?

La resolución es el incremento más pequeño que una herramienta puede detectar y mostrar.

Para un ejemplo no eléctrico, considere dos reglas. Uno marcado con marcas de sombreado de 1/16 de pulgada ofrece mayor resolución que uno marcado con marcas de sombreado de un cuarto de pulgada.

Imagine una prueba simple de una batería doméstica de 1,5 V. Si un multímetro digital tiene una resolución de 1 mV en el rango de 3 V, es posible ver un cambio de 1 mV al leer el voltaje. El usuario puede ver cambios tan pequeños como una milésima de voltio, o 0,001 en el rango de 3 V.

La resolución puede aparecer en las especificaciones de un medidor como resolución máxima, que es el valor más pequeño que se puede discernir en el ajuste de rango más bajo del medidor.

Por ejemplo, una resolución máxima de 100 mV (0,1 V) significa que cuando el rango del multímetro está configurado para medir el voltaje más alto posible, el voltaje se mostrará en la décima de voltio más cercana.

La resolución se mejora reduciendo el ajuste de rango del multímetro digital siempre que la medición esté dentro del rango establecido.


Ejemplo

El gráfico anterior muestra tres funciones:

El límite de las dos primeras funciones va a 0 cuando x va a 0. Dado que y = x 2 sin (1 / x) está intercalado entre ellas, el límite de y = x 2 sin (1 / x) también será cero. La utilidad del teorema de compresión es que encontrar límites de funciones simples como x 2 es mucho más simple que encontrar el límite para una función que fluctúa en todas partes (por ejemplo, puede usar la sustitución directa para encontrar límites para funciones simples).

Este teorema es válido tanto para secuencias como para funciones, como puedes ver en la imagen a continuación.


42 U.S. Code § 12102 - Definición de discapacidad

Para los propósitos del párrafo (1), las principales actividades de la vida incluyen, pero no se limitan a, cuidarse a sí mismo, realizar tareas manuales, ver, oír, comer, dormir, caminar, pararse, levantar objetos, inclinarse, hablar, respirar, aprender, leer. , concentrarse, pensar, comunicarse y trabajar.

Para los propósitos del párrafo (1), una actividad vital principal también incluye el funcionamiento de una función corporal principal, que incluye, entre otras, funciones del sistema inmunológico, crecimiento celular normal, digestivo, intestinal, vesical, neurológico, cerebral, respiratorio Funciones circulatorias, endocrinas y reproductivas.

Este capítulo, mencionado en el texto, estaba en el original "esta Ley", que significa Pub. L. 101–336, 26 de julio de 1990, 104 Stat. 327, que se clasifica principalmente en este capítulo. Para una clasificación completa de esta Ley al Código, consulte la nota de título breve que se establece en la sección 12101 de este título y las tablas.

La Ley de Enmiendas de la ADA de 2008, mencionada en el par. (4) (B), es la Pub. L. 110-325, 25 de septiembre de 2008, 122 Stat. 3553. La Sección 2 de la Ley, relacionada con los hallazgos y propósitos de la Ley, se establece como una nota bajo la sección 12101 de este título. Para una clasificación completa de esta Ley al Código, vea el Título Corto de la nota de Enmienda de 2008 bajo la sección 12101 de este título y las Tablas.

2008 — Pub. L. 110-325 enmendó la sección en general. Antes de la enmienda, la sección constaba de los párrs. (1) a (3) definiendo para los propósitos de este capítulo Fecha de entrada en vigencia de la Enmienda de 2008

Enmienda de la Pub. L. 110-325 a partir del 1 de enero de 2009, consulte la sección 8 de la Pub. L. 110-325, que figura como nota en la sección 705 del Título 29, Trabajo.


2.3: La definición precisa de un límite

Los límites de confianza se expresan en términos de un coeficiente de confianza. Aunque la elección del coeficiente de confianza es algo arbitraria, en la práctica se utilizan a menudo intervalos del 90%, 95% y 99%, siendo el 95% el más utilizado.

    Como norte aumenta, el intervalo se vuelve más estrecho a partir de ( sqrt) término.

Rechazamos las hipótesis nulas para nuestra prueba t de dos colas porque el valor absoluto del estadístico de prueba es mayor que el valor crítico. Si tuviéramos que realizar una prueba superior de una cola, el valor crítico sería t 1-& alpha, & nu = 1,6527, y todavía rechazaríamos la hipótesis nula.

El intervalo de confianza proporciona una alternativa a la prueba de hipótesis. Si el intervalo de confianza contiene 5, entonces H 0 no se puede rechazar. En nuestro ejemplo, el intervalo de confianza (9.258242, 9.264679) no contiene 5, lo que indica que la media de la población no es igual a 5 en el nivel de significancia de 0.05.

En general, hay tres posibles hipótesis alternativas y regiones de rechazo para la prueba t de una muestra:


Un ejemplo de cálculo del límite de tres sigma

Consideremos una empresa de fabricación que ejecuta una serie de 10 pruebas para determinar si existe una variación en la calidad de sus productos. Los puntos de datos para las 10 pruebas son 8.4, 8.5, 9.1, 9.3, 9.4, 9.5, 9.7, 9.7, 9.9 y 9.9.

  1. Primero, calcular la media de los datos observados. (8,4 + 8,5 + 9,1 + 9,3 + 9,4 + 9,5 + 9,7 + 9,7 + 9,9 + 9,9) / 10, lo que equivale a 93,4 / 10 = 9,34.
  2. Segundo, calcular la varianza del conjunto. La varianza es la dispersión entre los puntos de datos y se calcula como la suma de los cuadrados de la diferencia entre cada punto de datos y la media dividida por el número de observaciones. El primer cuadrado de diferencia se calculará como (8.4 - 9.34) 2 = 0.8836, el segundo cuadrado de diferencia será (8.5 - 9.34) 2 = 0.7056, el tercer cuadrado se puede calcular como (9.1 - 9.34) 2 = 0.0576, y pronto. La suma de los diferentes cuadrados de los 10 puntos de datos es 2.564. La varianza es, por lo tanto, 2.564 / 10 = 0.2564.
  3. Tercero, calcular la desviación estándar, que es simplemente la raíz cuadrada de la varianza. Entonces, la desviación estándar = √0.2564 = 0.5064.
  4. Cuatro, calcular tres sigma, que es tres desviaciones estándar por encima de la media. En formato numérico, esto es (3 x 0,5064) + 9,34 = 10,9. Dado que ninguno de los datos está en un punto tan alto, el proceso de prueba de fabricación aún no ha alcanzado niveles de calidad de tres sigma.

Prueba de SARS-CoV2: el límite de la detección importa

La resolución de la pandemia de COVID-19 requiere pruebas de diagnóstico para determinar qué personas están infectadas y cuáles no. El estándar de oro actual es realizar RT-PCR en muestras nasofaríngeas. Los mejores ensayos de su clase demuestran un límite de detección (LoD) de

100 copias de ARN viral por mililitro de medio de transporte. Sin embargo, los LoD de los ensayos aprobados actualmente varían más de 10,000 veces. Los ensayos con LdD más altos no detectarán más pacientes infectados, lo que dará como resultado más falsos negativos. Sin embargo, se desconoce la tasa de falsos negativos para un LoD determinado. Aquí abordamos esta pregunta utilizando más de 27,500 resultados de pruebas para pacientes de toda nuestra red de atención médica probados con Abbott RealTime SARS-CoV-2 EUA. Estos resultados sugieren que se espera que cada aumento de 10 veces en el LoD aumente la tasa de falsos negativos en un 13%, omitiendo uno de cada ocho pacientes infectados. Los LoD más altos del mercado perderán a la mayoría de los pacientes infectados, con tasas de falsos negativos de hasta el 70%. Estos resultados sugieren que la elección del ensayo tiene importantes consecuencias clínicas y epidemiológicas. El límite de detección importa.


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