Artículos

4.E: La Integral Definida (Ejercicios) - Matemáticas


4.1: Determinación de la distancia recorrida a partir de la velocidad

1. Suponga que la función de velocidad del ciclista viene dada por la gráfica de la Figura 4.9 en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 4 (donde t se mide en horas), y que

Figura 4.9: La gráfica de la velocidad del ciclista, y = v (t), a la izquierda. A la derecha, ejes para trazar un croquis aproximado de y = s (t).

(a) Aproximadamente, ¿qué tan lejos al norte de Pigeon Lake estaba el ciclista cuando estaba a la mayor distancia de Pigeon Lake? ¿A qué hora ocurrió esto?

(b) ¿Cuál es el cambio total de posición del ciclista en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 2? En t = 2, ¿estaba al norte o al sur de Pigeon Lake?

(c) ¿Cuál es la distancia total que recorrió el ciclista en 0 ≤ t ≤ 4? Al final del viaje, ¿qué tan cerca estaba del punto en el que comenzó?

(d) Dibuje una gráfica aproximada de y = s (t), la función de posición del ciclista, en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4. Rotule al menos cuatro puntos importantes en la gráfica de s.

2. Un cohete de juguete se lanza verticalmente desde el suelo en un día sin viento. La velocidad vertical del cohete en el tiempo t (en segundos) viene dada por v (t) = 500 - 32t pies / seg.

(a) ¿En qué momento después de que se lanza el cohete la velocidad del cohete es igual a cero? Llame a este valor de tiempo a. ¿Qué le sucede al cohete en t = a?

(b) Encuentre el valor del área total encerrada por y = v (t) y el eje t en el intervalo 0 ≤ t ≤ a. ¿Qué representa esta área en términos del entorno físico 219 del problema?

(c) Encuentre una antiderivada s de la función v. Es decir, encuentre una función s tal que s 0 (t) = v (t).

(d) Calcule el valor de s (a) - s (0). ¿Qué representa este número en términos del entorno físico del problema?

(e) Calcule s (5) - s (1). ¿Qué te dice este número sobre el vuelo del cohete?

3. Un objeto que se mueve a lo largo de un eje horizontal tiene su velocidad instantánea en el tiempo t en segundos dada por la función v representada en la figura 4.10, donde v se mide en pies / seg. Suponga que las curvas que forman las partes de la gráfica de y = v (t) son

Figura 4.10: La gráfica de y = v (t), la función de velocidad de un objeto en movimiento.

porciones de líneas rectas o porciones de círculos.

(a) Determine la distancia total exacta que recorrió el objeto en 0 ≤ t ≤ 2.

(b) ¿Cuál es el valor y el significado de s (5) - s (2), donde y = s (t) es la función de posición del objeto en movimiento?

(c) ¿En qué intervalo de tiempo viajó el objeto la mayor distancia: [0, 2], [2, 4] o [5, 7]?

(d) ¿En qué intervalo (s) de tiempo aumenta la función de posición s? ¿En qué punto (s) s alcanza un máximo relativo?

4. Los filtros en una planta de tratamiento de agua se ensucian más con el tiempo y por lo tanto se vuelven menos efectivos; se reemplazan cada 30 días. Durante un período de 30 días, la velocidad a la que la contaminación pasa a través de los filtros hacia un lago cercano (en unidades de material particulado por día) se mide cada 6 días y se muestra en la siguiente tabla. El tiempo t se mide en días desde que se reemplazaron los filtros.

(a) Grafique los datos dados en un conjunto de ejes con el tiempo en el eje horizontal y la tasa de contaminación en el eje vertical.

(b) Explique por qué la cantidad de contaminación que ingresó al lago durante este período de 30 días estaría dada exactamente por el área delimitada por y = p (t) y el eje t en el intervalo de tiempo [0, 30].

(c) Estime la cantidad total de contaminación que ingresa al lago durante este período de 30 días. Explique cuidadosamente cómo determinó su estimación.

4.2: Sumas de Riemann

1. Considere la función f (x) = 3x + 4.

(a) Calcule M4 para y = f (x) en el intervalo [2, 5]. Asegúrese de identificar claramente el valor de 4x, así como las ubicaciones de x0, x1,. ., x4. Incluya un bosquejo cuidadoso de la función y los rectángulos correspondientes que se utilizan en la suma.

(b) Use una fórmula geométrica familiar para determinar el valor exacto del área de la región delimitada por y = f (x) y el eje x en [2, 5].

(c) Explique por qué los valores que calculó en (a) y (b) resultan ser los mismos. ¿Será esto cierto si usamos un número diferente de n = 4 y calculamos Mn? ¿Tendrán L4 o R4 el mismo valor que el área exacta de la región que se encuentra en (b)?

(d) Describa la colección de funciones g para las cuales siempre será el caso de que Mn, independientemente del valor de n, dé el área neta exacta con signo acotada entre la función gy el eje x en el intervalo [a, b ].

2. Sea S la suma dada por S = ((1.4) 2 + 1) · 0.4 + ((1.8) 2 + 1) · 0.4 + ((2.2) 2 + 1) · 0.4 + ((2.6) 2+ 1) · 0,4 + ((3,0) 2 + 1) · 0,4.

(a) Suponga que S es una suma de Riemann correcta. ¿Para qué función f y qué intervalo [a, b] es S una aproximación del área debajo de f y por encima del eje x en [a, b]? ¿Por qué? 232 4.2. SUMAS RIEMANN

(b) ¿Cómo cambia su respuesta a (a) si S es una suma de Riemann izquierda? una suma de Riemann media?

(c) Suponga que S realmente es una suma de Riemann correcta. ¿A qué cantidad geométrica se aproxima S?

(d) Use la notación sigma para escribir una nueva suma R que sea la suma de Riemann correcta para la misma función, pero que use el doble de subintervalos que S.

3. Un automóvil que viaja por una carretera recta está frenando y su velocidad se mide en varios puntos diferentes en el tiempo, como se muestra en la siguiente tabla.

(a) Grafique los datos dados en un conjunto de ejes con el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical.

(b) Estime la distancia total recorrida durante el automóvil que el tiempo frena usando una suma de Riemann media con 3 subintervalos.

(c) Estime la distancia total recorrida en [0, 1.8] calculando L6, R6 y 1 2 (L6 + R6).

(d) Suponiendo que v (t) siempre disminuye en [0, 1.8], ¿cuál es la distancia máxima posible que recorrió el automóvil antes de detenerse? ¿Por qué?

4. La velocidad a la que la contaminación escapa de un proceso de depuración en una planta de fabricación aumenta con el tiempo a medida que los filtros y otras tecnologías se vuelven menos eficaces. Para este ejemplo en particular, suponga que la tasa de contaminación (en toneladas por semana) viene dada por la función r que se muestra en la Figura 4.18.

Figura 4.18: La tasa, r (t), de contaminación en toneladas por semana.

(a) Utilice la gráfica para estimar el valor de M4 en el intervalo [0, 4]. 4.2. RIEMANN SUMAS 233

(b) ¿Cuál es el significado de M4 en términos de la contaminación descargada por la planta?

(c) Suponga que r (t) = 0.5e 0.5t. Utilice esta fórmula para r para calcular L5 en [0, 4].

(d) Determine un límite superior en la cantidad total de contaminación que puede escapar de la planta durante el período de cuatro semanas ilustrado que sea exacto dentro de un error de como máximo una tonelada de contaminación.

4.3: La integral definida

1. La velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje está dada por la función lineal por partes v que se muestra en la figura 4.29. Suponga que el objeto se mueve hacia la derecha cuando su 4.3. La velocidad es positiva y se mueve hacia la izquierda cuando su velocidad es negativa. Suponga que la función de velocidad dada es válida para t = 0 at = 4.

Figura 4.29: La función de velocidad de un objeto en movimiento.

(a) Escriba una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea el cambio total en la posición del objeto en el intervalo [0, 4].

(b) Utilice la gráfica proporcionada de v para determinar el valor del cambio total de posición en [0, 4].

(c) Escriba una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea la distancia total recorrida por el objeto en [0, 4]. ¿Cuál es el valor exacto de la distancia total recorrida en [0, 4]?

(d) ¿Cuál es la velocidad promedio exacta del objeto en [0, 4]?

(e) Encuentre una fórmula algebraica para la función de posición del objeto en [0, 1.5] que satisfaga s (0) = 0.

2. Suponga que la velocidad de un objeto en movimiento está dada por v (t) = t (t - 1) (t - 3), medida en pies por segundo, y que esta función es válida para 0 ≤ t ≤ 4.

(a) Escriba una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea el cambio total en la posición del objeto en el intervalo [0, 4].

(b) Utilice tecnología apropiada (como http://gvsu.edu/s/a99) para calcular sumas de Riemann para estimar el cambio total de posición del objeto en [0, 4]. Trabaje para asegurarse de que su estimación sea precisa con dos decimales y explique cómo sabe que este es el caso.

(c) Escriba una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea la distancia total recorrida por el objeto en [0, 4]. 9Marc Renault, Universidad de Shippensburg. 248 4.3. EL INTEGRAL DEFINIDO

(d) Use la tecnología apropiada para calcular sumas de Riemann para estimar la distancia total recorrida por el objeto en [0, 4]. Trabaje para asegurarse de que su estimación sea precisa con dos decimales y explique cómo sabe que este es el caso.

(e) ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto en [0, 4], con una precisión de dos decimales? 3. Considere las gráficas de dos funciones f y g que se proporcionan en la figura 4.30. Cada pieza de fyg es parte de una línea recta o parte de un círculo.

Figura 4.30: Dos funciones f y g.

(a) Determine el valor exacto de R 1 0 [f (x) + g (x)] dx.

(b) Determine el valor exacto de R 4 1 [2 f (x) - 3g (x)] dx.

(c) Encuentre el valor promedio exacto de h (x) = g (x) - f (x) en [0, 4].

(d) ¿Para qué constante c se mantiene la siguiente ecuación? Z 4 0 c dx = Z 4 0 [f (x) + g (x)] dx

4. Sea f (x) = 3 - x 2 y g (x) = 2x 2.

(a) En el intervalo [−1, 1], dibuje una gráfica etiquetada de y = f (x) y escriba una integral definida cuyo valor sea el área exacta acotada por y = f (x) en [−1, 1] .

(b) En el intervalo [−1, 1], dibuje una gráfica etiquetada de y = g (x) y escriba una integral definida cuyo valor sea el área exacta limitada por y = g (x) en [−1, 1] .

(c) Escriba una expresión que implique una diferencia de integrales definidas cuyo valor sea el área exacta que se encuentra entre y = f (x) y y = g (x) en [−1, 1].

(d) Explique por qué su expresión en (c) tiene el mismo valor que la integral simple R 1 −1 [f (x) - g (x)] dx.

(e) Explique por qué, en general, si p (x) ≥ q (x) para todo x en [a, b], el área exacta entre y = p (x) y y = q (x) está dada por Z ba [p (x) - q (x)] dx.

4.4: El teorema fundamental del cálculo

Ejercicios

1. La velocidad instantánea (en metros por minuto) de un objeto en movimiento viene dada por la función v como se muestra en la figura 4.37. Suponga que en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4, v (t) viene dado por v (t) = - 1 4 t 3 + 3 2 t 2 + 1, y que en cada otro intervalo v es lineal por partes, como se muestra.

(a) Determine la distancia exacta recorrida por el objeto en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 4.

(b) ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto en [12, 24]?

(c) ¿En qué momento es mayor la aceleración del objeto?

(d) Suponga que la velocidad del objeto aumenta en un valor constante c para todos los valores de t. ¿Qué valor de c hará que la distancia total recorrida por el objeto en [12, 24] sea de 210 metros?

Figura 4.37: La función de velocidad de un cuerpo en movimiento.

2. Una función f viene dada por partes por la fórmula f (x) =     −x 2 + 2x + 1, si 0 ≤ x <2 −x + 3, si 2 ≤ x <3 x 2 - 8x + 15, si 3 ≤ x ≤ 5

(a) Determine el valor exacto del área neta con signo encerrada por f y el eje x en el intervalo [2, 5].

(b) Calcule el valor promedio exacto de f en [0, 5].

(c) Encuentre una fórmula para una función g en 5 ≤ x ≤ 7 de modo que si ampliamos la definición anterior de f de modo que f (x) = g (x) si 5 ≤ x ≤ 7, se sigue que R 7 0 f (x) dx = 0.

3. Cuando una aeronave intenta ascender lo más rápido posible, su velocidad de ascenso (en pies por minuto) disminuye a medida que aumenta la altitud, porque el aire es menos denso en altitudes más altas. A continuación se muestra una tabla que muestra los datos de rendimiento de una determinada aeronave de un solo motor, con su tasa de ascenso a varias altitudes, donde c (h) denota la tasa de ascenso del avión a una altitud h.

Supongamos que una nueva función llamada m (h) mida el número de minutos necesarios para que un avión a una altitud h suba el siguiente pie de altitud.

(a) Determine una tabla similar de valores para m (h) y explique cómo se relaciona con la tabla anterior. Asegúrese de explicar las unidades.

(b) Dé una interpretación cuidadosa de una función cuya derivada es m (h). Describe cuál es la entrada y cuál es la salida. Además, explique en un lenguaje sencillo lo que nos dice la función. 264 4.4. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

(c) Determine una integral definida cuyo valor nos indique exactamente el número de minutos que necesita el avión para ascender a 10,000 pies de altitud. Explique claramente por qué el valor de esta integral tiene el significado requerido.

(d) Utilice la suma de Riemann M5 para estimar el valor de la integral que encontró en (c). Incluya unidades en su resultado.

4. En el Capítulo 1, mostramos que para un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta con la función de posición s (t), la “velocidad promedio del objeto en el intervalo [a, b]” viene dada por AV [a, b] = s (b) - s (a) b - a. Más recientemente, en el Capítulo 4, encontramos que para un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta con la función de velocidad v (t), el “valor promedio de su función de velocidad en [a, b]” del objeto es vAVG [a, b] = 1 b - a Z bav (t) dt. ¿Son la “velocidad promedio en el intervalo [a, b]” y el “valor promedio de la función de velocidad en [a, b]” lo mismo? ¿Por qué o por qué no? Explicar.


Cálculo de áreas & # 8211 Integral definida

La integral definida de una función se utiliza para calcular las áreas de regiones planas, que están delimitadas por curvas y líneas rectas.

Bioprofe | Cálculo de áreas & # 8211 Integral definida | 01


RD Sharma Class 12 Solutions Capítulo 20 Integrales definidas Ej 20.1

Integrales definidas Ej 20.1 Q1

Integrales definidas Ej 20.1 Q2

Integrales definidas Ej 20.1 Q3

Integrales definidas Ej 20.1 Q4

Integrales definidas Ej 20.1 Q5

Integrales definidas Ej 20.1 P6

Integrales definidas Ej 20.1 P7

Integrales definidas Ej 20.1 Q8

Integrales definidas Ej 20.1 P9

Integrales definidas Ex 20.1 Q10

Integrales definidas Ej 20.1 Q11

Integrales definidas Ej 20.1 Q12

Integrales definidas Ej 20.1 Q13

Integrales definidas Ej 20.1 Q14

Integrales definidas Ej 20.1 Q15

Integrales definidas Ej 20.1 Q16


Integrales definidas Ej 20.1 Q17

Integrales definidas Ej 20.1 Q18

Integrales definidas Ej 20.1 Q19

Integrales definidas Ex 20.1 Q20

Integrales definidas Ej 20.1 P21

Integrales definidas Ej 20.1 Q22

Integrales definidas Ej 20.1 P23

Integrales definidas Ej 20.1 Q24

Integrales definidas Ex 20.1 Q25

Integrales definidas Ej 20.1 P26

Integrales definidas Ej 20.1 Q27

Integrales definidas Ej 20.1 Q28

Integrales definidas Ej 20.1 P29

Integrales definidas Ex 20.1 Q30

Integrales definidas Ej 20.1 Q31

Integrales definidas Ej 20.1 Q32

Integrales definidas Ej 20.1 P33

Integrales definidas Ej 20.1 P34

Integrales definidas Ej 20.1 Q35

Integrales definidas Ej 20.1 P36

Integrales definidas Ej 20.1 Q37

Integrales definidas Ej 20.1 P38

Integrales definidas Ej 20.1 Q39

Integrales definidas Ex 20.1 Q40

Integrales definidas Ej 20.1 Q41

Integrales definidas Ej 20.1 Q42

Integrales definidas Ej 20.1 P43

Integrales definidas Ej 20.1 Q44

Integrales definidas Ej 20.1 Q45

Integrales definidas Ej 20.1 P46

Integrales definidas Ej 20.1 Q47

Integrales definidas Ej 20.1 Q48

Integrales definidas Ej 20.1 Q49

Integrales definidas Ex 20.1 Q50

Integrales definidas Ej 20.1 Q51

Integrales definidas Ej 20.1 Q52

Integrales definidas Ej 20.1 Q53

Integrales definidas Ej 20.1 Q54

Integrales definidas Ej 20.1 Q55

Integrales definidas Ej 20.1 Q56

Integrales definidas Ej 20.1 Q57

Integrales definidas Ej 20.1 Q58

Integrales definidas Ej 20.1 Q59

Integrales definidas Ex 20.1 Q60

Integrales definidas Ej 20.1 Q61

Integrales definidas Ej 20.1 Q62

Integrales definidas Ej 20.1 Q63


Integrales definidas Ex 20.1 Q64

Integrales definidas Ex 20.1 Q65

Integrales definidas Ej 20.1 P66

Integrales definidas Ej 20.1 Q67


Si $ f (x) $ es par, entonces $ f (-x) = f (x) $. Entonces $ int_ <-2> ^ 2 f (x) , mathrmx = int_ <-2> ^ 0 f (x) , mathrmx + int_0 ^ 2 f (x) , mathrmx = int_0 ^ 2 f (-x) , mathrmx + int_0 ^ 2 f (x) , mathrmx $

Pero entonces $ f (-x) = f (x) $ de modo que se simplifica a $ 2 int_0 ^ 2 f $.

De manera similar, si $ f $ es impar, es decir: $ f (-x) = -f (x) $ obtenemos $ int_ <-2> ^ 2 f (x) , mathrmx = int_ <-2> ^ 0 f (x) , mathrmx + int_0 ^ 2 f (x) , mathrmx = int_0 ^ 2 f (-x) , mathrmx + int_0 ^ 2 f (x) , mathrmx = 0 $

Comience dividiendo la integral en dos partes, la parte sobre valores negativos de $ x $ y la parte sobre valores positivos.

Desde aquí puede aplicar la definición de una función par o impar

juntando esto tenemos $ int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ 0 f (x) dx + int_0 ^ bf (x) dx = int_0 ^ <-a> f (-x) dx + int_0 ^ bf (x) dx $ si tenemos límites simétricos, es decir, $ | a | = | b | $ o $ a = - b $ entonces tenemos $ int_ <-b> ^ f (x) dx = int_0 ^f (-x) dx + int_0 ^ bf (x) dx = int_0 ^ bf (-x) + f (x) dx $ La parte final es cuál es la paridad de una función, el ejemplo que tenemos aquí es impar / incluso en este sentido $ f (-x) = -f (x) text f (-x) = f (x) texto $ para que podamos reemplazar esto en la integral. $ int_ <-b> ^ f (x) dx = int_0 ^ b -f (x) + f (x) dx = int_0 ^ b 0 dx texto int_ <-b> ^ f (x) dx = int_0 ^ b f (x) + f (x) dx = int_0 ^ b 2f (x) dx texto $

La intuición para esto proviene de las imágenes (aunque también podría demostrarse rigurosamente). Si una función es par, entonces es simétrica con respecto al eje y. Por lo tanto, cuando lo integras solo necesitas integrar la mitad (mayor que cero parte o menos que cero parte) y duplicar tu respuesta.

Si la función es impar, también es simétrica con respecto al eje y, espere que esta vez un lado sea el negativo del otro. Esto significa que cuando sume la integral de las dos mitades, se cancelarán y obtendrá cero como respuesta.


Trigonometría


B.
: Dado, $ 2sin Phi + sqrt 3 = 0 $
o, $ 2sin Phi = - sqrt 3 $
o $ sin Phi = - frac << sqrt 3 >> <2> $
aquí, $ cuando : Phi = 60 ^ < circ>, sin Phi = frac << sqrt 3 >> <2> $
entonces, cualquiera. $ Phi = left (<180 ^ < circ> + 60 ^ < circ >> right) = 240 ^ < circ> $
o $ Phi = left (<360 ^ < circ> - 60 ^ < circ >> right) = 300 ^ < circ> $
Entonces, $ Phi = 240 ^ < circ>, 300 ^ < circ> $

D.
: Dado, $ 2cos Phi + 1 = 0 $
o $ 2cos Phi = - 1 $
o $ cos Phi = - frac <1> <2> $
aquí, $ cuando : Phi = 60 ^ < circ>, cos Phi = frac <1> <2> $
entonces, cualquiera. $ Phi = left (<180 ^ < circ> - 60 ^ < circ >> right) = 120 ^ < circ> $
o $ Phi = left (<180 ^ < circ> + 60 ^ < circ >> right) = 240 ^ < circ> $
Entonces, $ Phi = 240 ^ < circ>, 120 ^ < circ> $

mi.
: Dado, $ tan Phi = surd 3 $
Aquí, $ cuando : Phi = 60 ^ < circ>, tan Phi = surd 3 $
Entonces, O bien, $ Phi = 60 ^ < circ> $
O $ Phi = 180 ^ < circ> + 60 ^ < circ> = 240 ^ < circ> $
Entonces, $ Phi = 240 ^ < circ>, 60 ^ < circ> $

F.
: Dado, $ sqrt 3 tan Phi + 1 = 0 $
o $ sqrt 3 tan Phi = - 1 $
o $ tan Phi = - frac <1> << sqrt 3 >> $
aquí, $ cuando : Phi = 30 ^ < circ>, cos Phi = frac <1> << sqrt 3 >> $
entonces, cualquiera. $ Phi = left (<180 ^ < circ> - 30 ^ < circ >> right) = 150 ^ < circ> $
o $ Phi = left (<360 ^ < circ> - 30 ^ < circ >> right) = 330 ^ < circ> $
Entonces, $ Phi = 330 ^ < circ>, 150 ^ < circ> $

gramo.
: Dado, $ sec Phi = 2 $
Aquí, $ cuando : Phi = 60 ^ < circ>, sec Phi = 2 $
Entonces, O bien, $ Phi = 60 ^ < circ> $
O $ Phi = 360 ^ < circ> - 60 ^ < circ> = 300 ^ < circ> $
Entonces, $ Phi = 300 ^ < circ>, 60 ^ < circ> $

h.
: Dado, $ sqrt 2 seg Phi + 2 = 0 $
o $ sqrt 2 seg Phi = - 2 $
o $ seg Phi = - frac <2> << sqrt 2 >> = - sqrt 2 $
aquí, $ cuando : Phi = 45 ^ < circ>, sec Phi = sqrt 2 $
entonces, cualquiera. $ Phi = left (<180 ^ < circ> - 45 ^ < circ >> right) = 135 ^ < circ> $
o $ Phi = left (<180 ^ < circ> + 45 ^ < circ >> right) = 225 ^ < circ> $
Entonces, $ Phi = 225 ^ < circ>, 135 ^ < circ> $


dónde t es una nueva variable yj es una función continuamente diferenciable, tenemos

Su objetivo es elegir la función j de tal manera que el lado derecho de (1) sea más conveniente para la integración.

Ejemplo 1. Encontrar

Solución: Es natural establecer t = Ã (x - 1), de donde x = t² + 1 y dx = 2tdt. Por lo tanto,

A veces, usa sustituciones de la forma

Supongamos que hemos logrado transformar el integrando F(X)dx a la forma

De hecho, ya usamos este método en 1.3. Los ejemplos 2, 3, 4 de 4.1.2 se pueden resolver de la siguiente manera:

Ejemplo 2: u = 5x - 2, du = 2xdx, dx = du / 2.

Ejemplo 3: tu = x², du = 2xdx, xdx = du / 2.

Ejemplo 4: u = x³, du = 3x², x²dx = du / 3.

1) Si una integral contiene la raíz à (a² - x²), es estándar establecer x = a sin t, de donde

2) Si una integral contiene la raíz à ( X² - a²), establecimos x = a sec t, de donde 3)

3) Si una integral contiene la raíz à ( X²+ un²), establecemos x = tan t de donde

Tenga en cuenta que las sustituciones trigonométricas no siempre resultan ventajosas.

A veces es más conveniente hacer uso de sustituciones hiperbólicas. , que son similares a las sustituciones trigonométricas (cf. Ejemplo 1209).

Para obtener más detalles sobre las sustituciones trigonométricas e hiperbólicas, consulte 4.9.

Ejemplo 5. Encontrar

Solución: Establezca x = tan t, de donde dx = dt / cos²t.


Pagina principal

La wiki de Encyclopedia of Mathematics es un recurso de acceso abierto diseñado específicamente para la comunidad matemática. Los artículos originales son de la Encyclopaedia of Mathematics en línea, publicada por Kluwer Academic Publishers en 2002. Con más de 8,000 entradas, iluminando casi 50,000 nociones en matemáticas, la Encyclopaedia of Mathematics fue el trabajo de referencia de nivel de posgrado más actualizado en el campo de las matemáticas.

Springer, en cooperación con la Sociedad Matemática Europea, ha hecho que el contenido de esta Enciclopedia esté libremente abierto al público. Se espera que la comunidad matemática lo encuentre útil y esté motivado para actualizar aquellos temas que caen dentro de su propia experiencia o agregar nuevos temas que permitan que la wiki se convierta una vez más en el trabajo de referencia matemático en línea más completo y actualizado.

Los artículos originales de la Encyclopaedia of Mathematics siguen siendo propiedad de Springer, pero cualquier artículo nuevo que se agregue y cualquier cambio realizado en los artículos existentes dentro de encyclopediaofmath.org vendrán bajo la licencia Creative Commons Attribution Share-Alike. Un consejo editorial, bajo la dirección de la Sociedad Matemática Europea, supervisa cualquier cambio en los artículos y tiene autoridad científica completa sobre las alteraciones y eliminaciones.

Este wiki es un MediaWiki que usa la extensión MathJax, lo que permite insertar ecuaciones matemáticas en $ rm TeX $ y $ rm LaTeX $. Para obtener instrucciones sobre cómo se puede lograr esto, consulte la página de ayuda.

Páginas A-Z
Índice ordenado alfabéticamente de todas las páginas

Cambios recientes
Lista de cambios anteriores en EOM

Charla del proyecto EoM
Discuta el proyecto EoM con otros

Categorías de la MOE
Cómo categorizar las páginas de la EoM (aún en discusión)


La herramienta n. ° 1 para crear demostraciones y todo lo técnico.

Explore cualquier cosa con el primer motor de conocimiento computacional.

Explore miles de aplicaciones gratuitas en ciencia, matemáticas, ingeniería, tecnología, negocios, arte, finanzas, ciencias sociales y más.

Únase a la iniciativa para modernizar la educación matemática.

Resuelva integrales con Wolfram | Alpha.

Repase los problemas de las tareas, paso a paso, de principio a fin. Las sugerencias le ayudarán a intentar el siguiente paso por su cuenta.

Problemas de práctica aleatorios ilimitados y respuestas con soluciones integradas paso a paso. Practique en línea o haga una hoja de estudio imprimible.

Colección de herramientas de enseñanza y aprendizaje creadas por expertos en educación de Wolfram: libro de texto dinámico, planes de lecciones, widgets, demostraciones interactivas y más.


Integral indefinida

es decir, sin límites superior e inferior, también llamado antiderivada. El primer teorema fundamental del cálculo permite calcular integrales definidas en términos de integrales indefinidas. En particular, este teorema establece que si es la integral indefinida de una función compleja, entonces

Este resultado, aunque enseñado temprano en los cursos de cálculo elemental, es en realidad un resultado muy profundo que conecta la integral indefinida puramente algebraica y la integral definida puramente analítica (o geométrica). La integración indefinida se implementa en Wolfram Language como Integrar[F, z].

Dado que la derivada de una constante es cero, cualquier constante puede agregarse a una antiderivada y seguirá correspondiendo a la misma integral. Otra forma de decir esto es que la antiderivada es una inversa no única de la derivada. Por esta razón, las integrales indefinidas a menudo se escriben en la forma

donde es una constante arbitraria conocida como constante de integración. Wolfram Language devuelve integrales indefinidas sin constantes explícitas de integración. Esto significa que, dependiendo de la forma utilizada para el integrando, se pueden obtener antiderivadas y que se diferencian por una constante (o, más generalmente, una función constante por partes). También significa que Integrar[F+gramo, z] puede diferir de Integrar[F, z] + Integrar[gramo, z] por una constante arbitraria (por partes).

Tenga en cuenta que las integrales indefinidas definidas algebraicamente tratan con cantidades complejas. Sin embargo, muchos libros de texto de cálculo elemental escriben fórmulas como

(donde la notación se usa para indicar que se supone que es un número real) en lugar de la versión de variable compleja

donde es genéricamente un número complejo (pero también es válido para real). Definir una especie de integral indefinida & quot; solo real & quot; tal vez se haga para que los estudiantes puedan aplicar el primer teorema fundamental de cálculo usando una integral de Riemann y obtener respuestas correctas mientras se evita por completo el uso de análisis complejos, funciones multivalor, etc. (aunque debería ser así). señaló que el primer teorema fundamental del cálculo solo se aplica si el integrando es continuo en el intervalo de integración, por lo que se debe hacer la estipulación adicional que se puede aplicar solo si el intervalo no contiene 0.)

Sin embargo, este trabajo (y Wolfram Language) evitan la definición & quot; sólo real & quot ;, ya que la inclusión del valor absoluto significa que la integral indefinida ya no es válida para una variable compleja genérica (la presencia de las medias las ecuaciones de Cauchy-Riemann ya no puede sostenerse), y también viola la definición puramente algebraica de integrales indefinidas. Dado que el problema físico implica integrales definidas, es mucho más sensato ceñirse a las definiciones habituales de complejo / algebraico de integración indefinida. En otras palabras, mientras que la integral de Riemann

da la respuesta correcta (y evita cantidades complejas en el camino), también lo hace la integral compleja

mientras que la última forma conserva los beneficios del carácter genérico y, al mismo tiempo, prepara a los estudiantes para la herramienta extremadamente poderosa de análisis complejo que deberían conocer y que probablemente aprenderán en breve en cualquier caso.

Liouville demostró que las integrales

no se puede expresar en términos de un número finito de funciones elementales. Estos dan lugar a las funciones

(Havil 2003, p. 105), que se denominan erf, la integral exponencial, la integral del seno, la integral del coseno y la integral logarítmica, respectivamente. La integral de cualquier función de la forma, donde es una función racional, se reduce a integrales elementales y la función (Havil 2003, p. 106).

Otros irreducibles incluyen

(cf. Marchisotto y Zakeri 1994), los últimos de los cuales pueden escribirse en forma cerrada como

Chebyshev demostró que si,, y son números racionales, entonces

es integrable en términos de funciones elementales sif,, o es un número entero (Ritt 1948, Shanks 1993).

La integración para la entrada general es un problema complicado para el software de matemáticas simbólicas. De hecho, muchas integrales indefinidas simples, como

donde está el dilogaritmo, no se puede hacer con sistemas de software muy sofisticados, incluido Wolfram Language.

A continuación se resume una selección de integrales indefinidas para funciones de potencia


Integral

El término "integral" puede referirse a varios conceptos diferentes en matemáticas. El significado más común es el objeto fundamental del cálculo correspondiente a la suma de piezas infinitesimales para encontrar el contenido de una región continua. Otros usos de & quotintegral & quot incluyen valores que siempre toman valores enteros (p. Ej., Incrustación integral, gráfico integral), objetos matemáticos para los cuales los números enteros forman ejemplos básicos (p. Ej., Dominio integral) y valores particulares de una ecuación (p. Ej., Curva integral),

En cálculo, una integral es un objeto matemático que puede interpretarse como un área o una generalización de un área. Las integrales, junto con las derivadas, son los objetos fundamentales del cálculo. Otras palabras para integral incluyen antiderivada y primitiva. El proceso de calcular una integral se llama integración (un término más arcaico para la integración es cuadratura), y el cálculo aproximado de una integral se denomina integración numérica.

La integral de Riemann es la definición integral más simple y la única que se encuentra generalmente en física y cálculo elemental. De hecho, según Jeffreys y Jeffreys (1988, p. 29), "parece que los casos en los que estos métodos [es decir, generalizaciones de la integral de Riemann] son ​​aplicables y la [definición de integral de Riemann] no lo es son demasiado raros en física para Paga la dificultad extra. & quot

La integral de Riemann de la función de a se escribe

Tenga en cuenta que si, la integral se escribe simplemente

Cada definición de integral se basa en una medida particular. Por ejemplo, la integral de Riemann se basa en la medida de Jordan y la integral de Lebesgue se basa en la medida de Lebesgue. Además, dependiendo del contexto, se puede usar cualquiera de una variedad de otras notaciones integrales. Por ejemplo, la integral de Lebesgue de una función integrable sobre un conjunto que es medible con respecto a una medida se escribe a menudo

En el caso de que el conjunto en () sea un intervalo, generalmente se adopta la notación & quotsubscript-superscript & quot de (2). Otra generalización de la integral de Riemann es la integral de Stieltjes, donde la función integrando definida en un intervalo cerrado puede integrarse contra una función acotada de valor real definida en, cuyo resultado tiene la forma

Otro escenario más en el que la notación puede cambiar se produce en el estudio de la geometría diferencial, en el que el integrando se considera un diferencial más general. k-form y se puede integrar en un conjunto usando cualquiera de las notaciones equivalentes

donde es la medida de Lebesgue antes mencionada. Cabe señalar que la notación en el lado izquierdo de la ecuación () es similar a la de la expresión () anterior.

Hay dos clases de integrales (de Riemann): integrales definidas como (5), que tienen límites superior e inferior, e integrales indefinidas, como

que están escritos sin límites. El primer teorema fundamental del cálculo permite calcular integrales definidas en términos de integrales indefinidas, ya que si es la integral indefinida de, entonces

Es más, el primer teorema fundamental del cálculo se puede reescribir de manera más general en términos de formas diferenciales (como en () arriba) para decir que la integral de una forma diferencial sobre el límite de alguna variedad orientable es igual a la derivada exterior de sobre el interior de, es decir,

Escrito de esta forma, el primer teorema fundamental del cálculo se conoce como Teorema de Stokes.

Dado que la derivada de una constante es cero, las integrales indefinidas se definen solo hasta una constante arbitraria de integración, es decir,

Wolfram Research mantiene un sitio web http://integrals.wolfram.com/ que puede encontrar la integral indefinida de muchas funciones comunes (y no tan comunes).

La diferenciación de integrales conduce a algunas identidades útiles y poderosas. Por ejemplo, si es continuo, entonces

que es el primer teorema fundamental del cálculo. Otras identidades derivadas-integrales incluyen


Ver el vídeo: Integralrechnung Bestimmte Integrale + 2 Beispiele (Octubre 2021).