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1.3: Nuevas funciones a partir de funciones antiguas


Objetivos de aprendizaje

  • Combinar funciones usando operaciones algebraicas.
  • Cree una nueva función por composición de funciones.
  • Evaluar funciones compuestas.
  • Encuentra el dominio de una función compuesta.
  • Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes.

Suponga que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día particular del año. El costo de calentar una casa dependerá de la temperatura diaria promedio y, a su vez, la temperatura diaria promedio depende del día particular del año. Observe cómo acabamos de definir dos relaciones: el costo depende de la temperatura y la temperatura depende del día.

Usando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función (C (T) ) da el costo (C ) de calentar una casa para una temperatura diaria promedio dada en (T ) grados Celsius. La función (T (d) ) da la temperatura diaria promedio el día d del año. Para un día determinado, (Cost = C (T (d)) ) significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Por lo tanto, podemos evaluar la función de costo a la temperatura (T (d) ). Por ejemplo, podríamos evaluar (T (5) ) para determinar la temperatura diaria promedio el quinto día del año. Entonces, podríamos evaluar el función de costo a esa temperatura. Escribiríamos (C (T (5)) ).

Al combinar estas dos relaciones en una función, hemos realizado la composición de funciones, que es el tema central de esta sección.

Combinar funciones usando operaciones algebraicas

La composición de funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es realizar las operaciones algebraicas habituales sobre funciones, como suma, resta, multiplicación y división. Hacemos esto realizando las operaciones con las salidas de la función, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función.

Suponga que necesitamos agregar dos columnas de números que representan los ingresos anuales separados de un esposo y una esposa durante un período de años, y el resultado es el ingreso total del hogar. Queremos hacer esto para cada año, agregando solo los ingresos de ese año y luego recopilando todos los datos en una nueva columna. Si (w (y) ) es el ingreso de la esposa y (h (y) ) es el ingreso del esposo en el año (y ), y queremos que (T ) represente el ingreso total, entonces puede definir una nueva función.

[T (y) = h (y) + w (y) nonumber ]

Si esto es cierto para cada año, entonces podemos enfocarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir

[T = h + w nonumber ]

Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y razón para cualquier par de funciones que tengan los mismos tipos de entradas (no necesariamente números) y también los mismos tipos de salidas (que tienen que ser números para que les puedan aplicar las operaciones habituales del álgebra, y que también deben tener las mismas unidades o ninguna unidad cuando sumamos y restamos). De esta manera, podemos pensar en sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Para dos funciones (f (x) ) y (g (x) ) con salidas de números reales, definimos nuevas funciones (f + g ), (f − g ), (fg ) y ( frac {f} {g} ) por las relaciones.

[ begin {align *} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) [4pt] (f − g) (x) & = f (x) −g (x ) [4pt] (fg) (x) & = f (x) g (x) [4pt] left ( dfrac {f} {g} right) (x) & = dfrac {f (x)} {g (x)} end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Realización de operaciones algebraicas en funciones

Encuentra y simplifica las funciones ((g − f) (x) ) y ( left ( dfrac {g} {f} right) (x) ), dado (f (x) = x− 1 ) y (g (x) = x ^ 2−1 ). ¿Tienen la misma función?

Solución

Comience escribiendo la forma general y luego sustituya las funciones dadas.

[ begin {align *} (g − f) (x) & = g (x) −f (x) [4pt] (g − f) (x) & = x ^ 2−1− (x −1) [4pt] & = x ^ 2 − x [4pt] & = x (x − 1) end {align *} ]

[ begin {align *} left ( dfrac {g} {f} right) (x) & = g (x) f (x) [4pt] left ( dfrac {g} {f } right) (x) & = dfrac {x ^ 2−1} {x − 1} [4pt] & = dfrac {(x + 1) (x − 1)} {x − 1} [4pt] & = x + 1 end {align *} ]

No, las funciones no son las mismas.

Nota: Para ( left ( dfrac {g} {f} right) (x) ), la condición (x neq1 ) es necesaria porque cuando (x = 1 ), el denominador es igual a 0, lo que hace que la función no esté definida.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra y simplifica las funciones ((fg) (x) ) y ((f − g) (x) ).

[f (x) = x − 1 nonumber ]

y

[g (x) = x ^ 2−1 nonumber ]

¿Tienen la misma función?

Respuesta

((fg) (x) = f (x) g (x) = (x − 1) (x2−1) = x ^ 3 − x ^ 2 − x + 1 [4pt] (f − g) (x) = f (x) −g (x) = (x − 1) - (x ^ 2−1) = x − x ^ 2 )

No, las funciones no son las mismas.

Crear una función por composición de funciones

Realizar operaciones algebraicas en funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiendo funciones. Cuando queríamos calcular un costo de calefacción de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y arroja un costo como salida. El proceso de combinando funciones de modo que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de funciones. La función resultante se conoce como función compuesta. Representamos esta combinación mediante la siguiente notación:

[f { circ} g (x) = f (g (x)) ]

Leemos el lado izquierdo como " (f ) compuesto con (g ) en (x )", y el lado derecho como " (f ) de (g ) de (x ) ”. Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo de círculo abierto ( circ ) se llama operador de composición. Usamos este operador principalmente cuando deseamos enfatizar la relación entre las funciones en sí mismas sin hacer referencia a ningún valor de entrada en particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, tanto como la suma o la multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de funciones con la multiplicación porque, como aprendimos anteriormente, en la mayoría de los casos (f (g (x)) { neq} f (x) g (x) ).

También es importante comprender el orden de las operaciones al evaluar una función compuesta. Seguimos la convención habitual con paréntesis comenzando con el paréntesis más interno primero y luego trabajando hacia afuera. En la ecuación anterior, la función (g ) toma la entrada (x ) primero y produce una salida (g (x) ). Entonces la función (f ) toma (g (x) ) como entrada y produce una salida (f (g (x)) ).

En general, (f { circ} g ) y (g { circ} f ) son funciones diferentes. En otras palabras, en muchos casos (f (g (x)) { neq} g (f (x)) ) para todo (x ). También veremos que a veces dos funciones se pueden componer solo en un orden específico.

Por ejemplo, si (f (x) = x ^ 2 ) y (g (x) = x + 2 ), entonces

[ begin {align *} f (g (x)) & = f (x + 2) [4pt] & = (x + 2) ^ 2 [4pt] & = x ^ 2 + 4x + 4 end {align *} ]

pero

[ begin {align *} g (f (x)) & = g (x ^ 2) [4pt] & = x ^ 2 + 2 end {align *} ]

Estas expresiones no son iguales para todos los valores de x, por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones sean iguales para el valor de entrada único (x = - frac {1} {2} ).

Tenga en cuenta que el rango de la función interna (la primera función que se evaluará) debe estar dentro del dominio de la función externa. De manera menos formal, la composición debe tener sentido en términos de entradas y salidas.

Composición de funciones

Cuando la salida de una función se usa como entrada de otra, llamamos a la operación completa una composición de funciones. Para cualquier entrada (x ) y funciones (f ) y (g ), esta acción define un función compuesta, que escribimos como (f { circ} g ) tal que

[(f { circ} g) (x) = f (g (x)) ]

El dominio de la función compuesta (f { circ} g ) es todo (x ) tal que (x ) está en el dominio de (g ) y (g (x) ) es en el dominio de (f ).

Es importante darse cuenta de que el producto de las funciones (fg ) no es lo mismo que la composición de la función (f (g (x)) ), porque, en general, (f (x) g (x) { neq} f (g (x)) ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): determinar si la composición de funciones es conmutativa

Usando las funciones proporcionadas, encuentre (f (g (x)) ) y (g (f (x)) ). Determine si la composición de las funciones es conmutativo.

[f (x) = 2x + 1 ; ; ; ; g (x) = 3 − x nonumber ]

Solución

Comencemos sustituyendo (g (x) ) en (f (x) ).

[ begin {align *} f (g (x)) & = 2 (3 − x) +1 [4pt] & = 6−2x + 1 [4pt] & = 7−2x end { alinear*}]

Ahora podemos sustituir (f (x) ) en (g (x) ).

[ begin {align *} g (f (x)) & = 3− (2x + 1) [4pt] & = 3−2x − 1 [4pt] & = 2-2x end {align *} ]

Encontramos que (g (f (x)) { neq} f (g (x)) ), por lo que la operación de composición de funciones no es conmutativa.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): interpretación de funciones compuestas

La función (c (s) ) da el número de calorías quemadas completando (s ) abdominales, y (s (t) ) da el número de abdominales que una persona puede completar en (t ) minutos. Interprete (c (s (3)) ).

Solución

La expresión interior en la composición es (s (3) ). Debido a que la entrada a la función (s ) - es el tiempo, (t = 3 ) representa 3 minutos y (s (3) ) es el número de abdominales completados en 3 minutos.

El uso de (s (3) ) como entrada para la función (c (s) ) nos da el número de calorías quemadas durante el número de abdominales que se pueden completar en 3 minutos, o simplemente el número de calorías quemadas en 3 minutos (haciendo abdominales).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Investigar el orden de la composición de funciones

Suponga que (f (x) ) da millas que se pueden conducir en (x ) horas y (g (y) ) da los galones de gasolina utilizados para conducir (y ) millas. ¿Cuál de estas expresiones es significativa: (f (g (y)) ) o (g (f (x)) )?

Solución

La función (y = f (x) ) es una función cuya salida es el número de millas conducidas correspondiente al número de horas conducidas.

[ text {número de millas} = f ( text {número de horas}) nonumber ]

La función (g (y) ) es una función cuya salida es el número de galones usados ​​correspondiente al número de millas recorridas. Esto significa:

[ text {número de galones} = g ( text {número de millas}) nonumber ]

La expresión (g (y) ) toma millas como entrada y una cantidad de galones como salida. La función (f (x) ) requiere un número de horas como entrada. Intentar ingresar una cantidad de galones no tiene sentido. La expresión (f (g (y)) ) no tiene sentido.

La expresión (f (x) ) toma horas como entrada y una cantidad de millas conducidas como salida. La función (g (y) ) requiere una cantidad de millas como entrada. Usar (f (x) ) (millas conducidas) como valor de entrada para (g (y) ), donde los galones de gasolina dependen de las millas conducidas, tiene sentido. La expresión (g (f (x)) ) tiene sentido y dará como resultado la cantidad de galones de gasolina usados, (g ), conduciendo una cierta cantidad de millas, (f (x) ), en (x ) horas.

Pregunta respuesta

¿Hay situaciones en las que (f (g (y)) ) y (g (f (x)) ) serían expresiones útiles o significativas?

Si. Para muchas funciones matemáticas puras, ambas composiciones tienen sentido, aunque normalmente producen funciones nuevas diferentes. En problemas del mundo real, las funciones cuyas entradas y salidas tienen las mismas unidades también pueden dar composiciones significativas en cualquier orden.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

La fuerza gravitacional en un planeta a una distancia (r ) del sol está dada por la función (G (r) ). La aceleración de un planeta sometido a cualquier fuerza (F ) está dada por la función (a (F) ). Forme una composición significativa de estas dos funciones y explique lo que significan.

Respuesta

Una fuerza gravitacional sigue siendo una fuerza, por lo que (a (G (r)) ) tiene sentido como la aceleración de un planeta a una distancia (r ) del Sol (debido a la gravedad), pero (G ( a (F)) ) no tiene sentido.

Evaluación de funciones compuestas

Una vez que compongamos una nueva función a partir de dos funciones existentes, necesitamos poder evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Haremos esto con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas y con variables como entradas para funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna usando la entrada inicial y luego usamos la salida de la función interna como entrada para la función externa.

Evaluación de funciones compuestas mediante tablas

Cuando trabajamos con funciones dadas como tablas, leemos los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y siempre trabajamos desde adentro hacia afuera. Primero evaluamos la función interior y luego usamos la salida de la función interior como entrada a la función exterior.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): uso de una tabla para evaluar una función compuesta

Usando la Tabla ( PageIndex {1} ), evalúe (f (g (3)) ) y (g (f (3)) ).

Tabla ( PageIndex {1} )
(X) (f (x) ) (g (x) )
163
285
332
417

Solución

Para evaluar (f (g (3)) ), comenzamos desde adentro con el valor de entrada 3. Luego evaluamos la expresión interna (g (3) ) usando la tabla que define la función (g: g (3) = 2 ). Entonces podemos usar ese resultado como entrada para la función (f ), entonces (g (3) ) se reemplaza por 2 y obtenemos (f (2) ). Luego, usando la tabla que define la función (f ), encontramos que (f (2) = 8 ).

[g (3) = 2 nonumber ]

[f (g (3)) = f (2) = 8 nonumber ]

Para evaluar (g (f (3)) ), primero evaluamos la expresión interior (f (3) ) usando la primera tabla: (f (3) = 3 ). Luego, usando la tabla para (g ), podemos evaluar

[g (f (3)) = g (3) = 2 nonumber ]

La tabla ( PageIndex {2} ) muestra las funciones compuestas (f { circ} g ) y (g { circ} f ) como tablas.

Tabla ( PageIndex {2} )
(X) (g (x) ) (f (g (x)) ) (f (x) ) (g (f (x)) )
32832

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Usando la Tabla ( PageIndex {1} ), evalúe (f (g (1)) ) y (g (f (4)) ).

Respuesta

(f (g (1)) = f (3) = 3 ) y (g (f (4)) = g (1) = 3 )

Evaluación de funciones compuestas mediante gráficos

Cuando se nos dan funciones individuales como gráficos, el procedimiento para evaluar funciones compuestas es similar al proceso que usamos para evaluar tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, de los ejes xey de los gráficos.

Cómo ...

Dada una función compuesta y gráficos de sus funciones individuales, evalúelo usando la información proporcionada por los gráficos.

  1. Ubique la entrada dada a la función interna en el eje x de su gráfico.
  2. Lea la salida de la función interna del eje y de su gráfico.
  3. Localice la salida de la función interna en el eje x del gráfico de la función externa.
  4. Lea el resultado de la función externa en el eje y de su gráfico. Esta es la salida de la función compuesta.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Usar un gráfico para evaluar una función compuesta

Usando la Figura ( PageIndex {3} ), evalúe (f (g (1)) ).

Solución

Para evaluar (f (g (1)) ), comenzamos con la evaluación interna. Vea la Figura ( PageIndex {4} ).

Evaluamos (g (1) ) usando la gráfica de (g (x) ), encontrando la entrada de 1 en el eje x y encontrando el valor de salida de la gráfica en esa entrada. Aquí, (g (1) = 3 ). Usamos este valor como entrada a la función (f ).

[f (g (1)) = f (3) nonumber ]

Luego, podemos evaluar la función compuesta mirando la gráfica de (f (x) ), encontrando la entrada de 3 en el eje xy leyendo el valor de salida de la gráfica en esta entrada. Aquí, (f (3) = 6 ), entonces (f (g (1)) = 6 ).

Análisis

La figura ( PageIndex {5} ) muestra cómo podemos marcar los gráficos con flechas para trazar la ruta desde el valor de entrada al valor de salida.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Usando la Figura ( PageIndex {3} ), evalúe (g (f (2)) ).

Respuesta

(g (f (2)) = g (5) = 3 )

Evaluación de funciones compuestas mediante fórmulas

Al evaluar una función compuesta en la que hemos creado o se nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada.

Si bien podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una fórmula única que calcule el resultado de una composición (f (g (x)) ). Para hacer esto, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recuerde que, cuando evaluamos una función como (f (t) = t ^ 2 − t ), sustituimos el valor entre paréntesis en la fórmula dondequiera que veamos la variable de entrada.

Cómo...

Dada una fórmula para una función compuesta, evalúa la función.

  1. Evalúe la función interna utilizando el valor de entrada o la variable proporcionada.
  2. Utilice la salida resultante como entrada a la función exterior.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): evaluar una composición de funciones expresadas como fórmulas con una entrada numérica

Dado (f (t) = t ^ 2 − t ) y (h (x) = 3x + 2 ), evalúa (f (h (1)) ).

Solución

Como la expresión interior es (h (1) ), comenzamos evaluando (h (x) ) en 1.

[ begin {align *} h (1) = 3 (1) +2 [4pt] h (1) & = 5 end {align *} ]

Entonces (f (h (1)) = f (5) ), entonces evaluamos (f (t) ) en una entrada de 5.

[ begin {align *} f (h (1)) & = f (5) [5pt] f (h (1)) & = 5 ^ 2−5 ​​[5pt] f (h (1) )) & = 20 end {align *} ]

Análisis

No importa cómo se llamen las variables de entrada (t ) y (x ) en este problema porque evaluamos valores numéricos específicos.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Dado (f (t) = t ^ 2 − t ) y (h (x) = 3x + 2 ), evalúe

una. (h (f (2)) )
B. (h (f (−2)) )

Responde una

8

Respuesta b

20

Encontrar el dominio de una función compuesta

Como comentamos anteriormente, el dominio de una función compuesta como (f { circ} g ) depende del dominio de (g ) y del dominio de (f ). Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no, es decir, conocer el dominio de una función como (f { circ} g ). Supongamos que conocemos los dominios de las funciones (f ) y (g ) por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada (x ) como (f (g (x)) ), podemos ver de inmediato que (x ) debe ser miembro del dominio de g para que la expresión sea significativa, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que (g (x) ) debe ser miembro del dominio de (f ), de lo contrario, la segunda evaluación de función en (f (g (x)) ) no se puede completar, y la expresión aún no está definida. Por tanto, el dominio de (f { circ} g ) consta sólo de aquellas entradas en el dominio de (g ) que producen salidas de (g ) que pertenecen al dominio de (f ). Tenga en cuenta que el dominio de (f ) compuesto con (g ) es el conjunto de todos (x ) tal que (x ) está en el dominio de (g ) y g (x) ) está en el dominio de (f ).

Definición: dominio de una función compuesta

La dominio de una función compuesta (f (g (x)) ) es el conjunto de esas entradas (x ) en el dominio de (g ) para las cuales (g (x) ) está en el dominio de (f ).

Cómo...

Dada una composición de función (f (g (x)) ), determina su dominio.

  1. Encuentra el dominio de (g ).
  2. Encuentra el dominio de (f ).
  3. Encuentre esas entradas (x ) en el dominio de (g ) para las cuales (g (x) ) está en el dominio de (f ). Es decir, excluya aquellas entradas (x ) del dominio de (g ) para las cuales (g (x) ) no está en el dominio de (f ). El conjunto resultante es el dominio de (f { circ} g ).

Ejemplo ( PageIndex {8A} ): encontrar el dominio de una función compuesta

Encuentra el dominio de

[(f∘g) (x) text {donde} f (x) = dfrac {5} {x − 1} text {y} g (x) = dfrac {4} {3x − 2} sin número]

Solución

El dominio de (g (x) ) consta de todos los números reales excepto (x = frac {2} {3} ), ya que ese valor de entrada haría que dividiéramos entre 0. Del mismo modo, el dominio de (f ) consta de todos los números reales excepto 1. Por lo tanto, debemos excluir del dominio de (g (x) ) ese valor de (x ) para el cual (g (x) = 1 ).

[ begin {align *} dfrac {4} {3x-2} & = 1 [4pt] 4 & = 3x-2 [4pt] 6 & = 3x [4pt] x & = 2 end {alinear*}]

Entonces, el dominio de (f { circ} g ) es el conjunto de todos los números reales excepto ( frac {2} {3} ) y (2 ). Esto significa que

[x { neq} dfrac {2} {3} text {o} x neq2 nonumber ]

Podemos escribir esto en notación de intervalo como

[ left (- infty, dfrac {2} {3} right) cup left ( dfrac {2} {3}, 2 right) cup left (2, infty right) sin número]

Ejemplo ( PageIndex {8B} ): encontrar el dominio de una función compuesta que involucra radicales

Encuentra el dominio de

[(f { circ} g) (x) text {donde} f (x) = sqrt {x + 2} text {y} g (x) = sqrt {3 − x} nonumber ]

Solución

Como no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, el dominio de (g ) es ( left (- infty, 3 right] ). Ahora verificamos el dominio de la función compuesta

[(f { circ} g) (x) = sqrt { sqrt {3 − x} +2} nonumber ]

Para ((f∘g) (x) = sqrt { sqrt {3 − x} +2}, sqrt {3 − x} + 2≥0, ) ya que el radicando de una raíz cuadrada debe ser positivo . Dado que las raíces cuadradas son positivas, ( sqrt {3 − x} ≥0 ), o (3 − x≥0, ) lo que da un dominio de ((- ∞, 3] ).

Análisis

Este ejemplo muestra que el conocimiento del rango de funciones (específicamente la función interna) también puede ser útil para encontrar el dominio de una función compuesta. También muestra que el dominio de (f { circ} g ) puede contener valores que no están en el dominio de (f ), aunque deben estar en el dominio de (g ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra el dominio de

[(f { circ} g) (x) text {donde} f (x) = dfrac {1} {x − 2} text {y} g (x) = sqrt {x + 4} sin número]

Respuesta

([−4,0)∪(0,∞))

Descomposición de una función compuesta en sus funciones componentes

En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, podemos escribirlo como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta, por lo que podemos elegir la descomposición que parezca más conveniente.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): descomponer una función

Escribe (f (x) = sqrt {5 − x ^ 2} ) como la composición de dos funciones.

Solución

Estamos buscando dos funciones, (g ) y (h ), entonces (f (x) = g (h (x)) ). Para hacer esto, buscamos una función dentro de una función en la fórmula para (f (x) ). Como una posibilidad, podemos notar que la expresión (5 − x ^ 2 ) es el interior de la raíz cuadrada. Entonces podríamos descomponer la función como

[h (x) = 5 − x ^ 2 text {y} g (x) = sqrt {x} nonumber ]

Podemos comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones.

[g (h (x)) = g (5 − x ^ 2) = sqrt {5 − x ^ 2} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Escribe (f (x) = dfrac {4} {3− sqrt {4 + x ^ 2}} ) como la composición de dos funciones.

Respuesta

Respuestas posibles:

(g (x) = sqrt {4 + x ^ 2} )

(h (x) = dfrac {4} {3 − x} )

(f = h { circ} g )

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con funciones compuestas.

  • Funciones compuestas (http://openstaxcollege.org/l/compfunction)
  • Aplicación de notación de función compuesta (http://openstaxcollege.org/l/compfuncnot)
  • Funciones compuestas que utilizan gráficos (http://openstaxcollege.org/l/compfuncgraph)
  • Funciones de descomposición (http://openstaxcollege.org/l/decompfunction)
  • Valores de funciones compuestas (http://openstaxcollege.org/l/compfuncvalue)

Ecuación clave

  • Función compuesta ((f { circ} g) (x) = f (g (x)) )

Conceptos clave

  • Podemos realizar operaciones algebraicas sobre funciones. Ver ejemplo.
  • Cuando se combinan funciones, la salida de la primera función (interna) se convierte en la entrada de la segunda función (externa).
  • La función que se produce al combinar dos funciones es una función compuesta. Ver ejemplo y ejemplo.
  • El orden de composición de funciones debe tenerse en cuenta al interpretar el significado de funciones compuestas. Ver ejemplo.
  • Una función compuesta se puede evaluar evaluando la función interna usando el valor de entrada dado y luego evaluando la función externa tomando como entrada la salida de la función interna.
  • Una función compuesta se puede evaluar a partir de una tabla. Ver ejemplo.
  • Una función compuesta se puede evaluar a partir de un gráfico. Ver ejemplo.
  • Una función compuesta se puede evaluar a partir de una fórmula. Ver ejemplo.
  • El dominio de una función compuesta consta de aquellas entradas en el dominio de la función interna que corresponden a las salidas de la función interna que están en el dominio de la función externa. Ver ejemplo y ejemplo.
  • Así como las funciones se pueden combinar para formar una función compuesta, las funciones compuestas se pueden descomponer en funciones más simples.
  • Las funciones a menudo se pueden descomponer de más de una forma. Ver ejemplo.

Glosario

función compuesta

la nueva función formada por la composición de funciones, cuando la salida de una función se utiliza como entrada de otra


Información general sobre las versiones en tiempo de ejecución de Azure Functions

Actualmente, Azure Functions admite tres versiones del host en tiempo de ejecución: 3.x, 2.xy 1.x. Las tres versiones son compatibles con escenarios de producción.

La versión 1.x está en modo de mantenimiento y solo admite el desarrollo en Azure Portal, Azure Stack Hub Portal o localmente en equipos Windows. Las mejoras se proporcionan solo en versiones posteriores.

Este artículo detalla algunas de las diferencias entre las distintas versiones, cómo puede crear cada versión y cómo cambiar las versiones.


Dermatan sulfato: nuevas funciones de un antiguo glicosaminoglicano

Los glicosaminoglicanos constituyen una fracción considerable de los glicoconjugados que se encuentran en las membranas celulares y en la matriz extracelular de prácticamente todos los tejidos de los mamíferos. Su capacidad para unirse y alterar interacciones proteína-proteína o actividad enzimática los ha identificado como determinantes importantes de la capacidad de respuesta celular en el desarrollo, homeostasis y enfermedad. Aunque el heparán sulfato tiende a ser enfatizado como el glicosaminoglicano más biológicamente activo, el dermatán sulfato es un tema particularmente atractivo para estudios posteriores porque se expresa en muchos tejidos de mamíferos y es el glicano predominante presente en la piel. Los proteoglicanos de dermatán y sulfato de dermatán también se han implicado en enfermedades cardiovasculares, tumorigénesis, infección, reparación de heridas y fibrosis. La creciente evidencia sugiere que este glicosaminoglicano, como la heparina y el heparán sulfato mejor estudiados, es un cofactor importante en una variedad de comportamientos celulares.


La función sql en un SQLContext permite que las aplicaciones ejecuten consultas SQL mediante programación y devuelve el resultado como un DataFrame.

Spark SQL admite dos métodos diferentes para convertir RDD existentes en DataFrames. El primer método utiliza la reflexión para inferir el esquema de un RDD que contiene tipos específicos de objetos. Este enfoque basado en la reflexión conduce a un código más conciso y funciona bien cuando ya conoce el esquema mientras escribe su aplicación Spark.

El segundo método para crear DataFrames es a través de una interfaz programática que le permite construir un esquema y luego aplicarlo a un RDD existente. Si bien este método es más detallado, le permite construir DataFrames cuando las columnas y sus tipos no se conocen hasta el tiempo de ejecución.

Inferir el esquema mediante la reflexión

La interfaz de Scala para Spark SQL admite la conversión automática de un RDD que contiene clases de casos en un DataFrame. La clase de caso define el esquema de la tabla. Los nombres de los argumentos de la clase de caso se leen mediante reflexión y se convierten en los nombres de las columnas. Las clases de casos también pueden estar anidadas o contener tipos complejos como secuencias o matrices. Este RDD se puede convertir implícitamente en un DataFrame y luego registrarse como una tabla. Las tablas se pueden utilizar en sentencias SQL posteriores.

Spark SQL admite la conversión automática de un RDD de JavaBeans en un DataFrame. El BeanInfo, obtenido mediante reflexión, define el esquema de la tabla. Actualmente, Spark SQL no admite JavaBeans que contengan tipos anidados o complejos como Listas o Arrays. Puede crear un JavaBean creando una clase que implemente Serializable y tenga captadores y definidores para todos sus campos.

Se puede aplicar un esquema a un RDD existente llamando a createDataFrame y proporcionando el objeto Class para JavaBean.

Spark SQL puede convertir un RDD de objetos Row en un DataFrame, infiriendo los tipos de datos. Las filas se construyen pasando una lista de pares clave / valor como kwargs a la clase Row. Las claves de esta lista definen los nombres de las columnas de la tabla y los tipos se infieren mirando la primera fila. Dado que actualmente solo miramos la primera fila, es importante que no falten datos en la primera fila del RDD. En versiones futuras, planeamos inferir más completamente el esquema al observar más datos, similar a la inferencia que se realiza en archivos JSON.

Especificar el esquema mediante programación

Cuando las clases de casos no se pueden definir con anticipación (por ejemplo, la estructura de los registros está codificada en una cadena, o se analizará un conjunto de datos de texto y los campos se proyectarán de manera diferente para diferentes usuarios), se puede crear un DataFrame mediante programación con tres pasos .

  1. Cree un RDD de filas a partir del RDD original
  2. Cree el esquema representado por un StructType que coincida con la estructura de Row s en el RDD creado en el Paso 1.
  3. Aplique el esquema al RDD de Row s mediante el método createDataFrame proporcionado por SQLContext.

Cuando las clases de JavaBean no se pueden definir con anticipación (por ejemplo, la estructura de los registros está codificada en una cadena, o se analizará un conjunto de datos de texto y los campos se proyectarán de manera diferente para diferentes usuarios), se puede crear un DataFrame mediante programación con tres pasos .

  1. Cree un RDD de filas a partir del RDD original
  2. Cree el esquema representado por un StructType que coincida con la estructura de Row s en el RDD creado en el Paso 1.
  3. Aplique el esquema al RDD de Row s mediante el método createDataFrame proporcionado por SQLContext.

Cuando un diccionario de kwargs no se puede definir con anticipación (por ejemplo, la estructura de registros está codificada en una cadena, o se analizará un conjunto de datos de texto y los campos se proyectarán de manera diferente para diferentes usuarios), se puede crear un DataFrame mediante programación con tres pasos.

  1. Cree un RDD de tuplas o listas a partir del RDD original
  2. Cree el esquema representado por un StructType que coincida con la estructura de tuplas o listas en el RDD creado en el paso 1.
  3. Aplique el esquema al RDD a través del método createDataFrame proporcionado por SQLContext.

P: Las funciones f y g son integrables y f (x) dx = 6, g ((x) dx = 4 y | f (x) dx = 2. Evalúe el int.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva x + y13 = 5 (un astroide) en el punto (8, 1). 2/3

R: Hallamos y & # x27 a partir de la ecuación dada usando la diferenciación implícita para encontrar la pendiente del tangen.

P: (a) Dé un ejemplo de una secuencia creciente de números reales que converge al número 8. (b) Gi.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Sean x E Z y y E Z. Demuestre el siguiente enunciado: Si y = 2 mod 4, entonces xy 1 mod 4.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Suponga que se proyecta que el cobre se extraerá de una determinada mina a una tasa dada por P & # x27 (t).

R: Suponga que se proyecta que el cobre se extraerá de una determinada mina a una tasa dada por

P: 1. Pregunta de cuatro partes: a. Grafica la ecuación paramétrica a mano. x = t² +2, y = 4t, -2 & ltt & lt3 b. Pon arr.

R: Oye, dado que hay varias subpartes publicadas, responderemos las primeras tres subpartes. Si quieres un.

P: Sea V el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje y la región acotada y = sqrt (4x).

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Este problema indica por qué podemos imponer sólo n condiciones iniciales a una solución de orden n-ésimo lin.


Accesores de servicio¶

O el objeto de la caché o el elemento recuperado de la caché

Si no se proporciona $ key, devolverá la instancia del motor de caché. Si se proporciona una $ key, devolverá el valor de $ key tal como está almacenado en la caché actualmente, o nulo si no se encuentra ningún valor.

  • $ nombre (cuerda) - Nombre de la cookie
  • $ valor (cuerda) - Valor de la cookie
  • $ opciones (formación) - Opciones de cookies

Una forma más sencilla de crear una nueva instancia de Cookie.

  • $ galletas (formación) - Si getGlobal es falso, se pasa al constructor de CookieStore.
  • $ getGlobal (bool): Si es falso, crea una nueva instancia de CookieStore.

Instancia de CookieStore guardada en la Respuesta actual, o una nueva instancia de CookieStore.

Obtiene la instancia global de CookieStore en poder de Response.

  • $ clave (cuerda): El nombre de la variable de entorno para recuperar
  • $ predeterminado (mezclado): El valor predeterminado que se devolverá si no se encuentra ningún valor.

La variable de entorno, el valor predeterminado o nulo.

Se utiliza para recuperar valores que se han establecido previamente en el entorno o devolver un valor predeterminado si no se encuentra. Dar formato a los valores booleanos a booleanos reales en lugar de representaciones de cadena.

Especialmente útil cuando se usa junto con archivos .env para establecer valores que son específicos del entorno en sí, como la configuración de la base de datos, claves API, etc.

  • $ datos (cadena | matriz) - La información que se va a escapar.
  • $ contexto (cuerda) - El contexto de escape. El valor predeterminado es "html".
  • $ codificación (cuerda): La codificación de caracteres de la cadena.

Escapa de datos para su inclusión en páginas web, para ayudar a prevenir ataques XSS. Esto usa la biblioteca Laminas Escaper para manejar el filtrado real de los datos.

Si $ data es una cadena, simplemente se escapa y la devuelve. Si $ data es una matriz, se desplaza sobre ella, escapando de cada "valor" de los pares clave / valor.

Valid context values: html, js, css, url, attr, raw, null

  • $filename (string|array) – The name of the helper file to load, or an array of names.

For full details, see the Helper Functions page.

  • $line (cuerda) – The line of text to retrieve
  • $args (formación) – An array of data to substitute for placeholders.
  • $locale (cuerda) – Specify a different locale to be used instead of default one.

Retrieves a locale-specific file based on an alias string.

For more information, see the Localization page.

  • $name (cuerda) –
  • $getShared (booleano) –
  • $conn (ConnectionInterface|null) –

More simple way of getting model instances

  • $key (cuerda) – The name of the old form data to check for.
  • $default (mezclado) – The default value to return if $key doesn’t exist.
  • $escape (mezclado) – An escape context or false to disable it.

The value of the defined key, or the default value.

Provides a simple way to access “old input data” from submitting a form.

If you are using the form helper , this feature is built-in. You only need to use this function when not using the form helper.

An instance of the Session object if no $key, the value found in the session for $key, or null.

Provides a convenient way to access the session class and to retrieve a stored value. For more information, see the Sessions page.

A convenience method that provides quick access to the Timer class. You can pass in the name of a benchmark point as the only parameter. This will start timing from this point, or stop timing if a timer with this name is already running.

  • $name (cuerda) – The name of the file to load
  • $data (formación) – An array of key/value pairs to make available within the view.
  • $options (formación) – An array of options that will be passed to the rendering class.

Grabs the current RendererInterface-compatible class and tells it to render the specified view. Simply provides a convenience method that can be used in Controllers, libraries, and routed closures.

Currently, only one option is available for use within the $options array, saveData which specifies that data will persistent between multiple calls to view() within the same request. By default, the data for that view is forgotten after displaying that single view file.

The $option array is provided primarily to facilitate third-party integrations with libraries like Twig.

For more details, see the Views page.

  • $library (cuerda) –
  • $params (nulo) –
  • $ttl (integer) –
  • $cacheName (string|null) –

View cells are used within views to insert HTML chunks that are managed by other classes.

For more details, see the View Cells page.

Miscellaneous Functions¶

app_timezone ( ) ¶
Devoluciones:The timezone the application has been set to display dates in.
Return type:cuerda

Returns the timezone the application has been set to display dates in.

csrf_token ( ) ¶

Devoluciones:The name of the current CSRF token.
Return type:cuerda

Returns the name of the current CSRF token.

csrf_header ( ) ¶

Devoluciones:The name of the header for current CSRF token.
Return type:cuerda

The name of the header for current CSRF token.

csrf_hash ( ) ¶

Devoluciones:The current value of the CSRF hash.
Return type:cuerda

Returns the current CSRF hash value.

csrf_field ( ) ¶

Devoluciones:A string with the HTML for hidden input with all required CSRF information.
Return type:cuerda

Returns a hidden input with the CSRF information already inserted:

csrf_meta ( ) ¶
Devoluciones:A string with the HTML for meta tag with all required CSRF information.
Return type:cuerda

Returns a meta tag with the CSRF information already inserted:

  • $duration (En t) – The number of seconds browsers should convert links to this resource to HTTPS.
  • $request (RequestInterface) – An instance of the current Request object.
  • $response (ResponseInterface) – An instance of the current Response object.

Checks to see if the page is currently being accessed via HTTPS. If it is, then nothing happens. If it is not, then the user is redirected back to the current URI but through HTTPS. Will set the HTTP Strict Transport Security header, which instructs modern browsers to automatically modify any HTTP requests to HTTPS requests for the $duration.

TRUE if the function exists and is safe to call, FALSE otherwise.

TRUE if you can write to the file, FALSE otherwise.

  • $level (cuerda) – The level of severity
  • $message (cuerda) – The message that is to be logged.
  • $context (formación) – An associative array of tags and their values that should be replaced in $message

TRUE if was logged successfully or FALSE if there was a problem logging it

Logs a message using the Log Handlers defined in app/Config/Logger.php.

Level can be one of the following values: emergency, alert, critical, error, warning, notice, info, o debug.

Context can be used to substitute values in the message string. For full details, see the Logging Information page.

Returns a RedirectResponse instance allowing you to easily create redirects:

When passing an argument into the function, it is treated as a named/reverse-routed route, not a relative/full URI, treating it the same as using redirect()->route():

  • $str (cuerda) – Input string
  • $urlEncoded (bool) – Whether to remove URL-encoded characters as well

This function prevents inserting NULL characters between ASCII characters, like Javascript.

  • $method (cuerda) – The named route alias, or name of the controller/method to match.
  • $params (mezclado) – One or more parameters to be passed to be matched in the route.

Generates a URI relative to the domain name (not baseUrl) for you based on either a named route alias, or a controller::method combination. Will take parameters into effect, if provided.

For full details, see the URI Routing page.

  • $name (cuerda) – The name of the service to load
  • $params (mezclado) – One or more parameters to pass to the service method.

An instance of the service class specified.

Provides easy access to any of the Services defined in the system. This will always return a shared instance of the class, so no matter how many times this is called during a single request, only one class instance will be created.

  • $name (cuerda) – The name of the service to load
  • $params (mezclado) – One or more parameters to pass to the service method.

An instance of the service class specified.

Identical to the service() function described above, except that all calls to this function will return a new instance of the class, where service returns the same instance every time.

The configuration item or NULL if the item doesn’t exist

Fetch a config file item with slash appended (if not empty)

  • $attributes (mezclado) – string, array of key value pairs, or object
  • $js (booleano) – TRUE if values do not need quotes (Javascript-style)

String containing the attribute key/value pairs, comma-separated

Helper function used to convert a string, array, or object of attributes to a string.


Contents

Language Edit

Language functions such as grammar, vocabulary and literal meaning are typically lateralized to the left hemisphere, especially in right-handed individuals. [3] While language production is left-lateralized in up to 90% of right-handers, it is more bilateral, or even right-lateralized, in approximately 50% of left-handers. [4]

Broca's area and Wernicke's area, associated with the production of speech and comprehension of speech, respectively, are located in the left cerebral hemisphere for about 95% of right-handers but about 70% of left-handers. [5] : 69 Individuals who speak multiple languages demonstrate separate speech areas for each language. [6]

Sensory processing Edit

The processing of basic sensory information is lateralized by being divided into left and right sides of the body or the space around the body.

In vision, about half the neurons of the optic nerve from each eye cross to project to the opposite hemisphere, and about half do not cross to project to the hemisphere on the same side. [7] This means that the left side of the visual field is processed largely by the visual cortex of the right hemisphere and vice versa for the right side of the visual field.

In hearing, about 90% of the neurons of the auditory nerve from one ear cross to project to the auditory cortex of the opposite hemisphere.

In the sense of touch, most of the neurons from the skin cross to project to the somatosensory cortex of the opposite hemisphere.

Because of this functional division of the left and right sides of the body and of the space that surrounds it, the processing of information in the sensory cortices is essentially identical. That is, the processing of visual and auditory stimuli, spatial manipulation, facial perception, and artistic ability are represented bilaterally. [4] Numerical estimation, comparison and online calculation depend on bilateral parietal regions [8] [9] while exact calculation and fact retrieval are associated with left parietal regions, perhaps due to their ties to linguistic processing. [8] [9]

Value systems Edit

Rather than just being a series of places where different brain modules occur, there are running similarities in the kind of function seen in each side, for instance how right-side impairment of drawing ability making patients draw the parts of the subject matter with wholly incoherent relationships, or where the kind of left-side damage seen in language impairment not damaging the patient's ability to catch the significance of intonation in speech. [10] This has led British psychiatrist Iain McGilchrist to say that the two hemispheres as having different value systems, where the left hemisphere tends to reduce complex matters such as ethics to rules and measures, where the right hemisphere is disposed to the holistic and metaphorical. [11]

Depression is linked with a hyperactive right hemisphere, with evidence of selective involvement in "processing negative emotions, pessimistic thoughts and unconstructive thinking styles", as well as vigilance, arousal and self-reflection, and a relatively hypoactive left hemisphere, "specifically involved in processing pleasurable experiences" and "relatively more involved in decision-making processes". [12] Additionally, "left hemisphere lesions result in an omissive response bias or error pattern whereas right hemisphere lesions result in a commissive response bias or error pattern." [13] The delusional misidentification syndromes, reduplicative paramnesia and Capgras delusion are also often the result of right hemisphere lesions. [14]

Hemisphere damage Edit

Damage to either the right or left hemisphere, and its resulting deficits provide insight into the function of the damaged area. Left hemisphere damage has many effects on language production and perception. Damage or lesions to the right hemisphere can result in a lack of emotional prosody or intonation when speaking. Right hemisphere damage also has grave effects on understanding discourse. People with damage to the right hemisphere have a reduced ability to generate inferences, comprehend and produce main concepts, and a reduced ability to manage alternative meanings. Furthermore, people with right hemisphere damage often exhibit discourse that is abrupt and perfunctory or verbose and excessive. They can also have pragmatic deficits in situations of turn taking, topic maintenance and shared knowledge.

Lateral brain damage can also affect visual perceptual spatial resolution. People with left hemisphere damage may have impaired perception of high resolution, or detailed, aspects of an image. People with right hemisphere damage may have impaired perception of low resolution, or big picture, aspects of an image.

Plasticity Edit

If a specific region of the brain, or even an entire hemisphere, is injured or destroyed, its functions can sometimes be assumed by a neighboring region in the same hemisphere or the corresponding region in the other hemisphere, depending upon the area damaged and the patient's age. [15] When injury interferes with pathways from one area to another, alternative (indirect) connections may develop to communicate information with detached areas, despite the inefficiencies.

Broca's aphasia Edit

Broca's aphasia is a specific type of expressive aphasia and is so named due to the aphasia that results from damage or lesions to the Broca's area of the brain, that exists most commonly in the left inferior frontal hemisphere. Thus, the aphasia that develops from the lack of functioning of the Broca's area is an expressive and non-fluent aphasia. It is called 'non-fluent' due to the issues that arise because Broca's area is critical for language pronunciation and production. The area controls some motor aspects of speech production and articulation of thoughts to words and as such lesions to the area result in specific non-fluent aphasia. [dieciséis]

Wernicke's aphasia Edit

Wernicke's aphasia is the result of damage to the area of the brain that is commonly in the left hemisphere above the Sylvian fissure. Damage to this area causes primarily a deficit in language comprehension. While the ability to speak fluently with normal melodic intonation is spared, the language produced by a person with Wernicke's aphasia is riddled with semantic errors and may sound nonsensical to the listener. Wernicke's aphasia is characterized by phonemic paraphasias, neologism or jargon. Another characteristic of a person with Wernicke's aphasia is that they are unconcerned by the mistakes that they are making.

Misapplication Edit

Terence Hines states that the research on brain lateralization is valid as a research program, though commercial promoters have applied it to promote subjects and products far outside the implications of the research. [17] For example, the implications of the research have no bearing on psychological interventions such as eye movement desensitization and reprocessing (EMDR) and neurolinguistic programming, [18] brain-training equipment, or management training. [19]

Popular psychology Edit

Some popularizations oversimplify the science about lateralization, by presenting the functional differences between hemispheres as being more absolute than is actually the case. [20] : 107 [21] Interestingly, research shown quite opposite function of brain lateralisation, i.e. left hemisphere creatively and chaotically link between concepts and right hemisphere tend to adhere to specific date and time. [22] [23] [24]

Sex differences Edit

In the 19th century and to a lesser extent the 20th, it was thought that each side of the brain was associated with a specific gender: the left corresponding with masculinity and the right with femininity and each half could function independently. [25] The right side of the brain was seen as the inferior and thought to be prominent in women, savages, children, criminals, and the insane. A prime example of this in fictional literature can be seen in Robert Louis Stevenson's Strange Case of Dr. Jekyll and Mr. Hyde. [26]

The widespread lateralization of many vertebrate animals suggests an evolutionary advantage associated with the specialization of each hemisphere. [1]

Broca Edit

One of the first indications of brain function lateralization resulted from the research of French physician Pierre Paul Broca, in 1861. His research involved the male patient nicknamed "Tan", who suffered a speech deficit (aphasia) "tan" was one of the few words he could articulate, hence his nickname. In Tan's autopsy, Broca determined he had a syphilitic lesion in the left cerebral hemisphere. This left frontal lobe brain area (Broca's area) is an important speech production region. The motor aspects of speech production deficits caused by damage to Broca's area are known as expressive aphasia. In clinical assessment of this type of aphasia, patients have difficulty producing speech. [27]

Wernicke Edit

German physician Karl Wernicke continued in the vein of Broca's research by studying language deficits unlike expressive aphasia. Wernicke noted that not every deficit was in speech production some were linguistic. He found that damage to the left posterior, superior temporal gyrus (Wernicke's area) caused language comprehension deficits rather than speech production deficits, a syndrome known as receptive aphasia.

Imaging Edit

These seminal works on hemispheric specialization were done on patients or postmortem brains, raising questions about the potential impact of pathology on the research findings. New methods permit the en vivo comparison of the hemispheres in healthy subjects. Particularly, magnetic resonance imaging (MRI) and positron emission tomography (PET) are important because of their high spatial resolution and ability to image subcortical brain structures.

Movement and sensation Edit

In the 1940s, neurosurgeon Wilder Penfield and his neurologist colleague Herbert Jasper developed a technique of brain mapping to help reduce side effects caused by surgery to treat epilepsy. They stimulated motor and somatosensory cortices of the brain with small electrical currents to activate discrete brain regions. They found that stimulation of one hemisphere's motor cortex produces muscle contraction on the opposite side of the body. Furthermore, the functional map of the motor and sensory cortices is fairly consistent from person to person Penfield and Jasper's famous pictures of the motor and sensory homunculi were the result.

Split-brain patients Edit

Research by Michael Gazzaniga and Roger Wolcott Sperry in the 1960s on split-brain patients led to an even greater understanding of functional laterality. Split-brain patients are patients who have undergone corpus callosotomy (usually as a treatment for severe epilepsy), a severing of a large part of the corpus callosum. The corpus callosum connects the two hemispheres of the brain and allows them to communicate. When these connections are cut, the two halves of the brain have a reduced capacity to communicate with each other. This led to many interesting behavioral phenomena that allowed Gazzaniga and Sperry to study the contributions of each hemisphere to various cognitive and perceptual processes. One of their main findings was that the right hemisphere was capable of rudimentary language processing, but often has no lexical or grammatical abilities. [28] Eran Zaidel also studied such patients and found some evidence for the right hemisphere having at least some syntactic ability. [ citation needed ]

Language is primarily localized in the left hemisphere. While the left hemisphere has proven to be more optimized for language, the right hemisphere has the capacity with emotions, such as sarcasm, that can express prosody in sentences when speaking. According to Sheppard and Hillis, "The right hemisphere is critical for perceiving sarcasm (Davis et al., 2016), integrating context required for understanding metaphor, inference, and humour, as well as recognizing and expressing affective or emotional prosody—changes in pitch, rhythm, rate, and loudness that convey emotions". [29] One of the experiments carried out by Gazzaniga involved a split-brain male patient sitting in front of a computer screen while having words and images presented on either side of the screen, and the visual stimuli would go to either the right or left visual field, and thus the left or right brain, respectively. It was observed that if the patient was presented with an image to his left visual field (right brain), he would report not seeing anything. If he was able to feel around for certain objects, he could accurately pick out the correct object, despite not having the ability to verbalize what he saw.

Ventricles of brain and basal ganglia. Superior view. Horizontal section. Deep dissection


Senior management functions

Senior management functions (SMFs) are a type of controlled function under FSMA. They are prescribed in the Handbook and apply to UK-authorised firms and EEA Branches. Which ones apply to you will depend on what SM&CR firm type you are.

We call the people who hold these functions Senior Managers. They are the most senior people in a firm with the greatest potential to cause harm or impact upon market integrity. We make particular functions SMFs so that we know who a firm’s most senior decision makers are, and to make sure firms clearly allocate responsibilities to those key individuals. Anyone who performs an SMF needs to be approved by us before they can start their role.

  • being an executive director of a regulated firm
  • being responsible for compliance with our rules
  • being responsible for overseeing the firm's compliance against money laundering

An individual can hold more than one SMF, e.g a director can perform the director function and the compliance oversight function, but you must show in your application that the individual can manage multiple roles.

Different SMFs apply to different businesses, depending on what activities they provide. No individual approved by a firm will need to perform all the functions.

The number of SMFs your staff will need to be approved for will depend on the activities you intend to carry out, the legal entity of your business and the permissions you require.

It is unlikely you will be able to outsource these roles and still meet the standards we expect, although we assess this individually. You can, however, outsource resources for guidance and support for approved persons.


How old is your dog? New equation shows how to calculate its age in human years

Common wisdom has long held that each dog year is equivalent to seven human years. But a new equation developed to measure how a dog ages finds the family pup may be a lot older than we realize.

Researchers studying chemical changes to canine DNA found that dogs age very quickly during their first five years and much more slowly later on.

The findings, published recently in the journal Cell Systems, calculate that a 5-year-old dog would be pushing 60 in human years.

“Puppies age super quickly,” said Trey Ideker, the study’s senior author and a professor of genetics at the University of California, San Diego, School of Medicine. “By the time a dog is a year old, at a molecular level, he’s much more like a 30-year-old human. Retrospectively, we did know these things. It didn’t make any sense that the equivalent to a 7-year-old human would be able to have puppies.”

Ideker and colleagues noticed that dogs, just like humans, have chemical marks on their DNA, called methylation marks, that change with age.

“The genome itself doesn’t change with age,” Ideker said. "What does change is marks on the genes that control a dog or human's growth pattern."

The methylation marks, or as Ideker calls them “wrinkles on the genome,” change in predictable ways as we and dogs age.

“We are able to quantify this at the molecular level and tell how fast someone is aging, and we can align it across dogs and humans,” Ideker said. “But we don’t know exactly what it all means.”