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Cálculo vectorial - Matemáticas


El cálculo vectorial se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales, principalmente en el espacio euclidiano tridimensional. El término "cálculo vectorial" se utiliza a veces como sinónimo del tema más amplio del cálculo multivariable. Los módulos de esta sección del núcleo complementan Vector Calculus TextMap de Corral y Vector Calculus (UCD Mat 21D) Libretext. Consulte allí para obtener más contenido de cálculo vectorial.


Sesiones de cálculo vectorial

Las sesiones de revisión de cálculo vectorial son una revisión de los temas enseñados en el curso de cálculo vectorial de UC San Diego (Matemáticas 20E) que usted (puede) haber aprendido en su institución anterior. Los materiales de la sesión han sido revisados ​​por un estudiante graduado del Departamento de Matemáticas y un miembro de la facultad. & # 160

Tenga en cuenta que estas sesiones no reemplazan un curso de cálculo vectorial y no le enseñarán los temas. Si en algún momento de las sesiones descubre un tema que no ha aprendido previamente en su curso de Cálculo vectorial, le recomendamos que se inscriba en Math 20E en UC San Diego. & # 160 Hay una Sesión de verano 2 Cálculo vectorial (Math 20E ) curso, que comenzará el lunes 1 de agosto al 10 de septiembre (5 semanas).

  • Apoyar a los estudiantes de transferencia de ingeniería para que revisen temas clave en preparación para intentar el Examen de cumplimiento de MATH 20E de UC San Diego

Detalles del programa:

  • Fechas: 19 al 30 de julio
  • Fecha límite de inscripción: 15 de julio
  • Costo: Sin costo para participar
  • Formato: opciones en persona y zoom disponibles
  • Contenido: revise los temas básicos de cálculo, incluidos temas y problemas basados ​​en el cálculo vectorial
  • Compromiso de tiempo: tres sesiones por semana durante dos semanas, por un total de seis sesiones de 1,5, más estudio independiente adicional

Elegibilidad

  • Estudiantes de transferencia de ingeniería entrantes & # 160
  • Inscrito en una carrera de ingeniería que requiere MATH 20E
  • Haber tomado un curso de cálculo vectorial en un colegio comunitario.
  • Planificación para intentar el examen de cumplimiento de MATH 20E para cumplir con el requisito de MATH 20E

Temas a revisar:

  1. Integral doble sobre una región y cambio del orden de integración, desigualdad de valor medio
  2. Triple integral
  3. Geometría de mapas de R2 a R2
  4. El teorema del cambio de variables
  5. Campo vectorial
  6. Integral de ruta, integral de línea
  7. Superficie parametrizada y uso integral para encontrar el área de una superficie
  8. Integrales de funciones escalares sobre superficies
  9. Integrales de superficie del campo vectorial
  10. Teorema de Green
  11. Teorema de Stoke
  12. Teorema de Gauss (teorema de divergencia)
  13. Campos conservadores

Por favor lea: & # 160

Si aún no ha realizado cálculo vectorial, no le recomendamos que participe en estas sesiones de revisión de temas ni que intente el examen de cumplimiento de MATH 20E. En cambio, le recomendamos encarecidamente que se inscriba en MATH 20E durante su primer año. Considere adelantarse tomando una versión acelerada de 5 semanas del curso durante la Sesión de verano II, que se lleva a cabo del 3 de agosto al 4 de septiembre. La fecha límite para inscribirse en la Sesión de Verano II es el 26 de julio.

Si tiene preguntas, envíe un correo electrónico a [email protected]


Análisis vectorial elemental

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> newcommand < ihat> < hat < vecb>> nuevocomando < jhat> < hat < vecb>> newcommand < khat> < hat < vecb>> $ Para medir muchas cantidades físicas, como fuerza o velocidad, necesitamos determinar tanto una magnitud como una dirección. Estas cantidades se representan convenientemente como vectores.

La dirección de un vector $ vecb$ en 3 espacios se especifica por sus componentes en las direcciones $ x $, $ y $ y $ z $, respectivamente: $ (x, y, z) quad < small textrm> quad x ihat + y jhat + z khat, $

donde $ ihat $, $ jhat $ y $ khat $ son los vectores de coordenadas a lo largo de los ejes $ x $, $ y $ y $ z $.

La magnitud de un vector $ vecb= (x, y, z) $, también llamado su longitud o norma, viene dado por $ left | vecb right | = sqrt+ y ^ <2> + z ^ <2>>. PS

Notas

  • Los vectores se pueden definir en cualquier número de dimensiones, aunque aquí solo nos centramos en el espacio tridimensional.
  • Al dibujar un vector en 3 espacios, donde coloque el vector no es importante, las propiedades esenciales del vector son solo su magnitud y su dirección. Dos vectores son igual si y solo si los componentes correspondientes son iguales.
  • Un vector de norma 1 se llama vector unitario. Los vectores de coordenadas son ejemplos de vectores unitarios.
  • El vector cero, $ vecb <0> = (0,0,0) $, es el único vector con magnitud 0.

Operaciones básicas en vectores

Sumar o restar vectores $ vecb = (u_ <1>, u_ <2>, u_ <3>) $ y $ vecb = (v_ <1>, v_ <2>, v_ <3>) $, sumar o restar las coordenadas correspondientes: begin vecb+ vecb & amp = & amp (u_ <1> + v_ <1>, u_ <2> + v_ <2>, u_ <3> + v_ <3>) vecb- vecb & amp = & amp (u_ <1> -v_ <1>, u_ <2> -v_ <2>, u_ <3> -v_ <3>). final

Para multiplicar el vector $ vecb$ por un escalar $ k $, multiplica cada coordenada de $ vecb$ por $ k $: $ k vecb= (ku_ <1>, ku_ <2>, ku_ <3>). PS

Ejemplo

El vector $ vecb= (2,1, -2) = 2 ihat + jhat -2 khat $ tiene magnitud $ left | vecb derecha | = sqrt <2 ^ 2 + 1 ^ 2 - (- 2) ^ 2> = 3. $

Por lo tanto, el vector $ frac <1> <3> vecb = left ( frac <2> <3>, frac <1> <3>, frac <-2> <3> right) $ es un vector unitario en la misma dirección que $ vecb$.

En general, para $ vecb not = vecb <0> $, podemos escalar (o normalizar) $ vecb$ al vector unitario $ frac < vecb> < left | vecb right |> $ apuntando en la misma dirección que $ vecb$.

Producto escalar

Sea $ vecb = (u_ <1>, u_ <2>, u_ <3>) $ y $ vecb = (v_ <1>, v_ <2>, v_ <3>) $. La producto escalar $ vecb cdot vecb$ (también llamado producto escalar o Producto interior euclidiano) de $ vecb$ y $ vecb$ se define de dos formas distintas (aunque equivalentes):

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ Por el Ley de los cosenos, por $ vecb not = vecb <0>, quad vecb not = vecb <0> $, $ left | vecb- vecb right | ^ <2> = left | vecb derecha | ^ <2> + izquierda | vecb right | ^ <2> & # 8211 2 left | vecb derecha | izquierda | vecb right | cos theta. $ Entonces, para $ vecb = (u_ <1>, u_ <2>, u_ <3>) $ y $ vecb = (v_ <1>, v_ <2>, v_ <3>) $, $ (u_1-v_1) ^ <2> + (u_2-v_2) ^ 2 + (u_3-v_3) ^ 2 = u_1 ^ 2 + u_2 ^ 2 + u_3 ^ 2 + v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 + v_3 ^ 2 -2 left | vecb derecha | izquierda | vecb right | cos theta. $ Cuadrando las expresiones de la izquierda y simplificando, begin -2u_1v_1-2u_2v_2-2u_3v_3 & amp = & amp -2 left | vecb derecha | izquierda | vecb right | cos theta u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 & amp = & amp left | vecb derecha | izquierda | vecb right | cos theta vecb cdot vecb & amp = & amp left | vecb derecha | izquierda | vecb right | cos theta. final

Si $ vecb = vecb <0> $ o $ vecb = vecb <0> $, ambas definiciones dan inmediatamente $ vecb cdot vecb = 0 $. Por tanto, las dos definiciones de $ vecb cdot vecb$ son equivalentes.

Propiedades del producto escalar

  • $ vecb cdot vecb = vecb cdot vecb$
  • $ vecb cdot ( vecb + vecb) = ( vecb cdot vecb) + ( vecb cdot vecb)$
  • $ vecb cdot vecb = izquierda | vecb right | ^ <2> $
Ejemplo

Usando la segunda definición del producto escalar con $ left | vecb right | = 3 $ y $ left | vecb right | = 2 sqrt <5> $, $ vecb cdot vecb = 0 = 6 sqrt <5> cos theta $ entonces $ cos theta = 0 $, dando como resultado $ theta = frac < pi> <2> $.

Aunque no lo hayamos adivinado, $ vecb$ y $ vecb$ son perpendiculares entre sí!

$ qquad $ Dos vectores distintos de cero $ vecb$ y $ vecb$ son perpendiculares (o ortogonal) si y solo si $ vecb cdot vecb = 0$.

Sea $ vecb$ y $ vecb$ ser vectores distintos de cero. Suponga $ vecb$ es ortogonal a $ vecbPS Entonces el ángulo entre $ vecb$ y $ vecb$ es $ frac < pi> <2> $. Por lo tanto, begin vecb cdot vecb & amp = & amp left | vecb derecha | izquierda | vecb derecha | cos frac < pi> <2> & amp = & amp left | vecb derecha | izquierda | vecb derecha | (0) & amp = & amp 0. end

Supongamos ahora que $ vecb cdot vecb = 0 $. Entonces begin left | vecb derecha | izquierda | vecb right | cos theta & amp = & amp 0 cos theta & amp = & amp frac <0> < left | vecb derecha | izquierda | vecb right |> cos theta & amp = & amp 0. end

Entonces $ theta = frac < pi> <2> $. Entonces $ vecb$ es ortogonal a $ vecb$.

Proyección de un vector

Suele ser útil resolver un vector $ vecb$ en la suma de los componentes del vector paralelos y perpendiculares a un vector $ vecb$.

Considere primero el componente paralelo, que se llama proyección de $ vecb$ en $ vecb$. Esta proyección debe estar en la dirección de $ vecb$ y debería tener una magnitud $ left | vecb right | cos theta $, donde le theta le pi $ es el ángulo entre $ vecb$ y $ vecbPS Permita que & # 8217s normalice $ vecb$ a $ frac < vecb> < left | vecb right |> $ y luego escale esto en la magnitud $ left | vecb right | cos theta $:

El componente vectorial perpendicular de $ vecb$ es entonces la diferencia entre $ vecb$ y la proyección de $ vecb$ en $ vecb$.

proyección de $ vecb$ en $ vecb$

componente vectorial de $ vecb$ perpendicular a $ vecb$

Producto cruzado

Sea $ vecb = (u_ <1>, u_ <2>, u_ <3>) $ y $ vecb = (v_ <1>, v_ <2>, v_ <3>) $. La producto cruzado $ vecb times vecb$ produce un vector perpendicular a ambos $ vecb$ y $ vecb$ con dirección determinada por la regla de la mano derecha. Específicamente, $ vecb times vecb = (u_ <2> v_3-u_3v_2) ihat & # 8211 (u_1v_3-u_3v_1) jhat + (u_1v_2-u_2v_1) khat. $ También se puede mostrar que $ left | vecb times vecb right | = izquierda | vecb derecha | izquierda | vecb right | sin theta quad < small textrm> vecb not = vecb <0>, quad vecb not = vecb <0> $

Sea $ vecb$ y $ vecb$ ser vectores distintos de cero. Usaremos Lagrange & # 8217s Identity, que dice que $ left | vecb times vecb right | ^ <2> = left | vecb right | ^ <2> left | vecb right | ^ <2> & # 8211 left ( vecb cdot vecb derecha) ^ <2>. $ Desde $ vecb cdot vecb = izquierda | vecb derecha | izquierda | vecb derecha | cos theta $, begin left | vecb times vecb right | ^ <2> & amp = & amp left | vecb right | ^ <2> left | vecb right | ^ <2> - left ( left | vecb derecha | izquierda | vecb right | cos theta right) ^ <2> & amp = & amp left | vecb right | ^ <2> left | vecb right | ^ <2> & # 8211 left | vecb derecha | ^ <2> izquierda | vecb right | ^ <2> cos ^ <2> theta & amp = & amp left | vecb right | ^ <2> left | vecb right | ^ <2> left (1 & # 8211 cos ^ <2> theta right) & amp = & amp left | vecb derecha | ^ <2> izquierda | vecb right | ^ <2> sin ^ <2> theta. final Entonces $ left | vecb times vecb derecha | = izquierda | vecb derecha | izquierda | vecb right | sin theta. PS

Por tanto, la magnitud $ left | vecb times vecb right | $ da el área del paralelogramo formado por $ vecb$ y $ vecb$.

Como implica la interpretación geométrica,

Vectores distintos de cero $ vecb$ y $ vecb$ son paralelos si y solo si $ vecb times vecb= vecb <0> $.

Sea $ vecb$ y $ vecb$ ser vectores distintos de cero.

Suponga $ vecb$ es paralelo a $ vecbPS Entonces el ángulo $ theta $ es 0 de $ pi $. Así que empieza left | vecb times vecb derecha | & amp = & amp left | vecb derecha | izquierda | vecb right | sin theta & amp = & amp left | vecb derecha | izquierda | vecb derecha | (0) & amp = & amp 0. end Entonces $ vecb times vecb = vecb <0> $.

Supongamos ahora que $ vecb times vecb = vecb <0> $. Entonces begin left | vecb times vecb derecha | & amp = & amp 0 left | vecb derecha | izquierda | vecb derecha | sin theta & amp = & amp 0 sin theta & amp = & amp frac <0> < left | vecb derecha | izquierda | vecb right |> sin theta & amp = & amp 0. end Entonces $ theta = 0 $ o $ pi $. En cualquier caso, $ vecb$ es paralelo a $ vecb$.

Propiedades del producto cruzado

  • $ vecb times vecb = & # 8211 izquierda ( vecb times vecb right) $

Nuevamente, vea si puede verificar cada uno de estos.

  • Lagrange & # 8217s Identidad $ left | vecb times vecb right | ^ <2> = left | vecb derecha | ^ <2> izquierda | vecb right | ^ <2> & # 8211 left ( vecb cdot vecb derecha) ^ <2>. PS

Conceptos clave

    Operaciones básicas, norma de un vector

empezar vecb cdot vecb & amp = & amp u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 & amp = & amp left < begin left | vecb right | left | vecb derecha | cos theta & amp < small textrm> vecb not = vecb <0>, vecb not = vecb <0> 0 & amp < small textrm> vecb = vecb <0> < small textrm > vecb = vecb <0> end right. & amp & amp qquad < small textrm> 0 le theta le pi < small textrm > vecb < small textrm > vecb final $ qquad $ Para $ vecb not = vecb <0>, quad vecb not = vecb <0> $, $ qquad qquad vecb cdot vecb = 0 $ si y solo si $ vecb$ es ortogonal a $ vecb$.

proyección de $ vecb$ en $ vecb$ componente vectorial de $ vecb$ perpendicular a $ vecb$

empezar vecb times vecb & amp = & amp (u_ <2> v_3-u_3v_2) ihat & # 8211 (u_1v_3-u_3v_1) jhat + (u_1v_2-u_2v_1) khat left | vecb times vecb derecha | & amp = & amp left | vecb derecha | izquierda | vecb right | sin theta quad < small textrm> vecb not = vecb <0>, quad vecb not = vecb <0> end


Comentarios

manikumar escribió hace 8 años.
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anil isharani escribió hace 9 años.
estoy aprendiendo leibniz theoram

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Cálculo vectorial - Matemáticas

- Soluciones subidas de mitad de período 2

- Cargados finales de práctica y soluciones. (Si necesita más práctica (!), Hay problemas de revisión adicionales del libro que aparece después de la última tarea).

- Se agregó una página adicional sobre Stokes / Gauss a la hoja de revisión.

- Subí algunas soluciones / comentarios para el problema de Marsden y Tromba 8.2 # 15

Quién Qué dónde
Conferencias. MWF 2: 00-2: 50 en Ledden Hall.

Horas de oficina. Miércoles 10-12 en el salón 7210, AP & ampM. Mi correo electrónico es [email protected] y mi teléfono es 534-2649. Las preguntas sobre la calificación deben dirigirse a sus asistentes auxiliares, quienes mantienen la hoja de cálculo.

Secciones de discusión / TA. Todas las secciones son los jueves. (¡Desafortunadamente, los números de sección, los horarios y las habitaciones no son fáciles de recordar!)

  • Por favor, trate de mantener su tarea ordenada y fácil de marcar para los TA: no use papel de cuaderno de espiral (se enreda con otras hojas), responda las preguntas en orden numérico, escriba de forma clara y legible.
  • ¡No olvide poner su nombre, número de sección (A01, A02,. A06) y hora (12 pm, 1 pm, 8 pm, 9 pm, 6 pm, 7 pm)! (Si asiste a una sección diferente a la que está registrado, asegúrese de etiquetar ambos claramente en su trabajo, pero entréguelo de acuerdo con la sección en la que está registrado).
  • Los buzones ahora existen, todos están en el cuadro n. ° 5.

Exámenes. Habrá dos exámenes parciales durante la hora de la conferencia y un examen final el miércoles de la semana de exámenes, como se muestra arriba. ¡Por favor traiga libros azules e identificaciones para todos los exámenes! Puede traer una hoja de notas manuscritas de 8.5x11 pulgadas (anverso y reverso) a cada examen; no se permitirán otras notas, ni calculadoras. No habrá exámenes de recuperación.. Es su responsabilidad evitar un conflicto con otros exámenes finales. No debe inscribirse en esta clase a menos que pueda tomar el final a la hora programada.

Los grados. Su calificación se basará en el mejor de los siguientes dos promedios ponderados (en particular, el segundo se aplicará automáticamente si pierde uno de los exámenes parciales):

"La curva". No hay una "curva" en ejecución, como tal. Solo puedo arreglar las bandas de calificación al final del trimestre porque antes de eso no tengo suficientes datos para compensar correctamente la dificultad de los exámenes, el rigor de la calificación, etc. Dado que los problemas de cálculo vectorial generalmente implican varias etapas de cálculo, y las integrales que surgen son a menudo relativamente complicadas, es más difícil obtener una puntuación perfecta en este curso que en otros cursos de la serie 20: en años anteriores, en general, resultó que aproximadamente El 85% fue suficiente para una A y aproximadamente el 70% para una B.

Deshonestidad academica. Hacer trampa se considera un delito grave en UCSD. Los estudiantes sorprendidos haciendo trampas pueden ser suspendidos o expulsados ​​de la universidad.

Libro de texto. Cálculo vectorial, sexta edición, por Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba publicado por W. H. Freeman, 2011. Tengo sentimientos encontrados acerca de este libro; aquí hay algunas notas y advertencias:

1. Si tiene una edición anterior a la sexta, el texto real no es muy diferente, por lo que en lo que respecta a la lectura del libro, todo está bien. Desafortunadamente, aunque los problemas se vuelven a numerar en cada nueva edición, tendrá que pedir prestada la sexta a un amigo para obtener las preguntas correctas de la tarea.

2. Hay algunos errores tipográficos bastante exasperantes en el libro, especialmente en las respuestas al final. (Usted pensaría que para la sexta edición lo habrían hecho bien, ¿no es así?) Los comentarios sobre estos se agregarán a la lista de problemas de HW a continuación.

3. En muchos de los problemas de este libro, una vez que haya hecho la parte "20E" (cálculo vectorial) de la pregunta, terminará con la parte "20B": tener que evaluar una integral. El curso de este trimestre no está destinado a hacer integrales, pero al mismo tiempo, ¡no debes olvidar cómo hacerlo! Hay ciertos tipos que surgen repetidamente en el cálculo vectorial (por ejemplo, integrales de potencias de pecado y cos, que a menudo aparecen cuando se usan coordenadas esféricas) e incluso si las encuentra aterradoras para empezar, estará acostumbrado a ellas. final del curso. Sin embargo, de vez en cuando este libro le lleva a una integral genuinamente dura. Si realmente no puede hacer que la cosa salga por sí mismo, no pierda demasiado tiempo en ella, simplemente use algún software y continúe. En mis exámenes me aseguraré de que solo se necesiten integrales "razonables".

4. Es molesto, hay muchos sistemas diferentes de terminología y notación usados ​​en el cálculo vectorial - si miras diferentes libros encontrarás diferentes nombres y símbolos. Eso significa que para leer artículos y referencias que involucran cálculo vectorial, en principio, debe sentirse cómodo con todos ellos. Algunos de los términos y símbolos usados ​​en este libro me parecen confusos y no necesariamente usaré los mismos, pero intentaré mantener en algún lugar de esta página web una lista de estas alternativas. Puede utilizar las convenciones que prefiera.

En 20C aprendiste sobre las funciones de varias variables y sus derivadas parciales. Este curso continúa directamente desde 20C (¡no tengo idea de por qué se llama 20 E!) Y se refiere al cálculo principalmente en tres dimensiones. Todas las ideas principales se originaron en el estudio del electromagnetismo del siglo XIX, y la culminación del curso es ver cómo combinar varias observaciones experimentales simples sobre campos EM para llegar a las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan la teoría EM. El lenguaje del cálculo vectorial nos brinda métodos poderosos para escribir y trabajar con estas ecuaciones de una manera que no depende del sistema de coordenadas que usemos y nos permite comprender el significado geométrico intrínseco de los diversos términos. Las mismas técnicas son increíblemente útiles en todas las áreas de las ciencias físicas.

A. Revisión de los requisitos previos del 20C. (No daré una conferencia sobre esto, pero compruebe que lo entiende haciendo HW 0 (no para crédito) a continuación)

1.1. Vectores en 2d y 3d
1.2. Producto escalar
1.3. Producto cruzado
1.4. Coordenadas cilíndricas y esféricas

2.1. Funciones, gráficos y conjuntos de niveles multivariables con valores escalares y vectoriales
2.2. Límites y continuidad
2.4. Rutas
2.6. Gradiente y derivada direccional
3.1. Segundas derivadas y mayores

4.1. Aceleración
4.2. Longitud de arco de una curva

B. Cosas básicas sobre la diferenciación, principalmente revisión, ¡pero muy importante!

2.3. Derivada de una función de varias variables.
2.5. Propiedades de la derivada

3.2. Serie de Taylor para funciones multivariables

C. Múltiples integrales - revisión parcial

5.1. Múltiples integrales
5.2. Integrales dobles sobre rectángulos
5.3. Integrales dobles sobre formas más complicadas. (Parametrizar tales formas)
5.4. El truco de cambiar el orden de integración
5.5. Integrales triples sobre regiones con formas divertidas.

6.1. Mapas entre espacios euclidianos cambios de sistema de coordenadas
6.2. La fórmula de cambio de variables para integrales (multivariable "integración por sustitución")

4.3. Campos vectoriales y sus líneas de flujo
4.4. Divergencia y curvatura: en el espacio 3D, los únicos dos tipos de derivadas con significado geométrico distintos del gradiente

E. Cuatro nuevos tipos de integrales

7.1. Integral de F.ds (por ejemplo, trabajo realizado por la fuerza cuando el objeto se mueve a lo largo de una trayectoria)
7.2. Integral de f ds (por ejemplo, para calcular el valor promedio de f sobre una curva)
7.3. Parametrización de superficies
7.4. Área de superficie
7.5. Integral de f dA (por ejemplo, para calcular el valor promedio de f sobre una superficie)
7.6. Integral de F.dA (por ejemplo, para calcular el flujo de un campo vectorial a través de una superficie)

F. Los teoremas fundamentales del cálculo

8.1. Teorema de Green (FTC para curl en 2d)
8.2. Teorema de Stokes (FTC para curl en 3d)
8.3. Campos conservadores (idea de potencial escalar y vectorial)
8.4. Teorema de Gauss (FTC para divergencia en 3d)
x.x. Las ecuaciones de Maxwell y otras aplicaciones físicas (en la sexta edición del libro, esta sección ha sido eliminada, ¡pero es realmente el objetivo de todo el curso!)

Tarea 0 (revisión de 20C - ¡no debe entregarse!)

  • Sección 1.1: (p. 18) 1, 4, 7, 11, 17
  • Sección 1.2: (pg 29) 3, 7, 12, 22
  • Sección 1.3: (pg 49) 2b, 5, 11, 15ad, 16b, 30
  • Sección 1.4: (pg 58) 1, 3ab, 9, 10, 11
  • Sección 2.1: (pg 85) 2, 9, 10b, 30, 40
  • Sección 2.2: (pg 103) 2, 6, 9c, 10b, 16
  • Sección 2.4: (pg 123) 1, 3, 9, 14, 17
  • Sección 2.6: (pág. 142) 2b, 3b, 9b, 10c, 20
  • Sección 3.1: (pg 156) 2, 9, 10, 25
  • Sección 4.1: (pg 227) 2, 5, 11, 13, 19
  • Sección 4.2: (pg 234) 3, 6, 7, 9, 13

Tarea 1 (debe entregarse el viernes 4 de octubre)

2.3 # 20 ¡Esta pregunta no tiene sentido! Debería decir

"Considere, para cada función, el conjunto de niveles que pasa por el punto (1,0,1) - en otras palabras, la superficie en R ^ 3 definida por la ecuación f (x, y, z) = c donde c = f (1,0,1). Encuentre la ecuación del plano tangente a esta superficie en el punto (1,0,1) ".

Sugerencia: si nos movemos en R ^ 3 desde (1,0,1) al punto cercano (1,0,1) + h (para algún vector pequeño h), la aproximación lineal nos dice que f cambia por Df (evaluado at (1,0,1)) multiplicado por h. Si queremos que f permanezca constante, es decir, h nos está moviendo a lo largo (= en una dirección tangente a) la superficie, necesitamos que este cambio sea 0.

2.3. # 28 No está claro cuando dicen "f: R ^ n - & gt R ^ m es un mapa lineal" si quieren decir en el "sentido geométrico" (tener un gráfico plano, lo que significa tener la forma f (x) = Ax + b, donde A es una matriz mxn y un vector m fijo) o en el "sentido del álgebra lineal" (lo que significa satisfacer las leyes f (x_1 + x_2) = f (x_1) + f (x_2) yf ( lambda.x) = lambda.f (x), y significa ser de la forma f (x) = Ax sin b). Creo que en realidad pretendían el sentido del álgebra lineal, pero debería poder calcular la derivada en ambos casos y luego ver qué tiene de especial el segundo.

2.5 # 8 Utilice la forma matricial de la regla de la cadena para hacer esto. Sé que también puede hacerlo mediante sustitución directa, pero es importante aprender a aplicar la regla. (Debe hacer esencialmente los mismos cálculos de cualquier manera, pero la regla de la matriz los organiza con mayor claridad y se vuelve cada vez más útil a medida que las funciones se vuelven más complicadas o el número de variables aumenta).

2.5 # 20 Esta es una pregunta ridículamente mal escrita, quiero decir que sin la pista no tiene absolutamente ningún sentido. Probablemente debería decir algo como esto:

"Considere tres variables x, y, z que están relacionadas por una ecuación implícita F (x, y, z) = 0. En principio, debería poder resolver cada variable y escribirla como una función de las otras dos, obteniendo funciones x = f (y, z), y = g (x, z), z = h (x, y), aunque en la práctica es probablemente imposible para nosotros hacer esto usando fórmulas explícitas (considere, por ejemplo, algo desagradable como F (x, y, z) = x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 + xyz - 1! Si solo considera que F (x, y, z) = 0 describe una superficie en R ^ 3, debería poder ver por qué las funciones f (y, z), etc.deben existir, ya sea que sepamos o no cómo escribirlas explícitamente. )

Al diferenciar las tres fórmulas de la forma F (f (y, z), y, z) = 0, demuestre que (dg / dx) (dh / dy) (df / dz) = -1 ".

Tarea 2 (vence el viernes 11 de octubre)

  • Sección 3.2: (pg 165) 3, 4, 6
  • Sección 5.1: (pg 269) 3ac, 7, 11, 14
  • Sección 5.2: (pg 282) 1d, 2c, 7, 8, 9, 17
  • Sección 5.3: (pg 288) 4ad, 7, 8, 11, 15
  • Sección 5.4: (pg 293) 3ac, 4ac, 7, 10, 14, 15

5.2 # 7 El techo es como cualquier techo normal: es parte de un plano, pero está inclinado en ángulo. (¡Describirlo como un "techo plano" es simplemente estúpido!)

Tarea 3 (debe entregarse el viernes 18 de octubre)

  • Sección 5.5: (pg 302) 5, 13, 17, 30
  • Sección 6.1: (pg 313) 3, 5, 9, 11
  • Sección 6.2: (pg 326) 1, 3, 7, 11, 13, 15, 24, 26

6.2 # 3 La respuesta dada al final del libro es incorrecta, debería ser simplemente pi. (E-1) sin la mitad (¡gracias a Kevin Nguyen por ver esto)!

Tarea 4 (vence el viernes 25 de octubre)

4.3 # 9 ¡Las respuestas que se dan al final del libro se intercambian!

Tarea 5 (vence el viernes 1 de noviembre)

  • Sección 7.1: (pg 356) 1, 4, 6, 7, 11, 12, 19, 27
  • Sección 7.2: (pg 373) 3bc, 4, 11, 13, 17
  • Sección 7.3: (pg 381) 1, 2, 4, 5, 9, 13, 19

7.1 # 7 La pregunta tiene un error tipográfico: z = x ^ 3 debe reemplazarse con z = x ^ 2 (de lo contrario, los puntos enumerados no están en la superficie).

Tarea 6 (vence el viernes 8 de noviembre)

  • Sección 7.4: (pg 391) 1, 5, 9, 17, 21, 23, 24
  • Sección 7.5: (pg 398) 3, 5, 6, 7, 12, 15, 19
  • Sección 7.6: (pg 411) 1, 2, 3, 5, 9 (use & # 8711 F = 2x3yz i - 3x2y2z j - 2 k), 11, 15, 19

7.4 # 5 La respuesta a (a) es incorrecta. Se ha utilizado al hacer (c), ¡lo que resulta en una integral más fácil y la respuesta incorrecta!

7.5 # 19 Respuesta incorrecta en la parte de atrás, debe ser 17/2

7.6 # 3 Las respuestas son incorrectas, deberían ser 54pi y 108pi.

Tarea 7 (vence el viernes 15 de noviembre)

Tarea 8 (vence el viernes 22 de noviembre)

Tarea 9 (nominalmente para el viernes 6 de diciembre, pero no se marcará, ¡así que no entregue esto!)

Problemas de revisión (para practicar antes de la final)

Estos son algunos problemas sugeridos de los conjuntos de revisión de final de capítulo, si necesita problemas de práctica adicionales, pero las preguntas de las antiguas finales a continuación, obviamente, serán las cosas más útiles en las que trabajar.

  • Capítulo 2: 7, 9, 14, 20, 37
  • Capítulo 3: 5, 10
  • Capítulo 4:10, 11, 18, 19, 32
  • Capítulo 5: 1, 2, 4, 10, 11, 26, 35
  • Capítulo 6: 2, 3, 6, 7, 15
  • Capítulo 7: 1, 8, 11, 13, 15, 17, 18, 27
  • Capítulo 8: 3, 5, 7, 9, 10, 18

Aquí tienes algunos exámenes antiguos para que los consultes. Su objetivo es asegurarle que, aunque el HW contiene algunas preguntas de tipo "teórico / explorar este concepto", los exámenes solo contendrán problemas de cálculo estándar.

Recomiendo no mirar las soluciones hasta que haya hecho los exámenes, y especialmente guardar los últimos dos para exámenes de práctica "en tiempo real".

- Mi respuesta en 2012 # 2 es incorrecta: la sustitución debería cambiar los límites para que u vaya de 4 a 9, ¡no de 0 a 5! ¡Oh!

- en S12 y F14 estaba usando la convención del libro de escribir "dS" en lugar de dA. ¡Ojalá no lo hubiera hecho!

- en S12 # 4, la "dS" es un error tipográfico, ¡debería ser una "ds" minúscula!

- ¡F14 # 3 fue demasiado difícil! Escribí mucho sobre eso en las soluciones.

Hoja de revisión

- El TA que escribió las soluciones no usó el teorema de Green en 2012 # 1, ¡pero yo lo hubiera hecho!

- ¡En 2012 # 6, el TA cometió dos errores! El factor de estiramiento solo debe tener sin (phi), NO sin ^ 2 (phi) y el límite superior para phi debe ser pi NO pi / 2. La respuesta correcta es 12pi / 5.

Algunos comentarios sobre notación y terminología.
La notación y la terminología del cálculo vectorial no están particularmente estandarizadas: diferentes libros pueden usar diferentes nombres y símbolos para los mismos conceptos. Por supuesto, esto es un poco molesto, pero es algo a lo que tienes que acostumbrarte. Intentaré poner aquí algunas notas sobre esto. ***** - & gt - & gt - & gt - & gt - & gt


Este curso está dirigido a estudiantes con especialización en Química o Bioquímica. Aproximadamente reemplaza la combinación alternativa de Math 220 y 221 (Cálculo 2 y Cálculo 3) pero con algunos cambios en los temas. En particular, a cambio de un poco menos de cálculo, incluye algo de álgebra lineal, lo que lleva a aplicaciones como la descripción de simetrías en moléculas y estructuras cristalinas.

No es necesario comprar ningún texto, porque el material principal está en forma de un libro PDF gratuito escrito para este curso. Sin embargo, hay algunas referencias útiles, comenzando con el texto de cálculo estándar utilizado en la Universidad, Cálculo: principios trascendentales por James Stewart (octava edición). Otro útil y económico, más orientado a la química es El libro de matemáticas y química por Erich Steiner (2ª edición).

Aquí está la tabla de contenido y otros temas preliminares del libro de texto en PDF Math 229. Eso da una descripción bastante detallada de los temas que se cubrirán.


MAT203 Cálculo de vectores avanzado

Breve descripción del curso: Cubre en gran medida los mismos temas matemáticos que MAT201, a saber, vectores, líneas, planos, curvas y superficies en el espacio tridimensional y más generalmente en los límites del espacio n, continuidad, optimización, diferenciación e integración de funciones de varias variables campos vectoriales, integrales de línea , integrales de flujo y teoremas de integración generalizando el Teorema Fundamental del Cálculo. El curso requiere mayor independencia, comprensión conceptual completa y fluidez computacional.

¿Por qué hacer este curso? Similar a MAT201 en contenido, MAT203 es más profundo y teórico, a menudo generalizando de 3 dimensiones a n-espacio. MAT203 pone más énfasis en por qué que en cómo sus problemas de tareas y exámenes a menudo requieren mayor fluidez en los cálculos matemáticos y sofisticación en el pensamiento matemático. Asume un gran interés por la física.

Requisitos previos: MAT104 o equivalente, y alto nivel de interés y madurez matemática.

¿Quién toma este curso? La mayoría de los estudiantes de este curso son estudiantes de primer año con un fuerte interés y madurez matemáticos con la intención de especializarse en física, matemáticas aplicadas o ingeniería.

Información de ubicación: Además de una sólida formación en cálculo de una sola variable y precálculo, los estudiantes deben tener un gran interés en pensar con rigor sobre problemas relacionados con el espacio y el tiempo.

Carga de trabajo y clasificación de amperios: Los preceptos semanales cubrirán ejemplos más sofisticados para ilustrar aspectos sutiles de definiciones y aplicaciones interesantes. Los conjuntos de problemas semanales incluyen problemas complementarios que no se encuentran en los libros de texto estándar para ayudar a los estudiantes a desarrollar habilidades de resolución de problemas independientes y creativas. Los estudiantes deben leer el libro de texto antes de cada clase y revisar las notas de la clase después de cada clase. La tarea debe tomar al menos 6 horas, aunque esto puede variar bastante dependiendo de sus antecedentes y objetivos. Hay sesiones de tarea organizadas con la orientación de los asistentes de los cursos de pregrado antes de la fecha límite de cada conjunto de problemas, pero los estudiantes deben trabajar primero de forma independiente antes de buscar ayuda de los asistentes de curso durante las sesiones de tareas. Para obtener buenos resultados en los exámenes de matemáticas, debe resolver muchos problemas adicionales de exámenes anteriores. Con todo, debería estar preparado para pasar al menos 10 horas a la semana trabajando fuera de clase. MAT203 se califica con una curva más generosa que MAT201 para eliminar las consideraciones de calificaciones como factor decisivo entre los dos cursos.


Si alguna vez sostuvo una brújula o vio las luces del norte o del sur, es consciente del magnetismo natural de la Tierra.

La temperatura de una taza de café, el flujo de un río y la cantidad de aire en el globo de un niño probablemente le resulten más familiares por la experiencia del día a día.

Algunos son campos vectoriales, otros (el escalares ) carecen de direccionalidad y solo tienen magnitud.

Seleccione entre las opciones todas las cantidades que también se pueden modelar mediante un campo vectorial.

A campo vectorial asigna un solo vector a cada punto en un subconjunto de un espacio. Si V ⃗: D ⊂ R norte ↦ R norte vec: D subconjunto mathbb^ n mapsto mathbb^ n V

) = ⟨V 1 (x 1,…, x n),…, V n (x 1,…, x n)⟩.

A escalar es una cantidad que tiene magnitud, no dirección.


Cálculo vectorial - Matemáticas

Esta wiki contiene un borrador del libro. The Geometry of Vector Calculus por Tevian Dray and Corinne A. Manogue. We are authoring this book so that many different routes through the contents are possible. Please see Tables of Contents on the Navigation Pane (to the left) to see some possiblities.

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© 2009&ndash2015&mdashTevian Dray and Corinne A. Manogue

The Geometry of Vector Calculus por Tevian Dray & Corinne A. Manogue is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs License.


Vector Calculus - Mathematics

Xinfeng Liu
Email: [email protected]
Phone: 576-5849
Office Location: LC 317Q
Office Hours: M T W TH 10:30AM to 12:10PM

Textbook: Thomas' Calculus, Early Transcendentals, Custom Edition for USC (13th edition), by George B. Thomas

Requisito previo: A grade C or better in MATH 142.

Subject Materials: We shall cover the material presented in Chapters 12-16.

Learning Outcome: The primary goal of this course is to understand "Vector Valued Functions", "Functions of Two or More Variables", and associated derivatives (partial derivatives and directional derivatives) and integrals (double integrals and triple integrals). After this course, you are also supposed to be familiar with "Line Integrals" and a big theorem "Green's Theorem", and how to use them.

Reading: Reading the textbook por adelantado of the lecture is strongly encouraged. Benefits of this preparation include obtaining a familiarity with the terminology and concepts that will be encountered (so you can distinguish major points from side issues), being able to formulate questions about the parts of the presentation that you do not understand, and having a chance to review the skills and techniques that will be needed to apply the new concepts.

Tarea:
Asignación de tareas
Homework will be assigned for each section, and will not be collected, but you are supposed to do them all. REMEMBER: the more problems you do, the better you understand the material. There will be approximately two quizzes per week. There are two to four questions in one quiz. The quiz problems will be either the same as, or very similar to those from the homework. Thus, if a student has made a good attempt at the homework, he/she should do well on the quiz. One lowest quiz grades will be dropped from the final grade calculation.

Exams: There will be two midterm exams and a comprehensive final exam.
Exam 1: Thursday, July 2
Exam 2: Thursday, July 16
Final Exam: Friday, July 31

The exams are "closed book" – no books, no notes, no calculators, no computer or equivalent technology, etc. There are no early exams. A make-up exam is only possible for written legitimate documented reasons of illness, family emergency, or participation in a University sponsored event.

Grades:

Exam 1 25%
Exam 2 25%
Final Exam 30%
Quizzes 20%
Total 100%

A straight scale will be used so that A's, B's C's and D's correspond to the percent ranges 100-90, 90-80, 80-70 and 70-60 respectively. Plus grading will be used. Por ejemplo:

90-100:A 86-89: B+ 80-85: B 76-79: C+
70-75: C 66-69: D+ 60-65: D 0-59: F

Class Files (Check Blackboard)

Academic Dishonesty: Cheating and plagiarism in any form is not tolerated. If a student is caught cheating, I will follow the guidelines as set forth in the USC Honor Code and other University guidelines.


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