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4.9E: Ejercicios para la sección 4.9


En los ejercicios 1 a 5, escribe la fórmula de Newton como (x_ {n + 1} = F (x_n) ) para resolver (f (x) = 0 ).

1) (f (x) = x ^ 2 + 1 )

2) (f (x) = x ^ 3 + 2x + 1 )

Respuesta
(F (x_n) = x_n− dfrac {x_n ^ 3 + 2x_n + 1} {3x_n ^ 2 + 2} )

3) (f (x) = sin x )

4) (f (x) = e ^ x )

Respuesta
(F (x_n) = x_n− dfrac {e ^ {x_n}} {e ^ {x_n}} )

5) (f (x) = x ^ 3 + 3xe ^ x )

En los ejercicios 6 a 8, resuelva (f (x) = 0 ) usando la iteración (x_ {n + 1} = x_ {n − c} f (x_n) ), que difiere ligeramente del método de Newton. Encontrar un (C) eso funciona y un (C) que no converge, con la excepción de (c = 0. )

6) (f (x) = x ^ 2−4, ) con (x_0 = 0 )

Respuesta
(| c |> 0.5 ) falla, (| c | ≤0.5 ) funciona

7) (f (x) = x ^ 2−4x + 3, ) con (x_0 = 2 )

8) ¿Cuál es el valor de ("c" ) para el método de Newton?

Respuesta
(c = dfrac {1} {f ′ (x_n)} )

En los ejercicios 9 a 16, calcule (x_1 ) y (x_2 ) utilizando el método iterativo especificado.

Empieza en

una. (x_0 = 0,6 ) y

B. (x_0 = 2. )

9) (x_ {n + 1} = x_n ^ 2− frac {1} {2} )

10) (x_ {n + 1} = 2x_n left (1 − x_n right) )

Respuesta
una. (x_1 = frac {12} {25}, ; x_2 = frac {312} {625}; )
B. (x_1 = −4, ; x_2 = −40 )

11) (x_ {n + 1} = sqrt {x_n} )

12) (x_ {n + 1} = frac {1} { sqrt {x_n}} )

Respuesta
una. (x_1 = 1.291, ; x_2 = 0.8801; )
B. (x_1 = 0,7071, ; x_2 = 1,189 )

13) (x_ {n + 1} = 3x_n (1 − x_n) )

14) (x_ {n + 1} = x_n ^ 2 + x_ {n − 2} )

Respuesta
una. (x_1 = - frac {26} {25}, ; x_2 = - frac {1224} {625}; )
B. (x_1 = 4, ; x_2 = 18 )

15) (x_ {n + 1} = frac {1} {2} x_n − 1 )

16) (x_ {n + 1} = | x_n | )

Respuesta
una. (x_1 = frac {6} {10}, ; x_2 = frac {6} {10}; )
B. (x_1 = 2, ; x_2 = 2 )

En los ejercicios 17 a 26, resuelva hasta cuatro lugares decimales usando el método de Newton y una computadora o calculadora. Elija cualquier conjetura inicial (x_0 ) esa no es la raíz exacta.

17) (x ^ 2−10 = 0 )

18) (x ^ 4−100 = 0 )

Respuesta
(3.1623 ) o (- 3.1623 )

19) (x ^ 2 − x = 0 )

20) (x ^ 3 − x = 0 )

Respuesta
(0, ) (- 1 ) o (1 )

21) (x + 5 cos x = 0 )

22) (x + tan x = 0, ) elige (x_0∈ left (- frac {π} {2}, frac {π} {2} right) )

Respuesta
(0)

23) ( dfrac {1} {1 − x} = 2 )

24) (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 = 2 )

Respuesta
(0.5188 ) o (- 1.2906 )

25) (x ^ 3 + (x + 1) ^ 3 = 10 ^ 3 )

26) (x = sin ^ 2 (x) )

Respuesta
(0)

En los ejercicios 27 a 30, use el método de Newton para encontrar los puntos fijos de la función donde (f (x) = x ); redondear a tres decimales.

27) ( sin x )

28) ( tan x ) en (x = left ( frac {π} {2}, frac {3π} {2} right) )

Respuesta
(4.493)

29) (e ^ x − 2 )

30) ( ln (x) +2 )

Respuesta
(0.159,; 3.146)

El método de Newton se puede utilizar para encontrar máximos y mínimos de funciones además de las raíces. En este caso, aplique el método de Newton a la función derivada (f ′ (x) ) para encontrar sus raíces, en lugar de la función original. En los ejercicios 31 a 32, considere la formulación del método.

31) Para encontrar candidatos para máximos y mínimos, necesitamos encontrar los puntos críticos (f ′ (x) = 0. ) Demuestre que para resolver los puntos críticos de una función (f (x) ), Newton El método viene dado por (x_ {n + 1} = x_n− dfrac {f ′ (x_n)} {f '' (x_n)} ).

32) ¿Qué restricciones adicionales son necesarias en la función (f )?

Respuesta
Necesitamos que (f ) sea dos veces diferenciable de forma continua.

En los ejercicios 33 a 40, use el método de Newton para encontrar la ubicación de los mínimos y / o máximos locales de las siguientes funciones; redondear a tres decimales.

33) Mínimo de (f (x) = x ^ 2 + 2x + 4 )

34) Mínimo de (f (x) = 3x ^ 3 + 2x ^ 2−16 )

Respuesta
(x = 0 )

35) Mínimo de (f (x) = x ^ 2e ^ x )

36) Máximo de (f (x) = x + dfrac {1} {x} )

Respuesta
(x = −1 )

37) Máximo de (f (x) = x ^ 3 + 10x ^ 2 + 15x − 2 )

38) Máximo de (f (x) = dfrac { sqrt {x} - sqrt [3] {x}} {x} )

Respuesta
(x = 5,619 )

39) Mínimo de (f (x) = x ^ 2 sin x, ) mínimo distinto de cero más cercano a (x = 0 )

40) Mínimo de (f (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + 3x ^ 2 + 12x + 6 )

Respuesta
(x = −1,326 )

En los ejercicios 41 a 44, use el método especificado para resolver la ecuación. Si no funciona, explique por qué no funciona.

41) Método de Newton, (x ^ 2 + 2 = 0 )

42) Método de Newton, (0 = e ^ x )

Respuesta
No hay solución para la ecuación.

43) Método de Newton, (0 = 1 + x ^ 2 ) comenzando en (x_0 = 0 )

44) Resolviendo (x_ {n + 1} = - x_n ^ 3 ) comenzando en (x_0 = −1 )

Respuesta
Entra en un ciclo.

En los ejercicios 45 a 48, use el método secante, un método iterativo alternativo al método de Newton. La fórmula viene dada por

(x_n = x_ {n − 1} −f (x_ {n − 1}) dfrac {x_ {n − 1} −x_ {n − 2}} {f (x_ {n − 1}) - f ( x_ {n − 2})}. )

45) una raíz a (0 = x ^ 2 − x − 3 ) con una precisión de tres decimales.

46) Encuentra una raíz para (0 = sin x + 3x ) con una precisión de cuatro lugares decimales.

Respuesta
(0)

47) Encuentra una raíz para (0 = e ^ x − 2 ) con una precisión de cuatro lugares decimales.

48) Encuentra una raíz para ( ln (x + 2) = dfrac {1} {2} ) con una precisión de cuatro decimales.

Respuesta
(−0.3513)

49) ¿Por qué usarías el método de la secante en lugar del método de Newton? ¿Cuáles son las restricciones necesarias en (f )?

En los ejercicios 50 a 54, use tanto el método de Newton como el método de la secante para calcular la raíz de las siguientes ecuaciones. Use una calculadora o computadora para calcular cuántas iteraciones de cada una se necesitan para llegar dentro de los tres lugares decimales de la respuesta exacta. Para el método de la secante, use la primera estimación del método de Newton.

50) (f (x) = x ^ 2 + 2x + 1, quad x_0 = 1 )

Respuesta
Newton: (11 ) iteraciones, secante: (16 ) iteraciones

51) (f (x) = x ^ 2, quad x_0 = 1 )

52) (f (x) = sin x, quad x_0 = 1 )

Respuesta
Newton: tres iteraciones, secante: seis iteraciones

53) (f (x) = e ^ x − 1, quad x_0 = 2 )

54) (f (x) = x ^ 3 + 2x + 4, quad x_0 = 0 )

Respuesta
Newton: cinco iteraciones, secante: ocho iteraciones

En los ejercicios 55 a 56, considere la ecuación de Kepler con respecto a las órbitas planetarias, (M = E − ε sin (E) ), dónde (METRO) es la anomalía media, (MI) es una anomalía excéntrica, y (ε ) mide la excentricidad.

55) Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica (E ) cuando la anomalía media (M = frac {π} {3} ) y la excentricidad de la órbita (ε = 0,25; ) redondeen tres decimales.

56) Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica (E ) cuando la anomalía media (M = frac {3π} {2} ) y la excentricidad de la órbita (ε = 0.8; ) se redondeen a tres decimales.

Respuesta
(E = 4.071 )

En los ejercicios 57 a 58, considere una inversión bancaria. La inversión inicial es ($10,000). Después (25) años, la inversión se ha triplicado hasta ($30,000.)

57) Utilice el método de Newton para determinar la tasa de interés si el interés se capitaliza anualmente.

58) Utilice el método de Newton para determinar la tasa de interés si el interés se capitaliza continuamente.

Respuesta
(4.394%)

59) El costo de impresión de un libro puede estar dado por la ecuación (C (x) = 1000 + 12x + frac {1} {2} x ^ {2/3} ). Usa el método de Newton para encontrar el punto de equilibrio si la impresora vende cada libro por ($ 20. )