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15.6: Integrales triples


Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer cuando una función de tres variables es integrable sobre una caja rectangular.
  • Evalúe una integral triple expresándola como una integral iterada.
  • Reconocer cuando una función de tres variables es integrable en una región cerrada y acotada.
  • Simplifique un cálculo cambiando el orden de integración de una integral triple.
  • Calcule el valor promedio de una función de tres variables.

Anteriormente, discutimos la integral doble de una función (f (x, y) ) de dos variables sobre una región rectangular en el plano. En esta sección definimos la integral triple de una función (f (x, y, z) ) de tres variables sobre una caja sólida rectangular en el espacio, ( mathbb {R} ^ 3 ). Más adelante en esta sección ampliamos la definición a regiones más generales en ( mathbb {R} ^ 3 ).

Funciones integrables de tres variables

Podemos definir una caja rectangular (B ) en ( mathbb {R} ^ 3 ) como

[B = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f big }. ]

Seguimos un procedimiento similar al que hicimos anteriormente. Dividimos el intervalo ([a, b] ) en (l ) subintervalos ([x_ {i-1}, x_i] ) de igual longitud ( Delta x ) con

[ Delta x = dfrac {x_i - x_ {i-1}} {l}, ]

divide el intervalo ([c, d] ) en (m ) subintervalos ([y_ {i-1}, y_i] ) de igual longitud ( Delta y ) con

[ Delta y = dfrac {y_j - y_ {j-1}} {m}, ]

y divide el intervalo ([e, f] ) en (n ) subintervalos ([z_ {i-1}, z_i] ) de igual longitud ( Delta z ) con

[ Delta z = dfrac {z_k - z_ {k-1}} {n} ]

Luego, la caja rectangular (B ) se subdivide en (lmn ) subcajas:

[B_ {ijk} = [x_ {i-1}, x_i] times [y_ {i-1}, y_i] times [z_ {i-1}, z_i], ]

como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

Para cada (i, , j, ) y (k ), considere un punto de muestra ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) en cada subcaja (B_ {ijk} ). Vemos que su volumen es ( Delta V = Delta x Delta y Delta z ). Forme la suma triple de Riemann

[ sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ * ) , Delta x Delta y Delta z. ]

Definimos la integral triple en términos del límite de una suma de Riemann triple, como hicimos para la integral doble en términos de una suma de Riemann doble.

Definición: la integral triple

La integral triple de una función (f (x, y, z) ) sobre una caja rectangular (B ) se define como

[ lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) , Delta x Delta y Delta z = iiint_B f (x, y, z) , dV ] si existe este límite.

Cuando la integral triple existe en (B ), se dice que la función (f (x, y, z) ) es integrable en (B ). Además, la integral triple existe si (f (x, y, z) ) es continua en (B ). Por lo tanto, usaremos funciones continuas para nuestros ejemplos. Sin embargo, la continuidad es suficiente pero no necesaria; en otras palabras, (f ) está limitado en (B ) y es continuo excepto posiblemente en el límite de (B ). El punto de muestra ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) puede ser cualquier punto en la subcaja rectangular (B_ {ijk} ) y todos los Las propiedades de una integral doble se aplican a una integral triple. Así como la integral doble tiene muchas aplicaciones prácticas, la integral triple también tiene muchas aplicaciones, que discutiremos en secciones posteriores.

Ahora que hemos desarrollado el concepto de integral triple, necesitamos saber cómo calcularlo. Al igual que en el caso de la integral doble, podemos tener una integral triple iterada y, en consecuencia, una versión de Teorema de Fubini para integrales triples existe.

Teorema de Fubini para integrales triples

Si (f (x, y, z) ) es continuo en una caja rectangular (B = [a, b] times [c, d] times [e, f] ), entonces

[ iint_B f (x, y, z) , dV = int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ b f (x, y, z) , dx , dy , dz. ]

Esta integral también es igual a cualquiera de los otros cinco posibles ordenamientos para la integral triple iterada.

Para (a, b, c, d, e ) y (f ) números reales, la integral triple iterada se puede expresar en seis ordenamientos diferentes:

[ begin {align} int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ bf (x, y, z) , dx , dy , dz = int_e ^ f left ( int_c ^ d left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx right) dy right) dz = int_c ^ d left ( int_e ^ f left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx right) dz right) dy = int_a ^ b left ( int_e ^ f left ( int_c ^ df (x, y, z) , dy right) dz right) dx = int_e ^ f left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dy right) dx right) dz = int_c ^ d left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dz right) dx right) dy = int_a ^ b left ( int_c ^ d left ( int_e ^ ff ( x, y, z) , dz right) dy right) dx end {align} ]

Para una caja rectangular, el orden de integración no hace ninguna diferencia significativa en el nivel de dificultad en el cálculo. Calculamos integrales triples usando el teorema de Fubini en lugar de usar la definición de suma de Riemann. Seguimos el orden de integración de la misma manera que lo hicimos para las integrales dobles (es decir, de adentro hacia afuera).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluación de una integral triple

Evalúa la integral triple [ int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz. sin número ]

Solución

El orden de integración se especifica en el problema, así que integre con respecto a (x ) primero, luego yy luego (z ).

[ begin {align *} int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} left. left [ dfrac {x ^ 2} {2} + xyz ^ 2 right | _ {x = -1} ^ {x = 5} right] , dy , dz text {Integrar con respecto a $ x $.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} left [12 + 6yz ^ 2 right] , dy , dz text {Evaluar.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} left [ left.12y + 6 dfrac {y ^ 2} {2} z ^ 2 right | _ {y = 2} ^ {y = 4} right] dz text {Integrar con respecto a $ y $.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} [24 + 36z ^ 2] , dz text {Evaluar.} = left [24z + 36 dfrac {z ^ 3} {3} right] _ {z = 0} ^ {z = 1} text {Integrar con respecto a $ z $.} = 36. text {Evaluar.} end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de una integral triple

Evaluar la integral triple

[ iiint_B x ^ 2 yz , dV ]

donde (B = big {(x, y, z) , | , - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 big } ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Solución

El orden no está especificado, pero podemos usar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Elija, digamos, integrar (y ) primero, luego (x ) y luego (z ).

[ begin {align *} iiint limits_ {B} x ^ 2 yz , dV = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 int_0 ^ 3 [x ^ 2 yz] , dy , dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 left [ left. x ^ 2 dfrac {y ^ 3} {3} z right | _0 ^ 3 right] dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 dfrac {y} {2} x ^ 2 z , dx , dz = int_1 ^ 5 left [ left. dfrac {9} {2} dfrac {x ^ 3} {3} z right | _ {- 2} ^ 1 right] dz = int_1 ^ 5 dfrac {27} {2} z , dz = izquierda. dfrac {27} {2} dfrac {z ^ 2} {2} right | _1 ^ 5 = 162. end {align *} ]

Ahora intente integrar en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elija integrar con respecto a (x ) primero, luego (z ), luego (y )

[ begin {align *} iiiint limits_ {B} x ^ 2yz , dV = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 [x ^ 2yz] , dx , dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 left [ left. dfrac {x ^ 3} {3} yz right | _ {- 2} ^ 1 right] dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 3yz ; dz , dy = int_0 ^ 3 left. left [3y dfrac {z ^ 2} {2} right | _1 ^ 5 right] , dy = int_0 ^ 3 36y ; dy = left. 36 dfrac {y ^ 2} {2} right | _0 ^ 3 = 18 (9-0) = 162. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Evaluar la integral triple

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV nonumber ]

donde (B = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq pi, , dfrac {3 pi} {2} leq y leq 2 pi , , 1 leq z leq 3 big } ).

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior.

Respuesta

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV = 8 nonumber ]

Triple Integral sobre una Región General

La integral triple de una función continua (f (x, y, z) ) sobre una región tridimensional general

[E = grande {(x, y, z) , | , (x, y) in D, , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) grande } ]

en ( mathbb {R} ^ 3 ), donde (D ) es la proyección de (E ) en el plano (xy ) -, es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz right] dA. ]

De manera similar, podemos considerar una región acotada general (D ) en el plano (xy ) - y dos funciones (y = u_1 (x, z) ) y (y = u_2 (x, z) ) tal que (u_1 (x, z) leq u_2 (x, z) ) para todo (9x, z) ) en (D ). Entonces podemos describir la región sólida (E ) en ( mathbb {R} ^ 3 ) como

[E = grande {(x, y, z) , | , (x, z) in D, , u_1 (x, z) leq z leq u_2 (x, z) grande } ] donde (D ) es la proyección de (E ) sobre el plano (xy ) - y la integral triple es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (x, z)} ^ {u_2 (x, z)} f ​​(x, y, z) , dy right] dA. ]

Finalmente, si (D ) es una región limitada general en el plano (xy ) - y tenemos dos funciones (x = u_1 (y, z) ) y (x = u_2 (y, z) ) tal que (u_1 (y, z) leq u_2 (y, z) ) para todo ((y, z) ) en (D ), luego la región sólida (E ) en ( mathbb {R} ^ 3 ) se puede describir como

[E = big {(x, y, z) , | , (y, z) in D, , u_1 (y, z) leq z leq u_2 (y, z) big } ] donde (D ) es la proyección de (E ) sobre el plano (xy ) - y la integral triple es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (y, z)} ^ {u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx right] dA. ]

Tenga en cuenta que la región (D ) en cualquiera de los planos puede ser de Tipo I o Tipo II como se describió anteriormente. Si (D ) en el (xy ) - el plano es de Tipo I (Figura ( PageIndex {4} )), entonces

[E = grande {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , g_1 (x) leq y leq g_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Entonces la integral triple se convierte en

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x , y)} f (x, y, z) , dz , dy , dx. ]

Si (D ) en el (xy ) - el plano es de Tipo II (Figura ( PageIndex {5} )), entonces

[E = grande {(x, y, z) , | , c leq x leq d, h_1 (x) leq y leq h_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Entonces la integral triple se convierte en

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {x = h_1 (y)} ^ {x = h_2 (y)} int_ {z = u_1 (x, y)} ^ {z = u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz , dx , dy. ]

Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Evaluación de una integral triple sobre una región limitada general

Evalúa la integral triple de la función (f (x, y, z) = 5x - 3y ) sobre el tetraedro sólido delimitado por los planos (x = 0, , y = 0, , z = 0 ) y (x + y + z = 1 ).

Solución

La figura ( PageIndex {6} ) muestra el tetraedro sólido (E ) y su proyección (D ) en el plano (xy ).

Podemos describir el tetraedro de la región sólida como

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y grande }. sin número]

Por tanto, la integral triple es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx. sin número]

Para simplificar el cálculo, primero evalúa la integral ( displaystyle int_ {z = 0} ^ {z = 1-x-y} (5x - 3y) , dz ). Tenemos

[ int_ {z = 0} ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz = (5x - 3y) z bigg | _ {z = 0} ^ {z = 1-xy} = (5x - 3y) (1 - x - y). Nonumber ]

Ahora evalúa la integral

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy, nonumber ]

obtención

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy = dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1). Nonumber ]

Finalmente evaluar

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1) , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Poniéndolo todo junto, tenemos

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Así como usamos la integral doble [ iint_D 1 , dA ] para encontrar el área de una región acotada general (D ), podemos usar [ iiint_E 1 , dV ] para encontrar el volumen de una región sólida general acotada (E ). El siguiente ejemplo ilustra el método.

Ejemplo ( PageIndex {3B} ): encontrar un volumen evaluando una integral triple

Encuentra el volumen de una pirámide recta que tiene la base cuadrada en el plano ([- 1,1] times [-1,1] ) y el vértice en el punto ((0, 0 , 1) ) como se muestra en la siguiente figura.

Solución

En esta pirámide, el valor de (z ) cambia de 0 a 1 y en cada altura (z ) la sección transversal de la pirámide para cualquier valor de (z ) es el cuadrado

[[- 1 + z, , 1 - z] times [-1 + z, , 1 - z]. Nonumber ]

Por lo tanto, el volumen de la pirámide es [ iiint_E 1 , dV nonumber ] donde

[E = grande {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z big }. nonumber ]

Por lo tanto, tenemos

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} int_ {x = -1 + z} ^ {x = 1-z} 1 , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} (2 - 2z) , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} (2 - 2z) ^ 2 , dz = dfrac {4 } {3}. end {alinear *} ]

Por tanto, el volumen de la pirámide es ( dfrac {4} {3} ) unidades cúbicas.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Considere la esfera sólida (E = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 big } ). Escribe la integral triple [ iiint_E f (x, y, z) , dV nonumber ] para una función arbitraria (f ) como una integral iterada. Luego evalúa esta integral triple con (f (x, y, z) = 1 ). Observe que esto da el volumen de una esfera usando una integral triple.

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior. Usa la simetría.

Respuesta

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV = 8 int_ {x = -3} ^ {x = 3} int_ {y = - sqrt {9-z ^ 2}} ^ {y = sqrt {9-z ^ 2}} int_ {z = - sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} ^ {z = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} 1 , dz , dy , dx = 36 pi , text {unidades cúbicas}. end {alinear *} ]

Cambiar el orden de integración

Como ya hemos visto en integrales dobles sobre regiones limitadas generales, el cambio del orden de la integración se realiza con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una integral triple sobre una caja rectangular, el orden de integración no cambia el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una integral triple sobre una región limitada general, elegir un orden de integración apropiado puede simplificar bastante el cálculo. A veces, hacer el cambio a las coordenadas polares también puede ser muy útil. Demostramos dos ejemplos aquí.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Cambiar el orden de integración

Considere la integral iterada

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y} f (x, y, z ) , dz , dy , dx. ]

El orden de integración aquí es primero con respecto a z, luego y, y entonces X. Exprese esta integral cambiando el orden de integración para que sea primero con respecto a (x ), luego (z ) y luego (y ). Verifica que el valor de la integral sea el mismo si dejamos (f (x, y, z) = xyz ).

Solución

La mejor manera de hacer esto es dibujar la región (E ) y sus proyecciones en cada uno de los tres planos de coordenadas. Por lo tanto, dejemos

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2, , 0 leq z leq y grande }. nonumber ]

y

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} f (x, y , z) , dz , dy , dx = iiint_E f (x, y, z) , dV. nonumber ]

Necesitamos expresar esta integral triple como

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy. nonumber ]

Conociendo la región (E ) podemos dibujar las siguientes proyecciones (Figura ( PageIndex {8} )):

en el plano (xy ) - está (D_1 = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2 big } = {(x, y) , | , 0 leq y leq 1, , sqrt {y} leq x leq 1 big }, )

en el plano (yz ) - es (D_2 = big {(y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 big }), y

en el plano (xz ) - está (D_3 = big {(x, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x ^ 2 big } ).

Ahora podemos describir la misma región (E ) como ( big {(x, y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 , , sqrt {y} leq x leq 1 big } ), y en consecuencia, la integral triple se convierte en

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} f (x, y, z) , dx , dz , dy ]

Ahora suponga que (f (x, y, z) = xyz ) en cada una de las integrales. Entonces nosotros tenemos

[ begin {align *} int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2 } xyz , dz , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} left. left [xy dfrac {z ^ 2} {2} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] , dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} left (x dfrac {y ^ 5} {2} right) dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} izquierda. left [x dfrac {y ^ 6} {12} right | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} right] dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {x ^ {13}} {12} dx = left. dfrac {x ^ {14}} {168} right | _ {x = 0} ^ {x = 1} = dfrac {1} {168}, end {align *} ]

[ begin {align *} int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} xyz , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} left. Left [ yz dfrac {x ^ 2} {2} right | _ { sqrt {y}} ^ {1} right] dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ { z = 0} ^ {z = y ^ 2} left ( dfrac {yz} {2} - dfrac {y ^ 2z} {2} right) dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} izquierda. left [ dfrac {yz ^ 2} {4} - dfrac {y ^ 2z ^ 2} {4} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left ( dfrac {y ^ 5} {4} - dfrac {y ^ 6} {4} right) dy = left. left ( dfrac {y ^ 6} {24} - dfrac {y ^ 7} {28} right) right | _ {y = 0} ^ {y = 1} = dfrac {1} {168 }. end {alinear *} ]

Las respuestas coinciden.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Escribe cinco integrales iteradas diferentes iguales a la integral dada

[ int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {y = 0} ^ {y = 4-z} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x , y, z) , dx , dy , dz. nonumber ]

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior, usando la región (E ) como ( big {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt {y} big } ), y describe y dibuja las proyecciones en cada uno de los tres planos, cinco tiempos diferentes.

Respuesta

[(i) , int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {4-z}} int_ {y = x ^ 2} ^ { y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {z = 0 } ^ {z = 4-y} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x, y, z) , dx , dz , dy, , (iii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} int_ {z = 0} ^ {Z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dx , dy, , nonumber ]

[(iv) , int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = 0} ^ {z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dy , dx, , (v) int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4-x ^ 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dz , dx nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Cambiar el orden de integración y los sistemas de coordenadas

Evaluar la integral triple

[ iiint_ {E} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV, nonumber ]

donde (E ) es la región delimitada por el paraboloide (y = x ^ 2 + z ^ 2 ) (Figura ( PageIndex {9} )) y el plano (y = 4 ).

Solución

La proyección de la región sólida (E ) sobre el plano (xy ) - es la región delimitada arriba por (y = 4 ) y abajo por la parábola (y = x ^ 2 ) como se muestra.

Por lo tanto, tenemos

[E = big {(x, y, z) , | , -2 leq x leq 2, , x ^ 2 leq y leq 4, , - sqrt {y - x ^ 2} leq z sqrt {y - x ^ 2} big }. Nonumber ]

La integral triple se convierte en

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx. nonumber ]

Esta expresión es difícil de calcular, así que considere la proyección de (E ) en el plano (xz ) -. Este es un disco circular (x ^ 2 + z ^ 2 leq 4 ). Entonces obtenemos

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx. Nonumber ]

Aquí el orden de integración cambia de ser primero con respecto a (z ) luego (y ) y luego (x ) a ser primero con respecto a (y ) luego a (z ) y luego a (x ). Pronto quedará claro cómo este cambio puede ser beneficioso para la computación. Tenemos

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2 } , dz , dx. nonumber ]

Ahora usa la sustitución polar (x = r , cos , theta, , z = r , sin , theta ), y (dz , dx = r , dr , d theta ) en el plano (xz ). Esto es esencialmente lo mismo que cuando usamos coordenadas polares en el plano (xy ), excepto que estamos reemplazando (y ) por (z ). En consecuencia, los límites de integración cambian y tenemos, al usar (r ^ 2 = x ^ 2 + z ^ 2 ),

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dx = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2} (4 - r ^ 2) rr , dr , d theta = int_0 ^ {2 pi} left. left [ dfrac {4r ^ 3} {3} - dfrac {r ^ 5} {5} right | _0 ^ 2 right] , d theta = int_0 ^ {2 pi} dfrac { 64} {15} , d theta = dfrac {128 pi} {15} nonumber ]

Valor medio de una función de tres variables

Recuerde que encontramos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la integral doble sobre una región en el plano y luego dividiendo por el área de la región. De manera similar, podemos encontrar el valor promedio de una función en tres variables evaluando la integral triple sobre una región sólida y luego dividiendo por el volumen del sólido.

Valor medio de una función de tres variables

Si (f (x, y, z) ) es integrable sobre una región sólida acotada (E ) con volumen positivo (V , (E), ) entonces el valor promedio de la función es

[f_ {ave} = dfrac {1} {V , (E)} iiint_E f (x, y, z) , dV. ]

Tenga en cuenta que el volumen es

[V , (E) = iiint_E 1 , dV. ]

Ejemplo ( PageIndex {6} ): encontrar una temperatura promedio

La temperatura en un punto ((x, y, z) ) de un sólido (E ) delimitado por los planos de coordenadas y el plano (x + y + z = 1 ) es (T (x, y, z) = (xy + 8z + 20) , text {°} text {C} ). Encuentra la temperatura promedio sobre el sólido.

Solución

Usa el teorema dado arriba y la integral triple para encontrar el numerador y el denominador. Luego haz la división. Observe que el plano (x + y + z = 1 ) tiene intersecciones ((1,0,0), , (0,1,0), ) y ((0,0,1) ). La región (E ) parece

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y grande }. nonumber ]

Por tanto, la integral triple de la temperatura es

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac {147} {40}. sin número ]

La evaluación de volumen es

[V , (E) = iiint_E 1 , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} 1 , dz , dy , dx = dfrac {1} {6}. sin número ]

Por tanto, el valor medio es

[T_ {ave} = dfrac {147/40} {1/6} = dfrac {6 (147)} {40} = dfrac {441} {20} , text {°} text { C} nonumber ].

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre el valor promedio de la función (f (x, y, z) = xyz ) sobre el cubo con lados de 4 unidades de longitud en el primer octante con un vértice en el origen y bordes paralelos a los ejes de coordenadas.

Insinuación

Siga los pasos del ejemplo anterior.

Respuesta

(f_ {ave} = 8 )


Matemáticas 2D & # 8211 Cálculo multivariable

¡Bienvenido a Math 2D, divertido en varias variables! En este curso, generalizaremos la noción de derivada y de integral de Matemáticas 2A / 2B a varias dimensiones, ya que no somos hormigas que viven en una dimensión, sino osos hormigueros que viven en tres dimensiones. En esta página puede encontrar el plan de estudios e información sobre los exámenes, así como los exámenes de práctica. ¡Disfruta el viaje!

Aquí están los programas del curso, dependiendo de la lección en la que esté inscrito.

Programa de la Conferencia C (MWF 4 & # 8211 5 PM): Programa

Lecture E Syllabus (MWF 2 & # 8211 3 PM): Plan de estudios

Tarea sugerida

Las tareas sugeridas son no debe entregarse, pero es importante para las pruebas y los exámenes. Puede encontrar soluciones a todos los problemas en Stewart en la página de lienzo en la pestaña & # 8216Files & # 8217.

Enlaces útiles

Sitio del curso Canvas (principalmente para comprobar las puntuaciones de sus pruebas y exámenes)

Hamed Youssepour & # 8217s Math 2D Website (contiene notas útiles y exámenes de práctica)

Aquí puede encontrar información sobre los exámenes, así como otros beneficios, como los exámenes de práctica. ¡Asegúrese de visitar también los sitios web de Hamed Youssefpour & # 8217s y Chris Davis & # 8217 anteriores para obtener más exámenes de práctica!

Examen de mitad de período: cubre todo hasta la sección 14.4 inclusive (planos tangentes y aproximaciones lineales)

Conferencia C: viernes 4, 4 de mayo y # 8211 4:50 PM en 1600 Donald Bren Hall

Conferencia E: Viernes, 4, 2 de mayo y # 8211 2:50 PM en el edificio 120 del aula de Ciencias Físicas

Examen final: cubre todo hasta la sección 15.6 inclusive (integrales triples)

Conferencia C y E: miércoles 13 de junio, 10:30 a. M. Y # 8211 a las 12:30 p. M. En 1100 Donald Bren Hall


Интегрирование является важным инструментом математического анализа, который вычисляет пезододлитого анализа, который вычисляет пезодлиза, который вычисляет пезододлисляет пезододлиза.

Неопределенный интеграл функции f (x), обозначаемый ∫f (x) dx, определяется как первообразная от f (x). Другими словами, производная от ∫f (x) dx равняется f (x). Поскольку производная от постоянной равна нулю, неопределенные интегралы определены с точноянной дий. Например, ∫sin (x) dx = −cos (x) + постоянная, потому что производная от −cos (x) + постоянная равняется sin (x). Определенный интеграл функции f (x) на отрезке от x = a до x = b, обозначаемый ∫baf (x) dx, определяется как суммарная площадь со знаком между кривой f (x) и осью абсцисс на отрезке от x = a x = до B.

Оба типа интегралов связаны друг с другом основной теоремой анализа. Она утверждает, что если функция f (x) является интегрируемой на отрезке [a, b] а F (x) является ее непрерывной первообразной, то ∫baf (x) dx = F (b) -F (a). Таким образом, ∫π0sin (x) dx = (- cos (π)) - (- cos (0)) = 2. Иногда необходимо найти приближенное значение определенного интеграла. Распространенным методом вычисления приближения является размещение тонких прямоугольников под графиком функции и суммирование их площадей со знаком. Wolfram | Alpha может вычислять значения для широкого ряда интегралов.


Transcripción de la presentación

15 MÚLTIPLES INTEGRALES

MÚLTIPLES INTEGRALES 15.6 Integrales triples • En esta sección, aprenderemos sobre: ​​• Integrales triples y sus aplicaciones.

INTEGRALES TRIPLES • Así como definimos integrales simples para funciones de una variable e integrales dobles para funciones de dos variables, también podemos definir integrales triples para funciones de tres variables.

INTEGRALES TRIPLES Ecuación 1 • Primero tratemos con el caso más simple donde f se define en una caja rectangular:

INTEGRALES TRIPLES • El primer paso es dividir B en subcajas, dividiendo: • El intervalo [a, b] en lsubintervalos [xi-1, xi] de igual ancho Δx. • [c, d] en m subintervalos de ancho Δy. • [r, s] en n subintervalos de ancho Δz.

INTEGRALES TRIPLES • Los planos a través de los puntos finales de estos subintervalos paralelos a los planos de coordenadas dividen la caja B en lmn subcajas • Cada subcaja tiene un volumen ΔV = ΔxΔyΔz

INTEGRALES TRIPLES Ecuación 2 • Luego, formamos la suma triple de Riemann • donde el punto muestral está en Bijk.

INTEGRALES TRIPLES • Por analogía con la definición de integral doble (Definición 5 en la Sección 15.1), definimos la integral triple como el límite de las sumas triples de Riemann en la Ecuación 2.

TRIPLE INTEGRAL Definición 3 • La integral triple de f sobre la casilla B es: • si este límite existe. • Nuevamente, la integral triple siempre existe si fis es continua.

INTEGRALES TRIPLES • Podemos elegir el punto de muestra para que sea cualquier punto en el sub-cuadro.• Sin embargo, si elegimos que sea el punto (xi, yj, zk) obtenemos una expresión de apariencia más simple:

INTEGRALES TRIPLES • Al igual que para las integrales dobles, el método práctico para evaluar integrales triples es expresarlas como integrales iteradas, como sigue.

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) Teorema 4 • Si f es continua en la caja rectangular B = [a, b] x [c, d] x [r, s], entonces

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) • La integral iterada en el lado derecho del teorema de Fubini significa que integramos en el siguiente orden: • Con respecto a x (manteniendo yyz fijas) • Con respecto a y (manteniendo z fijo) • Con respecto a z

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) • Existen otros cinco órdenes posibles en los que podemos integrarnos, todos los cuales dan el mismo valor. • Por ejemplo, si integramos con respecto ay, entonces z, y luego x, tenemos:

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) Ejemplo 1 • Evaluar la integral triple donde B es la caja rectangular

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) Ejemplo 1 • Podríamos usar cualquiera de los seis posibles órdenes de integración. • Si elegimos integrar con respecto ax, luego y, y luego z, obtenemos el siguiente resultado.

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Ahora, definimos la integral triple sobre una región limitada general E en un espacio tridimensional (un sólido) mediante el mismo procedimiento que usamos para las integrales dobles. • Consulte la Definición 2 en la Sección 15.3.

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Encerramos E en un cuadro B del tipo dado por la Ecuación 1. • Luego, definimos una función F de modo que esté de acuerdo con f en E pero sea 0 para puntos en B que están fuera de E.

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Por definición, • Esta integral existe si f es continua y el límite de E es "razonablemente uniforme". • La integral triple tiene esencialmente las mismas propiedades que la integral doble (Propiedades 6–9 en la Sección 15.3).

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Restringimos nuestra atención a: • Funciones continuas f • Ciertos tipos simples de regiones

REGIÓN TIPO 1 • Se dice que una región sólida es de tipo 1 si se encuentra entre las gráficas de dos funciones continuas de x e y.

REGIÓN TIPO 1 Ecuación 5 • Es decir, donde D es la proyección de E en el plano xy.

REGIONES TIPO 1 • Observe que: • El límite superior del sólido E es la superficie con la ecuación z = u2 (x, y). • El límite inferior es la superficie z = u1 (x, y).

REGIONES TIPO 1 Ecuación / Fórmula 6 • Mediante el mismo tipo de argumento que llevó a la Fórmula 3 en la Sección 15.3, se puede demostrar que, si E es una región de tipo 1 dada por la Ecuación 5, entonces

REGIONES TIPO 1 • El significado de la integral interna en el lado derecho de la Ecuación 6 es que xey se mantienen fijos. • Por lo tanto, • u1 (x, y) y u2 (x, y) se consideran constantes. • f (x, y, z) está integrado con respecto a z.

REGIONES TIPO 1 • En particular, si la proyección D de E sobre el plano xy es una región del plano de tipo I, entonces

REGIONES TIPO 1 Ecuación 7 • Por lo tanto, la Ecuación 6 se convierte en:

REGIONES TIPO 1 • Si, en cambio, D es una región plana de tipo II, entonces

REGIONES TIPO 1 Ecuación 8 • Entonces, la Ecuación 6 se convierte en:

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • Evaluar dónde E es el tetraedro sólido delimitado por los cuatro planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • Cuando configuramos una integral triple, es aconsejable dibujar dos diagramas: • La región sólida E • Su proyección D en el plano xy

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • El límite inferior del tetraedro es el plano z = 0 y el límite superior es el plano x + y + z = 1 (o z = 1 - x - y). • Entonces, usamos u1 (x, y) = 0 y u2 (x, y) = 1 - x - y en la Fórmula 7.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • Observe que los planos x + y + z = 1 y z = 0 se intersecan en la línea x + y = 1 (o y = 1 - x) en el plano xy. • Entonces, la proyección de E es la región triangular que se muestra aquí, y tenemos la siguiente ecuación.

REGIONES TIPO 1 P.ej. 2 — Ecuación 9 • Esta descripción de E como una región de tipo 1 nos permite evaluar la integral de la siguiente manera.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2

REGIÓN TIPO 2 • Una región sólida E es de tipo 2 si es de la forma donde D es la proyección de E en el plano yz.

REGIÓN TIPO 2 • La superficie posterior es x = u1 (y, z). • La superficie frontal es x = u2 (y, z).

REGIÓN TIPO 2 Ecuación 10 • Así, tenemos:

REGIÓN TIPO 3 • Finalmente, una región de tipo 3 tiene la forma • donde: • D es la proyección de E en el plano xz. • y = u1 (x, z) es la superficie izquierda. • y = u2 (x, z) es la superficie derecha.

REGIÓN TIPO 3 Ecuación 11 • Para este tipo de región, tenemos:

REGIONES TIPO 2 Y AMP 3 • En cada una de las ecuaciones 10 y 11, puede haber dos posibles expresiones para la integral dependiendo de: • Si D es una región plana de tipo I o de tipo II (y corresponde a las ecuaciones 7 y 8).

REGIONES LIMITADAS Ejemplo 3 • Evalúe dónde E es la región delimitada por el paraboloide y = x2 + z2 y el plano y = 4.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Aquí se muestra la E sólida. • Si la consideramos como una región de tipo 1, entonces debemos considerar su proyección D1 en el plano xy.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Esa es la región parabólica que se muestra aquí. • La traza de y = x2 + z2 en el plano z = 0 es la parábola y = x2

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • De y = x2 + z2, obtenemos: • Entonces, la superficie límite inferior de E es: • La superficie superior es:

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Por lo tanto, la descripción de E como región de tipo 1 es:

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Así, obtenemos: • Aunque esta expresión es correcta, es extremadamente difícil de evaluar.

REGIONES TIPO 3 Ejemplo 3 • Entonces, consideremos en su lugar E como una región de tipo 3. • Como tal, su proyección D3 sobre el plano xz es el disco x2 + z2≤ 4.

REGIONES TIPO 3 Ejemplo 3 • Entonces, el límite izquierdo de E es el paraboloide y = x2 + z2. • El límite derecho es el plano y = 4.


Capítulo 2 - Distensión del corazón derecho

Nuevamente, gracias a Arun Nagdev por su orientación e imágenes.

4 pasos para diagnosticar la tensión del corazón derecho mediante ecografía:

1. Relación de 1: 1 o mayor entre el diámetro del VD y el VI.

2. Aplanamiento del tabique interventricular (ventrículo izquierdo en forma de D).

4. Mida la presión arterial pulmonar utilizando la ecuación de Bernoulli (simplificada):

Coloque Doppler color continuo sobre la porción proximal del chorro de regurgitación tricúspide para medir la velocidad del chorro (Vmax). La CVP se puede estimar mediante la colapsabilidad de la VCI.

  1. Dresden S, Mitchell P, Rahimi L, et al. La dilatación del ventrículo derecho en la ecocardiografía de cabecera realizada por los médicos de urgencias ayuda en el diagnóstico de embolia pulmonar. Ann Emerg Med. 2014 Enero 63 (1): 16-24.
  2. Kasper W, Geibel A, Tiede N, Hofmann T, et al. Ecocardiografía en el diagnóstico de embolia pulmonar. Herz. 198914 (2): 82-101.
  3. Hoeper MM, Bogaard HJ, Condliffe R y col. Definiciones y diagnóstico de hipertensión pulmonar. J Am Coll Cardiol. 2013 Dic 2462 (25 Suppl): D42-50
  4. Selimovic N, Rundqvist B, Bergh CH, et al. Evaluación de la resistencia vascular pulmonar mediante ecocardiografía Doppler en pacientes con hipertensión arterial pulmonar. J trasplante de corazón-pulmón. 26 de septiembre de 2007 (9): 927-34.
  5. Otto, C. Libro de texto de ecocardiografía clínica. Filadelfia: Saunders. 2000. Imprimir
  6. Ravenel JG, Northam MC, Nguyen SA. Valor predictivo negativo de la angiografía pulmonar por tomografía computarizada con venografía por tomografía computarizada indirecta en pacientes de la unidad de cuidados intensivos. J Comput Assist Tomogr. Septiembre-octubre de 2009: 33 (5): 739-42.

Capítulo 5: Escaneo triple
¿Tiene un paciente con dificultad para respirar? Utilice ultrasonido para encontrar rápidamente la etiología. Escanee tres áreas: corazón, pulmón y VCI.

(Una vez más, gracias a Arun Nagdev por las imágenes y orientación y a Austin Kilaru por las voces)

-¿Fe baja o normal? También puede buscar signos de distensión cardíaca derecha para diagnosticar la EP (consulte el Capítulo 2).
Pulmones:

-Líneas B (indica la presencia de líquido intersticial) - ¿Sí o no? Utilice la sonda curvilínea, aumente la ganancia.

- Deslizamiento pulmonar (es decir, neumotórax): ¿sí o no? Utilice sonda lineal.

-Variación respiratoria, ¿colapsable o pletórica?

1) EF baja + líneas B difusas + IVC pletórica = HF descompensada

2) EF normal + sin líneas B + IVC normal = HF descompensada poco probable, posiblemente EPOC.

3) EF hiperdinámico + líneas B focales + VCI plana = Neumonía


Referencias:
1. Al Deeb M, et al. Ecografía en el lugar de atención para el diagnóstico de edema pulmonar cardiogénico agudo en pacientes que presentan disnea aguda: revisión sistemática y metanálisis. Acad Emerg Med. 21 de agosto de 2014 (8): 843-52.
2. Ozkan B, et al. Estetoscopio versus ecografía en el lugar de atención en el diagnóstico diferencial de la disnea: un ensayo aleatorizado. Eur J Emerg Med. 2015 24 de febrero.

3. McKaigney CJ, et al. Separación septal del punto E: una herramienta junto a la cama para la evaluación del médico de emergencia de la fracción de eyección del ventrículo izquierdo Am J Emerg Med. 2014 Jun32 (6): 493-7.


Transcripción de la presentación

15 MÚLTIPLES INTEGRALES

MÚLTIPLES INTEGRALES 15.6 Integrales triples • En esta sección, aprenderemos sobre: ​​• Integrales triples y sus aplicaciones.

INTEGRALES TRIPLES • Así como definimos integrales simples para funciones de una variable e integrales dobles para funciones de dos variables, también podemos definir integrales triples para funciones de tres variables.

INTEGRALES TRIPLES Ecuación 1 • Primero tratemos con el caso más simple donde f se define en una caja rectangular:

INTEGRALES TRIPLES • El primer paso es dividir B en subcajas, dividiendo: • El intervalo [a, b] en lsubintervalos [xi-1, xi] de igual ancho Δx. • [c, d] en m subintervalos de ancho Δy. • [r, s] en n subintervalos de ancho Δz.

INTEGRALES TRIPLES • Los planos a través de los puntos finales de estos subintervalos paralelos a los planos de coordenadas dividen la caja B en lmn subcajas • Cada subcaja tiene un volumen ΔV = ΔxΔyΔz

INTEGRALES TRIPLES Ecuación 2 • Luego, formamos la suma triple de Riemann • donde el punto muestral está en Bijk.

INTEGRALES TRIPLES • Por analogía con la definición de integral doble (Definición 5 en la Sección 15.1), definimos la integral triple como el límite de las sumas triples de Riemann en la Ecuación 2.

TRIPLE INTEGRAL Definición 3 • La integral triple de f sobre la casilla B es: • si este límite existe. • Nuevamente, la integral triple siempre existe si fis es continua.

INTEGRALES TRIPLES • Podemos elegir el punto de muestra para que sea cualquier punto en el sub-cuadro. • Sin embargo, si elegimos que sea el punto (xi, yj, zk) obtenemos una expresión de apariencia más simple:

INTEGRALES TRIPLES • Al igual que para las integrales dobles, el método práctico para evaluar integrales triples es expresarlas como integrales iteradas, como sigue.

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) Teorema 4 • Si f es continua en la caja rectangular B = [a, b] x [c, d] x [r, s], entonces

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) • La integral iterada en el lado derecho del teorema de Fubini significa que integramos en el siguiente orden: • Con respecto a x (manteniendo yyz fijas) • Con respecto a y (manteniendo z fijo) • Con respecto a z

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) • Hay otros cinco órdenes posibles en los que podemos integrarnos, todos los cuales dan el mismo valor. • Por ejemplo, si integramos con respecto ay, entonces z, y luego x, tenemos:

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) Ejemplo 1 • Evaluar la integral triple donde B es la caja rectangular

FUBINI'S TH. (INTEGRALES TRIPLES) Ejemplo 1 • Podríamos usar cualquiera de los seis posibles órdenes de integración. • Si elegimos integrar con respecto ax, luego y, y luego z, obtenemos el siguiente resultado.

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Ahora, definimos la integral triple sobre una región limitada general E en un espacio tridimensional (un sólido) mediante el mismo procedimiento que usamos para las integrales dobles. • Consulte la Definición 2 en la Sección 15.3.

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Encerramos E en un cuadro B del tipo dado por la Ecuación 1. • Luego, definimos una función F de modo que esté de acuerdo con f en E pero sea 0 para puntos en B que están fuera de E.

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Por definición, • Esta integral existe si f es continua y el límite de E es "razonablemente suave". • La integral triple tiene esencialmente las mismas propiedades que la integral doble (Propiedades 6–9 en la Sección 15.3).

REGIÓN INTEGRAL SOBRE LÍMITES • Restringimos nuestra atención a: • Funciones continuas f • Ciertos tipos simples de regiones

REGIÓN TIPO 1 • Se dice que una región sólida es de tipo 1 si se encuentra entre las gráficas de dos funciones continuas de x e y.

REGIÓN TIPO 1 Ecuación 5 • Es decir, donde D es la proyección de E en el plano xy.

REGIONES TIPO 1 • Observe que: • El límite superior del sólido E es la superficie con la ecuación z = u2 (x, y). • El límite inferior es la superficie z = u1 (x, y).

REGIONES TIPO 1 Ecuación / Fórmula 6 • Mediante el mismo tipo de argumento que llevó a la Fórmula 3 en la Sección 15.3, se puede demostrar que, si E es una región de tipo 1 dada por la Ecuación 5, entonces

REGIONES TIPO 1 • El significado de la integral interna en el lado derecho de la Ecuación 6 es que xey se mantienen fijos. • Por lo tanto, • u1 (x, y) y u2 (x, y) se consideran constantes. • f (x, y, z) está integrado con respecto a z.

REGIONES TIPO 1 • En particular, si la proyección D de E sobre el plano xy es una región del plano de tipo I, entonces

REGIONES TIPO 1 Ecuación 7 • Por lo tanto, la Ecuación 6 se convierte en:

REGIONES TIPO 1 • Si, en cambio, D es una región plana de tipo II, entonces

REGIONES TIPO 1 Ecuación 8 • Entonces, la Ecuación 6 se convierte en:

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • Evaluar dónde E es el tetraedro sólido delimitado por los cuatro planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • Cuando configuramos una integral triple, es aconsejable dibujar dos diagramas: • La región sólida E • Su proyección D en el plano xy

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • El límite inferior del tetraedro es el plano z = 0 y el límite superior es el plano x + y + z = 1 (o z = 1 - x - y). • Entonces, usamos u1 (x, y) = 0 y u2 (x, y) = 1 - x - y en la Fórmula 7.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2 • Observe que los planos x + y + z = 1 y z = 0 se intersecan en la línea x + y = 1 (o y = 1 - x) en el plano xy. • Entonces, la proyección de E es la región triangular que se muestra aquí, y tenemos la siguiente ecuación.

REGIONES TIPO 1 P.ej. 2 — Ecuación 9 • Esta descripción de E como una región de tipo 1 nos permite evaluar la integral de la siguiente manera.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 2

REGIÓN TIPO 2 • Una región sólida E es de tipo 2 si es de la forma donde D es la proyección de E en el plano yz.

REGIÓN TIPO 2 • La superficie posterior es x = u1 (y, z). • La superficie frontal es x = u2 (y, z).

REGIÓN TIPO 2 Ecuación 10 • Así, tenemos:

REGIÓN TIPO 3 • Finalmente, una región de tipo 3 tiene la forma • donde: • D es la proyección de E en el plano xz. • y = u1 (x, z) es la superficie izquierda. • y = u2 (x, z) es la superficie derecha.

REGIÓN TIPO 3 Ecuación 11 • Para este tipo de región, tenemos:

REGIONES TIPO 2 Y AMP 3 • En cada una de las ecuaciones 10 y 11, puede haber dos posibles expresiones para la integral dependiendo de: • Si D es una región plana de tipo I o de tipo II (y corresponde a las ecuaciones 7 y 8).

REGIONES LIMITADAS Ejemplo 3 • Evalúe dónde E es la región delimitada por el paraboloide y = x2 + z2 y el plano y = 4.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Aquí se muestra la E sólida. • Si la consideramos como una región de tipo 1, entonces debemos considerar su proyección D1 en el plano xy.

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Esa es la región parabólica que se muestra aquí. • La traza de y = x2 + z2 en el plano z = 0 es la parábola y = x2

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • De y = x2 + z2, obtenemos: • Entonces, la superficie límite inferior de E es: • La superficie superior es:

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Por lo tanto, la descripción de E como región de tipo 1 es:

REGIONES TIPO 1 Ejemplo 3 • Así, obtenemos: • Aunque esta expresión es correcta, es extremadamente difícil de evaluar.

REGIONES TIPO 3 Ejemplo 3 • Por lo tanto, consideremos en su lugar E como una región de tipo 3. • Como tal, su proyección D3 sobre el plano xz es el disco x2 + z2≤ 4.

REGIONES TIPO 3 Ejemplo 3 • Entonces, el límite izquierdo de E es el paraboloide y = x2 + z2. • El límite derecho es el plano y = 4.


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Evalúa la integral triple. SSS E 8x dV, donde E está limitado por el paraboloide x.

Evalúe la integral triple ∭E (x + 6y) dV∭E (x + 6y) dV donde EE está acotada por el cilindro parabólico y = 6x2y = 6x2 y los planos z = 8x, y = 12x, z = 8x, y = 12x y z = 0z = 0.

Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple J Vi + y2 dV, donde E es el.

Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple J Vi + y2 dV, donde E es el sólido delimitado por el paraboloide circular z 16 -1 (z2 + y2) y el plano xy.

Evalúa la integral triple.3z dV, donde E está acotado por el cilindro y2 +.

Evalúa la integral triple. 3z dV, donde E está acotado por el cilindro y2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y = 3x, yz = 0 en el primer octante E

* 2 + y dV, donde E es el sólido delimitado por el paraboloide circular (1 punto) Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar el.

* 2 + y dV, donde E es el sólido delimitado por el paraboloide circular (1 punto) Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple z 1- 1 (r2 + y?) Y el plano xy. Vista previa de mis respuestas Enviar respuestas Ha intentado este problema 0 veces Tiene intentos ilimitados restantes Enviar correo electrónico al instructor

(1 punto) Evalúe la integral triple II xdV donde E es el sólido acotado por.

(1 punto) Evalúe la integral triple II xdV donde E es el sólido delimitado por el paraboloide x = 5y2 + 5z2 y x = 5. JIJ E

0/1 PUNTOS RESPUESTAS ANTERIORES SCALCET8 15.6.013. Evalúa la integral triple. I / 5xy dv, donde E se encuentra.

0/1 PUNTOS RESPUESTAS ANTERIORES SCALCET8 15.6.013. Evalúa la integral triple. I / 5xy dv, donde E se encuentra debajo del plano z = 1 + x + y y por encima de la región en el plano xy delimitada por las curvas y = x, y = 0 y x = 1 Enviar respuesta

Evalúa la integral triple. (x - y) dv, donde E está encerrado por las superficies z.

Evalúa la integral triple. (x - y) dv, donde E está encerrado por las superficies z = x2 - 1, 2 = 1 - x2, y = 0 e y = 2 SITIO

(1 punto) Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple 2dV, donde E es el sólido.

(1 punto) Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple 2dV, donde E es el sólido delimitado por el paraboloide circular z = 16 - 16 (x2 + y²) y el plano xy.

Evalúe la integral triple a continuación donde E está encerrado por el paraboloide 2 = 4 - -.

Evalúe la integral triple a continuación, donde E está encerrado por el paraboloide 2 = 4 - - y2 y 2 = -2. SIJ. 20 zdV


Soluciones para el Capítulo 15: Integrales múltiples

Soluciones para el Capítulo 15: Integrales múltiples

  • 15.1: a. Dibuja la superficie b. Encuentre un vector normal a la superficie en Agregar.
  • 15.2: a. Dibuja la superficie b. Encuentre un vector normal a la superficie en Agregar.
  • 15.3: a. Dibuja la superficie b. Encuentre un vector normal a la superficie en Agregar.
  • 15.4: a. Dibuja la superficie b. Encuentre un vector normal a la superficie en Agregar.
  • 15.5: En los Ejercicios 58, dibuje la región de integración y escriba un equi.
  • 15.6: En los Ejercicios 58, dibuje la región de integración y escriba un equi.
  • 15.7: En los Ejercicios 58, dibuje la región de integración y escriba un equi.
  • 15.8: En los Ejercicios 58, dibuje la región de integración y escriba un equi.
  • 15.9: Evaluar las integrales en los Ejercicios 912
  • 15.10: Evaluar las integrales en los Ejercicios 913
  • 15.11: Evalúe las integrales en los Ejercicios 914
  • 15.12: Evaluar las integrales en los Ejercicios 915
  • 15.13: Encuentre el área de la región encerrada por la línea y la parábola i.
  • 15.14: Encuentre el área de la región triangular en el plano xy que rebota.
  • 15.15: Encuentre el volumen debajo del paraboloide sobre el triángulo encerrado por.
  • 15.16: Encuentre el volumen debajo del cilindro parabólico sobre la región enclo.
  • 15.17: Encuentre el valor promedio de sobre las regiones en los Ejercicios 17 y 18.
  • 15.18: Encuentre el valor promedio de sobre las regiones en los Ejercicios 17 y 18.
  • 15.19: Evalúe las integrales de los Ejercicios 19 y 20 cambiando a polar.
  • 15.20: Evalúe las integrales de los Ejercicios 19 y 20 cambiando a polar.
  • 15.21: Integra la función sobre la región encerrada por un bucle de.
  • 15.22: Integrar sobre a. Región triangular El triángulo con vértices (0,.
  • 15.23: Evalúe las integrales en los Ejercicios 2326.
  • 15.24: Evalúe las integrales en los Ejercicios 2326.
  • 15.25: Evalúe las integrales en los Ejercicios 2326.
  • 15.26: Evalúe las integrales en los Ejercicios 2326.
  • 15.27: Encuentre el volumen de la región en forma de cuña encerrada en el lado de.
  • 15.28: Encuentre el volumen del sólido que está limitado arriba por el cilindro.
  • 15.29: Encuentre el valor promedio de sobre el sólido rectangular en la primera o.
  • 15.30: Encuentre el valor promedio de sobre la esfera sólida (coordina esférica.
  • 15.31: Convierta a (a) coordenadas rectangulares con el orden de integratio.
  • 15.32: (a) Convierta a coordenadas cilíndricas. Luego (b) evalúe la nueva i.
  • 15.33: (a) Convierta a coordenadas esféricas. Luego (b) evalúe el nuevo int.
  • 15.34: Escriba una integral triple iterada para la integral de sobre el regi.
  • 15.35: Configure una integral en coordenadas rectangulares equivalente a int.
  • 15.36: El volumen de un sólido es a. Describe el sólido dando ecuaciones.
  • 15.37: Las integrales triples que involucran formas esféricas no siempre requieren s.
  • 15.38: Encuentre el momento de inercia con respecto al eje z de un sólido de constante.
  • 15.39: Encuentre el momento de inercia de un sólido de densidad constante acotado b.
  • 15.40: Encuentre el momento de inercia con respecto al eje z de un sólido de densidad e.
  • 15.41: Encuentre el centroide de la región triangular delimitada por las líneas y.
  • 15.42: Encuentre el centroide de la región entre la parábola y la línea i.
  • 15.43: Encuentre el momento polar de inercia sobre el origen de un triangu delgado.
  • 15.44: Encuentre el momento polar de inercia alrededor del centro de un rectángulo delgado.
  • 15.45: Encuentre el momento de inercia con respecto al eje x de una placa delgada de contras.
  • 15.46: Encuentre el centro de masa y los momentos de inercia alrededor de la coordenada.
  • 15.47: Encuentre la masa y los primeros momentos con respecto a los ejes coordenados de un delgado.
  • 15.48: Encuentre el momento de inercia con respecto al eje x de un triángulo delgado pl.
  • 15.49: Encuentre el centroide de la región en el plano de coordenadas polares defin.
  • 15.50: Encuentre el centroide de la región en el primer cuadrante acotado por th.
  • 15.51: Encuentre el centroide de la región en el plano de coordenadas polares que.
  • 15.52: Encuentre el centroide de la región plana definida por la coordina polar.
  • 15.53: Muestre que si y luego
  • 15.54: ¿Qué relación debe existir entre las constantes a, byc con ma.
Libro de texto: Thomas & # 39 Calculus Early Trascendentals
Edición: 12
Autor: George B. Thomas
ISBN: 9780321588760

Esta extensa guía de supervivencia de libros de texto cubre los siguientes capítulos y sus soluciones. Thomas & # 39 Calculus Early Transcendentals fue escrito por y está asociado al ISBN: 9780321588760. Dado que se han respondido 54 problemas en el capítulo 15: Integrales múltiples, más de 13433 estudiantes han visto soluciones completas paso a paso de este capítulo. Capítulo 15: Integrales múltiples incluye 54 soluciones completas paso a paso. Esta guía de supervivencia del libro de texto fue creada para el libro de texto: Thomas & # 39 Calculus Early Transcendentals, edición: 12.

Una falla en el diseño de un proceso de muestreo que sistemáticamente hace que la muestra difiera de la población con respecto a la estadística que se mide. El sesgo de subcobertura se produce cuando la muestra excluye sistemáticamente uno o más segmentos de la población. El sesgo de respuesta voluntaria se produce cuando una muestra está formada solo por aquellos que ofrecen sus respuestas voluntariamente. El sesgo de respuesta se produce cuando el diseño muestral influye de forma intencionada o no intencionada en las respuestas.

La distancia d (P, Q) entre y P (x, y, z) y Q (x, y, z) od (P, Q) ((x) - x 2) 2 + (y1 - y2) 2 + (z 1 - z 2) 2

La distancia entre los números reales ayb, o | a - b |

Recíproco del período de una sinusoide.

El área de ¢ ABC con semiperímetro s está dada por 2s1s - a21s - b21s - c2.

Una superficie generada al rotar una hipérbola sobre su eje transversal, p. 607.

Ver inducción matemática.

Si ƒ es una función polinomial y a & lt b, entonces ƒ asume todos los valores entre ƒ (a) y ƒ (b).

Notación utilizada para especificar intervalos, págs. 4, 5.

La bisectriz perpendicular del eje mayor de una elipse con puntos finales en la elipse.

NDER f (a) = ƒ1a + 0.0012 - ƒ1a - 0.00120.002

Una función en la que cada elemento del rango corresponde exactamente a un elemento del dominio.

Una anualidad en la que se realizan depósitos al mismo tiempo que se registran los intereses.


Pacto

La palabra "pacto", que se escucha con poca frecuencia en una conversación, se usa con bastante frecuencia en contextos legales, sociales (matrimonio) y religiosos y teológicos.

La idea del pacto. El término "pacto" es de origen latino (con venire), que significa unión. Presupone dos o más partes que se unen para hacer un contrato, acordando promesas, estipulaciones, privilegios y responsabilidades. En los círculos religiosos y teológicos no ha habido acuerdo sobre qué debe entenderse exactamente por el término bíblico. Se usa de diversas formas en contextos bíblicos. En situaciones políticas, puede traducirse tratado en un entorno social, significa un acuerdo de amistad para toda la vida o puede referirse a un matrimonio.

Las palabras bíblicas que se traducen con mayor frecuencia como "pacto" son berit [tyir.B] en el Antiguo Testamento (aparecen unas 280 veces) y diatheke [diaqhvkh] en el Nuevo Testamento (al menos 33 veces). El origen de la palabra del Antiguo Testamento ha sido debatido algunos han dicho que proviene de la costumbre de comer juntos (Gen 26:30 31:54) otros han enfatizado la idea de cortar un animal (un animal fue cortado por la mitad [15:18 ]) otros han visto las ideas de percibir o determinar como conceptos raíz. El significado preferido de esta palabra del Antiguo Testamento es vínculo, un pacto se refiere a dos o más partes unidas. Esta idea de vínculo se explicará con más detalle.

La palabra del Nuevo Testamento para pacto generalmente se ha traducido como pacto, pero también se han usado testimonio y testamento. Esta palabra griega básicamente significa ordenar o disponer para uno mismo o para otro. El pensamiento de la desigualdad de partidos está latente.

La idea generalmente aceptada de vincular o establecer un vínculo entre dos partes está respaldada por el uso del término berit [tyir.B]. Cuando Abimelec e Isaac decidieron resolver su disputa por la tierra, hicieron un acuerdo, liga o pacto vinculante para vivir en paz. Un juramento lo confirmó (Génesis 26: 26-31). Josué y los gabaonitas se comprometieron, mediante juramento, a vivir juntos en paz (Josué 9:15), aunque Yahvé ordenó que Israel no se uniera al pueblo que habitaba en la tierra de Canaán (Deut 7: 2 Jueces 2: 2 ). Salomón e Hiram hicieron un acuerdo vinculante para vivir y trabajar juntos en paz (1 Reyes 5:12). Un vínculo de amistad fue sellado por juramento entre David y Jonatán (1 Samuel 20: 3 1 Samuel 20: 16-17). El matrimonio es un vínculo (pacto) de por vida.

Los pactos mencionados anteriormente fueron entre dos partes iguales, esto significa que la relación de pacto fue bilateral. El vínculo fue sellado por ambas partes prometiendo, a menudo mediante juramento, que cada uno, teniendo los mismos privilegios y responsabilidades, llevaría a cabo sus funciones asignadas. Debido a que un pacto confirmado entre dos partes humanas era bilateral, algunos estudiosos han concluido que el pacto que Yahweh estableció con los seres humanos también es bilateral. Este no es el caso. Dios inició, determinó los elementos y confirmó su alianza con la humanidad. Es unilateral. Las personas son destinatarios, no contribuyentes, no se espera que ofrezcan elementos al vínculo, están llamados a aceptarlo como se les ofrece, a mantenerlo como se les exige y a recibir los resultados que Dios, por juramento, asegura que no serán retenidos.

Los eruditos han aprendido al estudiar las tablas encontradas por los arqueólogos que los tratados legales entre reyes (soberanos) y súbditos (vasallos) existieron durante la época de los patriarcas bíblicos, Moisés, Josué, los jueces y los primeros reyes de Israel. Estos tratados fueron escritos en tabletas con el propósito de establecer una relación continua según lo determinado y autorizado por el soberano. Una vez escritos, los pactos no debían modificarse ni anularse, aunque algunas partes podían explicarse o elaborarse. ¿Los escritores bíblicos tomaron prestada la idea del pacto y sus elementos integrales de fuentes paganas cuando se escribió el Antiguo Testamento? Elementos tales como una auto-presentación del soberano y sus actividades, incluidas las realizadas en nombre de los vasallos, declaraciones de intención, estipulaciones y garantías de bienestar si es obediente y de maldiciones si es desobediente? Los pactos legales incluían disposiciones para la continuidad, con énfasis en el reclamo del soberano sobre los hijos de los vasallos, y fueron confirmados por un juramento o una ceremonia especial de ratificación, como cortar por la mitad un buey o una vaca o compartir una comida como conclusión. del acto de pactar.

Estos pactos no bíblicos tenían la intención de servir para varios propósitos, dos de los cuales son especialmente importantes de comprender. El soberano declaró que, como vencedor y señor de los vasallos, los había perdonado en la batalla, los había librado de circunstancias atenuantes y los había puesto en situaciones de vida y bienestar. Este fue un favor inmerecido. El pacto del soberano también estaba destinado a cumplir una función administrativa. Informaba a los vasallos cómo los gobernaría el rey y qué debían hacer en respuesta obediente a él. Estos dos propósitos, el recordatorio de la liberación y la información sobre la administración de los asuntos de la vida diaria, aparecen en el pacto de Yahweh Dios con su pueblo, pero de formas radicalmente diferentes.

Los pactos, ni soberano-vasallo ni bíblicos, no se hicieron (ni funcionaron) en el vacío. Los pactos presuponían un rey, un dominio, una forma de vida, personas y, a menudo, sirvientes mediadores. El pacto era un medio administrativo importante dentro de un reino.

¿Los escritores bíblicos tomaron prestado de fuentes paganas cuando escribieron sobre las actividades del pacto de Yahweh Dios en nombre de y sus relaciones con su pueblo? No hay ninguna referencia de ningún tipo en la Biblia de que esto se haya hecho. Hay marcadas similitudes entre los pactos bíblicos y no bíblicos. La posición más satisfactoria y aceptable es que Yahvé Dios es la fuente y el creador de todo el concepto y fenómeno del pacto. Incluyó la relación del pacto en su actividad de creación y obra. El pacto es pertinente a la vida humana; está implantado y desplegado por Dios. Los reyes paganos dieron expresión concreta, en sus actitudes orgullosas y autosuficientes, a lo que Yahvé Dios había implantado y mantenido dentro de su cosmos creado. Esta explicación requiere una respuesta a tres preguntas importantes. ¿Cuándo estableció Yahweh Dios por primera vez su pacto? ¿Cuál fue la naturaleza de ese pacto inicial? Según la revelación bíblica, ¿Yahweh Dios, después del inicial, estableció más pactos?

El antiguo Testamento . La palabra hebrea para pacto no aparece en Génesis 1-5. Algunos eruditos dicen que esto es evidencia de que no hubo un pacto en la historia más temprana de la humanidad. Algunos dicen que la idea del pacto surgió inicialmente en la mente de los israelitas después de haber estado en el monte Sinaí. Para dar cuenta de las referencias al pacto en los relatos patriarcales y de Noé, los eruditos han dicho incorrectamente que los editores posteriores de Génesis insertaron la idea del pacto para dar evidencia histórica y credibilidad a lo que Israel creyó más tarde. Otros eruditos, que aceptan Génesis como un registro de la revelación de Yahweh, también tienen dificultades para aceptar que Dios estableció su pacto cuando creó el cosmos principalmente debido a la falta de referencia verbal directa a él.

El testimonio bíblico apunta al hecho de que Dios hizo un pacto cuando creó. Oseas (6: 7) se refiere a que Adán rompió el pacto. Jeremías habló del pacto del día y la noche que nadie puede alterar (33: 19-20) se entiende que este pacto se inició en la creación cuando Dios separó la luz de las tinieblas y le dio al sol y a la luna su lugar y función designados. (Génesis 1: 3-5 Génesis 1:14). Cuando Yahvé Dios le habló por primera vez a Noé, le dijo que iba a borrar a la humanidad de la faz de la tierra (Génesis 6: 7). Pero le aseguró a Noé que mantendría y haría que su pacto continuara. Por lo tanto, Noé no tuvo que temer que el plan y el método de Dios para administrar su reino cósmico fueran diferentes después del diluvio. Pero, ¿por qué, si Dios hizo un pacto cuando creó, la palabra "pacto" no está en Génesis 1-2? Aquellos que desean hablar solo del pacto de gracia, al que se hace referencia breve e indirectamente en el relato de Noé (Génesis 6-9), creen que algunos de los elementos básicos del pacto de gracia fueron enunciados cuando Yahvé Dios prometió la victoria a través del simiente de mujer (Génesis 3: 14-16). Cuando Yahweh Dios hizo pacto con David, según 2 Samuel 7, el término "pacto" no aparece, pero cuando David se refirió a lo que Yahweh había dicho y hecho, dijo: "¿No ha hecho conmigo un pacto eterno?" (2 Sam 23: 5 cf. Salmos 89: 3). Así como los elementos incluidos en el pacto estaban presentes en el relato del pacto con David (2 Sam 7), los elementos que constituyen el pacto se registran en Génesis 1-2.

Los elementos básicos de un pacto están incrustados en el relato de Génesis. Dios, en su revelación de la creación, se presentó a sí mismo como el Creador. Se esbozó el registro histórico de lo que ha hecho. Creó a sus portadores de imágenes por medio de los cuales colocó y mantuvo al hombre y la mujer en una relación cercana consigo mismo y los hizo reflejar (reflejar) y representarlo dentro del cosmos creado. A la humanidad se le dieron estipulaciones o mandatos. Como portadores de la imagen, debían mantener una comunión íntima y obediente con su Creador, el sábado debía realzar esto. La humanidad debía ser fructífera, multiplicarse y llenar la tierra; esto debía hacerse estableciendo familias; un hombre debía dejar a sus padres y unirse a su esposa (Génesis 2:24). Al convertirse en una sola carne, tendrían hijos. A medida que aumentaran las familias, se formaría una comunidad. Por tanto, este mandato social era un aspecto integral del pacto. También lo era el mandato cultural que el hombre y la mujer debían cultivar (someter a la NVI) y gobernar sobre la creación. Cuando Dios vio todo lo que había hecho, lo confirmó, no haciendo un juramento o realizando una ceremonia de ratificación, sino declarando que todo era muy bueno (Génesis 1:31). Esto lo confirmó al dejar de crear actividad y establecer el séptimo día como un día de descanso, santidad y bendición (Gen 2: 1-3).

Yahweh Dios hizo más habló de bendiciones aseguradas. Dios bendijo a Adán y Eva y les dio la capacidad y la autoridad para servir como agentes de su pacto. Él proveyó para su sustento (Génesis 1: 28-30). También habló de la posibilidad de desobediencia, si comían del árbol prohibido del conocimiento del bien y del mal (Gen 2:17). Por lo tanto, también se incluyeron las ideas de bendición (vida) y maldición (muerte). La prohibición de comer se conoce como el mandato de prueba, pero también como el aspecto integral del "pacto de obras". Un número creciente de estudiantes y eruditos bíblicos han llegado a considerar, sobre la base del testimonio bíblico, que es preferible hablar del pacto de la creación y que lo que se consideraba que constituía el "pacto de obras" no es sino una parte integral de el pacto de la creación.

Los agentes del pacto de Yahweh fueron tentados por Satanás. Dudaron de las palabras de Yahweh y aceptaron la mentira. Ellos cayeron. Rompieron la relación de pacto entre Yahweh y ellos mismos. La creación se vio afectada, porque también sufrió las consecuencias del pecado de Adán y Eva. También comenzó a gemir (Rom 8:22). Pero Yahweh no rompió su pacto con la creación y sus vicegerentes.Se acercó a los portadores de imágenes caídos, avergonzados y humillados y se dedicó a restaurar la humanidad para que tuviera comunión con él y le sirviera. Yahweh, cumpliendo gentilmente sus mandatos, reveló que Adán y Eva aún podían trabajar bajo ellos. El compañerismo espiritual fue restaurado por la seguridad de Yahweh de que la simiente de la mujer triunfaría sobre Satanás y su simiente. Se mantuvo el mandato social de Adán y Eva, ya que una sola carne tendría descendencia, pero se sufriría dolor. El mandato cultural aún debía cumplirse, pero causaría trabajo y sudor. Todos los elementos del pacto de la creación permanecieron. Entonces Yahweh añadió otra dimensión a esta relación de pacto. Pronunció en forma germinal su plan para la completa redención y restauración de sus portadores de imágenes y sus roles reales, sacerdotales y proféticos con sus correspondientes privilegios y responsabilidades. Yahweh reveló cómo se haría esto agregando a su pacto de creación las promesas redentoras y restauradoras y las estipulaciones implícitas de fe y obediencia. Él estableció lo que ha sido ampliamente conocido como el pacto de gracia.

Deben evitarse los malentendidos. Dios ha establecido una relación vinculante que lo abarca todo (pacto) con su creación, de la cual la humanidad es el establecimiento central de un segundo pacto dentro del contexto y marco del pacto de la creación. Mientras Yahweh Dios continuaba revelándose a sí mismo, y cómo se administraría el "segundo pacto" redentor / restaurador, siempre se hizo con el contexto y el marco del pacto de la creación. Debido a que el pacto de gracia recibió una "atención divina" directa y más completa cuando Yahweh Dios reveló el plan, la meta y la consumación de su reino, muchos estudiantes y eruditos bíblicos han concentrado su atención en él, sin ver, entender o creer su posición y papel dentro del contexto y marco del pacto de la creación que Yahweh ciertamente mantuvo y continúa manteniendo mientras lleva a cabo y cumple su plan y meta para su reino eternamente duradero.

Génesis 6-9 presenta a Noé como un fiel hombre del pacto. En medio de una sociedad corrupta y muy pecadora, que Dios determinó borrar, Noé vivió obedientemente. Socialmente, tenía una esposa y tres hijos de los que era inocente, para que otros no pudieran acusarlo de fechorías. Espiritualmente estaba en constante comunión con Dios. Caminó con Dios y fue justo, vivió de acuerdo con la voluntad de Dios (6: 9-10 7: 1). Cuando se le ordenó construir el arca, demostró ser un servidor capaz en la dimensión cultural de la vida (6: 14-16 7: 5). Yahweh le aseguró a Noé que su pacto de creación y su correlativo, el pacto de redención y restauración por gracia, se mantendría con él y su familia (6:18). Después de que el diluvio eliminó a la sociedad corrupta y luego retrocedió, Noé, el hombre del pacto, adoró, construyó un altar y sacrificó. Yahweh respondió a la adoración de Noé y decidió continuar su relación con el cosmos (8: 20-9: 17). Se repitieron partes de los mandatos del pacto de la creación, algunos se explicaron. Al confirmar su pacto de creación con la humanidad, Dios dijo que toda criatura viviente estaba incluida (9: 9-10) Dios incluyó la pena de muerte por asesinato (9: 5-6) y la carne como alimento legítimo para la humanidad (9: 2-3 ). Esta seguridad con respecto a la continuidad del pacto de la creación ciertamente incluye la implicación de que Yahweh continuaría con su generoso pacto redentor / restaurador. Esta continuidad se resolvería particularmente con Sem, bendecido por Yahvé para servir como el constructor de la tienda a la que entraría incluso la descendencia de Cam, Canaán. La descendencia de Jafet se beneficiaría de él y lo agrandaría. Así, Yahvé Dios mantuvo y explicó su pacto con Noé y su descendencia.

Después de que Yahweh Dios les dio absoluta seguridad a Noé y sus hijos de que el pacto de la creación continuaría, no hay muchas referencias directas a él nuevamente. Pero su presencia y su papel están presentes de manera constante y constante.

Yahweh, revelándose como el Soberano a Abram, le dio promesas del pacto: bienestar espiritual, haciendo de él una gran nación, haciéndolo famoso y usándolo como un canal de bendición para todos los pueblos. Yahweh añadió a las garantías de bendiciones la certeza de la maldición sobre los despreciadores y rechazadores de Abram y su Dios soberano.

El proceso del pacto de Dios con Abram se desarrolló a lo largo de la vida de Abram. Cuando Abram tuvo miedo después de su separación y rescate de Lot (Génesis 13-14), Yahweh le aseguró a Abram de su presencia permanente y protección para él (escudo) y del bendito futuro espiritual que Yahweh tenía para él (gran recompensa, Gen 15 : 1). Abram se dio cuenta de que su gran futuro incluía niños a los que preguntó acerca de esto. Yahvé le aseguró que tendría muchos (Gen 15: 5). De esta forma se aseguró la continuidad del pacto. Se le dio una promesa adicional: que él poseería la tierra (15: 7). Se llevó a cabo una ceremonia de ratificación del pacto en una visión a Abram en la que se pronunció la bendición de la paz para Abram y una maldición (castigo) sobre aquellos esclavizantes simiente del pacto (15: 12-21). Génesis 15 incluye elementos del pacto: (1) la presencia soberana de Yahweh (2) el rico futuro asegurado de Abram (3) la continuidad a través de mucha semilla (4) un lugar para vivir y servir en medio de las naciones (5) una maldición sobre los oponentes del bendecido y (6) la respuesta de fe y la bendición de la justificación.

El proceso del pacto continuó después de que Abram siguió pecaminosamente la sugerencia de Sarai de tomar como concubina a Agar, la doncella egipcia (Génesis 16). Yahweh vino a Abram y le dio más explicaciones del pacto redentor / restaurativo dentro del contexto del pacto creacional.

Yahvé se presentó como el Dios invencible, poderoso y exaltado. Yahweh enfatizó las estipulaciones del pacto: "camina delante de mí" (permanece en constante y cotidiana comunión espiritual conmigo) "sé irreprensible" (vive con rectitud de acuerdo con mi voluntad entre tus semejantes). Implícito en estas estipulaciones estaba la conciencia de Yahweh de la falta de fe y obediencia de Abram en su soberano y exaltado Dios y de su pecado de adulterio con Agar. Abram había pecado espiritual y socialmente, pero Yahweh en su gracia confirmó su (s) pacto (s) con Abram. El verbo usado en hebreo es "dar". La continuidad del pacto con Abram fue un regalo de la gracia de Yahweh. Abram respondió con humildad y adoración (17: 3). Luego se repitieron los elementos del pacto. A Abram se le prometió mucha descendencia que formarían naciones y darían lugar a reyes. Esta repetición enfatizada de la semilla fue fuertemente afirmada por el cambio de su nombre a Abraham y la seguridad de que el pacto con su descendencia era para siempre. El vínculo de amor de vida entre Yahvé y Abraham y su simiente fue fuertemente afirmado por la promesa de "ser tu Dios y el Dios de tu descendencia" (17: 8). Yahvé, con estas palabras, aseguró a Abraham su presencia permanente, su disponibilidad, su ayuda segura y su amor, apoyo y consuelo inagotable en todas las circunstancias de la vida. A Abram también se le aseguró que poseería la tierra (17: 7-8). A las estipulaciones de caminar y ser irreprensibles, Yahweh agregó el mandato de circuncidar a la descendencia masculina que a su vez generaría descendencia. En el contexto de asegurarle a Abraham de mucha simiente, Yahweh le dio la señal del pacto de la circuncisión (17:11), que los hijos debían llevar siempre y por el cual demostró que reclamaba la simiente como pueblo en pacto con él. A la circuncisión se le dio un papel tan enfáticamente importante en el pacto de Yahweh con Abraham y su descendencia, que fue referido como el "pacto de la circuncisión" (17:13). Este no era un pacto por separado, sino que era una parte tan integral del pacto redentor / restaurativo que se le conocía como la representación del pacto completo (una parte que representa el todo). También en el contexto de la afirmación de Yahvé de que la simiente de Abraham es suya, se incluye el concepto de elección divina. Abraham pidió que su hijo Ismael fuera considerado un progenitor del pacto, pero Yahweh declaró enfáticamente que Isaac, nacer de Sara, sería ese (17: 15-21).

Después de que Dios había probado la obediencia de Abraham, por juramento (22: 1-6) repitió y confirmó elementos de su pacto (22: 17-18a). De fundamental importancia es la declaración de Yahweh "porque me has obedecido" (22: 18b). Este énfasis en la obediencia es una fuerte evidencia de que el pacto con Abraham no debe considerarse básicamente como un pacto de promesa con la respuesta de fe. Por importantes que sean la promesa y la fe, no deben usarse para minimizar el énfasis en las estipulaciones: vete, vete, no temas, camina delante de mí, sé libre de culpa, circuncida, ofrece a tu hijo. A Abraham nunca se le dieron opciones que pudiera elegir aceptar o rechazar. Como "vasallo" se le dieron mandamientos, leyes, órdenes, reglamentos, requisitos y decretos (26: 4). El pacto de Yahweh con Abraham se caracterizó por la promesa y la ley. Como estos no debían separarse, tampoco la fe y la obediencia.

Como Yahweh había prometido que su pacto redentor / restaurativo en el contexto más amplio del pacto de la creación iba a continuar con Isaac (17: 19-20), y porque Abraham había obedecido a Yahweh y había guardado sus leyes (z5 1: 1 26: 5 ), Yahvé confirmó en consecuencia su pacto con Isaac (Génesis 26: 3-4 Génesis 26:24).

El carácter de gracia del pacto de Yahweh con los patriarcas se destacó en las interacciones de Yahweh con Jacob, quien fue elegido a pesar de su codicia (25: 29-34), engaño (27:19) y manipulaciones inteligentes (30: 31-43) . La elección de los privilegios y responsabilidades del pacto no se basó en el mérito, sino de acuerdo con la voluntad soberana y la misericordia de Yahweh (Romanos 9: 10-18).

Yahvé Dios confirmó el pacto en todos sus aspectos y ramificaciones con Jacob. Al huir de Esaú, Jacob tuvo la seguridad de que la tranquilidad de la presencia de Yahweh fue capturada por las frases "Yo estoy contigo" "Yo te cuidaré" "Te traeré de regreso a la tierra" "No te dejaré" y "cumpliré todo lo que te prometo". Con estas garantías, Jacob podría viajar, vivir, trabajar y prosperar en cualquier lugar del reino cósmico de Yahweh, porque Yahweh había repetido su determinación de mantener y llevar a cabo su pacto de creación y su correlato redentor / restaurador. Jacob, que tenía un hogar con su tío Labán, disfrutó del cumplimiento del mandato del pacto de ser fructífero y multiplicarse, y del cumplimiento de la promesa del pacto de la semilla (29: 31-30: 24). Jacob fue bendecido con prosperidad (una realidad cultural de un pacto de creación 30: 25-43 35: 23-26). Cuando regresó a la tierra de sus padres, como Yahweh le ordenó (31: 3), Jacob estaba seguro de la promesa del pacto de Yahweh de estar con él. Cuando llegó el momento de confrontar a Esaú, Jacob dependió de la relación de pacto de Yahweh con sus antepasados ​​y las promesas que se les hicieron a ellos ya él (32: 9-12). Después de la lucha de Jacob con el Señor, fue nombrado "Israel" porque venció en sus luchas (32:28 35:10) y fue bendecido (32:29). A su regreso a Betel, Yahvé Dios nuevamente confirmó el pacto con él, asegurándole a Jacob que era El Shaddai y ordenándole que fuera fructífero (35:11), confirmando que de él vendrían naciones y reyes (35:11) y que él recibiría tierras para él y sus hijos (35:12). Cuando Jacob había estado en la tierra por algún tiempo y se le aconsejó que fuera a Egipto, Yahweh le aseguró que no rompería el pacto si lo hacía (46: 3-4). Más bien, el plan de Yahweh era cumplir su pacto con Abraham de que Israel pasaría 400 años en una tierra extranjera (15: 13-14) en la que un hijo, José, demostró ser un tipo de Cristo, el mediador de el pacto, y se profetizó que Judá se convertiría en el antepasado de David, el siervo del pacto y de Cristo (49: 8-12).

El Libro del Éxodo comienza con declaraciones de pacto. La progenie patriarcal aumentó como se prometió (1: 2-5). Los israelitas obedecieron el mandato de ser fructíferos, multiplicarse y volverse numerosos (1: 7). Pero los israelitas estaban bajo una gran presión, debido a la esclavitud opresiva, para obedecer los mandatos culturales y espirituales. La realidad era que los israelitas en su conjunto parecían ajenos a las respuestas del pacto de fe y obediencia que se les exigía. En su miseria, gimieron y gritaron, y Yahweh los escuchó (2: 23-24a). Se afirma categóricamente que Yahvé Dios se acordó de su pacto con los patriarcas (2: 24b). Eso lo hizo lo demuestra el llamado de Moisés a ser el mediador del pacto que debía servir en la liberación de los israelitas y la obtención de la libertad. Yahweh se identificó a sí mismo como el Señor del pacto de los patriarcas (3: 6), como el siempre fiel (3:14) que estaría con Moisés (3: 12a) mientras servía en el cumplimiento de la promesa de Yahweh a Abraham de traer su descendientes de tierra extraña (3: 8). Se le ordenó a Moisés que hiciera maravillas ante los israelitas que dudaban para que creyeran que su Señor del pacto había llamado a Moisés para que fuera el "redentor del Antiguo Testamento" (4: 1-7).

Después de que Yahweh había humillado y quebrantado al poderoso Egipto, instituyó un segundo sacramento del pacto, la Pascua, una fiesta para conmemorar la liberación de Israel y en la cual los padres debían instruir a sus hijos sobre las palabras y hechos fieles de Yahweh (12: 24-28).

El proceso real de confirmación del pacto con Israel tuvo lugar en el monte Sinaí. La primera etapa del proceso incluyó lo siguiente. Primero, Yahweh se presentó a sí mismo como el Dios que guarda, libera, guía y protege el pacto de Israel, quien trajo a Israel a sí mismo. Confirmó el vínculo amoroso de la vida (19: 3-4).

En segundo lugar, hizo una estipulación de todo incluido: obedecer mi pacto. La estipulación se explicó más tarde. Esta estipulación no se presentó como una condición que Israel pudiera optar por obedecer o rechazar. Más bien, Yahweh reveló de qué manera funcionaría una relación de pacto rica y completa. Israel, respondiendo obedientemente a las demandas del pacto de Yahweh, cumpliría las promesas.

En tercer lugar, las promesas se concretaron en cuatro garantías que incluían responsabilidades. (1) Israel se daría cuenta de la vida, el amor y la bendición de ser la posesión preciosa de Yahweh, elegida entre todas las naciones. (2) Israel iba a ser un reino, un pueblo real, hijos en la familia del soberano Señor del reino cósmico. Estaba implícito que todos los privilegios, bendiciones y responsabilidades del reino serían de ellos. (3) Israel debía, como reino, ser sacerdotal en carácter y servicio. Debían verse a sí mismos de pie y sirviendo en la presencia de Yahweh mientras ministraban a las naciones del mundo y en nombre de ellas. De ese modo se realizaría la tarea del pacto de ser un canal de bendición. (4) Israel iba a ser una nación santificada, dedicada y consagrada. Como pueblo organizado gobernado por Yahweh, debían evitar y luchar contra el pecado y la corrupción y reflejar la pureza, majestad y grandeza de su santo Señor entre las naciones (19: 5-6).

En cuarto lugar, Israel respondió en forma de pacto: "Haremos todo lo que Yahweh ha dicho". No dijeron, "Nosotros elegimos" (no se les dio una opción) o "Lo intentaremos", se comprometieron plenamente.

Quinto, Moisés fue reconfirmado como mediador entre Yahvé y el pueblo. Él iba a ser el portavoz de Yahweh al pueblo y en nombre del pueblo a Yahweh. Él era el representante de Yahweh en quien la gente debía confiar que su confianza estaría motivada por escuchar a Yahweh promulgando su voluntad (19: 9).

En sexto lugar, los israelitas tuvieron que consagrarse a Yahvé mientras se mantenían alejados del monte Sinaí (19: 10-15).

La segunda etapa en el proceso de renovación y confirmación del pacto fue hablar de la ley por parte de Yahweh y escuchar al pueblo. Primero se pronunciaron los diez mandamientos, estos eran principios inclusivos que gobiernan todos los aspectos de la vida del reino. Los primeros cuatro se referían al carácter del Rey Yahweh, cómo y cuándo iba a ser honrado y adorado. Estos explicaron cómo la vida y la adoración cumplirían con los requisitos del mandato espiritual del pacto creacional. Los tres siguientes se refirieron al cumplimiento del mandato social y los tres últimos al mandato cultural. La interrelación de los mandamientos demostró cuán integrados, fieles y obedientes, personas del convenio encontrarían la vida del reino. Por ejemplo, robar dañaría a un vecino (social) mientras actúa desobedientemente contra Yahweh (espiritualmente) en el área cultural.

El hablar de los diez mandamientos fue seguido por una explicación y aplicación. Se dieron instrucciones sobre cómo adorar (20: 22-26), guardar las leyes del sábado, y cuándo, por qué y cómo celebrar las tres fiestas principales (23: 10-19). Se explicó la preocupación por los trabajadores, los esclavos y las personas heridas y violadas (21: 1-36 22: 16-23: 9). Se agregaron instrucciones sobre la propiedad de la propiedad, los derechos involucrados, el castigo y las formas de hacer restitución.

Después de que se promulgaron las leyes, se le dio al pueblo la seguridad de que Yahweh los guiaría, protegería y los llevaría a la tierra prometida, donde debían permanecer fieles al pacto con Yahweh y no hacer un pacto con las personas que vivían en la tierra o con sus dioses (23: 20-33). Este fue un fuerte recordatorio para confiar en Yahweh, creer en él y amar solo a él.

Moisés le dijo al pueblo todo lo que Yahvé les había dado como instrucciones y leyes. La gente dio una segunda respuesta solemne, diciendo que harían todo lo que Yahweh había dicho. Esta respuesta de confianza y obediencia vino espontáneamente (24: 3).

Luego Moisés escribió todas las explicaciones, aplicaciones, garantías y respuestas (24: 4). Esta escritura de un pacto le dio permanencia y autoridad. Una vez escrito, no debía modificarse, sería explicado y aplicado de manera más completa.

La tercera etapa en el proceso de renovación y confirmación de Yahweh del pacto que había hecho previamente con Adán, Noé y los patriarcas fue la ceremonia de ratificación real (24: 4b-18). La ceremonia consistió en la construcción de un altar para que sirviera como el verdadero lugar de encuentro íntimo de Yahvé y el pueblo. Luego se ofrecieron sacrificios. Se había recogido sangre y la mitad se roció sobre el altar. Entonces Moisés leyó todo el material del pacto que había escrito, a lo que Israel dio una tercera respuesta espontánea, diciendo "Haremos, obedeceremos". El punto culminante de la ceremonia siguió a que el pueblo fue rociado con la sangre del pacto. Así, por la sangre, en la que está la vida, pero que también habla de la muerte de lo sacrificado, el pueblo en su conjunto fue representado y sellado como posesión preciosa de Yahvé Dios. El santo matrimonio había tenido lugar. Yahvé, el Esposo, había tomado a la progenie del patriarca como su esposa. La ratificación del pacto fue finalizada cuando Yahvé escribió los diez mandamientos en tablas de piedra y se los dio a Moisés. Toda la ceremonia terminó con Yahvé mostrándose en su majestad, esplendor, grandeza y pavor como un fuego consumidor (24:17).

Los israelitas no permanecieron fieles a su voto del pacto por mucho tiempo.Mientras Moisés recibía instrucciones sobre la adoración (la construcción del tabernáculo, su mobiliario, la ordenación de Aarón y sus hijos como sacerdotes), los israelitas hicieron un ídolo y lo adoraron (32: 1-6). Esta ruptura del pacto despertó la ira de Yahweh, él habló de llevar a cabo la maldición del pacto sobre ellos (32: 9-10). Moisés, sin embargo, sirvió como mediador del pacto y el pueblo se libró en gran parte (Éxodo 32:28 Éxodo 32:35).

El pacto fue reconfirmado cuando Moisés intercedió más por el pueblo y Yahweh declaró que él era verdaderamente Yahweh, compasivo, misericordioso, paciente, lleno de amor, fiel, perdonador, recto y justo (34: 6-7). Se repitieron las promesas de lo que haría y se agregaron estipulaciones relevantes para las circunstancias inmediatas que acababa de experimentar. Se repitió el llamado a adorar solo a Yahvé, quien como un Dios celoso no toleraría rivales (34:14). Yahweh nuevamente ordenó a la gente que se acordara de celebrar las fiestas prescritas (34: 18-26). Un pueblo perdonado, con quien Yahweh reconfirmó su vínculo de amor de vida con todas sus implicaciones y ramificaciones para todos los aspectos de la vida, sería un pueblo alegre y festivo.

En el contexto de Yahweh confirmando su pacto con Israel, se mencionan otros dos pactos. En Levítico 2:13 se dio la orden de no dejar "la sal del pacto de tu Dios fuera de tus ofrendas de cereal". Luego, más tarde, la frase "pacto de sal" se usa cuando Yahvé asegura a los sacerdotes y levitas que su descendencia siempre recibiría sustento de las ofrendas (Núm. 18:19). La institución y el propósito de este pacto de sal no se registran. Por el contexto se puede entender que cuando se hacían las ofrendas prescritas por el pacto, tenían que ser sazonadas y dotadas de un medio de conservación para que lo que se ofrecía pudiera mantenerse en buenas condiciones hasta que las familias de sacerdotes y levitas las comieran. De esta manera, una disposición en la vida del pacto, el trabajo y la adoración, a saber, comida para aquellos a quienes no se les dio una gran porción de Canaán, se usó para referirse a todo el pacto. La permanencia del pacto fue expresada por la sal, por esta razón, el pacto con David también fue referido como un pacto de sal (2 Crón 13: 5).

Del mismo modo, no honrar y guardar el sábado era romper todo el pacto (Éxodo 31:13 Éxodo 31:16 ver también Neh 9:14 Nehemías 10:31 Nehemías 10:33 13: 15-22 Isa 56: 2-6 Jer 17: 19-29). Guardar el día de reposo era un requisito definitivo para la fiel vida de pacto y adoración.

Dentro del alcance del pacto de Yahweh con Israel como nación, se hizo un "subpacto" con el sacerdocio. Este pacto se conoce como un pacto eterno. Debido a que uno de los hijos de Aarón demostró gran celo por la exigencia del pacto de Yahweh de vivir en santidad, se le aseguró que el oficio de sacerdote permanecería con la progenie de Aarón (Nú 25: 10-13).

Cuando los israelitas estaban preparados para entrar en la tierra prometida a sus antepasados ​​patriarcales, Moisés, el mediador de Yahvé Dios para Israel, dio extensos discursos que constituyen el contenido del Libro de Deuteronomio.

El término hebreo para pacto aparece veintisiete veces. Una vez que debería traducirse "liga" (7: 2), aparece varias veces en la frase "arca del pacto". En algunos contextos, la ley se conoce como el pacto (4:13 Deuteronomio 19: 9 Deuteronomio 19:11 Deuteronomio 19:15 29: 1).

En sus discursos, Moisés repasó una serie de eventos importantes vividos durante sus viajes por el desierto (capítulos 1-3) en los que el comportamiento de la gente no era encomiable pero Yahvé había permanecido fiel: Él "te bendijo, ha vigilado tu viaje" (2 : 7). Moisés instó al pueblo a permanecer fiel al pacto de Yahweh Dios (4:13) y recordar a Yahweh como un Dios celoso que demanda absoluta lealtad (4:24). Moisés enfatizó que Yahvé fue misericordioso, no olvidaría el pacto hecho con los antepasados ​​que había confirmado mediante un juramento. Yahweh había hecho un pacto con ellos porque los amaba y eligió a sus descendientes (el pueblo al que se dirigía Moisés) (4:37). Recordando a los israelitas el carácter y las obras de Yahweh (dos aspectos esenciales del pacto de Yahweh), Moisés exhortó al pueblo a seguir los mandamientos de Yahweh (4: 1), no agregar a ellos sino guardarlos (4: 2), mantenerse firme (4 : 4), para observarlos fielmente (4: 6), y mostrar su sabiduría y entendimiento al hacerlo (4: 6). Debían buscar a Yahvé su Dios con todo su corazón y alma (4:29). Este llamado a la obediencia amorosa fue seguido por una repetición de los diez mandamientos (cap. 5) y el mandamiento de amar a Yahweh, tener su voluntad en sus corazones y enseñar a sus hijos (5: 4-9).

Moisés explicó y amplió cómo el pacto de amor que Yahvé había hecho con los patriarcas (7:12) iba a ser conocido, obedecido y seguido en toda la vida. Se repitieron recordatorios del amor de Yahweh y su elección de ellos y su llamado a ser santos (ver especialmente los capítulos 7-11). El lugar y la forma de la adoración y el banquete del pacto se describieron nuevamente (capítulos 12-13, 16, 26). Se repitieron las instrucciones sobre asuntos sociales y legales requeridos por el pacto de Yahweh (cap. 14-15, 17, 19-24). Se explicaron las garantías de que Yahweh proporcionaría líderes / mediadores del pacto, reyes, sacerdotes y profetas (17: 14-18: 22). Después de esta expansión de la ley, con repetidas referencias a las bendiciones que siguieron a la obediencia (ver especialmente el capítulo 8), Moisés reiteró el llamado al pueblo de Yahweh a ser santo, a obedecer y caminar con Yahweh, y ser puesto en alabanza, fama y alto honor sobre todas las personas (26: 16-19).

Una parte integral de un convenio, además de la auto-presentación del Señor, la revisión de los hechos, las estipulaciones y el llamado a la obediencia, y la seguridad / promesas eran las bendiciones y las maldiciones. Moisés las presentó enfáticamente, primero enfatizó las maldiciones (27: 14-26), las cuales serían repetidas por los levitas y a las cuales el pueblo respondería con "Amén" (así será). Moisés resumió las bendiciones (28: 1-14 30: 1-20) a las que se había referido antes. En detalle gráfico, relató qué maldiciones esperar si la gente era desobediente (28: 15-68).

Antes de que Moisés concluyera sus "discursos recordatorios del pacto", ordenó a Josué como su sucesor (31: 1-8), escribió lo que había predicado y lo puso en el arca (31: 9-29), escribió una canción en la que Se ensalzó el carácter y los hechos de Yahweh y los fracasos de Israel y las trágicas consecuencias de éstos (32: 1-43), y se pronunció una bendición sobre los israelitas (cap. 33). Luego les dijo a los israelitas que mientras estaban de pie ante Yahweh, estaban en pacto con Yahweh porque Yahweh confirmó su pacto hecho primero con los patriarcas.

Josué reconfirmó este mismo pacto con Israel después de que tomaron posesión de Canaán. Repasó la obra de Yahweh Dios a favor de ellos (Josué 24: 1-13). Los llamó a temer y servir a Yahweh con toda fidelidad (24: 14-23). La gente respondió: "Serviremos y obedeceremos" (24:24). Josué escribió los decretos y las leyes, sin duda alguna como estos se aplicaban a las circunstancias de la vida establecida en "El Libro de la Ley de Dios". Josué no alteró lo que Moisés había escrito, él repitió, amplió e hizo relevante a la nueva situación lo que Yahweh había dado a través de Moisés.

En los tiempos de los Jueces, Yahweh le aseguró a Israel que nunca rompería su pacto hecho con los antepasados ​​(Jueces 2: 1). Israel rompió repetidamente el pacto, pero Yahvé permaneció fiel. Él proporcionó liberación cuando la gente se arrepintió y lo invocó. No hay referencias bíblicas a las ceremonias de renovación del pacto, aunque algunos eruditos consideran que Samuel dirigió una renovación del pacto en Gilgal. Fue entonces cuando Saúl fue confirmado rey y Samuel pronunció su discurso de despedida (1 Sam 11: 14-12: 25). Esta renovación marcó un progreso definitivo en la revelación de Yahvé Dios. Al igual que con cada ceremonia de expansión, renovación y confirmación del pacto, Yahweh había dado revelación adicional, por lo que se dio una revelación adicional significativa en el tiempo de Samuel y David. Pertenecía particularmente al papel de un mediador del pacto real en la persona de un rey como se prometió a través de Moisés. Samuel inició el proceso de expansión y renovación del pacto mediante la renovación del pacto en Gilgal y la unción de David como el rey elegido por Yahweh (1 Sam 16: 1-13).

El clímax de la revelación adicional y la expansión del pacto de Dios llegó cuando Yahvé se dirigió a David a través del profeta Natán (1 Sam 7: 1-17). La revelación a David comenzó con una referencia a cómo Yahweh había habitado con su pueblo desde los tiempos de Moisés. Aquí hay un vínculo directo con el pacto patriarcal que fue ampliado y ratificado en el Sinaí (7: 5-8).

Las características esenciales de la expansión del pacto con David son las siguientes. David el pastor fue elegido rey (7: 8 cf. Salmos 78: 70-72). Se repitió la fórmula del pacto "Yo he estado contigo". Yahvé le dio la victoria. El nombre de David iba a ser grandioso. Se le iba a dar un lugar y se aseguraba la victoria, el descanso y la paz. Seed continuaría tras él. Los hijos serían reyes. El trono del reino del hijo se establecería para siempre. Yahvé sería su padre él, David su hijo. La maldad sería castigada (maldición del pacto). El amor de Yahweh nunca se iría (el vínculo de amor está asegurado). Este pacto hecho con David fue un cumplimiento inicial de la profecía de Jacob con respecto a Judá (Génesis 49: 8-12) de que de él saldría un gobernante. El cumplimiento más pleno y completo de la profecía de Jacob y de Natán a David se realizó en Jesucristo, el mediador del nuevo pacto.

El hijo de David, Salomón, expresó su conciencia y lealtad a Yahvé y al pacto con la dinastía davídica en los primeros años de su reinado. Hizo esto particularmente cuando dedicó el templo, el templo dio expresión permanente a la promesa del pacto: "Yo soy tu Dios, estaré contigo". La mayoría de los reyes que sucedieron a Salomón, con excepciones como Josafat, Ezequías y Josías, fueron violadores del pacto. No debían considerarse excusables o ignorantes porque los salmos, muchos escritos en el período del reino, llamaron la atención sobre el pacto (al menos 20 veces). Aún más, los profetas pidieron a los reyes y al pueblo que recordaran la creación y el pacto redentor / restaurador, que todo lo abarca todo, con todos sus elementos maravillosos y advertencias serias.

Los reyes de Judá, como Acaz, ignoraron, no creyeron y rechazaron las advertencias proféticas, pero Yahweh a través de su portavoz del pacto, los profetas, continuó cumpliendo sus promesas con respecto a su pacto y el mediador prometido del pacto ante el pueblo.

Los profetas habían advertido repetidamente que Yahweh mantendría su pacto con los quebrantadores y despreciadores persistentes del pacto ejecutando la maldición del pacto sobre ellos. Jeremías advirtió elocuentemente de la inminente perdición por destrucción y dispersión.

El nuevo pacto. Jeremías, profetizando que la maldición del pacto seguramente sería ejecutada por medio del exilio, también profetizó acerca de la continuidad segura del pacto (30: 1-33: 26). Él dio absoluta seguridad de que Israel y Judá serían devueltos del cautiverio (30: 3) Yahweh restauraría las bendiciones (30:18 fortunas NVI). Los amaría con un amor eterno y continuaría siendo su Padre (31: 3-9). Yahweh daría motivo para que las lágrimas se sequen y la esperanza para el futuro (31: 15-17) porque Israel sería replantado (31: 27-30). Se confirmaría un pacto renovado (31: 31-34). Este pacto sería tan seguro e inviolable como el pacto de Yahweh con David, los levitas (33: 15-18) y la creación (33: 19-26). Al hablar del pacto renovado, lo hizo en el contexto del pacto de Yahweh con la creación, los patriarcas (33:21), Israel en el Sinaí y en el desierto (los levitas tomados como parte del todo) y David (Jeremías 33 : 15 Jeremías 33:26). Jeremías no habla de una discontinuidad de los pactos pasados. Él deja en claro que el pacto de Yahweh hecho, expandido y administrado en varias situaciones, es un pacto continuo. Se acerca el momento en que el pacto se renovará, ampliará y aplicará de una manera radicalmente nueva. Por lo tanto, habló de lo que se traduce como el "nuevo pacto" con Israel y Judá (31:31) que no sería como el pacto hecho en el Sinaí (31:32). Se deben enfatizar algunos puntos importantes: (1) El término hebreo traducido como "nuevo" básicamente se refiere a lo que había antes, pero aparece en otra forma (nueva, renovada) como la luna, que aparece llena, cambia de apariencia y se habla de ella como la luna nueva. (2) Un aspecto principal del pacto con los patriarcas, Israel y David caracterizará el pacto futuro. "Yo seré su Dios y ellos serán mi pueblo" (31: 33b). (3) La ley seguirá siendo un aspecto integral (31: 33a) pero será internalizada en las mentes y corazones del pueblo del pacto. (4) Yahvé sigue siendo el mismo, es un Dios que perdona y se olvida (33:34).

El pacto renovado para el futuro mantendrá las promesas hechas a lo largo del período del Antiguo Testamento. El mayor cambio será en lo que respecta al administrador del pacto. Este ya no será un Moisés, un David, un sumo sacerdote o un gran profeta como Isaías. Jesucristo, que había sido tipificado por estos mediadores del Antiguo Testamento, será el Mediador del pacto. Él inaugurará, cumplirá y establecerá permanentemente el pacto renovado. Hizo esto al convertirse en el Sumo Sacerdote que se ofreció a sí mismo como el Cordero Pascual. Él encapsuló todo esto con sus declaraciones de "Yo soy" (Juan 4:26 6:35 8:12 9: 5 Juan 10: 7 Juan 10: 9 Juan 10:11 Juan 10:14 11:25 14: 6 Juan 15: 1 Juan 15: 6) por lo que se identificó con Yahvé, quien, cuando llamó a Moisés para ser el mediador en la era del Antiguo Testamento, dijo: "Yo soy el que soy" (Éxodo 3:14) y "esta es mi sangre del pacto "(Mateo 20:28). El Libro de Hebreos amplía cómo Jesús y su sangre son elementos esenciales del nuevo pacto (9: 11-10: 18).

El pacto renovado que Jeremías profetizó fue introducido por Jesucristo. Inauguró toda la era del Nuevo Testamento, la cubre por completo y llega al reinado eterno de Cristo y el Padre. La última parte de ese pacto renovado que llega al futuro, el estado eterno en el que el cielo y una tierra renovada se unen en el Edén recobrado y consumado. Se infiere que esto es Ezequiel como el pacto de paz (34:25). Este pacto debe ser una consumación completa del pacto de la creación. Los campos ya no tendrán bestias salvajes, los bosques serán lugares de seguridad, lluvias de bendición fructificarán los huertos y los campos (Isaías 11: 6-9). Este pacto de paz será iniciado, cumplido y consumado por el descendiente prometido de Judá al que Isaías se refiere como el vástago y la rama de David (11: 1), y como el Un pastor divinamente provisto, David, el Hijo del siervo de Yahweh (Eze. 34:24). El vínculo de amor de vida establecido por Dios cuando creó el cosmos y colocó a Adán y Eva como sus mediadores en el Edén, atacados por Satanás y roto por la humanidad, siempre mantenido por Yahvé, será completamente restaurado, enriquecido en todos los aspectos y plenamente realizado. bajo el servicio mediador del Hijo de Yahvé, Jesucristo.

Bibliografía. H. Buis, La Enciclopedia del Cristianismo, 4: 219-29 W. J. Dumbrell, Pacto y Creación W. Eichrodt, Teología del Antiguo Testamento, vol. 1 MJ Kline, La estructura de la autoridad bíblica idem, El tratado de un gran rey DJ McCarthy, El pacto del Antiguo Testamento TE McComiskey, Los pactos de la promesa J. Murray, El pacto de la gracia OP Robertson, El Cristo de los pactos G. Van Groningen , Revelación mesiánica en el Antiguo Testamento G. Vos, Teología bíblica J. Zinkand, Pactos: Las afirmaciones de Dios.

Diccionario Evangélico de Teología Bíblica de Baker. Editado por Walter A. Elwell
Copyright y copia 1996 por Walter A. Elwell. Publicado por Baker Books, una división de
Baker Book House Company, Grand Rapids, Michigan, Estados Unidos.
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Información bibliográfica

Elwell, Walter A. "Entrada para 'Pacto'". "Diccionario Evangélico de Teología". . 1997.


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