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12.6: Velocidad y aceleración en coordenadas polares - Matemáticas


12.6: Velocidad y aceleración en coordenadas polares - Matemáticas

La posición de cualquier punto en un sistema de coordenadas cilíndrico se escribe como

[< bf r> = r hat < bf r> + z hat < bf z> ]
donde ( hat < bf r> = ( cos theta, sin theta, 0) ). Tenga en cuenta que ( hat theta ) no es necesario en la especificación de (< bf r> ) porque ( theta ) y ( hat < bf r> = ( cos theta , sin theta, 0) ) cambie según sea necesario para describir la posición. Sin embargo, aparecerá en las ecuaciones de velocidad y aceleración porque

En resumen, las identidades utilizadas aquí incluyen

Volviendo a la ecuación de posición y diferenciando con respecto al tiempo se obtiene la velocidad.

[< bf v> quad = quad < parcial sobre parcial , t> (r hat < bf r> + z hat < bf z>) quad = quad ( dot r , hat < bf r> + r omega hat < boldsymbol < theta >> + dot z , hat < bf z>) ]
Esto también podría escribirse como

[< bf v> = (v_r , hat < bf r> + v_ theta hat < boldsymbol < theta >> + v_z , hat < bf z>) ]
donde (v_r = dot r, v_ theta = r , omega, ) y (v_z = dot z ).

Diferenciando de nuevo para conseguir aceleración.

El término (- r , omega ^ 2 , hat < bf r> ) es la aceleración centrípeta. Dado que ( omega = v_ theta / r ), el término también se puede escribir como (- (v ^ 2_ theta / r) , hat < bf r> ).

El término (2 dot r omega , hat < boldsymbol < theta >> ) es la aceleración de Coriolis. También se puede escribir como (2 , v_r , omega , hat < boldsymbol < theta >> ) o incluso como ((2 , v_r , v_ theta / r) hat < boldsymbol < theta >> ), que enfatiza el producto de (v_r ) y (v_ theta ) en el término.

Aceleraciones centrípetas en el neumático

La aceleración centrípeta de un neumático que viaja a 70 mph es notablemente alta. 70 mph son 31,3 m / s, y esto es (v_ theta ). Para un neumático con un radio de 0.3 m, la aceleración centrípeta es

Ejemplo de aceleración cilíndrica

Este ejemplo usa la función (r = [17- cos (4 theta)] / 16 ), con ( theta = t ) y calcula los componentes de la aceleración.

[ empezar ddot r & = & cos (4 theta) end ]
Entonces el vector de aceleración es

Segundo ejemplo de aceleración cilíndrica

Una barra gira a una velocidad, ( omega ). Un collar comienza en (R_o ) y se arrojado apagado con cero fricción. Entonces la aceleración radial es cero. Por lo tanto

[a_r = ddot r - r , omega ^ 2 = 0 ]
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución es

[r = A e ^ < omega , t> + B , e ^ <- omega , t> ]
Suponga que las condiciones iniciales son (r (0) = R_o ) y ( dot r (0) = 0 ). Esto lleva a

[A = B = ]
Entonces la solución es

[r = R_o cosh ( omega , t) ]
Recuerde, esto da una aceleración radial neta cero para el caso donde ( omega = constante ).

Recuerde que la aceleración circunferencial es

[a_ theta = r , alpha + 2 dot r omega ]

( alpha ) es cero porque ( omega ) es una constante. ( dot r ) es

[ dot r = R_o , omega sinh ( omega , t) ]
y todo esto se combina para dar

[a_ theta = 2 R_o , omega ^ 2 sinh ( omega , t) ]
que es una gran aceleración circunferencial debida enteramente al efecto Coriolis, aunque ( omega ) es constante.


12.6: Velocidad y aceleración en coordenadas polares - Matemáticas

Para el movimiento del plano, muchos problemas se resuelven mejor usando coordenadas polares, r y & theta. Esto requiere el desarrollo de ecuaciones de posición, velocidad y aceleración basadas en, r y & theta.

Antes de poder determinar la velocidad y la aceleración en coordenadas polares, es necesario definir la posición. A diferencia de las coordenadas rectilíneas (x, y, z), las coordenadas polares se mueven con el punto y pueden cambiar con el tiempo. Aunque la coordenada r se está moviendo, el vector de posición r, se mide en la dirección r, dando

r = r mir
Velocidad

Al igual que en otros sistemas de coordenadas, la velocidad se puede determinar tomando una derivada de la posición en el tiempo,

Dado que el sistema de coordenadas se está moviendo, la derivada del tiempo del vector unitario, mir, no es cero. Usando una derivación similar a la encontrada en la teoría de los sistemas de coordenadas n-t, las expresiones para las derivadas de los vectores radial unitario y transversal unitario se pueden determinar como,

La derivada de la miy theta El vector unitario incluye un signo negativo debido a que cambia hacia adentro a medida que se mueve (hacia adentro es una dirección r negativa). La regla de la cadena se puede usar para expresar la derivada del tiempo del vector radial unitario como

Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación de velocidad se obtiene

Aceleración
Una derivada del tiempo de la velocidad dará una expresión para la aceleración,

La regla de la cadena se puede utilizar para expresar la derivada del tiempo del vector transversal unitario como

Sustituyendo esto en la ecuación anterior y reordenando, se obtiene la aceleración en términos de componentes radiales y transversales,

Es importante notar que tanto las direcciones r como las direcciones theta tienen múltiples términos. La aceleración en la dirección r y & theta no es solo d 2 r / dt 2 yd 2 & theta / dt 2, respectivamente, ya que las coordenadas se están moviendo.


Kennedy: otro entusiasta de las matemáticas

Refiriéndose al diagrama anterior, el vector unitario polar ( hat ) tiene la siguiente relación con los vectores unitarios rectangulares ( hat ) y ( hat )

$ sombrero = left ( cos theta right) hat + left ( sin theta right) hat $

El vector unitario polar ( hat < theta> ) siempre es perpendicular a ( hat ). Del diagrama anterior ( hat < theta> ) tiene la siguiente relación con los vectores unitarios rectangulares ( hat ) y ( hat )

$ hat < theta> = left (- sin theta right) hat + left ( cos theta right) hat $

En coordenadas polares, se modela la posición de un objeto (R ) a la distancia del origen como se representa en el diagrama anterior
$ mathbf = R sombrero $

La velocidad y la aceleración en coordenadas polares se obtienen diferenciando el vector de posición.

Diferenciar los rendimientos de ( hat )

$ frac>

= izquierda (- frac
sin theta right) hat + izquierda ( frac
cos theta right) hat = frac
left [ left (- sin theta right) hat + left ( cos theta right) hat right] $
$ frac>
= frac
hat < theta> $

lo que implica que la velocidad es

Diferenciar la velocidad produce aceleración.

$ frac>

= izquierda (- frac
cos theta right) hat + izquierda (& # 8211 frac
sin theta right) hat = - frac
left [ left ( cos theta right) hat + left ( sin theta right) hat right] $
$ frac>
= - frac
sombrero $


Movimiento plano curvilíneo - Coordenadas polares

La sistema de coordenadas polares está definido por las coordenadas r y & # 952. Al igual que los ejes de coordenadas n-t, los ejes r y & # 952 están unidos y se mueven con la partícula.

  • Posición: (r) El vector que comienza en el origen del sistema de coordenadas x-y y apunta a la partícula.

Velocidad

Los ejes r - y # 952 están fijos al cuerpo. Eso significa que están adheridos y se mueven con la partícula. Sabemos que la velocidad es la tasa de cambio de posición en el tiempo, como se muestra a continuación. Como puede ver, la ecuación de velocidad contiene la derivada del tiempo de un vector de direcciones unitarias. La derivada en el tiempo de un vector de dirección unitaria en un sistema de coordenadas fijo al cuerpo generalmente no es cero.

v = d r / dt = d (r e r ) / dt = (dr / dt) e r + r (d e r / dt)

Usando los valores de la derivada del tiempo de los vectores de dirección unitaria, obtenemos la siguiente ecuación de velocidad de coordenadas polares.

Aceleración

La aceleración es la tasa de cambio de velocidad en el tiempo, como se muestra a continuación. Nuevamente, las derivadas de los vectores de dirección unitaria generalmente no son cero.

Usando las expresiones anteriores para las derivadas de tiempo de los vectores de dirección unitaria, obtenemos la siguiente ecuación de velocidad de coordenadas polares.


2 respuestas 2

Considere la imagen de abajo.

En coordenadas cartesianas $ hat r = cos theta hat i + sin theta hat j, $ y $ hat theta = - sin theta hat i + cos theta hat j. $ Por lo tanto $ frac= sombrero theta $

Usaremos un punto superior para la primera derivada con respecto a $ : t : $, por ejemplo

Ahora, deje un sistema de coordenadas $ : left (x, y right) : $ en el plano como en la Figura anterior y $ : mathbf, mathbf: $ los vectores básicos unitarios a lo largo del eje $ : Ox, Oy : $ respectivamente. El vector de posición $ mathbf left (t right) $ de la partícula se puede expresar de la siguiente manera: begin mathbf left (t right) = left [r cos theta left (t right) right] mathbf+ left [r sin theta left (t right) right] mathbf etiqueta <03> end

Tenga en cuenta que todas las cantidades como vector de posición $ : mathbf: $, vector de velocidad $ : mathbf: $, ángulo $ : theta : $ y como vemos abajo los vectores unitarios $ : mathbf_, mathbf_ < theta> : $ son funciones del tiempo y por eso es conveniente omitir $ : t : $.

Entonces (03) produce begin mathbf= r left [ left ( cos theta right) mathbf+ izquierda ( sin theta derecha) mathbf right] = r mathbf_ etiqueta <04> end donde por definición begin mathbf_ equiv left ( cos theta right) mathbf+ izquierda ( sin theta derecha) mathbf etiqueta <05> end es un vector unitario a lo largo de $ : mathbf : $, como en la Figura. El vector de velocidad es begin mathbf= dfrac<>>

= dot < mathbf> = dot mathbf_+ r punto < mathbf>_= punto mathbf_+ r dot < theta> left [ left (- sin theta right) mathbf+ izquierda ( cos theta derecha) mathbf right] = dot mathbf_+ r dot < theta> mathbf_ < theta> etiqueta <06> end donde por definición begin mathbf_ < theta> equiv left (- sin theta right) mathbf+ izquierda ( cos theta derecha) mathbf etiqueta <07> end es un vector unitario normal a $ : mathbf : $, como en la Figura.


12.6: Velocidad y aceleración en coordenadas polares - Matemáticas

Coordenadas polares (radiales / transversales)

Este sistema de coordenadas es conveniente de usar cuando la distancia y la dirección de una partícula se miden en relación con un punto fijo o cuando una partícula está fija o se mueve a lo largo de un brazo giratorio.

Las coordenadas se eligen de manera que:

mir es un vector unitario que apunta radialmente hacia afuera desde el origen hacia la partícula, y mi es un vector unitario que apunta perpendicular a la línea radial en la dirección de aumento.

mir = cos I + pecado j
mi = -pecado I + porque j

Por tanto, la posición de la partícula en coordenadas polares viene dada por

La velocidad de la partícula viene dada por

y la aceleración viene dada por

Nuevamente, la velocidad siempre será tangente a la ruta y la aceleración generalmente tendrá componentes tanto normales como tangentes a la ruta.


Materiales de la conferencia

A continuación, encontrará copias en blanco de los esquemas de las conferencias que encontrará en mis videos de conferencias. Algunos estudiantes me dicen que les gusta imprimirlos o descargarlos para ayudarlos a tomar notas. Después de que terminemos de aprobar un tema, también publicaré una copia escrita a mano completa de mis notas en esta página.

NOTA: Por favor ignore las fechas de vencimiento de las tareas en una página de estos esquemas, en su lugar, siempre salga del calendario del curso y las fechas de vencimiento en Webassign.

12.1 Esquema de la lección - 12.1 Notas: Introducción a 3D, ejes, planos de coordenadas, distancia y esferas.
12.2 Esquema de la conferencia - 12.2 Notas: Introducción a los vectores: suma, magnitud, multiplicación escalar, vector unitario. Luego Introducción a los productos escalares.
12.3 Esquema de la conferencia - 12.3 Notas: Productos punto: definición, grandes teoremas / hechos, ortogonalidad, ángulo entre vectores, proyecciones y luego introducción al producto cruzado.
12.4 Esquema de la conferencia - 12.4 Notas: Productos cruzados: definición, cálculo / verificación, hechos importantes, reglas de la mano derecha, área del paralelogramo. Luego, introducción a las líneas.
12.5 Esquema de la clase - 12.5 Notas 1: Líneas y planos en 3D.
12.5 Notas 2: Líneas y planos en 3D - Cómo abordar problemas.
12.6 Resumen: Introducción a las superficies en 3D, trazos, luego 7 nombres importantes: cilindros, paraboloides (dos tipos: elípticos o hiperbólicos), hiperboloides (dos tipos: una hoja o dos hojas), conos, esferas / elipsoides. Debe saber cómo identificar todas estas formas y, en general, saber cómo se ven.
Ch. 12 - Hoja de datos breves
Resumen del examen 1, repaso y sugerencias de estudio
EXAMEN 1 - sobre el Capítulo 12.

13.1 Esquema de la conferencia - 13.1 Notas: Introducción a las curvas vectoriales: cómo visualizar (superficie de movimiento), pensando en términos de puntos o vectores de posición.
13.2 Esquema de la conferencia - 13.2 Notas: Cálculo sobre curvas vectoriales: vector tangente / derivado, unidad tangente, línea tangente, integral / antidervativa.
13.3 Esquema de la lección - 13.3 Notas: Medición en curvas 3D: Unidad tangente, Unidad principal normal, Longitud del arco, Curvatura.
13.4 Esquema de la conferencia - 13.4 Notas: Aceleración y velocidad en 3D: Antidertivativo para pasar de la aceleración a la velocidad a la posición, tangente y componentes normales de la aceleración.
Ch. Hoja informativa 12 y 13: herramientas vectoriales y cálculo vectorial en curvas 3D
EXAMEN 2 - sobre el Capítulo 13.

14.1 / 3 Esquema de la conferencia - 14.1 / 3 Notas: Introducción a las superficies 3D y el dominio de las derivadas parciales, las trazas, las curvas de nivel, el mapa de contorno, las derivadas parciales y la interpretación.
14.3 / 4 Esquema de la conferencia - 14.3 / 4 Notas: Más sobre derivadas parciales, así como planos tangentes y aproximación lineal
14.4 / 7 Esquema de la conferencia - 14.7 Notas 1: Discusión de los puntos críticos y máximo / mínimo local
14.7 Esquema de la lección 2 - 14.7 Notas 2: Discusión del máximo / mínimo global (límites de una región)
Ch. 14 Revisión completa
EXAMEN 3 - sobre el Capítulo 14.

15.1 Esquema de la conferencia - 15.1 Notas: Introducción a las integrales dobles.
15.2 Esquema de la conferencia - 15.2 Notas: Integrales dobles sobre regiones generales, orden inverso, configuración, evaluación.
10.3 Esquema de la lección - 10.3 Notas: Coordenadas polares (una herramienta que necesitamos para trabajar con regiones circulares).
15.3 Esquema de la lección - 15.3 Notas: Integrales dobles sobre regiones polares, ¡cómo hacer integrales sobre regiones circulares!
15.4 Esquema de la conferencia - 15.4 Notas: Centro de masa
Hechos del examen 4 - Cap. 15 Reseña
EXAMEN 4 - sobre el Capítulo 15.

Esquema de la conferencia TN 1 - Notas TN 1: líneas tangentes e introducción a los límites de error
Esquema de la conferencia TN 2-3 - TN 2-3 Notas: polinomios de Taylor de orden superior y desigualdad de Taylor
Esquema de la conferencia TN 4 - Notas TN 4: Serie Taylor
Esquema de la conferencia TN 5 - Notas TN 5: Manipulación de la serie Taylor
Hoja de datos de Taylor Notes
EXAMEN 5 - sobre polinomios / series de Tayloy


12.6: Velocidad y aceleración en coordenadas polares - Matemáticas

Eso está bien, pero generalmente queremos que la velocidad se exprese en las direcciones de r y & # 952, en lugar de las coordenadas xey. Para cambiar a la nueva base ortonormal, tome el producto escalar del vector de velocidad anterior con el vector radial unitario y el vector tangente unitario. Estos vectores son cos (& # 952), sin (& # 952) y -sin (& # 952), cos (& # 952) respectivamente. Después de tomar productos escalares, la velocidad, medida a lo largo de r y & # 952, es r & # 8242 y r × & # 952 & # 8242. La velocidad radial es el cambio en r, y la velocidad tangencial es el cambio en & # 952 veces r. Cuando la partícula está lejos del origen, un pequeño cambio en & # 952 marca una gran diferencia.

Vuelva a diferenciar, usando la regla de la cadena, para obtener aceleración. Puntee esto con los vectores unitarios radial y tangencial, como hicimos con la velocidad. Te ahorraré el álgebra. La aceleración desde el origen es r & # 8242 & # 8242-r × & # 952 & # 8242 2. El primer término es la aceleración radial y el segundo es la aceleración centripital. Si la partícula está trazando un círculo perfecto, el segundo término da la aceleración necesaria para mantener la partícula en su órbita.

La aceleración en la dirección tangencial es r & # 952 & # 8242 & # 8242 + 2r & # 8242 & # 952 & # 8242. El primer término es la aceleración angular magnificada por la distancia radial y el segundo término es la fuerza de Coriolis. Se necesita una fuerza adicional para mantener a una patinadora girando al mismo ritmo, mientras extiende sus brazos. Sus manos, moviéndose hacia afuera, representan r & # 8242 × & # 952 & # 8242.


12.6: Velocidad y aceleración en coordenadas polares - Matemáticas

En la sección Movimiento curvilíneo: coordenadas rectilíneas, se demostró que la velocidad siempre es tangente a la trayectoria del movimiento, y la aceleración generalmente no lo es.

Si se conoce el componente de aceleración a lo largo de la trayectoria del movimiento, se puede analizar el movimiento en términos de componentes normal y tangencial.

Considere un punto P que se mueve a lo largo de una trayectoria curva.

El vector de posición r especifica la posición de P con respecto al punto de referencia O, y s mide la posición de P a lo largo de la trayectoria con respecto al punto de referencia O '. El vector unitario tangente, mit, es tangente a la trayectoria en el punto P.

Velocidad

Velocidad de una partícula en un plano

La velocidad del punto a lo largo de la trayectoria se calcula tomando la derivada de la posición,

Dado que la velocidad es tangente a la trayectoria, se puede expresar en términos de mit,

v = ds / dt mit = v mit
Aceleración


Relación entre normal
y dirección tangente


Relación entre mit y minorte


Definición del radio de curvatura

Similar a las coordenadas rectilíneas, la aceleración se obtiene diferenciando la velocidad (dos partes) como

a = dv/ dt = dv / dt mit + v dmit/ dt

Dado que la aceleración no es, en general, tangente a la ruta, es útil expresarla en términos de componentes que son normales y tangentes a la ruta. Para hacerlo, la derivada en el tiempo del vector unitario tangente, mit, será encontrado.

Dejar mit(t) ser el vector unitario tangente en el tiempo t, y mit(t + y Deltat) sea el vector unitario tangente en el tiempo t + y Deltat. Si mit(t) y mit(t + y Deltat) se dibujan desde el mismo origen, forman dos radios de longitud 1 en el círculo unitario. La magnitud de & Deltamit viene dado por la ecuación


Ver el vídeo: Velocidad y aceleración en coordenadas polares (Septiembre 2021).