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12.5: Componentes tangenciales y normales de la aceleración - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Describe los vectores de velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en el espacio.
  • Explica las componentes tangencial y normal de la aceleración.
  • Enuncie las leyes del movimiento planetario de Kepler.

Ahora hemos visto cómo describir curvas en el plano y en el espacio, y cómo determinar sus propiedades, como la longitud y la curvatura del arco. Todo esto conduce al objetivo principal de este capítulo, que es la descripción del movimiento a lo largo de curvas planas y curvas espaciales. Ahora tenemos todas las herramientas que necesitamos; En esta sección, reunimos estas ideas y veremos cómo usarlas.

Vectores de movimiento en el plano y en el espacio

Nuestro punto de partida es utilizar funciones con valores vectoriales para representar la posición de un objeto en función del tiempo. Todo el material siguiente se puede aplicar tanto a curvas en el plano como a curvas espaciales. Por ejemplo, cuando miramos la órbita de los planetas, las curvas que definen estas órbitas se encuentran todas en un plano porque son elípticas. Sin embargo, una partícula que viaja a lo largo de una hélice se mueve en una curva en tres dimensiones.

Definición: velocidad, velocidad y aceleración

Sea ( vecs r (t) ) una función con valores vectoriales dos veces diferenciables del parámetro (t ) que representa la posición de un objeto en función del tiempo.

El vector de velocidad ( vecs v (t) ) del objeto está dado por

[ text {Velocidad} , = vecs v (t) = vecs r ′ (t). label {Eq1} ]

El vector de aceleración ( vecs a (t) ) se define como

[ text {Aceleración} , = vecs a (t) = vecs v ′ (t) = vecs r ″ (t). label {Eq2} ]

La velocidad se define como

[ mathrm {Velocidad} , = v (t) = ‖ vecs v (t) ‖ = ‖ vecs r ′ (t) ‖ = dfrac {ds} {dt}. label {Eq3} ]

Dado que ( vecs {r} (t) ) puede tener dos o tres dimensiones, estas funciones con valores vectoriales pueden tener dos o tres componentes. En dos dimensiones, definimos ( vecs {r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} ) y en tres dimensiones ( vecs r (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} + z (t) hat { mathbf k} ). Luego, la velocidad, la aceleración y la rapidez se pueden escribir como se muestra en la siguiente tabla.

Tabla ( PageIndex {1} ): fórmulas para posición, velocidad, aceleración y velocidad
CantidadDos dimensionesTres dimensiones
Posición ( vecs {r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} ) ( vecs {r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} + z (t) hat { mathbf k} )
Velocidad ( vecs {v} (t) = x ′ (t) hat { mathbf i} + y ′ (t) hat { mathbf j} ) ( vecs {v} (t) = x ′ (t) hat { mathbf i} + y ′ (t) hat { mathbf j} + z ′ (t) hat { mathbf k} )
Aceleración ( vecs {a} (t) = x ″ (t) hat { mathbf i} + y ″ (t) hat { mathbf j} ) ( vecs {a} (t) = x ″ (t) hat { mathbf i} + y ″ (t) hat { mathbf j} + z ″ (t) hat { mathbf k} )
Velocidad ( | vecs {v} (t) | = sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} ) ( | vecs {v} (t) | = sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2+ (z ′ (t)) ^ 2} )

Ejemplo ( PageIndex {1} ): estudiar el movimiento a lo largo de una parábola

Una partícula se mueve en una ruta parabólica definida por la función con valores vectoriales ( vecs {r} (t) = t ^ 2 hat { mathbf i} + sqrt {5 − t ^ 2} hat { mathbf j} ), donde (t ) mide el tiempo en segundos.

  1. Encuentre la velocidad, aceleración y rapidez en función del tiempo.
  2. Dibuje la curva junto con el vector de velocidad en el tiempo (t = 1 ).

Solución

  1. Usamos las ecuaciones ref {Eq1}, ref {Eq2} y ref {Eq3}:

    [ begin {align *} vecs {v} (t) & = vecs {r} ′ (t) = 2t hat { mathbf i} - dfrac {t} { sqrt {5-t ^ 2}} hat { mathbf j} [4pt] vecs {a} (t) & = vecs {v} ′ (t) = 2 hat { mathbf i} −5 (5 − t ^ 2) ^ {- frac {3} {2}} hat { mathbf j} [4pt] || vecs {v} (t) || & = || vecs {r} ′ (t) || [4pt] & = sqrt {(2t) ^ 2 + left (- dfrac {t} { sqrt {5-t ^ 2}} right) ^ 2} [4pt] & = sqrt {4t ^ 2 + dfrac {t ^ 2} {5-t ^ 2}} [4pt] & = sqrt { dfrac {21t ^ 2-4t ^ 4} {5-t ^ 2}} . end {alinear *} ]

  2. La gráfica de ( vecs {r} (t) = t ^ 2 hat { mathbf i} + sqrt {5 − t ^ 2} hat { mathbf j} ) es una porción de una parábola ( Figura ( PageIndex {1} )).

    Cuando (t = 1 ), ( vecs r (1) = (1) ^ 2 mathbf { hat i} + sqrt {5- (1) ^ 2} mathbf { hat j} quad = quad mathbf { hat i} + sqrt {4} mathbf { hat j} quad = quad mathbf { hat i} + 2 mathbf { hat j} ).

    Por tanto, la partícula estaría ubicada en el punto ((1, 2) ) cuando (t = 1 ).

    El vector de velocidad en (t = 1 ) es

    [ begin {align *} vecs {v} (1) & = vecs {r} ′ (1) = 2 (1) hat { mathbf i} - frac {1} { sqrt {5 -1 ^ 2}} hat { mathbf j} quad [4pt] & = quad 2 hat { mathbf i} - frac {1} {2} hat { mathbf j} end {alinear*}]

    y el vector de aceleración en (t = 1 ) es

    [ vecs {a} (1) = vecs {v} ′ (1) = 2 hat { mathbf i} −5 (5 - 1 ^ 2) ^ {- 3/2} hat { mathbf j} quad = quad 2 hat { mathbf i} - frac {5} {8} hat { mathbf j}. ]

    Observe que el vector de velocidad es tangente a la trayectoria, como siempre es el caso.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Una partícula se mueve en una ruta definida por la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf i} + (2t − 4) , hat { mathbf j} + (t + 2) , hat { mathbf k} ), donde (t ) mide el tiempo en segundos y donde la distancia se mide en pies. Encuentre la velocidad, aceleración y rapidez en función del tiempo.

Insinuación

Utilice las ecuaciones ref {Eq1}, ref {Eq2} y ref {Eq3}.

Respuesta

[ begin {align *} vecs v (t) & = vecs {r} '(t) = (2t-3) , hat { mathbf i} +2 , hat { mathbf j } + , hat { mathbf k} [4pt] vecs a (t) & = vecs v ′ (t) = 2 , hat { mathbf i} end {align *} ]

[|| vecs {r} ′ (t) || = sqrt {(2t-3) ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {4t ^ 2-12t + 14} ]

Las unidades de velocidad y rapidez son pies por segundo y las unidades de aceleración son pies por segundo al cuadrado.

Para comprender mejor los vectores de velocidad y aceleración, imagine que conduce por una carretera con curvas. Si no gira el volante, continuará en línea recta y saldrá de la carretera. La velocidad a la que viaja cuando se sale de la carretera, junto con la dirección, da un vector que representa su velocidad, como se ilustra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Sin embargo, el hecho de que deba girar el volante para permanecer en la carretera indica que su velocidad siempre está cambiando (incluso si su velocidad no lo está) porque su dirección cambia constantemente para mantenerte en la carretera. Al girar a la derecha, su vector de aceleración también apunta a la derecha. Al girar a la izquierda, su vector de aceleración apunta hacia la izquierda. Esto indica que sus vectores de velocidad y aceleración cambian constantemente, independientemente de si su velocidad real varía (Figura ( PageIndex {3} )).

Componentes del vector de aceleración

Podemos combinar algunos de los conceptos discutidos en Longitud y curvatura del arco con el vector de aceleración para obtener una comprensión más profunda de cómo este vector se relaciona con el movimiento en el plano y en el espacio. Recuerde que el vector tangente unitario ( vecs T ) y el vector normal unitario ( vecs N ) forman un plano osculante en cualquier punto (P ) de la curva definida por una función con valores vectoriales ( vecs {r} (t) ). El siguiente teorema muestra que el vector de aceleración ( vecs {a} (t) ) se encuentra en el plano osculante y puede escribirse como una combinación lineal de la unidad tangente y los vectores unitarios normales.

Teorema ( PageIndex {1} ): El plano del vector de aceleración

El vector de aceleración ( vecs {a} (t) ) de un objeto que se mueve a lo largo de una curva trazada por una función dos veces diferenciable ( vecs {r} (t) ) se encuentra en el plano formado por la unidad vector tangente ( vecs T (t) ) y el vector normal unidad principal ( vecs N (t) ) a (C ). Además,

[ vecs {a} (t) = v '(t) vecs {T} (t) + [v (t)] ^ 2 kappa vecs {N} (t) ]

Aquí, (v (t) = | vecs v (t) | ) es la velocidad del objeto y ( kappa ) es la curvatura de (C ) trazada por ( vecs {r} (t) ).

Prueba

Porque ( vecs {v} (t) = vecs {r} ′ (t) ) y ( vecs {T} (t) = dfrac { vecs {r} ′ (t)} {| | vecs {r} ′ (t) ||} ), tenemos ( vecs v (t) = || vecs {r} ′ (t) || vecs {T} (t) = v (t) vecs {T} (t) ).

Ahora diferenciamos esta ecuación:

[ vecs {a} (t) = vecs {v} ′ (t) = dfrac {d} {dt} left (v (t) vecs {T} (t) right) = v ′ (t) vecs {T} (t) + v (t) vecs {T} ′ (t) nonumber ]

Dado que ( vecs {N} (t) = dfrac { vecs {T} ′ (t)} {|| vecs {T} ′ (t) ||} ), sabemos ( vecs { T} ′ (t) = || vecs {T} ′ (t) || vecs {N} (t) ), entonces

[ vecs {a} (t) = v ′ (t) vecs {T} (t) + v (t) || vecs {T} ′ (t) || vecs {N} (t) . sin número]

Una fórmula para la curvatura es ( kappa = dfrac {|| vecs {T} '(t) ||} {|| vecs {r}' (t) ||} ), entonces ( vecs {T} '(t) = kappa || vecs {r}' (t) || = kappa v (t) ).

Esto da ( vecs {a} (t) = v ′ (t) vecs {T} (t) + kappa (v (t)) ^ 2 vecs {N} (t). )

(cuadrado)

Los coeficientes de ( vecs {T} (t) ) y ( vecs {N} (t) ) se conocen como componente tangencial de la aceleración y el componente normal de aceleración, respectivamente. Escribimos (a_ vecs {T} ) para denotar el componente tangencial y (a_ vecs {N} ) para denotar el componente normal.

Teorema ( PageIndex {2} ): Componentes tangenciales y normales de la aceleración

Sea ( vecs {r} (t) ) una función con valores vectoriales que denota la posición de un objeto en función del tiempo. Entonces ( vecs {a} (t) = vecs {r} ′ ′ (t) ) es el vector de aceleración. Las componentes tangencial y normal de la aceleración (a_ vecs {T} ) y (a_ vecs {N} ) están dadas por las fórmulas

[a _ { vecs {T}} = vecs a cdot vecs {T} = dfrac { vecs {v} cdot vecs {a}} {|| vecs {v} ||} etiqueta {Eq1B} ]

y

[a_ vecs {N} = vecs a cdot vecs N = dfrac {|| vecs v times vecs a ||} {|| vecs v ||} = sqrt {|| vecs a || ^ 2 - { left (a _ { vecs {T}} right) ^ 2}}. label {Eq2B} ]

Estos componentes están relacionados por la fórmula

[ vecs {a} (t) = a_ vecs {T} vecs {T} (t) + a_ vecs {N} vecs {N} (t). label {Eq3B} ]

Aquí ( vecs {T} (t) ) es el vector unitario tangente a la curva definida por ( vecs {r} (t) ), y ( vecs {N} (t) ) es el vector normal unitario a la curva definida por ( vecs {r} (t) ).

El componente normal de la aceleración también se llama componente centrípeto de aceleración O a veces el componente radial de aceleración. Para comprender la aceleración centrípeta, suponga que viaja en un automóvil en una pista circular a una velocidad constante. Luego, como vimos anteriormente, el vector de aceleración apunta hacia el centro de la pista en todo momento. Como ciclista en el automóvil, siente un tirón hacia el fuera de de la pista porque estás girando constantemente. Esta sensación actúa en la dirección opuesta a la aceleración centrípeta. Lo mismo ocurre con las rutas no circulares. La razón es que su cuerpo tiende a viajar en línea recta y resiste la fuerza resultante de la aceleración que lo empuja hacia un lado. Note que en el punto (B ) en la Figura ( PageIndex {4} ) el vector de aceleración apunta hacia atrás. Esto se debe a que el automóvil está desacelerando al entrar en la curva.

Los vectores unitarios normal y tangencial en cualquier punto dado de la curva proporcionan un marco de referencia en ese punto. Las componentes tangencial y normal de la aceleración son las proyecciones del vector de aceleración sobre ( vecs T ) y ( vecs N ), respectivamente.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): encontrar componentes de aceleración

Una partícula se mueve en una ruta definida por la función de valores vectoriales ( vecs {r} (t) = t ^ 2 , hat { mathbf i} + (2t − 3) , hat { mathbf j } + (3t ^ 2−3t) , hat { mathbf k} ), donde (t ) mide el tiempo en segundos y la distancia en pies.

  1. Encuentra (a_ vecs {T} ) y (a_ vecs {N} ) como funciones de (t ).
  2. Encuentra (a_ vecs {T} ) y (a_ vecs {N} ) en el momento (t = 2 ).

Solución

  1. Comencemos a derivar las funciones de velocidad y aceleración:

    [ begin {align *} vecs {v} (t) & = vecs {r} '(t) [4pt] & = 2t , hat { mathbf i} +2 , hat { mathbf j} + (6t-3) , hat { mathbf k} [4pt] vecs {a} (t) & = vecs {v} '(t) [4pt] & = 2 , hat { mathbf i} +6 , hat { mathbf k} end {align *} ] Ahora aplicamos la Ecuación ref {Eq1B}: [ begin {align *} a_ { vecs {T}} & = dfrac { vecs {v} cdot vecs {a}} {|| vecs {v} ||} [4pt] & = dfrac {(2t , hat { mathbf i} +2 , hat { mathbf j} + (6t-3) , hat { mathbf k}) cdot (2 , hat { mathbf i} +6 , hat { mathbf k})} {|| 2t , hat { mathbf i} + 2 , hat { mathbf j} + (6t-3) , hat { mathbf k} ||} [4pt] & = dfrac {4t + 6 (6t-3)} { sqrt {(2t) ^ 2 + 2 ^ 2 + (6t-3) ^ 2}} [4pt] & = dfrac {40t-18} {40t ^ 2 - 36t + 13} end {align *} ] Ahora podemos aplicar la Ecuación ref {Eq2B}:

    [ begin {align *} a_ vecs {N} & = sqrt {|| vecs {a} || ^ 2-a _ { vecs {T}}} [4pt] & = sqrt { || 2 , hat { mathbf i} +6 , hat { mathbf k} || ^ 2 - left ( dfrac {40t-18} { sqrt {40t ^ 2-36 + 13} } right) ^ 2} [4pt] & = sqrt {4 + 36- dfrac {(40t-18) ^ 2} {40t ^ 2-36t + 13}} [4pt] & = sqrt { dfrac {40 (40t ^ 2-36t + 13) - (1600t ^ 2-1440t + 324)} {40t ^ 2-36t + 13}} [4pt] & = sqrt { dfrac {196 } {40t ^ 2-36t + 13}} [4pt] & = dfrac {14} { sqrt {40t ^ 2-36t + 13}} end {align *} ]

  2. Debemos evaluar cada una de las respuestas del inciso a en (t = 2 ):

    [ begin {align *} a _ { vecs {T}} (2) & = dfrac {40 (2) -18} { sqrt {40 (2) ^ 2 - 36 (2) +13}} [4pt] & = dfrac {80-18} { sqrt {160-72 + 13}} [4pt] & = dfrac {62} { sqrt {101}} [4pt] a_ { vecs {N}} (2) & = dfrac {14} { sqrt {40 (2) ^ 2-36 (2) +13}} [4pt] & = dfrac {14} { sqrt {160-72 + 13}} = dfrac {140} { sqrt {101}}. end {alinear *} ]

    Las unidades de aceleración son pies por segundo al cuadrado, al igual que las unidades de las componentes normal y tangencial de la aceleración.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Un objeto se mueve en una ruta definida por la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = 4t , hat { mathbf i} + t ^ 2 , hat { mathbf j} ), donde (t ) mide el tiempo en segundos.

  1. Encuentra (a_ vecs {T} ) y (a_ vecs {N} ) como funciones de (t ).
  2. Encuentra (a_ vecs {T} ) y (a_ vecs {N} ) en el momento (t = −3 ).
Insinuación

Utilice las ecuaciones ref {Eq1B} y ref {Eq2B}

Respuesta

una. [ begin {align *} a_ vecs {T} = dfrac { vecs v (t) cdot vecs a (t)} {|| vecs v (t) ||} = dfrac { vecs r '(t) cdot vecs r' '(t)} {|| vecs r' (t) ||} = dfrac {(4 , hat { mathbf i} + 2t , hat { mathbf j}) cdot (2 , hat { mathbf j})} {|| 4 , hat { mathbf i} + 2t , hat { mathbf j} || } = dfrac {4t} { sqrt {4 ^ 2 + (2t) ^ 2}} = dfrac {2t} { sqrt {2 + t ^ 2}} end {align *} ]
[ begin {align *} a_ vecs {N} = sqrt {|| vecs a || ^ 2-a_ vecs {T} ^ 2} = sqrt {|| 2 , hat { mathbf j} || ^ 2 - left ( dfrac {2t} { sqrt {2 + t ^ 2}} right) ^ 2} = sqrt {4 - dfrac {4t ^ 2} {2 + t ^ 2}} end {align *} ]

B. [ begin {align *} a_ vecs {T} (- 3) = dfrac {2 (-3)} { sqrt {2 + (- 3) ^ 2}} = dfrac {-6 } { sqrt {11}} end {align *} ]
[ begin {align *} a_ vecs {N} (- 3) = sqrt {4 - dfrac {4 (-3) ^ 2} {2 + (- 3) ^ 2}} = sqrt {4- dfrac {36} {11}} = sqrt { dfrac {8} {11}} = dfrac {2 sqrt {2}} { sqrt {11}} end {alinear*}]

Movimiento de proyectiles

Ahora veamos una aplicación de funciones vectoriales. En particular, consideremos el efecto de la gravedad sobre el movimiento de un objeto a medida que viaja por el aire y cómo determina la trayectoria resultante de ese objeto. A continuación, ignoramos el efecto de la resistencia del aire. Esta situación, con un objeto que se mueve con una velocidad inicial pero sin fuerzas que actúen sobre él más que la gravedad, se conoce como movimiento de proyectil. Describe el movimiento de objetos desde pelotas de golf hasta pelotas de béisbol y desde flechas hasta balas de cañón.

Primero tenemos que elegir un sistema de coordenadas. Si estamos en el origen de este sistema de coordenadas, entonces elegimos el eje positivo (y ) - hacia arriba, el negativo (y )-eje hacia abajo, y el positivo (x )-eje hacia adelante (es decir, lejos del lanzador del objeto).El efecto de la gravedad es descendente, por lo que la segunda ley de Newton nos dice que la fuerza sobre el objeto resultante de la gravedad es igual a la masa del objeto multiplicada por la aceleración resultante de la gravedad, o ( vecs F_g = m vecs a ), donde ( vecs F_g ) representa la fuerza de la gravedad y ( vecs a = -g , hat { mathbf j} ) representa la aceleración resultante de la gravedad en la superficie de la Tierra. El valor de (g ) en el sistema de medición inglés es aproximadamente 32 pies / seg.2 y es de aproximadamente 9,8 m / seg.2 en el sistema métrico. Ésta es la única fuerza que actúa sobre el objeto. Dado que la gravedad actúa en dirección descendente, podemos escribir la fuerza resultante de la gravedad en la forma ( vecs F_g = −mg , hat { mathbf j} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

La segunda ley de Newton también nos dice que (F = m vecs {a} ), donde ( vecs a ) representa el vector de aceleración del objeto. Esta fuerza debe ser igual a la fuerza de la gravedad en todo momento, por lo que sabemos que

[ begin {align *} vecs F = vecs F_g m vecs {a} = -mg , hat { mathbf j} vecs {a} = -g , hat { mathbf j}. end {alinear *} ]

Ahora usamos el hecho de que el vector de aceleración es la primera derivada del vector de velocidad. Por lo tanto, podemos reescribir la última ecuación en la forma

[ vecs v '(t) = -g , hat { mathbf j} ]

Al tomar la antiderivada de cada lado de esta ecuación obtenemos

[ vecs v (t) = int -g , hat { mathbf j} ; dt = -gt , hat { mathbf j} + vecs C_1 ]

para algún vector constante ( vecs C_1 ). Para determinar el valor de este vector, podemos usar la velocidad del objeto en un tiempo fijo, digamos en el tiempo (t = 0 ). A esta velocidad la llamamos velocidad inicial: ( vecs v (0) = vecs v_0 ). Por lo tanto, ( vecs v (0) = - g (0) , hat { mathbf j} + vecs C_1 = vecs v_0 ) y ( vecs C_1 = vecs v_0 ). Esto da el vector de velocidad como ( vecs v (t) = - gt , hat { mathbf j} + vecs v_0 ).

Luego usamos el hecho de que la velocidad ( vecs {v} (t) ) es la derivada de la posición ( vecs {s} (t) ). Esto da la ecuación

[ vecs s '(t) = - gt , hat { mathbf j} + vecs {v} _0. ]

Tomar la antiderivada de ambos lados de esta ecuación conduce a

[ begin {align *} vecs s (t) & = int -gt , hat { mathbf j} + vecs {v} _0 ; dt [4pt] & = - dfrac { 1} {2} gt ^ 2 , hat { mathbf j} + vecs {v} _0 t + vecs {C} _2 end {align *} ]

con otro vector constante desconocido ( vecs {C} _2 ). Para determinar el valor de ( vecs {C} _2 ), podemos usar la posición del objeto en un momento dado, digamos en el momento (t = 0 ). A esta posición la llamamos posición inicial: ( vecs {s} (0) = vecs {s} _0 ). Por lo tanto, ( vecs {s} (0) = - (1/2) g (0) ^ 2 , hat { mathbf j} + vecs {v} _0 (0) + vecs {C} _2 = vecs {s} _0 ). Esto da la posición del objeto en cualquier momento como

[ vecs {s} (t) = - 12gt ^ 2 , hat { mathbf j} + vecs {v} _0 t + vecs {s} _0. ]

Echemos un vistazo más de cerca a la velocidad inicial y la posición inicial. En particular, suponga que el objeto se lanza hacia arriba desde el origen en un ángulo ( theta ) con la horizontal, con una velocidad inicial ( vecs {v} _0 ). ¿Cómo podemos modificar el resultado anterior para reflejar este escenario? Primero, podemos asumir que se lanza desde el origen. Si no es así, podemos mover el origen al punto desde donde se lanza. Por lo tanto, ( vecs {s} _0 = vecs {0} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

Podemos reescribir el vector de velocidad inicial en la forma ( vecs {v} _0 = v_0 cos theta , hat { mathbf i} + v_0 sin theta , hat { mathbf j} ) . Entonces la ecuación para la función de posición ( vecs {s} (t) ) se convierte en

[ begin {align *} vecs {s} (t) & = - dfrac {1} {2} gt ^ 2 , hat { mathbf j} + v_0 t cos theta , hat { mathbf i} + v_0 t sin theta , hat { mathbf j} [4pt] & = v_0 t cos theta , hat { mathbf i} + v_0 t sin theta , hat { mathbf j} - dfrac {1} {2} gt ^ 2 , hat { mathbf j} [4pt] & = v_0 t cos theta , hat { mathbf i} + left (v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right) , hat { mathbf j}. end {alinear *} ]

El coeficiente de ( hat { mathbf i} ) representa el componente horizontal de ( vecs {s} (t) ) y es la distancia horizontal del objeto desde el origen en el tiempo (t ). El valor máximo de la distancia horizontal (medida a la misma altitud inicial y final) se llama rango (R ). El coeficiente de ( hat { mathbf j} ) representa el componente vertical de ( vecs {s} (t) ) y es la altitud del objeto en el momento (t ). El valor máximo de la distancia vertical es la altura (H ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Movimiento de una bala de cañón

Durante la celebración del Día de la Independencia, se dispara una bala de cañón desde un cañón en un acantilado hacia el agua. El cañón apunta a un ángulo de 30 ° por encima de la horizontal y la velocidad inicial de la bala es de 600 pies / seg. El acantilado está a 100 pies sobre el agua (Figura ( PageIndex {7} )).

  1. Encuentra la altura máxima de la bala de cañón.
  2. ¿Cuánto tiempo tardará la bala de cañón en caer al mar?
  3. ¿Qué tan lejos en el mar golpeará el agua la bala de cañón?

Solución

Usamos la ecuación

[ vecs {s} (t) = v_0 t cos theta , hat { mathbf i} + left (v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right ) , hat { mathbf j} nonumber ]

con ( theta = 30 ^ circ ), (g = 32 dfrac { text {ft}} { text {sec} ^ 2} ) y (v_0 = 600 dfrac { text {ft}} { text {sec} ^ 2} ). Entonces la ecuación de posición se convierte en

[ begin {align *} vecs {s} (t) & = 600 t ( cos 30 ^ circ) , hat { mathbf i} + left (600t sin30 ^ circ - dfrac {1} {2} (32) t ^ 2 right) , hat { mathbf j} [4pt] & = 300t sqrt {3} , hat { mathbf i} + left ( 300t - 16t ^ 2 right) , hat { mathbf j} end {align *} ]

  1. La bala de cañón alcanza su altura máxima cuando la componente vertical de su velocidad es cero, porque la bala de cañón no sube ni baja en ese punto. El vector de velocidad es

    [ begin {align *} vecs {v} (t) & = vecs s '(t) [4pt] & = 300 sqrt {3} , hat { mathbf i} + (300 -32t) , hat { mathbf j} end {align *} ]

    Por lo tanto, la componente vertical de la velocidad viene dada por la expresión (300−32t ). Estableciendo esta expresión igual a cero y resolviendo para t da (t = 9.375 ) seg. La altura de la bala de cañón en este momento viene dada por el componente vertical del vector de posición, evaluado en (t = 9.375 ).

    [ begin {align *} vecs {s} (9.375) & = 300 (9.375) sqrt {3} , hat { mathbf i} + (300 (9.375) −16 (9.375) ^ 2) , hat { mathbf j} [4pt] & = 4871.39 , hat { mathbf i} +1406.25 , hat { mathbf j} end {align *} ]

    Por lo tanto, la altura máxima de la bala de cañón es 1406,39 pies sobre el cañón o 1506,39 pies sobre el nivel del mar.
  2. Cuando la bala de cañón aterriza en el agua, está a 100 pies por debajo del cañón. Por lo tanto, la componente vertical del vector de posición es igual a −100. Estableciendo la componente vertical de ( vecs s (t) ) igual a −100 y resolviendo, obtenemos

    [ begin {align *} 300t-16t ^ 2 & = -100 16t ^ 2-300t-100 = 0 4t ^ 2-75-25 = 0 [4pt] t & = dfrac { 75 pm sqrt {(- 75) ^ 2} -4 (4) (- 25)} {2 (4)} [4pt] & = dfrac {75 pm sqrt {6025}} {8 } [4pt] & = dfrac {75 pm 5 sqrt {241}} {8} end {align *} ]

    El valor positivo de (t ) que resuelve esta ecuación es aproximadamente 19.08. Por lo tanto, la bala de cañón golpea el agua después de aproximadamente 19.08 segundos.
  3. Para encontrar la distancia al mar, simplemente sustituimos la respuesta del inciso b) en ( vecs {s} (t) ):

    [ begin {align *} vecs s (19.08) & = 300 (19.08) sqrt {3} , hat { mathbf i} + left (300 (19.08) −16 (19.08) ^ 2 derecha) , hat { mathbf j} [4pt] & = 9914.26 , hat { mathbf i} −100.7424 , hat { mathbf j} end {align *} ]

    Por lo tanto, la pelota golpea el agua a unos 9914.26 pies de distancia de la base del acantilado. Observe que la componente vertical del vector de posición está muy cerca de −100, lo que nos dice que la pelota acaba de golpear el agua. Tenga en cuenta que 9914.26 pies no es el verdadero alcance del cañón, ya que la bala aterriza en el océano en una ubicación debajo del cañón. El alcance del cañón se determinaría calculando qué tan lejos está la bala de cañón cuando su altura es de 100 pies sobre el agua (lo mismo que la altitud del cañón).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Un arquero dispara una flecha en un ángulo de 40 ° por encima de la horizontal con una velocidad inicial de 98 m / seg. La altura del arquero es de 171,5 cm. Calcula la distancia horizontal que recorre la flecha antes de tocar el suelo.

Insinuación

La ecuación del vector de posición debe tener en cuenta la altura del arquero en metros.

Respuesta

967,15 m

Queda una última pregunta: en general, ¿cuál es la distancia máxima que puede viajar un proyectil, dada su velocidad inicial? Para determinar esta distancia, asumimos que el proyectil se dispara desde el nivel del suelo y deseamos que vuelva al nivel del suelo. En otras palabras, queremos determinar una ecuación para el rango. En este caso, la ecuación del movimiento del proyectil es

[ vecs {s} = v_0 t cos theta , hat { mathbf i} + left (v_0t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right) , sombrero { mathbf j}. ]

Establecer el segundo componente igual a cero y despejar (t ) produce

[ begin {align *} v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 = 0 t left (v_0 sin theta - dfrac {1} {2} gt derecha) = 0 end {align *} ]

Por lo tanto, (t = 0 ) o (t = dfrac {2v_0 sin theta} {g} ). Estamos interesados ​​en el segundo valor de (t ), así que lo sustituimos por ( vecs {s} (t) ), lo que da

[ begin {align *} vecs {s} left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) = v_0 left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right ) cos theta , hat { mathbf i} + left (v_0 left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) sin theta - dfrac {1} {2} g left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) ^ 2 right) , hat { mathbf j} = left ( dfrac {2v_0 ^ 2 sin theta cos theta} {g} right) , hat { mathbf i} = dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} , hat { mathbf i}. end {alinear *} ]

Por lo tanto, la expresión para el alcance de un proyectil disparado en un ángulo ( theta ) es

[R = dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} , hat { mathbf i}. ]

La única variable en esta expresión es ( theta ). Para maximizar la distancia recorrida, tome la derivada del coeficiente de I con respecto a ( theta ) y ponerlo igual a cero:

[ begin {align *} dfrac {d} {d theta} left ( dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} right) = 0 dfrac {2v_0 ^ 2 cos2 theta} {g} = 0 theta = 45 ^ circ end {align *} ]

Este valor de ( theta) ) es el valor positivo más pequeño que hace que la derivada sea igual a cero. Por lo tanto, en ausencia de resistencia del aire, el mejor ángulo para disparar un proyectil (para maximizar el alcance) es a un ángulo de 45 °. La distancia que recorre está dada por

[ vecs {s} left ( dfrac {2v_0 sin 45 ^ circ} {g} right) = dfrac {v_0 ^ 2 sin 90 ^ circ} {g} , hat { mathbf i} = dfrac {v_0 ^ 2} {g} , hat { mathbf i} ]

Por lo tanto, el rango para un ángulo de 45 ° es ( frac {v_0 ^ 2} {g} ) unidades.

Leyes de Kepler

A principios del siglo XVII, Johannes Kepler pudo utilizar los datos asombrosamente precisos de su mentor Tycho Brahe para formular sus tres leyes del movimiento planetario, ahora conocidas como las leyes del movimiento planetario de Kepler. Estas leyes también se aplican a otros objetos del sistema solar en órbita alrededor del Sol, como los cometas (por ejemplo, el cometa Halley) y los asteroides. Las variaciones de estas leyes se aplican a los satélites en órbita alrededor de la Tierra.

Teorema ( PageIndex {2} ): Leyes del movimiento planetario de Kepler

  1. La trayectoria de cualquier planeta alrededor del Sol tiene forma elíptica, con el centro del Sol ubicado en un foco de la elipse (la ley de las elipses).
  2. Una línea trazada desde el centro del Sol hasta el centro de un planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales (la ley de áreas iguales) (Figura ( PageIndex {8} )).
  3. La razón de los cuadrados de los períodos de dos planetas cualesquiera es igual a la razón de los cubos de las longitudes de sus semiejes orbitales mayores (la Ley de las Armonías).

La tercera ley de Kepler es especialmente útil cuando se utilizan unidades adecuadas. En particular, 1 unidad astronómica se define como la distancia promedio de la Tierra al Sol, y ahora se reconoce que es 149,597,870,700 mo, aproximadamente 93,000,000 mi. Por lo tanto, escribimos 1 A.U. = 93.000.000 millas Dado que el tiempo que tarda la Tierra en orbitar alrededor del Sol es de 1 año, usamos los años terrestres como unidades de tiempo. Luego, sustituyendo 1 año por el período de la Tierra y 1 A.U. para la distancia promedio al Sol, la tercera ley de Kepler se puede escribir como

[T_p ^ 2 = D_p ^ 3 nonumber ]

para cualquier planeta del sistema solar, donde (T_P ) es el período de ese planeta medido en años terrestres y (D_P ) es la distancia promedio desde ese planeta al Sol medida en unidades astronómicas. Por lo tanto, si conocemos la distancia promedio de un planeta al Sol (en unidades astronómicas), podemos calcular la duración de su año (en años terrestres) y viceversa.

Las leyes de Kepler se formularon basándose en observaciones de Brahe; sin embargo, no se probaron formalmente hasta que Sir Isaac Newton pudo aplicar el cálculo. Además, Newton pudo generalizar la tercera ley de Kepler a otros sistemas orbitales, como una luna en órbita alrededor de un planeta. La tercera ley original de Kepler solo se aplica a los objetos que orbitan alrededor del Sol.

Prueba

Probemos ahora la primera ley de Kepler usando el cálculo de funciones con valores vectoriales. Primero necesitamos un sistema de coordenadas. Coloquemos el Sol en el origen del sistema de coordenadas y dejemos que la función de valores vectoriales ( vecs {r} (t) ) represente la ubicación de un planeta en función del tiempo. Newton demostró la ley de Kepler usando su segunda ley de movimiento y su ley de gravitación universal. La segunda ley del movimiento de Newton se puede escribir como ( vecs {F} = m vecs {a} ), donde ( vecs {F} ) representa la fuerza neta que actúa sobre el planeta. Su ley de gravitación universal se puede escribir en la forma ( vecs {F} = - dfrac {GmM} {|| vecs {r} || ^ 2} cdot dfrac { vecs {r}} { || vecs {r} ||} ), que indica que la fuerza resultante de la atracción gravitacional del Sol apunta hacia el Sol y tiene magnitud ( dfrac {GmM} {|| vecs {r} || ^ 2} ) (Figura ( PageIndex {9} )).

Estableciendo estas dos fuerzas iguales entre sí, y usando el hecho de que ( vecs a (t) = vecs v ′ (t) ), obtenemos

[m vecs v ′ (t) = - frac {GmM} {‖ vecs r‖ ^ 2} ⋅ frac { vecs r} {‖ vecs r‖}, nonumber ]

que se puede reescribir como

[ dfrac {d vecs v} {dt} = - dfrac {GM} {|| vecs r || ^ 3} vecs {r}. sin número ]

Esta ecuación muestra que los vectores (d vecs {v} / dt ) y ( vecs r ) son paralelos entre sí, entonces (d vecs {v} / dt times vecs {r} = vecs 0 ). A continuación, diferenciemos ( vecs {r} times vecs {v} ) con respecto al tiempo:

[ dfrac {d} {dt} ( vecs {r} times vecs {v}) = dfrac {d vecs {r}} {dt} times vecs v + vecs {r} times dfrac {d vecs {v}} {dt} = vecs {v} times vecs {v} + vecs {0} = vecs {0}. label {Eq10} ]

Esto prueba que ( vecs {r} times vecs {v} ) es un vector constante, al que llamamos ( vecs C ). Dado que ( vecs r ) y ( vecs v ) son perpendiculares a ( vecs C ) para todos los valores de (t ), deben estar en un plano perpendicular a ( vecs C ). Por lo tanto, el movimiento del planeta se encuentra en un plano.

A continuación, calculamos la expresión (d vecs {v} / dt times vecs C ):

[ dfrac {d vecs {v}} {dt} times vecs {C} = - dfrac {GM} {|| vecs {r} || ^ 3} vecs {r} times ( vecs {r} times vecs {v}) = - dfrac {GM} {|| vecs r || ^ 3} [( vecs {r} cdot vecs {v}) vecs {r } - ( vecs {r} cdot vecs {r}) vecs {v}]. label {Eq11} ]

La última igualdad en la Ecuación ref {Eq10} es de la fórmula del producto triple cruzado (Introducción a los vectores en el espacio). Necesitamos una expresión para ( vecs {r} cdot vecs {v} ). Para calcular esto, diferenciamos ( vecs {r} cdot vecs {r} ) con respecto al tiempo:

[ dfrac {d} {dt} ( vecs {r} cdot vecs {r}) = dfrac {d vecs {r}} {dt} cdot vecs {r} + vecs {r } cdot dfrac {d vecs {r}} {dt} = 2 vecs {r} cdot dfrac {d vecs {r}} {dt} = 2 vecs {r} cdot vecs { v}. label {Eq12} ]

Dado que ( vecs {r} cdot vecs {r} = || vecs r || ^ 2 ), también tenemos

[ dfrac {d} {dt} ( vecs {r} cdot vecs {r}) = dfrac {d} {dt} || vecs {r} || ^ 2 = 2 || vecs {r} || dfrac {d} {dt} || vecs {r} ||. label {Eq13} ]

Combinando la Ecuación ref {Eq12} y la Ecuación ref {Eq13}, obtenemos

[ begin {align *} 2 vecs {r} cdot vecs {v} = 2 || vecs {r} || dfrac {d} {dt} || vecs {r} || vecs {r} cdot vecs {v} = || vecs {r} ‖ dfrac {d} {dt} || vecs {r} ||. end {align *} label {Eq14} ]

Sustituyendo esto en la Ecuación ref {Eq11} nos da

[ begin {align} dfrac {d vecs {v}} {dt} times vecs {C} = - dfrac {GM} {|| vecs {r} || ^ 3} [( vecs {r} cdot vecs {v}) vecs {r} - ( vecs {r} cdot vecs {r}) vecs {v}] nonumber = - dfrac {GM} { || vecs {r} || ^ 3} left [|| vecs {r} left ( dfrac {d} {dt} || vecs {r} || right) vecs {r} - || vecs {r} || ^ 2 vecs {v} right] nonumber = -GM left [ dfrac {1} {|| vecs {r} || ^ 2} left ( dfrac {d} {dt} || vecs {r} || right) vecs {r} - dfrac {1} {|| vecs {r} ||} vecs {v} right ] nonumber = GM left [ dfrac { vecs {v}} {|| vecs {r} ||} - dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} || ^ 2} left ( dfrac {d} {dt} || vecs {r} || right) right]. label {Eq15} end {align} ]

Sin embargo,

[ begin {align *} dfrac {d} {dt} dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} ||} = dfrac { frac {d} {dt} ( vecs {r}) || vecs {r} || - vecs {r} frac {d} {dt} || vecs {r} || } {|| vecs {r} || ^ 2} = dfrac { frac {d vecs {r}} {dt}} {|| vecs {r} ||} - dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} || ^ 2} dfrac {d} {dt} || vecs {r} || = dfrac { vecs {v}} {|| vecs {r} ||} - dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} || ^ 2} dfrac {d } {dt} || vecs {r} ||. end {alinear *} ]

Por lo tanto, la ecuación ref {Eq15} se convierte en

[ dfrac {d vecs {v}} {dt} times vecs {C} = GM left ( dfrac {d} {dt} dfrac { vecs {r}} {|| vecs { r} ||} derecha). nonumber ]

Dado que ( vecs {C} ) es un vector constante, podemos integrar ambos lados y obtener

[ vecs {v} times vecs {C} = GM dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} ||} + vecs {D}, nonumber ]

donde ( vecs D ) es un vector constante. Nuestro objetivo es resolver (|| vecs {r} || ). Comencemos calculando ( vecs {r} cdot ( vecs {v} times vecs {C} ):

[ vecs {r} cdot ( vecs {v} times vecs {C} = GM dfrac {|| vecs {r} || ^ 2} {|| vecs {r} ||} + vecs {r} cdot vecs {D} = GM || vecs {r} || + vecs {r} cdot vecs {D}. nonumber ]

Sin embargo, ( vecs {r} cdot ( vecs {v} times vecs {C}) = ( vecs {r} times vecs {v}) cdot vecs {C} ), entonces

[( vecs {r} veces vecs {v}) cdot vecs {C} = GM || vecs {r} || + vecs {r} cdot vecs {D}. nonumber ]

Desde ( vecs {r} times vecs {v} = vecs {C} ), tenemos

[|| vecs {C} || ^ 2 = GM || vecs {r} || + vecs {r} cdot vecs {D}. nonumber ]

Tenga en cuenta que ( vecs {r} cdot vecs {D} = || vecs {r} || || vecs {D} || cos theta ), donde ( theta ) es el ángulo entre ( vecs {r} ) y ( vecs {D} ). Por lo tanto,

[|| vecs {C} || ^ 2 = GM || vecs {r} || + || vecs {r} || || vecs {D} || cos theta nonumber ]

Resolviendo para (|| vecs {r} || ),

[|| vecs {r} || = dfrac {|| vecs {C} || ^ 2} {GM + || vecs {D} || cos theta} = dfrac {|| vecs {C} || ^ 2} {GM } left ( dfrac {1} {1 + e cos theta} right). sin número ]

donde (e = || vecs {D} || / GM ). Esta es la ecuación polar de una cónica con un foco en el origen, que configuramos para que sea el Sol. Es una hipérbola si (e> 1 ), una parábola si (e = 1 ) o una elipse si (e <1 ). Dado que los planetas tienen órbitas cerradas, la única posibilidad es una elipse. Sin embargo, en este punto cabe mencionar que existen cometas hiperbólicos. Estos son objetos que simplemente pasan a través del sistema solar a velocidades demasiado grandes para quedar atrapados en órbita alrededor del Sol. A medida que pasan lo suficientemente cerca del Sol, el campo gravitacional del Sol desvía la trayectoria lo suficiente para que la trayectoria se vuelva hiperbólica.

(cuadrado)

La tercera ley de Kepler del movimiento planetario se puede modificar para el caso de un objeto en órbita alrededor de un objeto que no sea el Sol, como la Luna alrededor de la Tierra. En este caso, la tercera ley de Kepler se convierte en

[P ^ 2 = dfrac {4 pi ^ 2 a ^ 3} {G (m + M)}, label {Eq30} ]

dónde metro es la masa de la Luna y METRO es la masa de la Tierra, a representa la longitud del eje mayor de la órbita elíptica, y PAG representa el período.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): uso de la tercera ley de Kepler para órbitas no heliocéntricas

Dado que la masa de la Luna es (7.35 times 10 ^ {22} ) kg, la masa de la Tierra es (5.97 times 10 ^ {24} ) kg, (G = 6.67 times 10 ^ {−11} text {m} / text {kg} cdot text {sec} ^ 2 ), y el período de la luna es 27,3 días, encontremos la longitud del eje mayor de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra.

Solución

Es importante ser coherente con las unidades. Dado que la constante gravitacional universal contiene segundos en las unidades, también necesitamos usar segundos para el período de la Luna:

[27,3 ; text {días} veces dfrac {24 ; text {hr}} {1 ; text {día}} times dfrac {3600 ; text {esc}} {1 ; text {hora}} = 2,358,720 ; text {sec} nonumber ]

Sustituya todos los datos en la Ecuación ref {Eq30} y resuelva para (a ):

[ begin {align *} (2,358,720seg) ^ 2 = dfrac {4 pi ^ 2a ^ 3} { left (6.67 times 10 ^ {- 11} frac {m} { text {kg} times text {sec} ^ 2} right) (7.35 times 10 ^ {22} text {kg} + 5.97 times 10 ^ {24} text {kg})} 5.563 times 10 ^ {12} = dfrac {4 pi ^ 2a ^ 3} {(6.67 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ 3) (6.04 times 10 ^ {24})} (5.563 por 10 ^ {12}) (6.67 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ 3) (6.04 times 10 ^ {24}) = 4 pi ^ 2 a ^ 3 a ^ 3 = dfrac {2.241 times 10 ^ {27}} {4 pi ^ 2} text {m} ^ 3 a = 3.84 times 10 ^ 8 text {m} approx 384,000 , text {km}. end {alinear *} ]

Análisis

Según solarsystem.nasa.gov, la distancia media real de la Luna a la Tierra es de 384 400 km. Esto se calcula utilizando reflectores que los astronautas del Apolo dejaron en la Luna en la década de 1960.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Titán es la luna más grande de Saturno. La masa de Titán es aproximadamente (1,35 veces 10 ^ {23} kg ). La masa de Saturno es aproximadamente (5,68 veces 10 ^ {26} ) kg. Titán tarda aproximadamente 16 días en orbitar Saturno. Usa esta información, junto con la constante de gravitación universal (G = 6.67 × 10 ^ {- 11} text {m} / text {kg} cdot text {sec} ^ 2 ) para estimar la distancia desde Titán a Saturno.

Insinuación

Asegúrese de que sus unidades concuerden, luego use la Ecuación ref {Eq30}.

Respuesta

[a approx 1.224 times 10 ^ 9 text {m} = 1,224,000 text {km} ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): el cometa Halley

Volvamos ahora al inicio del capítulo, que analiza el movimiento del cometa Halley alrededor del Sol. La primera ley de Kepler establece que el cometa Halley sigue una trayectoria elíptica alrededor del Sol, con el Sol como un foco de la elipse. El período del cometa Halley es de aproximadamente 76,1 años, dependiendo de qué tan cerca pase por Júpiter y Saturno a medida que atraviesa el sistema solar exterior. Usemos (T = 76,1 ) años. ¿Cuál es la distancia promedio del cometa Halley al Sol?

Solución

Usando la ecuación (T ^ 2 = D ^ 3 ) con (T = 76.1 ), obtenemos (D ^ 3 = 5791.21 ), entonces (D approx 17.96 ) A.U. Esto equivale aproximadamente a (1,67 veces 10 ^ 9 ) mi.

Una pregunta natural es: ¿Cuáles son las distancias máxima (afelio) y mínima (perihelio) del cometa Halley al Sol? La excentricidad de la órbita del cometa Halley es 0,967 (Fuente: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary...cometfact.html). Recuerda que la fórmula para la excentricidad de una elipse es (e = c / a ), donde a es la longitud del semieje mayor y C es la distancia desde el centro a cualquier enfoque. Por lo tanto, (0.967 = c / 17.96 ) y (c approx 17.37 ) A.U. Restando esto de a da la distancia del perihelio (p = a − c = 17.96−17.37 = 0.59 ) A.U. Según el Centro Nacional de Datos de Ciencias Espaciales (Fuente: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary...cometfact.html), la distancia del perihelio del cometa Halley es de 0,587 UA. Para calcular la distancia del afelio, agregamos

[P = a + c = 17,96 + 17,37 = 35,33 ; text {UA.} nonumber ]

Esto es aproximadamente (3,3 veces 10 ^ 9 ) mi. La distancia promedio de Plutón al Sol es de 39,5 A.U. (Fuente: http://www.oarval.org/furthest.htm), por lo que parece que el cometa Halley permanece dentro de la órbita de Plutón.

NAVEGANDO POR UN TURNO BANCARIO

¿Qué tan rápido puede viajar un auto de carreras a través de un giro circular sin patinar y golpear la pared? La respuesta podría depender de varios factores:

  • El peso del carro;
  • La fricción entre los neumáticos y la carretera;
  • El radio del círculo;
  • La "pendiente" del giro.

En este proyecto investigamos esta pregunta para los autos de carrera de NASCAR en el Bristol Motor Speedway en Tennessee. Antes de considerar esta pista en particular, usamos funciones vectoriales para desarrollar las matemáticas y la física necesarias para responder preguntas como esta.

Un automóvil de masa (m ) se mueve con rapidez angular constante ( omega ) alrededor de una curva circular de radio (R ) (Figura ( PageIndex {9} )). La curva está inclinada en un ángulo ( theta ). Si la altura del automóvil sobre el suelo es (h ), entonces la posición del automóvil en el momento (t ) viene dada por la función ( vecs r (t) = ).

  1. Encuentra la función de velocidad ( vecs {v} (t) ) del automóvil. Muestre que ( vecs {v} ) es tangente a la curva circular. Esto significa que, sin una fuerza para mantener el automóvil en la curva, el automóvil saldrá disparado.
  2. Demuestre que la rapidez del automóvil es ( omega R ). Use esto para mostrar que ((2 pi 4) / | vecs {v} | = (2 pi) / omega ).
  3. Encuentra la aceleración ( vecs {a} ). Muestre que este vector apunta hacia el centro del círculo y que ( | vecs {a} | = R omega ^ 2 ).
  4. La fuerza requerida para producir este movimiento circular se llama fuerza centrípeta, y se denota ( vecs {F} _ {cent} ). Esta fuerza apunta hacia el centro del círculo (no hacia el suelo). Muestre que ( | vecs {F} _ {cent} | = left (m | vecs {v} | ^ 2 right) / R ).

A medida que el automóvil se mueve alrededor de la curva, actúan sobre él tres fuerzas: la gravedad, la fuerza ejercida por la carretera (esta fuerza es perpendicular al suelo) y la fuerza de fricción (Figura ( PageIndex {10} )). Debido a que describir la fuerza de fricción generada por los neumáticos y la carretera es complejo, usamos una aproximación estándar para la fuerza de fricción. Suponga que ( vecs {f} = mu vecs {N} ) para alguna constante positiva ( mu ). La constante ( mu ) se llama coeficiente de fricción.

Sea (v_ {max} ) la velocidad máxima que el automóvil puede alcanzar a través de la curva sin patinar. En otras palabras, (v_ {max} ) es la velocidad más rápida a la que el automóvil puede navegar en la curva. Cuando el automóvil viaja a esta velocidad, la magnitud de la fuerza centrípeta es

[ | vecs {F} _ {cent} | = dfrac {m (v_ {max}) ^ 2} {R}. ]

Las siguientes tres preguntas tratan sobre el desarrollo de una fórmula que relacione la velocidad (v_ {max} ) con el ángulo de inclinación lateral ( theta ).

  1. Muestre que ( vecs {N} cos theta = m vecs g + vecs {f} sin theta ). Concluya que ( vecs {N} = (m vecs g) / ( cos theta− mu sin theta) ).
  2. La fuerza centrípeta es la suma de las fuerzas en la dirección horizontal, ya que la fuerza centrípeta apunta hacia el centro de la curva circular. Muestra esa

    [ vecs {F} _ {cent} = vecs {N} sin theta + vecs {f} cos theta. ]

    Concluye esto

    [ vecs {F} _ {cent} = dfrac { sin theta + mu cos theta} {cos theta− mu sin theta} m vecs g. ]

  3. Muestre que ((v _ { text {max}}) ^ 2 = (( sin theta + mu cos theta) / ( cos theta− mu sin theta)) gR ). Concluya que la velocidad máxima en realidad no depende de la masa del automóvil.
    Ahora que tenemos una fórmula que relaciona la velocidad máxima del automóvil y el ángulo de inclinación lateral, estamos en condiciones de responder a preguntas como la que se planteó al inicio del proyecto.
    El Bristol Motor Speedway es una pista corta de NASCAR en Bristol, Tennessee. La pista tiene la forma aproximada que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ). Cada extremo de la pista es aproximadamente semicircular, de modo que cuando los coches giran, se desplazan a lo largo de una curva aproximadamente circular. Si un automóvil toma la vía interior y acelera a lo largo de la parte inferior de la curva 1, el automóvil viaja a lo largo de un semicírculo de radio de aproximadamente 211 pies con un ángulo de inclinación lateral de 24 °. Si el automóvil decide tomar la vía exterior y acelera a lo largo de la parte superior de la curva 1, entonces el automóvil viaja a lo largo de un semicírculo con un ángulo de inclinación lateral de 28 °. (La pista tiene peralte de ángulo variable).

El coeficiente de fricción de un neumático normal en condiciones secas es de aproximadamente 0,7. Por lo tanto, asumimos que el coeficiente para una llanta NASCAR en condiciones secas es aproximadamente 0.98.

Antes de responder las siguientes preguntas, tenga en cuenta que es más fácil hacer cálculos en términos de pies y segundos, y luego convertir las respuestas a millas por hora como paso final.

  1. En condiciones secas, ¿qué tan rápido puede viajar el automóvil por la parte inferior de la curva sin patinar?
  2. En condiciones secas, ¿qué tan rápido puede viajar el automóvil a través de la parte superior de la curva sin patinar?
  3. En condiciones húmedas, el coeficiente de fricción puede llegar a ser tan bajo como 0,1. Si este es el caso, ¿qué tan rápido puede viajar el automóvil por la parte inferior de la curva sin patinar?
  4. Suponga que la velocidad medida de un automóvil que circula por el borde exterior de la curva es de 105 mph. Estima el coeficiente de fricción de los neumáticos del automóvil.

Conceptos clave

  • Si ( vecs {r} (t) ) representa la posición de un objeto en el momento t, entonces ( vecs {r} '(t) ) representa la velocidad y ( vecs {r} ′ ′ (t) ) representa la aceleración del objeto en el momento t. La magnitud del vector de velocidad es la rapidez.
  • El vector de aceleración siempre apunta hacia el lado cóncavo de la curva definida por ( vecs {r} (t) ). Las componentes tangencial y normal de la aceleración (a_ vecs {T} ) y (a_ vecs {N} ) son las proyecciones del vector de aceleración sobre la tangente unitaria y los vectores normales unitarios a la curva.
  • Las tres leyes del movimiento planetario de Kepler describen el movimiento de los objetos en órbita alrededor del Sol. Su tercera ley también se puede modificar para describir el movimiento de objetos en órbita alrededor de otros objetos celestes.
  • Newton pudo usar su ley de gravitación universal junto con su segunda ley de movimiento y cálculo para probar las tres leyes de Kepler.

Ecuaciones clave

  • Velocidad [ vecs {v} (t) = vecs {r} ′ (t) nonumber ]
  • Aceleración [ vecs {a} (t) = vecs {v} ′ (t) = vecs {r} ′ ′ (t) nonumber ]
  • Velocidad [v (t) = || vecs {v} (t) || = || vecs {r} ′ (t) || = dfrac {ds} {dt} nonumber ]
  • Componente tangencial de aceleración [a _ { vecs {T}} = vecs {a} cdot vecs {T} = dfrac { vecs {v} cdot vecs {a}} {|| vecs v ||} sin número]
  • Componente normal de aceleración [a _ { vecs {N}} = vecs {a} cdot vecs {N} = dfrac {|| vecs {v} times vecs {a} ||} {|| vecs {v} ||} = sqrt {|| vecs {a} || ^ 2 - a _ { vecs {T}} } sin número]

Glosario

vector de aceleración
la segunda derivada del vector de posición
Leyes de Kepler del movimiento planetario
Tres leyes que gobiernan el movimiento de planetas, asteroides y cometas en órbita alrededor del Sol.
componente normal de aceleración
el coeficiente del vector normal unitario ( vecs N ) cuando el vector de aceleración se escribe como una combinación lineal de ( vecs T ) y ( vecs N )
movimiento de proyectiles
movimiento de un objeto con una velocidad inicial, pero sin fuerza que actúe sobre él más que la gravedad
componente tangencial de la aceleración
el coeficiente del vector unitario tangente ( vecs T ) cuando el vector de aceleración se escribe como una combinación lineal de ( vecs T ) y ( vecs N )
vector de velocidad
la derivada del vector de posición

Contribuyentes y atribuciones

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.

  • Editado por Paul Seeburger
    Paul Seeburger agregó el punto de búsqueda ((1, 2) ) cuando (t = 1 ) y agregó la parte 3 (encontrar las ecuaciones de la recta tangente) en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).
    También creó Figure ( PageIndex {1} ).

1.त्वरण के स्पर्शरेखीय तथा अभिलाम्बिक घटक (Componentes tangenciales y normales de aceleración, Componentes tangenciales y normales de velocidad y aceleración) -

त्वरण के स्पर्शरेखीय तथा अभिलाम्बिक घटक (Componentes tangenciales y normales de la aceleración), स्पर्शरेखीय तथा अभिलाम्बिक वेग पर निर्भर करता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण वेग वेक्टर के परिमाण में परिवर्तन की दर का माप है, अर्थात गति और अभिलाम्बिक त्वरण वेग वेक्टर की दिशा के परिवर्तन की दर का एक माप है।

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2.आप स्पर्शरेखीय और अभिलाम्बिक त्वरण कैसे ज्ञात करते हैं? (¿Cómo encuentra la aceleración tangencial y normal?) -(1.) स्पर्शरेखीय तथा अभिलाम्बिक वेग (Velocidades tangenciales y normales) -

मान लो वक्र पर एक स्थिर बिन्दु A है तथा इस पर चलता हुआ कोई कण t समय पर P बिन्दु पर पहुंचता है, जहां चाप AP = s। मानलो कि कण t + delta t समय पर बिन्दु Q पर है, जहां चाप PQ = delta s
यह भी मानलो कि वक्र के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा x- अक्ष के साथ psi कोण बनाती है।यदि Q से, P बिन्दु पर खींची गई स्पर्शरेखा पर QM लम्ब डालें तब कण का समय में P पर स्पर्शरेखा के अनुदिश विस्थापन PM होगा।

अतः P पर स्पर्शरेखीय वेग (Velocidad tangencial)
= comenzar lim delta t rightarrow 0 end frac < delta t समय quad में P पर quad स्पर्शरेखा quad के quad अनुदिश quad विस्थापन> < delta t> = begin lim delta t rightarrow 0 end frac < delta t> = begin lim delta t rightarrow 0 end frac <जीवा PQ quad cos > < delta t> = begin lim delta t rightarrow 0 end frac <जीवा PQ quad> < delta s>. frac < delta s> < delta t> cos = 1. frac < delta s> < delta t> .1
[ porque जब quad Q rightarrow P तब frac <जीवा pq=""> < delta s> = 1 तथा ángulo QPM rightarrow 0]
P पर स्पर्शरेखीय वेग = frac

= overset < bullet>
अब यदि PN, P पर अन्दर की ओर अभिलम्ब (अवतल दिशा की ओर) हो, तब delta t समय में PN के समान्तर विस्थापन MQ होगा।
अतः P पर अभिलाम्बिक वेग (velocidad normal)
= lim _ < delta t rightarrow 0> < frac < delta t >> = lim _ < delta t rightarrow 0> < frac <जीवा PQ sin quad> < delta t >> = lim _ < delta t rightarrow 0> < frac <जीवा PQ quad> < delta s >>. frac < delta s quad> < delta t> sin = 1. frac < delta s quad> < delta t> .0
[ porque जब quad Q rightarrow P, तब frac <जीवा PQ quad> < delta s> = 1 तथा angle QPM rightarrow 0]
P पर अभिलाम्बिक वेग = 0
अतः एक कण जो समतल में किसी वक्र के अनुदिश गमन करता है, का स्पर्शरेखीय वेग frac
तथा अभिलाम्बिक वेग 0 होता है।

(2.) त्वरण के स्पर्शरेखीय तथा अभिलाम्बिक घटक (Componentes tangenciales y normales de aceleración, Componentes tangenciales y normales de velocidad y aceleración), त्वरण के स्पर्शरेखीय घटक का सूत्र (Componente tangencial de la fórmula de aceleración) -

मान लो t व t + delta t समय पर कण की स्थिति बिन्दु P व Q पर है।मानलो P व Q पर कण का वेग क्रमशः V तथा t + delta V है।यह भी मानलो कि P व Q पर खींची PT व QT ' x- अक्ष के साथ क्रमशः कोण psi व psi + delta psi बनाती है तब स्पर्श रेखाओं के मध्य का कोण होगा।

अतः समय अन्तराल में TP के अनुदिश वेग में परिवर्तन
= (Q पर TP के अनुदिश वेग) - (P पर TP के अनुदिश वेग)

= left (v + delta v right) cos < delta psi> -v = left (v + delta v right) .1-v = delta v [ delta psi छोटा है, por lo tanto cos < delta psi> rightarrow 1]
इसी प्रकार समय अन्तराल में TP के लम्बवत वेग में परिवर्तन
= Q पर TP के लम्बवत वेग- P पर TP के लम्बवत वेग

= left (v + delta v right) sin < delta psi> -0 = left (v + delta v right) delta psi = v delta psi [ delta psi छोटा है, por lo tanto sin < delta psi> rightarrow delta psi, delta v delta psi rightarrow 0]
अतः P पर स्पर्शरेखीय त्वरण (Aceleración tangencial)
= lim _ < delta t rightarrow 0> < frac < delta t समय quad अन्तराल quad में P के quad अनुदिश quad वेग quad में quad परिवर्तन> < delta t >> = lim _ < delta t rightarrow 0> < frac < delta v> < delta t >> = frac

= frac
left ( frac
right) = frac < ^ <2> s> ^ <2 >> = frac . frac < dt> = v frac
अतः स्पर्शरेखीय त्वरण = frac
= frac < ^ <2> s> ^ <2 >> = v frac
तथा P पर अभिलाम्बिक त्वरण (Aceleración normal)
= lim _ < delta t rightarrow 0> < frac < delta t समय quad अन्तराल quad में TP के quad लम्बवत quad वेग quad में quad परिवर्तन> < delta t >> lim _ < delta t rightarrow 0> < delta t >> = v frac
= v frac . frac
= v. frac <1> < rho> .v = frac < ^ <2 >> < rho>
[ porque rho = frac जहां rho वक्र के बिन्दु P पर वक्रता त्रिज्या]
अतः अभिलाम्बिक त्वरण = frac < ^ <2 >> < rho>
टिप्पणी: स्पर्शरेखीय वेग तथा त्वरण की धनात्मक दिशा के बढ़ने की दिशा में होगी तथा अभिलाम्बिक त्वरण अभिलम्ब के अनुदिश अन्दर की तरफ होगा।
विशेष स्थिति (Caso particular): यदि कण एक वृत्तीय पथ (Ruta circular) पर चले तो s = a theta तथा rho = a
स्पर्शरेखीय वेग frac
= a dot < theta> अनुप्रस्थ वेग

अभिलाम्बिक त्वरण = 0 = अरीय वेग
स्पर्शरेखीय त्वरण = frac < ^ <2> s> ^ <2 >> = a ddot < theta> अनुप्रस्थ त्वरण
अभिलाम्बिक त्वरण = frac < ^ <2 >> < rho> = frac << left (a dot < theta> right)> ^ <2 >> < rho> = a < punto < theta >> ^ <2> अरीय त्वरण


3 respuestas 3

Si la velocidad es constante, solo hay una aceleración normal (desde el conductor hasta el centro de la circunferencia).

Para conseguir ambas aceleraciones puedes hacer:

1) Obtenga su vector de posición en coordenadas polares: $ vec = x vec+ y vec = r cos theta hat + r sin theta hat = r sombrero. $

Ahora puede obtener el vector de velocidad haciendo la derivada con respecto al tiempo: $ vec = dfrac<>>

= omega r left (- sin theta hat + cos theta sombrero right) = omega r hat, $ wehre $ omega = dfrac
. $

Si regresa a las coordenadas originales, obtiene lo que dijo: $ a_n = dfrac, qquad a_t = dfrac

. $ En su tarea, observe que tiene una velocidad de 70 km / h sin aceleración. Entonces una de las aceleraciones circulares es cero. ¿Adivina qué? Observe también que en un movimiento circular SIEMPRE hay una aceleración que DEBE ser distinta de cero.


Calcular componentes tangenciales y normales de aceleración.

P: Dada una partícula que se mueve con una función de posición: r (t) = & ltcos (2t), 1, -sin (2t) & gt,
d) Calcule las componentes normal y tangencial de la aceleración cuando t = pi / 8
e) ¿La partícula acelera o desacelera, y gira o va en línea recta cuando t = pi / 8? ¿Por qué?

Este es un problema largo de varias partes, por lo que solo publiqué dos partes. Estas son las dos partes que no tengo ni idea de cómo abordar.
Puedo obtener la aceleración de esta partícula cuando pi / 8 tomando la segunda derivada r '' (t), pero no estoy seguro si eso corresponde a la tangencial o normal, o cómo distinguir entre las dos. Tampoco tengo ni idea de cómo resolver la parte e.

Estoy pensando que esto tiene que ver con el vector tangente unitario, el vector normal unitario principal. Sin embargo, no estoy seguro de cómo relacionarlos con este problema.

Subhotoh Khan

Súper Moderador

P: Dada una partícula que se mueve con una función de posición: r (t) = & ltcos (2t), 1, -sin (2t) & gt,
d) Calcule las componentes normal y tangencial de la aceleración cuando t = pi / 8
e) ¿La partícula acelera o desacelera, y gira o va en línea recta cuando t = pi / 8? ¿Por qué?

Vector unitario normal (radial)

( Displaystyle e_r , = , frac <1> < sqrt <2>> cdot [ cos 2t, , 1, , - sin 2t] )

Si toma un producto cruzado de este vector con el vector de aceleración, obtendrá la componente tangencial de la aceleración.

Por supuesto, el producto escalar le dará el componente normal.


Este es un problema largo de varias partes, así que publiqué dos partes. Estas son las dos partes que no tengo ni idea de cómo abordar.
Puedo obtener la aceleración de esta partícula cuando pi / 8 tomando la segunda derivada r '' (t), pero no estoy seguro si eso corresponde a la tangencial o normal, o cómo distinguir entre las dos. Tampoco tengo ni idea de cómo resolver la parte e.

Estoy pensando que esto tiene que ver con el vector tangente unitario, el vector normal unitario principal. Sin embargo, no estoy seguro de cómo relacionarlos con este problema.


[Cálculo vectorial] Tratar de comprender la fórmula y la representación geométrica del componente tangencial y normal para la aceleración

Estoy tratando de entender geométricamente la fórmula de los componentes tangencial y normal de la aceleración.

* aTAN = componente tangencial de aceleración

* aNORM = componente normal de aceleración

* T = vector unitario tangencial

Entonces, para empezar, la fórmula para el vector de aceleración es

a = (un bronceado)(T) + (aNORM)(norte), lo que significa que el vector a se encuentra en el plano de los vectores unitarios T y N.

Entonces, la fórmula que el libro de texto me da para aTAN es

un bronceado = d / dt [|| v ||] = aT = va / || v ||

obviamente, usando la definición de un producto escalar

va = || v || || a || cos (θ)

(dividido por || v ||)

que hace va / || v || = || a || cos (θ)

Bueno, en esta IMAGEN puedes ver que aNORM = || a || cos (θ), pero en mi formula un bronceado = || a || cos (θ)

Mi pregunta es, ¿cómo es que muestra la imagen aNORM = || a || cos (θ) en vez de un bronceado = || a || cos (θ), lo mismo se puede decir al revés.

Otra forma de considerar esto es pensar en las componentes tangencial y normal de la aceleración como proyecciones paralelas y ortogonales de la aceleración sobre la velocidad. La parte paralela (producto escalar) es lo que acelera o ralentiza el objeto (aumenta o disminuye la magnitud de la velocidad), y la parte ortogonal (producto cruzado) es lo que cambia la dirección / gira el objeto.

Como decía el otro cartel, estás usando dos ángulos diferentes. Para ser consistente con la fórmula del producto escalar, debe llamar al ángulo entre la unidad tangente (el vector unitario que apunta en la dirección del vector velocidad) y la aceleración theta en el producto escalar, no el ángulo entre la normal (la normal es ortogonal a la velocidad) y la aceleración.

Esto ahora tiene sentido para mí. Hice la suposición incorrecta de etiquetar el vector normal como horizontal, ya que parece horizontal.

Entonces, tomando lo que dijiste, la imagen anterior debería verse así.

Además de eso, supongo que usaría θ1 para las fórmulas.

EDITAR: Está bien, entiendo, el producto escalar puede darle el ángel entre dos vectores, por lo que ni siquiera estamos mirando los ejes xey, solo estamos encontrando el ángulo entre el vector de aceleración, a, y el vector unitario tangente, T.

Está utilizando dos θ diferentes porque los tres vectores son coplanares y los vectores tangente y normal son perpendiculares, los ángulos entre a y sus componentes tangente y normal son complementarios.

De la forma en que lo hago, la tangente es más similar a la horizontal, por lo que uso θ como el ángulo entre a y su componente tangente entonces π / 2-θ es el ángulo entre a y su componente normal, y cos (π / 2-θ) = sin (θ), por lo que la magnitud del componente normal es |a| pecado (θ).

Bien, ahora lo entiendo, porque cuando miro otras imágenes como esta, el componente tangencial es indudablemente horizontal.

Entonces, en mi caso, debería usar el ángel entre el vector unitario tangente y el vector de aceleración como este.

Sin embargo, tengo una pregunta más, ¿usaría θ1 o θ2? Mi suposición es que el vector unitario tangente apunta en la dirección + x (hacia arriba), en lugar de la dirección -x (hacia abajo). Como resultado, usaría θ1. Esto es difícil de entender para mí ya que siempre he tratado con la dirección + x es hacia la derecha y la dirección -x hacia la izquierda.

Por cierto, agradezco mucho tu ayuda. Parece que estoy haciendo las cosas mucho más difíciles para mí de lo que debería ser, pero al mismo tiempo estoy tratando de entender el concepto. Gracias

EDITAR: Lo entiendo ahora, en lugar de mirar el vector tangente como un eje xy el vector normal como un eje y, estamos mirando θ como el ángulo entre los dos vectores!


Matemáticas Aplicadas

Álgebra vectorial escalar y productos vectoriales de vectores gradiente divergencia y curvatura de una línea vectorial, integrales de superficie y volumen teoremas de Green, Stokes y Gauss.

Composición y resolución de fuerzas fuerzas paralelas y equilibrio de pares de un sistema de fuerzas coplanares centro de masa de un sistema de partículas y cuerpos rígidos equilibrio de fuerzas en tres dimensiones.

§ Movimiento en línea recta con aceleración constante y variable movimiento armónico simple fuerzas conservadoras y principios de la energía.

§ Componentes tangenciales, normales, radiales y transversales del movimiento de velocidad y aceleración bajo fuerzas centrales Órbitas planetarias Leyes de Kepler

IV. Ecuaciones diferenciales ordinarias (20%)

§ Ecuaciones de ecuaciones separables de primer orden, ecuaciones exactas ecuaciones lineales de primer orden trayectorias ortogonales ecuaciones no lineales reducibles a ecuaciones lineales, ecuaciones de Bernoulli y Riccati.

§ Ecuaciones con coeficientes constantes homogéneas y ecuaciones no homogéneas Ecuaciones de Cauchy-Euler variación de parámetros.

§ Puntos ordinarios y singulares de una solución de ecuación diferencial en serie Ecuaciones de Bessel y Legendre Propiedades de las funciones de Bessel y polinomios de Legendre.

V. Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales (20%)

§ Serie trigonométrica de Fourier Serie seno y coseno Desigualdad de Bessel
sumatoria de la convergencia de series infinitas de la serie de Fourier.

§ Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. Resolución de problemas de valor de contorno mediante el método de separación de variables.

VI. Métodos numéricos (30%)

§ Solución de ecuaciones no lineales mediante los métodos de bisección, secante y Newton-Raphson el orden de convergencia del método iterativo de punto fijo de un método.

§ Solución de un sistema de ecuaciones lineales en sistemas diagonalmente dominantes los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

§ Regla trapezoidal de diferenciación e integración numérica, reglas de Simpson, fórmulas de integración gaussianas.

§ Solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria Métodos de Euler y Euler modificados Métodos de Runge-Kutta.


¿Es la aceleración la tasa de cambio de velocidad?

¿Es esto verdadero o falso?

La aceleración es la tasa de cambio de velocidad.

Por qué algunas personas dicen que es verdad: Piense en acelerar en un automóvil: cuando pisa el acelerador, acelera y cuando pisa el freno, reduce la velocidad. La aceleración generalmente se asocia con un cambio de velocidad.

Por qué algunas personas dicen que es falso: En física, la dirección importa. Si la dirección del movimiento cambia, esto también podría considerarse aceleración, incluso si la velocidad permanece constante.

Explicación:

La aceleración se define como la tasa de cambio de velocidad. La velocidad es un vector, lo que significa que contiene una magnitud (un valor numérico) y una dirección. Entonces, la velocidad se puede cambiar cambiando la velocidad o cambiando la dirección del movimiento (o ambos). Por lo tanto, es posible que la velocidad sea constante, pero la velocidad esté cambiando porque la dirección está cambiando. En este caso, la aceleración será distinta de cero e igual a la tasa de cambio de velocidad.

Es un error generalizado pensar que la tasa de cambio de velocidad es igual a la magnitud de la tasa de cambio de velocidad. Sin embargo, esto no es cierto en todos los casos. Considere el movimiento circular uniforme: en el caso de un movimiento circular uniforme, la partícula se mueve en una trayectoria circular con velocidad uniforme. La velocidad permanece constante, pero la dirección del movimiento cambia continuamente. Debido al cambio en la dirección del movimiento, la aceleración no es cero. Esta aceleración es hacia el centro del círculo y se conoce como aceleración centrípeta.

En general, la aceleración se puede descomponer en dos componentes. Un componente, que es paralelo a la velocidad, se conoce como aceleración tangencial. Este componente cambia la velocidad de la partícula y es igual a la tasa de cambio de velocidad. El otro componente de la aceleración, que es perpendicular a la velocidad, se conoce como aceleración normal. Este componente es responsable de cambiar la dirección de la velocidad.

La velocidad es la tasa de cambio de desplazamiento, mientras que la velocidad es la tasa de cambio de distancia. En otras palabras, la velocidad es la tasa de cambio de la distancia más corta recorrida por un cuerpo desde la posición final a la posición inicial, mientras que la velocidad es la tasa de cambio de la longitud total de la trayectoria recorrida por un determinado cuerpo.

Consulta: ¿Qué se puede decir sobre la aceleración de una partícula que se mueve en zig-zag con rapidez constante?
Respuesta: La aceleración de la partícula debe ser distinta de cero, ya que la partícula está cambiando de dirección. Sin embargo, la componente tangencial de la aceleración es cero, ya que la velocidad permanece constante.

Consulta: Si tanto la velocidad como la dirección cambian, ¿es posible tener aceleración cero?
Respuesta: No. Si cambia la velocidad, la aceleración tangencial es distinta de cero. Si la dirección del movimiento está cambiando, entonces la aceleración normal es distinta de cero. El resultado de estas dos aceleraciones nunca puede ser cero, ya que son perpendiculares entre sí.

Una partícula se mueve sobre una pista circular con una velocidad constante distinta de cero. ¿Cuáles de las siguientes opciones son correctas?

(a) La aceleración de la partícula es cero.

(b) La tasa de cambio de velocidad es igual a la magnitud de la tasa de cambio de velocidad.

(c) La velocidad instantánea es igual a la magnitud de la velocidad instantánea.

(d) El ángulo entre la velocidad y la aceleración tiene que ser 9 0 ∘ 90 ^ circ 9 0 ∘.


12.5: Componentes tangenciales y normales de la aceleración - Matemáticas

Las siguientes son conferencias para Cálculo III - Multivariable. En su mayoría están en formato PDF de Adobe. Al hacer clic en un enlace, accederá a Google Docs.

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Algunas de estas conferencias hacen referencia a la calculadora gráfica TI-89.

Las conferencias con una N después del número de conferencia se han reescrito para hacer referencia a la calculadora gráfica TI-nspire.

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Vectores de posición, velocidad y aceleración

La cinemática es la rama de la mecánica que describe el movimiento de partículas, objetos o grupos de objetos. En estas páginas analizaremos el movimiento de una partícula puntual en cualquier trayectoria como, por ejemplo, la que se muestra en negro en la figura siguiente. En aras de la simplicidad, se ha representado una trayectoria plana en la figura, pero la trayectoria puede ser tridimensional.

A marco de referencia en reposo y un observador O ubicadas en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas también se muestran en la figura anterior. Este marco de referencia se llama inercial. La orientación de los tres ejes cartesianos está indicada por los vectores unitarios I, j y k respectivamente. Describiremos el movimiento de la partícula con respecto a este marco de referencia.

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El movimiento de una partícula se describe mediante tres vectores: posición, velocidad y aceleración.

La vector de posición (representado en verde en la figura) va desde el origen del marco de referencia hasta la posición de la partícula. Las componentes cartesianas de este vector están dadas por:

Los componentes del vector de posición dependen del tiempo ya que la partícula está en movimiento. Para simplificar la notación, a menudo omitiremos esta dependencia en las expresiones de los vectores.

La vector de velocidad es la derivada temporal del vector de posición:

Que también se puede expresar como:

El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto..

La vector de aceleración es la derivada del tiempo del vector velocidad:

Que también se puede expresar como:

El vector de aceleración es la variación del vector de velocidad a lo largo del tiempo. Por lo tanto, siempre debe dirigirse hacia el interior de la trayectoria de la partícula, como se muestra en la figura.

En estas páginas encontrará numerosos problemas en los que aprenderá a calcular estos tres vectores en diferentes situaciones.

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El vector de aceleración se puede expresar en función de sus proyecciones sobre un marco de referencia que se mueve con la partícula y con ejes que son respectivamente tangentes y perpendiculares (o normales) para cada punto de su trayectoria. Estas proyecciones se llaman aceleración tangencial y aceleración normal (o centrípeto).

La figura anterior representa el vector de aceleración expresado como la suma de estos componentes.

La aceleración tangencial es dado por:

Dónde tut es un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto que se determina dividiendo el vector de velocidad por su magnitud:

La aceleración tangencial proporciona información sobre la variación de la magnitud del vector de velocidad.

Por otro lado, el aceleración normal (o centrípeto) viene dado por:

Dónde tunorte es un vector unitario perpendicular a la trayectoria en cada punto y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria.

La aceleración normal proporciona información sobre la variación del vector de velocidad y la dirección # 8217s. Si una partícula describe una línea recta, el radio de curvatura es infinito y, por lo tanto, su aceleración normal es cero.

En el caso particular de una trayectoria circular, la magnitud de aceleración normal es:

Los diferentes problemas que encontrará en estas páginas le ayudarán a aprender a calcular las componentes del vector de aceleración.


12.5: Componentes tangenciales y normales de la aceleración - Matemáticas

Considere un objeto que parece estacionario en nuestro marco de referencia giratorio: es decir, un objeto que está estacionario con respecto a la superficie de la Tierra. Según la ecuación (414), la aparente ecuación de movimiento del objeto en el marco giratorio toma la forma

Sea la fuerza no ficticia que actúa sobre nuestro objeto la fuerza de gravedad,. Aquí, la aceleración gravitacional local`` apunta directamente hacia el centro de la Tierra. De lo anterior se deduce que la aparente aceleración gravitacional en el marco giratorio se escribe

donde es el vector de desplazamiento del origen del marco giratorio (que se encuentra en la superficie de la Tierra) con respecto al centro de la Tierra. Aquí, asumimos que nuestro objeto está situado relativamente cerca de la superficie de la Tierra (es decir,).

Puede verse, en la ecuación (417), que la aparente aceleración gravitacional de un objeto estacionario cerca de la superficie de la Tierra tiene dos componentes. Primero, la verdadera aceleración gravitacional, de magnitud, que siempre apunta directamente hacia el centro de la Tierra. En segundo lugar, la denominada aceleración centrífuga. Esta aceleración es normal al eje de rotación de la Tierra y siempre apunta directamente en dirección opuesta a este eje. La magnitud de la aceleración centrífuga es, donde es la distancia perpendicular al eje de rotación de la Tierra y es el radio de la Tierra; consulte la Figura 25.

Es conveniente definir los ejes cartesianos en el marco de referencia giratorio de manera que el eje -apunte verticalmente hacia arriba y los ejes -y-sean horizontales, con el eje -a apuntando directamente hacia el norte y el eje-apuntando directamente hacia el oeste; consulte la Figura 24. Por tanto, las componentes cartesianas de la velocidad angular de la Tierra son

mientras que los vectores y están escritos

respectivamente. De ello se deduce que las coordenadas cartesianas de la aceleración gravitacional aparente, (417), son

La magnitud de esta aceleración es aproximadamente

De acuerdo con la ecuación anterior, la aceleración centrífuga hace que la magnitud de la aparente aceleración gravitacional en la superficie de la Tierra varíe aproximadamente, siendo mayor en los polos y menor en el ecuador. Esta variación en la aceleración gravitacional aparente, debida (en última instancia) a la rotación de la Tierra, hace que la Tierra misma se abulte ligeramente en el ecuador (ver Sección 12.6), lo que tiene el efecto de intensificar aún más la variación, ya que un punto en la superficie del La Tierra en el ecuador está un poco más lejos del centro de la Tierra que un punto similar en uno de los polos (y, por lo tanto, la verdadera aceleración gravitacional es ligeramente más débil en el primer caso).

Otra consecuencia de la aceleración centrífuga es que la aparente aceleración gravitacional en la superficie de la Tierra tiene un componente horizontal alineado en la dirección norte / sur. Esta componente horizontal asegura que la aparente aceleración gravitacional no apunte directamente hacia el centro de la Tierra. En otras palabras, una plomada en la superficie de la Tierra no apunta verticalmente hacia abajo, sino que se desvía ligeramente de una verdadera vertical en la dirección norte / sur. La desviación angular de la vertical verdadera se puede calcular fácilmente a partir de la ecuación (421):