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14.6: Momentos y centros de masa - Matemáticas


Usando una sola integral pudimos calcular el centro de masa para un objeto unidimensional con densidad variable y un objeto bidimensional con densidad constante. Con una integral doble podemos manejar dos dimensiones y densidad variable.

Al igual que antes, las coordenadas del centro de masa son

[ bar x = {M_y over M} qquad bar y = {M_x over M}, ]

donde (M ) es la masa total, (M_y ) es el momento alrededor del eje (y ) - y (M_x ) es el momento alrededor del eje (x ) -. (Es posible que desee revisar los conceptos de la Sección 9.6).

La clave para el cálculo, al igual que antes, es la aproximación de masa. En el caso bidimensional, tratamos la densidad ( sigma ) como masa por área cuadrada, por lo que cuando la densidad es constante, la masa es (( hbox {densidad}) ( hbox {área}) ). Si tenemos una región bidimensional con densidad variable dada por ( sigma (x, y) ), y dividimos la región en subregiones pequeñas con área ( Delta A ), entonces la masa de una subregión es aproximadamente ( sigma (x_i, y_j) Delta A ), la masa total es aproximadamente la suma de muchos de estos y, como es habitual, la suma se convierte en una integral en el límite:

[M = int_ {x_0} ^ {x_1} int_ {y_0} ^ {y_1} sigma (x, y) , dy , dx, ]

y de manera similar para cálculos en coordenadas cilíndricas. Entonces como antes

[ eqalign {
M_x & = int_ {x_0} ^ {x_1} int_ {y_0} ^ {y_1} y sigma (x, y) , dy , dx cr
M_y & = int_ {x_0} ^ {x_1} int_ {y_0} ^ {y_1} x sigma (x, y) , dy , dx. Cr
}]

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentre el centro de masa de una placa delgada y uniforme cuya forma es la región entre (y = cos x ) y el eje (x ) - entre (x = - pi / 2 ) y ( x = pi / 2 ). Dado que la densidad es constante, podemos tomar ( sigma (x, y) = 1 ).

Está claro que ( bar x = 0 ), pero para la práctica, calculémoslo de todos modos. Primero calculamos la masa:

[ begin {align *} M & = int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ { cos x} 1 , dy , dx [4pt] & = int_ {- pi / 2} ^ { pi / 2} cos x , dx [4pt] & = left. sin x right | _ {- pi / 2} ^ { pi / 2 } = 2. End {align *} ]

Próximo,

[ begin {align *} M_x & = int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ { cos x} y , dy , dx [4pt] & = int_ {- pi / 2} ^ { pi / 2} {1 over2} cos ^ 2 x , dx [4pt] & = { pi over4}. end {align *} ]

Finalmente,

[ begin {align *} M_y & = int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ { cos x} x , dy , dx [4pt] & = int_ {- pi / 2} ^ { pi / 2} x cos x , dx [4pt] & = 0. end {align *} ]

Entonces ( bar x = 0 ) como se esperaba, y ( bar y = pi / 4/2 = pi / 8 ). Este es el mismo problema que en el ejemplo 9.6.4; puede resultar útil comparar las dos soluciones.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentra el centro de masa de una placa bidimensional que ocupa el cuarto de círculo (x ^ 2 + y ^ 2 le1 ) en el primer cuadrante y tiene densidad (k (x ^ 2 + y ^ 2) ) . Parece claro que debido a la simetría tanto de la región como de la función de densidad (¡ambas son importantes!), ( Bar x = bar y ). Haremos ambas cosas para comprobar nuestro trabajo.

Saltando a la derecha en:

[ begin {align *} M & = int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} k (x ^ 2 + y ^ 2) , dy , dx [4pt] & = k int_0 ^ 1 x ^ 2 sqrt {1-x ^ 2} + {(1-x ^ 2) ^ {3/2} over3} , dx. end {alinear *} ]

Esta integral es algo que podemos hacer, pero es un poco desagradable. Dado que todo lo que está a la vista está relacionado con un círculo, retrocedamos y probemos las coordenadas polares. Entonces (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) y

[ begin {align *} M & = int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {1} k (r ^ 2) , r , dr , d theta [4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} left. {r ^ 4 over4} right | _0 ^ 1 , d theta [4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} {1 over4} , d theta [4pt] & = k { pi over8}. end {align *} ]

Mucho mejor. A continuación, desde (y = r sin theta ),

[ begin {align *} M_x & = k int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {1} r ^ 4 sin theta , dr , d theta
[4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} {1 over5} sin theta , d theta
[4pt] & = k left .- {1 over5} cos theta right | _0 ^ { pi / 2} = {k over5}. End {align *} ]

Similar,

[ begin {align *} M_y & = k int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {1} r ^ 4 cos theta , dr , d theta
[4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} {1 over5} cos theta , d theta
[4pt] & = k left. {1 over5} sin theta right | _0 ^ { pi / 2} = {k over5}. End {align *} ]

Finalmente, ( bar x = bar y = {8 over5 pi} ).


Ver el vídeo: Cálculo del centro de masas (Septiembre 2021).