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14.7: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas


Hemos visto que a veces las integrales dobles se simplifican haciéndolas en coordenadas polares; no es sorprendente que las integrales triples sean a veces más simples en coordenadas cilíndricas o esféricas. Necesitamos hacer lo mismo aquí, para regiones tridimensionales.

El sistema de coordenadas cilíndrico es el más simple, ya que es solo el sistema de coordenadas polares más una coordenada (z ). Una pequeña unidad típica de volumen es la forma que se muestra a continuación "engordada" en la dirección (z ), por lo que su volumen es (r Delta r Delta theta Delta z ), o en el límite, (r , dr , d theta , dz ).

Una "cuadrícula" de coordenadas polares.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentra el volumen debajo de (z = sqrt {4-r ^ 2} ) arriba del cuarto de círculo dentro de (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) en el primer cuadrante.

Solución

Por supuesto, podríamos hacer esto con una integral doble, pero usaremos una integral triple:

[ int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {4-r ^ 2}} r , dz , dr , d theta =
int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 2 sqrt {4-r ^ 2} ; r , dr , d theta =
{4 pi over3}. ]

Compare esto con el ejemplo 15.2.1.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Un objeto ocupa el espacio dentro del cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) y la esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ), y tiene densidad (x ^ 2 ) en ((x, y, z) ). Calcula la masa total.

Solución

Lo configuramos en coordenadas cilíndricas, recordando que (x = r cos theta ):

[ eqalign {
int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {4-r ^ 2}} ^ { sqrt {4-r ^ 2}}
r ^ 3 cos ^ 2 ( theta) , dz , dr , d theta
& = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 2 sqrt {4-r ^ 2} ; r ^ 3 cos ^ 2 ( theta) , dr , d theta cr
& = int_0 ^ {2 pi}
left ({128 over15} - {22 over5} sqrt3 right) cos ^ 2 ( theta) , d theta cr
& = left ({128 over15} - {22 over5} sqrt3 right) pi cr
}]

Las coordenadas esféricas son algo más difíciles de entender. El pequeño volumen que queremos será definido por ( Delta rho ), ( Delta phi ) y ( Delta theta ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) .

El pequeño volumen tiene casi forma de caja, con 4 lados planos y dos lados formados por pedazos de esferas concéntricas. Cuando ( Delta rho ), ( Delta phi ) y ( Delta theta ) son todos muy pequeños, el volumen de esta pequeña región será casi el volumen que obtenemos al tratarla como una caja. Una dimensión de la caja es simplemente ( Delta rho ), el cambio en la distancia desde el origen. Las otras dos dimensiones son las longitudes de pequeños arcos circulares, por lo que son (r Delta alpha ) para algunas (r ) y ( alpha ) adecuadas, al igual que en el caso de las coordenadas polares.

Figura ( PageIndex {1} ): Una pequeña unidad de volumen para coordenadas esféricas (AP)

El más fácil de entender es el arco correspondiente a un cambio en ( phi ), que es casi idéntico a la derivación de las coordenadas polares, como se muestra en el gráfico de la izquierda en la Figura ( PageIndex {2} ). En ese gráfico estamos mirando "cara a cara" en el lado de la caja que nos interesa, por lo que el pequeño ángulo en la imagen es precisamente ( Delta phi ), el eje vertical es realmente el eje (z ) , pero el eje horizontal es no un eje real --- es solo una línea en el plano (x ) - (y ). Debido a que el otro arco está gobernado por ( theta ), necesitamos imaginarnos mirando hacia abajo del eje (z ), de modo que el ángulo aparente que vemos es ( Delta theta ). En esta vista, los ejes son realmente los ejes (x ) e (y ). En este gráfico, la distancia aparente desde el origen no es ( rho ) sino ( rho sin phi ), como se indica en el gráfico de la izquierda.

Figura ( PageIndex {2} ): Configuración de la integración en coordenadas esféricas.

El resultado es que el volumen de la pequeña caja es aproximadamente ( Delta rho ( rho Delta phi) ( rho sin phi Delta theta) = rho ^ 2 sin phi Delta rho Delta phi Delta theta ), o en el límite ( rho ^ 2 sin phi , d rho , d phi , d theta ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Suponga que la temperatura en ((x, y, z) ) es [T = dfrac {1} {1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}. Nonumber ] Encuentre la temperatura promedio en la esfera unitaria centrada en el origen.

Solución

En dos dimensiones sumamos la temperatura en "cada" punto y dividimos por el área; aquí sumamos las temperaturas y dividimos por el volumen, ((4/3) pi ):

[{3 over4 pi} int _ {- 1} ^ 1 int _ {- sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2}}
int _ {- sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}}
{1 over1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx nonumber
]

Esto parece bastante complicado; dado que todo en el problema está estrechamente relacionado con una esfera, lo convertiremos a coordenadas esféricas.

[{3 over4 pi} int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ pi
int_0 ^ 1
{1 over1 + rho ^ 2} , rho ^ 2 sin phi , d rho , d phi , d theta
= {3 over4 pi} (4 pi - pi ^ 2) = 3- {3 pi over4}. sin número
]


Ver el vídeo: Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas (Septiembre 2021).