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11.8: Serie de potencia


Hemos visto que algunas funciones se pueden representar como series, lo que puede dar información valiosa sobre la función. Nos gustaría comenzar con una función dada y producir una serie para representarla, si es posible.

Suponga que (f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) en algún intervalo de convergencia. Entonces sabemos que podemos calcular derivadas de (f ) tomando derivadas de los términos de la serie. Veamos los primeros en general: $$ eqalign {f '(x) & = sum_ {n = 1} ^ infty n a_n x ^ {n-1} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + cdots cr f '' (x) & = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n x ^ {n-2} = 2a_2 + 3 cdot2a_3x +4 cdot3a_4x ^ 2+ cdots cr f '' '(x) & = sum_ {n = 3} ^ infty n (n-1) (n-2) a_n x ^ {n-3} = 3 cdot2a_3 +4 cdot3 cdot2a_4x + cdots cr} $$ Al examinarlos, no es difícil discernir el patrón general. La (k ) ésima derivada debe ser $$ eqalign {f ^ {(k)} (x) & = sum_ {n = k} ^ infty n (n-1) (n-2) cdots (n-k + 1) a_nx ^ {nk} cr & = k (k-1) (k-2) cdots (2) (1) a_k + (k + 1) (k) cdots (2) a_ {k + 1} x + {} cr & qquad {} + (k + 2) (k + 1) cdots (3) a_ {k + 2} x ^ 2 + cdots cr} $$ Podemos reduce esto un poco usando notación factorial: $$ f ^ {(k)} (x) = sum_ {n = k} ^ infty {n! over (nk)!} a_nx ^ {nk} = k ! a_k + (k + 1)! a_ {k + 1} x + {(k + 2)! over 2!} a_ {k + 2} x ^ 2 + cdots $$ Ahora sustituya (x = 0 ) : $$ f ^ {(k)} (0) = k! a_k + sum_ {n = k + 1} ^ infty {n! over (nk)!} a_n0 ^ {nk} = k! a_k, $ $ y resuelva para (a_k ): $$ a_k = {f ^ {(k)} (0) over k!}. $$ Note el caso especial, obtenido de la serie para (f ) en sí, eso da (f (0) = a_0 ).

Entonces, si una función (f ) puede ser representada por una serie, sabemos exactamente qué serie es. Dada una función (f ), la serie $$ sum_ {n = 0} ^ infty {f ^ {(n)} (0) over n!} X ^ n $$ se llama Serie Maclaurin para (f ).

Ejemplo 11.10.1: serie Maclaurin

Encuentre la serie de Maclaurin para (f (x) = 1 / (1-x) ).

Solución

Necesitamos calcular las derivadas de (f ) (y esperamos encontrar un patrón).

[ eqalign {f (x) & = (1-x) ^ {- 1} cr f '(x) & = (1-x) ^ {- 2} cr f' '(x) & = 2 (1-x) ^ {- 3} cr f '' '(x) & = 6 (1-x) ^ {- 4} cr f ^ {(4)} (x) & = 4! ( 1-x) ^ {- 5} cr & vdots cr f ^ {(n)} (x) & = n! (1-x) ^ {- n-1} cr} ]

Entonces

[{f ^ {(n)} (0) sobre n!} = {n! (1-0) ^ {- n-1} sobre n!} = 1 ]

y la serie Maclaurin es

[ sum_ {n = 0} ^ infty 1 cdot x ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n, ]

la serie geométrica.

Aquí conviene una advertencia. Dada una función (f ) podemos calcular la serie de Maclaurin, pero eso no significa que hayamos encontrado una representación en serie para (f ). Aún necesitamos saber dónde converge la serie y si, donde converge, converge a (f (x) ). Si bien para las funciones más comunes, la serie de Maclaurin converge a (f ) en algún intervalo, esto no es cierto para todas las funciones, por lo que se requiere cuidado.

Como cuestión práctica, si estamos interesados ​​en usar una serie para aproximar una función, necesitaremos un número finito de términos de la serie. Incluso para funciones con derivadas desordenadas, podemos calcularlas usando software de computadora como Sage. Si queremos conocer la serie completa, es decir, un término típico de la serie, necesitamos una función cuyas derivadas caigan en un patrón que podamos discernir. Afortunadamente, algunas de las funciones más importantes son muy sencillas.

Ejemplo 11.10.2: serie de Maclaurin

Encuentre la serie de Maclaurin para ( sin x ).

Solución

Las derivadas son bastante fáciles: (f '(x) = cos x ), (f' '(x) = - sin x ), (f' '' (x) = - cos x ), (f ^ {(4)} (x) = sin x ), y luego el patrón se repite. Queremos saber las derivadas en cero: 1, 0, (- 1 ), 0, 1, 0, (- 1 ), 0,…, por lo que la serie de Maclaurin es

[x- {x ^ 3 over 3!} + {x ^ 5 over 5!} - cdots = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1 } over (2n + 1)!}. ]

Siempre debemos determinar el radio de convergencia:

[ lim_ {n to infty} {| x | ^ {2n + 3} over (2n + 3)!} {(2n + 1)! over | x | ^ {2n + 1}} = lim_ {n to infty} {| x | ^ 2 over (2n + 3) (2n + 2)} = 0, ]

entonces la serie converge para cada (x ). Dado que resulta que esta serie de hecho converge a ( sin x ) en todas partes, tenemos una representación en serie para ( sin x ) para cada (x ).

A veces, la fórmula para la (n ) ésima derivada de una función (f ) es difícil de descubrir, pero una combinación de una serie de Maclaurin conocida y alguna manipulación algebraica conduce fácilmente a la serie de Maclaurin para (f ).

Ejemplo 11.10.3: Serie de Maclaurin

Encuentra la serie de Maclaurin para (x sin (-x) ).

Solución

Para ir de ( sin x ) a (x sin (-x) ) sustituimos (- x ) por (x ) y luego multiplicamos por (x ). Podemos hacer lo mismo con la serie para ( sin x ):

[x sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {(- x) ^ {2n + 1} over (2n + 1)!} = x sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ {n} (- 1) ^ {2n + 1} {x ^ {2n + 1} over (2n + 1)!} = sum_ {n = 0} ^ infty (-1 ) ^ {n + 1} {x ^ {2n + 2} over (2n + 1)!}. ]

Como hemos visto, una serie de potencia general puede centrarse en un punto distinto de cero, y el método que produce la serie de Maclaurin también puede producir dicha serie.

Serie de taylor

Encuentra una serie centrada en (- 2 ) para (1 / (1-x) ).

Solución

Si la serie es

[ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x + 2) ^ n ]

luego mirando la (k ) ésima derivada:

[k! (1-x) ^ {- k-1} = sum_ {n = k} ^ infty {n! over (n-k)!} a_n (x + 2) ^ {n-k} ]

y sustituyendo (x = -2 ) obtenemos

[k! 3 ^ {- k-1} = k! a_k ]

y

[a_k = 3 ^ {- k-1} = 1/3 ^ {k + 1}, ]

entonces la serie es

[ sum_ {n = 0} ^ infty {(x + 2) ^ n over 3 ^ {n + 1}}. ]

Ya lo hemos visto en la Sección 11.8. Tal serie se llama Serie de taylor para la función, y el término general tiene la forma

[{f ^ {(n)} (a) over n!} (x-a) ^ n. ]

Una serie de Maclaurin es simplemente una serie de Taylor con (a = 0 ).


Soluciones para el Capítulo 11.8: Power Series

Soluciones para el Capítulo 11.8: Power Series

  • 11.8.1: ¿Qué es una serie de potencias?
  • 11.8.2: (a) ¿Cuál es el radio de convergencia de una serie de potencias? Cómo.
  • 11.8.3: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.4: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.5: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.6: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.7: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.8: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.9: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.10: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.11: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.12: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.13: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.14: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.15: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.16: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.17: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.18: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.19: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.20: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.21: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.22: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.23: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.24: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.25: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.26: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.27: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.28: 328 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de t.
  • 11.8.29: Si o` n0 cn 4n es convergente, podemos concluir que cada uno de los siguientes.
  • 11.8.30: Suponga que o` n0 cn x n converge cuando x 24 y diverge cuando x 6.
  • 11.8.31: Si k es un número entero positivo, calcule el radio de convergencia de s.
  • 11.8.32: Sean pyq números reales con p, q. Encuentre una serie de potencias cuya i.
  • 11.8.33: ¿Es posible encontrar una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia?
  • 11.8.34: Grafique las primeras sumas parciales snsxd de la serie o` n0 x n.
  • 11.8.35: La función J1 definida por J1sxd o `n0 s21d n x 2n11 n! Sn 1 1d! 22n.
  • 11.8.36: La función A definida por Asxd 1 1 x 3 2 3 1 x 6 2 3 5 6 1 x 9 2 3.
  • 11.8.37: Una función f está definida por fsxd 1 1 2x 1 x 2 1 2x 3 1 x 4 1 es decir.
  • 11.8.38: Si fsxd o` n0 cn x n, donde cn14 cn para todo n & gt 0, encuentre el intervalo.
  • 11.8.39: Demuestre que si limn l `s n | cn | c, donde c 0, entonces el radio de c.
  • 11.8.40: Suponga que la serie de potencias o cns x 2 ad n satisface cn 0 para todos.
  • 11.8.41: Suponga que la serie o cn x n tiene un radio de convergencia 2 y el ser.
  • 11.8.42: Suponga que el radio de convergencia de la serie de potencias o cn x n.
Libro de texto: Cálculo de variable única: principios trascendentales
Edición: 8
Autor: James Stewart
ISBN: 9781305270336

Esta guía de supervivencia de libro de texto fue creada para el libro de texto: Cálculo de variable única: Trascendentales tempranos, edición: 8. Dado que se han respondido 42 problemas en el capítulo 11.8: Serie de potencias, más de 69890 estudiantes han visto las soluciones completas paso a paso de este capítulo. . Capítulo 11.8: Power Series incluye 42 soluciones completas paso a paso. Esta extensa guía de supervivencia de libros de texto cubre los siguientes capítulos y sus soluciones. Cálculo de variable única: Early Trascendentals fue escrito por y está asociado al ISBN: 9781305270336.

Ver función cosecante inversa.

ƒ (x 1) = ƒ (x 2) x para cualquier x1 y x2 (en el intervalo)

Un evento cuya probabilidad depende de otro evento que ya está ocurriendo.

La función definida por ƒ & # 39 (x) = limh: 0ƒ (x + h) - ƒ (x) h para todo x donde existe el límite

La medida de un ángulo en grados, minutos y segundos.

Una declaración de igualdad entre dos expresiones.

Suma de un número finito de términos.

La recta para la que la suma de los cuadrados de los residuos es la menor posible

Una función en la que ƒ (x) es un polinomio en x, p. 158.

x, y y (-x, -y) son reflejos entre sí a través del origen.

La distancia desde el centro de una elipse hasta un punto de la elipse a lo largo de una línea perpendicular al eje mayor.

La matriz AT obtenida intercambiando filas y columnas de A.

Número que es una suma de la serie aritmética 1 + 2 + 3 +. + n para algún número natural n.


EL PODER DE LA ALABANZA Y LA ADORACIÓN

EL PODER DE LA ALABANZA Y LA ADORACIÓN

Cuando alabamos y adoramos al Señor, experimentaremos la victoria en nuestras batallas. Dios habita en las alabanzas de Su pueblo. Cuando lo alabemos y lo adoremos, Su presencia descenderá entre nosotros y la presencia de Dios llenará cada situación que estemos enfrentando y experimentaremos cierta victoria en todas nuestras batallas.Cuando Josafat estaba enfrentando una gran batalla, proclamó un ayuno y buscó al Señor con todo su pueblo. El Señor escuchó su clamor y les prometió la victoria. Entonces Josafat envió cantantes y adoradores delante de su ejército. Mientras alababan y adoraban al Señor, el Señor hizo que los enemigos se pelearan entre sí y se destruyeran a sí mismos. Cuando alabamos y adoramos al Señor en tiempos de batalla, el Señor causará confusión en el campamento del enemigo y hará que se destruyan a sí mismos. El Señor nos concederá una gloriosa victoria.

"Pero tú eres santo, entronizado en las alabanzas de Israel".

Después de esto, los moabitas y amonitas con algunos de los meunitas vinieron para hacer la guerra contra Josafat.

Algunos hombres vinieron y le dijeron a Josafat: "Un gran ejército viene contra ti desde Edom, desde el otro lado del mar. Ya está en Hazazon Tamar" (es decir, En Gedi).

Alarmado, Josafat resolvió consultar al SEÑOR y proclamó un ayuno para todo Judá.

El pueblo de Judá se reunió para buscar ayuda del SEÑOR, de hecho, vinieron de todas las ciudades de Judá para buscarlo.

Entonces Josafat se puso de pie en la asamblea de Judá y Jerusalén en el templo del SEÑOR en el frente del nuevo atrio.

y dijo: Oh SEÑOR, Dios de nuestros padres, ¿no eres tú el Dios que está en los cielos? Tú gobiernas todos los reinos de las naciones. El poder y la fuerza están en tu mano, y nadie te podrá resistir.

Dios nuestro, ¿no echaste a los habitantes de esta tierra delante de tu pueblo Israel y la diste para siempre a los descendientes de Abraham tu amigo?

Habitaron en ella y edificaron en ella un santuario a tu Nombre, diciendo:

Si nos sobreviene una calamidad, ya sea la espada del juicio, la plaga o el hambre, estaremos en tu presencia ante este templo que lleva tu Nombre y te clamaremos en nuestra angustia, y tú nos escucharás y nos salvarás. '

"Pero ahora aquí hay hombres de Ammón, Moab y el monte Seir, cuyo territorio no permitirías que Israel invadiera cuando vinieran de Egipto, así que se apartaron de ellos y no los destruyeron.

Mira cómo nos están pagando viniendo a echarnos de la posesión que nos diste como herencia.

Dios nuestro, ¿no los juzgarás? Porque no tenemos poder para enfrentar a este vasto ejército que nos ataca. No sabemos qué hacer, pero nuestros ojos están puestos en ti ".

Todos los varones de Judá, con sus mujeres, sus hijos y sus pequeños, estaban allí delante del SEÑOR.

Entonces el Espíritu del SEÑOR descendió sobre Jahaziel hijo de Zacarías, hijo de Benaía, hijo de Jeiel, hijo de Matanías, levita y descendiente de Asaf, estando él en la asamblea.

Él dijo: "¡Escuchen, rey Josafat y todos los habitantes de Judá y Jerusalén! Esto es lo que el SEÑOR les dice: 'No temas ni te desanimes a causa de este vasto ejército. Porque la batalla no es tuya, sino de Dios.

Mañana marcha contra ellos. Estarán subiendo por el Paso de Ziz, y los encontrarás al final del desfiladero en el Desierto de Jeruel.

No tendrás que pelear esta batalla. Tomen sus posiciones, manténganse firmes y vean la liberación que el SEÑOR les dará, oh Judá y Jerusalén. No tengas miedo, no te desanimes. Sal a enfrentarlos mañana, y el SEÑOR estará contigo ".

Josafat se inclinó rostro en tierra, y todo el pueblo de Judá y de Jerusalén se postró en adoración delante del SEÑOR.

Entonces algunos levitas de Coat y de Coré se pusieron en pie y alabaron al SEÑOR, Dios de Israel, en voz muy alta.

Por la mañana temprano partieron hacia el desierto de Tecoa. Cuando partieron, Josafat se puso de pie y dijo: "¡Escúchame, Judá y pueblo de Jerusalén! Tened fe en el SEÑOR tu Dios y serás sostenido, ten fe en sus profetas y tendrás éxito".

Después de consultar al pueblo, Josafat nombró hombres para que cantaran al SEÑOR y lo alabaran por el esplendor de su santidad cuando salían a la cabeza del ejército, diciendo: "Den gracias al SEÑOR, porque su amor perdura para siempre".


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Conector de pared
Detalles técnicos
Velocidad de carga
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Cortacircuitos
(amperios)
Máxima salida
(amperios)
Potencia a 240 voltios
(kilovatio)
Modelo 3
(mph)
Modelo S
(mph)
Modelo X
(mph)
100 80 19,2 kW 44 34 30
90 72 17,3 kW 44 34 30
80 64 15,4 kW 44 34 30
70 56 13,4 kW 44 34 30
60 48 11,5 kW 44 34 30
50 40 9,6 kW 37 29 25
45 36 8,6 kW 34 26 23
40 32 7,7 kW 30 23 20
35 28 6,7 kW 26 20 17
30 24 5,7 kW 22 17 14
25 20 4,8 kW 19 14 11
20 16 3,8 kW 15 11 8
15 12 2,8 kW 11 7 5
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60 48 11,5 kW 44 34 30
50 40 9,6 kW 37 29 25
45 36 8,6 kW 34 26 23
40 32 7,7 kW 30 23 20
35 28 6,7 kW 26 20 17
30 24 5,7 kW 22 17 14
25 20 4,8 kW 19 14 11
20 16 3,8 kW 15 11 8
15 12 2,8 kW 11 7 5

Poder compartido con múltiples conectores de pared

Se pueden conectar hasta cuatro conectores de pared Tesla para compartir la energía de forma inteligente. Esta funcionalidad es beneficiosa para hogares o ubicaciones comerciales que necesitan cargar más de un Tesla al mismo tiempo, pero es posible que no tengan suficiente energía para múltiples circuitos eléctricos.

Se recomiendan instalaciones de mayor amperaje (pero no son obligatorias) cuando se comparte la energía para maximizar la cantidad de energía dividida entre cada automóvil durante la carga.

Guías de instalación
Guía de instalación del conector de pared actual:


Siren recauda $ 11,8 millones para impulsar la expansión comercial de su solución de monitoreo remoto de pacientes Smart Fabric

Siren, una compañía de dispositivos médicos que ha desarrollado una tecnología de vanguardia para integrar microsensores dentro de la tela, lo que permite la producción en masa de textiles inteligentes lavables y asequibles con aplicaciones de monitoreo remoto de pacientes, anunció hoy que ha recaudado $ 11.8 millones en fondos liderados por Anathem Ventures, con participación. de los inversores existentes DCM, Khosla Ventures, 500 Startups y Founders Fund de Peter Thiel. En relación con esta ronda de financiación de la Serie B, el socio de DCM Jason Krikorian se unirá a la junta de Siren y el socio gerente de Anathem, Crystal McKellar, se unirá a Siren como asesora.

Desde su fundación en 2015, Siren ha recaudado $ 22 millones en tres rondas de financiamiento para posicionarse para la expansión comercial, incluida una Serie A de $ 6.5 millones no revelada en 2018 y una ronda inicial de $ 3.4 millones. Siren fue el ganador del campo de batalla de hardware de TechCrunch CES 2017 y fue nombrada la Mejor Innovación de CES 2018 por su innovadora tecnología textil inteligente.

Capacitar a los médicos para que atiendan eficazmente a los pacientes de forma remota

El primer producto comercial de Siren es un calcetín de control de temperatura registrado por la FDA que se conecta de forma inalámbrica a una aplicación de software, lo que permite a los podólogos detectar los primeros signos de inflamación en pacientes con riesgo de desarrollar úlceras del pie diabético. La aparición de las úlceras del pie diabético representa una afección peligrosa que, si no se controla, puede provocar complicaciones graves, incluida la amputación. Hoy en día, los podólogos dependen en gran medida de las visitas a la clínica para controlar manualmente las elevaciones de temperatura que son el precursor de una úlcera del pie diabético. Sin embargo, las úlceras se forman en cuestión de horas o días y pueden empeorar rápidamente entre esas visitas. La solución de Siren permite la detección en tiempo real y la intervención temprana, lo que puede prevenir las complicaciones graves que resultan en más de 100,000 amputaciones de miembros inferiores cada año y cuestan al sistema de salud de EE. UU. Más de $ 43 mil millones al año.

COVID-19 Cambiando la atención médica ahora y para siempre

La solución de monitoreo remoto de Siren es particularmente valiosa durante la pandemia de COVID-19, ya que permite a los profesionales de la salud mantenerse involucrados y atender a sus pacientes de forma remota, limitando las visitas a la clínica a verdaderas emergencias mientras brinda servicios adicionales para las prácticas médicas a través de la reciente expansión de CMS del reembolso de Medicare por servicios de monitoreo remoto de pacientes.

“COVID-19 ha cambiado la atención médica ahora y para siempre. La digitalización y la atención virtual ya no es algo agradable, es una necesidad. Los pacientes necesitan un control remoto del paciente para recopilar y enviar datos de salud cruciales a sus médicos. Las clínicas, al hacer la transición de parte del personal médico al monitoreo virtual, pueden permanecer operativas, evitar la pérdida del empleo y permitir que los pacientes tengan acceso continuo a la atención ”, comentó Ran Ma, director ejecutivo de Siren. “Además, como empresa de dispositivos médicos, hemos cambiado la forma en que hacemos negocios: cómo realizamos ventas, brindamos asistencia al cliente y cómo funcionan nuestros productos. Las empresas que no solo sobreviven, sino que prosperan, son las que mejor pueden evolucionar y ayudar a sus clientes a adaptarse a este nuevo mundo ".

Crystal McKellar, líder de la Serie B y socio gerente de Anathem Ventures, dijo: “La tecnología, en su mejor momento, debería ofrecer una mayor funcionalidad a una fracción del costo. En el ámbito de la salud, esto significa mejorar los resultados de los pacientes al tiempo que se reduce la carga financiera para el sistema. La tecnología de vanguardia de Siren combina todos estos importantes impulsores de adopción, y estoy encantado de asociarme con Siren para ayudar a impulsar el crecimiento de la empresa ".

El socio de DCM Jason Krikorian, un inversor de Siren desde hace mucho tiempo que codirigió la ronda de semillas de Siren en 2016, señaló: “Cuando invertimos inicialmente, lo que vi fue un equipo ingenioso y un producto creativo y elegante que representaría una mejora enorme para la atención al paciente. y flujos de trabajo médicos rentables en cualquier entorno. La pandemia actual ha dejado en claro que las soluciones de monitorización remota serán una parte fundamental de la práctica de cualquier médico. Estoy emocionado de trabajar aún más de cerca con el equipo en esta próxima fase de crecimiento ".


Motor diesel de la serie E para grupo electrógeno

El motor diésel industrial de la serie E para generadores comerciales se diseñó en colaboración con SDEC y Austria AVL. Juntos aplicamos tecnología de motores de avanzada internacional para crear equipos de primera clase. Esta serie representa una plataforma de motor completamente nueva creada siguiendo los estándares de fabricación de motores SAIC e instalando un riel común de alta presión controlado electrónicamente opcional y un sistema de combustible de bomba mecánica de control electrónico. Esta serie de motores se destaca por sus capacidades de rendimiento seguras, confiables y de alta potencia. En comparación con los motores de potencia similar, ofrece importantes ventajas de eficiencia y es aplicable para grupos electrógenos comunes de gama alta y media de 250-300 kW.

L: 1787 mm Ancho: 918 mm Alto: 1304 mm
Modelo de motor SC10E380D2 SC12E420D2 SC12E460D2 SC13E550D2
Tipo Tipo en línea, refrigerado por agua, 4 tiempos, inyección directa, cuatro válvulas
Aspiración Turbo e intercooler
Número de cilindros × diámetro × carrera mm 6X128X135 6X128X153 6X130X161
Tipo de camisa de cilindro Revestimiento húmedo
Índice de compresión 17:1
Desplazamiento total L 10.4 11.8 12.8
Tasa de control de velocidad % ≤5
Potencia nominal kW 255 280 307 365
Velocidad nominal rpm 1500 1500 1500 1500
Energía de reserva kW 280 308 388 401
Consumo mínimo de combustible g / kW · h 192
Humo de escape FSN 1.0
Capacidad de aceite L 33-41
Capacidad del sistema de enfriamiento L 23.2
Consumo de aceite g / kW · h ≤0.3
Estándares de emisión
ETAPA Ⅱ
Ruido DB (A) 105
Peso neto KG 980 KILOGRAMOS 1164 KILOGRAMOS
Dimensiones (L x W x H) mm 1787X918X1294 1787X1000X1287
Volante y carcasa del volante SAE1 # y 14 #
  • Con tecnología avanzada, el motor adopta cuatro válvulas por cilindro, un árbol de levas en cabeza, un bloque de cilindros de alta resistencia en la placa base y una cámara de engranajes trasera. La presión pico máxima permitida es 190 bar. Utilizamos líneas de producción automáticas de MAG y otras marcas internacionales de primera clase, un sistema de control MES y un sistema de control de calidad de fabricación de motores de Volkswagen alemán, el motor es de alta calidad y ofrece una consistencia excelente.
  • El bloque de cilindros tiene una vida útil B10 de más de 15000 horas de trabajo.
  • El árbol de levas en culata único interactúa con el brazo oscilante del rodillo. El intervalo de regulación del juego de válvulas se duplica. Con un diseño de holgura de válvula cerrada, biela agrietada y filtrado de aceite múltiple, el mantenimiento es simple.
  • Mantenimiento conveniente
  • Toda la máquina puede funcionar normalmente a temperaturas ambiente de hasta 40 ℃. Sin el dispositivo auxiliar de calentamiento del aire de admisión, el límite de temperatura de arranque en frío es de -15 ℃, lo que brinda una fuerte adaptabilidad ambiental.
  • Este motor de serie cumple con el estándar de emisiones Off-Road China Ⅱ.

Productos relacionados
Motor SDEC, motor de grupo electrógeno, motor comercial, generación de energía diesel, motor de generador

Motor diesel Co., Ltd. de Shanghai
Dirección: NO.2636 Jungong Road, Shanghai, 200438


11.8: Serie de potencia

11,8. Serie de potencia. 11,9. Representaciones de funciones como series de potencias. Serie Taylor y Maclaurin. 11.10. Serie de potencia. Una serie de potencias es una serie de la forma en la que x es una variable y las c n son constantes llamadas coeficientes de la serie.

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Transcripción de la presentación

11.8 Serie de potencias 11.9 Representaciones de funciones como series de potencias Serie de Taylor y Maclaurin 11.10

Serie de potencia • Una serie de potencias es una serie de la forma • donde x es una variable y las cn son constantes llamadas coeficientes de la serie. • Una serie de potencias puede converger para algunos valores de x y divergir para otros valores de x.

Serie de potencia • La suma de la serie es una función • f (x) = c0 + c1x + c2x2 +. . . + cnxn +. . . • cuyo dominio es el conjunto de todo x para el que converge la serie. Observe que f se parece a un polinomio. La única diferencia es que f tiene infinitos términos. • Nota: si tomamos cn = 1 para todo n, la serie de potencias se convierte en la serie geométrica • xn = 1 + x + x2 +. . . + xn +. . . • que converge cuando –1 & lt x & lt 1 y diverge cuando | x |  1.

Serie de potencia • De manera más general, una serie de la forma • se llama serie de potencias en (x - a) o serie de potencias centrada en a o serie de potencias alrededor de a.

Serie de potencia • Veremos que el uso principal de una serie de potencias es que proporciona una forma de representar algunas de las funciones más importantes que surgen en matemáticas, física y química. • Ejemplo: la suma de la serie de potencias, •, se denomina función de Bessel. • Ondas electromagnéticas en una guía de ondas cilíndrica • Amplitudes de presión de flujos rotacionales no viscosos • Conducción de calor en un objeto cilíndrico • Modos de vibración de una membrana artificial circular (o anular) delgada • Problemas de difusión en una red • Soluciones a la ecuación radial de Schrödinger (en coordenadas esféricas y cilíndricas) para una partícula libre • Resolución de patrones de radiación acústica • Fricción dependiente de la frecuencia en tuberías circulares • Procesamiento de señales

Serie de potencia • Las primeras sumas parciales son el gráfico de la función de Bessel:

Power Series: convergencia • El número R en el caso (iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias. • Esto significa: el radio de convergencia es R = 0 en el caso (i) y R = en el caso (ii).

Serie de potencia • El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo que consta de todos los valores de x para los cuales la serie converge. • En el caso (i), el intervalo consta de un solo punto a. • En el caso (ii) el intervalo es (,). • En el caso (iii) observe que la desigualdad | x - a | & lt R se puede reescribir como - R & lt x & lt a + R.

Representaciones de funciones como series de potencias • Partimos de una ecuación que hemos visto antes: • Hemos obtenido esta ecuación observando que la serie es una serie geométrica con a = 1 y r = x. • Pero aquí nuestro punto de vista es diferente. Ahora consideramos que la ecuación 1 expresa la función f (x) = 1 / (1 - x) como una suma de una serie de potencias.

Ejemplo: Aproximación de sin (x) cerca de x = a (Tercer orden) (primer orden) (quinto orden)

Brook Taylor fue un consumado músico y pintor. Él investigó en una variedad de áreas, pero es más famoso por su desarrollo de ideas sobre series infinitas. Brook Taylor 1685-1731 Greg Kelly, Escuela secundaria de Hanford, Richland, Washington

Si hacemos, y el primero, segundo, tercero y la cuarta derivada es la misma, entonces tendríamos una aproximación bastante buena. Práctica: Supongamos que queremos encontrar un polinomio de cuarto grado de la forma: en que se aproxima al comportamiento de

Serie Maclaurin: Serie de Taylor: (generada por f at) (generada por f at) Definición: Si queremos centrar la serie (y su gráfica) en cero, obtenemos la Serie de Maclaurin:

Ejercicio 2: encuentre la aproximación del polinomio de Taylor en 0 (Serie Maclaurin) para: En lugar de empezar desde cero, podemos utilizar la función que ya conocemos:

El polinomio de tercer orden para es, pero es el grado 2. Al referirnos a los polinomios de Taylor, podemos hablar de número de términos, orden o grado. Este es un polinomio en 3 términos. Es un polinomio de Taylor de cuarto orden, porque se encontró usando la derivada de cuarto. También es un polinomio de cuarto grado, porque x se eleva a la cuarta potencia. El término x3 desaparece cuando se usa la tercera derivada. Este es también el polinomio de segundo orden.

. Ejemplo práctico: 1) Muestre que la expansión de ex en la serie de Taylor es: 2) Use el resultado anterior para encontrar el valor exacto de: 3) Use el polinomio de Taylor de cuarto grado de cos (2x) para encontrar el valor exacto

Convergencia de Power Series: es El radio de convergencia para una serie de potencias es: • El centro de la serie es x = a. La serie converge en el intervalo abierto y puede converger en los puntos finales. Debe probar cada serie que resulte en los puntos finales del intervalo por separado para la convergencia. Ejemplos: La serie es convergente en [-3, -1] pero la serie es convergente en (-2,8].

Convergencia de la serie Taylor: is If f has a power series expansion centered at x = a, then the power series is given by And the series converges if and only if the Remainder satisfies: Where: is the remainder at x, (with c between x and a).


Big-Block Ford Engine Build - Easy 500 HP From The Ford 460

What is it about American iron that is all about massive? Chrysler's original Street Hemi had valve covers that you could rent out as a dance floor. Pontiac's V-8 is a hefty chunk of iron and so are the Olds 455s. But if you want to talk cast-iron overkill, perhaps we should speak of the Ford 429/460. Massive 3-inch main bearings and hefty iron heads combined at one time in the smog era to put out a measly 206 hp. Thank god those days are over.

But in classic car crafter tradition, we see not those inept days past and look instead to the massive amount of power we could create out of all that iron. Here perhaps is one of the domestic world's overlooked power gold mines. Yes, it's heavy, and yes, it costs more to build than a small-block Chevy-but then you already knew that. Think of this as a line drawn in the sand. Are you man enough?

We decided to do more than talk about Ford's big-block and actually build one ourselves. Well, actually Jim Grubbs Motorsports built it for us because we're inept at time management. The crew at JGM are true Ford 460 fans, and so we found an enthusiastic partner to point us down the proper path to Blue Oval power. Think of this as looking at the horsepower world through Ford blue-tinted glasses. Very, heavy glasses.

What's Out There

The Lima series engine is one of Ford's most enduring powerplants. Arriving on the scene in 1968 first as the 460 in Lincolns and as the 429 in other big Fords, this 385-series engine survived until 1997, a 30-year run that is astounding given Ford's proclivity for change. Used in tugboat Lincolns through 1978 and later in fullsize Fords and Mercurys, the 460 also torqued its way into 31/44-ton trucks and E-350 vans from the '70s all the way through the early '90s. This veteran engine can also be found in motor home, marine, and even stationary industrial applications and has been electronically fuel injected since 1987.

The going price for complete motors varies on condition, but we've heard they go for as little as $200. We bought ours for a bit more from Memory Lane mainly as a complete engine including all the accessories because we were in a hurry and couldn't take the time to look for a less expensive version. Adopt one and take it home. The Ford gods will smile on you.

Bores and Strokes

The 460 and its 429 cousin are big-bore, short-stroke thumpers. The 460 employs a 3.85-inch stroke while the 429 uses a mere 3.59-inch reach. This makes increasing displacement on the 429 easy enough. The rod length is 6.605 inches, which makes for a 1.71:1 rod-length-to-stroke ratio with the stock 460 stroke. Most production blocks can tolerate over-bores to 0.060-inch, creating a 472. If you're willing to search for a thick-wall casting, it's possible to go to 0.080-over (4.440-inch bore) and 477ci with the stock stroke.

If massive inches are your plan, there are several stroker crank options. You can offset-grind the stock 2.500-inch rod journals down to 2.200 big-block Chevy or Chrysler pin size. Or plug in any one of three Scat cast stroker cranks. At 0.030-over, the 4.150-inch stroke makes 502 ci, the 4.300-inch stroke swings 521 inches while the big 4.500-inch stroker will bulk this behemoth up to 545 cubes. The main journals are massive at 3.00 inches, so the cast crank and stock rods are not conducive to engine speeds above 6,500 rpm. Be forewarned that these stroker cranks also generally require a sizeable investment in Mallory metal to balance properly, and that heavy metal will significantly drive up the total cost of a stroker swap.

Heads You Win

The stock iron 460 heads are a tease. On the intake side, the oval-shaped intake offers an attractive cross-sectional area for solid torque and horsepower potential along with acceptable valve sizes of 2.19/1.76 for the early castings. But just like its small-block cousins, the 460 exhaust ports are some of the most restrictive we've come across. Exhaust port flow is so poor that using a big cam will only kill power across the board. The long duration will hurt low-end torque, while the restricted exhaust ports will choke any chance of making power at the higher engine speeds.

Choosing a decent iron production head is a quest to minimize the corks. It appears the iron '69 C9VE or '70 D0VE casting numbers are the best heads to use for a budget performance engine. All iron production heads from 1968 to 1971 were closed chamber and 76 cc's. These are becoming increasingly hard to find, and we won't even talk about the iron 429 Cobra Jet and Boss 429 aluminum castings-they might as well have been buried with King Tut. In 1972, Ford went to an open 95 to 100cc chamber, which should be avoided as the worst of all the iron 460 designs because it has no quench area and is therefore prone to detonation. The '73-and-later heads went back to a closed-chamber configuration but with deeper 95cc/100cc chambers.

You can open up the exhaust ports on a stock set of heads to improve horsepower potential. But also consider the time and money you will invest in new valves, guides, a valve job, screw-in studs, guideplates, and purchasing all those parts. With all that you'll easily have between $900 and $1,100 invested in ancient iron and all the porting effort. If it's purely a budget approach, this is still roughly half the price of a set of new Edelbrock heads, for example. On the plus side, you are also going to trim at least 60 pounds off the nose of your car with the aluminum heads. The iron castings each weigh roughly 73 pounds complete while the alloy Edelbrocks come in around 42 pounds each.

Besides the Edelbrock castings, there are other heads to choose from as well. Perhaps the best is the Ford Racing Cobra Jet head, designed by Ford big-block guru Jon Kaase. These heads offer the most promising flow potential of all the aftermarket 429/460 heads. Kaase moved the valves to unshroud flow and change angles, and this head is especially powerful with larger displacement engines like a 514 with a big cam. For more details on these heads, log onto jonkaaseracingengines.com. Another good set of heads come from Trick Flow Specialties (TFS). The company offers both track and street versions that are also worth investigating and are priced competitively with the Edelbrock castings.

Lube to Live

According to JGM, if the 429/460 has a weakness, it is the oiling system. For a low-rpm torque twister, the system works well. But for higher engine speeds where the horsepower lives, there are a couple of things that need addressing. Ford chose to lube the mains through the lifter galley, which means that the oil must pass through the lifters on its way to the mains and rods. This path is full of restrictions, which both reduces pressure and aerates the oil.

Much like the 351 Cleveland engines, the solution is to radically increase oil pressure to the tune of 70 psi. The higher pressure reduces foaming and ensures oil will make it all the way from the front-mounted oil pump back to the rear main. If oil starvation occurs, the rear main and rods will suffer the most. The solution requires a high-volume/high-pressure pump as well as a strong oil-pump driveshaft. JGM also recommends a solid distributor-gear drive pin (like an industrial rivet) instead of the hollow roll pin, because the stock pin shears off trying to drive the higher pressures. This pressure also demands a race-style filter to prevent bursting. Of course, this also means being very careful when the engine is cold to limit pressure-induced filter explosions when the oil is more viscous.

After dredging a complete 460 out of a '73 Lincoln Continental, we dissected it and delivered the block, crank, and rods to JGM. To create a solid foundation, we decided on also investing in a good short-block with a set of Federal-Mogul forged Speed-Pro flat-top pistons in case we decided to squeeze a little nitrous in the future. These pistons also gave us a pump-gas-friendly compression ratio when paired with the 95cc-chamber Edelbrock heads. Grubbs then supplied a set of rebuilt truck rods using ARP bolts to add a measure of durability. JGM also bored and torque-plate honed the block and oversaw machining our crank down 0.010-under to work with the Federal-Mogul bearings.

JGM has built a healthy 466 (see the Project 642 dyno chart) with completely ported iron production heads, but Grubbs reports that unless you enjoy a challenge, the effort really doesn't pay off in terms of the investment versus the ultimate power gain. We decided on a set of Edelbrock aluminum Performer RPM heads and a Performer RPM Air Gap intake as our route to power. These heads are intended to use roller rockers, so we plugged in a set of Harland Sharp 1.73:1 rockers to help with valve lift. This brought us to cam selection, and it just seemed a good idea to go with Edelbrock's entire Performer RPM package that uses a streetable flat-tappet hydraulic camshaft (see Cam Specs sidebar).

JGM then assembled the 460 with its recommended oiling-system changes and bolted the engine to the dyno. We also included a Holley 750-cfm mechanical-secondary carburetor with the HP body conversion (see that story elsewhere in this issue) to act as mix-master while also including a set of Hooker 131/44-inch chassis headers. This test was performed on Grubbs' own SuperFlow 901 engine dyno, but the cell does not leave room for a complete exhaust system. We also decided to test both Edelbrock hydraulic cams. The Performer-Plus cam is designed for torque while the RPM cam offers more duration and lift for a major horsepower boost.

The Performer cam made some awesome torque with 523 lb-ft, but that same short cam timing only managed 406 hp. This spurred the JGM crew to swap in the larger RPM cam to which the 466 responded with a pump-gas-fed 503 peak horsepower at a mere 5,200 rpm while shaking the floor with 555 lb-ft of torque at 4,200 rpm. These numbers are actually very close to Edelbrock's power claims for their Performer RPM package. Even in a 4,000-pound car, this is good enough for low 12s to high 11s depending on the weather and altitude. This motor was incredibly easy to assemble and required no custom parts. Do it yourself in your garage. Bolt it in your favorite Ford and you've got a tire-roaster.

Shim to Win

The JGM crew also clued us in on a simple valvetrain adjustment on these engines. The '73-and-later iron 429/460 heads all use a nonadjustable fulcrum-style rocker setup. Rebuilding one of these Lima engines usually involves removing the block and the heads. If using one of the tall-deck-height blocks, this could involve milling as much as 0.030 inch or more off the block deck. Retaining the fulcrum-rocker system with a shorter-deck-height or milled heads creates excessive lifter preload. Crane makes a kit (PN 99170-1) with 0.030-, 0.060-. and 0.090-inch-thick shims that will reduce lifter preload.

This minor change accomplishes two things. It is generally worth improved idle quality and more importantly minimizes the amount the lifter can "pump up" at higher engine speeds. While this may appear insignificant, a minimal hydraulic-lifter preload is generally worth power at higher engine speeds.


Ver el vídeo: Series de potencias, Josué Barojo, Stewart, Sec, Ej. 9 (Octubre 2021).