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16.4: Teorema de Green


Ahora veremos una forma de evaluar la integral de línea de una liso campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple. Un campo vectorial ( textbf {f} (x, y) = P (x, y) textbf {i} + Q (x, y) textbf {j} ) es liso si sus funciones componentes (P (x, y) ) y (Q (x, y) ) son suaves. Usaremos Teorema de Green (aveces llamado Teorema de Green en el plano) para relacionar el línea integral alrededor de una curva cerrada con un doble integral sobre la región dentro de la curva:

Teorema 4.7: Teorema de Green

Sea (R ) una región en ( mathbb {R} ^ 2 ) cuyo límite es una curva cerrada simple (C ) que es suave por partes. Sea ( textbf {f} (x, y) = P (x, y) textbf {i} + Q (x, y) textbf {j} ) un campo vectorial uniforme definido en ambos (R ) y C). Luego

[ oint_C textbf {f} cdot d textbf {r} = iint limits_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , dA, label {Eq4.21} ]

donde (C ) se atraviesa de modo que (R ) siempre está en el lado izquierdo de (C ).

Prueba: Demostraremos el teorema en el caso de un sencillo región (R ), es decir, donde la curva límite (C ) se puede escribir como (C = C_1 cup C_2 ) de dos formas distintas:

[ begin {align} C_1 & = text {la curva} y = y_1 (x) text {desde el punto} X_1 text {hasta el punto} X_2 label {Eq4.22} [4pt] C_2 & = text {la curva} y = y_2 (x) text {desde el punto} X_2 text {hasta el punto} X_1, label {Eq4.23} [4pt] end {align} ]

donde (X_1 ) y (X_2 ) son los puntos en (C ) más a la izquierda y a la derecha, respectivamente; y

[ begin {align} C_1 & = text {la curva} x = x_1 (y) text {desde el punto} Y_2 text {hasta el punto} Y_1 label {Eq4.24} [4pt] C_2 & = text {la curva} x = x_2 (y) text {desde el punto} Y_1 text {hasta el punto} Y_2, label {Eq4.25} [4pt] end {align} ]

donde (Y_1 ) y (Y_2 ) son los puntos más bajo y más alto, respectivamente, en (C ). Vea la Figura 4.3.1.

Integre (P (x, y) ) alrededor de (C ) usando la representación (C = C_1 cup C_2 ) dada por la Ecuación ref {Eq4.23} y la Ecuación ref {Eq4.24}.

Dado que (y = y_1 (x) text {a lo largo de} C_1 ) (como (x ) va de (a text {a} b) ) y (y = y_2 (x) text { a lo largo de} C_2 ) (cuando (x ) va de (b text {a} a) ), como vemos en la Figura 4.3.1, entonces tenemos

[ nonumber begin {align} oint_C P (x, y) , dx & = int_ {C_1} P (x, y) , dx + int_ {C_2} P (x, y) , dx [4pt] nonumber & = int_a ^ b P (x, y_1 (x)) , dx + int_b ^ a P (x, y_2 (x)) , dx [4pt] nonumber & = int_a ^ b P (x, y_1 (x)) , dx - int_a ^ b P (x, y_2 (x)) , dx [4pt] nonumber & = - int_a ^ b (P (x , y_2 (x)) - P (x, y_1 (x))) , dx [4pt] nonumber & = - int_a ^ b left (P (x, y) Big | _ {y = y_1 (x)} ^ {y = y_2 (x)} right) , dx [4pt] nonumber & = - int_a ^ b int_ {y_1 (x)} ^ {y_2 (x)} dfrac {∂P (x, y)} {∂y} , dy , dx text {(por el teorema fundamental del cálculo)} [4pt] & = - iint limits_R dfrac {∂P} {∂y} , dA. [4pt] label {Eq4.26} end {align} ]

Asimismo, integre (Q (x, y) ) alrededor de (C ) usando la representación (C = C_1 cup C_2 ) dada por la Ecuación ref {Eq4.25} y la Ecuación ref {Eq4.26 }. Dado que (x = x_1 (y) text {junto} C_1 ) (cuando (y ) va de (d ) a (c )) y (x = x_2 (y) text { a lo largo de} C_2 ) (cuando (y ) va de (c ) a (d )), como vemos en la Figura 4.3.1, entonces tenemos

[ nonumber begin {align} oint_C Q (x, y) , dy & = int_ {C_1} Q (x, y) , dy + int_ {C_2} Q (x, y) , dy [4pt] nonumber & = int_d ^ c Q (x_1 (y), y) , dy + int_c ^ d Q (x_2 (y), y) , dy [4pt] nonumber & = - int_c ^ d Q (x_1 (y), y) , dy + int_c ^ d Q (x_2 (y), y) , dy [4pt] nonumber & = int_c ^ d (Q (x_2 (y), y) - Q (x_1 (y), y)) , dy [4pt] nonumber & = int_c ^ d left (Q (x, y) Big | _ {x = x_1 (y)} ^ {x = x_2 (y)} right) , dy [4pt] nonumber & = int_c ^ d int_ {x_1 (y)} ^ {x_2 (y)} dfrac { ∂Q (x, y)} {∂x} , dx , dy text {(según el teorema fundamental del cálculo)} [4pt] nonumber & = iint limits_R dfrac {∂Q} { ∂x} , dA, text {y así} [4pt] end {align} ]

[ nonumber begin {align} oint_C textbf {f} cdot d textbf {r} & = oint_C P (x, y) , dx + oint_C Q (x, y) , dy [4pt] nonumber & = - iint_R dfrac {∂P} {∂y} , dA + iint_R dfrac {∂Q} {∂x} , dA [4pt] nonumber & = iint_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , dA. [4pt] end {align} ]

( etiqueta { ( textbf {QED} )} )

Aunque probamos el teorema de Green solo para una región simple (R ), el teorema también puede demostrarse para regiones más generales (digamos, una unión de regiones simples).

Ejemplo 4.7

Evalúa ( oint_C (x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2x y , dy ), donde (C ) es el límite (atravesado en sentido antihorario) de la región (R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ^ 2 ≤ y ≤ 2x} ).

(R ) es la región sombreada en la Figura 4.3.2. Según el teorema de Green, para (P (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 text {y} Q (x, y) = 2x y ), tenemos

[ nonumber begin {align} oint_C (x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2x y , dy & = iint_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac { ∂P} {∂y} right) , dA [4pt] nonumber & = iint_R (2y − 2y) , d A = iint_R 0 , dA = 0. [4pt] end {alinear}]

De hecho, ya sabíamos que la respuesta era cero. Recuerde del ejemplo 4.5 de la sección 4.2 que el campo vectorial ( textbf {f} (x, y) = (x ^ 2 + y ^ 2) textbf {i} + 2x y textbf {j} ) tiene un función potencial (F (x, y) = dfrac {1} {3} x ^ 3 + xy ^ 2 ), y entonces ( oint_C textbf {f} cdot d textbf {r} = 0 ) según el Corolario 4.6.

Ejemplo 4.8

Sea ( textbf {f} (x, y) = P (x, y) textbf {i} + Q (x, y) textbf {j} ), donde

[ nonumber P (x, y) = dfrac {-y} {x ^ 2 + y ^ 2} text {y} Q (x, y) = dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2}, ]

y sea (R = {(x, y): 0

[ nonumber dfrac {∂Q} {∂x} = dfrac {y ^ 2 + x ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} = dfrac {∂P} {∂y} Rightarrow iint limits_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , dA = iint limits_R 0 , dA = 0 ]

Esto parecería contradecir el teorema de Green. Sin embargo, tenga en cuenta que (R ) no es la región completa encerrada por (C ), ya que el punto ((0,0) ) no está contenido en (R ). Es decir, (R ) tiene un "agujero" en el origen, por lo que el teorema de Green no se aplica.

Si modificamos la región (R ) para que sea el anillo (R = {(x, y): 1/4 ≤ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 1} ) (ver Figura 4.3.3), y tomar el "límite" (C text {de} R text {para ser} C = C_1 cup C_2 ), donde (C_1 ) es el círculo unitario (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) atravesado en sentido antihorario y (C_2 ) es el círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1/4 ) atravesado agujas del reloj, entonces se puede demostrar (ver Ejercicio 8) que

[ nonumber oint_C textbf {f} cdot d textbf {r} = 0 ]

Todavía tendríamos ( iint limits_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , d A = 0 ), entonces para esto (R ) tendríamos

[ nonumber oint_C textbf {f} cdot d textbf {r} = iint limits_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right ) , dA, ]

lo que muestra que el teorema de Green es válido para la región anular (R ).

Resulta que el teorema de Green se puede extender a multiplicar conectado regiones, es decir, regiones como el anillo del ejemplo 4.8, que tienen una o más regiones recortadas desde el interior, a diferencia de los puntos discretos que se recortan. Para tales regiones, el límite "externo" y los límites "internos" se atraviesan de modo que (R ) siempre esté en el lado izquierdo.

La idea intuitiva de por qué el teorema de Green es válido para regiones conectadas múltiples se muestra en la figura 4.3.4 anterior. La idea es cortar "rendijas" entre los límites de una región (R ) conectada de forma múltiple para que (R ) se divida en subregiones que no tengan "agujeros". Por ejemplo, en la figura 4.3.4 (a) la región (R ) es la unión de las regiones (R_1 text {y} R_2 ), que están divididas por las rendijas indicadas por las líneas discontinuas. Esas rendijas son parte del límite de ambos (R_1 text {y} R_2 ), y las atravesamos de la manera indicada por las flechas. Observe que a lo largo de cada hendidura, el límite de (R_1 ) se atraviesa en la dirección opuesta a la de (R_2 ), lo que significa que las integrales de línea de textbf {f} a lo largo de esas hendiduras se cancelan entre sí. Dado que (R_1 text {y} R_2 ) no tienen agujeros, entonces el teorema de Green se cumple en cada subregión, de modo que

[ nonumber oint_ {bdy , of , R_1} textbf {f} cdot d textbf {r} = iint limits_ {R_1} left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , dA text {y} oint_ {bdy , of , R_2} textbf {f} cdot d textbf {r} = iint limits {R_2} left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , dA. ]

Pero dado que las integrales de línea a lo largo de las rendijas se cancelan, tenemos

[ nonumber oint_ {C_1 cup C_2} textbf {f} cdot d textbf {r} = oint_ {bdy , of , R_1} textbf {f} cdot d textbf {r} + oint_ {bdy , de , R_2} textbf {f} cdot d textbf {r}, ]

y entonces

[ nonumber oint_ {C_1 cup C_2} textbf {f} cdot d textbf {r} = iint limits_ {R_1} left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac { ∂P} {∂y} right) , dA + iint limits_ {R_2} left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , dA = iint limits_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right) , dA, ]

lo que muestra que el teorema de Green se cumple en la región (R ). Un argumento similar muestra que el teorema se cumple en la región con dos huecos que se muestra en la figura 4.3.4 (b).

Sabemos por el Corolario 4.6 que cuando un campo vectorial suave ( textbf {f} (x, y) = P (x, y) textbf {i} + Q (x, y) textbf {j} ) en una región (R ) (cuyo límite es una curva cerrada simple y suave a trozos (C )) tiene un potencial en (R ), entonces ( oint_C textbf {f} cdot d textbf { r} = 0 ). Y si el potencial (F (x, y) ) es suave en (R ), entonces ( dfrac {∂F} {∂x} = P text {y} dfrac {∂F} { ∂y} = Q ), por lo que sabemos que

[ nonumber dfrac {∂ ^ 2F} {∂y∂x} = dfrac {∂ ^ 2F} {∂x∂y} Rightarrow dfrac {∂P} {∂y} = dfrac {∂Q} {∂x} text {in} R ]

Por el contrario, si ( dfrac {∂P} {∂y} = dfrac {∂Q} {∂x} ) en (R ) entonces

[ nonumber oint_C textbf {f} cdot d textbf {r} = iint limits_R left ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} right ) , dA iint límites_R 0 , dA = 0 ]

Para simplemente conectado región (R ) (es decir, una región sin agujeros), se puede mostrar lo siguiente:

Las siguientes declaraciones son equivalentes para una región (R ) simplemente conectada en ( mathbb {R} ^ 2 ):

  1. ( textbf {f} (x, y) = P (x, y) textbf {i} + Q (x, y) textbf {j} ) tiene un potencial suave (F (x, y) ) en (R )
  2. ( int_C textbf {f} cdot d textbf {r} ) es independiente de la ruta de cualquier curva (C ) en (R )
  3. ( oint_C textbf {f} cdot d textbf {r} = 0 ) para cada curva cerrada simple (C ) en (R )
  4. ( dfrac {∂P} {∂y} = dfrac {∂Q} {∂x} ) en (R ) (en este caso, la forma diferencial (P dx + Q dy ) es exacta )

Teorema de Green & # 39s en el plano: densidad de circulación

Lo siguiente es del Capítulo 16.4: Teorema de Green en el plano, Cálculo de Thomas, 14a edición:

Tasa de circulación alrededor del rectángulo $ approx left ( dfrac < partial> < parcial> - dfrac < parcial> < parcial> derecha) Delta x Delta y $.

Ahora dividimos por $ Delta x Delta y $ para estimar la tasa de circulación por unidad de área o densidad de circulación para el rectángulo:

$ dfrac < text> < texto> approx left ( dfrac < parcial> < parcial> - dfrac < parcial> < parcial> derecha) $

Dejamos que $ Delta x $ y $ Delta y $ se acerquen a cero para definir el densidad de circulación de $ mathbf$ en el punto $ (x, y) $.

La explicación anterior hace referencia a la siguiente imagen:

Y aquí hay un contexto adicional:

Lo que no entiendo es por qué dejamos que $ Delta x $ y $ Delta y $ se acerquen a cero para definir el densidad de circulación de $ mathbf$ en el punto $ (x, y) $? Si dividimos la tasa de circulación alrededor del rectángulo $ left ( left ( dfrac < partial> < parcial> - dfrac < parcial> < parcial> right) Delta x Delta y right) $ por el área del rectángulo $ left ( Delta x Delta y right) $, entonces los términos $ Delta x Delta y $ simplemente se cancelan, por lo que $ dfrac < text> < texto> approx dfrac < left ( dfrac < parcial> < parcial> - dfrac < parcial> < parcial> right) Delta x Delta y> < Delta x Delta y> = left ( dfrac < partial> < parcial> - dfrac < parcial> < parcial> derecha) $.

Así que no entiendo por qué los autores agregan & quotDejamos que $ Delta x $ y $ Delta y $ se acerquen a cero para definir el densidad de circulación de $ mathbf$ en el punto $ (x, y) $. & quot Al leer esta oración, parece que están tratando de hacer algo similar a la definición límite de derivadas, pero, como dije, no estoy seguro de qué es esto ¿Se supone que significa en este contexto, ni estoy seguro de qué propósito se supone que debe servir, ya que, como acabo de demostrar, el álgebra nos proporciona la densidad de circulación sin límites?

Le agradecería mucho que la gente se tomara el tiempo de aclarar esto.


Sección 11.5 Teorema de Green

Ahora que tenemos integrales dobles, es hora de hacer que algunos de nuestros ejercicios de circulación y flujo de la sección integral de línea sean extremadamente simples. Comenzaremos definiendo la densidad de circulación y la densidad de flujo para un campo vectorial ( vec F (x, y) = left lt M, N right & gt ) en el plano.

Definición 11.5.1 Densidad de circulación y densidad de flujo (divergencia)

Sea ( vec F (x, y) = left lt M, N right & gt ) un campo vectorial continuamente diferenciable. En el punto ((x, y) ) en el plano, crea un círculo (C_a ) de radio (a ) centrado en ((x, y) text <,> ) donde el área dentro de (C_a ) es (A_a = pi a ^ 2 text <.> ) El cociente ( ds frac <1> oint_ vec F cdot vec T ds ) es una circulación por área. El cociente ( ds frac <1> oint_ vec F cdot vec n ds ) es un flujo por área.

La densidad de circulación de ( vec F ) en ((x, y) ) definimos como

No probaremos que las expresiones derivadas parciales (N_x-M_y ) y (M_x + N_y ) sean en realidad iguales a los límites dados aquí. Es mejor dejarlo en un curso avanzado.

La divergencia, o densidad de flujo, de ( vec F ) en ((x, y) ) definimos como

En las definiciones anteriores, podríamos haber reemplazado el círculo (C_a ) con un cuadrado de lados (a ) centrado en ((x, y) ) con un área interior (A_a text <.> ) Alternativamente, podríamos haber elegido cualquier colección de curvas (C_a ) que “se encogen muy bien” a ((x, y) ) y tienen un área (A_a ) adentro. Independientemente de las curvas que elija, se puede mostrar que

empezar N_x-M_y = lim_ frac <1> oint_ vec F cdot vec T ds text M_x + N_y = lim_ frac <1> oint_ vec F cdot vec n ds. final

Para comprender lo que significan la circulación y la densidad de flujo en un sentido físico, piense en ( vec F ) como el campo de velocidad de algún gas.

La densidad de circulación nos dice la velocidad a la que el campo vectorial ( vec F ) hace que los objetos giren alrededor de los puntos. Si la densidad de circulación es positiva, entonces las partículas cercanas a ((x, y) ) tenderán a circular alrededor del punto en sentido antihorario. Cuanto mayor sea la densidad de circulación, más rápida será la rotación. El campo de velocidad de un gas podría tener algunas regiones donde el gas gira en sentido horario y algunas regiones donde el gas gira en sentido antihorario.

La divergencia, o densidad de flujo, nos dice la velocidad a la que el campo vectorial hace que el objeto huya de ((x, y) ) o se acerque a ((x, y) text <.> ). campo de velocidad de un gas, el gas se expande en los puntos donde la divergencia es positiva y se contrae en los puntos donde la divergencia es negativa.

Ahora estamos listos para enunciar el teorema de Green. Pídeme en clase que dé una demostración informal de por qué este teorema es válido.

Teorema 11.5.2 Teorema de Green

Sea ( vec F (x, y) = (M, N) ) un campo vectorial continuamente diferenciable, que se define en una región abierta en el plano que contiene una curva cerrada simple (C ) y la región (R ) dentro de la curva (C text <.> ) Entonces podemos calcular la circulación en sentido antihorario de ( vec F ) a lo largo de (C text <,> ) y el flujo hacia afuera de ( vec F ) a través de (C ) usando las integrales dobles

empezar oint_ vec F cdot vec T ds = iint_R N_x-M_y dA text oint_ vec F cdot vec n ds = iint_R M_x + N_y dA. final

Usemos ahora este teorema para encontrar rápidamente la circulación (trabajo) y el flujo.

Ejercicio 11.5.1

Considere un rectángulo (C ) donde los límites del rectángulo son (2 leq x leq 7 ) y (0 leq y leq 3 text <.> ) El rectángulo está sujeto a un vector campo ( vec F = (2x + 3y, 4x + 5y) text <.> )

Consulte 16.4 para obtener más práctica. Intente hacer un montón de estos, ya que se vuelven muy rápidos.

Encuentra la circulación de ( vec F ) a lo largo de (C )

Encuentra el flujo de ( vec F ) a lo largo de (C )

Los dos últimos deberían reducirse a hechos sobre el área.

Nota: Si intentó hacer esto sin el teorema de Green, tendría que parametrizar 4 segmentos de línea, calcular 4 integrales y luego sumar los resultados.

Ejercicio 11.5.2

Considere el campo vectorial ( vec F = (x ^ 2 + y ^ 2,3x + 5y) ) y (C text <,> ) el círculo ((x-3) ^ 2 + (y +1) ^ 2 = 4 ) (orientado en sentido antihorario).

Comience calculando (N_x-M_y ) y (M_x + N_y text <.> )

Ahora encuentre tanto la circulación como el flujo de ( vec F ) a lo largo de (C text <.> )

Debería poder reducir las integrales a hechos sobre el área y el centroide.

Ejercicio 11.5.3 Comprender la pregunta

Explica por qué necesitas o puedes usar un centroide para reducir las integrales. Esto le ayudará en el próximo ejercicio.

Ejercicio 11.5.4

Repite el ejercicio anterior, pero cambia la curva (C ) al límite de la región triangular (R ) con vértices en ((0,0) text <,> ) ((3,0) text <,> ) y ((3,6) text <.> ) Puede completar este ejercicio sin tener que establecer los límites en ninguna integral, si reduce las integrales a hechos sobre área y centroides. Puede buscar el centroide de una región triangular sin calcularlo.

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Antes de cada Celebración del Conocimiento dedicaremos un período de clase a repasar. Con planes de lecciones bien elaborados, tendrá de 4 a 8 páginas (de 2 a 4 capítulos) para revisar para cada uno, en lugar de 50 a 100 problemas.

Piense en el futuro de 2 a 5 años. Si hace estos planes de lecciones correctamente, podrá revisar sus planes de lecciones para este semestre. En aproximadamente 20-25 páginas, puede tener todo el curso resumido y fácil de recordar.


Preguntas n. ° 2, n. ° 3, sección n. ° 4

Resulta que responder a las últimas tres preguntas requerirá un poco de trabajo preliminar antes de llegar a las respuestas finales. Para concretar nuestro trabajo, supongamos que las variables aleatorias (X ) e (Y ) tienen una distribución trinomial con (n = 2, p_1 = frac <1> <4>, p_2 = frac < 1> <2> ) y (0 le x + y le 2 ). Para las variables aleatorias trinomiales, normalmente representamos la función de masa de probabilidad conjunta como una fórmula. En este caso, representemos la función de masa de probabilidad conjunta como un gráfico:


La sección de la tabla (t )

Si echas un vistazo a Cuadro VI en la parte posterior de su libro de texto, encontrará lo que parece una tabla (t ) típica. Así es como se ve la parte superior de la Tabla VI (bueno, menos el sombreado que he agregado):

La tabla (t ) - es similar a la tabla chi-cuadrado en que el interior de la tabla (t ) - (sombreada en púrpura ) contiene los (t ) - valores para varias probabilidades acumulativas (sombreadas en rojo ), como 0.60, 0.75, 0.90, 0.95, 0.975, 0.99 y 0.995, y para varias distribuciones (t ) con (r ) grados de libertad (sombreados en azul ). La fila sombreada verde indica la probabilidad ( alpha ) superior que corresponde a la probabilidad acumulada (1- alpha ). Por ejemplo, si está interesado en una probabilidad acumulada de 0,60 o una probabilidad superior de 0,40, querrá buscar el valor (t ) - en la primera columna.

Usemos la tabla (t ) - para leer algunas probabilidades y valores de (t ) - fuera de la tabla:


13.4 Probabilidades condicionales

Cuando los eventos no son independientes, probabilidades condicionales Son útiles. Ya vimos un ejemplo de probabilidad condicional: calculamos la probabilidad de que una segunda carta repartida sea un Rey dado que la primera es un Rey. En probabilidad, usamos la siguiente notación:

Usamos ( mid ) como abreviatura de "dado eso" o "condicional a".

Cuando dos eventos, digamos (A ) y (B ), son independientes, tenemos:

Ésta es la forma matemática de decir: el hecho de que ocurra (B ) no afecta la probabilidad de que ocurra (A ). De hecho, esto puede considerarse la definición matemática de independencia.


Transcripción de la presentación

16 CÁLCULO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIAL 16.4 Teorema de Green • En esta sección, aprenderemos sobre: ​​• El teorema de Green para varias regiones y su aplicación en la evaluación de una integral de línea.

INTRODUCCIÓN • El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. • Suponemos que D consta de todos los puntos dentro de C, así como todos los puntos en C.

INTRODUCCIÓN • Al establecer el teorema de Green, usamos la convención: • La orientación positiva de una curva cerrada simple C se refiere a un único recorrido de C. en sentido antihorario.

INTRODUCCIÓN • Por lo tanto, si C está dada por la función vectorial r (t), a ≤t ≤b, entonces la región D siempre está a la izquierda cuando el punto r (t) atraviesa C.

TEOREMA VERDE • Sea C una curva cerrada simple, suave a trozos, orientada positivamente en el plano y sea D la región delimitada por C. • Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D, entonces

NOTACIONES Nota • La notación • se usa a veces para indicar que la integral de línea se calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada C.

NOTACIONES Nota — Ecuación 1 • Otra notación para la curva límite de orientación positiva de D es∂D. • Entonces, la ecuación en el teorema de Green se puede escribir como:

TEOREMA VERDE • El Teorema de Green debe considerarse como la contraparte del Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) para integrales dobles.

TEOREMA VERDE • Compare la Ecuación 1 con el enunciado de la FTC Parte 2 (FTC2), en esta ecuación: • En ambos casos, • Hay una integral que involucra derivadas (F ', ∂Q / ∂x y ,P / ∂y) en el lado izquierdo. • El lado derecho involucra los valores de las funciones originales (F, Q y P) solo en el límite del dominio.

TEOREMA VERDE • En el caso unidimensional, el dominio es un intervalo [a, b] cuyo límite consta de solo dos puntos, ay b.

REGIÓN SIMPLE • El teorema no es fácil de demostrar en general. • Aún así, podemos dar una prueba para el caso especial donde la región es tanto de tipo I como de tipo II (Sección 15.3). • Llamemos a esas regiones regiones simples.

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Prueba — Eqns. 2 & amp 3 • Observe que el teorema se demostrará si podemos demostrar que: • y

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Demostración • Demostramos la Ecuación 2 expresando D como una región de tipo I: • D = <(x, y) | a ≤x ≤b, g1 (x) ≤y ≤g2 (x)> • donde g1 y g2 son funciones continuas.

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Demostración — Ecuaciones 4 • Eso nos permite calcular la integral doble en el lado derecho de la Ecuación 2 como: • donde el último paso sigue a la FTC.

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Prueba • Ahora, calculamos el lado izquierdo de la Ecuación 2 dividiendo C como la unión de las cuatro curvas C1, C2, C3 y C4.

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Prueba • En C1 tomamos x como parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas como: x = x, y = g1 (x), a ≤x ≤b • Por lo tanto,

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Prueba • Observe que C3 va de derecha a izquierda pero –C3 va de izquierda a derecha.

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Prueba • Entonces, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de –C3 como: x = x, y = g2 (x), a ≤ x ≤b • Por lo tanto,

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Prueba • En C2 o C4 (cualquiera de los cuales podría reducirse a un solo punto), x es constante. • Entonces, dx = 0 y

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Prueba • Comparando esta expresión con la de la Ecuación 4, vemos que:

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Demostración • La ecuación 3 se puede demostrar de la misma manera expresando D como una región de tipo II. • Luego, sumando las ecuaciones 2 y 3, obtenemos el teorema de Green. • Vea el ejercicio 28.

TEOREMA VERDE Ejemplo 1 • Evaluar donde C es la curva triangular que consta de los segmentos de línea de (0, 0) a (1, 0) de (1, 0) a (0, 1) de (0, 1) a (0, 0 )

TEOREMA VERDE Ejemplo 1 • La integral de línea dada podría evaluarse como de costumbre mediante los métodos de la Sección 16.2. • Sin embargo, eso implicaría establecer tres integrales separadas a lo largo de los tres lados del triángulo. • Entonces, usemos el teorema de Green en su lugar.

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Ejemplo 1 • Observe que la región D encerrada por C es simple y C tiene orientación positiva.

VERDE TH. (REGIÓN SIMPLE) Ejemplo 1 • Si dejamos que P (x, y) = x4 y Q (x, y) = xy, entonces

TEOREMA VERDE Ejemplo 2 • Evalúe • donde C es el círculo x2 + y2 = 9. • La región D limitada por C es el disco x2 + y2≤ 9.

TEOREMA VERDE Ejemplo 2 • Entonces, cambiemos a coordenadas polares después de aplicar el teorema de Green:

TEOREMA VERDE • En los Ejemplos 1 y 2, encontramos que la integral doble era más fácil de evaluar que la integral de línea. • Intente configurar la integral de línea en el Ejemplo 2 y pronto se convencerá.

DIRECCION CONTRARIA • A veces, sin embargo, es más fácil evaluar la integral de línea y el teorema de Green se usa en la dirección inversa. • Por ejemplo, si se sabe que P (x, y) = Q (x, y) = 0 en la curva C, el teorema da: no importa qué valores asuman P y Q en D.

DIRECCION CONTRARIA • Otra aplicación de la dirección inversa del teorema es en áreas de computación. • Como es el área de D, deseamos elegir P y Q para que:

DIRECCION CONTRARIA • Hay varias posibilidades: • P (x, y) = 0 • P (x, y) = –y • P (x, y) = –½y • Q (x, y) = x • Q (x, y ) = 0 • Q (x, y) = ½x

DIRECCION CONTRARIA Ecuación 5 • Entonces, el teorema de Green da las siguientes fórmulas para el área de D:

DIRECCION CONTRARIA Ejemplo 3 • Encuentra el área encerrada por la elipse • La elipse tiene ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤t ≤ 2π

DIRECCION CONTRARIA Ejemplo 3 • Usando la tercera fórmula de la Ecuación 5, tenemos:

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES • Hemos probado el teorema de Green solo para el caso en el que D es simple. • Aún así, ahora podemos extenderlo al caso donde D es una unión finita de regiones simples.

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES • Por ejemplo, si D es la región que se muestra aquí, podemos escribir: D = D1D2 donde D1 y D2 son ambos simples.

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES • El límite de D1 es C1C3. • El límite de D2 es C2 (–C3).

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES • Entonces, aplicando el teorema de Green a D1 y D2 por separado, obtenemos:

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES • Si sumamos estas dos ecuaciones, las integrales de línea a lo largo de C3 y –C3 se cancelan. • Entonces, obtenemos: • Su límite es C = C1C2. • Por lo tanto, este es el teorema de Green para D = D1D2.

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES NO SUPERPUESTAS • El mismo tipo de argumento nos permite establecer el teorema de Green para cualquier unión finita de regiones simples que no se superponen.

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES Ejemplo 4 • Evalúe donde C es el límite de la región semianular D en el semiplano superior entre los círculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES Ejemplo 4 • Observe que, aunque D no es simple, el eje y lo divide en dos regiones simples. • En coordenadas polares, podemos escribir: D =

UNIÓN DE REGIONES SIMPLES Ejemplo 4 • Entonces, el teorema de Green da:

REGIONES CON AGUJEROS • El teorema de Green se puede extender a regiones con huecos, es decir, regiones que no están simplemente conectadas.

REGIONES CON AGUJEROS • Observe que el límite C de la región D aquí consta de dos curvas cerradas simples C1 y C2.

REGIONES CON AGUJEROS • Suponemos que estas curvas de límite están orientadas de modo que la región D siempre esté a la izquierda cuando se atraviesa la curva C. • Entonces, la dirección positiva es en sentido antihorario para C1 pero en sentido horario para C2.

REGIONES CON AGUJEROS • Dividamos D en dos regiones D ’y D” por medio de las líneas que se muestran aquí.

REGIONES CON AGUJEROS • Luego, aplicando el teorema de Green a cada uno de D ’y D”, obtenemos: • Como las integrales de línea a lo largo de las líneas de límites comunes están en direcciones opuestas, se cancelan.


Hay varias fórmulas que se pueden usar para encontrar el área de un cuadrado.

Usando longitud lateral

El área, A, de un cuadrado con una longitud de lado s es:

Usando diagonales

Dada la diagonal de un cuadrado, se puede utilizar la siguiente fórmula:

donde d es la longitud de la diagonal.

Encuentra la longitud de la diagonal en términos de s. La diagonal de un cuadrado divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos congruentes, lo que nos permite usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de d en términos de s:

El área de la región entre los dos cuadrados (el área sombreada en verde) es 144. Si la distancia entre los lados exterior e interior de los cuadrados es 2, ¿cuál es el área del cuadrado exterior?

Sea x la longitud del lado del cuadrado interior (gris). Esto hace que la longitud del lado del cuadrado exterior sea x + 4.

El área de la región sombreada en verde es igual a la diferencia entre el área del cuadrado exterior y el cuadrado interior. Usando esta relación, podemos resolver x:

Sustituyendo x en x + 4, la longitud del lado del cuadrado exterior es 16 + 4, entonces:


Referencias

Lance Dixon, Calcular amplitudes, Diciembre de 2013 (web)

Henriette Elvang, Yu-tin Huang, Amplitudes de dispersión (arXiv: 1308.1697)

Livia Ferro, Tomasz Lukowski, Amplituhedra y más allá, Revisión temática invitada por Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical (arXiv: 2007.04342)

Para la dispersión de amplitudes a través del "amplituedro", el integrando se analiza en

    , Jacob L. Bourjaily, Freddy Cachazo, Alexander B. Goncharov, Alexander Postnikov, Jaroslav Trnka, Amplitudes de dispersión y Grassmannian positivo, arxiv / 1212.5605

y el dominio de integración en

Los aspectos simples de la dispersión de cuatro partículas se tratan en

Las notas y los anuncios de conferencias anteriores incluyen

Jaroslav Trnka, El amplituedro, pdf

Nima Arkani-Hamed, Politopos de Grassmannian y amplitudes de dispersión, conferencia en Perimeter Institute, video


Prefacio

En los últimos años, el lenguaje de programación estadística R se ha convertido en una parte integral del plan de estudios de las clases de econometría que impartimos en la Universidad de Duisburg-Essen. Regularmente encontramos que una gran parte de los estudiantes, especialmente en nuestros cursos de introducción a la econometría de pregrado, no han estado expuestos a ningún lenguaje de programación antes y, por lo tanto, tienen dificultades para participar en el aprendizaje de R por sí mismos. Con poca experiencia en estadística y econometría, es natural que los principiantes tengan dificultades para comprender los beneficios de tener habilidades de R para aprender y aplicar la econometría. These particularly include the ability to conduct, document and communicate empirical studies and having the facilities to program simulation studies which is helpful for, e.g., comprehending and validating theorems which usually are not easily grasped by mere brooding over formulas. Being applied economists and econometricians, all of the latter are capabilities we value and wish to share with our students.

Instead of confronting students with pure coding exercises and complementary classic literature like the book by Venables and Smith (2010) , we figured it would be better to provide interactive learning material that blends R code with the contents of the well-received textbook Introduction to Econometrics by Stock and Watson (2015) which serves as a basis for the lecture. This material is gathered in the present book Introduction to Econometrics with R, an empirical companion to Stock and Watson (2015) . It is an interactive script in the style of a reproducible research report and enables students not only to learn how results of case studies can be replicated with R but also strengthens their ability in using the newly acquired skills in other empirical applications.

Conventions Used in this Book

Italic text indicates new terms, names, buttons and alike.

Constant width text is generally used in paragraphs to refer to R código. This includes commands, variables, functions, data types, databases and file names.

Constant width text on gray background indicates R code that can be typed literally by you. It may appear in paragraphs for better distinguishability among executable and non-executable code statements but it will mostly be encountered in shape of large blocks of R código. These blocks are referred to as code chunks.

Reconocimiento

We thank the Stifterverband für die Deutsche Wissenschaft e.V. and the Ministry of Culture and Science of North Rhine-Westphalia for their financial support. Also, we are grateful to Alexander Blasberg for proofreading and his effort in helping with programming the exercises. A special thanks goes to Achim Zeileis (University of Innsbruck) and Christian Kleiber (University of Basel) for their advice and constructive criticism. Another thanks goes to Rebecca Arnold from the Münster University of Applied Sciences for several suggestions regarding the website design and for providing us with her nice designs for the book cover, logos and icons. We are also indebted to all past students of our introductory econometrics courses at the University of Duisburg-Essen for their feedback.

Referencias

Stock, J. H., and M. W. Watson. 2015. Introduction to Econometrics, Third Update, Global Edition. Pearson Education Limited.


Ver el vídeo: Integral de Línea #3. TEOREMA DE GREEN. LARSON (Septiembre 2021).